Существует два экономических мира: сфера производства товаров и услуг, измеряющихся с помощью денег — этот сектор можно назвать реальным сектором экономики, и совершенно иная сфера, в которой обращаются только деньги — этот сектор называется финансовым сектором экономики. К последнему относятся финансовые рынки, которые различаются в зависимости от торгуемых на них ценных бумаг: валютные рынки, денежные (межбанковские) рынки, рынки производных финансовых инструментов и т. д. Сюда же относятся биржи ценных бумаг (или рынки капитала), где продаются и покупаются финансовые активы, то есть акции, облигации и т. д.

Биржи и рынки ценных бумаг

Биржи образуют организованный рынок с утвержденными правилами, и стать его участниками могут не все компании. Традиционно сделки совершались так: собравшись вместе в оговоренный час, участники рынка (биржевые агенты) совершали операции со всеми видами ценных бумаг. Там же брокеры заключали договоры с покупателями и продавцами ценных бумаг, те передавали брокерам указания относительно покупки и продажи, и все сделки заключались на словах.

В зависимости от полученных указаний сделки заключались на аукционах: брокер выкрикивал число продаваемых акций и начальную цену, а другой брокер, получивший от клиента указание покупать, выкрикивал количество акций и цену, которую он был готов заплатить. Если цены покупки и продажи совпадали, заключалась сделка (вновь на словах), и таким образом формировался курс (стоимость) акций. Финальные котировки обычно отличались от исходной стоимости акций: если на продажу было выставлено больше ценных бумаг, чем покупатели были готовы приобрести, курс акций снижался, и напротив, если покупатели были готовы купить больше акций, чем предлагали продавцы, котировки росли.

Две фотографии Нью-Йоркской биржи: на фотографии вверху — биржа в эпоху, когда все сделки заключались на словах, на фотографии внизу — современная биржа, где правят компьютеры.

В настоящее время все рынки ценных бумаг представляют собой единое целое: участники рынка и посредники (брокеры) в реальном времени подключены к биржам с помощью электронных средств связи.

Виды рынков ценных бумаг в разных странах отличаются, так как каждая биржа имеет особую организацию и собственные правила проведения торгов. Первичным рынком ценных бумаг называется рынок, где происходит первичное размещение акций (ценных бумаг с переменным доходом) и облигаций (ценных бумаг с фиксированным доходом). Вторичным рынком называется рынок, где торгуются уже выпущенные ценные бумаги — их покупают и перепродают инвесторы.

На финансовых рынках торгуется множество разных ценных бумаг. Помимо ценных бумаг с переменным доходом (акций) и частных и государственных ценных бумаг с фиксированным доходом (облигаций, векселей, казначейских векселей и т. д.), существуют и другие финансовые инструменты: варранты, инвестиционные паи, опционы, фьючерсы и т. д. Финансовые инструменты выставляются на рынке по номинальной цене, после чего их котировки изменяются в зависимости от ситуации на рынке.

Опционы — это ценные бумаги, дающие право на приобретение определенного количества акций по определенной цене в течение указанного промежутка времени.

Выделяют опционы на покупку (call-опционы), дающие право приобрести в будущем определенную ценную бумагу, и опционы на продажу (put-опционы), которые дают право продать определенную ценную бумагу в указанный период времени. Европейские опционы могут быть погашены только в указанную дату, а американские — в любой день до истечения указанного срока.

Для оценки изменений котировок используются биржевые индексы. Они составляются на основе изменений курсов ценных бумаг по основанию 100 (иногда в качестве основания выбирается 1000 или другое число). Так, для ценной бумаги V i, ее стоимость P i V i в момент времени t сравнивается с котировкой в момент времени 0, P 0 V i, и рассчитывается изменение курса относительно момента времени 0 с помощью индекса I it , в котором моменту времени 0 соответствует базисное значение 100:

Индекс ценной бумаги V i в момент времени t: = (P t V i / P 0 V i )∙ 100

Так рассчитывается индекс одной ценной бумаги. Для нескольких ценных бумаг можно вычислить простое среднее значение цен в момент времени t и сопоставить его со средним значением цен в момент 0, которое будет служить базовым значением индекса. Однако чаще вычисляются средневзвешенные значения, то есть индекс каждой ценной бумаги умножается на ее относительный вес на множестве ценных бумаг, для которых рассчитывается индекс. При определении весов используются различные критерии, например рыночная капитализация (рыночная стоимость всех акций компании в момент их выпуска на биржу) или объем биржевых торгов.

В этом случае общий индекс для n ценных бумаг будет рассчитываться как взвешенная сумма индексов для каждой ценной бумаги, при этом вес каждой ценной бумаги i будет равен М:

Общий индекс = I = Σ n i=1 I i ∙M i

Для расчета биржевых индексов используются индексы различных типов. Чаще всего применяется индекс Ласпейреса, однако на некоторых биржах применяются индексы Пааше и индексы Фишера. Простые средние значения практически не используются. На каждой бирже формируются собственные индексы, рассчитываемые по разным формулам. Так, в США рассчитываются индексы Доу-Джонса и Nasdaq, в Токио — Nikkei, на Франкфуртской фондовой бирже — DAX, на Парижской фондовой бирже — САС 40, в Риме — MIB 30, в Брюсселе — BEL 20, в Мадриде — Ibex 35, в Лондоне — Financial Times-SE 100 и т. д. Индексы рассчитываются на основе изменений котировок акций, при этом веса индексов на разных биржах определяются в зависимости от величины рыночной капитализации или объема биржевых торгов.

Когда курс ценных бумаг, используемый при расчете, изменяется ввиду выплаты дивидендов или подписки на акции, то соответствующий индекс корректируется.

Так, если на курс ценной бумаги V i  влияет выплата дивидендов d, то сумма дивидендов вычитается из курса акции V i , и скорректированный индекс будет рассчитываться по формуле

Скорректированный индекс V i в момент времени t: I it = ((P t V i - d)/P 0 V i ) ∙ 100

Существует множество ценных бумаг: ценные бумаги, выпущенные частными компаниями (акции, облигации, инвестиционные паи, векселя) или государством (государственные облигации, казначейские облигации и т. д.), имеющие фиксированный (с фиксированной процентной ставкой) или переменный доход (в этом случае по ценным бумагам выплачиваются дивиденды, зависящие от прибыли компании и решений руководства о выплате дивидендов), варранты и т. д.

Операции, которые могут выполняться с ценными бумагами на бирже, также очень отличаются. Это могут быть наличные сделки (выполняются в тот же день), кредитные сделки (как покупки в кредит на заемные средства, так и продажи в кредит), форвардные сделки (заключаемые в указанный срок) или сделки с опционами, когда покупатель или продавец обязуется купить или продать определенные активы на определенных выгодных условиях (с премией).

Активы, право на покупку или продажу которых дает опцион, называются базовыми. В качестве базового актива могут выступать биржевые индексы, акции, товары (золото, нефть, сырье), процентные ставки, валюты и прочее. Сделки с блокирующими пакетами акций выполняются за пределами рынка: покупатель и продавец договариваются о продаже определенного числа ценных бумаг по указанной цене, которая необязательно совпадает с текущим курсом. В таких случаях обычно количество ценных бумаг слишком велико, чтобы заключать сделку на рынке, поскольку она вызовет значительные изменения котировок этой ценной бумаги.

Также существуют фьючерсные сделки — в этом случае стороны обязуются купить или продать определенные финансовые активы в оговоренную дату в будущем.

Фьючерсы отличаются от опционов тем, что опционы не накладывают обязательств на покупку или продажу актива в указанный срок — эти действия осуществляются добровольно в течение всего периода действия контракта. При заключении же фьючерсной сделки одна из сторон берет на себя обязательство купить или продать указанный актив в установленный срок. Цель фьючерсных сделок — застраховаться от падения рынка, установив цену базового актива на определенном уровне. В этом случае продавец потеряет деньги, если котировка базового актива начнет расти.

Интерес покупателя при фьючерсной сделке — зафиксировать цену актива на растущем рынке, чтобы в будущем получить право на приобретение актива по более низкой цене, чем рыночная. Если цена растет, то прибыль продавца, подписавшего фьючерсный контракт, снизится, а покупатель останется в выигрыше, так как приобретет базовый актив по цене ниже рыночной.

Другими типами биржевых операций являются поглощение и первичное публичное размещение (IPO). Поглощение заключается в том, что одна компания предлагает другой приобрести ее акции по цене выше рыночной на очень выгодных для покупателя условиях, чтобы получить контроль над этой компанией. Первичное публичное размещение — это первая публичная продажа акций компании неограниченному кругу лиц на рынке.

В настоящее время торги на всех биржах выполняются в электронном виде.

На биржах существуют информационные инструменты для ведения торгов, действуют клиринговые палаты, используются компьютерные программы, упрощающие работу брокеров и других участников рынка. Работу бирж организуют специальные служащие, которые контролируют оплату совершенных операций и сами эти операции. Каждая биржа имеет свой порядок и режим работы, и чтобы участвовать в ее торгах как покупатель или продавец, нужно соответствовать определенным требованиям, зависящим от страны и конкретной биржи.

Фундаментальный анализ

Биржевые аналитики проводят два вида анализа торгующихся ценных бумаг. Первый вид анализа заключается в рассмотрении финансовой структуры предприятия, то есть его бухгалтерского баланса и прочих форм финансовой отчетности. Второй вид анализа — технический, в котором с помощью статистических и в особенности графических методов рассматриваются колебания курса ценных бумаг. Изменения курса связываются с другими переменными для прогнозирования поведения рынка и изучаемых переменных.

При фундаментальном анализе необходимо подробно ознакомиться с финансовой структурой интересующего предприятия. Для этого рассматриваются бухгалтерские балансы и отчеты о прибылях и убытках, как правило, за 3–5 лет работы компании, анализируется содержание ее годовых отчетов, а также данные о ситуации на рынке, экономическая и социально-политическая обстановка.

Баланс показывает источники финансирования предприятия (капитал, резервы, долгосрочные займы и прочее) и способы их использования. Капитал, резервы и долгосрочные займы составляют так называемый используемый капитал, из которого финансируются внеоборотные активы (материальные и нематериальные), однако в начале деятельности предприятия часть используемого капитала может быть направлена на приобретение товаров.

* * *

СТРУКТУРА БАЛАНСА

Баланс предприятия представляет собой таблицу, разделенную на две части. В левой части записываются активы — имущество и права компании, упорядоченные по возрастанию ликвидности.

Очевидно, что наиболее ликвидным активом являются деньги, хранящиеся в кассе и на банковских счетах. Чуть менее ликвидны счета, выставленные клиентам и ожидающие оплаты, а земля и недвижимое имущество являются активами с наименьшей ликвидностью. Активы делятся на две части: внеоборотные, которые не являются объектом рыночной деятельности, и оборотные, которые фигурируют в повседневной хозяйственной деятельности предприятия и имеют срок использования менее одного года.

Пассивы записываются в правой части баланса в порядке возрастания срочности гашения обязательств. К пассивам с наибольшей срочностью гашения относятся краткосрочные обязательства, которые должны быть уплачены в срок, не превышающий одного года. Далее идут долгосрочные обязательства (срок погашения которых превышает один год), резервный капитал (прибыль, не распределенная в предыдущие периоды) и, наконец, уставный капитал предприятия, внесенный учредителями.

Структура баланса.

* * *

Фундаментальный анализ заключается в сопоставлении различных разделов бухгалтерского баланса и их сравнении с величиной дохода и другими величинами с целью определения платежеспособности предприятия, его ликвидности, бюджета, уровня задолженности, рентабельности бизнеса и т. д. Основу фундаментального анализа составляет расчет показателей баланса.

Особое внимание привлекает следующий вопрос фундаментального анализа: почему рыночная капитализация предприятия (рыночная капитализация = число выпущенных акций ∙ курс акций) обычно намного превышает стоимость компании по данным ее бухгалтерского баланса?

Таким образом, теоретический курс акций согласно бухгалтерскому балансу рассчитывается так:

Теоретический курс акций = Собственный капитал (капитал и резервы) / Число акций

Если сравнить это теоретическое значение с биржевым курсом акций, можно определить, является предприятие недооцененным или переоцененным. Для оценки стоимости предприятия также можно сравнить его рыночную капитализацию с валютой баланса предприятия (суммой активов):

Соотношение стоимость/валюта баланса = Рыночная капитализация / Валюта баланса

Аналогичное соотношение можно рассчитать для денежного потока (cashflow) или дохода, рассчитываемого как чистая прибыль + амортизация:

Соотношение стоимость/денежный поток  = Рыночная капитализация / Cashflow (либо доход)

Соотношение стоимость/денежный поток на акцию = Курс акции / Денежный поток на акцию

* * *

ФИНАНСОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

Платежеспособность предприятия зависит от его собственных оборотных средств. Их сумма должна быть достаточной, однако не превышать определенные значения.

Собственные оборотные средства =  Оборотные средства — Краткосрочные обязательства.

Собственные оборотные средства можно рассчитать, используя активы и пассивы в балансе:

Собственные оборотные средства = Используемый капитал  — Внеоборотные активы.

Коэффициент текущей ликвидности = (Оборотные средства / Краткосрочные обязательства) > 1

Коэффициент быстрой ликвидности = ((КДЗ + КФВ + ДС) / Краткосрочные обязательства) = 1

где КДЗ — краткосрочная дебиторская задолженность,  КФВ — краткосрочные финансовые вложения, ДС  — денежные средства.

Если коэффициент быстрой ликвидности меньше 1, это свидетельствует о рисках просрочки платежей. Если он значительно больше 1, это говорит об излишке ликвидных фондов и возможной низкой рентабельности.

Коэффициент абсолютной ликвидности = (КФВ + ДС) / Краткосрочные обязательства

Низкие значения этого коэффициента говорят о проблемах в бюджете предприятия.

Коэффициент финансового риска = Долгосрочные и краткосрочные обязательства / Собственный капитал

Оптимальные значения этого коэффициента лежат в интервале от 0,5 до 0,7.

Коэффициент финансовых расходов = (Финансовые расходы / Выручка) < 0,04

Значения, превышающие 0,05, считаются избыточными.

КМД = (Выручка — Совокупные переменные затраты) / Выручка

где КМД — коэффициент маржинального дохода, показывает долю выручки, идущую на покрытие постоянных затрат и обеспечение прибыли.

Рентабельность активов = (Операционная прибыль / Общие активы) >  Цена денег .

Рентабельность капитала =  (Прибыль / Капитал) >  Цена денег .

СОДЗ = (Средняя дебиторская задолженность / Выручка) ∙ 365 ,

где СОДЗ — срок оборачиваемости дебиторской задолженности, в течение которого клиенты производят уплату по счетам.

СОКЗ = (Средняя кредиторская задолженность / Себестоимость проданных товаров) ∙ 365 ,

где СОКЗ  — срок оборачиваемости кредиторской задолженности, средний срок уплаты задолженности поставщикам и кредиторам.

Коэффициент оборачиваемости активов = Выручка / Общие активы

Значение этого коэффициента, превышающее 1, указывает, насколько выручка превышает величину активов.

% роста продаж =  ((Продажи V n / Продажи V n-1 ) —  1) ∙ 100 между периодами n — 1 и n.

Технический анализ

Технический анализ заключается в изучении того, как меняется стоимость различных финансовых активов, в частности ценных бумаг, индексов, опционов, фьючерсов, валют и других, посредством статистического анализа и анализа графиков, чтобы предсказать поведение рынка в будущем. Для этого требуется не только изучить изменение курсов ценных бумаг с течением времени с помощью графиков (к ним относятся «японские свечи», столбчатые диаграммы, пункто-цифровые графики и т. д.), но и выполнить подбор аппроксимирующей кривой с помощью методов регрессии, позволяющих связать значение цены со значениями других переменных и спрогнозировать будущие значения цен с достаточной достоверностью. В основе технического анализа лежат три принципа: история повторяется, в изменениях цен прослеживаются тренды, в изменении рыночных цен отражается вся информация о деятельности предприятия, макроэкономические параметры и т. д.

* * *

ТЕОРИЯ ДОУ

Первым начал анализировать колебания рыночных цен и заложил основы технического анализа американец Чарльз Генри Доу (1851–1902), разработавший в 1884 году первый биржевой индекс. Это его именем назван знаменитый биржевой индекс Доу-Джонса. На основе графического анализа поведения индексов он разработал теорию о колебаниях рыночных цен, выделив три тренда: первичный (долгосрочный), вторичный (промежуточный) и малый (краткосрочный).

Первичный тренд относится к долгосрочному периоду (от одного года до трех лет за исключением определенных ситуаций) и может быть восходящим или нисходящим. После периода снижения цен группа инициативных инвесторов решает вложить средства в ценные бумаги. С ростом котировок к ним присоединяются другие инвесторы, в то время как самые первые инвесторы продают свои ценные бумаги и остаются в выигрыше. По прошествии определенного времени, поняв, что рост цен замедляется, инвесторы постепенно прекращают инвестирование, и начинается период застоя, который сменяется падением цен.

Первичный тренд сроком три года.

Вторичный тренд описывает период продолжительностью от одной до восьми недель. Эти более короткие циклы накладываются на долгосрочные колебания и проявляются как незначительное снижение цены в период роста или как повышение цены в период падения котировок.

Вторичный тренд сроком два месяца.

Малые тренды описывают периоды длительностью не более нескольких дней и являются следствием воздействия со стороны спроса или предложения в данный момент.

Малый тренд сроком два дня.

* * *

Ральф Нельсон Эллиотт (1871–1948) позднее дополнил теорию Доу, описывающую поведение рынка ценных бумаг. Он заметил, что котировки изменяются в соответствии с определенными шаблонами. Эллиотт определил волны, по своему поведению схожие с числами Фибоначчи — числовым рядом, каждый член которого равен сумме двух предыдущих. В 1946 году, изучив значения промышленного индекса Доу-Джонса (DJIA), он изобразил эти волны на графике.

На основании полученного графика Эллиотт сделал вывод: в колебаниях цен прослеживаются повторяющиеся волны различной длительности и амплитуды колебаний. Волновой принцип Эллиотта гласит, что на рынках ценных бумаг наблюдается повторяющийся ритм: пять волн идут в направлении тренда, три волны — против тренда. Полный цикл состоит из восьми волн — пяти восходящих и трех нисходящих. В рамках цикла волны 1, 3 и 5 являются движущими (импульсными), 2 и 4 — коррекционными, они компенсируют эффект от волн 1 и 3. Пять восходящих волн сменяются тремя нисходящими, А, В и С. В период снижения курсов акций на рынке также наблюдаются кривые, схожие с пятью волнами, описанными выше.

Как можно видеть, на графиках биржевых котировок реальных ценных бумаг действительно можно заметить волны Эллиотта.

Если рассматривать волны Эллиотта как отражение психологии поведения участников рынка, которое вызывает значительные колебания биржевых котировок, то вполне логично предположить, что эти волны можно описать именно числами Фибоначчи.

Эллиотт утверждал, что для описания рынков ценных бумаг применимо и золотое сечение. Таким образом, изменение котировок подобно логарифмической спирали, по форме напоминающей раковину улитки или облако в урагане. Говоря проще, можно предсказать, что по окончании периода роста наступит период снижения, длительность и амплитуда которого будут составлять 3/5 длительности и амплитуды периода роста.

Было отмечено, что изменение цен на основные товары также описывается волнами Эллиотта, — это можно заметить на примере такого товара, как золото: в последнее время его цена неизменно движется в направлении, противоположном биржевому тренду, следовательно, оно также следует волнам Эллиотта, но в противоположном направлении.

* * *

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И БИРЖА

Изучив изменения котировок на многих рынках ценных бумаг, Эллиотт определил, что в основе теории волн лежит последовательность Фибоначчи, открытая еще в XIII веке! Эта последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …) обладает многими свойствами, применимыми к биржевому анализу.

Сумма любых двух соседних членов последовательности равна ее следующему члену, отношение любого члена последовательности к следующему стремится к иррациональному числу Ф  — 1–0,618034 … (где Ф — так называемое золотое число, описывающее золотое сечение), которое часто встречается в природе и произведениях искусства. Таким образом, когда коррекционная волна достигает 61,8 % прежней величины индекса, наступает поворотный момент: рыночный тренд либо сменится на противоположный, либо сохранит направление, и индекс достигнет 100 % от прежнего значения.

Квадратные корни, которые не являются целыми или рациональными числами, относятся к новому, отдельному классу так называемых иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде дроби. Эти числа содержат бесконечное множество десятичных знаков и, в отличие от рациональных чисел, в их записи отсутствуют циклы, или периоды, как, например,

4/7 = 0,571428571428571428571…

Примерами иррациональных чисел являются число  π , число е , используемое при расчете сложных процентов, и золотое число Ф .

Как рассчитывается рентабельность инвестиций на бирже

При эмиссии государственных облигаций покупатель совершает начальные вложения, а затем в течение срока действия облигации получает доход. Чтобы вычислить общую рентабельность за весь срок владения облигацией, рассчитывается внутренняя норма доходности, причем в качестве доходов учитываются и налоговые вычеты.

При эмиссии облигаций с переменной процентной ставкой общая рентабельность обычно рассчитывается по формуле чистого дисконтированного дохода на основе примерной цены денег (процентной ставки). Этот же метод используется для оценки прибыльности предприятия, когда денежные потоки за каждый год приводятся к текущему моменту времени с учетом объема начальных вложений и определенной ставки дисконтирования.

Рассмотрим расчет годовой рентабельности инвестиций. В момент времени t была совершена инвестиция в размере I 0 , по прошествии n дней акции были проданы за I t , причем I 0 < I t . Общий доход В в результате инвестирования равен разнице курсов акций |I t — I 0 | > 0 вкупе с дивидендами, правом подписки на акции и т. д.

Рентабельность инвестиций R (в %) будет равна:

R = (B/I 0 ) ∙100

Рентабельность за год R a рассчитывается по правилу пропорции:

рентабельность R за срок в ___ n дней

рентабельность R за срок в ___ 365 дней

R a = R∙(365/n)

Часто при оценке доходности ценных бумаг используется показатель PER (коэффициент цена/прибыль), который связывает цену приобретения бумаги Сt   с полученными или ожидаемыми доходами от нее за период t (дивиденды, ожидаемая положительная курсовая разница и т. д.):

PER = C t /Gt   = Цена акции/ Чистая прибыль (на акцию)

где C t — стоимость бумаги, G t — ожидаемая прибыль от нее за период t.

Обратите внимание, что показателем, обратным этому коэффициенту, является рентабельность акции:

Рентабельность акции = Чистая прибыль (на акцию)/Цена акции = 1/PER

Чаще всего используются следующие коэффициенты, показывающие финансовые итоги в пересчете на акцию:

Дивидендная доходность = Общие дивиденды/Рыночная капитализация = Дивиденд на одну акцию/Курс акции

где

Дивиденд на акцию = Прибыль после уплаты налогов/Количество акций

если прибыль после уплаты налогов полностью распределяется между акционерами.

Если же в виде дивидендов выплачивается лишь часть прибыли, то важен коэффициент, показывающий, какая именно доля прибыли направлена на уплату дивидендов.

Дивиденды могут рассчитываться на основе учетной стоимости акций, их рыночной или номинальной стоимости.

Коэффициент, связывающий денежный поток предприятия (чистый доход = прибыль + амортизация) с числом акций:

Денежный поток на акцию = (Прибыль + амортизация)/Количество акций

Индикатор β показывает уровень риска, связанный с вложением в определенные ценные бумаги, и характеризует волатильность котировок ценной бумаги. Если коэффициент β равен n, это означает, что доходность волатильной ценной бумаги в n раз больше доходности по индексу или по всем ценным бумагам на рынке. Так, если β = 2, а средняя доходность ценных бумаг на рынке равна 10 %, то доходность рассматриваемой ценной бумаги составит 20 %.

Риск измеряется путем сравнения доходности ценной бумаги и всех бумаг на рынке, при этом ее доходность будет отклоняться от среднерыночной. Эти отклонения оцениваются с помощью среднеквадратического отклонения σ или дисперсии, равной σ2. Если средняя доходность по рынку равна R, а доходность ценной бумаги i равна R i , то риск, рассчитанный с помощью среднеквадратического отклонения, будет равен:

Также можно использовать полудисперсию, то есть дисперсию, в которой учитываются только отрицательные отклонения, характеризующие риск потери средств.

Корреляция и регрессия

В экономике часто существует взаимосвязь между произвольными переменными — ковариация. Считается, что между двумя статистическими переменными существует ковариация, если между ними наблюдается однонаправленная причинно-следственная связь (значения переменной X влияют на значения Y, но не наоборот) или взаимозависимость (значения X влияют на значения Y и наоборот).

Изучение ковариации между двумя статистическими переменными можно начать с графических методов. На следующих диаграммах представлено множество точек, соответствующих парам значений переменных, для которых мы хотим определить наличие ковариации. Эта диаграмма называется диаграммой рассеяния.

Положительная линейная корреляция.

Отрицательная линейная корреляция.

Отсутствие корреляции.

Существуют два метода анализа ковариации между двумя статистическими переменными: регрессия и корреляция. При анализе корреляции рассчитывается числовой коэффициент, который используется как индикатор степени ковариации между двумя переменными, а при регрессионном анализе определяется математическая функция, описывающая ковариацию для всех значений переменных.

Вывод коэффициента корреляции для всей генеральной совокупности на основе анализа выборки, который обозначается R, выполняется на основе коэффициента корреляции r, рассчитанного для выборки. Этот процесс подробно изучен. По сути, r можно рассмотреть как оценочное значение R и проанализировать, действительно ли оно является точным оценочным значением. Выборки из одной и той же генеральной совокупности можно формировать множеством способов, и коэффициент корреляции на каждой выборке будет отличаться. Коэффициенты корреляции r для всех возможных выборок являются значениями случайной величины, которая характеризуется собственным распределением.

* * *

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Чтобы подтвердить исходное предположение, что между двумя переменными наблюдается корреляция (к такому выводу можно прийти, взглянув на диаграмму рассеяния), рассчитаем коэффициент корреляции. Для выборки из n пар значений ( х i , у i ) при i = 1, 2, 3…., n показателем линейной связи между переменными является r  — линейный коэффициент корреляции,

где х ¯ , у ¯ , σ х ,  σ у — средние значения и среднеквадратические отклонения, рассчитанные для переменных X и  Y на выборке. Значения коэффициента корреляции r всегда находятся в интервале от -1 до 1. Если r = 1 или r  = -1, то все точки, соответствующие выборке, лежат на одной прямой. Если значение r близко к 1 (или к -1), то между двумя переменными имеется очень сильная линейная зависимость. Если значение r  мало (близко к 0), то зависимость между двумя переменными практически отсутствует, за исключением случаев, когда на основе диаграммы рассеяния можно сделать вывод о наличии нелинейной корреляции.

Коэффициент r — безразмерная величина, не зависящая от единиц измерения значений X  и Y .

В следующей таблице представлены значения двух статистических переменных, X и Y , на выборке объемом в пять значений

Диаграмма рассеяния.

Для анализа корреляции рассчитывается среднее х , среднеквадратическое отклонение σ и коэффициент r .

ЛИНИИ РЕГРЕССИИ

Если точки ( х , у ) на диаграмме рассеяния расположены близко к некоторой прямой или кривой, то можно определить функцию, которая с наибольшей точностью будет описывать это множество точек. Графиком указанной функции будет линия регрессии, которую можно будет использовать для составления прогнозов.

Математический метод, используемый для определения функции, которая точнее всего описывает множество значений выборки, называется методом наименьших квадратов.

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения а и Ь . Допустим, что эти значения равны, например, а' и Ь' . В этом случае уравнение искомой прямой будет записываться так: у  = а'х + Ь' . Для приведенных ниже таблицы значений и диаграммы рассеяния линия регрессии рассчитывается следующим образом:

Уравнение линии регрессии, описывающей зависимость  Y от X , выглядит так: y = (11/14) ∙ x + (6/7) . Чтобы найти линию регрессии, описывающую зависимость  Y от X , х i   меняется на у i , результатом чего будет следующая система уравнений (чтобы избежать путаницы, заменим а и  Ь на с и d ):

Результатом будет прежнее уравнение: y = (11/14) ∙ x + (6/7) . В большинстве случаев это уравнение будет отличаться от первого. В нашем случае между Х и Y имеется взаимозависимость.

* * *

Следует различать корреляцию и причинно-следственную связь: при изучении, например, трех переменных (к примеру, числа выпущенных книг, количества проданных телевизоров и численности убийств в год) можно сделать совершенно ошибочные выводы (к примеру, чем больше продается книг, тем больше продается телевизоров и тем больше совершается преступлений).