Интегра'льные уравне'ния, уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Многочисленные задачи физики и математической физики приводят к И. у. различных типов. Пусть, например, требуется с помощью некоторого оптического прибора получить изображение линейного объекта А , занимающего отрезок 0 £ x £ l оси Ox , причём освещённость объекта характеризуется плотностью u (x ). Изображение В представляет собой некоторый отрезок другой оси x 1 ; последний путём подходящего выбора начала отсчёта и единицы длины также можно совместить с отрезком 0 £ x 1 £ l . Если дифференциально малый участок (х , х + Dх ) объекта А вызывает освещённость изображения В с плотностью K (x 1 , x )u (x )dx , где функция K (x 1 , x ) определяется свойствами оптического прибора, то полная освещённость изображения будет иметь плотность

В зависимости от того, хотят ли добиться заданной освещённости v (x 1 ) изображения или «точного» фотографического изображения [v (x ) = ku (x ), где постоянная k заранее не фиксируется], или, наконец, определённой разницы освещённости А и В [u (x ) — v (x ) = f (x )], приходят к различным И. у. относительно функции u (x ):

Вообще, линейным интегральным уравнением 1-го рода называется уравнение вида

линейным интегральным уравнением 2-го рода, или уравнением Фредгольма,—уравнение вида

[при f (x ) º 0 оно называется однородным уравнением Фредгольма]; обычно рассматриваются уравнения Фредгольма с параметром l:

Во всех уравнениях функция

— так называемое ядро И. у. — известна, так же, как функция f (x ) (а £ х £ b ); искомой является функция u (x ) (а £ х £ b ).

  Функции K (x, y ), f (x ), u (x ) и параметр уравнения l могут принимать как действительные, так и комплексные значения. В частном случае, когда ядро K (x , y ) обращается в нуль при у > х , получается уравнение Вольтерра:

  И. у. называется особым, если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен или ядро K (x , y ) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках квадрата а £ х £ b, а £ y £ b или на некоторой линии. И. у. может относиться и к функциям нескольких переменных: таково, например, уравнение

Рассматриваются также нелинейные И. у., например уравнения вида

или

  Линейные И. у. 2-го рода решаются следующими методами: 1) решение u (x ) получается в виде ряда по степеням l (сходящегося в некотором круге |l|

(последнее имеет отличные от нуля решения лишь при некоторых специальных значениях параметра l = lк , k = 1, 2, ...) (метод Гильберта — Шмидта); 4) в некоторых частных случаях решение сравнительно просто получается с помощью Лапласа преобразования ; 5) в случае, когда

(так называемое вырожденное ядро), отыскание u (х ) сводится к решению системы алгебраических уравнений. Приближённые решения можно получить, либо применив к  какую-либо формулу численного интегрирования, либо заменив данное ядро К (х , y ) некоторым вырожденным ядром, мало отличающимся от К (х , у ). К И. у. часто сводятся краевые задачи для дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными; такое сведение имеет и теоретическую и практическую ценность.

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1965; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. — М., 1962.

  Д. А. Васильков.