МАШИНА УМНОЖЕНИЯ

Утверждение. Для того чтобы умножить a × b, необходимо построить на параболе y = x2 прямую из точки x = −а до точки x = b, как показано на рисунке. Прямая линия, соединяющая эти две точки, пересекает ось y в точке a × b.

Доказательство. Примем за истинное следующее утверждение: уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (p, q), имеет вид y – q = (x – p)m, где m — градиент.

Прямая на графике проходит через точки с координатами (−a, a2) и (b, b2).

Градиент этой прямой, который представляет собой отношение расстояния по вертикали к расстоянию по горизонтали, рассчитывается по формуле , которую можно преобразовать к виду , затем это выражение можно сократить до (b – a).

Следовательно, уравнение прямой выглядит так:

y – a2 = (x + a) (b – a)

Его можно преобразовать следующим образом:

y – a2 = xb – xa + ab – a2

Члены –a2 можно сократить, после чего останется такое уравнение:

y = xb – xa + ab

Если прямая пересекает вертикальную ось, тогда x = 0, а значит,

y = ab

Другими словами, прямая пересекает ось в точке ab, что равно a × b.