Положи'тельно-определённая фо'рма , выражение вида

a ik x i x k ,

где a ik = a ki , принимающее неотрицательные значения при любых действительных значениях x 1 , х 2 ,..., x n и обращающееся в нуль лишь при x 1 = х 2 =... = x n = 0. Т. о., П.-о. ф. есть квадратичная форма специального типа. Любая П.-о. ф. приводится с помощью линейного преобразования к виду

x2 i

  Для того чтобы

a ik x i x k

была П.-о. ф. необходимо и достаточно, чтобы D1 > 0, …, Dn > 0, где

  В любой аффинной системе координат расстояние точки от начала координат выражается П.-о. ф. от координат точки. Форма

,

(где  — число, комплексно сопряжённое с x k , см. Комплексные числа ) такая, что a ik = #i-images-137586575.png  и f ³ 0 для всех значений x 1 , х 2 ,..., x n и f = 0 лишь при x 1 = х 2 =... = x n = 0, называется эрмитовой П.- о. ф.

  С понятием П.-о. ф. связаны также понятия: 1) положительно-определённой матрицы ||a ik || — такой матрицы , что

a ik xi xk

есть эрмитова П.-о. ф.;

2) положительно-определённого ядра — такой функции К (х, у ) = , что

для любой функции x(х ) с интегрируемым квадратом; 3) положительно-определённой функции — такой функции f (x ), что ядро К (х, у ) = f (x - y ) является положительно-определённым. Класс непрерывных положительно-определённых функций f (x ) c f (0) = 1 совпадает с классом характеристических функций законов распределения случайных величин.