Часть IV. Геометрия с КОМПАС-3D. «КОМПАС-3D для студентов и школьников. Черчение, информатика, геометрия»

Глава 11

Решения планиметрических задач с помощью двумерного редактора

Известны успешные попытки использования, при изучении в школе геометрии, специализированных графических сред, например Windows-приложения Geometer’s Sketchpad. Альтернативы такому подходу не было, т. к. среды конечных пользователей, являвшиеся инструментами профессионалов, из-за высокой стоимости легально не применялись в образовательных учреждениях. Некоммерческое распространение учебных версий, в том числе графических пакетов, поставило вопрос о разумном выборе базового программного обеспечения, с помощью которого в общеобразовательных учреждениях решаются задачи геометрического моделирования в курсах информатики, черчения, геометрии.

11.1. Примеры решения задач на построение

Рассмотрим примеры решения школьных геометрических задач с помощью двумерного редактора КОМПАС-3В LT.

Пример 11.1

Условие. Построить квадрат по точкам А и В на серединах смежных сторон.

Решение. На рис. 11.1 показаны этапы построения квадрата с указанием необходимых для решения команд.

Пример 11.2

Условие. Построить квадрат по центру С и точкам А и В на одной из сторон.

Решение. На рис. 11.2 показаны этапы построения квадрата с указанием необходимых для решения команд.

Пример 11.3

Условие. Построить квадрат AEFG, площадь которого вдвое меньше площади квадрата ABCD, а вершина F принадлежит диагонали АС.

Решение. На рис. 11.3 показаны этапы построения квадрата с указанием необходимых для решения команд.

Пример 11.4

Условие. Построить параллелограмм по серединам трех сторон — точкам А, В, С.

Решение. На рис. 11.4 показаны этапы построения квадрата с указанием необходимых для решения команд.

Пример 11.5

Условие. Из точки А провести к окружности диаметром D = 20 мм с центром О две касательные АВ и АС, где В и С — точки касания. /_ ВАС = φ. Определить:

□ длину отрезка О А и угол φ, если ВС = 16 мм;

□ длину отрезка ВС и угол φ, если АО = 25 мм;

□ длину отрезков ВС и АО, если φ = 80°.

Решение. На рис. 11.5 указаны команды проведения касательных для определения искомых величин. Знаком «*» отмечены искомые величины, полученные в результате нанесения соответствующих размеров.

Пример 11.6

Условие. Стороны АВ и АС треугольника ABC являются касательными окружности радиуса R с центром О. /_ ВАС = φ. Определить:

□ радиус R и длину отрезка ОА, если ВС = 16 мм, φ = 50°;

□ радиус R и длину отрезка ВС, если АО = 20 мм,φ = 50°;

□ радиус R и угол ср, если АО = 30 мм, ВС =18 мм.

Решение. На рис. 11.6 указаны команды проведения окружностей для определения искомых величин. Знаком «*» отмечены искомые величины, полученные в результате нанесения соответствующих размеров.

Пример 11.7

Условие. Определить периметр треугольника ABC, с медианой AK = 25 мм, построенного по следующим исходным данным:

□ AK = 20 мм, BK = 16 мм;

□ ВС = 35 мм, высота АР =15 мм;

□ ВС = 32 мм, АВ = 16 мм.

Решение. На рис. 11.7 частично показаны вспомогательные окружности, с помощью которых определяются вершины искомых треугольников. Рассмотрим последовательности построений:

□ а — отрезок АВ; окружности с центром А радиуса 20 мм и с центром В радиуса 16 мм; с центром K радиуса 16 мм;

□ б — отрезок СВ; окружности с центром K радиуса 17,5 мм и радиуса 20 мм;

□ в — окружности с центром K радиуса 16 мм и радиуса 20 мм; с центром В радиуса 16 мм.

11.2. Примеры по разным темам с решениями

Пример 11.8

Условие. Две окружности, диаметры которых равны 30 и 20 мм, имеют внутреннее касание в точке А (рис. 11.8, а). Найти диаметр третьей окружности, касающейся двух и их общего диаметра.

Решение. Вначале необходимо построить две окружности заданных диаметров и отрезок, проходящий через их центры. Затем необходимо вызвать команду Окружность, касательная к трем кривым, построить третью окружность и измерить ее диаметр.

Пример 11.9

Условие. В прямоугольном треугольнике ABC, гипотенуза АВ которого равна 30 мм, проведены медианы АМ и BN (рис. 11.8, б). Известно, около четырехугольника ABMN можно описать окружность. Найти ее диаметр.

Решение. Вначале строится отрезок АВ заданной длины. Затем из точек А и В проводятся два отрезка под углами 135° и 45° и с использованием команды Выровнять по границе определяется точка С. При включенной привязке Середина несложно провести медианы АМ и BN. На заключительном этапе проводится Окружность по трем точкам и определяется ее диаметр.

Пример 11.10

Условие. Точка K лежит на продолжении стороны AD ромба ADCD за точку D, Е — точка пересечения АС и BK (рис. 11.9), AK = 70 мм, точки А, В и Е лежат на окружности диаметра 60 мм, центр которой принадлежит отрезку AK. Найти длину отрезка BK.

Решение. В данном примере графическое решение получается в результате построения параметрических изображений. Рассмотрим этапы решения примера, показанные на рис. 11.9:

□ а — строится окружность и отрезок заданных размеров. Положение окружности фиксируется привязками к взаимно перпендикулярным отрезкам;

□ б — из точки D проводится дуга с центром в точке А;

□ в — точка дуги В привязкой Точка на кривой перемещается на окружность. Концы отрезков из точек А и K совмещаются с точкой В. В результате точка В может перемещаться по окружности, при этом длины отрезков АВ и KB будут изменяться;

□ г — проводится отрезок DC, параллельный и равный отрезку АВ. Точки пересечения отрезков BK и АС с окружностью еще не совпадают;

□ д — точки пересечения отрезков BK и АС с окружностью объединяются в точке Е, за счет изменения геометрии изображения на рис. 11.10, г. Измеряется длина отрезка BK = 35 мм.

Пример 11.11

Условие. Трапеция AEFG с основаниями ЕF и AG расположена в квадрате ABCD со стороной 14 так, что точки E, F и G лежат на сторонах AB, BC и CD соответственно (рис. 11.10). Диагонали AF и EG перпендикулярны, а EG = 10√2. Найти периметр трапеции.

Решение. На рис. 11.10, а показано, что трапеция с взаимно перпендикулярными диагоналями имеет равные по длине боковые стороны, а точка пересечения диагоналей располагается на отрезке, соединяющем середины параллельных сторон трапеции. На рис. 11.10, б выполнены построения по размерам стороны AF и стороны EG, которая симметрична AF относительно отрезка BD, с помощью команды Симметрия. На рис. 11.10, в показаны измеренные длины сторон трапеции, что позволяет найти периметр трапеции, равный 45.

11.3. Сведение стереометрических задач к планиметрическим

Основной способ решения стереометрических задач — сведение их к планиметрическим. Для этого можно применить метод проекций, заключающийся в проецировании геометрического объекта на подходящую плоскость. Преимуществом метода проекций является то, что он позволяет отобразить на плоском рисунке и увязать друг с другом элементы объектов, не лежащие в одной плоскости. При этом если объект расположить надлежащим образом по отношению к плоскости рисунка, то искомые метрические характеристики (и линейные, и угловые) проецируются на подходящую плоскость в заранее предусмотренном виде, например в натуральную величину.

Пример 11.12

Условие. Дана правильная пятиугольная пирамида ABCDEF. Радиус окружности, описанной вокруг основания АВCDE, равен 16 мм. Высота пирамиды 25 мм. Определить следующие метрические характеристики:

□ длину бокового ребра AF и угол его наклона к основанию;

□ расстояние от вершины В до противоположной грани и высоту этой грани;

□ угол между гранями с общим ребром AF и расстояние от этого ребра до ребра CF;

□ диаметры вписанной в пирамиду и описанной вокруг пирамиды сфер;

□ угол между ребрами BF и EF, соединяющими вершину пирамиды с противолежащими вершинами основания;

□ угол между боковыми гранями Е = BCF и Q = DEF, не имеющими общего ребра.

Решение примера представлено на рис. 11.11.

Глава 12

Создание 30-моделей элементарных геометрических тел

Геометрическое тело — часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью.

Поверхность — это множество всех последовательных положений движущей линии. Эта линия, называемая образующей, при движении может сохранять или изменять свою форму.

Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями, называемыми направляющими, по которым скользит образующая при своем движении.

Рассматривая образование геометрических тел, необходимо отметить, что одно и то же геометрическое тело (а следовательно, и его модель) может быть получено различными способами.

В данной главе рассматриваются приемы создания различными способами твердотельных моделей элементарных геометрических тел — выпуклых многогранников и тел вращения.

12.1. Гранные поверхности и многогранники

Гранные поверхности — поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей по направляющей, представляющей собой ломаную линию. На рис. 12.1 показан пример пирамидальной и призматической поверхностей.

Пирамидальная поверхность образована движением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, при этом одна точка, S — вершина образующей, неподвижна.

Призматическая поверхность образована движением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, при этом образующая перемещается параллельно некоторому наперед заданному направлению.

Многогранники — замкнутые поверхности, образованные некоторым количеством граней.

Выпуклый многогранник расположен по одну сторону плоскости каждой грани многогранника. Сами грани также являются выпуклыми многогранниками.

Пирамида (рис. 12.2, а) — многогранник, у которого одна грань, принимаемая за основание, является многоугольником, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей точкой S, называемой вершиной.

В зависимости от числа вершин у многоугольника основания, пирамиду называют: треугольной, если в основании треугольник; четырехугольной, если в основании четырехугольник, и т. д.

Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, с центром которого совпадает высота правильной пирамиды. Если пирамида является правильной, то в нее или около можно вписать или описать сферу, центр которой лежит на высоте пирамиды.

Призма (рис. 12.2, б) — многогранник, у которого две грани — основания являются одинаковыми и взаимно параллельными многоугольниками, а остальные грани (боковые) — четырехугольниками.

Прямая призма имеет боковые ребра, которые перпендикулярны основанию.

Правильная призма — это прямая призма, у которой основания — правильные многоугольники.

Призматоид — многогранник, у которого параллельные основания являются многоугольниками с произвольным числом углов, боковые грани — треугольники (рис. 12.3, а) или трапеции (рис. 12.3, б).

Правильные многогранники имеют все грани в виде правильных и конгруэнтных многоугольников, а многогранные углы при вершинах выпуклые и содержат одинаковое число граней.

Гранями правильных многогранников могут быть только правильные треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Одной из особенностей правильных многогранников является то, что каждый из них вписывается в сферу. Примерами правильных многогранников являются:

□ тетраэдр — правильный четырехгранник (рис. 12.4, а);

□ гексаэдр — правильный шестигранник (рис. 12.4, б);

□ октаэдр — правильный восьмигранник (рис. 12.4, в);

□ додекаэдр — правильный двенадцатигранник (рис. 12.4, г);

□ икосаэдр — правильный двадцатигранник (рис. 12.4, д).

12.2. Моделирование правильных многогранников

Рассмотрим примеры 3D-моделирования правильных многогранников.

Пример 12.1

Условие. Создать твердотельную модель куба (см. рис. 12.4, б).

Решение. Модель куба получим в результате выдавливания квадрата на расстояние, равное его стороне.

1. Для создания модели выполните команду Файл | Создать или нажмите кнопку Создать на панели Стандартная:

В открывшемся окне выберите тип нового документа Деталь.

В Дереве модели укажите Плоскость XY. Введите название модели — Куб (рис. 12.5).

2. Нажмите кнопку Эскиз на панели Текущее состояние:

Плоскость ху станет параллельной экрану.

3. В появившейся Компактной панели нажмите кнопку переключения Геометрия для вызова соответствующей Инструментальной панели:

4. На панели Глобальные привязки включите привязку По сетке, а также включите изображение сетки на экране. Выберите команду Прямоугольник по центру и вершине на Инструментальной панели режима Геометрия:

5. Укажите точку — центр квадрата. Постройте квадрат со стороной, например, 50 мм (рис. 12.6).

Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз:

6. Нажмите кнопку Операция выдавливания:

на панели Редактирование детали:

Внизу экрана появится Панель свойств, на которой установите параметры выдавливания: Прямое направление; Расстояние 1 — 50.0. Ввод параметров заканчивается нажатием кнопки Создать объект:

7. После включения Ориентация | Диметрия и команды Полутоновое изображение на панели Вид получится показанное на рис. 12.7 изображение куба.

Пример 12.2

Условие. Создать твердотельную модель тетраэдра (см. рис. 12.4, а).

Решение. На рис. 12.8, а показаны две проекции тетраэдра с указанием связи между его основными параметрами, на рис. 12.8, б — проекции тетраэдра и описанной вокруг него сферы, а на рис. 12.8, в — проекции тетраэдра и вписанной сферы.

Модель тетраэдра создадим по сечениям. Первое сечение — основание тетраэдра, построенное, например, по величине радиуса R вписанной окружности. Вторым сечением будет вершина D, положение которой определяется известными соотношениями (рис. 12.8, а).

В табл. 12.2 описаны действия, необходимые для создания 3D-модели тетраэдра.

1. Для создания модели выполните команду Файл | Создать или нажмите кнопку Создать на панели Стандартная:

В открывшемся окне выберите тип нового документа Деталь.

2. В Дереве модели укажите Плоскость ХY. Введите название модели — Тетраэдр (рис. 12.9).

3. Нажмите кнопку Эскиз на панели Текущее состояние:

Плоскость ху станет параллельной экрану.

4. В появившейся Компактной панели нажмите кнопку переключения Геометрия для вызова соответствующей Инструментальной панели:

5. Выберите команду Многоугольник:

В Панели свойств укажите количество вершин многоугольника — 3.

6. Укажите точку центра многоугольника. Постройте треугольник по диаметру вписанной окружности, равному, например, 30 мм (рис. 12.10).

Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз:

7. В Дереве модели укажите Плоскость ZY. Нажмите кнопку Эскиз на панели Текущее состояние:

Выполните команды Операции | Спроецировать объект и укажите ребро основания. Измените стиль линии спроецированного отрезка. Проведите горизонтальную ось из начала координат и дугу R45 с центром в начале спроецированного отрезка (стиль Основная не использовать) — рис. 12.11.

На панели Геометрия:

выберите команду Точка:

Укажите точку пересечения оси и дуги (вершины D). Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз:

8. Нажмите кнопку Операция по сечениям:

на панели Редактирование детали:

9. В Дереве модели укажите Эскиз: 1 и Эскиз: 2. Эти названия появятся в списке сечений Панели свойств. Нажмите кнопку Создать объект:

10. После задания Ориентация | Изометрия YZX и включения команды Невидимые линии тонкие:

на панели Вид получится изображение тетраэдра, показанное на рис. 12.4, а.

Пример 12.3

Условие. Создать параметрическую твердотельную модель тетраэдра, геометрией которого можно управлять, задавая длину ребра.

Решение. Для создания модели:

1. Выполните команду Файл | Создать или нажмите кнопку Создать на панели Стандартная:

В открывшемся окне выберите тип нового документа Деталь.

2. В Дереве модели укажите Плоскость ZХ. Введите название модели — Тетраэдр п_р_м.

3. Нажмите кнопку Эскиз на панели Текущее состояние:

Выберите команду Многоугольник:

В Панели свойств укажите количество вершин многоугольника — 3. Укажите точку центра многоугольника.

Постройте треугольник по диаметру вписанной окружности, равному, например, 30 мм.

4. На панели Параметризация выберите команду Горизонтальность (рис. 12.12, а) и укажите отрезок, который должен быть горизонтальным (для исключения при изменении геометрии тетраэдра возможных поворотов в пространстве его основания). Чтобы обеспечить равенство длин ребер тетраэдра, выберите команду Равенство длин (рис. 12.12, б) и попарно укажите отрезки.

5. Нанесите в эскизе два фиксированных размера и присвойте этим размерам имена L1 и L (рис. 12.13).

6. Выполните команды Вид | Панели инструментов | Переменные. В колонке Выражение в строке L1 введите: L/2 (рис. 12.14, а). В строке L введите новое значение длины стороны треугольника: 50 (рис. 12, 14, б).

В эскизе изменится геометрия треугольника. Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз:

7. В Дереве модели укажите Плоскость ZY. Нажмите кнопку Эскиз:

8. В эскизе 2 выполните команды Операции | Спроецировать объект и укажите ребро основания. Измените стиль линии спроецированного отрезка. Проведите горизонтальную ось из начала координат и отрезок из начала спроецированного отрезка под заданным углом (рис. 12.15). При построении отрезков стиль Основная не использовать.

9. На панели Геометрия:

выберите команду Точка:

Укажите точку пересечения оси и дуги (Вершины D). Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз:

10. Нажмите кнопку Операция по сечениям:

на панели Редактирование детали:

11. В Дереве модели укажите Эскиз: 1 и Эскиз: 2. Эти названия появятся в списке сечений Панели свойств. Нажмите кнопку Создать объект:

12. После задания Ориентация | Изометрия YZX и включения команды Невидимые линии тонкие:

на панели Вид получится изображение тетраэдра, показанное на рис. 12.4, а.

Для последующего изменения геометрии тетраэдра, достаточно в окне Переменные (см. рис. 12.14, б) в строке L ввести новое значение длины ребра тетраэдра.

Следует отметить, что 3D-модель тетраэдра можно создать и другим способом, в результате выдавливания равностороннего треугольника с уклоном внутрь. При этом необходима информация о величинах:

□ А — глубины выдавливания;

□ В — угла уклона.

Пример 12.4

Условие. Создать твердотельную модель октаэдра (см. рис. 12.4, в).

Решение. На рис. 12.16, а показана фронтальная и горизонтальная проекция октаэдра. Определим величины А и В для конкретного примера (рис. 12.16, б), в котором длина ребра октаэдра равна 50 мм. В результате несложных построений и измерений (рис. 12.16, в) определяем: А = 35,35 мм, В = 35,268°.

На примере создания модели октаэдра рассмотрим полнофукциональное использование операции Выдавливание.

1. Для создания модели выполните команду Файл | Создать или нажмите кнопку Создать на панели Стандартная:

В открывшемся окне выберите тип нового документа Деталь.

2. В Дереве модели укажите Плоскость ХY . Введите название модели — Октаэдр (рис. 12.17).

3. Нажмите кнопку Эскиз на панели Текущее состояние:

Плоскость ху станет параллельной экрану.

5. На панели Глобальные привязки включите привязку По сетке и изображение сетки на экране. Выберите команду Прямоугольник по центру и вершине:

6. Укажите точку центра квадрата. Постройте квадрат со стороной, например 50 мм. Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз:

7. Нажмите кнопку Операция выдавливания:

на панели Редактирование детали:

Внизу экрана появится Панель свойств, на которой установите параметры выдавливания: Два направления; Расстояние 1 — 35.35; Уклон 1 — 35.268; Расстояние 2 — 35.35; Уклон 2 — 35.268. Ввод параметров заканчивается нажатием кнопки Создать объект:

8. После включения Ориентация | Диметрия и команды Невидимые линии тонкие:

на панели Вид получится изображение октаэдра, показанное на рис. 12.4, в.

При создании моделей правильных многогранников выбиралась пользовательская ориентация Изометрия YZX. Это позволяло нагляднее представлять модели куба и октаэдра с помощью ориентации Диметрия по сравнению с выбором других пользовательских ориентаций Изометрия.

Пример 12.5

Условие. Создать твердотельную модель икосаэдра (см. рис. 12.4, д).

Решение. На рис. 12.18 проиллюстрированы этапы создания 3D-модели икосаэдра.

Рассмотрим последовательность действий, необходимых для создания 3D-модели икосаэдра.

1. Выберите Создать | Деталь | кнопка OK. В Дереве модели укажите Плоскость ХY. Введите название модели — Икосаэдр.

Нажмите кнопку Эскиз:

В появившейся Компактной панели нажмите кнопку переключения Геометрия для вызова соответствующей Инструментальной панели:

2. Выберите команду Многоугольник:

В Панели свойств укажите количество вершин многоугольника — 5. Укажите точку центра многоугольника. Постройте пятиугольник по диаметру описанной окружности, равному, например, 40 мм (рис. 12.19).

Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз:

3. Нажмите кнопку Операция выдавливания:

на панели Редактирование детали:

Внизу экрана появится Панель свойств, на которой установите параметры выдавливания: Прямое направление; Расстояние 1 — 12.36; Уклон 1 — 52.6227, Ввод параметров заканчивается нажатием кнопки Создать объект:

Результат представлен на рис. 12.20.

4. Выберите Операции | Плоскость | Смещенная. В Панели свойств укажите Расстояние — 20; направление смещения — Обратное направление. Нажмите кнопку Создать объект:

Результат представлен на рис. 12.21.

5. В Дереве модели укажите Смещенная плоскость: 1 и откройте Эскиз: 2. Постройте пятиугольник с известным центром по диаметру описанной окружности, равному 40 мм. Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз:

6. Нажмите кнопку Операция выдавливания:

на панели Редактирование детали:

На Панели свойств установите параметры выдавливания: Обратное направление; Расстояние 1 — 12.36; Уклон 1 — 52.6227.

Ввод параметров заканчивается нажатием кнопки Создать объект:

Результат представлен на рис. 12.22.

7. Выберите Операции | Плоскость | Через три вершины.

Укажите одну вершину в нижнем пятиугольнике и две в верхнем. Нажмите кнопку Создать объект:

В Дереве модели появится объект Плоскость через три вершины: 1.

Укажите его и откройте Эскиз: 3. В эскизе отрезками соедините 3 вершины (рис. 12.23).

Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз:

8. Нажмите кнопку Операция выдавливания:

на панели Редактирование детали:

На Панели свойств установите параметры выдавливания: Обратное направление; Расстояние 1 — 20. Ввод параметров заканчивается нажатием кнопки Создать объект:

Результат представлен на рис. 12.24.

9. Выберите Операции | Плоскость | Через три вершины.

Укажите одну вершину в верхнем пятиугольнике и две в нижнем. Нажмите кнопку Создать объект:

В Дереве модели появится объект Плоскость через три вершины: 1.

Укажите его и откройте Эскиз: 4. В эскизе отрезками соедините 3 вершины (рис. 12.25). Закройте эскиз.

10. Нажмите кнопку Операция выдавливания:

на панели Редактирование детали:

На Панели свойств установите параметры выдавливания: Обратное направление; Расстояние 1 — 20; Уклон внутрь; Угол — 3. (Угол может быть задан в диапазоне 3—10°.) Ввод параметров заканчивается нажатием кнопки Создать объект:

Результат представлен на рис. 12.26.

Команда Массив по концентрической сетке используется на заключительном этапе создания 3D-модели икосаэдра. Команды создания массивов находятся в меню Операции. Кнопки для их быстрого вызова расположены на панели Редактирование детали.

Для создания массива по концентрической сетке вначале выделите в Дереве модели исходные элементы: Операция выдавливания: 3 и Операция выдавливания: 4. Выберите ось копирования — Ось Z, указав ее в Дереве модели. Название объекта-оси появится в поле Ось на Панели свойств. Введите в поле N1 количество окружностей концентрической сетки — 1. В поле N2 введите количество лучей концентрической сетки, т. е. укажите, сколько копий должно появиться, — 5. В поле Шаг 2 введите 360. В группе Режим 2 активизируйте переключатель, соответствующий введенному значению шага — Шаг между крайними экземплярами. Нажмите кнопку Создать объект:

В результате получим твердотельную модель икосаэдра, показанную на рис. 12.4, д.

12.3. Моделирование призматоидов

Пример 12.6

Условие. Создать твердотельную модель призматоида с треугольными гранями (см. рис. 12.3, а).

Решение. В этом примере рассмотрим использование пользовательской ориентации Изометрия XYZ. Далее раскрыта последовательность действий, необходимых для создания 3D-модели призматоида.

1. Выполните команды Файл | Создать | Деталь. На панели Вид нажмите кнопку списка справа от кнопки Ориентация:

Укажите вариант Изометрия XYZ. В Дереве модели укажите Плоскость ZX. Введите название модели — Призматоид_1.

Нажмите кнопку Эскиз на панели Текущее состояние:

2. В появившейся Компактной панели нажмите кнопку переключения Геометрия для вызова соответствующей Инструментальной панели:

Выберите команду Многоугольник:

В Панели свойств укажите количество вершин многоугольника — 3. Укажите точку центра многоугольника. Постройте треугольник по диаметру вписанной окружности, равному, например, 60 мм (рис. 12.27).

На панели Геометрия:

выберите команду Точка:

Укажите вершины треугольника. Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз:

3. Нажмите кнопку Операция выдавливания:

на панели Редактирование детали:

Внизу экрана появится панель свойств, на которой установите параметры выдавливания: Прямое направление; Расстояние 1 — 60.0. Ввод параметров заканчивается нажатием кнопки Создать объект:

4. Щелчком мыши выделите верхнюю грань призмы и создайте показанный на рис. 12.29 эскиз в этой грани.

Выберите команду Точка:

Укажите вершины треугольника.

Закройте эскиз.

5. Выполните команды Операции | Плоскость | Через три вершины.

Укажите одну вершину в нижней грани и две в верхней. В Дереве модели появится объект Плоскость через три вершины: 1 (рис. 12.30).

6. Выполните команды Операции | Сечение | Поверхностью. В Дереве модели укажите объект Плоскость через три вершины: 1.

В Панели свойств укажите направление отсечения — Обратное направление.

Нажмите кнопку Создать объект:

Результат приведен на рис. 12.31.

7. Выполните команды Операции | Плоскость | Через три вершины.

Укажите одну вершину в нижней грани и две в верхней. В Дереве модели появится объект Плоскость через три вершины: 2.

Выполните команды Операции | Сечение | Поверхностью. В Дереве модели укажите объект Плоскость через три вершины: 2.

В Панели свойств укажите направление отсечения — Обратное направление. Нажмите кнопку Создать объект:

Результат приведен на рис. 12.32.

8. Выполните команды Операции | Плоскость | Через три вершины.

Укажите одну вершину в нижней грани и две в верхней. В Дереве модели появится объект Плоскость через три вершины: 3.

Выполните команды Операции | Сечение | Поверхностью. В Дереве модели укажите объект Плоскость через три вершины: 3.

В Панели свойств укажите направление отсечения: Обратное направление. Нажмите кнопку Создать объект:

Результат приведен на рис. 12.33.

Пример 12.7

Условие. Создать твердотельную модель призматоида с гранями — трапециями (см. рис. 12.3, б).

Решение. В этом примере сопоставим применение пользовательских ориентаций Изометрия XYZ и Изометрия YZX. Далее описаны действия, необходимые для создания 3D-модели призматоида.

1. Выполните команду Файл | Создать | Деталь.

На панели Вид нажмите кнопку списка справа от кнопки Ориентация:

Укажите вариант Изометрия XYZ.

В Дереве модели укажите Плоскость ZX. Введите название модели — Призматоид_2.

Нажмите кнопку Эскиз на панели Текущее состояние:

3. На панели Глобальные привязки включите привязку По сетке и изображение сетки на экране. Изобразите трапецию (рис. 12.34), выбрав команду Непрерывный ввод объектов:

4. Нажмите кнопку Операция выдавливания:

на панели Редактирование детали:

Внизу экрана появится Панель свойств, на которой установите параметры выдавливания: Прямое направление; Расстояние 1 — 30.0; Угол внутрь; Угол 1 — 15. Ввод параметров заканчивается нажатием кнопки Создать объект:

После включения Ориентация | Изометрия XYZ и команды Полутоновое на панели Вид получится показанное на рис. 12.35 изображение призматоида.

5. Выполните команды Файл | Создать | Деталь.

Выберите Вид | Ориентация | Изометрия YZX.

В Дереве модели укажите Плоскость XY. Введите название модели — Призматоид_3. Откройте эскиз и изобразите трапецию по указанным размерам (рис. 12.36).

6. Закройте эскиз. Нажмите кнопку Операция выдавливания:

на панели Редактирование детали:

После включения Ориентация | Диметрия и команды Полутоновое на панели Вид получится показанное на рис. 12.37 изображение призматоида.

Итак, видно, что одинаково расположенные 3D-модели, созданные с применением разных пользовательских ориентаций, получаются по эскизам, расположенным по-разному. При этом связь между расположением эскизов и моделей далеко не очевидна. Преимуществом применения пользовательской ориентации Изометрия XYZ является получение по 3D-модели адекватно расположенных ортогональных проекций моделируемых объектов.

12.4. Моделирование правильных треугольных пирамид

Если 3D-модель тетраэдра можно построить по одному параметру, например по длине ребра, то для создания модели правильной треугольной пирамиды требуются два параметра. В наиболее очевидном способе создания 3D-модели первый параметр определяет геометрию основания (равностороннего треугольника), второй параметр задает высоту пирамиды. При использовании пользовательской ориентации Изометрия XYZ и операции По сечениям для создания правильной треугольной пирамиды эскиз 1 в плоскости zx может иметь вид, показанный на рис. 12.39, а, а эскиз 2 (одна точка) в плоскости zy — вид, показанный на рис. 12.39, б.

На рис. 12.40 представлены еще 7 способов создания 3D-модели правильной треугольной пирамиды, когда первый параметр — длина ребра основания, равная 25 мм, а вторым параметром является следующая величина:

1. Угол между боковыми гранями (75).

2. Угол между основанием и боковым ребром (55°).

3. Длина бокового ребра (20 мм).

4. Расстояние между скрещивающимися ребрами (17,5 мм).

5. Расстояние между боковой гранью и противолежащей вершиной (19,5 мм).

6. Высота боковой грани (20 мм).

7. Угол между основанием и боковой гранью (60°).

На рис. 12.40 со знаком «*» указан также зависимый параметр — высота пирамиды, построенной по двум заданным параметрам.

Величины высот, показанные на рис. 12.39, могут быть найдены в результате решения элементарных планиметрических задач, или в результате несложных построений с последующим измерением искомой величины.

На рис. 12.41 представлены 6 способов создания 3D-модели правильной треугольной пирамиды, когда первый параметр задает высоту пирамиды (например, равную 20 мм), а вторым параметром является следующая величина:

1. Высота боковой грани (22 мм).

2. Длина бокового ребра (26 мм).

3. Угол между основанием и боковой гранью (70°).

4. Угол между основанием и боковым ребром (55°).

5. Расстояние между скрещивающимися ребрами (15 мм).

6. Расстояние между боковой гранью и противолежащей вершиной (20 мм).

На рис. 12.41 со знаком «*» указан также зависимый параметр — длина грани основания пирамиды, построенной по двум заданным параметрам.

Длины ребер основания, показанные на рис. 12.41, могут быть найдены в результате решения планиметрических задач или в результате несложных построений с последующим измерением искомой величины.

На рис. 12.42 представлены 4 способа создания 3D-модели правильной треугольной пирамиды, когда первый параметр задает угол наклона бокового ребра пирамиды (например, равный 55°), а вторым параметром является следующая величина:

1. Длина бокового ребра (20 мм).

2. Расстояние между боковой гранью и противолежащей вершиной (20 мм).

3. Высота боковой грани (18 мм).

4. Расстояние между скрещивающимися ребрами (16 мм).

На рис. 12.42 со знаком «*» указан также зависимый параметр — высота пирамиды, построенной по двум заданным параметрам.

Пример 12.8

Условие. Создать 3D-модель правильной треугольной пирамиды с параметрами из варианта 1 на рис. 12.42.

Решение. Для создания модели:

1. Выполните команды Файл | Создать | Деталь. В Дереве модели укажите Плоскость ZX.

2. Нажмите кнопку Эскиз на панели Текущее состояние:

Выберите команду Непрерывный ввод объектов:

Постройте в эскизе 1 прямоугольный треугольник (для начальных построений в эскизе стиль Основная не использовать). На панели Параметризация выберите команду Вертикальность (рис. 12.43, а) и укажите отрезок, который не должен изменять свое положение при изменении геометрии эскиза 1. Нанесите в эскизе два размера (рис. 12.43, б).

4. На панели Глобальные привязки включите привязку Середина. Используя эту привязку и выбрав команду Окружность, постройте окружность с центром в начале координат и с диаметром, определенным положением середины вертикального катета (рис. 12.44, а). Вертикальный отрезок продолжите до пересечения с нижней частью построенной окружности (рис. 12, 44, б). На панели Геометрия:

выберите команду Точка:

Укажите точку пересечения гипотенузы и горизонтального катета (рис. 12.44, б).

Установите стиль вертикального отрезка: Основная. Завершите эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз:

5. В Дереве модели укажите Плоскость XY. Нажмите кнопку Эскиз:

6. В эскизе 2 выполните команды Операции | Спроецировать объект и укажите отрезок из эскиза 1. Измените стиль линии спроецированного отрезка. Выберите команду Многоугольник:

Постройте треугольник с известным центром и привязкой к концам спроецированного в эскиз отрезка (рис. 12.44, в).

7. Закройте эскиз 2 и повторно откройте эскиз 1. Измените стиль Основная вертикального отрезка на любой другой. Закройте эскиз.

8. Нажмите кнопку Операция по сечениям:

на панели Редактирование детали:

9. В Дереве модели укажите Эскиз: 1 и Эскиз: 2 (рис. 12.45).

Эти названия появятся в списке сечений Панели свойств. Нажмите кнопку Создать объект:

10. После задания Ориентация | Изометрия YZX и включения команды Невидимые линии тонкие на панели Вид получится изображение тетраэдра, показанное на рис. 12.4, а.

12.5. Моделирование многогранников по координатам вершин

В предыдущих разделах рассматривались примеры построения 3D-моделей многогранников, у которых одна из граней или основной формообразующий эскиз (см. пример 12.4) располагается в одной из трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Обратимся к примеру создания 3D-модели пирамиды, у которой грани не перпендикулярны плоскостям проекций.

Пример 12.9

Условие. Создать модель пирамиды с координатами вершин A (0, 0, 0); B (-20, 0, 40); C (-40, 10, 20); D (-10, 30, -5).

Решение.

2. Задайте координаты вершин ломаной (рис. 12.46, а). Ввод параметров заканчивается нажатием кнопки Создать объект:

3. Выберите Операции | Плоскость | Через три вершины. Укажите три вершины. Нажмите кнопку Создать объект:

4. В Дереве модели появится объект Плоскость через три вершины: 1. Укажите его и откройте Эскиз: 1. В эскизе отрезками соедините вершины 1, 2, 3. Закройте эскиз.

5. Повторно выберите Операции | Плоскость | Через три вершины. Укажите вершину 4 и еще две, которые были указаны в эскизе 1. Нажмите кнопку Создать объект:

6. В Дереве модели появится объект Плоскость через три вершины: 2.

Укажите его и откройте Эскиз: 2. Используя команду Точка, укажите в эскизе вершину 4. Возможен другой вариант эскиза 2, когда в нем отрезками соединяются 3 вершины. Закройте эскиз.

7. Нажмите кнопку Операция по сечениям:

на панели Редактирование детали:

8. В Дереве модели укажите Эскиз: 1 и Эскиз: 2. Эти названия появятся в списке сечений Панели свойств. Нажмите кнопку Создать объект:

На заключительном этапе может понадобиться улучшить визуализацию полученной модели. Это улучшение можно получить за счет поворота модели и окрашивания граней в различные цвета.

12.6. Модели тел вращения и касающихся тел

Тело вращения ограничено поверхностями (поверхностью), образованными вращением линии (образующей) вокруг прямой — оси вращения.

На рис. 12.47 показаны эскизы для создания цилиндра, конуса и сферы при использовании команды Операция вращения.

Для создания тел вращения можно применять и другие формообразующие операции. На рис. 12.48 показаны эскизы для создания цилиндра при использовании команд Выдавливание, По сечениям, Кинематическая.

12.6.1. Особенности использования операции вращения

Очевидно, что Операция вращения наиболее удобна для создания тел вращения. Эскиз для создания элемента вращения должен подчиняться следующим основным правилам:

□ ось в эскизе должна быть одна и изображена отрезком со стилем Осевая;

□ в эскизе может быть один или несколько контуров;

□ все контуры должны лежать по одну сторону от оси вращения;

□ ни один из контуров не должен пересекать ось вращения;

□ если контур один, он может быть разомкнутым или замкнутым;

□ если контуров несколько, все они должны быть замкнуты.

Остановимся на характеристиках элемента вращения. Если контур в эскизе не замкнут, возможны два варианта построения элемента вращения: Сфероид и Тороид.

При построении сфероида концы контура проецируются на ось вращения. Построение элемента производится с учетом этих проекций. В результате получается сплошной элемент.

При построении тороида вращается только контур в эскизе. К получившейся поверхности добавляется слой материала. В результате получается тонкостенный элемент — элемент с отверстием вдоль оси вращения. Параметры тонкой стенки могут быть заданы.

При создании элемента вращения можно задать направление и угол вращения эскиза.

12.6.2. Построение моделей по параметрам сечений

Построение 3D-моделей простых тел вращения по их параметрам не является для большинства очень увлекательной задачей из-за ее простоты. Рассмотрим примеры.

Пример 12.10

Условие. Построить модель сферы, у которой сечение, отстоящее на 12 мм от центра, имеет радиус, равный 8 мм.

Решение. На рис. 12.49, а показаны вспомогательные построения, которые необходимо выполнить в эскизе для построения дуги указанного знаком «*» радиуса, а также модель сферы с заданным сечением.

Пример 12.11

Условие. Построить модель цилиндра высотой 25 мм, описанного вокруг правильной пятиугольной призмы. Основание призмы описано вокруг окружности с радиусом 10 мм.

Решение. На рис. 12.49, б показан цилиндр и пятиугольник, который первоначально строится в эскизе, после чего вокруг него описывается окружность. Очевидно, что далее достаточно выдавить эскиз на заданное расстояние.

Пример 12.12

Условие. Построить модель конуса, у которого радиус основания равен 10 мм, а сечение, проходящее через вершину конуса и хорду длиной 15 мм, имеет боковую сторону длиной 20 мм.

Решение. На рис. 12.49, в показан эскиз, в котором первоначально строится сечение по заданным параметрам. Поворот сечения вокруг хорды позволяет найти положение вершины конуса. Далее изображается отрезок (образующая), вращение которого вокруг оси позволяет создать модель конуса. Показанный на рис. 12.49, в конус содержит заданное в условии сечение.

12.6.3. Определение параметров касающихся геометрических тел

В последующих примерах определим основные параметры касающихся геометрических тел, которые позволят, используя рассмотренные ранее приемы, построить соответствующие модели.

Пример 12.13

Условие. Определить высоту тетраэдра, описанного вокруг цилиндра с диаметром и высотой 10 мм. Для построений использовать проекции вспомогательного тетраэдра.

Решение представлено на рис. 12.50.

1. Используя команду Многоугольник, опишите вокруг окружности правильный треугольник.

2. Из вершины треугольника проведите отрезок 12. Точка 2 должна быть построена на уровне верхней грани цилиндра.

3. Через точку 2 проведите отрезок 34, параллельный боковому ребру вспомогательного тетраэдра. Концы отрезка необходимо выровнять до соответствующих осей.

4. Постройте вспомогательный отрезок 45. Точка 5 должна быть расположена на продолжении горизонтальной оси, проходящей через центр окружности.

5. Постройте фронтальную и горизонтальную проекции тетраэдра. Нанесите размер, определяющий высоту тетраэдра.

Пример 12.14

Условие. Определить высоту тетраэдра, описанного вокруг правильной шестиугольной призмы. Расстояние между противоположными гранями призмы — 10 мм. Для построений использовать проекции вспомогательного тетраэдра (рис. 12.51, а).

Решение приведено на рис. 12.51, б.

1. Через точки 1 и 2 проведите отрезок 34, параллельный боковому ребру вспомогательного тетраэдра. Концы отрезка необходимо выровнять до соответствующих осей. Постройте треугольник, описанный вокруг горизонтальной проекции призмы.

2. Из вершины треугольника проведите отрезок 12. Точка 2 должна быть построена на уровне верхней грани призмы.

4. Постройте вспомогательный отрезок 45. Точка 5 должна быть расположена на продолжении горизонтальной оси, проходящей через центр шестиугольника.

Пример 12.15

Условие. Определить высоту тетраэдра, описанного вокруг куба с ребром, равным 10 мм. Для построений использовать проекции вспомогательного тетраэдра.

Решение представлено на рис. 12.51, в.

1. Через точки 1 и 2 проведите отрезки 34 и 35, параллельные ребрам вспомогательного тетраэдра.

2. Используя команду Окружность, касательная к 3 кривым, в треугольник 345 впишите вспомогательную окружность.

3. Через центр окружности проведите вертикальный отрезок.

4. Из вершины треугольника проведите отрезок 36. Точка 6 должна быть построена на уровне верхней грани куба.

5. Через точку 6 проведите отрезок 78, параллельный боковому ребру вспомогательного тетраэдра. Концы отрезка необходимо выровнять до соответствующих осей.

6. Постройте вспомогательный отрезок 89. Точка 9 должна быть расположена на продолжении горизонтальной оси, проходящей через центр окружности.

7. Постройте фронтальную и горизонтальную проекции тетраэдра. Нанесите размер, определяющий высоту тетраэдра.

Пример 12.16

Условие. Дан тетраэдр, у которого грань вписана в окружность диаметром 40 мм. Вписать в тетраэдр геометрические тела высотой 15 мм. Определить параметры оснований вписанных геометрических тел:

□ цилиндра;

□ усеченной шестиугольной призмы;

□ четырехугольной призмы.

Решение. На рис. 12.52 показаны прямоугольные проекции пирамиды и вписанных в пирамиду заданных тел. Знаком «*» отмечены искомые величины, определенные в результате построений и измерений. На первом этапе строятся проекции треугольника, принадлежащего поверхности пирамиды, которого касаются верхние грани вписанных тел. Далее в горизонтальную проекцию построенного треугольника вписывается верхняя грань соответствующего тела. На рис. 12.52, в показан вспомогательный квадрат со стороной 20 мм, с помощью которого строится горизонтальная проекция вписанной призмы.

Название книги

КОМПАС-3D для студентов и школьников. Черчение, информатика, геометрия

Большаков Владимир

Часть IV

Геометрия с КОМПАС-3D