Математи'ческое программи'рование , математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).
М. п. — раздел науки об исследовании операций (см. Операций исследование ), охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи М. п. находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования.
Наименование «М. п.» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.
Математическая формулировка задачи М. п.: минимизировать скалярную функцию j(x ) векторного аргумента х на множестве
X = {x : g i (x ) ³ 0, h i (x ) = 0, I = 1, 2, ..., k },
где g i (x ) и h i (x ) — также скалярные функции; функцию j(x ) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X — допустимым множеством, решение х* задачи М. п. — оптимальной точкой (вектором).
В М. п. принято выделять следующие разделы. Линейное программирование : целевая функция j(x ) и ограничения g i (x ) и h i (х ) линейны; выпуклое программирование: целевая функция и допустимое множество выпуклы; квадратичное программирование: целевая функция квадратична и выпукла, допустимое множество определяется линейными равенствами и неравенствами; дискретное программирование: решение ищется лишь в дискретных, например целочисленных, точках множества X ; стохастическое программирование: в отличие от детерминированных задач, здесь входная информация носит элементы неопределённости; например, в стохастических задачах о минимизации линейной функции
при линейных ограничениях
, i = 1, 2, …, m ,
либо все величины c j , a ij , b i , либо часть из них случайны.
Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи — задачи, для которых указанное свойство не выполняется.
В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна — Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x* : для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть
,
X = {x : g i (x ) ³ 0, i = 1, 2, ..., k },
необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у* 1 , у* 2 , ..., у* k ), чтобы пара точек х* , у* образовывала седло функции Лагранжа
Последнее означает, что
L (x*, y ) £ L (x*, y* ) £ L (x, у* )
для любых х и всех у ³ 0. Если ограничения g i (x ) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве.
Если функции j(x ) и g i (x ) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку
, j = 1, 2, …, n ;
; ; i = 1, 2, …, k ;
, y i ³ 0, i = 1, 2, …, k .
Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств.
На основе теоремы Куна — Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа.
В М. п. одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке x k Î X выбирается направление спуска s k , то есть одно из направлений, по которому функция j(x ) убывает, и вычисляется x k+1 = p (x k + ak s k ), где p (x k + ak s k ) означает проекцию точки x k + ak s k на множество X :
,
число ak > 0 выбирается при этом так, чтобы j(x k +1 ) < j(x k ). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда s k = —grad j(x k ). В М. п. доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {х k }, построенная методом проекции градиента, такова, что стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии.
Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач М. п. является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи М. п., связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта.
Важным направлением исследования в М. п. являются проблемы устойчивости. Здесь существ. значение имеет изучение класса устойчивых задач — задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач — так называемому процессу регуляризации.
М. п. как наука сформировалось в 50—70-х годах 20 века. Это обусловлено главным образом развитием электронных вычислительных машин, а следовательно, с возможностью проводить математическую обработку больших потоков информации, и на этой основе решать задачи управления и планирования, где применение математических методов связано в первую очередь с построением математических моделей и соответствующих им экстремальных задач, в том числе задач М. п.
Лит.: Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И., Линейное и выпуклое программирование, 2 изд., М., 1967; Хедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, перевод с английского, М., 1967.
В. Г. Карманов.