Пе'рвый интегра'л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

  , i = 1, …, n

  — соотношение вида

 

(где С — произвольная постоянная), левая часть которого сохраняет постоянное значение при подстановке любого решения y 1 = y 1 (x ),..., y n = y n (x ) системы, но не является тождественной постоянной (см. Дифференциальные уравнения ). Геометрически П. и. представляет собой семейство гиперповерхностей в (n + 1)-мерном пространстве Oxy 1 ... y n , на каждой из которых расположено некоторое подсемейство интегральных кривых системы. Например, одним из П. и. системы ,  является y 2 + x 2 = C 2 (круговые цилиндры); интегральные кривые у = C sin (x — x 0 ), z = C cos (x—x 0 ) суть винтовые линии, расположенные на этих цилиндрах (см. рис. ). Если известно k независимых П. и. Ф i (x 1 , y 1 ,..., у п ) = C i (i = 1,..., k; k < n ) системы, то её порядок, вообще говоря, может быть понижен на k единиц; если k = n, то общий интеграл системы получается без интегрирования.

  Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Рис. к ст. Первый интеграл.