Здесь я покажу вам, что в двойном логарифмическом масштабе любое уравнение вида 
всегда представлено прямой линией с наклоном влево, и наоборот: в двойном логарифмическом масштабе прямую с наклоном влево всегда можно описать представленным выше уравнением. Если на координатных осях откладываются логарифмы ранга и частотности, то прямая с наклоном влево отображает закон Ципфа:
Для того чтобы понять изложенные ниже разъяснения, мы должны иметь определенное представление о координатной геометрии (о концепции градиента, например), а также об основных свойствах логарифмов. Кроме того, нам необходимо принять как истинное следующее утверждение.
(1) На координатной плоскости, где горизонтальная и вертикальная оси обозначаются как х и у, все прямые линии могут быть описаны уравнением y = mx + c, где m — это градиент прямой, а с — точка, в которой эта прямая пересекает вертикальную ось.
Итак, начнем с уравнения:
Возьмем логарифм от обеих его частей:
Согласно свойствам логарифмов, мы можем записать это уравнение в таком виде:
log y = log k – logxa
Или так:
log y = log k – a log x
Если log y = Y, а log x = X, то это уравнение можно записать следующим образом:
Y= –aX + log k
Исходя из представленного выше предположения (1), мы знаем, что на координатной плоскости, где Х — это горизонтальная ось, а Y — вертикальная, это прямая с градиентом –а, пересекающая вертикальную ось в точке log k.
Поскольку Х = log x, а Y = log y, этот график отображен в двойном логарифмическом масштабе, а так как градиент отрицательный, можно сделать вывод, что прямая должна быть наклонена влево.
Аналогичным образом представьте себе прямую с уклоном влево в двойном логарифмическом масштабе. Согласно предположению (1), ее можно описать таким уравнением:
log y = –log x + c
(Поскольку прямая наклонена влево, можно сказать, что она имеет отрицательный градиент.)
Если c = log k, это дает уравнение:
log y = –a log x + log k
или
log y = log k – a log x
Воспользовавшись свойствами логарифма, это уравнение можно преобразовать так:
log y = log k – log xa
Или так:
Что означает следующее:
Что и требовалось доказать.
Дополнительный вывод состоит в том, что уравнение y = kxa описывает прямую с уклоном вправо в логарифмическом масштабе, а любая такая прямая может быть представлена данным уравнением.