Автомо'рфная фу'нкция (от авто ... и греческого morphē — вид) (матем.), аналитическая функция , значения которой не изменяются, если её аргумент подвергается некоторым дробно линейным преобразованиям. К А. ф. относятся периодические функции и, в частности, эллиптические функции .

  Так, например, если указанные преобразования — целые и имеют вид: z’ = z + w, где w —  комплексное число, отличное от нуля, то получаются А. ф., характеризуемые уравнением f (z + w) = f (z), т. е. периодические функции с периодом w. В этом примере преобразованием, не изменяющим функции, является сдвиг плоскости на вектор w. Очевидно, что тот же сдвиг, повторённый сколько угодно раз, также не изменяет функции. В результате получается группа линейных преобразований z’ = z + nw (n = 0, ±1, ±2,...), не изменяющих f (z). В общем случае пусть Г — некоторая группа дробно линейных преобразований;

  и G — область, которая каждым из этих преобразований отражается сама на себя. Тогда функция f, однозначная и аналитическая в области G, является А. ф. (по отношению к данной группе Г), если f [T k (z)] = f (z), (k = 1, 2...). Наиболее важен случай, когда G есть круг или полуплоскость. Такую область можно рассматривать как изображение плоскости Лобачевского (см. Лобачевского геометрия ), а преобразования группы Г — как движения в плоскости Лобачевского. Соответствующие А. ф. можно рассматривать как такое обобщение периодических функций, при котором сдвиги в евклидовой плоскости заменены движениями в плоскости Лобачевского. Эта точка зрения, развитая А. Пуанкаре , обеспечила успех в построении общей теории А. ф. (до А. Пуанкаре существенные результаты теории А. ф. получены Ф. Клейном ). Вообще, вся теория А. ф., в её современном состоянии, представляет замечательный пример плодотворности геометрических идей Н. И. Лобачевского в их применении к задачам математического анализа и теории функций.

  К общим А. ф., помимо вопросов конформного отображения , приводит также теория линейных дифференциальных уравнений , изучение алгебр, кривых порядка выше четвёртого (см. Алгебраическая геометрия ), решение алгебраических уравнений (например, решение общего уравнения пятой степени с одним неизвестным получается посредством А. ф.) и т. д.

  Лит.: Форд Л. P., Автоморфные функции, пер. с англ., М.— Л., 1936; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., ч. 1, М.— Л., 1937, гл. 8; Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1950; его же, Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции, М., 1961.