Кра'тный интегра'л, интеграл от функции, заданной в какой-либо области на плоскости, в трёхмерном или n-мерном пространстве. Среди К. и. различают двойные интегралы, тройные интегралы и т. д. n-кратные интегралы.

  Пусть функция f (x, y) задана в некоторой области D плоскости хОу. Разобьем область D на n частичных областей d i , площади которых равны s i , выберем в каждой области d i точку (x i , h i ) (см. рис. ) и составим интегральную сумму

#i-images-153285799.png .

Если при неограниченном уменьшении максимального диаметра частичных областей d i суммы S имеют предел независимо от выбора точек (x i , h i ), то этот предел называют двойным интегралом от функции f (x, у) по области D и обозначают

#i-images-100265744.png .

Аналогично определяется тройной интеграл и вообще n-кратный интеграл.

  Для существования двойного интеграла достаточно, например, чтобы область D была замкнутой квадрируемой областью , а функция f (x, y) была непрерывна в D. К. и. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам простых интегралов . Для вычисления К. и. обычно приводят его к повторному интегралу . В специальных случаях для сведения К. и. к интегралам меньшей размерности могут служить Грина формулы и Остроградского формула . К. и. имеют обширные применения: с их помощью выражаются объёмы тел, их массы, статические моменты, моменты инерции и т. п.

  Лит. см. при статьях Интегральное исчисление , Интеграл .

Рис. к ст. Кратный интеграл.