Нея'вные фу'нкции, функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение

  x 2 + y2 - 1 = 0

задаёт Н. ф.

  y = у (х ),

соотношения

  x = rcosjsinJ, y = rsinjsinJ, z = rcosJ

задают Н. ф.:

  r = r(x , у, z ), j = j(x , y, z ), J = J(х, у, z ).

В простейших случаях соотношения, задающие Н. ф., могут быть разрешены в классе элементарных функций , т. е. удаётся найти элементарные функции, удовлетворяющие этим соотношениям. Так, в первом из приведённых выше примеров имеем:

а во втором:

  Вообще же таких элементарных функций найти не удаётся. Н. ф. могут быть как однозначными, так и многозначными. Не всякое соотношение (или система соотношений) между переменными задаёт Н. ф. Так, если ограничиваться лишь действительными значениями переменных, то соотношение x 2 + y 2 + 1 = 0 не задаёт Н. ф., так как не удовлетворяется ни одной парой действительных значений х и у; соотношение же e xy = 0 вообще не удовлетворяется ни одной парой действительных или комплексных значений х и у. Теорема существования Н. ф. в её простейшей формулировке утверждает, что если функция F (x, y ) обращается в нуль при паре значений х = x 0 , у = y 0 [F (x 0 , y 0 ) ¹ 0] и дифференцируема в окрестности точки (x 0 , y 0 ), причём F’ x (х, у ) и F’ y (х, у ) непрерывны в этой окрестности и F’ y (x 0 , y 0 ) ¹ 0, то в достаточно малой окрестности точки x 0 существует одна и только одна однозначная непрерывная функция у = у (х ), удовлетворяющая соотношению F (x, y ) = 0 и обращающаяся в y 0 при x = x 0 ; при этом y '(x ) = —F’ x (x, y )/F’ y (x, у ).

  Для приближённого вычисления значений Н. ф. вблизи точки x 0 , где её значение y 0 уже известно, широко применяются степенные ряды. Так, если F (x, у ) — аналитическая функция [т. е. может быть разложена в окрестности точки (x 0 , y 0 ) в сходящийся двойной степенной ряд] и F’ y (x 0 , y 0 ) ¹ 0, то Н. ф., заданная соотношением F (x, y ) = 0, может быть получена в виде степенного ряда

сходящегося в некоторой окрестности точки х = х 0 . Коэффициенты c k , k = 1, 2,..., могут быть найдены либо подстановкой этого ряда в соотношение F (x , у ) = 0, либо последовательным дифференцированием этого соотношения по х. Например, если Н. ф. задана соотношением

  y 5 + xy - 1 = 0, x 0 = 0, y0 = 1,

то

и

откуда

c 0 = 1, c 1 = —1 /5 c 0 -3 , c 2 = —2c 1 2 c 0 -1 — 1 /5 c 1 c 0 -4 = —1 /25 и т.д.

  Если соотношение F (x, у ) = 0 может быть представлено в виде у = а + х j(у ), где j(y ) — аналитическая функция, то Н. ф. у = у (х ), заданная этим соотношением и принимающая значение а при х = 0, разлагается в ряд Лагранжа

сходящийся в некоторой окрестности точки х = 0. Например, из соотношения у = а + x siny (так называемое Кеплера уравнение ) можно получить:

  Вычисление значений Н. ф. в общем случае может быть произведено по методу последовательных приближений.

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 22 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, М., 1970.