Якобиа'н , функциональный определитель ½aik ½1 n с элементами , где y i = f i (X 1 ,... , X n ), l £ i £ n , — функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:

  .

  Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций

  y 1 = f 1 (. x1 , x 2 ), y 2 = f 2 (x 1 , x 2 ) (1)

  задаёт отображение области D, лежащей на плоскости x 1 , x 2 , на часть плоскости y 1 , y 2 . Роль Я. для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной. Например, абсолютное значение Я. в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Я. в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М , и отрицателен в противоположном случае. Если Я. не обращается в нуль в области D и j (y 1 , у 2 ) — функция, заданная в области D1 (образе D), то

(формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов . Если Я. отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение

  x 1 = j1 (y 1 , y 2 ), x 1 = j2 (y 1 , y2 ),

  причём

 

  (аналог формулы дифференцирования обратной функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций . Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x1 (0) ,..., xn (0 , y1 (0) ,..., ym (0) ) функций y1 ,..., ут , неявно заданных уравнениями Fk (x1 ,..., xn , y1 ,..., ум ) = 0, (2)

  1 £ k £ m,

  достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Я.

 

  был отличен от нуля в точке М.

  Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.