Скаля'рное произведе'ние векторов а и b , скаляр , равный произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними; обозначается (а, b ) (или ab ). Например, работа постоянной силы F вдоль прямолинейного пути S равна (F , S ). Свойства С. п.: 1) (а, b ) = (b, а ), 2) (aа , b ) = a(а, b ) (a — скаляр), 3) (a , b + c )= (a, b ) + (а , с ), 4) (a , a ) > 0, если а ¹ 0, и (а , а ) = 0, если а = 0.

  Длина вектора а равна . Если (а, b ) = 0, то либо а = 0, либо b = 0, либо a ^ b. Если а = (a 1 , a 2 , a3 ) и b = (b 1 , b 2 , b3 ), то (а, b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 +  a 3 b 3 (в прямоугольных декартовых координатах). Понятие «С. п.» обобщают на n -мерные векторные пространства , где равенство (а, b ) =  принимают за определение С. и. и с помощью так определённого С. п. вводят геометрическое понятия длины вектора, угла между векторами и т. д. Бесконечномерное линейное пространство , в котором определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы  (см. Полное пространство ), называют гильбертовым пространством . Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном анализе и квантовой механике. Для векторных пространств над полем комплексных чисел условие 1) заменяют условием (а, b ) = #i-images-102574896.png и С. п. определяют как .

  Векторы а и b можно рассматривать как кватернионы a 1 i + a 2 j + a3 k и b 1 i + b 2 j + b 3 k. Тогда их С. п. равно взятой с обратным знаком скалярной части произведения этих кватернионов (а векторное произведение — векторной части).