Двойно'е отноше'ние (сложное, или ангармоническое) четырёх точек M 1 , M 2 , М з , M 4 на прямой (рис. 1 ), число, обозначаемое символом (M 1 M 2 M 3 M 4 ) и равное

  При этом отношение M 1 M 3 /M 3 M 2 считается положительным, если направления отрезков M 1 M 3 и M 3 M 2 совпадают, и — отрицательным при различных направлениях. Д. о. зависит от порядка нумерации точек, который может отличаться от порядка следования точек на прямой. Наряду с Д. о. четырёх точек, рассматривается Д. о. четырёх прямых, проходящих через точку О. Это отношение обозначается символом (m 1 m 2 m 3 m 4 ). Оно равно

причём угол (m i m j ) между прямыми m i и m j ) рассматривается со знаком.

  Если точки M 1 , M 2 , М з , M 4 лежат на прямых m 1 , m 2 , m 3 , m 4 (рис. 1 ), то

(M 1 M 2 M 3 M 4 ) = (m 1 m 2 m 3 m 4 ),

поэтому, если точки M 1 , M 2 , М з , M 4 и M’ 1 , M 2 ’, М з ’, M 4 ’ получены пересечением одной четвёрки прямых m 1 , m 2 , m 3 , m 4 (рис. 1), то (M 1 ’, M 2 ’, М з ’, M 4 ’) = (M 1 M 2 M 3 M 4 ).

  Если же прямые m 1 , m 2 , m 3 , m 4 и m 1 ’, m 2 ’, m з ’, m 4 ’ проектируют одну четвёрку точек M 1 , M 2 , М з , M 4 (рис. 2 ), то (m 1 ’ m 2 ’ m з ’ m 4 ’) = (m 1 m 2 m 3 m 4 ).

  Д. о. не меняется также и при любых проективных преобразованиях , т. е. является инвариантом таких преобразований, и поэтому Д. о. играют важную роль в проективной геометрии . Особенно важную роль играют четвёрки точек и прямых, для которых Д. о. равно — 1. Такие четвёрки называют гармоническими (см. Гармоническое расположение . ).

  Э. Г. Позняк.

Рис. 1 к ст. Двойное отношение.

Рис. 2 к ст. Двойное отношение.