Алгебраи'ческая фу'нкция, функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению . А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,

  называются рациональными, а прочие А. ф. — иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [например,

  Однако существуют А. ф., которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у = f (х ), удовлетворяющая уравнению: y 5 + 3ух 4 + x 5 = 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций , встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная x a (если a — иррациональное число), показательная а х , логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (А. ф. составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией . Самая общая А. ф. многих переменных u = f (x , у , z , ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида:

Р о (х , у , z , ...)u n + P 1 (x , y , z , ...)u n-1 + … +P n (x , y , z , ...) = 0,          (1)

где Р 0 , Р 1 , ..., P n — какие-либо многочлены относительно х , у , z ,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х , у , z ,... и n . Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P 0 можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P 1 /P 0 ), частным случаем которой — целой рациональной функцией — является многочлен (если P 0 = const ¹ 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни.

  При n ³ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n -значной аналитической функцией переменных х , у , z ,...

  Лит.: Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. — Л., 1948.