Сопряжённые фу'нкции, функции u (х, у), u(x, у) двух переменных х и у, связанные в некоторой области D условиями Коши — Римана (см. Коши—Римана уравнения );

  #i-images-121270211.png ; #i-images-105406785.png .

  При определённых условиях, например при непрерывности частных производных первого порядка, С. ф. u и u являются соответственно действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции f (x + iy). Они удовлетворяют в области D уравнению Лапласа

  #i-images-160127073.png , #i-images-109653400.png

  т. е. являются гармоническими функциями . Заданием функции, гармонической в односвязной области D [напр., u (х, у)] однозначно (с точностью до постоянного слагаемого) определяется сопряжённая с ней гармоническая функция u(x, у), а тем самым и аналитическая функция f (x + iy). Например, если

   

  [j = arg (х + iy)]

  — гармоническая функция в некотором круге , то С. ф.

 

  и

Значения С. ф. на круге r = 1 являются периодическими функциями аргумента j. Они раскладываются в тригонометрические ряды вида

  называемые сопряжёнными тригонометрическими рядами.