Функциональный анализ (математ.)
Функциона'льный ана'лиз,
часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.
Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.
1. Возникновение функционального анализа.
Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором
теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше
и Ф. Хаусдорфа
метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.
Среди абстрактных пространств для математического анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции — откуда и название «Ф. а.»). В работах Д. Гильберта
по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l 2
и L 2
(a
, b
) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис
изучил пространства l p
и L p
(a
, b
), а С. Банах
в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930—40-х гг. в работах Т. Карлемана
, Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана
была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.
В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы
А. Н. Колмогорова
(1934) по теории линейных топологических пространств;
Н. Н. Боголюбова
(1936) по инвариантным мерам в динамических системах;
Л. В. Канторовича
(1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда
и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.
Для современного этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.
2. Понятие пространства.
Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства
Х
над полем комплексных чисел
(или действительных чисел
), которые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х
можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x
Î Х
называется действительное число ||x
|| такое, что всегда ||x
|| ³ 0 и ||x
|| = 0 тогда и только тогда, когда x
= 0;
||lx
|| = |l| ||x
||, l Î
x
, если ||x n
— x
||
0.
В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х
можно ввести скалярное произведение — обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x
, у
Î Х
называется комплексное число (x
, у
) такое, что всегда (x
, x
) ³ 0 и (x
, x
) = 0 тогда и только тогда, когда x
= 0;
, l, m Î
является нормой элемента x
. Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что
для x m
, x n
Î X,
следует существование предела
, также являющегося элементом Х
). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
Обычное евклидово пространство
является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства
. Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в
, норма ||x
|| =
; банахово пространство L p
(T
) всех суммируемых с р
-й (p
³ 1) степенью функций на Т
, норма
; банахово пространство l p
всех последовательностей таких, что
, здесь
(множеству целых чисел), норма ||x
|| =(å
|x j
|p
)1/
p
; в случае p
= 2 пространства l 2
и L 2
(T
) гильбертовы, при этом, например, в L 2
(T
) скалярное произведение
; линейное топологическое пространство D
(
), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на
, каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а
, b
)]; при этом x n
x,
если x n
(t
) равномерно финитны [т. е. (а
, b
) не зависит от n
] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x
(t
).
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l 2
: векторы e j
= {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н
, свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x
, у
Î Н
называются ортогональными (x
^ y
), если (x
, у
) = 0. Для любого x
Î Н
существует его проекция на произвольное подпространство F
— линейное замкнутое подмножество Н
, т. е. такой вектор x F
, что x
—x F
^f
для любого f
Î F
. Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н
, где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н
ортонормированного базиса — последовательности векторов e j
, j
Î
, из Н
таких, что ||e j
|| = 1, e j
^ e k
при j
¹ k
, и для любого x
Î H
справедливо «покоординатное» разложение
x
= å
x j
e j
(1)
где x j
= (x
, e j
), ||x
|| = å
|x j
|2
(для простоты Н
предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н
взять L
2
(0, 2p) и положить
, j
=...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x
(t
) Î L
2
(0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н
и l
2
' {xj}
, j
Î
гильбертовых пространств H j
— конструкция, подобная образованию Н
одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х
задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x
, x
) = 0 для x
¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н
строится процедурой пополнения Х
относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x
, для которых (x
, x
) = 0; тензорное произведение
— образование его аналогично переходу от функций одной переменной f
(x 1
) к функциям многих переменных f
(x 1
,..., x q
); проективный предел
банаховых пространств — здесь
(грубо говоря), если
для каждого a; индуктивный предел
банаховых пространств X 1
Ì X 2
Ì..., здесь
, если все x j
, начиная с некоторого j 0
, лежат в одном X j0
, и в нём
. Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств Н
a
, обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что h
b
Ì Н
a
, и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D (
) — пример ядерного пространства].
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x
0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства — действительное С
(Т
), в нём считается x
0, если x
(t
³)0 для всех t
ÎT
.
3. Операторы (общие понятия). Функционалы.
Пусть X
, Y
— линейные пространства; отображение A
: X
® Y
называется линейным, если для x
, у
Î X
, l, m Î
,
где x 1
,..., x n
и (Ax
)1
,..., (Ax
) n
— координаты векторов x
и Ax
соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L 2
(а
, b
) в него же оператор
(2)
(где K
(t
, s
) — ограниченная функция — ядро А
) — непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C 1
(a
, b
) Ì L 2
(a
, b
) оператор дифференцирования
(3)
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).
Непрерывный оператор A
: X
® Y
, где X
, Y
— банаховы пространства, характеризуется тем, что
,
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов
(X
, Y
) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A
||. Свойства
, если
для каждого x
Î X
], относительно которой шар, т. е. множество точек x
Î Х
таких, что ||x
|| £ r
, уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X'
, например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна — Мильмана).
Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (l p
)¢, p
> 1, состоит из функций вида å
x j
e j
, где
,
. Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классического анализа. Так, например, при фиксированных t 0
и m
на пространстве D
(
) определён функционал
. В случае m
= 0 его ещё можно записать «классическим» образом — при помощи интеграла, однако при m
³ 1 это уже невозможно. Элементы из (D
(
))¢ называются обобщёнными функциями
(распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D
(
) заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф' É Н
É Ф, где Н
— исходное гильбертово пространство, а Ф — линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например
Ф = W l
2
(T
).
Дифференциальный оператор D
, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L 2
[a
, b
] из пространства C 1
[a
, b
], снабженного нормой
,
Однако для многих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.
4. Специальные классы операторов. Спектральная теория.
Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx
= y
, где С
— некоторый оператор, у
Î Y
— заданный, а x
Î Х
— искомый векторы. Например, если Х
= Y
= L 2
(а
, b
), С
= Е
— А
, где А
— оператор из (2), а Е
— тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С
— дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х
в множество из Y
, замыкание которого компактно [таков, например, оператор А
из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x
— Ax
= у
, вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).
В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на собственные значения
: для некоторого оператора А
: Х
® Х
требуется выяснить возможность нахождения решения j ¹ 0 (собственного вектора
) уравнения А
j = lj при некотором l Î
lj
x j
e j
, (4)
где lj
, — собственное значение, отвечающее e j
. Для конечномерного Х
вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х
нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А
.
Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А
из (2) с симметричным ядром [т. е. K
(t
, s
) = K
(s
, t
) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов
в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L 2
[a
, b
]
(Tx
)(t
) = tx
(t
) (5)
не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом.
Пусть Х
— банахово пространство, А
Î
— многочлен, то f
(A
) =
(степень оператора понимается как последовательное его применение). Однако если f
(z
) — аналитическая функция, то так прямо понимать f
(A
) уже не всегда возможно; в этом случае f
(A
) определяется следующей формулой, если f
(z
) аналитична в окрестности SpA, а Г — контур, охватывающий SpA и лежащий в области аналитичности f
(z
):
. (6)
При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f
(z
) ® f
(A
) — гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.
Пусть Н
— гильбертово пространство. Ограниченный оператор А
: Н
® Н
называется самосопряжённым, если (Ax
, у
) = (x
, Ау
) (в случае неограниченного А
определение более сложно). Если Н
n
-мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А
; другими словами, имеют место разложения:
,
, (7)
где P
(lj
) — оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А
, отвечающие одному и тому же собственному значению lj
.
Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н
, только сами проекторы P
(lj
) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т
в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е
(l) [которая в конечномерном случае равна
], называется разложением единицы, или спектральной (проекторной) мерой, точки роста которой совпадают со спектром Sp А
. Если привлечь обобщённые функции, то формулы типа (7) сохраняются. Именно, если имеется тройка Ф' É Н
É Ф
, где Ф, например, ядерно, причём А
переводит Ф в Ф¢ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е
(l) теперь «проектирует» Ф в Ф¢, давая векторы из Ф¢, которые будут собственными в обобщённом смысле для А
с собственным значением l. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторов
U
— таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н
на всё Н
и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр SpU
расположен на окружности |z
| = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ
линейных операторов.
5. Нелинейный функциональный анализ.
Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто — в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в
) называется функционалом. Для нелинейных отображений (в частности, нелинейных функционалов) можно различными способами определить дифференциал, производную по направлению и т.д. аналогично соответствующим понятиям классического анализа. Выделение из отображения квадратичного и т.д. членов приводит к формуле, аналогичной формуле Тейлора.
Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x
называется неподвижной для отображения F
, если Fx
= x
). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Ф. а. явление — т. н. точки ветвления (решений).
При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.
6. Банаховы алгебры. Теория представлений.
На ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер
, 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название — банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём ||xy
|| £ ||x
|| ||y
||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х
(умножение в нём — последовательное применение операторов — необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например C
(T
) с обычным умножением, L 1
(
) со свёрткой в качестве произведения, и широкое обобщение их — класс т. н. групповых алгебр (топологические группы G
), состоящих из комплекснозначных функций или мер, определённых на G
со свёрткой (в различных, не обязательно эквивалентных вариантах) в качестве умножения.
Пусть
— коммутативная (т. е. xy
= ух
для любых x
, у
Î
на М
, причём сумме x
+ y
и произведению xy
соответствуют сумма и произведение функций. Другими словами, существует гомоморфизм
борелевских подмножеств G
, инвариантная справа: для любых В
Î
, где c(h
) — характер группы G
: непрерывная функция на G
такая, что |c(h
)| = 1 и c(h 1
h 2
) = c(h 1
)c(h 2
), d
c — мера Хаара на группе характеров
, а
,
— обобщённое преобразование Фурье функций f
(g
) и k
(g
), которое продолжается до изоморфизма L 2
(G
, dg
) в L 2
(
, dc). Для некоммутативных групп ситуация во многом усложняется. Если G
компактна, то представление группы операторов сдвига (или, короче, группы сдвигов) удаётся хорошо описать; в этом случае L 2
(G
, dg
) распадается в прямую сумму конечномерных инвариантных относительно сдвигов подпространств. Если G
некомпактна, то также получается разложение L 2
(G
, dg
) на более простые инвариантные части, но уже не в прямую сумму, а в прямой интеграл.
Если G
=
, то теория унитарных представлений может быть сведена к теории самосопряжённых операторов. Именно, однопараметрическая группа унитарных операторов Т
l
, l Î
в гильбертовом пространстве Н
допускает представление Т
l
= exp i
lA
, где А
— самосопряжённый оператор (теорема Стоун а); оператор А
называется инфинитезимальным оператором (генератором) группы {Т'
l
}. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классической механики. Эта связь, а также приложения в статистической физике лежат в основе обширной ветви Ф. а. — эргодической теории
. Связь между однопараметрическими группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения: операторы T
l
не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых и более общих пространствах и даже быть определёнными лишь для l ³ 0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Ф. а. имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.
Лит.:
Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; Вулих Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Киïв, 1948; Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; Иосида К., Функциональный анализ, пер, с англ., М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1—3, М., 1962—74; Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения пер с англ., М., 1969.
Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.