Комбинато'рика, 1) то же, что математический комбинаторный анализ . 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).

  Наиболее употребительные формулы К.:

  Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число способов равно

  A n m =  

  A n m называют числом размещений из n элементов по m.

  Число перестановок. Рассмотрим задачу: сколькими способами можно установить порядок следования друг за другом n различных предметов? Число способов равно

  Pn = 1Ч2Ч 3... n= n!

  (знак n! читается: «n факториал»; оказывается удобным рассматривать также 0!, полагая его равным 1). P n называют числом перестановок n элементов.

  Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)? Число способов такого выбора равно

  C n m =

  C n m называют числом сочетаний из n элементов по m. Числа C n m получаются как коэффициенты разложения n-й степени двучлена (бинома, см. Ньютона бином ):

  (a+b) n =Cn 0 an + Cn 1 a n-1 b +C n 2 a n-2 b 2   +... + C n n-1 ab n-1 + C n n b n ,

и поэтому они называются также биномиальными коэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов:

  C n m =C n n-m , C n m  + C n m+1 = C n+1 m+1

  Cn 0 + Cn 1 + C n 2 +...+ C n n-1 + C n n = 2n ,

  C n 0 — C n 1 + C n 2 —...+ (—1) n C n n = 0.

  Числа A n m , P m и C n m связаны соотношением:

  A n m =P m C n m .

  Рассматриваются также размещения с повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания с повторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений с повторением даётся формулой n m , число сочетаний с повторением — формулой C m n + m -1 .

  Основные правила при решении задач К.: Правило суммы. Пусть некоторый предмет А может быть выбран из совокупности предметов m способами, а другой предмет В можно выбрать n способами. Тогда имеется т + n возможностей выбрать либо предмет A, либо предмет В.

  Правило произведения. Пусть предмет А можно выбрать m способами и после каждого такого выбора предмет В можно выбрать n способами; тогда выбор пары (А, В ) в указанном порядке можно осуществить m + n способами.

  Принцип включения и исключения. Пусть имеется N предметов, которые могут обладать n свойствами a1 , a2 ,..., an . Обозначим через N (ai , aj , ..., ak ) число предметов, обладающих свойствами ai , aj ,..., ak и, быть может, какими-либо другими свойствами. Тогда число N' предметов, не обладающих ни одним из свойств, a1 , a2 ,..., an , даётся формулой

   = N—N (a1 ) — N (a2 ) —... —N (an ) + N (a1 , a2 ) + N (a1 , a3 ) +... + N (an-1 , an ) — N (a1 , a2 , a3 ) —... — N (an-2 , an-1 , an ) +... +(—1) n N (a1 ,..., an )

  Лит.: Netto E. Lehrbuch der Combinatorik, 2 Aufl., Lpz. — B., 1927.

  В. Е. Тараканов.