Шаровы'е фу'нкции, однородные функции u n степени п от прямоугольных координат х , у , z , удовлетворяющие уравнению Лапласа:

 

  Существуют 2n + 1 линейно-независимых однородных многочленов от х , у , z целой положительной степени n , являющихся Ш. ф.: их линейная комбинация представляет общий вид такого многочлена степени n. Так, например,

  u o = a , u 1 = ax + by + cz ;

  u 2 = a (x 2 — z 2 ) + b (y 2 — z 2 ) + cxy + dyz + ezx ,

  где a , b , с , d , e — произвольные постоянные, представляют общий вид однородных многочленов степеней 0, 1, 2, являющихся Ш. ф. Если вместо прямоугольных координат х , у , z ввести сферические координаты r , q, j, то Ш. ф. выражаются через сферические функции Y п (q,j) по формуле

  u n = r n Y n (q,j).

  Каждой Ш. ф. u n степени n соответствует Ш. ф. r ¾2n ¾1 степени — n— 1.

  Ш. ф. применяются при нахождении общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математической физики для областей, ограниченных сферическими поверхностями.

  Лит. см. при статье Сферические функции .