Форма'льная арифме'тика, формулировка арифметики в виде формальной (аксиоматической) системы (см. Аксиоматический метод ). Язык Ф. а. содержит константу 0, числовые переменные, символ равенства, функциональные символы +, •, ' (прибавление 1) и логические связки (см. Логические операции ). Постулатами Ф. а. являются аксиомы и правила вывода исчисления предикатов (классического или интуиционистского в зависимости от того, какая Ф. а. рассматривается), определяющие равенства для арифметических операций:

а + 0 = а , а + b’ = (а + b ),

а •0 = 0, а •b’ = (а •b ) + а ,

аксиомы Пеано:

ù(а’ = 0), a’ = b’ ® а = b ,

(a = b & а = с ) ® b = с , а = b ®a ' = b '

и схема аксиом индукции:

А (0) & " x (А (х ) ® А (x ')) ® " xa (x ).

  Средства Ф. а. достаточны для вывода теорем элементарной теории чисел. В настоящее время, по-видимому, неизвестно ни одной содержательной теоретико-числовой теоремы, доказанной без привлечения средств анализа, которая не была бы выводима в Ф. а. В Ф. а. изобразимы рекурсивные функции и доказуемы их определяющие равенства. Это позволяет, в частности, формулировать суждения о конечных множествах. Более того, Ф. а. эквивалентна аксиоматической теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы бесконечности: в каждой из этих систем может быть построена модель другой.

  Ф. а. удовлетворяет условиям обеих теорем Гёделя о неполноте. В частности, имеются такие полиномы Р , Q от 9 переменных, что формула " x 1 ... "x 9 (P ¹ Q ) невыводима, хотя и выражает истинное суждение, а именно непротиворечивость Ф. а. Поэтому неразрешимость диофантова уравнения Р - Q = 0 недоказуема в Ф. а. Непротиворечивость Ф. а. доказана с помощью трасфинитной индукции до ординала e0 (наименьшее решение уравнения we = e). Поэтому схема индукции до e0 недоказуема в Ф. а., хотя там доказуема схема индукции до любого ординала a < e0 . Класс доказуемо рекурсивных функций Ф. а. (т. е. частично рекурсивных функций, общерекурсивность которых может быть установлена средствами Ф. а.) совпадает с классом ординально рекурсивных функций с ординалами < e0 .

  Не все теоретико-числовые предикаты выразимы в Ф. а.: примером является такой предикат T, что для любой замкнутой арифметической формулы А имеет место Т (éА ù) « А, где éА ù – номер формулы А в некоторой фиксированной нумерации, удовлетворяющей естественным условиям. Присоединение к Ф. а. символа Т с аксиомами типа

Т (éА & B ù) « Т (éА ù) & Т (éB ù),

выражающими его перестановочность с логическими связками, позволяет доказать непротиворечивость Ф. а. Похожая конструкция (но уже внутри Ф. а.) доказывает, что схему индукции нельзя заменить никаким конечным множеством аксиом. Ф. а. корректна и полна относительно формул вида $x 1 ... $x k (P = Q ); замкнутая формула из этого класса доказуема тогда и только тогда, когда она истинна. Так как этот класс содержит алгоритмически неразрешимый предикат, отсюда следует, что проблема выводимости в Ф. а. алгоритмически неразрешима.

  При задании Ф. а. в виде генценовской системы осуществима нормализация выводов, причём нормальный вывод числового равенства состоит только из числовых равенств. На этом пути было получено первое доказательство непротиворечивости Ф. а. Нормальный вывод формулы с кванторами может содержать сколь угодно сложные формулы. Полная подформульность достигается после замены схемы индукции на со-правило, позволяющее вывести В ® "xA (x ) из В ® A (0), B ® A (1),... Понятие w-вывода (т. е. вывода с w-правилом) высоты < e0 выразимо в Ф. а., поэтому переход к w-выводам позволяет устанавливать в Ф. а. многие метаматематические теоремы, в частности полноту относительно формул вида $x 1 ... $x k (P = Q ) и ординальную характеристику доказуемо рекурсивных функций.

  Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, 2 Aufl., Bd 1–2, В., 1968–70.

  Г. Е. Минц.