«Хи-квадра'т» распределе'ние с f степенями свободы, распределение вероятностей суммы квадратов

c2 = X 1 2 +...+X f 2 ,

независимых случайных величин X 1 ,..., X f , подчиняющихся нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функция «Х.-к.» р. выражается интегралом

,

  Первые три момента (математическое ожидание дисперсия и третий центральный момент) суммы c2 равны соответственно f , 2f , 8f . Сумма двух независимых случайных величин c1 2 и c2 2 , с f 1 и f 2 степенями свободы подчиняется «Х.-к.» р. с f 1 + f 2 степенями свободы.

  Примерами «Х.-к.» р. могут служить распределения квадратов случайных величин, подчиняющихся Рэлея распределению и Максвелла распределению . В терминах «Х.-к.» р. с чётным числом степеней свободы выражается Пуассона распределение :

.

  Если количество слагаемых f суммы c2 неограниченно увеличивается, то согласно центральной предельной теореме распределение нормированного отношения  сходится к стандартному нормальному распределению:

,

где

.

  Следствием этого факта является другое предельное соотношение, удобное для вычисления F f (x ) при больших значениях f :

  В математической статистике «Х.-к.» р. используется для построения интервальных оценок и статистических критериев. Если Y 1 ,..., Y n — случайные величины, представляющие собой результаты независимых измерений неизвестной постоянной а , причём ошибки измерений Y i — а независимы, распределены одинаково нормально и

Е (Y i — a ) = 0, Е (Y i — а )2 = s2 ,

то статистическая оценка неизвестной дисперсии s2 выражается формулой

,

где

, .

  Отношение S 2 / s2 подчиняется «Х.-к.» р. с f = n — 1 степенями свободы. Пусть x 1 и x 2 — положительные числа, являющиеся решениями уравнений F f (x 1 ) = a/2 и F f (x 2 ) = 1 — a/2 [a — заданное число из интервала (0, 1 /2 )]. В таком случае

Р {х 1 < S 2 / s2 < x 2 ) = Р {S 2 /x 2 < s2 < S 2 /x 1 } = 1—a.

  Интервал (S 2 /x 1 , S 2 /x 2 ) называют доверительным интервалом для s2 , соответствующим коэффициенту доверия 1 — a. Такой способ построения интервальной оценки для s2 часто применяется с целью проверки гипотезы, согласно которой s2 = s0 2 (s0 2 — заданное число): если s0 2 принадлежит указанному доверительному интервалу, то делается заключение, что результаты измерений не противоречат гипотезе s2 = s0 2 . Если же

s0 2 £ S 2 /x 2 или s0 2 ³ S 2 /x 1 ,

то нужно считать, что s2 > s0 2 или s2 < s0 2 соответственно. Такому критерию отвечает значимости уровень , равный a.

  Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.

  Л. Н. Большев.