Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Арталь Луис

Салес Жузеп

Книга посвящена использованию математики в экономике и анализу роли точных наук в экономическом развитии.

Авторы рассказывают об основных математических инструментах, используемых в экономическом анализе. Их цель — помочь читателю научиться принимать верные решения в вопросах, касающихся инвестирования, размещения сбережений и кредитования.

Создатели книги затрагивают такие важные темы, как производство и рынок, спрос и предложение, международная торговля, ценообразование, рынок капитала и фондовые биржи. Безусловно, этот разговор немыслим без строгой красоты математики.

 

Предисловие

Еще в древние времена математику и экономику объединиться заставила необходимость в счете, важная для выживания. Людям той далекой эпохи требовалось подсчитывать, сколько пищи нужно для семьи или клана, а когда запасов оказывалось больше, чем необходимо для выживания, требовалось правильно подсчитать излишки, чтобы затем обменять их у соседних племен на другие товары. Сложность расчетов с самого начала была связана с доступными средствами для вычислений: изначально счет велся парами, затем — при помощи пальцев руки, позднее для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления были придуманы цифры и алгоритмы письменных расчетов. Развитие счета подтолкнула торговля, которая с течением времени также менялась и совершенствовалась.

В первой главе этой книги рассказывается о том, какой путь прошла торговля за века своего существования, о системах счисления и об алгоритмах вычислений, о том, какой вклад в их развитие сделали древние египтяне и римляне, индийцы, майя, а также арабы и европейцы в Средневековье, и, наконец, о развитии коммерции и появлении двойной бухгалтерской записи в эпоху Возрождения. Появление государства в его современном виде потребовало стандартизировать систему мер и весов, а необходимость собирать налоги и развивать систему здравоохранения привела к созданию демографических таблиц и появлению статистики. В это же время мир узнал и первые вычислительные машины — так, «Паскалина», созданная французским ученым Блезом Паскалем, стала прообразом современных компьютеров.

Во второй главе рассматривается история денег, неразрывно связанная с развитием и усложнением коммерции: на смену металлическим монетам пришли бумажные деньги и банковские билеты, а золотой стандарт сменился валютным. Сегодня каждая страна имеет национальную валюту, конвертируемую в валюты других стран, и валютный паритет зависит в том числе от изменения цен внутри страны, то есть от инфляции. Для ее оценки правительства разрабатывают индексы цен, а для контроля инфляции они проводят в жизнь монетарную политику. Одним из инструментов контроля инфляции является изменение ставки рефинансирования, от которой зависит размер процентов по кредитам, полученным банками от центрального банка страны.

В третьей главе с математической точки зрения рассматриваются наиболее распространенные банковские операции — кредитование, ипотека, реструктуризация кредитов, а также рассказывается о роли статистики в экономическом анализе.

Четвертая глава в основном посвящена промышленному производству, доходности и оценке отдачи от инвестиций. В следующей главе анализируется структура и поведение рынка, спрос и предложение, а также роль рынка в формировании цен.

В шестой главе изучаются принципы работы биржи, графические и математические инструменты анализа и прогнозирования котировок ценных бумаг. Наконец, последняя глава знакомит читателя с развитием системы национальных счетов, взаимосвязью между макроэкономическими параметрами и производственными секторами, рассказывает об экономических циклах, распределении доходов и индикаторах уровня развития.

Эта книга посвящена использованию математики в экономике и роли точных наук в экономическом развитии. Со времен Возрождения, когда математик Лука Пачоли изобрел двойную бухгалтерскую запись, и до сего дня математика как инструмент экономического анализа позволила придать экономическим постулатам более строгую форму и тем самым сделать полученные выводы надежнее.

В издании объясняются основные математические инструменты, используемые для экономического анализа: базовые понятия счисления, переменных, функций, трендов и производных, кривых, уравнений, последовательностей, прогрессий, корреляции, регрессии и т. д. С их помощью легче понять происходящее в экономической сфере и сформулировать правила, важные при принятии решений об инвестировании, размещении сбережений и кредитовании.

Деньги, инфляция, банки, финансовая система — в основе всех этих экономических понятий лежат математические инструменты, а финансовая математика используется при расчете выплат по кредитам и определении рентабельности инвестиций.

Авторы говорят о производстве и рынке, спросе и предложении, международной торговле, ценообразовании, рынке капитала, фондовых биржах и экономическом росте, и этот разговор немыслим без строгой красоты математики.

 

Глава 1. История чисел в экономике

Человечество использовало числа с первых дней своей истории. Даже в языке некоторых австралийских и африканских племен, сохранивших первобытный образ жизни, существуют слова для обозначения чисел от одного до пяти, а для всех чисел больше пяти используется слово «много». Каждая культура создает присущие только ей способы выражения мыслей (цифры и буквы, слова и числа), согласно своему образу жизни, и возможно, что современным первобытным племенам просто не нужно говорить о величинах больше пяти. Сегодня эти племена живут так, словно и не прошло нескольких тысяч лет цивилизационного развития, и точно так же выполняют расчеты.

Системы счисления. Необходимость в счете

Для обозначения чисел люди используют слова и цифры: в устной речи числовые величины выражаются с помощью слов, а на письме для обозначения чисел и операций с ними применяются цифры. В начале своей истории люди охотились, занимались собирательством и жили там, где в изобилии водилась дичь и росли плоды. Когда по какой-то причине источники пропитания иссякали, племя переселялось в другое место.

В этот период числа были практически не нужны, и длился он намного больше, чем вся последующая, «цифровая» эпоха.

Пытаясь получить постоянные источники пищи, люди постепенно начали одомашнивать животных, а позже — обрабатывать землю. Произошло это приблизительно 11000 лет назад, и в то время население Земли составляло около 8 миллионов человек. С этого момента числа начали использоваться чаще, и возникали ситуации, когда нужно было подсчитать, записать и выразить словами относительно большие величины. Скотовод должен был рассказать другим членам общины, сколько у него овец и сколько их было в прошлом году. Людям нужно было знать количество дней в году, чтобы определять, когда домашние животные дадут приплод, когда нужно сеять и собирать урожай. С течением времени потребовались подсчеты, сколько дани следует платить жрецам, а сами жрецы должны были записывать, кто заплатил дань, а кто — нет. В этих и многих других ситуациях необходимо было как-то выражать и записывать числовые величины.

Чтобы упростить запись, человек изобрел специальные знаки — цифры. В западной цивилизации сегодня используется десять цифр — всем известные 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 И 9.

А как подсчитывали овец доисторические пастухи? К примеру, собрав животных в стадо, его разбивали на десятки, затем — на сотни (десять групп по десять), затем — на тысячи (десять групп по сто) и так подсчитывали количество. Основанием этих групп было число десять, поэтому мы говорим, что 10 является основанием системы счисления. Однако так действовали не все пастухи — у каждого народа была собственная система счисления, но все они имели одну общую черту: основание системы счисления неизменно делилось на пять. Так, в разных цивилизациях использовались системы счисления по основанию 5,10, 20 и 60.

Число 5 появилось, когда первобытный человек начал считать, используя пальцы рук, — точно так же, как это делают современные дети. Некоторые народы, например майя, считали на пальцах рук и ног, поэтому они использовали систему счисления по основанию 20.

Шумеры, египтяне, индийцы, китайцы и майя первыми упорядочили числа и стали использовать системы счисления. Шумеры, жившие на Ближнем Востоке, на территории современного Ирака, около 4000 года до н. э., выполняли сложные арифметические операции и геометрические расчеты, изучая положение звезд на небосводе.

Благодаря их расчетам появился первый календарь. Основанием системы счисления шумеров было число 60, а значения цифр зависели от их положения в записи: одними и теми же знаками обозначались единицы, десятки, группы по 20 и группы по 60.

Такая система счисления называется позиционной.

Шумеры писали палочками из заостренного тростника на глиняных табличках, затем обжигали их в печах, и в пустынях Ирака археологи нашли тысячи табличек с математическими расчетами.

Шумерская глиняная табличка, найденная в районе города Ур, на которой записаны площади земельных участков в городе Умма.

Элементы шумерской системы счисления сохранились до сих пор — они используются при измерении углов и времени. Так, час равен 60 минутам, минута — 60 секундам. Угол в один градус (речь идет о шестидесятеричных градусах, которые на калькуляторах обозначаются символами DEG) делится на 60 частей — минут (60'), каждая из которых делится на 60 секунд (60").

Древние египтяне писали на папирусе, изготовленном из стеблей растения, росшего в долине Нила. Египетские жрецы — ученые той эпохи — сделали множество открытий, связанных с числами. Например, чтобы определить, чему равна третья часть выращенной на поле пшеницы, которую нужно уплатить в качестве дани, или чтобы подсчитать, на сколько частей можно разделить испеченный хлеб, жрецы изобрели дробные числа, или дроби. В 1858 году шотландский египтолог Александер Генри Райнд купил старый папирус, на котором были записаны задачи о дробях и задачи по геометрии. По сути папирус Райн да — первый известный нам учебник математики: он был написан примерно в 1700 году до н. э., и благодаря ему мы можем оценить уровень развития науки в Древнем Египте.

Фрагмент так называемого папируса Райнда — библии египетских математиков.

Папирус имеет 33 сантиметра в ширину и более 5 метров в длину.

Китайцы, в свою очередь, записывали числа не в строки, а в столбцы. Они делили числа на «мужские» и «женские» (нечетные и четные соответственно). Одним из достижений китайских математиков является определение положительных и отрицательных чисел. В Китае в качестве цифр использовались иероглифы, то есть каждый иероглиф, кроме обычного, имел и числовое значение, и это вызывало немало трудностей. Кроме того, китайцы считали, что слова имеют магический смысл, зависящий от того, какое число они обозначают, и приписывали иероглифам всевозможные сверхъестественные свойства.

Майя, жившие в Центральной Америке за много лет до прибытия туда Колумба, также записывали числа в столбцы, а не в строки. Они использовали календарь, в котором месяц состоял из 20 дней, год — из 360 дней, и позиционную систему счисления по основанию 20, а их знаки для обозначения числовых величин были весьма похожи на китайские и индийские.

Майя и их предшественники, ольмеки, совершили множество открытий в математике и астрономии и примерно в 36 году до н. э. дали определение такому понятию, как ноль, или «ничто» (именно этим годом датировано первое письменное упоминание этого числа). Но поскольку 0 в системе счисления майя не мог использоваться в арифметических операциях, это помешало дальнейшему развитию вычислений.

Китайская система счисления : 8 раз по 10 = 80.

Греческая система счисления : (3 + 5) раз по 10 = 8 раз по 10 = 80.

Система счисления майя : 4 раза по 20 = 80.

Египетская система счисления : 8 раз по 10 = 80.

Римская система счисления : 50 + 10 + 10 + 10 = 80.

Система счисления шумеров : 60 + 10+10 = 80.

Одно и то же число, представленное в шести разных системах счисления.

Самыми умелыми математиками древнего мира были индийцы. В своих арифметических расчетах они использовали огромные величины и решали задачи, требующие невероятного воображения (в одной из них, например, упоминаются 1024 дерущиеся обезьяны).

VI веком н. э. датируются два великих открытия индийских математиков: они стали присваивать цифрам разные значения в зависимости от их позиции в записи (одна и та же цифра в зависимости от позиции обозначала единицы, десятки, сотни или тысячи) и начали обозначать особым знаком, 0, число элементов пустого множества (индийцы называли это число «шунья», арабы — «сефир»). Вначале 0 обозначался просто точкой, потом — точкой, расположенной внутри круга, а затем на смену этим обозначениям пришел круг.

Индийские цифры VI века н. э. записывались так же, как и современные: восемьдесят тысяч триста сорок три

= 80 343

= восемь десятков тысяч, ноль тысяч, три сотни, четыре десятка и три единицы

= 8∙10 4  + 0∙10 3 + 3∙10 2 + 4∙10 1 + 3∙10 0 .

Греки, подобно китайцам, использовали в качестве цифр буквы, однако их система счисления не была позиционной, что усложняло запись чисел и развитие алгоритмов вычислений. По этой причине древние греки не очень преуспели в науке о числах — арифметике, однако добились огромных успехов в геометрии.

Аристотель (384–322 годы до н. э.) понимал слово «экономия» как управление домашним хозяйством, а науку, которую мы сегодня называем экономикой, называл по-гречески хрематистикой. Он не занимался подробным анализом экономических вопросов и не изучал взаимосвязь между переменными, однако рассмотрел такие понятия, как стоимость, деньги и проценты.

Аристотель рассматривал экономику прежде всего с точки зрения этики и первым выделил различные методы управления предприятием и домашним хозяйством.

Он говорил о потребительской и меновой стоимости, деньгах и богатстве и проанализировал две функции денег: как меры стоимости и как средства обращения товаров. Отрицательное отношение Аристотеля к ростовщичеству сохранилось до Нового времени и легло в основу доктрины католической церкви. Ученый рассуждал и на другие экономические темы, например о частной собственности и рабстве, и его идеи оказали большое влияние на исламскую этику.

Римляне не внесли в греческую систему счисления существенных изменений.

Они использовали для обозначения чисел буквы М, D, C, L, X, V и I, а большие числа обозначали горизонтальной чертой над этими буквами. Естественно, римлян ожидали те же трудности, что и греков: нетрудно представить, насколько сложно записать в римской системе счисления действительно большое число, например миллион, или выполнить с числами различные действия.

Именно поэтому когда в VIII веке арабы через Андалусию принесли в Европу индийскую систему счисления, все, кто занимался расчетами, сразу же начали использовать индийские цифры, а римская система счисления окончательно отошла в прошлое.

* * *

ОСНОВАНИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ И ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ

Сегодня почти не верится, что раньше люди вели все подсчеты только на пальцах рук, однако именно на этом основана современная система счисления, которую мы используем каждый день — позиционная десятичная. Однако эта система не универсальна — ее не используют самые быстрые и точные устройства для вычислений — компьютеры. Какие же системы счисления применялись в прошлом и какие — используются сейчас?

Десятичная система счисления

— Десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

— Выражение: 72 603 10 = 7∙10 4  + 2∙10 3 + 6∙10 2 + 0∙10 1 + 3∙10 0 .

Используется в повседневной жизни с древних времен.

Шестнадцатеричная система

— 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

— Выражение: 72 603 10  = 11В9В 16 = 1∙16 4 + 1∙16 3 + 11∙16 2 + 9∙16 1 + 11∙16 0 .

— Используется в электронике.

Двоичная система

— Две цифры: 0, 1.

— Выражение: 72 603 10 = 10001101110011011 2 = 1∙216 + 0∙215 + 0∙214 + 0∙213 + 1∙21 2 + 1∙ 2 11 + 0∙2 10 + 1∙2 9 + 1∙2 8 + 1∙2 7 + 0∙2 6 + 0∙2 5 + 1∙2 4 + 1∙2 3 + 0∙2 2  + 1∙2 1  + 1∙2 0 .

— Используется в компьютерной технике.

Двадцатеричная система счисления

∙ Двадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F, G, Н, I, J.

∙ Выражение: 72 603 10 = 91А3 20  = 9 ∙ 20 3  + 1∙20 2 + 10∙20 1 + 3∙20 0 .

∙ Применялась майя и шумерами, для записи использовались особые знаки.

Напомним, что на протяжении веков в разных культурах бытовали совершенно разные единицы измерения величин (веса, длины, объемов, денег), которые довольно часто были тесно связаны с применяемой системой счисления. Однако если при измерении величин и записи чисел в качестве основания используется одно и то же число, то вычисления, без которых невозможна экономика, становятся гораздо проще. Например, в десятичной метрической системе для обозначения кратных единиц измерения применяются десятичные приставки, а для записи величин также используется система счисления по основанию 10 (пример: 2,547 метра — это 2 метра 5 дециметров 4 сантиметра и 7 миллиметров).

УМНОЖЕНИЕ В ДРЕВНОСТИ И В НАШИ ДНИ

Последовательности вычислений, направленные на получение результатов арифметических действий, называются алгоритмами. За всю историю человечества алгоритмы невероятно усложнялись и постепенно становились все более совершенными. В таблицах ниже представлены два алгоритма умножения на примере чисел 2409 и 94, которые использовались в разные эпохи.

Умножение 2409 х 94 согласно методу, который использовали древние египтяне (3600 год дон. э.)

2409 94

(1204 188)

(602 376)

301 752

(150 1504)

75 3008

37 6016

(18 12032)

9 24064

(4 48128)

(2 96256)

1 192512

= 94 + 752 + 3008 + 6016 + 24 064 + 192 512 = 226 446.

Первый множитель (2409) последовательно делится на два, пока результат деления не станет равен единице. Одновременно с этим второй множитель (94) столько же раз умножается на два. Результатом умножения является сумма чисел в правом столбце, которым соответствуют нечетные числа в левом столбце.

Умножение 2409 х 94 согласно методу, который использовался в компьютерах середины XX века

Выполняется умножение 4 на 9,90 на 9,4 на 0,90 на 0 и т. д. до умножения 90 на 2000. Результат умножения равен сумме промежуточных результатов, записанных в левой части таблицы.

* * *

Алгоритмы вычислений

Греки и римляне, как и доисторические пастухи, использовали для вычислений камешки или палочки. Цифры нужны были только для записи результатов. Чтобы не носить с собой постоянно мешочек с камнями, был изобретен абак — устройство для счета, которое до сих пор иногда используется для обучения детей основам арифметики.

Современная модель абака и представленное на нем число.

Каждый ряд абака соответствует позиции в записи числа. Если в каком-то ряду не сдвинут ни один шарик, это соответствует нулю, однако римляне в своей системе счисления не могли записать ноль. В римской системе число три миллиона двести восемьдесят четыре тысячи шестьсот пятьдесят семь записывалось так:

Однако в V веке н. э. индийцы уже использовали форму записи, очень похожую на современную запись 3284657. В VIII веке арабы, захватившие север Индии, заимствовали индийскую позиционную систему счисления и ноль. В Средние века они начали использовать отрицательные числа, перекрестное умножение и правило пропорции для решения задач следующего вида: «У Хусейна 22 динара, у Орнара — 19, у Халила — 7. Они сложили деньги вместе и заключили сделку, на которой заработали 12 динаров. Как нужно поделить прибыль?» В Коране также описываются сложные задачи о наследстве, которые легли в основу арабского права и подтолкнули развитие математических методов пропорционального деления наследства в зависимости от степени родства с умершим. Для решения подобных задач и уравнений была создана алгебра — от арабского «аль-джабр», что означает «восполнение». Тогда же были созданы первые алгоритмы — это слово происходит от имени известнейшего арабского математика Аль-Хорезми.

Итальянский ученый Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи («сын Боначчи»), в XIII веке совершил множество открытий в области арифметики и алгебры, которые получили дальнейшее развитие в эпоху Возрождения (XIV–XV века).

В своей «Книге абака» он изложил все знания, накопленные арабами, в том числе объяснил позиционную систему счисления и число ноль (который он называл zephyrum), а также алгоритмы действий с целыми и дробными числами. В «Книге абака» объясняются правило пропорции, способы вычисления квадратного корня числа и алгоритмы решения уравнений первой и второй степени. А самое известное открытие математика — числовой ряд, известный как последовательность Фибоначчи.

Элементарные действия. Арифметика и торговля

Первый трактат по арифметике в торговле был опубликован в Тревизо (Италия) в 1470 году, и автор его неизвестен. В течение XV века было издано около 30 книг на эту тему (из них 14 в Италии, 11 — в Германии). Во всех книгах описывалась арабская система счисления по основанию 10 и алгоритмы действий с отрицательными и положительными числами (так называемыми натуральными). В этих книгах также были описаны дробные числа и операции над ними, правило пропорции, прогрессии, алгоритмы решения прикладных задач торговли (например, расчет реальной стоимости товара при обмене), приводились примеры вычисления налогов и таможенных пошлин, решение задач о сплавах и о преобразованиях единиц измерения.

В это время и была сформирована тесная связь между экономикой, которая понималась как наука об управлении ограниченными ресурсами, и математикой — абстрактной наукой, основанной на правилах элементарной арифметики и логических умозаключениях. Эффективные методы сложения и вычитания чисел (которыми обозначались товары в обращении) легли в основу прогресса. Позднее, с развитием коммерции, возникла необходимость в таких же эффективных и простых алгоритмах умножения и деления.

* * *

СТОЛКНОВЕНИЕ АЛГОРИТМОВ

Средневековая наука в христианском мире ограничивалась переводом оригинальных арабских трудов и арабских изданий древнегреческих книг, в частности «Экономики» Аристотеля. За несколько лет до 1000 года монах Герберт Орильякский, будущий папа римский Сильвестр II, обучился у арабов Андалусии использованию цифр и позиционной системы счисления, а также усовершенствовал римский абак, в котором, тем не менее, по-прежнему не использовался ноль. И лишь в XII веке крестоносцы принесли из Иерусалима в Европу индо-арабские цифры, их систему счисления и ноль. Церковь в те годы препятствовала использованию арабских методов вычисления, объясняя их простоту проделками дьявола, и профессиональные вычислители вынуждены были использовать восточные алгоритмы втайне. И все же, несмотря на противодействие духовенства, с началом эпохи Возрождения арабские алгоритмы широко распространились в торговле.

* * *

Для решения этой задачи требовались новые числа, в частности десятичные дроби, с помощью которых можно было бы говорить о частях единиц длины, веса и объема, а также выражать соответствующую стоимость при купле, продаже и обмене. И тут экономике пришлось обратиться к прошлому, ведь впервые дробные числа упоминаются уже в древнеегипетских папирусах.

Важным применением дробей стало представление процентов как частей целого при вычислении скидок и процентного дохода. Позднее эти числа стали использоваться для представления и других дробей, со знаменателем, отличным от 10 и 100.

Эволюционный процесс завершился, когда дробные величины стали записывать в позиционной системе счисления по основанию 10, которую мы используем и сейчас.

36/100 = 3,6/10 = 36 % (процент) = 0,36 (десятичная дробь).

В эпоху Возрождения величина 78, 4/10, 5/100, 6/1000 записывалась как

78 + 4/10 + 5/100 + 6/1000 = 78,456.

Дробные числа используются в математике начиная с XVII века. Они получили название рациональных чисел и могут записываться двумя способами (в двух нотациях): в виде процентов и в виде десятичных дробей с запятой.

Рациональные числа могут иметь конечное (ограниченное) число десятичных знаков. Это происходит, когда результат деления можно определить точно, например, 34/64 = 0,53125.

Однако они могут иметь и бесконечное (неограниченное) число цифр после запятой, которые иногда неким образом повторяются, например 34/70 = 0,4857142857142857142857142857 …

В это же время появились банки, задачей которых было гарантировать безопасность денежного обращения при покупке и продаже товаров и услуг. Первыми банкирами стали средневековые ювелиры, которые чаще всего были иудеями или мусульманами. Церковь считала ростовщичество греховным, поэтому христианам было запрещено давать деньги в рост. Конечно, по прошествии некоторого времени к числу банкиров и ростовщиков присоединились и христиане, но об этом — позже.

«Меняла с женой»,  Квентин Массейс , 1514 год. Считается, что на этой картине отражен типичный для той эпохи конфликт между набожностью и стремлением к достатку: жена менялы откладывает молитвенник в сторону, чтобы посмотреть, как муж считает деньги.

* * *

ИЗОБРЕТЕНИЕ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА

В 1494 году монах-францисканец Лука Пачоли изобрел метод, лежащий в основе современного бухгалтерского учета. Его идея о двойной записи стала поистине гениальной, а кроме того, она еще раз подтверждает, какую помощь математика оказала коммерции. Запись доходов и расходов перестала быть бессмысленной — между ними появились наглядные причинно-следственные связи.

Книга Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» была опубликована в Венеции, в эпоху формирования новых политических и торговых отношений.

В этой книге популярно, простым языком описывается ведение дел до начала непосредственной купли-продажи товаров. Пачоли отмечает, что предприниматель должен подготовить полный перечень всей собственности (активов) и перечень обязательств перед третьими лицами (пассивов).

Активы должны группироваться по принципу ценности и мобильности (наличные деньги должны указываться первыми, имущество — последним), а пассивы — согласно срочности (краткосрочные и долгосрочные). Для соблюдения принципа двойной записи необходимо, чтобы все совершенные торговые операции имели причину, а каждая причина — следствие, что и должно быть отражено в равенстве разделов баланса.

Пачоли писал о бухгалтерии: «Все, что запишешь, будет числиться в твоих книгах как долг, и напротив, все, что извлечешь или получишь от нее, запишешь так, как если бы должник уплатил тебе часть долга». Он рассматривает склад товаров как должника при любых операциях и движении товаров по складу. Для записи операций Пачоли предложил вести четыре книги: inventario (книга с перечнем имущества и балансов), giornale (книга учета операций), cuaderno (главная бухгалтерская книга) и memoriale (в настоящее время не используется). Он также описывает важность ведения бухгалтерского учета в системе счетов и другие понятия бухгалтерии, так как они позволяют оценить рыночную ситуацию и определить, является ли торговое дело выгодным.

* * *

Бухгалтерский учет возник как следствие роста торговли, пережившей упадок в позднее Средневековье и эпоху Возрождения (XV–XVI века), и использовался для того, чтобы оценить оборот и величину доходов, размеры вложенного капитала и личного имущества предпринимателей. Чтобы начать новое дело, требовавшее больше средств, чем имелось у предпринимателя, ему необходимо было взять заем, предварительно точно определив его размеры.

Начиная с этого времени двойная бухгалтерская запись стала обязательной. Возникла необходимость и в применении отрицательных чисел, которые назывались «долговыми», или «абсурдными» числами. И действительно, в то время, когда основной целью человека было выжить и справиться с насущными проблемами, казалось, что отрицательные числа не имеют смысла. И хотя они были открыты в Индии еще в V веке, на Западе их начали использовать лишь в XVI столетии.

Операции с отрицательными числами также выполнялись с помощью абаков — эти числа обозначались табличками или шариками другого цвета. И хотя уже в XV веке торговцы для указания на излишки и недостатки товаров на складе использовали германские знаки + и —, отрицательные числа и в XVI веке по-прежнему назывались «ложными», а их повсеместное применение началось лишь в конце XVIII века.

Дополнить традиционную систему счисления отрицательными числами было очень важно, поскольку это упрощало бухгалтерские расчеты. Кроме того, использование отрицательных и рациональных чисел позволяло найти решение любого уравнения первой степени. Например, уравнение Р + 50 = 32 до введения отрицательных чисел не имело решений: Р + 50–50 = 32–50; Р = 32–50; Р = —18.

С появлением протестантизма в XVI веке лютеране и кальвинисты почувствовали себя свободными от запрета давать деньги в рост. Ростовщичество получило широкое распространение и способствовало накоплению капитала, появилась так называемая денежная этика. К этому времени относится и зарождение капитализма, когда деньги превратились практически в высшую жизненную ценность. Их получение перестало быть средством и стало целью, работать необходимо было так, чтобы как можно больше разбогатеть.

В соответствии с протестантской этикой богатому человеку уготовано спасение и обретение после смерти царства небесного. Набожность, благочестие и аскетизм, свойственные протестантам, достаточно хорошо сочетались с новыми капиталистическими ценностями, и многие церковные приходы становились центрами будущих капиталистических компаний.

Социолог Макс Вебер (на этой фотографии, сделанной в 1917 году, он изображен в центре) в 1904–1905 годах создал фундаментальный труд «Протестантская этика и дух капитализма», в котором выдвинул различные гипотезы, касающиеся взаимосвязи между лютеранской моралью и развитием капитализма.

* * *

ДОЛГОВЫЕ ЧИСЛА

Одно из первых определений отрицательного числа дал святой отец Тома Висенте Тоска в труде «Краткое изложение математики», изданном в 1709 году. В одной из задач в книге он с помощью понятий «имущество», «долг» и «выгода» привел пример использования капитала и пояснил смысл отрицательных величин, показав, что означает число, «меньшее, чем ничего». В одной из глав книги он объясняет: «Предположите, что у некоего человека нет никакого имущества, а его долг составляет 1000 эскудо. У другого человека также нет никакого имущества, но он никому ничего не должен. Безусловно, состояние первого меньше, чем второго, но у второго нет ничего, следовательно, у первого человека есть меньше, чем ничего. Если тому, кто не имеет ничего и должен 1000 эскудо, дать 1000 эскудо, чтобы он выплатил долг, его состояние увеличится. Однако после этого увеличения его состояние есть ничто, следовательно, до этого увеличения его состояние было меньше, чем ничего».

Стандартные системы мер

В XVIII веке, в эпоху Просвещения и революций, развитие коммерции дало толчок совершенствованию денежных систем. В 1791 году Национальное собрание Франции определило метр как одну десятимиллионную часть расстояния от Северного полюса до экватора на долготе Парижа и килограмм — как массу одного литра воды. Так была учреждена десятичная метрическая система — первая система мер и весов, и ее

появление упростило международный товарооборот.

Когда благодаря работам по измерению земного меридиана стало возможным точнее определить размеры Земли и когда свойства воды были изучены лучше, выяснилось, что единицы измерений расходятся с эталонами, определенными ранее.

В 1799 году для системы мер и весов были изготовлены эталоны метра и килограмма из платинового сплава. К этому же времени относится начало промышленной революции. Для нового оборудования было необходимо производить детали стандартных размеров, особенно болты и гайки, а для этого требовались высокоточные измерительные инструменты. В связи с этим пришлось найти другой способ для определения единиц длины и веса, не привязывая их к каким-либо естественным явлениям. С этого момента основой системы мер и весов стали сами эталоны, и такое положение сохранялось до 1960 года.

Огромным преимуществом новой системы было то, что кратные и дробные величины отличались в десять раз, в то время как раньше единицы мер и весов делились на три, двенадцать или шестнадцать частей в зависимости от самой единицы и страны ее происхождения, что усложняло арифметические расчеты в десятичной системе счисления.

Международное использование первой метрической системы было закреплено на Генеральной конференции по мерам и весам в 1889 году. Сто лет спустя, в 1983 году, эта система была преобразована в Международную систему единиц (СИ). В настоящее время примерно 95 % населения Земли живет в странах, где используется метрическая система и ее производные.

Математика и экономические теории

С XVI по XVIII век появились различные научные школы, которые поставили экономику на службу государству. Из-за этого экономическую науку стали называть политической экономией, а в ее рамках появился меркантилизм — доктрина, в соответствии с которой государство обогащается только тогда, когда продает за границу товаров больше, чем покупает из-за рубежа. Иными словами, требовалось поддерживать положительный торговый баланс, увеличивая таким образом государственные запасы драгоценных металлов. Главной заслугой сторонников этой доктрины стало создание количественной теории денег.

В XVIII веке физиократы рассматривали общественные институты сквозь призму «естественного порядка», по аналогии с телом человека. Они очень точно определили структуру экономической системы государства, что можно увидеть на примере «Экономической таблицы» французского экономиста Франсуа Кенэ, посвященной взаимосвязям отраслей экономики. «Экономические таблицы» стали прообразом современных таблиц межотраслевого баланса.

В 1776 году Адам Смит, который считается подлинным создателем политической экономии, опубликовал труд «Исследование о природе и причинах богатства народов». В этой книге были изложены новаторские идеи, касающиеся различий между потребительской и меновой стоимостью, разделение труда, то есть специализация при выполнении конкретных задач, в ней признавалось как способ снизить затраты на производство, предсказывались возможные конфликты между владельцами заводов и высокооплачиваемыми рабочими, накопление капитала считалось источником экономического роста, а рынок — наиболее эффективным механизмом распределения ресурсов. Словом, Смит выступал в защиту экономических свобод.

Карл Маркс, в свою очередь, утверждал, что источником стоимости является только труд. Этот тезис он подробно рассмотрел в своей книге «Капитал» (1864).

Маркс определил четыре разных формы стоимости: отдельную (для сравнения прямой и производственной стоимости), прямую (при ее определении учитывается только межотраслевая конкуренция), производственную (учитывается межотраслевая и внутриотраслевая конкуренция) и действительную (определяемую рынком). Однако Маркс не подвел под свою теорию какой-либо математической основы.

Адам Смит (слева) и  Карл Маркс — два мыслителя, давшие огромный толчок политической экономии, рассмотрев ее с совершенно разных позиций.

На протяжении XIX века вклад в развитие теории цен и стоимости внесли многие экономисты, например Давид Рикардо и Карл Маркс, однако только благодаря трудам более поздних исследователей, в частности Леона Вальраса, Пьеро Сраффа, Карла Менгера, Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна, эти идеи были изложены на языке математики, и родилась математическая экономика. Леон Вальрас критиковал модные в то время либеральные теории, считая, что они не в силах объяснить современные ему экономические проблемы. В «Элементах чистой политической экономии» (1874) он выразил несогласие с трудовой теорией стоимости и теорией ренты Давида Рикардо, а также подверг сомнению классические труды Адама Смита. Вместе с математиком Антуаном Курно Вальрас ввел в экономику математические расчеты.

В его модели цены предложения и спроса описывались посредством взаимосвязанных уравнений с тремя переменными: ценой, величиной спроса и величиной предложения. Требовалось вычислить значения двух неизвестных: стоимости и объема, так как при рыночном равновесии величина спроса должна равняться величине предложения. Вальрас был первым, кто описал общее экономическое равновесие, связав спрос и предложение, на языке математики.

Несмотря на столь важные открытия, идея о том, что для политической экономии вполне пригоден язык математики, с ее функциями, уравнениями и анализом бесконечно малых, вызвала серьезную критику со стороны других великих экономистов XIX столетия. Многие из них использовали исторический анализ и считали абсурдной саму идею — выражать человеческую предприимчивость на языке чисел и математических формул. Сходились с ними и сами математики, ссылавшиеся на то, что использование в экономике математических методов позволило получить весьма немногочисленные результаты. Итогом многолетнего сотрудничества экономистов и математиков стала лишь система уравнений, описывающих равновесие Вальраса.

Большой шаг вперед в изучении ценообразования сделал Пьеро Сраффа, ученик английского ученого Джона Мейнарда Кейнса. В своей книге «Производство товаров посредством товаров» он предложил следующее уравнение:

Р = S + В + R,

в котором уравновешены цена (Р) и переменные зарплата (S), прибыль (В) и рента (R).

Политическая арифметика, или Рождение статистики

В 1642 году молодой французский математик Блез Паскаль изобрел «Паскалину» — первую вычислительную машину с зубчатым механизмом. Машина могла складывать и вычитать любые числа, количество разрядов в которых не превышало восьми.

С помощью своего изобретения Паскаль хотел облегчить труд отца — налогового инспектора. Всего было изготовлено около пятидесяти «Паскалин».

Слева — «Паскалина», справа — вычислительная машина, изобретенная Лейбницем.

В 1694 году Готфрид Вильгельм Лейбниц на основе «Паскалины» создал машину, способную выполнять умножение и деление. Швейцарский математик Якоб Бернулли в 1705 году в книге «Искусство предположений» изложил зачатки теории вероятностей. Он показал, что с ростом числа наблюдений неопределенность уменьшается, и описал такой идеальный эксперимент: «В урне находится 3000 черных шариков и 2000 белых. Если мы будем извлекать шарики из урны, записывать их цвет и опускать их обратно в урну, то убедимся, что с ростом числа наблюдений соотношение белых и черных шариков будет все ближе к 2/3». Сегодня это утверждение известно как закон больших чисел — одна из основ математической статистики.

Антуан Лавуазье, создавший современную систему химических обозначений и формул, использовал свои знания в области вычислений и измерений в администрировании. Он участвовал в работе комиссии по десятичной метрической системе и в 1791 году создал «Краткое изложение различных работ по политической арифметике». Его труд решал насущные для Французской республики задачи, ведь в ту эпоху налоги взимались в зависимости от стоимости имущества, размеров обрабатываемой земли и поголовья скота.

Лавуазье попытался вычислить общую площадь всей обрабатываемой земли во Франции. Для этого он собрал данные о ежегодном потреблении пищи и алкоголя в городах и деревнях и подсчитал, сколько земли необходимо для производства всех этих продуктов. Благодаря Лавуазье известно, что в 1790 году во Франции насчитывалось 25 миллионов жителей, из которых восемь жили в городах, а еще восемь занимались виноградарством. Лавуазье призывал создать учреждение, которое регулярно собирало бы статистические данные о сельском хозяйстве, торговле, численности и составе населения. Ученый был так убежден в возможностях статистики, что полагал: скоро она заменит политическую экономию.

Другой работой, важной для появления статистики, стал «Опыт закона о народонаселении» Томаса Мальтуса. Этот труд, написанный в конце XVIII века, оказал огромное влияние на многих социологов и экономистов. Мальтус отмечал, что производство продуктов питания растет в арифметической прогрессии (1, 2, 3, 4, …), а численность населения — в геометрической (1, 2, 4, 8, …), при этом площадь земли, пригодной для возделывания, ограничена, и производительность труда на ней снижается. Так как население с определенной периодичностью удваивается, мир словно делится снова и снова пополам, и каждый раз для удовлетворения потребностей остается все меньше ресурсов. Наступит момент, когда их окажется недостаточно, и тогда возрастет смертность или же оплата труда установится на минимальном уровне, достаточном для выживания.

В 1799 году было опубликовано объемное «Статистическое описание Шотландии 1791–1799», в 21 томе которого сэр Джон Синклер собрал множество статистических данных, взятых из церковных книг, приводил годовые суммы доходов и расходов домохозяйств и виды деятельности, служившие источниками доходов.

К концу XIX века интерес к количественному измерению социальных и экономических процессов значительно возрос. Государственные учреждения, стремясь выработать эффективную политику, собирали статистические данные и проводили переписи населения. Математические модели позволили получать понятные выводы, пригодные для дальнейшего использования в сфере предпринимательства, политики и исследований.

Демографические таблицы: второе рождение статистики

В 1839 году врач Уильям Фарр с помощью методов статистики провел анализ британской системы здравоохранения. Он работал составителем отчетов в управлении актов регистрации Лондона и в 1864 году опубликовал документ «Таблицы английской жизни», в котором познакомил общество с таблицами, которые заполняют специалисты страховых обществ для расчета рисков и определения стоимости полисов. Основой для таблиц стали записи в книгах регистрации рождений и смертей, а также данные переписей. Таблицы составлялись с помощью сложных численных методов, и для выполнения соответствующих расчетов британское правительство приобрело механическую вычислительную машину с печатающим устройством, разработанную шведом Георгом Шутцем.

Механическая вычислительная машина, созданная Георгом Шутцем в 1856 году.

Фарр сотрудничал с Флоренс Найтингейл — медсестрой, которая видела в статистике инструмент, способный «улучшить условия жизни людей, подсказав правящим кругам наиболее удачные решения». Найтингейл разработала и использовала статистические диаграммы и графики, которые делали огромные таблицы с числами более понятными. Наконец, Фарр совместно с Адольфом Кетле, бельгийским математиком, поклонником статистики и учеником Лапласа, работал над переизданием книги «Социальная физика» (1835), в которой приводились накопленные за много лет разнообразные данные о населении Франции и проводился анализ взаимосвязей между статистическими переменными. Главным изобретением Фарра был так называемый средний человек, измеримые характеристики которого подвергались численному анализу. И хотя сегодня это понятие больше не используется, его можно считать прообразом современных средних величин.

В США решение провести перепись населения было принято на Конституционном Конвенте в Филадельфии в 1787 году, одновременно с принятием конституции.

Первая перепись состоялась в 1790 году, а затем они повторялись каждые десять лет. При проведении переписи 1890 года стало очевидным, что подсчитывать анкеты и составлять таблицы вручную невозможно — этот метод требовал слишком много времени для анализа данных и не позволял правительству принимать своевременные политические и экономические решения.

Чтобы найти выход из этой ситуации, был проведен конкурс на создание машины, которая позволила бы быстро и эффективно обрабатывать данные переписи.

Первое место заняла электрическая машина инженера Германа Холлерита, работающая на перфокартах: она подсчитывала количество отверстий, которыми обозначались значения статистических переменных, полученные при переписи. Отверстия в картах делал оператор на основе данных, зафиксированных в анкетах.

Для классификации и составления таблиц Холлерит сконструировал другие машины, и благодаря ему все расчеты для переписи 1890 года были проведены за два с половиной года — это на пять лет меньше, чем потребовалось при анализе данных переписи 1880 года. Холлерит создал компанию по производству машин для табулирования, классификации и перфорирования карт, имевшую огромный успех на рынке. В 1914 году компания Холлерита Tabulating Machine Company была преобразована в International Business Machines (IBM).

Слева направо и сверху вниз: Brunsviga  (1927), Mercedes Euklid (1935), ANITA  (1961) и персональный компьютер IBM  1980 года демонстрируют головокружительные темпы развития вычислительных машин в XX веке.

В период с 1900 по 1935 год на смену арифмометру Brunsviga пришла вычислительная машина Mercedes Euklid, выполнявшая четыре основные арифметические операции с точностью до 16 цифр. В 1960-е появились электромеханические машины и, наконец, электронные машины на полупроводниках — родоначальники современных компьютеров. В эти же годы появились первые языки программирования, а также программы для управления базами данных, например SAP и DB2, предназначенные для работы с огромными объемами данных, что необходимо крупным корпорациям и государственным структурам.

 

Глава 2. Деньги и инфляция

Деньги — это прежде всего общепринятое средство платежа, используемое при купле-продаже товаров и услуг или финансовых операциях. Они используются как для обмена, так и для измерения стоимости товаров. Следовательно, деньги — это единица измерения ценности вещей, а также платежный инструмент. Физически деньги представляют собой металлические монеты или банковские билеты, но они могут быть и единицей измерения остатка на нашем банковском счете или карте — на ее чипе или магнитной полосе с использованием современных методов шифрования хранится информация о карте и ее держателе.

Краткая история денег: от товарных денег к фидуциарным

С течением времени деньги довольно сильно видоизменились. Изначально торговля основывалась на обмене товарами: люди обменивали излишки, накопленные одним сообществом, на излишки, накопленные другим. Вскоре некоторые товары, например скот, стали использоваться при обмене как базовые для оценки стоимости других товаров. Так, например, двадцать амфор оливок по стоимости равнялись одной овце, сто амфор вина — волу. Амфоры емкостью от 25 до 30 литров, наполненные водой, назывались талантами и выступали единицами веса, а позднее так стали называть денежные единицы.

Использование голов скота как платежной единицы привело к тому, что их изображения появились на камнях, глиняных табличках, а позднее — на металлических монетах. Впоследствии монеты стали чеканиться из драгоценных металлов, таким образом, стоимость монеты равнялась стоимости металла, из которого она была отчеканена (такие деньги называются товарными, или натуральными).

Следующим шагом стала чеканка монет из менее ценных металлов, и стоимость металла, из которого изготавливалась монета, была значительно меньше ее номинала. Такие деньги стали называться фидуциарными (от лат. fiducia — «доверие»), или символическими, и этот этап их эволюции завершился с появлением бумажныхденег. Так как деньги чеканились из бронзы, серебра или золота, купцы позднего Средневековья обращались к ювелирам, чтобы те, взвесив наиболее ценные монеты, определили их реальную стоимость. Ювелиры и стали первыми банкирами: они принимали ценности на хранение, выдавая при этом свидетельства-расписки. Вскоре купцы стали считать эти свидетельства удобной и безопасной заменой самих монет.

Позднее на смену распискам пришли банковские билеты, и появились первые банки.

В древности ценность монет зависела от материала, из которого они были отчеканены. На фото — бронзовый римский сестерций.

В банках хранились вклады, за которыми владельцы обращались нечасто. Вскоре ювелиры и банкиры поняли, что достаточно хранить постоянно лишь небольшое количество ликвидных средств своих клиентов, а остальные вклады можно выдавать в виде займов при условии сохранения определенного коэффициента ликвидности, — так появились банковские деньги. Когда собственник клал деньги в банк, а банк выдавал их в виде займа третьему лицу, то эти деньги формально находились у трех разных людей: владельца вклада, банкира и заемщика, — отсюда следует определение денежной массы как суммы наличных денег на руках у населения и банковских вкладов.

Денежные стандарты, фидуциарные деньги и счетные денежные единицы

Денежный стандарт — это металл, для которого при предъявлении банку-эмитенту гарантирована конвертация в металлические монеты или банковские билеты. В основе каждой денежной системы лежит определенный металл: золото, серебро или их сплав.

Государство и банки — эмитенты бумажных денег гарантируют автоматический обмен драгоценного металла, лежащего в основе денежного стандарта, на банковские билеты. Фидуциарные деньги появились благодаря уверенности общества в банке-эмитенте, который гарантирует обратный автоматический обмен денег на драгоценный металл.

Семья Фуггеров стала одной из главных коммерческих и финансовых организаций XV–XVI веков. На иллюстрации Карл V слушает Якоба Фуггера, благодаря поддержке которого он взошел на трон.

Золотой стандарт использовался вплоть до Первой мировой войны. В 1944 году он был модифицирован в золотовалютный стандарт, основанный на двух твердых валютах, для которых гарантировался обмен на золото: американском долларе и британском фунте стерлингов. Так как все страны производили международные платежи в этих твердых валютах, они постепенно начали использовать эти же валюты для своих резервов, пока в 1971 году Соединенные Штаты Америки не объявили об отмене конвертируемости доллара в золото, что способствовало окончательному отказу от использования золотого стандарта. Ему на смену пришел фидуциарный стандарт, основанный на доверии к определенным твердым валютам, составляющим основу резервов центральных банков разных стран.

Отель «Маунт Вашингтон» на курорте Бреттон-Вудс, где в 1944 году прошла валютно-финансовая конференция Организации Объединенных Наций. На ней был подписан ряд соглашений взамен тех, что были заключены во время Первой мировой войны. Бреттон-Вудские соглашения утратили силу в 1971 году, когда Соединенные Штаты Америки объявили об отмене конвертируемости доллара в золото.

Валюты и виды обмена: почему одни деньги дороже других

Деньги, выпущенные центральными банками иностранных государств, называются валютой и являются средством платежа при международной торговле. Как правило, расчеты при этом ведутся в валюте страны-экспортера, однако часто предпочтение отдается твердым валютам, в частности американскому доллару или евро. Цена денежной единицы одной страны, выраженная в денежной единице другой страны, называется валютным курсом. Валюты являются конвертируемыми, если их можно обменивать на другие валюты по курсу, определяемому рынком, то есть по гибкому, свободному курсу.

Таким образом, на валютном рынке доллар ($) может котироваться по определенному курсу по отношению к евро (€): $1 = €0,69 (или, что аналогично, для покупки 1 евро требуется заплатить 1,449 доллара). В свою очередь, обменный курс фунта стерлингов (£) может равняться, например, €1,11 или $1,61, курс японской иены (¥) — £0,0067, €0,0075 или $0,0108. Это означает, что если мы покупаем в США автомобиль, который стоит 10000 долларов, а в нашем распоряжении есть только евро, сначала нужно купить доллары на сумму 6900 евро. Если же у нас на руках только фунты стерлингов, то потребуется заплатить 10000/1,61 = 6211,18 фунта стерлингов.

Если валютный курс фиксирован, это означает, что руководство страны установило для своей национальной валюты по отношению к валютам других государств определенный неизменный курс, который может колебаться лишь в строго заданных границах. Курс свободно конвертируемых валют колеблется в определенном интервале по отношению к другим валютам, причем желательно, чтобы колебания не превосходили 1 %, иначе это повлияет на стабильность валютного обмена.

Валютный курс государства оказывает огромное влияние на конкурентоспособность страны на мировом рынке. Если инфляция внутри страны высока, товары, произведенные на ее предприятиях, дорожают, что снижает возможности экспорта и, как следствие, уровень торговой активности со всеми возможными негативными последствиями для рынка труда. По этой причине страны с высоким уровнем инфляции вынуждены девальвировать свою валюту по отношению к остальным, чтобы повысить конкурентоспособность своих производителей на международном рынке.

Говорят, что первая валюта обесценивается по отношению ко второй, когда для ее приобретения требуется меньшее количество второй валюты. Так, если доллар обесценивается по отношению к евро, это означает, что для покупки 1 евро требуется, например, 1,60 доллара вместо прежних 1,449, то есть чтобы купить 1 евро, теперь требуется платить более высокую цену, так как доллар по отношению к евро обесценился.

Одна и та же валюта может обесцениваться по отношению к одним и одновременно расти в цене по отношению к другим валютам. Происходит это из-за того, что, в дополнение к валютным колебаниям, в этих странах меняются индексы цен.

Так, например, если в стране 1 зарегистрирован рост цен р 1 больший, чем рост цен р 2 в стране 2, обменный курс валют этих двух стран будет изменяться в зависимости от изменения индексов цен в этих двух странах. Если обменный курс валют этих стран равен E, он будет меняться в зависимости от относительного изменения роста цен р 1 и р 2 , а именно:

Если цены в стране 1 увеличились больше, чем в стране 2, то обменный курс возрастет, то есть валюта страны 1 обесценится. И наоборот, если цены в стране 2 увеличатся больше, чем в стране 1, валюта страны 1 подорожает по отношению к валюте страны 2.

* * *

ПАРИТЕТ ПОКУПАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТИ И СТОИМОСТЬ ВАЛЮТ

Чтобы ответить на вопрос, почему одни валюты стоят больше, чем другие, введем еще одно понятие: паритет покупательной способности одной валюты по отношению к другой. На один доллар можно приобрести определенный набор продуктов, однако за эквивалент одного доллара в другой валюте по текущему обменному курсу можно приобрести больше или меньше продуктов.

Подумайте, можно ли купить за 69 евроцентов тот же набор продуктов, что и за один доллар?

Или за 69 евро — в сто раз больше продуктов, чем количество, купленное за один доллар, то есть столько же, сколько можно купить за 100 долларов? Очевидно, что если доллар обесценивается на 10,4 % по отношению к евро, то чтобы купить набор продуктов стоимостью в один доллар, потребуется всего 62,5 евроцента, а не 69 евроцентов, как раньше.

Например, если мы покупаем фотоаппарат, который в США стоит 150 долларов при обменном курсе $1- €0,69, то его стоимость составит €0,69/$ 1∙$150 = 103,50 евро.

Если доллар обесценивается по отношению к евро на 10,4 % и обменный курс снижается до $1 = €0,625 (или €1 = $1,6), то в этом случае фотоаппарат станет для нас дешевле, если мы будем платить в евро: €0,625/$1∙$150 = 93,75 евро.

Может случиться так, что евро обесценится по отношению к доллару (или, что аналогично, доллар повысится в цене по отношению к евро), и его курс станет равным $1,25 за €1 ($1 = €0,80).

В этом случае фотоаппарат обойдется нам дороже, чем европейским покупателям: €0,80/$1∙$150 = 120 евро.

Поэтому когда страна обесценивает свою валюту по отношению к валюте другой страны, экспортируемые ею товары оказываются за границей дешевле, а товары, импортируемые этой страной, дорожают. В этом случае говорят, что покупательная способность валюты снижается.

* * *

С другой стороны, условия торговли определяются как отношение средних цен экспорта к средним ценам импорта, то есть:

Чем лучше условия торговли в стране, тем больше у нее преимуществ при международной торговле: хорошие условия торговли означают, что страна продает товары по высоким ценам, а взамен получает намного больше импортных товаров по более низким ценам. В международной торговле все страны стремятся получить сравнительное преимущество, то есть хотят экспортировать и импортировать определенные товары при благоприятных для себя условиях торговли.

Курсы различных валют являются следствием сделок, совершаемых на финансовых рынках и определяемых потребностями в международных платежах, которые испытывают различные учреждения: коммерческие и центральные банки, транснациональные корпорации, финансовые институты (инвестиционные фонды, пенсионные фонды, страховые компании и т. д.). Наибольшим спросом пользуются валюты, которые чаще всего применяются в международных расчетах. Как правило, это валюты стран с наиболее сильной экономикой.

Спрос на валюту также определяют базовые процентные ставки в странах с этой валютой, а также ожидания участников рынка относительно ее будущих котировок.

На курсы некоторых валют также влияют решения, принимаемые центральными банками государств для поддержания заниженного курса с целью стимулирования экспорта. Так, США, Китай и Япония поддерживают заниженные курсы своих валют по отношению к евро для стимулирования международной торговли.

Простые практические алгоритмы

Расскажем о простейших правилах арифметики в торговле, которые использовались начиная с эпохи Возрождения и до конца XX века. Первое из них — правило пропорции, позволяющее решать задачи, в которых две переменные прямо пропорциональны друг другу (с увеличением одной увеличивается и другая). Если, например, ростовщик зарабатывает три динара на займе в 50 динаров, сколько он заработает на займе в 120 динаров?

50 динаров ____ 3 динара

120 динаров ___ х динаров.

Как известно, эта задача решается так:

50/120 = 3/х

50х = 120-3

50х/50 = 120∙3/50

х = 120∙3/50 = 7,20 динара.

Правило пропорции.

Похожи на них задачи с обратной пропорциональностью. Два каменщика строят стену за 12 дней. Сколько дней понадобится на постройку стены пяти каменщикам?

2 человека ___ 12 дней

5 человек ____ х дней.

Задача решается следующим образом:

2/5 = х/12

2∙12 = 5х

5х/5 = 2∙12/5

х = 2∙12/5 = 4,80 дня = 4 дня 19 часов 12 минут.

Второй вариант использования правила пропорции.

Наконец, правило пропорции применимо и для решения более сложных задач: если 40 маляров, работая по 8 часов в день, красят 320 метров забора за 10 дней, то за сколько дней 55 маляров покрасят 440 метров такого же забора, если будут работать по 6 часов в день?

Задача решается следующим образом:

10/х = 55/40∙6/8∙320/440

х = 10∙440/320∙8/6∙40/55 = 13,3 дня = 13 дней 8 часов.

Определенная сумма

Греческая буква Σ (заглавная сигма) очень часто используется в математических формулах экономической теории и обозначает сумму слагаемых. Например, для обозначения суммы x1   + х 2 + х3   + х 4  можно использовать выражение Σ  4 i=1 x i

Знак Σ перед х i   означает, что нужно сложить все значения х. Числа, указанные под буквой Σ и над ней, обозначают границы суммы, то есть наибольшее и наименьшее значение индекса, которое используется при сложении.

Сумма Σ  6 k=3 x k означает х 3 + х 4 + х 5 + х 6 ,

Cумма Σ  n j=m x j означает х m + х m+1  … + х n-1 + х n .

Индексы могут принимать только целые значения, а нижний индекс может быть обозначен любой буквой.

Так, Σ  m i=1 x i  = Σ  m j=1 x j  = Σ  m k=1 x k

Член, следующий за буквой Σ, называется слагаемым. В выражении Σ  m k=1 x k слагаемыми являются х k .

* * *

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнение — это математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.

Уравнение обращается в верное равенство лишь при определенных значениях этих неизвестных. Неизвестная в уравнениях может быть возведена в квадрат или в куб.

Например, х + 12 = 25 — Зх — уравнение первой степени, 12 + х 2 — 6х = 3 — уравнение второй степени, 9 — Зх 2 — 6х 3 = -12 — уравнение третьей степени.

В XIII веке Леонардо Пизанский решал задачи, подобные следующей: у ювелира есть золото 975-й пробы и золото 750-й пробы, и он хочет получить слиток золота 900-й пробы весом в два килограмма.

Сколько золота каждой пробы потребуется для этого? Эта задача решается так:

х кг вес золота 975-й пробы

(2 — х ) кг вес золота 750-й пробы

х ∙0,975 + (2 — х )∙0,750 = 2∙0,900

х ∙0,975 + 2 0,750 — 0,750∙ х = 1,800

х ∙0,975 — 0,750 х = 1,800 — 2∙0,750

х ∙0,225 = 1,800 — 1,500

х ∙0,225 = 0,300

х = 0,300/0,225 = 4/3 = 1 1/3 кг золота 975-й пробы

(2 — х ) = 2 – 1 1/3 = 2/3 кг золота 750-й пробы.

Фибоначчи также сформулировал и решил задачи, описываемые уравнениями второй степени, подобные следующей: площадь прямоугольного поля равна 2400 м 2 Известно, что его длина на 20 м больше ширины. Вычислите размеры поля. Таким образом, произведение ширины ( х ) на длину ( х + 20) равно 2400 м 2 . Стандартное уравнение второй степени выглядит так: ах 2 + Ьх + с  = 0 . Значение неизвестной х можно вычислить по формуле:

В этом случае:

х ∙ (х + 20)  = 2400 ; х 2 + 20х = 2400 ; х2 + 20х — 2400  = 0 .

Таким образом, поле имеет размеры 40 х 60 м.

Неравенства похожи на уравнения, однако вместо знака равенства (-) содержат один из четырех возможных знаков неравенства:

<=  «меньше либо равно»

<  «меньше» (строго)

>=  «больше либо равно»

>  «больше» (строго).

Неравенству с одной переменной х — 7 > 13 удовлетворяют все числа, которые при уменьшении на 7 равняются 13 или более. Неравенства решаются по схожему алгоритму. Пример:

х — 7 >= 13; х — 7 + 7 >= 13 + 7; х >= 20.

Решением этого неравенства является множество всех чисел, больших или равных 20.

Иногда уравнения и неравенства ведут себя по-разному, как, например, в следующем случае.

Здесь для решения неравенства нужно сменить его знак на противоположный.

Это можно показать так: 7 < 13, однако, напротив, — 7 > — 13.

* * *

Сумма первых восьми нечетных чисел записывается следующим образом:

Σ n j=0 (1 + 2j) = (1 + 2∙0) + (1 + 2∙1) + (1 + 2∙2) + (1 + 2∙3) + (1 + 2∙4) + (1 + 2∙5) + (1 + 2∙6) + (1 + 2∙7) + (1+ 2∙8) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13 +15 + 17.

Сумма Σ 5 j=2  2j равняется 22 + 23 + 24 + 25 = 4 + 8 +16 + 32.

Сумма Σ 3l=1 (l+1)∙3l = 2∙З1 + 3∙З2 + 4∙33 = 6 + 27 + 108.

* * *

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Во многих областях современной математики переменная определяется как дискретное множество (это означает, что она может принимать только определенные значения, и между двумя соседними значениями не может находиться никакого другого). На языке математики это записывается так: { х 1 , х 2 , …, х n }. Между значениями х 1 и х 2 нет никакого другого значения переменной х .

Существуют и другие переменные, используемые намного чаще, которые определены на непрерывных множествах (это означает, что такие переменные могут принимать целые, дробные и иррациональные значения). Примером такой переменной является {0 <= t  <= #l.jpg_0 }. Очень часто для решения различных задач, связанных с функциями, определенными на непрерывных множествах, требуется выполнить операцию интегрирования  #_28.jpg , как, например, в случае с функцией вероятности или нормальным распределением вероятности. Когда речь идет о дискретных переменных, операцией, аналогичной интегрированию, является сложение.

Функция f(t) непрерывной переменной t , определенная на множестве { a <= t <=  b }.

Функция у(х) дискретной переменной х , определенная на множестве { х 1 , х 2 , х 3 , x 4 }.

Множество из четырех элементов можно обозначить буквами и цифрами, которые будут выступать в качестве индексов: х 1 , х 2 , х 3 , x 4 . Если мы хотим работать с множеством из n элементов ( n может изменяться в зависимости от задачи), они будут обозначаться { х 1 , х 2 …. х n-1 , x n }. Так, х n - 1 обозначает элемент, идущий перед х n , последним элементом множества. Произвольный элемент ряда (занимающий в нем i-е место) обозначается х i . Таким образом, например, цены четырех товаров можно обозначить p 1 , р 2 , р 3 и р 4 , а запрошенные объемы каждого товара — q 1 , q 2 , q 3 и q 4 .

* * *

Определенная сумма применяется при записи математических рядов, например биномиального ряда. Биномиальное распределение вероятности используется при анализе результатов опросов, когда на вопрос возможны лишь два ответа (например, «да» и «нет»). Вероятность их появления равняется р и q. А поскольку сумма их вероятностей равна р + q = 1, следовательно, q = 1 — р.

Чтобы узнать вероятность того, что будет получено три или менее ответа «да», нужно вычислить вероятности следующих событий: ни одного ответа «да», один ответ «да», два ответа «да» или три ответа «да», то есть Р (0 < k < 3) = Р (0) + Р (1) + Р (2) + Р (3). Эту же формулу можно записать так:

Функция, позволяющая вычислить вероятность того, что на п вопросов будет дано от 0 до k ответов «да», равна сумме вероятностей, последним слагаемым в которой будет Р(k). Эта же формула записывается в следующем виде:

В похожем виде записываются статистические функции, к примеру:

Эта же формула в виде ряда будет записываться так:

Аналогичный вид имеют статистические формулы:

Как измеряется инфляция. Виды индексов

Инфляция — это повышение цен на товары и услуги, при которой зарплаты или доходы потребителей не меняются и, таким образом, их покупательная способность снижается. Это означает, что на ту же сумму денег, что и раньше, можно купить меньше товаров. Чтобы измерить инфляцию, необходимо проанализировать изменения цен. Высокая инфляция негативно сказывается на экономике страны, так как уровень доходов потребителей и домохозяйств снижается, одновременно с этим ухудшается конкурентоспособность страны на мировом рынке. Следовательно, инфляцию необходимо контролировать. Стабильность цен — одна из необходимых характеристик здоровой экономики государства.

Колебания цен измеряются с помощью индексов. При расчете инфляции рассматриваются средние цены потребительской корзины товаров и услуг, в которой различным ценам присваиваются весовые коэффициенты. Выбранный год рассматривается в качестве исходного, и ему присваивается значение 100, на основе которого рассчитывается рост средневзвешенных цен в последующие годы.

Так, например, если в качестве базового выбран нулевой год с индексом 100, и в последующие годы зарегистрированы приведенные ниже показатели роста цен, индекс цен изменится так:

Расчет индекса цен.

Статистические организации государства разрабатывают различные индексы цен для разных продуктов. Самым известным является индекс потребительских цен, рассчитываемый на основе фиксированной корзины определенных продуктов и обязательных расходов потребителей (продукты питания, одежда, коммунальные услуги, образование, общественный транспорт ит.д.). Так же формируются индексы цен для других продуктов, например промышленных, сельскохозяйственных, строительных товаров, индекс цен на недвижимость и т. д.

Годовой уровень инфляции (в %) рассчитывается по следующей формуле:

Существует множество теорий, объясняющих рост цен. Некоторые из них записаны на языке алгебры, как, например, количественная теория денег Ирвинга Фишера. Согласно этой теории уровень цен (Р) в стране зависит от общего объема всех товаров и услуг (Q), количества денег в обращении (М) и скорости обращения денежной массы (V), показывающей, сколько раз деньги переходят из рук в руки:

Р∙Q = М∙V.

* * *

ИНДЕКСЫ ЦЕН

Для количественной оценки изменения цен, объемов производства или стоимости за определенный период времени используется огромное количество различных индексов. Если мы хотим рассчитать глобальные индикаторы изменения цен или объемов производства в стране, нужно рассмотреть соответствующие временные ряды. Цены сравниваются с ценами определенного года, выбранного в качестве базового. Индексы производства рассчитываются при неизменном уровне цен, индексы цен — при неизменных объемах производства.

Наиболее популярные индексы производства и цен — это индексы Ласпейреса ( Q L , P L ), Пааше ( Q p , P р ) и Фишера ( Q F , P F ).

где  Р — цена, Q — объем производства, Σp 0 q t , обозначает общую стоимость всей продукции, выпущенной за год t при неизменных ценах р 0 года 0, а Σp 0 q 0 стоимость всей продукции, произведенной в стране за год 0. Аналогично рассчитываются индексы при неизменных ценах.

Индекс Фишера является средним геометрическим индексов Ласпейреса и Пааше.

* * *

Американский экономист Ирвинг Фишер (1867–1947) совершил множество открытий в области экономической теории, в частности описал уравнения количественной теории денег.

Если выразить из этого равенства переменную Р, получим новое уравнение: Р = М∙V/Q. Из него нетрудно понять, что цены возрастают с ростом М (денежной массы на руках у населения) при условии, что остальные две переменные, V и Q, остаются неизменными, либо если возрастает V — скорость обращения денег. Цены снижаются, когда уменьшается денежная масса или скорость обращения денег. Изменение цен обратно пропорционально изменению количества товаров и услуг: если предложение растет, а объем денежной массы и скорость обращения денег остаются неизменными, цены снижаются, если объем производства падает, цены растут.

Существуют другие теории и математические модели, объясняющие инфляцию, например кривая Филлипса. Олбан Филлипс связывал уровень инфляции с уровнем безработицы: он проанализировал статистические данные Великобритании и представил их на графике, на оси ординат которого откладывался уровень инфляции, на оси абсцисс — уровень безработицы. Кривая Филлипса является нисходящей и по своему поведению напоминает кривую спроса: при росте цен уровень спроса снижается. В итоге Филлипс получил обратную зависимость между уровнем безработицы и инфляцией, основной причиной которой являлся рост зарплат. Иными словами, с ростом инфляции уровень безработицы снижается и, напротив, политика сдерживания цен приводит к росту безработицы.

Кривая Филлипса .

Рост цен может быть вызван разными причинами: например, избыточным повышением спроса при неизменном уровне производства (предложения) — этот процесс известен как инфляция спроса. Причиной инфляции также могут стать рост зарплат как следствие снижения безработицы и увеличение цен на сырье. Цены растут, однако уровень безработицы остается неизменным, а в условиях экономического роста цены повышаются еще быстрее. В XX веке наблюдался неизменный рост цен, в том числе и во время рецессии. В периоды рецессии может возникать инфляция издержек, иными словами, цены увеличиваются несмотря на одновременный рост безработицы.

В условиях сильной экономической рецессии могут складываться ситуации, когда цены снижаются. В этом случае идет речь о дефляции — отрицательной инфляции.

Дефляция возникает, когда из-за снижения объема выданных кредитов сокращается денежная масса, безработица растет и в то же время наблюдается перепроизводство, в итоге компании вынуждены снижать цены, чтобы распродать излишки.

Еще одним предельным случаем является гиперинфляция, возникающая, когда власти страны выпускают в обращение большие массы денег (иными словами, включают печатный станок на полную мощность), чтобы покрыть расходы или стимулировать потребительский спрос, при этом структура производства в стране не меняется, а уровень производства находится на прежнем уровне или даже снижается. Гиперинфляция обычно выражается трехзначными числами и более и порой превышает 1000 %. Высокая инфляция, достигающая нескольких сотен процентов в год, называется галопирующей.

В периоды экономической рецессии, как, например, во время экономического спада в начале 1970-х, вызванного нефтяным кризисом, отмечается значительный рост цен вкупе с ростом безработицы. Такая ситуация называется стагфляцией.

В 1920-е годы, когда Германия страдала от гиперинфляции, не знавшей аналогов в истории, на смену банкнотам в тысячу марок пришли банкноты в миллиард марок.

Процентная ставка: стоимость денег

Номинальная стоимость денег, по сути, всегда неизменна: один доллар — это один доллар, один евро — это один евро, один фунт стерлингов — это один фунт стерлингов. Эта неизменность позволяет использовать деньги как единицу расчета стоимости товаров, услуг, недвижимости, земли, а также общепринятое средство платежа, имеющее конкретную физическую форму — металлических монет, банковских билетов и т. д. Однако стоимость товаров и услуг меняется и с течением времени за одну и ту же сумму денег — в случае если цены растут — можно купить все меньше товаров. Это означает, что покупательная способность денег снижается, или, другими словами, для приобретения прежнего количества товаров нужно больше денег.

Стоимость денег меняется в зависимости от того, сколько товаров можно на них купить. Во время инфляции стоимость денег снижается, при снижении цен (дефляции) происходит обратный процесс. Однако деньги обладают еще одним неотъемлемым качеством — ликвидностью, то есть возможностью использования в качестве средства платежа. Когда кому-либо не нужны ликвидные деньги, он может дать их взаймы третьему лицу, которому они необходимы для приобретения каких-либо товаров. Взамен третье лицо возвращает долг в размере, превышающем полученную сумму. Эта дополнительная сумма, которую готов платить должник за предоставленный займ, называется процентной ставкой. Таким образом, процентная ставка — это цена денег.

Процентная ставка определяется как количество процентов от заемного капитала, которые должны быть уплачены за пользование им. Так, если мы получили займ в 1000 евро на три года с процентной ставкой 5 % годовых, каждый год мы будем должны заплатить 50 евро процентов. К концу срока займа, когда мы вернем его полностью, мы заплатим всего 1150 евро.

Представим ситуацию: потребителю нужна определенная сумма денег для покупки товара, предпринимателю — для покупки оборудования, при этом ни у того, ни у другого недостаточно денег для удовлетворения своих потребностей. Они обращаются в банк и, получив нужную сумму, обязуются вернуть ее в указанный срок и заплатить определенную цену за возможность использовать эти деньги. Цена, которую они заплатят за деньги, полученные взаймы, называется процентной ставкой. С другой стороны, некий человек, у которого есть лишние деньги, согласен снизить их ликвидность и поместить их на банковский вклад за определенный процент от этой суммы. Следовательно, деньги имеют свою цену не только для заемщиков, которым нужно вернуть займы с процентами, но и для банка, которому, чтобы привлечь деньги клиентов, необходимо заплатить им.

Процентная ставка также является ценой, уплачиваемой за определенные финансовые активы. Так, если власти страны, стремясь привлечь средства населения, выпускают государственные облигации, казначейские векселя и другие ценные бумаги, то, помимо срока погашения, на них указывается и определенная процентная ставка. Например, государство может выпустить облигации под 3,5 % либо краткосрочные векселя на срок 3 или 6 месяцев под 1 % и 1,5 % соответственно. Частные компании также могут выпускать ценные бумаги с фиксированным доходом (например, облигации) с определенной процентной ставкой. Таким образом компании получают необходимые средства на рынке капитала, однако взамен им нужно будет уплатить определенную процентную ставку.

Процентные ставки центральных банков:  EURIBOR , ставка  ФРС и другие

Центральные банки разных стран устанавливают базовую (официальную) процентную ставку для контроля инфляции и денежной массы в обращении. Если процентная ставка снижается, количество денежной массы в обращении увеличивается, так как кредиты становятся дешевле. Чем больше денег находится в обращении, тем больше ликвидных платежных средств на руках у потребителей, в итоге растет спрос и, как следствие, цены. И наоборот, если экономический рост слишком высок и инфляция растет, центральные банки (Федеральная резервная система, Европейский центральный банк и другие) стремятся поднять процентные ставки, чтобы замедлить потребление и рост цен.

Базовые процентные ставки в разных странах и денежных зонах отличаются.

Так, в январе 2010 года процентная ставка, установленная Федеральной резервной системой США, находилась на уровне 0,25 %, ставка Европейского центрального банка — 1 %, ставка Банка Англии составляла 0,50 %, ставка Банка Японии — 0,10 %, Банка Канады — 0, 25 %, Резервного банка Австралии — 3,75 %, Национального банка Швейцарии — 0,25 % и т. д. Официальная базовая процентная ставка используется в качестве отправной точки при определении ставок межбанковских кредитов, то есть процентной ставки, под которую банки дают займы друг другу.

Официальные базовые процентные ставки (на январь 2010 года).

Эти межбанковские процентные ставки, как правило, немного выше, чем базовые процентные ставки. Так, EURIBOR — это межбанковская процентная ставка в еврозоне. Она рассчитывается на основе межбанковских ставок, используемых при сделках на открытом рынке ведущими европейскими банками, и является основой при расчете процентов по большинству кредитов. Выдавая любой потребительский или ипотечный кредит, банки обычно используют EURIBOR (или межбанковскую ставку Банка Англии или ФРС, если речь идет об Англии или США соответственно) в качестве базисной процентной ставки и увеличивают ее на несколько пунктов.

Колебания ставки EURIBOR в 2005–2010 годах.

По сути, для каждой кредитной операции существует отдельная ставка EURIBOR в зависимости от срока выдачи кредита: 1 месяц, 3 месяца, 6 месяцев, 12 месяцев и т. д. Межбанковские процентные ставки ФРС, Банка Англии и Банка Японии для займов сроком в 1 день, 3 месяца или 1 год также отличаются. Расчет EURIBOR выполняется ежедневно до И утра на основе ставок, используемых 64 основными европейскими банками, по следующей схеме: крайние значения (15 % самых высоких и 15 % самых низких ставок) отбрасываются, после чего рассчитывается среднее арифметическое. Дневная межбанковская ставка EONIA рассчитывается Европейским центральным банком на основе дневных межбанковских ставок, используемых 48 европейскими банками.

 

Глава 3. Банки и страхование. Кредиты и виды процентов

Математика в банковской сфере имеет наибольшее значение при расчете ставок по кредитам и ипотеке. Как вы увидите далее, при принятии финансовых решений очень важно использовать функции и прогрессии.

Простые и сложные проценты

Сначала дадим определение некоторым основным понятиям: капиталу, процентам с капитала и процентной ставке. В экономике капитал является фактором производства: капитал — это совокупность инвестиций владельца предприятия в оборудование (капиталовложения) или производство. В финансовой сфере капитал ассоциируется с суммой денег, размещаемых на банковском вкладе и предназначенных для приобретения облигаций, ценных бумаг с переменной доходностью и прочих финансовых активов. Также капитал — это деньги, выдаваемые третьим лицам в качестве займов за определенную плату (взимаемую ежедневно, ежемесячно, ежегодно и т. д.), называемую процентной ставкой.

Так, когда мы запрашиваем у банка кредит на некую сумму С0   сроком, например, на три года (n = 3) под 6 % годовых (номинальная процентная ставка i = 6 %), по прошествии трех лет мы должны будем вернуть взятую в кредит сумму плюс три раза по 6 % капитала — сумму процентов, рассчитанных по используемой процентной ставке. Например, если C 0   = 1000, срок кредита n = 3 года, процентная ставка i = 6 %, то по прошествии трех лет мы должны будем вернуть банку 1000 денежных единиц плюс 3∙(6/100)∙1000 = 180 — капитал плюс проценты в размере 60 денежных единиц в год (общая сумма к уплате — 1180 единиц).

Если каждый год необходимо возвращать одну и ту же сумму процентов, то говорят, что используются простые проценты, а итоговая сумма С n , которую требуется вернуть к концу срока кредита, состоит из начального заемного капитала и процентов и равняется:

с n  = С 0 + n∙i∙С 0  = С 0 ∙(1 + n∙i).

Это формула простых процентов, где C 0   — заемный капитал, i — процентная ставка (выраженная в виде десятичной дроби); n — число периодов, в течение которых применяется процентная ставка; Сn — общий капитал плюс проценты к уплате; n∙i∙C 0 — общая сумма процентов, которые должны быть уплачены за весь срок кредита.

Когда клиент банка открывает вклад на определенный срок, требуется решить обратную задачу. В этом случае банк должен вернуть клиенту вложенную сумму с процентами, начисляемыми, например, в конце каждого года. Банк перечисляет проценты на текущий счет клиента в сроки, указанные в банковском договоре. Проценты могут начисляться раз в год, раз в полгода, раз в квартал или раз в месяц.

В договоре может указываться годовая процентная ставка, а проценты при этом выплачиваются, например, раз в год, квартал или месяц. В этом случае на счет клиента будет поступать полная сумма процентов за год либо разделенная на 4 или на 12 в зависимости от периодичности начисления процентов. В договоре может использоваться месячная или квартальная процентная ставка. В этом случае для расчетов процентов применяется формула, приведенная выше, однако период времени n выражается в месяцах или кварталах соответственно.

Иногда клиент хочет прибавить полученные проценты к вкладу, чтобы на них также начислялись проценты. В этом случае речь идет о так называемых сложных процентах. Рассмотрим предыдущий пример снова, несколько его изменив. В конце первого года клиент помещает на счет вклада итоговую сумму в 1060 денежных единиц. В конце второго года его капитал будет равен 1123,60, так как, помимо 120 денежных единиц, выплаченных в качестве процентов, также будут выплачены 6 % от 60 единиц, вложенных по итогам первого года, то есть дополнительно 3,6 денежной единицы. В конце третьего года итоговый капитал составит 1191,02, то есть рентабельность вложений за весь срок вклада составит 19,10 % — на 1,1 пункта больше, чем если бы использовались простые проценты.

Процентная ставка по кредиту, или доходность капитала, может быть месячной, квартальной или годовой. Следовательно, если номинальная годовая процентная ставка составляет 12 %, но на сумму кредита ежемесячно начисляется 1 %, и эта сумма добавляется к телу кредита, то итоговая сумма будет отличаться. Поэтому определяется эквивалентная годовая процентная ставка. Эквивалентная годовая процентная ставка по кредиту с годовой процентной ставкой i, проценты по которому начисляются n раз в год (например, ежемесячно), рассчитывается так:

* * *

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Общая формула для расчета сложных процентов за n лет, начисляемых по вкладу или по кредиту с начальной суммой С 0 , выводится так: в первый год ( n = 1) начисляется сумма процентов, равная С 0 ∙ i . Во второй год ( n = 2) эта сумма процентов прибавляется к начальному капиталу: С 1  = С 0 +  С 0 ∙ i = С 0 ∙(1 +  i ), и так происходит до последнего года.

n  =  0 ; С 0 ,

n  = 1 ; С 1 = С 0 + С 0 ∙ i = С 0 ∙ (1 + i) ,

n = 2 ; С 2 = С 1 + С 1 ∙ i = С 0 ∙ (1 + i) + С 0 ∙ (1 + i) ∙ i = С 0 ∙ (1 + i) ∙ (1 + i) = С 0 ∙ (1 + i) 2 ,

n = 3 ; С 3 = С 2 + С 2 ∙ i = С 0 ∙ (1 + i) 2 + С 0 ∙ (1 + i) 2 ∙ i = С 0 ∙ (1 + i) 2 ∙ (1 + i) = С 0 ∙ (1 + i) 3

……

n = n ; С n = С 0 ∙ (1 +  i) n .

Таким образом, общая формула сложных процентов записывается так: С n = С 0 ∙ (1 +  i) n . Из этой формулы, в свою очередь, можно определить значение процентной ставки i  или число периодов n при известных остальных значениях переменной:

С другой стороны, если в формуле С n = С 0 ∙ (1 +  i) n перейти к логарифмам, получим:

Эти формулы используются как для расчета будущей стоимости капитала, вложенного под определенные проценты, так и для расчета годовой суммы процентов, полученной на вложенный капитал, а также для определения числа лет или периодов времени, по прошествии которых мы получим заданную сумму.

* * *

Если i = 12 % годовых, но проценты начисляются ежемесячно (n = 12), эквивалентная процентная ставка будет равняться

где i = 12 % годовых, n = 12 месяцев.

Если бы проценты начислялись раз в квартал, то эквивалентная процентная ставка равнялась бы

где i = 12 % годовых, n = 4 квартала.

Реальная процентная ставка изменяется под влиянием инфляции. Так, если мы вложим средства в государственные облигации под 5 %, а инфляция составит 3 %, реальная процентная ставка, характеризующая реальный прирост покупательной способности денег, будет определяться как разность между номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции.

Реальная процентная ставка = Номинальная процентная ставка — Уровень инфляции.

Сколько времени должно пройти, чтобы вложенный капитал удвоился

Формула сложных процентов очень проста в использовании. Покажем, как можно вычислить конечную стоимость денег при известных процентной ставке и периоде времени. Например, если мы вложим первоначальный капитал C0   = 10 000 евро на три года под 5 % годовых, каким будет конечный капитал С 3 ?

C 0 = 10000 евро; i = 5 % (0,05), n = 3 года.

Применив формулу С 3 = С 0 ∙(1 + i)3 получим:

С 3 = 10000∙(1 + 0,05)3  = 10000∙1,157625 = 11576,25 евро.

Однако расчет сложных процентов становится труднее, если другие члены этого уравнения неизвестны. Так, перед инвестором может встать вопрос: на какой срок нужно вложить капитал под определенный процент, чтобы вложенный капитал удвоился или чтобы получить определенную сумму?

Рассмотрим простой пример: допустим, мы хотим определить, за какой период времени вложенный капитал в 10000 евро удвоится, если процентная ставка находится на уровне i = 5 %. Зная начальный капитал С 0 = 10000 евро, конечный капитал С n = 20000 евро и процентную ставку i = 5 %, применим формулу

и получим следующий результат:

Логарифмы легко вычислить с помощью инженерного калькулятора, программы наподобие Excel или на интернет-сайтах (для этого введите в строку поиска log х).

* * *

СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ Я ПЛАЧУ НА САМОМ ДЕЛЕ?

Этим вопросом может задаться, например, покупатель автомобиля, выплачивающий автокредит.

Продавец говорит, что цена автомобиля — 10000 евро, которые нужно выплатить за пять лет, таким образом, общая сумма к уплате, включая проценты, составит 15000 евро. Покупатель хочет узнать, какова процентная ставка по этому кредиту.

Зная число лет n  = 5, начальный капитал С 0  = 10000 евро и конечный капитал С n   = 15000 евро, процентную ставку i можно вычислить по формуле

Подставив в эту формулу исходные значения, получим процентную ставку

* * *

Кредиты и ипотека. Как рассчитываются взносы по кредитам.

Процентные ставки по кредитам

Как правило, потребители или предприниматели, которые не располагают достаточными средствами для приобретения товаров длительного пользования, промышленного или торгового оборудования, обращаются в банк за кредитом. При покупке недвижимости кредит выдается под залог приобретенного имущества, такой кредит называется ипотечным. Это означает, что если заемщик не сможет выполнить обязательства по кредиту, приобретенная им недвижимость перейдет в собственность банка.

Погашение обычных и ипотечных кредитов осуществляется периодическими платежами (раз в месяц, квартал, полугодие, год и т. д.), в этих платежах часть суммы идет на уплату процентов, а остаток — на погашение основного долга.

Большинство потребительских и ипотечных кредитов выплачиваются фиксированными платежами, то есть их размер остается неизменным. Платежи могут осуществляться в начале или в конце периода (как правило — в конце периода), при этом выплачиваемая сумма процентов и основного долга будет отличаться.

Однако существуют и другие способы погашения кредитов: в некоторые периоды могут выплачиваться только проценты, сумма платежа может изменяться, при этом в каждом периоде будет выплачиваться фиксированная сумма в счет основного долга плюс проценты по кредиту. Такие платежи называются дифференцированными. Их величина меняется: они включают фиксированную сумму в счет уплаты основного долга и переменную сумму процентов, начисленных на остаток долга по кредиту.

Чаще используются так называемые аннуитетные платежи. Размер аннуитетных платежей (как правило, выплачиваемых в конце расчетного периода) фиксирован. Часть аннуитетного платежа идет в уплату процентов, часть — в уплату основного долга по кредиту. В первые годы большую часть аннуитетных платежей составляют проценты и лишь малая часть идет в уплату долга по кредиту. С течением времени доля выплачиваемых процентов в каждом платеже уменьшается, а доля, идущая в уплату основного долга, возрастает. Чтобы рассчитать размер аннуитетного платежа по кредиту в размере С 0 с процентной ставкой i, выданному на n расчетных периодов (лет), нужно использовать формулу суммы геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число начиная со второго получается из предыдущего умножением его на определенное число r, которое называется знаменателем прогрессии. Так, последовательность чисел а 1 , а 2 , а 3 , а 4 …, а n-1 , а n (индекс обозначает порядковый номер: первый член последовательности обозначается цифрой 1, последний — n) является геометрической прогрессией тогда, когда для данного знаменателя r выполняется соотношение: а 2 = а 1 ∙r, а 3   = а 2 ∙r, …, а n = а n-1 ∙r, так, что r = а n /а n-1 . Выразив члены геометрической прогрессии через ау получим:

a 1 = a 1

a 2 = a 1 ∙r

a 3 = a 1 ∙r 2

……

a n = a 1 ∙r n-1

Сумма этой геометрической прогрессии S n равна:

S = а 1 + а 2 + а3   + … + а n-1 + аn    (1)

Если умножить обе части равенства (1) на знаменатель r, получим:

r∙S n = r∙(а 1 + а 2 + а3   + … + а n-1 + аn ) = r∙а 1 + r∙а2 + r∙а 3  + … + r∙а n-1 + r∙а n

r∙S n = а 2   + а 3 + … + а n + r∙аn  (2)

(если мы умножим данный член прогрессии а i   на знаменатель r, получим следующий член, а i+1 , так как а i+1 = r∙а i ).

Вычтя из равенства (2) равенство (1), то есть r∙S n — S n , получим:

r∙S n — S n = — а 1 + r∙а n ; S n ∙(r — 1) = r∙a n — a 1 ,

откуда

(3)

Это формула суммы геометрической прогрессии. Учитывая, что а n = a 1 ∙r n-1 и подставив это равенство в (3), имеем:

Вот еще одна форма записи суммы геометрической прогрессии:

(4)

Для кредита с аннуитетным платежом а сроком n лет и процентной ставкой i будущая стоимость капитала С n , выплаченная в виде суммы платежей а за n расчетных периодов, будет равна:

С n  = a∙(1 + i) 0 + a∙(1 + i)1 +… + a∙(1 + i) n-2 + a∙(1 + i) n-1 = a + a∙(1 + i) 1 + … + a∙(1 + i) n-2 + a∙(1 + i) n-1

Результат является суммой геометрической прогрессии, первый член которой равен а, знаменатель — (1 + i).

Применив формулу (4) суммы геометрической прогрессии, получим

(5)

Учитывая, что С n = C 0 ∙(1 + i) n , и подставив это значение в (3), имеем:

Перенеся переменную а, обозначающую сумму аннуитетного платежа, в левую часть, получим формулу для расчета суммы аннуитетного платежа по кредиту:

(6)

где С 0  — сумма кредита.

* * *

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Геометрическая прогрессия — одна из простейших последовательностей, то есть это упорядоченное множество чисел, значение определенного члена которого можно вычислить с помощью математической формулы с переменной, указывающей место этого члена в последовательности.

Указанная формула задает общий член последовательности. Как правило, это функция а n = f(n) , где n — порядковый номер члена последовательности.

Существуют другие последовательности, члены которых можно вычислить с помощью формулы, в которой фигурируют один или несколько предшествующих членов: например, последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 в которой каждый член является суммой двух предыду щих, или последовательность, общий член которой выражается формулой а n = n  + а n-1 ; a 1 = 3 (членами этой последовательности являются 3, 5, 8, 12, 17, 23…).

В каждой последовательности необходимо указывать значение начального члена (или членов) и их количество (если последовательность является ограниченной). Если последовательность содержит бесконечное число членов, ее можно продолжать сколь угодно долго, вычисляя значения новых членов по формуле общего члена. Существуют возрастающие последовательности (значения их членов последовательно увеличиваются) и убывающие (значения их членов последовательно уменьшаются), которые могут быть ограниченными или неограниченными.

Последовательности широко используются в финансовой математике. Например, последовательность, члены которой обозначают сумму простых процентов, которые должны быть уплачены ежегодно при начальном капитале, равном 1, и процентной ставке, равной 20 %, выглядит так: 1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0; 2,2;… Это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой a n = 1 + 0,2 ∙ n .

Последовательность, члены которой обозначают сумму сложных процентов, которые должны быть уплачены ежегодно при начальном капитале, равном 1, и процентной ставке, равной 20 %, выглядит так: 1; 1,2 2 ; 1,2 3 ; 1,2 4 ;… Это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой а n = (1 +  0,2) n .

Последовательность 21, 23, 25, 27, 29, 31, … - это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой а n   = 21  +  2(n —  1) ; a 1  = 21.

Последовательность 1, 5, 25, 125, 625, 3125, … - это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой a n   = 5 n-1 ; а 1 = 1.

Последовательность 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9… - это неограниченная убывающая последовательность, общий член которой может быть найден по формуле а n = 1 /( 2n — 1) ; a 1 = 1

Наконец, 1, 1/7, 1/49, 1/343, 1/2401, неограниченная убывающая последовательность, общий член которой выражается формулой а n = 1 / (7 n-1 ); а 1 = 1.

Расчет ипотечных кредитов. Как снизить размер долга

Когда мы запрашиваем кредит, то подписываем договор, в котором закрепляются условия кредитования: сумма и периодичность платежей, вид процентов, эквивалентная процентная ставка (в случаях когда срок кредита составляет меньше года), а также действия, предпринимаемые в случае невыполнения одной из сторон своих обязательств.

Если платежи осуществляются в конце расчетного периода, величину фиксированного платежа следует рассчитывать по формуле, которую мы вывели в предыдущем разделе. Часть фиксированного платежа идет в уплату процентов, остаток — в уплату основного долга. В конце каждого периода сумма основного долга к уплате уменьшается, следовательно, уменьшается и сумма процентов к уплате, а часть платежа, направленная в уплату основного долга, последовательно увеличивается.

На основе этих данных составляется график выплат по кредиту, который позволяет в любой момент времени определить, какая часть основного долга выплачена, а какая — подлежит уплате. Далее в качестве примера приведен график платежей по кредиту суммой 10 000 евро под 5 % годовых сроком на пять лет. В этих условиях рассчитывается сумма годового платежа, составляющая 2309,75 евро.

Эта величина получена по формуле (6):

График платежей по кредиту 1.

Как вы можете видеть, с течением времени и по мере внесения платежей сумма основного долга, подлежащего уплате, уменьшается. Как следствие, уменьшается и сумма процентов, а доля платежа, идущая в уплату основного долга, растет.

Может случиться так, что человеку или семье нужно выплачивать сразу несколько кредитов. Например, если человек, взявший кредит, описанный в предыдущем примере, возьмет второй кредит на сумму 30000 евро со сроком погашения 10 лет под 8 % годовых, платеж по которому составляет 4470,88 евро, общая сумма платежей будет составлять 6780,63 евро.