Давайте возьмем прямоугольный треугольник и модифицируем его, вращая вокруг одной из меньших сторон. Полученный трехмерный объект — это конус: геометрическое тело с основой в виде круга и острой вершиной. Такие объемные фигуры не очень практичны: их нельзя катать как шары или складывать друг на друга как кубики. Тем не менее в прошлом конус активно использовался в моделях головных уборов. Вьетнамские крестьяне, работающие на рисовых полях, волшебники, отстающие ученики — все они носили остроконечные шляпы. У древних греков среди ремесленников и простого люда был популярен конусообразный головной убор из войлока или кожи — пилос. Однако в целом интерес к конусу имел скорее интеллектуальный, чем портняжный характер, поскольку конус — это настоящий математический клад.

Разрежьте конус ножом — и получите сечение в виде одной из четырех кривых: окружность, эллипс, парабола или гипербола. Форма конического сечения зависит от угла наклона лезвия ножа. Горизонтальный разрез образует окружность; наклонный разрез, пересекающий боковую поверхность конуса, — эллипс; разрез, параллельный образующей конуса, — параболу, а более глубокие разрезы — гиперболу, как показано на рисунке ниже. Анализ конических сечений стал высшим достижением древнегреческой геометрии и представляет собой яркий пример того, как некий объект исследований изучался исключительно ради удовольствия и лишь тысячелетие спустя нашел важнейшее применение. Оказалось, что обычный конус содержит ответы на фундаментальные вопросы об устройстве Вселенной.

Конические сечения

Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра. Привяжите нить к карандашу и воткнутой в бумагу булавке, натяните нить — и сможете нарисовать окружность. А теперь сделайте из нити петлю и зафиксируйте ее на двух булавках, как показано на рисунке ниже. Путь, который пройдет карандаш, туго натягивающий нить, — это эллипс. Все окружности имеют одинаковую форму, а это значит, что при их уменьшении или увеличичении полученная в итоге окружность будет идентична любой другой окружности. Эллипсы, напротив, бывают разной формы, зависящей от положения булавок, или фокусов. Чем ближе фокусы друг к другу, тем больше эллипс напоминает окружность. Когда фокусы совпадают, эллипс превращается в окружность. На самом деле в математике окружность считается частным случаем эллипса с совпадающими фокусами.

Как нарисовать эллипс

При взгляде на окружность под углом мы видим эллипс. Колеса, монеты, часы, обручи, кольца и диски всегда выглядят как эллипсы, если только они не находятся параллельно лицу, что бывает нечасто. Кроме того, для любого эллипса есть такой угол зрения, под которым он похож на окружность. (Отодвиньте эту книгу в сторону и поверните ее от себя, чтобы увидеть любой из эллипсов на этих страницах как окружность.)

Эллипс обладает одним геометрическим свойством, представляющим исторический интерес для любителей игр в закрытых помещениях. Если стол для игры в американский бильярд сконструирован в виде эллипса, то шар, посланный из одного фокуса, всегда отскакивает от борта и направляется ко второму фокусу, независимо от того, в каком направлении сделан удар по шару. Эта интересная особенность обусловлена следующим свойством эллипса: прямая линия, проведенная от одного фокуса к точке на эллипсе, образует с касательной такой же угол, что и линия, проведенная из этой точки к другому фокусу, как показано на рисунке слева. Когда вы наносите удар по шару, отбивая его на край стола, угол движения шара в момент его приближения к борту равен углу в тот момент, когда шар отскакивает от борта, — это известно любому, кто когда-либо натирал мелом конец кия. Следовательно, если ударить по шару в одной точке фокуса, он обязательно отскочит в направлении другого фокуса.

Линии, проведенные от точки на эллипсе к двум его фокусам, образуют с касательной одинаковые углы, что обеспечивает бильярдистам три способа загнать шар в лузу непрямым ударом

В начале 1960-х годов ученик средней школы из Коннектикута Арт Фриго-младший сделал эллиптический стол для игры в американский бильярд, после того как узнал о конических сечениях в школьном математическом кружке. На столе Арта была черная точка на месте одного фокуса и луза — на месте другого; больше луз у этого стола не было. Если на столе находился только один шар, как показано на рисунке справа, существовало три способа загнать его в лузу, нацеливаясь не на саму лузу, а на черную точку. В таком случае, если сделать удар по шару в направлении черной точки, шар пройдет через нее, ударится о борт и попадет в лузу; если сделать удар по шару в направлении, противоположном направлению на черную точку, шар также отскочит от борта и попадет в лузу; если сделать удар по шару в направлении, противоположном лузе, то шар отскочит от борта один раз, пройдет через черную точку, ударится о борт еще раз, отскочит и снова попадет в лузу. Этот стол был настоящей машиной по забиванию шаров в лузу! Арт предложил начинать игру, которую он назвал «эллиптипул», с одного белого и шести цветных шаров на столе. Оригинальная форма стола открывала уникальные возможности для создания новых схем игры.

Арт сделал прототип своего стола и взял его с собой, когда поступил в Колледж Союза в городе Скенектади. В студенческом клубе стол пользовался такой популярностью, что о нем даже рассказывали в теленовостях. Впоследствии Арт запатентовал стол, и одна из компаний по производству игрушек предложила парню сделку. «У них были заказы на 80 000 столов. Мне тогда исполнился 21 год, и я подумал: “Я стану миллионером!”» — вспоминал он. Компания наняла Пола Ньюмана, который как раз снялся в главной роли в драме о бильярде The Hustler («Мошенник»), для съемок в рекламе стола. Однако возникли непредвиденные трудности. В результате понадобился почти год, чтобы столы поступили в продажу, но к тому времени дерево, из которого они были сделаны, деформировалось. После этого была разработана новая версия более прочного стола с монетоприемником, и такие столы установили в сотнях баров крупных городов. Но и это не помогло.

Когда Арт побывал в одном из таких мест, чтобы понаблюдать за игрой, он очень расстроился из-за того, что за его столом никто не играл. «Мне было больно, когда я увидел, что люди не понимают эту игру, — сетовал он. — Люди воспринимали мой стол просто как стол, который чем-то отличается от остальных. Если вы не знаете о фокальных точках, мяч не полетит туда, куда надо. Люди не могли загнать шар в лузу, потому что не понимали сути игры». Тем не менее, по словам Арта, этот опыт научил его тому, как не нужно начинать выпуск продукта. Впоследствии он стал успешным предпринимателем, занимаясь бриллиантами и губковыми швабрами. В настоящее время Арт живет во Флориде и импортирует оливковое масло.

Возможно, математической зависимости между фокусами эллипса и не удалось совершить переворот в американской барной культуре, но зато она нашла прекрасное применение в индустрии осветительных приборов. Подобно тому как бильярдный шар, посланный из одного фокуса эллипса, отскакивает от борта в направлении другого фокуса, все лучи источника света, если его разместить в фокусе эллипса, сделанного из отражающего материала, будут направлены в сторону другого фокуса. Вращая эллипс вокруг невидимой линии, соединяющей две фокальные точки, вы получите трехмерную фигуру под названием «эллипсоид». Если разместить лампочку у одного из фокусов эллипсоида с зеркальной внутренней поверхностью, это и будет основной элемент театрального прожектора. Речь идет о самом эффективном способе получения узконаправленного луча света. Излучаемый лампочкой свет отражается поверхностью эллипсоида и собирается во втором фокусе, образуя концентрированный пучок света, который преломляется затем через линзу. На самом деле оптическое применение конических сечений объясняет происхождение слова «фокус»: на латыни оно означает «очаг». В немецком языке происхождение этого слова еще более очевидно: «фокус» на немецком — brennpunkt, что значит «точка воспламенения».

Здания с эллиптическими крышами обладают удивительными свойствами, поскольку звук, созданный в одном из фокусов, будет отражаться из любой точки на поверхности крыши в другой фокус. Например, гигантский купол мормонского Табернакля (молитвенного дома) в Солт-Лейк-Сити был специально построен в форме половины эллипсоида Если вы уроните булавку у кафедры проповедника, которая находится в одном из фокусов, звук от ее падения будет отчетливо слышен у другого фокуса, расположенного более чем в пятидесяти метрах от первого.

Развитие древнегреческой математики длилось почти тысячу лет, от Фалеса, который жил в VII–VI веках до нашей эры, до последней значимой фигуры — Паппа, предположительно жившего на рубеже IV–III веков до нашей эры. Самое почетное место занимают три мыслителя: Евклид, Архимед и Аполлоний, великая троица классических математиков. Все они жили в III столетии до нашей эры. С Евклидом и Архимедом мы встретимся немного позже. Аполлоний же, самый младший из них, учился и преподавал в Александрии. Кроме того, он проживал в городе Пергам (территория современной Турции), в котором находилась вторая по величине библиотека Греческой империи. В наше время из этих троих гигантов мысли Древней Греции Аполлоний наименее известен, хотя в свое время его называли Megas Geometris — Великим Геометром. Из всех его книг до нас дошел только трактат о конусах Conics («Конические сечения»).

В трактате «Конические сечения» Аполлоний показал, как рассечение конуса позволяет получить три типа сечений, и дал им имена. Термин «эллипс» происходит от греческого слова leipein («опустить, пропустить»), «парабола» — от para («рядом, около»), а «гипербола» — от hyper («сверх, по ту сторону»). (Суффикс -bola означает «бросать».) Названия, выбранные Аполлонием, основаны на свойствах областей этих кривых, достаточно сложных для того, чтобы их здесь объяснять. Однако мы можем выяснить, что он имел в виду, воспользовавшись понятием угла наклона секущей плоскости и той аналогией с рассечением конуса, о которой шла речь выше. Когда угол наклона секущей плоскости равен углу наклона боковой поверхности конуса, полученное сечение называется параболой; когда этот угол больше — гиперболой. В трактате «Конические сечения» содержится 387 тезисов; читать этот труд нелегко, отчасти потому, что Аполлоний использует громоздкую систему обозначений, уже вышедшую из употребления. Тем не менее он проделал колоссальную работу, которая считается высшим достижением древнегреческой геометрии. Тщательно изучив свойства конуса, Аполлоний создал формальную основу для крупных научных открытий, сделанных спустя два тысячелетия.

В «Конических сечениях» Аполлоний самонадеянно заявил, что тему этого трактата стоит изучать исключительно ради удовольствия. И все же он разработал математические концепции, нашедшие применение на практике. Древние звездочеты видели, что планеты перемещаются не по прямым линиям, а блуждают по небу и зачастую даже возвращаются обратно, образуя петли. (Слово «планета» происходит от греческого planetes — «странник».) В свое время Платон заявил, что планеты двигаются по идеальной окружности, которая представляет собой самую простую и изящную форму. Это утверждение основывалось на уверенности Платона в том, что мир построен с геометрической простотой и элегантностью, даже если факты говорят об обратном. Данным заявлением Платон бросил мыслителям вызов: доказать блуждающее движение небесных тел, используя определенное сочетание круговых движений. Аполлоний принял вызов и разработал систему, которая стала стандартной моделью на почти две тысячи лет.

Согласно предложенному Аполлонием описанию движения планет Земля находится в центре мироздания. Каждая планета движется по малой окружности — эпициклу, который, в свою очередь, перемещается вокруг Земли по большой окружности — деференту, как показано на рисунке ниже. Эта похожая на кружево орбитальная траектория напоминает рисунок, полученный с помощью спирографа — игрушки, в которой маленькое зубчатое колесо с ручкой в одном из отверстий вращается вокруг зубчатого колеса большего диаметра. Бывают моменты, когда орбита планеты, которая движется по эпициклу, перемещающемуся по деференту, образует петли, что объясняет, почему время от времени планеты как будто движутся в обратную сторону. Система Аполлония полностью соответствовала фактическим данным при совсем незначительных погрешностях, легко устраняемых посредством введения дополнительного эпицикла. Это означало, что орбита планеты формируется под влиянием совокупности трех круговых движений, другими словами — движется по окружности, которая перемещается по второй окружности, которая, в свою очередь, движется по третьей окружности с Землей в центре.

В труде «Альмагест», написанном во II веке нашей эры, греческий астроном Птолемей описал систему эпициклов и деферентов, которая оставалась общепризнанной моделью устройства мира вплоть до XVI столетия. Никто не подвергал ее сомнению, даже когда более точные измерения требовали включения все большего количества эпициклов. Последняя версия этой модели, включавшая в себя 39 циклов и эпициклов, описывала движение пяти планет, Солнца и Луны. Мечта Платона о геометрической элегантности привела к созданию чрезвычайно запутанной схемы, которую даже церковь критиковала за нерациональность. «Если бы Всемогущий Бог посоветовался со мной перед творением, я бы порекомендовал что-нибудь попроще», — сказал в XIII веке о системе Птолемея король Альфонсо X Кастильский, которого еще называли El Sabio — Мудрый.

Сейчас мы знаем, что Аполлоний был неправ. Более простая модель планетных орбит все же существует, о чем мы поговорим чуть позже. На самом деле пренебрежительная фраза «прибавлять эпициклы» употребляется в наше время по отношению к плохой науке, бесконечному совершенствованию ошибочной теории в надежде на то, что в конце концов она сработает. Тем не менее система эпициклов господствовала так долго потому, что она как нельзя лучше справлялась со своей задачей. В большинстве случаев теория опровергается тогда, когда доказана ее несостоятельность. Но теорию эпициклов так никто и не опроверг, поскольку это невозможно в принципе. Интересно то, что циклы и эпициклы можно использовать для описания любой замкнутой непрерывной орбиты. Идея Аполлония оказалась настолько действенной, что никому даже в голову не приходило искать что-то другое.

В 2005 году аргентинцы Кристиан Карман и Рамиро Серра решили описать невероятно сложную орбиту, а затем найти эпициклы, образующие ее. Они выбрали для этого изображение Гомера Симпсона, поскольку оно вовсе не похоже на орбиту, а еще потому, что это ведь Гомер Симпсон! Представленный ниже рисунок с немалым количеством завитушек — это модель гомеровской орбиты. Большая окружность — деферент, а переплетение окружностей поменьше содержит 9999 эпициклов разных размеров. Планета вращается вокруг 9999-го эпицикла, который движется вокруг 9998-го эпицикла и так далее до самого первого эпицикла, вращающегося вокруг деферента. К тому времени, когда планета завершит один оборот вокруг деферента (и два оборота вокруг первого эпицикла, три вокруг второго и т. д., в том числе 10 000 оборотов вокруг 9999-го эпицикла), она пройдет весь путь по этому рисунку. Карман и Серра были, по их собственным словам, «поистине взволнованы и очень довольны», когда их модель заработала. Пожалуй, Платон тоже оценил бы присущую Гомеру поэтичность.

Похоже на Мардж, но это Гомер: путь, пройденный планетой, орбита которой представляет собой совокупность 10 000 окружностей, — это портрет главы семейства Симпсонов

Шестнадцатого мая 1571 года в 4:37 утра в небольшом немецком городке Вайль-дер-Штадт был зачат Иоганн Кеплер. Он родился через 224 дня, 9 часов и 53 минуты, в 14:30 27 декабря. Эти детали известны нам благодаря гороскопу, который Кеплер составил для себя в возрасте 26 лет. В нем он рассказывает также о том, что едва не умер от оспы, что его руки были сильно изуродованы, что он часто страдал от болезней кожи и что когда в возрасте 21 года он потерял невинность, то это далось ему «с невероятным трудом и сопровождалось острой болью в мочевом пузыре». Исходя из всего этого, мы можем сделать вывод о наличии у Кеплера качеств, определивших всю его жизнь: мнительность, склонность к самоанализу, одержимость звездами и любовь к числам.

К тому времени, когда Кеплер составил этот гороскоп, он уже опубликовал свою первую книгу The Mystery of the Cosmos («Тайна мироздания»), в которой представил модель планетарной системы, основанную на предложенной на полстолетия раньше революционной теории Николая Коперника о том, что планеты вращаются вокруг Солнца. Хотя Коперник отвергал геоцентризм, он все же считал, что планеты перемещаются по эпициклам. Кеплер усовершенствовал эти воззрения посредством модели, в которой орбиты планет образуют суперструктуру из геометрических объектов, так называемых платоновых тел, таких как куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Все эти фигуры были разного размера, но в центре структуры находилось Солнце. Безусловно, это была неправильная модель, тем не менее книга «Тайна мироздания» сделала Кеплеру имя в ученых кругах, и, когда знаменитый датский астроном Тихо Браге начал строить новую обсерваторию возле Праги, он взял амбициозного молодого немца к себе в помощники.

Браге был эпатажным аристократом. Он носил протез носа из сплава золота и серебра, после того как кузен отсек нос ему во время дуэли, состоявшейся из-за одной математической формулы. Кроме того, у Браге был домашний лось, который упал замертво, выпив слишком много пива за ужином. Однако этот датчанин гораздо бережнее обращался со своими астрономическими данными — самыми точными и полными на то время, о чем знала вся Европа. Тихо Браге поручил Кеплеру разобраться с орбитой Марса — планеты, путь которой больше всего отклонялся от круговой орбиты. Это была изнурительная, кропотливая работа, требующая построения возможных орбит, расчета прогнозируемых позиций и проверки данных наблюдения. «Если этот утомительный метод внушает вам отвращение, — объяснял Кеплер впоследствии, — он должен внушить вам и сострадание ко мне, поскольку я проделал это не менее семидесяти раз».

В период «боев с Марсом» Кеплер сделал перерыв, во время которого изобрел современную оптику. В книге The Optical Part of Astronomy («Оптика в астрономии») есть раздел о зеркалах, сделанных в форме конических сечений: эллипса, параболы и гиперболы. В действительности именно в этом труде Кеплер ввел слово «фокус», означавшее точку пересечения отраженных лучей света. Когда Кеплер вернулся к Марсу, его так вывела из себя неспособность найти систему круговых движений, которая согласовывалась бы с данными наблюдения, что в конце концов он решил отказаться от теории эпициклов. Новое направление исследований вряд ли внушало Кеплеру оптимизм. «Я очистил авгиевы конюшни астрономии от окружностей и спиралей, — сетовал он, — и остался с одной телегой навоза». На протяжении года Кеплер экспериментировал с яйцевидной орбитой — овалом, сплюснутым у одного края и более острым у другого, хотя сам ученый испытывал отвращение к такой форме орбиты и не считал ее ни симметричной, ни гармоничной. Для того чтобы аппроксимировать этот овал в своих вычислениях, он использовал эллипс — геометрическую фигуру, которую знал по работе с применением конических сечений в оптике. И тут его осенило: эта фигура с ее свойствами сама может все объяснить. «O me ridiculum! Каким же глупцом я был! — воскликнул Кеплер. — Идеальный эллипс — это единственно возможная форма орбиты планет».

Поначалу Кеплер отбрасывал идею об эллиптической орбите Марса, потому что считал ее слишком простой для того, чтобы ее не заметили другие ученые. Кроме того, он знал, что у эллипса два фокуса, а это противоречило теории об уникальности Солнца, предполагающей, что оно должно быть в центре системы, а не в одной из одинаково важных точек. Однако затем Кеплер понял, что, несмотря на кажущееся противоречие, Солнце действительно находится в одном из фокусов и что именно его влияние определяет скорость движения планеты по орбите. (В другом фокусе нет ничего.) Чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется по эллиптической орбите, но охватывает при этом равную площадь за равные промежутки времени, как показано на рисунке ниже. Философ Норвуд Рассел Хэнсон писал, что величайшее достижение Кеплера было самым смелым актом воображения за всю историю науки. «Даже концептуальные потрясения [двадцатого столетия] не требовали такого разрыва с прошлым». Модель эпициклов Аполлония была в конце концов вытеснена эллипсом — кривой, которой Великий Геометр сам дал имя и свойства которой знал лучше, чем кто-либо другой.

Для того чтобы добраться из точки A в точку B, требуется столько же времени, сколько из точки C в точку D, поскольку заштрихованные сегменты имеют одинаковую площадь. Следовательно, по мере отдаления от Солнца планета движется медленнее

В 1610 году Кеплер получил послание от Галилео Галилея, выдающегося астронома, жившего за Альпами, в Италии. Оно гласило:

smaismrmilmepoetalevmibunenugttaviras

Новость Галилея была слишком захватывающей, чтобы держать ее в себе, но и слишком ценной, чтобы рассказывать о ней всем подряд, тем самым помогая кому-то в его научных изысканиях. Поэтому ученый написал ее в виде анаграммы, что устанавливало приоритетность открытия, а также позволяло сохранить детали в тайне и избежать чрезмерной ответственности в случае, если он окажется неправ.

Эта загадка сводила Кеплера с ума. В конце концов ему показалось, что он у цели, когда он переставил буквы и получил вместо бессмысленного набора символов предложение, имевшее смысл: «Salve umbistineum geminatum Martia proles» — «Привет вам, близнецы, порождение Марса» (хотя он и использовал здесь латинизацию немецкого слова umbeistehen). Кеплер был убежден, что его соперник обнаружил у Марса два спутника. Впоследствии Галилей расшифровал эту анаграмму так: «Altissimum planetam tergeminum observavi» — «Высочайшую планету тройную наблюдал». Открытие касалось вовсе не Марса, а Сатурна: Галилей выявил у этой планеты выпуклости по бокам, которые образуют кольца Сатурна. Но самое интересное, что Кеплер таки оказался прав! У Марса действительно есть два спутника, Фобос и Деймос, которые были открыты два столетия спустя.

Чуть позже Галилей поддразнил Кеплера еще одной анаграммой, но на этот раз она имела смысл и носила намеренно провокативный характер: «Haec immatura a me iam frustra leguntur — oy», или «Этa ущербность рaзбирaется мною покa безуспешно». В данном случае Кеплер тоже нашел решение со смыслом: «Macula rufa in Jove est gyratur mathem etc» — «Ибо Юпитер, увы, говорят, вертится, испачканный красным пятном». На самом деле Галилей хотел передать такое послание: «Cynthiae figuras aemulatur Mater Amorum» — «Мать любви [Венера] подражает фигурам Цинтии [Луны]» (это означало, что у Венеры тоже есть фазы, напоминающие фазы Луны). Тем не менее ошибочный перевод Кеплера снова оказался пророческим. Через пятьдесят лет астрономы увидели, что у Юпитера действительно есть красное пятно — гигантский атмосферный вихрь, известный как Большое красное пятно.

Галилей и Кеплер изменили представление об ученых, превратившись из пассивных исследователей в героев-первооткрывателей. Имея перед собой единственную Вселенную, каждый из них хотел получить признание как человек, определивший ее строение. После Галилея многие ученые, в том числе Роберт Хук, Христиан Гюйгенс и Исаак Ньютон, использовали не поддающиеся расшифровке анаграммы, для того чтобы защитить свою интеллектуальную собственность. Так продолжалось до тех пор, пока публикация в журнале не стала в XVIII столетии стандартным способом объявить о последних научных достижениях.

Галилей принял теорию Коперника о том, что Земля вращается вокруг Солнца, но опровергал гипотезу Кеплера об эллиптической форме орбит планет. Несмотря на это, Галилей добился серьезных успехов в изучении движения сферических объектов другого типа. Летом 1592 года в качестве молодого профессора математики он посетил своего друга и покровителя, маркиза Гвидобальдо дель Монте в его замке в Урбино. Маркиз был назначен генеральным инспектором укреплений Тосканского герцогства, а это означало, что для него особый интерес представляла траектория движения пушечных ядер. Они летят по прямой линии, а затем падают вниз, как предполагала традиционная аристотелевская механика, или двигаются по какой-то кривой, прежде чем долетят до цели?

Для того чтобы выяснить это, друзья провели эксперимент, который оказался настолько простым, что трудно было поверить, как никто не додумался до этого раньше. Они взяли два небольших металлических шара, окунули их в чернила и запустили по диагонали по наклонной плоскости. След, оставленный каждым из шаров, представлял собой симметричную дугу. Галилей видел, что шары поднимаются вверх точно так же, как и опускаются вниз: траектория движения вверх представляет собой зеркальное отображение траектории падения. Эта симметрия навела Галилея на мысль о том, что движение можно разделить на горизонтальные и вертикальные элементы. В свободном полете характер движения объекта по горизонтали отличается от характера вертикального движения. Впоследствии Галилей провел и другие эксперименты с шарами, покрытыми чернилами, продемонстрировав, что если тело брошено со стола горизонтально, то:

1)-горизонтальное смещение пропорционально затраченному времени. Так, если тело проходит 1 единицу расстояния за 1 секунду, оно пройдет 2 единицы за 2 секунды, 3 единицы за 3 секунды и т. д.;

2)-вертикальное смещение пропорционально квадрату затраченного времени. Так, если тело падает на 1 единицу расстояния за 1 секунду, оно упадет на 4 единицы за 2 секунды, на 9 единиц за 3 секунды и т. д.

На основании знаний о свойствах конических сечений, открытых Аполлонием, Галилей смог сделать вывод, что траектория движения шара, запущенного со стола, представляет собой параболу, как показано на рисунке слева. Когда какое-либо тело, например баскетбольный мяч, запускается под углом (рисунок справа), оно тоже движется по параболе, но сначала мяч должен подняться по одной ее стороне, а затем опуститься по другой ее стороне. Такая парабола является траекторией движения объекта, свободно движущегося под воздействием силы тяжести. Это может быть струя фонтана, полет стрелы или движение мяча, брошенного в воздух. Писатель Томас Пинчон назвал свой выдающийся роман Gravity’s Rainbow в соответствии с описанием оставленного немецкой ракетой «Фау-2» параболического следа, представляющего собой метафору расцвета и падения культур.

На протяжении почти двух тысяч лет конические сечения считались вершиной древнегреческой математической мысли, красивыми кривыми без какой-либо практической функции. Затем были открыты сразу две области их применения, которые, как оказалось, «скрывались» у всех на виду: планеты перемещаются по эллиптическим орбитам, а брошенные тела — по параболам. В конце XVII века Исаак Ньютон продемонстрировал, как оба эти следствия вытекают из его законов движения и всемирного тяготения. Галилей и Кеплер изучали одну и ту же проблему в разных масштабах. (Строго говоря, брошенный в воздух камень на самом деле начинает двигаться по эллиптической орбите вокруг Земли, и он бы завершил процесс, если бы масса Земли была сосредоточена в ее центре. Однако, с точки зрения наблюдателя, мы можем предположить, что брошенный камень движется по параболе.)

У парабол есть одно важное, удивительное свойство: все они имеют одну и ту же форму. Как параболу ни уменьшай или ни увеличивай, она останется подобной другим параболам, точно так же как окружность не меняет своей формы при изменении диаметра. Это вытекает из нашего первоначального определения конических сечений, согласно которому каждый угол наклона секущей плоскости образует уникальную фигуру. Окружность и парабола могут быть образованы только под одним углом: в случае окружности секущая поверхность должна быть параллельной основанию конуса, а в случае параболы — боковой поверхности конуса. Эллипс и гипербола могут быть получены под разными углами наклона секущей поверхности, а значит, они могут иметь разную форму.

Для описания параболы существуют два определения: 1) это геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной линии, известных как фокус и директриса (см. рисунок 1); и 2) это кривая, которая, будучи сделанной из отражающего материала, отражает все лучи света, исходящего из фокуса, параллельно друг другу (см. рисунок 2).

Геометрия параболы

Первое определение предоставляет оригамистам легкий способ построения параболы. Обозначьте точку F на листе бумаги, как продемонстрировано на первом рисунке ниже. Возьмите произвольную точку P на нижней кромке листа и сложите лист так, чтобы совместить эти точки друг с другом, как показано стрелкой. Полученную линию сгиба отметьте пунктиром. Повторите данную процедуру для множества точек, расположенных на нижней кромке листа бумаги. Полученная в итоге кривая — это парабола. (Подсказка: каждый сгиб образует линию, точки которой равноудалены от фокуса и произвольной точки.)

Построение параболы посредством сгибания листа бумаги

Второе определение объясняет, почему парабола — самая распространенная кривая в магазине осветительных приборов. Если лампочка установлена в фокусе параболического зеркала, лучи света отражаются параллельно. Вращение параболы вокруг ее центральной оси образует параболоид, в форме которого и сделаны отражающие зеркала в фонариках, прожекторах и автомобильных фарах.

Этот процесс работает и в обратном направлении. Параллельные лучи света, поступающие в параболоид, отражаются его поверхностью в фокус. Следовательно, если задача рефлектора — собрать в пучок солнечные лучи (которые можно считать параллельными, поскольку Солнце находится очень далеко), понадобится параболическая поверхность. Параболоиды широко применяются в технологии использования солнечной энергии. Например, отражатель Шеффлера, параболическая металлическая чаша, повсеместно используется в развивающихся странах для приготовления пищи. Он направлен на Солнце и медленно поворачивается вслед за его движением, для того чтобы поймать как можно больше солнечных лучей, отражая их в одну и ту же точку (фокус), в которой находится плита. Самая мощная солнечная печь представляет собой параболическое зеркало высотой 45 метров, расположенное во французских Пиренеях, неподалеку от Одейо. Из-за огромных размеров само зеркало не двигается, а принимает отраженный солнечный свет от 63 маленьких плоских вращающихся зеркал. В фокусе зеркала находится круглый щит, который в солнечные дни нагревается до 3500 °С — достаточно высокая температура, для того чтобы варить свинец, плавить вольфрам или превратить дикого кабана в пепел.

Солнечная печь в Одейо, Франция

© Иэн Фрейзер/Shutterstock.com

Параболические антенны служат также для приема электромагнитных и звуковых волн, поступающих в фокус от удаленных объектов. Такие антенны уже стали привычным элементом городского пейзажа: чаще всего они устанавливаются на крышах домов тех людей, которые смотрят спутниковое телевидение, но их можно встретить и на командно-диспетчерских пунктах и военных объектах. Шпионы, инженеры звукозаписи на телевидении и орнитологи используют параболические микрофоны для улавливания тихих звуков с большого расстояния. Принцип во всех случаях один и тот же. Параболоид — единственная геометрическая фигура, отражающая параллельные волны в определенную точку.

В 1668 году Исаак Ньютон построил первый «отражающий» телескоп, ключевыми элементами которого были зеркала, а не линзы, использовавшиеся в телескопах до этого. Ньютон понял, что для основного зеркала самая оптимальная форма — параболоид, но не смог изготовить такое зеркало, поэтому ему пришлось довольствоваться сферическим. Однако даже при наличии подобного дефекта отражающий телескоп был гораздо лучше, чем предыдущие модели, поэтому, начиная с XVII века, большинство телескопов были зеркальными.

Кроме того, Ньютон сделал в отношении парабол одно открытие, которое представляло в то время сугубо теоретический интерес, а сейчас успешно применяется в промышленном производстве телескопов. Если вращать цилиндрический сосуд, наполненный жидкостью, ее поверхность принимает форму параболоида. Под воздействием вращения жидкость поднимается выше у стенок сосуда и образует углубление в центре, создавая поперечное сечение в форме параболы. На этом свойстве построен один из способов изготовления параболических зеркал — вращать сосуд с расплавленным стеклом и дать этому стеклу застыть в таком положении. Большой бинокулярный телескоп, один из самых мощных телескопов в мире, был сделан именно так. Телескоп состоит из двух параболических зеркал диаметром 8,4 метра, изготовленных в огромной вращающейся печи в подземной лаборатории, расположенной под футбольным полем Аризонского университета в Тусоне. Хотя лаборатория может выпускать в год всего по одному зеркалу ценой в десятки миллионов долларов, это все равно более дешевый и быстрый метод, чем изготовление аналогичного зеркала посредством шлифовки стекла.

Еще дешевле телескоп с жидким зеркалом — в нем используется вращающийся цилиндр, наполненный отражающей жидкостью. Большой зенитный телескоп возле Ванкувера представляет собой чашу, наполненную ртутью, которая во время вращения принимает форму параболоида. На настоящий момент это самый дешевый из крупных телескопов мира, но у него есть один серьезный недостаток: чаша вращается в горизонтальной плоскости, а значит, телескоп может быть направлен только прямо вверх, в зенит.

В 1637 году французский математик Рене Декарт изобрел систему координат, что стало самым значительным прорывом в понимании конических сечений со времен Аполлония. Декартова система координат определяет положение точки на плоскости по ее расстоянию от вертикальной и горизонтальной оси. Каждая точка имеет уникальные координаты (a, b), где a — это позиция на горизонтальной оси, а b — на вертикальной (см. рисунок 1 ниже). Данная система позволяла математикам описывать кривые посредством уравнений и представлять уравнения в виде кривых. Следовательно, она создала мост между геометрией, изучающей фигуры, и алгеброй, изучающей уравнения, которые были до этого разными математическими дисциплинами.

По сложившейся традиции мы записываем уравнения с помощью переменных x и y, отображающих позицию на горизонтальной и вертикальной оси, другими словами — координаты (x, y). Например, график уравнения x = y представляет собой совокупность всех точек с координатами (x, y), где x = y. Как показано на рисунке 2, это точки с координатами (1, 1), (2, 2), (3, 3) и т. д. С другой стороны, график уравнения y = x2 — это совокупность всех точек, у которых y = x2. Это точки с координатами (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9) и т. д. Такая кривая, представленная на рисунке 3, представляет собой параболу, касающуюся горизонтальной оси в начале системы координат или в точке с координатами (0, 0). Но, поскольку школьная программа больше ориентирована на алгебру, чем на геометрию, наша первая встреча с параболой происходит в момент построения графика уравнения y = x2. Возможно, вы узнаете ее как старого друга, первую U-образную кривую, которая встретилась вам в процессе изучения элементарной математики.

Декартова система координат

Корни алгебры лежат в решении практических задач. Например, какова формула площади квадрата? Если предположить, что x — это сторона квадрата, а y — его площадь, то эта формула выглядит так: y = x2. Когда в уравнении есть x2 или y2, но не более высокая степень x или y, оно называется квадратным уравнением. Вавилоняне изобрели собственные методы решения квадратных уравнений, в частности для задач, связанных с расчетом площадей. К началу эпохи Возрождения решение квадратных уравнений уже было хорошо изученной областью. Что же еще оставалось о них неузнанным?

Благодаря прямоугольной системе координат было установлено, что квадратные уравнения — это не что иное, как конические сечения. Другими словами, каждое квадратное уравнение описывает определенное коническое сечение, и каждое коническое сечение может быть описано квадратным уравнением. Два тщательно изученных раздела математики оказались альтернативным представлением друг друга. Общее квадратное уравнение Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, где A, B, C, D, E и F — это константы и хотя бы одна из констант A, B и C отлична от нуля, всегда отображается на графике в виде конического сечения, и наоборот: любое коническое сечение, отображенное на графике, может быть выражено в виде приведенного выше уравнения. На рисунке 4 уравнение эллипса будет таким: 2x2 + y2 + 8x = 0, а уравнение параболы — таким: 16x2 − 24xy + 9y2 − 38x − 84y + 121 = 0. В середине XIX века немецкий математик Август Фердинанд Мебиус открыл поразительное свойство параболы y = x2: эта кривая представляет собой Multiplikationsmaschine — «машину умножения».

Мебиус хорошо разбирался в геометрических изгибах: в буквальном смысле слова, как в случае ленты Мебиуса (скрученной полоски бумаги со склеенными концами), и в более абстрактном смысле — при вычислениях с помощью параболы. Этот метод представлен ниже на первом рисунке. Для того чтобы выполнить операцию a × b, достаточно нарисовать прямую линию между точками на параболе, где x = –a и x = b. Точка, в которой эта линия пересекает ось у, — и есть ответ! Все, что нужно, — это нарисовать линию и отметить точку пересечения. На рисунке справа — пример выполнения операции 2 × 3. Требуемая линия проходит через точки на параболе, в которых x = –2 и x = 3, и пересекает ось у в точке 6. Данный метод применим к любым двум числам (доказательство можно найти в Приложении 4).

Как умножить два числа с помощью параболы

Мебиус представил свою оригинальную машину умножения в 1841 году в ссылке к статье, опубликованной в августовском номере журнала Journal für die reine und angewandte Mathematik («Журнал чистой и прикладной математики»), и больше никогда не упоминал об этом методе. Однако идею решения арифметических задач с помощью геометрии впоследствии переосмыслил молодой французский математик Морис д’Окань. Он обнаружил, что кроме операции умножения можно, построив прямую линию между двумя точками на графике и записав ответ, выполнять и многие другие операции. В 1891 году д’Окань ввел термин «номограмма» для обозначения любой таблицы, которую можно использовать для таких вычислений, и сам составил множество таких таблиц. Каждая номограмма подходит для вычислений лишь по одной формуле. На представленном ниже рисунке изображена составленная в 1921 году номограмма для формулы расчета скорости перемещения потока воды через прямоугольное отверстие в плотине, где V — это скорость потока, h1 и h2 — высота верхнего и нижнего края отверстия. Прямая линия, проведенная через точки h1 и h2, пересечется с вертикальной линией в точке, соответствующей искомому значению V. Все, что необходимо для решения этого громоздкого уравнения, — линейка и твердая рука. Номограммы помогли избавиться от трудоемких вычислений, затратных по времени. Они широко применялись в инженерном и военном деле до 1970-х годов, когда электронный калькулятор в одночасье сделал их устаревшими. Гениальные, практические и зачастую красивые номограммы вышли из употребления, а номография стала забытым искусством.

До изобретения карманного калькулятора широко использовались вспомогательные вычислительные инструменты под названием «номограммы». Эта номограмма, составленная в 1921 году, вычисляет скорость потока воды в водосливе плотины

Из книги : Rodolphe Soreau, Nomographie, Chiron, 1921

Гипербола выделяется на фоне остальных конических сечений, поскольку состоит из двух частей. Для того чтобы понять, почему так происходит, мы должны вернуться к первоначальному определению конических сечений. Если нарисовать рисунок, отображающий весь процесс построения гиперболы, то на нем было бы видно, что на самом деле наш нож рассекает двойной конус, когда один конус расположен в перевернутом виде над другим идентичным конусом. В случае эллипса и параболы угол наклона секущей плоскости указывает, что эта плоскость никогда не достигнет верхнего конуса. Хотя, как показано на рисунке 1 ниже, в случае гипербол секущие плоскости всегда пересекают как верхний, так и нижний конусы, образуя при этом две симметричные U-образные ветви.

Благодаря гиперболе в геометрии появилась совершенно новая концепция — асимптота (еще один термин, введенный Аполлонием), прямая линия, к которой другая кривая приближается бесконечно близко, но никогда с ней не соприкасается. Как показано на рисунке 2, гипербола ограничена двумя пересекающимися асимптотами. Каждый незамкнутый фрагмент кривой постоянно приближается к асимптоте, но никогда не пересекается с ней. «Я уверен, что если бы геометр сознавал безнадежное и отчаянное стремление гиперболы соединиться со своими асимптотами, — писал испанский философ Мигель де Унамуно, — то он охарактеризовал бы гиперболу как живое и трагическое существо!» Гиперболы часто встречаются в быту. Как показано на рисунках 3 и 4, это могут быть дугообразные волны на заточенном карандаше (кончик — это конус, а плоская боковая сторона — секущая плоскость), а также тень, отбрасываемая лампой (пучок лучей света — это конус, а стена — секущая плоскость).

Гиперболы Асимптоты

У гиперболы два фокуса, как и у эллипса. Ее можно представить себе как эллипс, вытянутый до бесконечности в одном направлении, а затем развернутый в обратном направлении. Кроме того, гиперболу можно определить по свойствам двух ее фокусов, как это было сделано и в отношении эллипса. Гипербола — это путь, пройденный точкой, расстояния от которой до двух фокусов образуют постоянную разность, тогда как в случае эллипса они образуют постоянную сумму. На верхнем рисунке a — это расстояние от произвольной точки P до одного фокуса, а b — расстояние от точки P до другого фокуса. Гипербола — это геометрическое место точки P, для которой разность (a – b) имеет постоянное значение. Кроме того, гиперболу можно определить и через поведение лучей света. Лучи света от источника, находящегося в одном из фокусов, отражаются вовне гиперболического зеркала в направлении, противоположном другому фокусу, как показано на нижнем рисунке. Телескоп Ричи-Кретьена, наиболее распространенный тип больших астрономических телескопов, содержит именно гиперболические зеркала.

Геометрия гиперболы

Выше я уже предложил вам способы построения эллипса и параболы, поэтому считаю своим долгом сделать это и для гиперболы. На этот раз нам предстоит создать трехмерную модель. Мы сделаем гиперболоид — фигуру, напоминающую популярный в 1970-х годах пластиковый табурет, имеющий форму, которую можно получить посредством вращения гиперболы вокруг своей оси, как показано ниже на рисунке слева. Для создания данной конструкции нам понадобятся два круга из картона и несколько кусков проволочной нити (струны). На первом этапе, как показано на среднем рисунке, необходимо протянуть нить от одного круга к другому таким образом, чтобы образовать фигуру в форме цилиндра. На втором этапе (рисунок справа) нужно повернуть один из кругов. Полученная в итоге фигура и есть гиперболоид.

Гиперболоид и способ его построения с помощью проволочной нити

В XVII веке молодой английский профессор астрономии Кристофер Рен увидел в витрине магазина плетеную корзину, напоминающую своими очертаниями ту модель, которая показана на рисунке выше. Эта корзина навела его на мысль об одном поразительном свойстве гиперболоида: имея гладкую изогнутую поверхность, он состоит исключительно из прямых линий. Рен сразу же понял, как можно использовать это свойство для создания гиперболоидов из твердого материала с помощью прямой лопатки. Представьте себе, что на гончарном круге находится кусок глины цилиндрической формы. Разместите лопатку по диагонали к цилиндру таким образом, чтобы она немного погрузилась в глину. Удерживая лопатку в одном положении, сделайте один оборот гончарного круга — и цилиндр из глины превратится в гиперболоид. Рен заинтересовался изготовлением гиперболоидных линз для телескопов. Он даже не подозревал, что спустя столетия его открытие данного свойства гиперболоида найдет свое применение в архитектуре — области, в которой сам Рен получит впоследствии гораздо большую известность.

В XIX веке французский преподаватель математики Теодор Оливье создал несколько моделей гиперболоидов и других трехмерных конических фигур для использования в качестве учебных пособий. Сделанные из каркасов из дерева и металла, а также цветных проволочных нитей (струн), они стали весьма популярны в университетах. Некоторые из моделей Оливье были выставлены в лондонском Музее истории науки. В 1930-х годах британский художник Генри Мур посетил этот музей и пришел в такой восторг от увиденных моделей, что начал использовать проволочные нити в своих скульптурах. «Меня взволновало не научное назначение моделей, а возможность посмотреть сквозь эти струны, как через птичью клетку, и увидеть одну форму внутри другой», — объяснил он. Струнные модели Оливье — прекрасные объекты, завораживающие подобно оптической иллюзии, представляя кривые поверхности, образованные, как становится очевидным при ближайшем рассмотрении, прямыми линиями. (В конце XIX столетия личную коллекцию моделей Оливье выкупил Колледж Союза в городе Скенектади, в котором много лет спустя Арт Фриго создал свою игру «эллиптипул».)

Охлаждающие башни в виде гиперболоидов

© Kletr/Shutterstock.com

В представленной выше проволочной модели верхний круг вращается по часовой стрелке, поэтому на передней наклонной плоскости куски проволочной нити наклонены следующим образом: \. Если повернуть этот круг на аналогичный угол в противоположном направлении, получится идентичный гиперболоид, но наклон проволочной нити будет таким: /. Для того чтобы плетеная корзина в форме гиперболоида была прочной, ее следует изготовлять из прутьев лозы, переплетенных в обоих направлениях. Более крупные гиперболоидные конструкции, выполненные в виде решетки из стальных балок, невероятно устойчивы. Это и есть способ создания больших криволинейных конструкций с использованием только прямых балок. Первым гиперболоидным сооружением в архитектуре была 37-метровая водонапорная башня в Нижнем Новгороде, построенная в 1896 году; впоследствии появилось много сооружений подобного типа. Бетонные охлаждающие башни электростанций имеют форму гиперболоида, как и телебашня Гуанчжоу высотой 600 метров — четвертое по высоте автономное сооружение в мире.

Я рассказал о гиперболе в последнюю очередь, хотя это именно то коническое сечение, с которым мы уже встречались. Когда две величины обратно пропорциональны друг другу, как было с частотностью употребления слов в романе Джеймса Джойса «Улисс» и их порядковым номером в списке, их математическую зависимость можно представить в таком виде: , где k — это константа. Данное уравнение описывает гиперболу, в которой в качестве асимптот выступают горизонтальная и вертикальная оси. Многие законы природы включают в себя обратно пропорциональные величины — например закон Бойля—Мариотта, который гласит, что давление газа обратно пропорционально его объему. Следовательно, гиперболы широко распространены в науке. Даже такой общеизвестный статистический термин, как «длинный хвост», используется во многих случаях как эвфемизм для замещения гиперболы и ее асимптоты.

Кривая — это гипербола

Мы начали эту главу с определения конических сечений как фигур, образующихся в результате рассечения конуса секущей плоскостью, а затем проанализировали свойства каждой фигуры в отдельности. А завершим последним, всеобъемлющим определением: конические сечения — это кривые, для которых отношение расстояний до точки (фокуса) и до прямой (директрисы) представляет собой постоянную величину. Если отношение расстояния от кривой до точки к расстоянию от кривой до прямой линии больше 1 (а это значит, что кривая всегда пропорционально ближе к директрисе, чем к фокусу), мы имеем гиперболу, как показано на рисунке ниже. Когда это соотношение равно 1 — параболу, а когда оно меньше 1 — речь идет об эллипсе. Данные соотношения известны как эксцентриситеты каждой кривой, поскольку они показывают степень их отклонения от окружности. На представленном ниже рисунке изображены три кривые с общим фокусом F и общей директрисой. Эксцентриситет эллипса составляет 0,75, гиперболы — 1,25.

Гипербола A1 /A2 = k > 1

Парабола B1 /B2 = 1

Эллипс C1 /C2 = k < 1

Окружность Эксцентриситет=0

Конические сечения: семейство эксцентриков

А теперь представьте, что вы — астроном, а размещенный выше рисунок — модель Солнечной системы. Пусть F — это Солнце. Конические сечения с фокусом в точке F и есть совокупность всех возможных орбит небесных тел.

Планеты вращаются вокруг Солнца по эллипсам: у орбиты Земли эксцентриситет 0,0167, что очень близко к окружности. Чем быстрее объект перемещается по своей орбите, тем больше ее эксцентриситет. Например, орбитальная скорость кометы Галлея в два раза больше орбитальной скорости Земли. Орбита кометы напоминает доску для серфинга, на одном конце которой находится Солнце; именно поэтому на протяжении всех 75 лет, требующихся комете Галлея для прохождения орбиты, она находится слишком далеко, чтобы увидеть ее невооруженным глазом. Эксцентриситет орбиты кометы Галлея — 0,967, что близко к параболе. Когда эксцентриситет орбиты кометы равен 1, она представляет собой параболу, а это значит, что комета пройдет рядом с Солнцем только один раз за время своего существования, после чего покинет Солнечную систему навсегда. Если эксцентриситет орбиты кометы больше 1, эта орбита является гиперболой. Однако такие кометы — крайне редкие явления, а орбитальная скорость тех, которые обнаружены, незначительно превышает скорость, необходимую для того, чтобы отклониться от эллиптической орбиты. Комета C/1980 E1, замеченная в 1980 году, перемещается по орбите с эксцентриситетом 1,057 — это самый большой эксцентриситет из всех когда-либо зарегистрированных.

Представьте, что директриса и фокус F на рисунке зафиксированы. Посмотрим, что произойдет с коническими сечениями в случае изменения эксцентриситета. Когда он равен нулю, кривая представляет собой окружность с центром в фокусе F. Теперь медленно увеличим эксцентриситет от 0 до 1. Появляется эллипс, который становится все больше и больше. Поскольку точка F зафиксирована, другой фокус, обозначенный как f, начнет медленно смещаться вправо по мере увеличения эллипса. Как только эксцентриситет достигнет значения 1, эллипс превратится в параболу, а точка f станет бесконечно удаленной. Если сделать эксцентриситет больше 1, кривая превратится в гиперболу, а в левой части рисунка появится второй фокус f. По мере дальнейшего роста эксцентриситета все полученные кривые будут гиперболами, а фокус f будет смещаться все дальше вправо. В своем труде The Optical Part of Astronomy («Оптика в астрономии») Иоганн Кеплер впервые высказал идею о том, что конические сечения могут превращаться друг в друга так, как это показано выше. Подобно многим другим идеям Кеплера, эта имела переломное значение, поскольку позволила по-новому взглянуть на две концепции, над которыми веками бились философы: непрерывность и бесконечность. Это был важный шаг на пути к новому способу выполнения математических вычислений. Мы вернемся к великому немцу и его пониманию данных концепций чуть позже, при обсуждении исчислений бесконечно малых величин.

Конические сечения — одно из величайших наследий древнегреческой математики: простые в описании, поддающиеся наблюдению повсюду, они положены в основу прекрасных теорий и нашли неподвластное времени применение во многих областях. Возможно, у вас создалось впечатление, что окружность — наименее интересная разновидность эллипса. Но это далеко не так. Окружность сама по себе заслуживает отдельной главы.