Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Виолант-и-Хольц Альберт

На первый взгляд теорема Ферма кажется очень простой. Те, кто сталкиваются с ней впервые, обычно недоумевают: почему на протяжении 380 с лишним лет математики не могли ее доказать? Однако вскоре подобные иллюзии рассеиваются, и становится понятно: теорема Ферма — одна из сложнейших математических задач всех времен. Данная книга повествует не только о Пьере Ферма и его теореме, но также о британце Эндрю Уайлсе — гениальном математике, который бросил вызов грандиозной задаче и вышел из этой схватки победителем.

 

Предисловие

Когда мы объясняем кому-то теорему Ферма, то в ответ обычно слышим: «Ничего особенного». Формулировка этой теоремы столь проста, что сложно удержаться от искушения взять лист бумаги и проверить несколько чисел, позабыв на мгновение, что речь идет об одной из сложнейших математических задач всех времен. Одним из многих наивных, кто попался в эту ловушку, был британец Эндрю Уайлс. Ему не было и десяти лет, когда он увлекся этой теоремой и той историей, что ее окружает. Молодой человек бесстрашно приступил к доказательству теоремы, зная лишь немногим больше курса математики начальной школы, и, разумеется, ему пришлось отступить. Но, в отличие от многих, Уайлс, который впоследствии стал выдающимся математиком, упорно пытался снова и снова доказать теорему, посвятив ей всю свою жизнь. История этого гениального математика, одержимого доказательством единственной грандиозной задачи, — часть прекрасного и многогранного полотна, на котором изображена история теоремы Ферма. Рассказом об Эндрю Уайлсе начинается и заканчивается эта книга.

В первой главе мы перенесемся в 1993 год, когда Уайлс удивил весь мир, объявив, что ему удалось доказать знаменитую теорему. Самая известная и самая трудная математическая задача всех времен в конце концов была решена, и это удивительное достижение попало на первые полосы всех мировых газет. Увы, спустя некоторое время эксперты обнаружили ошибки в доказательстве. Однако казалось, что эти ошибки можно быстро исправить. Шли месяцы, а Уайлс, к которому было приковано внимание всего математического мира, по-прежнему хранил молчание.

Быть может, это был всего лишь заманчивый мираж? Неужели знаменитая теорема снова, как и на протяжении последних трех столетий, оказалась неприступной?

Во второй главе мы ненадолго оставим Уайлса, вернемся больше чем на 3000 лет назад и расскажем о математике в Древней Индии и Шумерии. Последняя теорема Ферма тесно связана со знаменитой ключевой теоремой геометрии — теоремой Пифагора. Ее открытие обычно приписывают греческому математику Пифагору, но в действительности она была известна в Азии и на Ближнем Востоке за много веков до него.

Третья глава — краткая биография нашего главного героя, Пьера де Ферма. Он был адвокатом по профессии и математиком по призванию. В его время научных журналов не существовало, открытия совершались одиночками, и о них становилось известно из переписки, например, таких выдающихся ученых, как сам Ферма, Блез Паскаль, Рене Декарт и братья Бернулли. Обрисовав столь увлекательную картину, в четвертой главе мы поговорим о том, как «Арифметика» Диофанта навела Ферма на мысль о его великой теореме, а также о попытках доказать ее на протяжении трех последующих веков, пока Уайлс не предложил окончательное доказательство. Наша история изобилует известными именами: мы упомянем Гаусса, «принца математиков»; Софи Жермен — женщину, которая выдавала себя за мужчину; мы расскажем о Леонарде Эйлере и Эваристе Галуа, об Эрнсте Куммере, о японских математиках Ютаке Танияме и Горо Симуре.

В пятой и последней главе подробно рассказывается о сольном восхождении Уайлса на этот математический Эверест, которое стало кульминацией тысячелетней истории математики.

Без знаний математики невозможно получить от нее истинное удовольствие. Только приложив умственные и волевые усилия, можно в полной мере осознать всю ее красоту. И тогда пейзаж, который открывается перед нами, сравним с красивейшей сонатой, с торжеством природы, с высшим из наслаждений. Мечта автора — чтобы по прочтении этой книги читатель открыл для себя новые уголки математики неземной красоты и в полной мере насладился ими. Понять какие-то темы будет совсем нетрудно, другие — чуть сложнее. Автор ставил перед собой цель изложить материал доступным образом, оставив наиболее затруднительные моменты для дополнительного изучения. Автор ставил задачу рассказать эту историю так, чтобы читатель заново пережил 380 с лишним лет, которые понадобились для окончательного доказательства великой теоремы Ферма.

 

Глава 1

Луч света в математическом замке

В 1997 году в научно-популярной программе NOVA Эндрю Уайлса спросили, как бы он описал семь лет настойчивых, граничащих с одержимостью поисков, которые завершились доказательством последней теоремы Ферма — самой знаменитой теоремы всех времен. Уайлс ответил:

«Вы входите в большой дом, и вас окружает тьма. Темно. Кромешная тьма. Вы то и дело натыкаетесь на мебель, но постепенно узнаёте, где что стоит. Наконец месяцев через шесть или около того вы нащупываете выключатель, и внезапно становится светло. Вы отчетливо видите, где вы. Затем вы переходите в следующую комнату и проводите там шесть месяцев во мраке».

Этот «мрак», о котором говорит британский математик, не смогли преодолеть множество математиков в течение трех с половиной столетий. Теорема, сформулированная в 1630-е годы (точное время неизвестно) французом Пьером де Ферма (1601–1663) , звучит так:

«Для любого натурального числа n > 2 уравнение

х n + у n = z n

не имеет натуральных решений х, у и z».

Об этой теореме стало широко известно лишь тогда, когда сын Ферма, Саму эль, обнаружил ее на полях латинского издания «Арифметики» Диофанта. Это не столь удивительно, как может показаться, потому что Ферма посвящал большую часть времени профессиональной деятельности — адвокатуре и занимался наукой лишь в часы отдыха.

Помимо формулировки самой теоремы (которая несколько отличается от упомянутой выше), рядом приводилась фраза, которая стала одной из самых известных в истории математики: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Многие хотели бы оказаться рядом с Ферма, чтобы предложить ему в тот момент чистый лист бумаги! Несмотря на все усилия Самуэля Ферма, ему не удалось найти в рукописях отца ничего, что как-то касалось бы предполагаемого доказательства, и потомкам пришлось довольствоваться лишь доказательством для n = 4, которое опубликовал сам Ферма. «Поистине чудесное доказательство» гениального французского математика оказалось утерянным навсегда.

Страница 85 «Арифметики»  Диофанта в переводе  Баше де Мезириака . На этой странице описывается задача 8 книги II. Читатель может оценить ширину полей, на которых не поместилось «чудесное доказательство» Ферма .

В этот момент трудно удержаться от избитой фразы: «Порой жизнь оказывается удивительнее фантастики».

Если бы Ферма знал, сколько миллионов часов потратят исследователи, сколько сотен тысяч страниц в научных журналах будет посвящено попыткам найти то самое доказательство! Если бы он знал, что спустя более чем 300 лет его простая теорема все еще будет оставаться недоказанной, самой удивительной и самой комментируемой! И что теорема, для которой «поля книги оказались слишком узки», своей элегантностью привлечет внимание бесчисленного множества математиков, но никому не откроет своей тайны. Такие выдающиеся умы, как Карл Фридрих Гаусс, Леонард Эйлер, Адриен Мари Лежандр, Эрнст Куммер и многие другие, приступали к решению с определенной уверенностью в своих силах, но им удавалось найти доказательства только для частных случаев, n = 3, 5 или 7. Кроме этого, становилось известно все больше случаев этой теоремы, открывались неизмеримые глубины теории чисел, и в первые десятилетия прошлого века казалось, что следует отказаться от всяких попыток и перевести теорему в разряд исторических казусов. Несмотря на всю ее сложность, а может, именно по этой причине великая теорема Ферма вышла за рамки узких разделов математики.

Как бы то ни было, те немногие, кого все еще продолжала волновать многовековая загадка Ферма, продолжали распутывать сложные взаимосвязи, которые, казалось, все множились и множились, и столь желанное доказательство оставалось далеким и неясным. Все они в попытках покорения этого своеобразного математического Эвереста не раз отправляли в корзину исписанные страницы, содержавшие очередную серьезную ошибку.

Все они задавались этим пугающим вопросом: «Может, мы имеем дело с одной из теорем математики, этого „божественного безумия человеческого духа“, как говорил Альфред Уайтхед, которые выходят за рамки человеческого понимания?» Математики Барри Мазур, Кен Рибет, Герхард Фрай и Герд Фалтингс отказывались в это верить. Среди обитателей таинственного замка, хранящего загадку французского адвоката и его утерянное «чудесное доказательство», залы которого скрывала тьма, был Эндрю Уайлс, едва ли известный кому-то, кроме узких специалистов. Человек, чья природная скромность и робость только усилились летом 1986 года, когда он по собственной воле стал затворником. По словам его немногочисленных родственников, сделать это его побудила очень важная задача, о которой, однако же, им было ничего не известно.

Портрет  Пьера де Ферма кисти  Франсуа де Пуайи на обложке книги «Разные математические сочинения», составленной сыном знаменитого математика в 1679 году.

Понедельник, вторник…

В июне 1993 года на кафедре чистой математики Кембриджского университета, которую возглавлял австралиец Джон Коутс, прошла международная конференция по теории Ивасавы — подразделу теории чисел, в котором изучаются эллиптические кривые. Этот пугающий термин играет важную роль в нашем повествовании. Среди выступавших был бывший студент Коутса, который в свое время работал с ним над доказательством частного случая гипотезы Свиннертон-Дайера. Эта гипотеза широко известна благодаря тому, что в 2000 году Институт Клэя назначил за ее доказательство премию в один миллион долларов. Хотя нашего бывшего студента можно было назвать затворником, он был великолепным математиком и вскоре после получения степени доктора оставил Кембридж и перешел в престижный Принстонский университет в США. Несмотря на тесные отношения, которые неизбежно возникают между учеником и учителем, что особенно справедливо для такого пристанища индивидуалистов и одиночек, как Кембридж, Коутс давно, лет семь назад, потерял этого студента из вида. Казалось, тот словно провалился сквозь землю. На самом деле (Коутсу наверняка это было неизвестно) за семь лет до этого американский математик Кен Рибет доказал так называемую эпсилон-гипотезу, сформулированную французом Жан-Пьером Серром и основанную на гениальной догадке немецкого математика Герхарда Фрая. Рибет доказал, что легендарная последняя теорема Ферма удивительным образом связана с гипотезой Таниямы — Симуры, сформулированной в 1950-е годы, в которой шла речь об определенных свойствах эллиптических кривых.

Коутс был приятно удивлен, что после стольких лет забвения его ученик, о котором мы говорим (а это был не кто иной, как Эндрю Уайлс), принял приглашение на конференцию. Коутс удивился еще больше, когда в ответ на вопрос, сколько времени тому понадобится на выступление, Уайлс, который отличался робостью и нелюбовью к публичным выступлениям, попросил выделить для него целых три часа. Заинтригованный Коутс спросил, какая же тема заслуживает трехчасового выступления, на что Уайлс ответил ему точно так же, как и другим своим коллегам: «Приходите, и вы сами всё увидите».

В названии доклада «Модулярные формы, эллиптические кривые и представления Галуа» перечислялись, несомненно, известные термины, но Уайлс не говорил ничего о том, как они связаны между собой, как будто бы ему был известен какой-то секрет. Подобная сдержанность была достаточно необычной даже в среде профессиональных математиков, в целом отличающихся замкнутостью, которые общались лишь с коллегами, когда им был нужен какой-то совет.

В понедельник Уайлс, вооруженный многочисленными заметками, вошел в конференц-зал. Под удивленными взглядами двух десятков присутствующих этот высокий и худощавый человек, которому едва исполнилось сорок, за пробивающуюся лысину получивший прозвище «яйцеголовый», столь типичное для ученых, во время доклада перечислил результаты своих работ, представлявшие огромный научный интерес. Слухи распространились незамедлительно, и на следующем выступлении, запланированном на вторник, в зале не осталось ни одного пустого места.

Когда он закончил второй доклад и направился к выходу, присутствующие проводили его уважительным молчанием, а затем бросились обсуждать то, что они только что услышали. Было очевидно, что Уайлс не просто хотел перечислить полученные им результаты, хотя они, бесспорно, имели огромную ценность. Его доклады как будто подводили к какому-то выводу. Это было невероятно сложное и любопытным образом выстроенное доказательство… но доказательство чего? Кен Рибет, также присутствовавший в зале, не испытывал никаких сомнений по этому поводу. «Доклад Уайлса имеет кульминацию, единственную финальную цель», — сказал он позднее.

…и среда

23 июня 1993 года проход в зал, где Уайлс должен был прочитать свой третий и последний доклад, оказался забит небольшой толпой. Некоторые из присутствующих принесли с собой фотоаппараты, и им не терпелось сделать множество снимков этого худощавого математика, который излучал какое-то сверхъестественное спокойствие. Когда в зале установилась тишина, Уайлс начал третью часть доклада, который должен был стать одним из важнейших за всю историю математики. Выкладки на доске сменяли друг друга, и напряжение все возрастало. Наконец Уайлс записал последние несколько строк, которые были выражены в терминах современной математики, но означали то же самое, что написал один французский математик на полях книги более трехсот лет назад. «И это доказывает великую теорему Ферма, — сказал Уайлс. — Думаю, мне следует на этом остановиться».

И царство математики, где долгое время царила тьма, озарилось светом, и древний призрак был изгнан из него.

Фотография математика Эндрю Уайлса , сделанная во время конференции 23 июня 1993 года, когда он привел доказательство последней теоремы Ферма .

Математик на первой полосе

О достижении Уайлса с таким энтузиазмом начал говорить весь математический мир, что и неспециалисты не смогли обойти вниманием это событие. Газета «Нью-Иорк Таймс» 24 июня вышла с таким заголовком: «Наконец-то можно крикнуть „Эврика!“ Вековая тайна математики раскрыта», и большинство крупных газет по всему миру уделили этой новости такое же внимание. Об удивительной истории Ферма и его последней теореме были написаны передовицы газет и снято множество телепрограмм. Робкому и застенчивому Уайлсу пришлось привыкнуть к статусу скромной знаменитости. «Семь лет решение этой задачи вызывало во мне удивительные чувства, — вспоминал он в 1997 году. — И наконец мне удалось решить ее». Однако на этом цитата не заканчивается: «И только потом стало известно, что не все было так гладко».

Легкий путь к славе и профессиональному признанию спустя несколько месяцев после триумфального выступления в Кембридже превратился в ночной кошмар. Старый призрак не собирался так легко сдаваться. Но чтобы понять, что именно последовало за восторгами июня 1993 года, и оценить по достоинству путь, проделанный Уайлсом, — этот мучительный путь через пустыню, который он хотел пройти до конца, — нужно взглянуть в самую суть задачи и, насколько это возможно, осознать всю ее широту и сложность. Для этого нужно совершить увлекательное путешествие во времени, своеобразную одиссею от момента зарождения математики за 2000 лет до Рождества Христова и до современной алгебры и теории чисел. По возвращении на Итаку, удовлетворив свое любопытство и утолив жажду приключений, мы поблагодарим Ферма и его великую теорему за пройденный нами путь, на котором мы увидим наивысшее воплощение человеческого интеллекта и любознательности.

 

Глава 2

Все началось в Шумерии

Кто сказал, что история математики не так уж важна? Именно история математики хранит истоки человеческой мысли, рассказывает, как развивались идеи и где найти ключи к пониманию будущего. Это основное средство изучения математики и к тому же еще одна возможность насладиться ее красотой. История загадки Ферма уходит корнями на много тысяч лет назад, в Шумерию и Древнюю Индию. Ее истоки хранит знаменитая теорема Пифагора, которая гласит, что если х и у — катеты прямоугольного треугольника, a z — его гипотенуза, то х2 + у2 = z2.

Пифагор, несомненно, один из самых знаменитых математиков, а теорема Пифагора — одна из известнейших теорем. Тем удивительнее, что за несколько веков до его рождения эта теорема уже была известна. Настало время переименовать ее, но в честь кого ее следует назвать?

История, которую мы расскажем, начинается в 1800 году до н. э. близ Ларсы — крупного города шумеров, расположенного на юге современного Ирака. Тщательно размяв кусок глины, писец раскатывает его, чтобы получилась табличка. Он собирается написать на ней таблицу чисел, которая сохранится на много тысяч лет.

Табличка Плимптон 322

Примерно в 1922 году нью-йоркский издатель Джордж Артур Плимптон приобрел эту табличку у Эдгара Джеймса Бэнкса, торговца археологическими находками. Табличка находилась в неплохом состоянии, но справа посередине виднелась крупная трещина, а символы в верхнем левом углу было нельзя прочитать. И, что было еще интереснее, все указывало на то, что исходная табличка имела больший размер, поскольку левый край был неправильной формы, как будто обломан. Быть может, табличку повредили при раскопках? До нас дошла глиняная табличка размерами 13 x 9 x 2 см. Согласно Бэнксу, табличка была найдена в городе Сенкере (современное название Ларсы). Позднее исследователи сравнили стиль написания символов на этой и других табличках того времени и подтвердили, что Бэнкс не ошибся. Табличка датируется 1822–1784 годами до н. э. Иными словами, она была написана за несколько лет до захвата Ларсы войсками Хаммурапи в 1762 году до н. э. Плимптон умер в 1936 году и завещал эту табличку вместе со всей своей коллекцией Колумбийскому университету, где она хранится и поныне под номером 322. С тех пор эта табличка известна под названием Плимптон 322.

Табличка  Плимптон 322 .

Вавилонская шестидесятеричная система счисления

В чем же загадка этой таблички? На ней в четыре столбца нанесены числа, записанные в системе счисления, которая отличается от нашей и имеет основание 60. Считается, что эта система, называемая шестидесятеричной, появилась в культуре шумеров в третьем тысячелетии до нашей эры и позднее была заимствована вавилонянами. Мы используем ее и сейчас при измерении времени, углов и географических координат. Десятичная и шестидесятеричная системы уживаются рядом: час делится на 60 минут, минута — на 60 секунд, но секунды делятся на десятые, сотые и тысячные доли уже в десятичной системе счисления. Несмотря на свое удобство, десятичная система не смогла полностью заменить шестидесятеричную, которую придумали наши предки шумеры. Окружность по-прежнему делится на 360 градусов, как и тысячи лет назад. Звездные часы послужили моделью для наручных часов, и даже современные цифровые часы по-прежнему имитируют движение стрелки по окружности, разделенной на 60 частей. Десятичная система используется уже много лет и даже веков, но сутки по-прежнему делятся на 24 часа.

Почему же шумеры использовали шестидесятеричную систему счисления? Число 60 не перестает удивлять нас своими замечательными свойствами. Одно из самых заметных его свойств — это большое количество делителей. Оно без остатка делится на двенадцать чисел: 1, 2, 3, 4, 3, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Ни одно из чисел, меньших 60, не имеет столько делителей. Это свойство особенно удобно при работе с дробями, так как вычисления заметно упрощаются. В то время не существовало вычислительных машин, и все, что могло упростить вычисления, было как нельзя кстати.

Многие математики считают, что удивительных свойств числа 60 достаточно, чтобы понять, почему же древние шумеры использовали шести десятеричную систему счисления.

Число 60 также тесно связано с простыми числами. Начнем с того, что оно находится между двумя простыми числами-близнецами (59 и 61) и является суммой двух простых чисел-близнецов (29 + 31). Его также можно представить в виде суммы четырех последовательных простых чисел (11 + 13 + 17 + 19).

Возможно, удивительнее всего то, что 60 — наименьшее число, которое можно получить в виде суммы двух простых чисел шестью разными способами. Это показано в таблице ниже.

Уже в IV веке Теон Александрийский предположил, что число 60 было выбрано как основание системы счисления потому, что это наименьшее число, которое делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Развивая эту мысль, математик Дж. Г. ван дер Галиен показал, что если n — целое положительное число, делители которого, меньшие √n, являются последовательными числами, то n либо простое, либо удвоенное простое число, либо одно из чисел 1, 8, 12, 24, 60. Значит, 60 — наибольшее составное число, первые делители которого, не превышающие √n, являются последовательными.

* * *

СВЕРХСОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Натуральные числа, имеющие больше делителей, чем любое предшествующее им натуральное число, называются сверхсоставными. Найти первые сверхсоставные числа очень просто, что показано в таблице. Однако до сих пор не найдена формула, позволяющая найти все подобные числа.

* * *

От десятичной системы мер к шестидесятеричной системе счисления

Однако этот и другие ответы не удовлетворяют некоторых исследователей. Существуют археологические находки, подтверждающие, что около 3500 года до н. э. шумеры использовали десятичную систему мер, и точно неизвестно, как и почему они перешли к шестидесятеричной системе счисления. В связи с этим важно отметить различие между системой счисления и системой мер. Система счисления используется для подсчета, сложения, вычитания и других арифметических действий. Система мер используется для измерения длин, площадей, объемов, углов, весов и даже времени. Хотя обе системы, как правило, совпадают, это не обязательно должно быть именно так. Мы сами используем десятичную систему счисления, которая сосуществует с шестидесятеричной системой измерения времени.

Австрийский исследователь Отто Нойгебауэр в начале XX века предположил, что в культуре шумеров после десятичной системы мер использовалась шестидесятеричная, свидетельств чему не сохранилось. Возможно также, что обе системы использовались одновременно. Нойгебауэр выдвинул версию, что исходная десятичная система мер была заменена системой с основанием 60, чтобы делить меры и веса на три части. Нам достоверно известно, что в системе мер и весов, которую использовали шумеры, в качестве основных дробей использовались 1/3 и 2/3. Однако это не объясняет, почему шестидесятеричная система не использовалась с самого начала.

Объединение народов, смешение систем

Другие исследователи, в частности, Г. Кевич, предполагают, что шумерская цивилизация могла возникнуть после объединения двух народов, один из которых использовал систему счисления по основанию 12, другой — систему по основанию 5. Хотя система счисления по основанию 5 была распространена не так широко, как десятичная, они могут иметь одинаковое происхождение, связанное с подсчетом на пальцах: в пятеричной системе использовались пальцы одной руки, в десятичной — пальцы обеих рук. Следуя этой теории, при слиянии народов система по основанию 60 возникла естественным образом, в ходе торговли.

Однако у этой теории есть два важных недостатка. Несмотря на то что имеются доказательства использования десятичной системы на этой территории, нет никаких археологических находок, которые подтверждали бы использование системы по основанию 5. Чтобы устранить этот недостаток, можно предложить альтернативную теорию. Допустим, что незадолго до 3500 года до н. э. одна народность использовала двенадцатеричную систему мер и объединилась с другой шумерской народностью, которая в то время применяла десятичную систему. Логично предположить, что постепенно была установлена общая система, чтобы упростить расчеты. Идеальной системой была бы та, основание которой было бы наименьшим общим кратным 10 и 12, чтобы можно было легко пересчитывать числа из одной системы в другую. Таким числом является 60.

Однако здесь становится очевиден второй недостаток нашей теории, так как не существует доказательств, что какая-либо народность использовала систему счисления по основанию 12. Дав волю воображению, мы можем предположить, что 12 — число полнолуний в солнечном году, и до сегодняшнего дня многие единицы измерения связаны с числом 12: например, в британской системе мер фут состоял из 12 дюймов, шиллинг был равен 12 пенсам, а 1 фунт — 12 унциям. Более того, в Европе до сих пор продают яйца дюжинами! Двенадцать дюжин составляют так называемый гросс (эта мера счета применялась при счете мелких галантерейных предметов), и это доказывает, что здесь используется система счисления по основанию 12. Кроме того, 12 является сверхсоставным числом. Но для подтверждения наших теорий нужны археологические находки, которые до сих пор не обнаружены.

Астрономические теории и градусы

Год приблизительно равен 360 дням, окружность делится на 360 градусов. Совпадение? Шумеры тщательно наблюдали за небосводом. Каждую ночь они следили за движением звезд на небе и знали, что в году примерно 365 дней. Следовательно, описывая круг вокруг Солнца, за день Земля проходила одну триста шестьдесят пятую часть окружности. Возможно, для упрощения вычислений было решено поделить окружность на 360 градусов. С точки зрения арифметики преимущества были очевидны, но также имелись и очень интересные геометрические свойства. Если вписать окружность в шестиугольник, его сторона будет равна радиусу окружности. Благодаря этому соотношению можно легко нарисовать шестиугольник или разделить окружность на шесть равных частей с помощью циркуля. А 60 равно одной шестой части от 360. Благодаря всем этим совпадениям, безусловно, было легче изображать небесный свод и движение небесных тел, а также описывать их в численном виде. Шумеры, несомненно, были знатоками астрономии.

Другое любопытное совпадение заключается в том, что Солнце проходит за день расстояние, приблизительно равно 720 его диаметрам (видимый диаметр Солнца равен 2 минутам дуги). Так как день у шумеров состоял из 12 часов, то мы опять с легкостью получим 60. Это означает, что шумеры знали способ измерения видимого диаметра Солнца, но опять-таки не обнаружено никаких археологических находок, которые бы это подтверждали. Также существует гипотеза, что каждые 60 лет совмещаются сферы Юпитера и Сатурна. Вне всяких сомнений, у множества астрономических явлений периодичность выражается числом 60, его делителями или кратными ему числами. И это неспроста!

* * *

БАКИБОЛЫ

В геометрии число 60 занимает особое место. В 1985 году Роберт Кёрл-младший, Гарольд Крото и Ричард Смолли открыли бакминстерфуллерены (также известные как бакиболы) диаметром около нанометра. Это открытие было удостоено Нобелевской премии по химии 1996 года. Эти молекулы состоят из 60 атомов углерода (С^ в химической нотации), которые расположены симметрично и образуют пяти- и шестиугольники. У бакминстерфуллеренов есть замечательные свойства, в частности, сверхпроводимость. Бакиболы обладают сверхпроводимостью при наивысшей температуре среди всех органических соединений и применяются в нанотрубках. Они получили свое имя за схожесть с сооружениями американского архитектора Ричарда Бакминстера Фуллера. Открытие этого соединения взволновало научное сообщество, так как вместе с графитом и алмазом это третья известная форма чистого углерода.

* * *

Способы счета

Исследователи Джон О’Коннор и Эдмунд Фредерик Робертсон считали, что происхождение шестидесятеричной системы должно быть связано со способом счета, который применяли шумеры. Они предположили, что, подобно тому как пальцы рук могут использоваться при счете в десятичной системе, а пальцы рук и ног — при счете в двадцатеричной системе, должен был быть некий способ счета на пальцах, который положил начало шестидесятеричной системе счисления. Если указывать большим пальцем правой руки на каждую из трех фаланг других пальцев правой руки, можно легко сосчитать до 12. Для больших чисел нужно поднимать палец левой, свободной, руки после каждого обхода фаланг правой руки и так досчитать до 60 (12·5 = 60). Такой способ счета также объясняет, почему для подсчета часов использовалось число 12.

Язык и письменность

Американец Мартин А. Пауэлл-младший предложил новую теорию. Он считал, что шестидесятеричная система счисления возникла как результат взаимодействия языка и письменности. Его гипотеза основана на том, что в основном диалекте шумерского языка часто используются формы слова «двадцать», а в другом диалекте — формы слова «три». Шестидесятеричная система счисления сформировалась при объединении двух диалектов. В пользу этой теории мог бы послужить тот факт, что слово «шестьдесят» («нис») на языке шумеров звучало наподобие «три раза по 20», но это не так. Истинное происхождение этого слова в шумерском языке неизвестно.

Уже несколько веков исследователи пытаются найти истоки шестидесятеричной системы шумеров, но в конечном итоге ни одна из теорий не находит подтверждения в археологических находках. Возможно, будущие открытия помогут нам приподнять завесу тайны над этой загадкой.

Два символа для подсчета всего на свете

Можно было бы предположить, что в вавилонской шестидесятеричной системе счисления использовалось 60 различных символов, подобно тому как в нашей десятичной системе используются 10 разных цифр. Однако это не так. Для записи любого числа вавилоняне использовали всего два символа. В их системе счисления гениально сочетались позиционная и аддитивная системы.

Система счисления называется позиционной, когда значение каждой цифры зависит от места, где она расположена. Например, используемая нами десятичная система является позиционной, так как цифра 2, расположенная на первом месте, считая справа, обозначает две единицы, но если поместить эту цифру на второе место справа, то она будет обозначать уже два десятка.

Система счисления называется аддитивной, когда значение каждого символа не зависит от места, которое он занимает в записи числа. Значение числа получается путем сложения значений отдельных символов.

Аддитивная система счисления

Счет от 1 до 9 в вавилонской системе был очень прост: вавилоняне рисовали одну палочку, две палочки и так далее. Здесь их система имеет признаки аддитивной. Хотя обычно палочки рисовались на определенных местах, все они имели одинаковое значение. Каждая палочка означала единицу. Так как цифры записывались палочками на глиняных табличках, то вертикальные палочки имели клиновидную форму. Они соединялись между собой и располагались симметрично, как показано на рисунке.

Для числа 10 вавилоняне использовали другой символ: повернутый раскрытый клин. Таким образом десятки и единицы накапливались до 59. Следовательно, система по-прежнему обладала свойствами аддитивности: одни символы всегда означали 1, другие — 10.

Знаки вавилонской шестидесятеричной системы счисления.

Позиционная система счисления

Начиная с числа 60 вавилонская система является позиционной. Чтобы представить число 60, во втором разряде, считая справа, рисовали палочку. Поэтому вавилонская система счисления и называется шестидесятеричной: палочка во втором разряде означает 60. Таким способом можно легко сосчитать до 3 600. Например, 72 записывается так:  . Считая справа, два вертикальных клина означают 1, горизонтальный — 10, другой вертикальный клинышек — 60. Получим 60 + 10 + 2 = 72.

Трудности начинаются, когда мы хотим записать число 62: на первом месте записываются две вертикальные палочки, на втором месте — еще один вертикальный клин. Нужно записать палочки очень аккуратно, чтобы не перепутать 62 ( ) и 3 ( ). Более того, если мы нарисуем всего одну палочку, как определить, что она означает: 1 или 60? Иногда это невозможно. В то время не существовало нуля, поэтому при чтении такой клинописи легко ошибиться. Но если числа записаны не в тексте, а в виде таблицы, то намного проще определить, какое место занимает каждый символ. Но и в этом случае нужно быть внимательным и предполагать, что писец не совершал ошибок.

Рассмотрим на примере, как можно перевести из шестидесятеричной системы в десятичную следующее число:

Сначала прочитаем шестидесятеричное число и запишем его в десятичной нотации по разрядам. Получим 20–11-1-23.

Затем вычислим десятичное значение этого числа. Справа записаны 23 единицы, 1 во втором разряде означает 60, 11 в третьем разряде нужно взять шестьдесят раз по шестьдесят (иными словами, умножить на 602) и, наконец, 20 в четвертом разряде нужно умножить на шестьдесят, умноженное на шестьдесят, умноженное на шестьдесят (то есть на 603). Так мы получим десятичное число:

20·603  + 11·602 + 1·60 + 23 = 4 359 683.

Десятичные числа

Подобно тому как в шестидесятеричной системе не использовался нуль, в ней также не существовало и десятичной запятой (разделителя). Поэтому понять, где должна находиться запятая, можно было только из контекста. В качестве примера переведем шестидесятеричное число  в десятичную систему, предполагая, что исходное число меньше единицы. Сначала, как и в первом примере, прочитаем шестидесятеричное число и запишем его в десятичной нотации по разрядам. Мы получим 10—2—11 (обратите внимание, что в исходном числе 10 и 2 разделены между собой).

Затем вычислим десятичное значение этого числа. В левом разряде находится 10, равное десяти шестидесятым частям единицы (то есть 10/60). 2 в следующем разряде означает одну шестидесятую от шестидесятой части единицы (то есть 2/602).

Ив третьем разряде нужно умножить на одну шестидесятую одной шестидесятой от одной шестидесятой части единицы (то есть 11/603). Получим десятичное число:

10/60 + 2/602 + 11/603 = 0,167273…

Перевод таблички Плимптон 322 в десятичную систему счисления

Исследователи шли тем же путем, когда пытались разгадать значение чисел на табличке Плимптон 322. Сначала они пронумеровали столбцы и тщательно перевели все цифры в арабскую нотацию.

Таблица чисел с исходной таблички в системе по основанию 60, записанных в арабской нотации.

Для всех табличек в этой главе курсивом (в левом верхнем углу) выделены трудночитаемые числа, жирным шрифтом — предположительно ошибочные значения. Ниже приведены эти же числа, переведенные в десятичную систему по методу, описанному выше.

Числа с таблички, переведенные в десятичную систему.

По-видимому, эти числа не имеют особого смысла. Это может быть просто набор цифр. Заметим, однако, что в четвертом столбце, то есть в первом столбце справа, содержатся последовательные числа от 1 до 15, как будто бы что-то было пронумеровано. С другой стороны, можно сказать, что в первом столбце содержится последовательность шестидесятеричных чисел от 0 до 1, строго упорядоченных по убыванию. Некоторые из них более сложные и содержат больше цифр, например, число в десятой строке. Другие намного проще, как, например, число в 11-й строке. Но все же кажется невероятным, что между этими числами существует какая-то связь.

И здесь нужно обратить внимание на второй и третий столбцы, так как числа в третьем столбце всегда больше чисел из второго, и при делении мы также получим строго упорядоченную по убыванию последовательность чисел между 0 и 1. Таким образом, мы можем добавить в таблицу столбец V. Значения в нем будут рассчитываться по следующей формуле:

столбец V = столбец II / столбец III.

Кроме того, можно легко показать, что если возвести каждое число во втором и третьем столбце в квадрат и вычесть одно из другого, то результат всегда будет квадратом целого числа. Таким образом, мы можем добавить в таблицу столбец VI. Значения в нем будут рассчитываться по следующей формуле:

столбец VI = √(столбец III2 — столбец II2).

Объединив все полученные числа в одну таблицу, мы сможем исправить некоторые ошибки в исходных числах. Например, все указывает на то, что во второй строке есть ошибка, так как число в столбце V не вписывается в убывающую последовательность чисел, а в столбце VI не получается целое число. Единственный способ исправить эти ошибки — записать в третьем столбце 4825 вместо 11 521.

Теперь числа согласуются между собой.

Расширенная таблица с исправленными ошибками (исправленные значения отмечены звездочками).

Но еще удивительнее значения чисел в первом столбце. Потребовалось немало воображения, чтобы догадаться, что при делении чисел из второго столбца на числа из шестого и возведении результата в квадрат получаются числа из первого столбца с точностью до последнего десятичного знака. Поразительно! Теперь мы можем исправить все ошибки в исходных числах.

Но откуда взялись все эти числа? Очевидно, что они записаны на табличке не случайно. В течение десятилетий исследователи предлагали различные объяснения. В первом приближении может показаться, что здесь перечислены пифагоровы тройки (в столбцах II, III и VI), то есть целые числа, удовлетворяющие соотношению из теоремы Пифагора. Числа в столбце II соответствуют длинам меньших катетов, числа в столбце III — длинам гипотенуз, числа в столбце VI — длинам больших катетов. Это подтверждает и надпись на аккадском языке над столбцами II и III. Возможно, столбец VI был записан на утерянной части таблички.

Но кому понадобилось выбрать столь сложные пифагоровы тройки? Существует множество значительно более простых троек, например, (3, 4, 5), (6, 8, 10) или (3, 12, 13). Все они соответствуют сторонам прямоугольных треугольников, но не приводятся в таблице. Хотя эта табличка могла быть не единственной, было бы логично предположить, что среди первых пятнадцати строк появятся некоторые из простейших пифагоровых троек.

Гипотеза  Отто Нойгебауэра

Все это заставило математика Отто Нойгебауэра предположить, что числа в столбцах II и III на самом деле являются результатами вычислений над более простыми числами. Примерно в 1931 году Нойгебауэр предположил, что создателю таблички были известны формулы для определения пифагоровых троек на основе этих чисел. Для этого он выбрал два натуральных взаимно простых числа р и q, p > q. Затем он рассчитал следующие значения:

а = р2 — q2 (столбец II),

b = 2pq (столбец VI),

с = р2 + q2 (столбец III).

Нетрудно видеть, что

а2 + Ь2 = (р2 — q2)2 + (2pq)2 = р4 — 2p2q2 + q4 + 4р2q2 = р4 + 2p2q2 + р4 = (р2 + q2)2 = с2.

Следовательно, эти три числа образуют пифагорову тройку.

Руководствуясь этой гипотезой, Нойгебауэр начал дополнять табличку новыми столбцами, которые предположительно находились в левой, утерянной ее части.

Выбор значений p и q согласно гипотезе Отто Нойгебауэра (исправленные значения отмечены звездочками).

Казалось бы, все сходится. Кроме одиннадцатой строчки! Почему все числа в таблице не могут подчиняться общей закономерности? Почему закономерность нарушена именно в этой строке? Потому что она обладает крайне любопытным свойством. Числа, образующие пифагорову тройку (45, 60, 75) имеют общие делители: все они делятся на 15. Выполнив деление, получим тройку (3, 4, 5), которой соответствуют значения р = 2, q = 1.

Но это не помогло найти разгадку. Множество вопросов оставалось без ответа. Почему были выбраны именно эти значения р и q, а не какие-то другие? И что означают числа из первого столбца?

Объяснение Роберта Крейтона Бака

Математик Роберт Крейтон Бак в 1980 году объяснил значения чисел на основе тригонометрии. Для этого он изобразил все прямоугольные треугольники, описанные в табличке: за длины меньших катетов он принял числа из столбца II, за длины больших катетов — числа из предполагаемого столбца VI, за длины гипотенуз — числа из столбца III. Затем он вычислил угол между большим катетом и гипотенузой и заметил удивительный факт: в первом треугольнике длина катетов была почти одинаковой, поэтому угол между большим катетом и гипотенузой был чуть меньше 45°. Затем углы строго уменьшались с каждым шагом приблизительно на один градус.

В столбцах II, III и VI записаны длины сторон прямоугольных треугольников, в столбце I — результат вышеприведенной операции.

Величины углов в пятнадцати прямоугольных треугольниках, длины сторон которых записаны в столбцах II, III и VI.

С учетом всего этого Бак осмелился предположить, что в столбце I находятся квадраты тангенсов полученных углов. Следовательно, табличка Плимптон 322 доказывает, что тригонометрические функции были известны уже тогда. Однако эту гипотезу сложно подтвердить, так как нам неизвестны другие документы той эпохи, где для решения задач использовались бы тригонометрические функции. Часто совсем непросто определить уровень знаний разных культур на основе известных нам источников! Одни исследователи всегда будут склонны к преувеличению, другие — к преуменьшению.

Однако существование табличек — неоспоримый факт. Все значения р и q разлагаются на произведения простых делителей: 2, 3 и 5. Следовательно, значения, обратные р и q, при записи в шестидесятеричной системе счисления всегда будут иметь конечное число знаков. Может, по этой причине составитель таблички выбрал именно эти р и q, а не какие-то другие?

Интерпретация Элеанор Робсон

В феврале 2002 года Элеанор Робсон из Великобритании удивила научное сообщество, представив новую интерпретацию таблички. Быть может, вовсе не столь очевидно, что на табличке Плимптон 322 записаны пифагоровы тройки. Согласно Элеанор Робсон, автором таблички мог быть учитель математики, который использовал ее как справочник при решении определенных уравнений второй степени. Свою гипотезу она подкрепила содержанием другой таблички, YBC 6967, созданной примерно в то же время.

В ней подробно описывается способ решения уравнений вида х — 1/x = с. Он состоит в подсчете последовательности промежуточных значений, которые помогают найти решение:

a1 = с/2, а 2 = а 1 2,а 3 = 1 + а 2 ,а 4 = а 3 1/2.

Зная эти числа, мы легко вычислим

x = а 4   + a 1 ,1/x = a 4 — a 1

Согласно Робсон, в табличке Плимптон 322 использовалась та же схема: а 3 записаны в первом столбце, a 1 = (х — 1/х)/2 во втором, а 4 = (х + 1/х)/2 — в третьем. По этой гипотезе значения х и 1/х могли находиться на утерянной части таблички.

Таким образом, на табличке было записано 15 упражнений, которые учитель давал ученикам. Табличка содержала все промежуточные значения, чтобы не нужно было каждый раз повторять вычисления. Это настоящий учебник, очень похожий на современные.

Теорема Пифагора  в Шумерии

Однако исследования Робсон возвращают нас к исходному вопросу. Если табличка Плимптон 322 не является убедительным доказательством того, что теорема Пифагора была известна уже шумерам, то когда же эта теорема впервые упоминается в исторических источниках? В любом случае нужно подождать, пока не будут найдены новые таблички, которые помогут частично ответить на вопросы. Но также достоверно известно, что теорема Пифагора в том или ином виде упоминалась в обширной истории Месопотамии, и этому существуют документальные подтверждения.

К вавилонскому периоду относится задача, которая не оставляет относительно этого никаких сомнений. В задаче говорится: «Стебель тростника имеет длину 0,30. Сверху опущено 0,06, каково расстояние до низа?» В десятичной системе длина тростника равна 0,5, а расстояние от верха стены до конца стебля равно 0,1. Изобразим условие задачи на рисунке. Заметим, что стебель тростника, стена и пол образуют прямоугольный треугольник. Стебель длиной 0,5 — это гипотенуза АС, стена АВ и пол ВС — два катета.

Прямоугольный треугольник из шумерской задачи о тростнике.

Далее в этом же документе приводится решение. Арабскими цифрами оно записывается так:

Возведи в квадрат 0,5, получишь 0,25.

Вычти 0,1 из 0,5, получишь 0,4.

Возведи в квадрат 0,4, получишь 0,16.

Вычти 0,16 из 0,25, получишь 0,09.

Квадрат какого числа равен 0,09?

0,3.

Нижний конец стебля отстоит от стены на 0,3.

Если говорить вкратце, то для нахождения катета длина гипотенузы и длина катета возводятся в квадрат, после чего находится квадратный корень из разности этих квадратов. Именно так формулируется теорема Пифагора.

Нет никаких сомнений, что автору был известен метод решения этой задачи в общем виде, вне зависимости от длины стебля и расстояния, на которое он отстоит от стены. Кроме этого, автор верно подобрал числа, чтобы задачу было легко решить в шестидесятеричной системе счисления, так как все числа в задаче можно представить как произведение 2, 3 и 5 в различных степенях.

И чтобы окончательно развеять сомнения, добавим, что в источниках вавилонского периода многократно встречается задача о вычислении квадратного корня. Документально подтверждено, что вавилоняне умели вычислять квадратный корень из 2 с удивительной точностью.

Все это доказывает, что в культуре Месопотамии было известно, сколь важную роль играло вычисление квадратных корней в решении задач. Помимо прочего, им также было известно, что некоторые квадратные корни имеют точные значения, а другие имеют бесконечное множество знаков, и их значение можно вычислить только приближенно. Вавилонские математики терпеливо вычисляли значения этих корней со все большей точностью.

Существование письменных источников показывает, как важно передать полученные знания потомкам, чтобы новые поколения мудрецов смогли уточнить, пересмотреть и дополнить полученные ранее результаты. Подобно тому как астрономы оставляли свидетельства о своих наблюдениях, математики увековечивали свои открытия. Но сделать это было непросто. Для этого требовался богатый язык, объединявший числа, формы, рассуждения, вычисления и так далее, чтобы передавать знания из поколения в поколение.

Слово — индийской математике

Индийский математик Джордж Гевергезе Джозеф в своей книге «Павлиний хохолок» блестяще рассказывает о том, какой вклад внесли индийские математики в развитие этой науки, сыграв главную роль в открытии теоремы Пифагора. Долина Инда была плодородной во многих смыслах. Ее земли давали обильный урожай, и уже в 3000 году до н. э. появилось множество поселений, из которые постепенно формировались города. Мохенджо-Даро, Хараппа, Таксила и Лахор — следы пышных цивилизаций, которые процветали в этом регионе. Скотоводство и выращивание пшеницы, ячменя, хлопка и кунжута обеспечивало жителей этих поселений всем необходимым для жизни. Уже тогда они понимали, что нужно разделять земли и грамотно распоряжаться урожаем, делая запасы в периоды изобилия, чтобы справиться с будущими неурожаями и прокормить растущее население. Черчение, измерение, счет, взвешивание — основные геометрические и арифметические задачи были прекрасно известны жителям долины.

Культура Хараппа

К сожалению, хараппскую письменность не удалось расшифровать, поэтому мы можем полагаться лишь на археологические находки. Благодаря им известно, что в Хараппской цивилизации существовала система мер и весов. Были найдены грузила одинаковой формы и веса, которые не менялись на протяжении более пятисот лет.

Раскопки в Лотхале позволили определить эталонные веса, которые использовались в системе измерений, сочетавшей в себе пятеричную и десятичную системы. Взяв за основу гирю весом примерно 27,384 грамма и обозначив ее вес за единицу, исследователи определили, что использовались веса, равные 0,1; 0,2; 0,3; 1; 2; 5; 10; 20; 50; 100; 200 и 500 единиц. Также были найдены различные инструменты для измерения длины. Единица длины равнялась примерно 33,5 миллиметра.

Здания были построены по единым нормам и обладали структурным совершенством. В культуре Хараппа также была высоко развита геометрия. В этой местности недоставало камня, поэтому использовалась обожженная глина. В печах изготовлялись многие тысячи кирпичей. Кирпич в отличие от глины, высушенной на солнце, не разрушался во время дождей и во время разлива рек, благодаря которым земля в той местности была столь плодородной. Здания из этих кирпичей устояли под натиском времени. Качество кирпичей было так высоко, что в XIX веке инженер Уильям Брайтон использовал кирпичи, найденные на раскопках в руинах Хараппы, вместо щебня при постройке железной дороги длиной в 150 километров, соединившей Мултан и Лахор. Хотя были обнаружены кирпичи пятнадцати разных размеров, для всех соблюдалось соотношение сторон 4:2:1, которое считается оптимальным даже в наши дни. Арифметика и геометрия, числа и формы составляли часть Хараппской культуры, искусства, науки и техники.

Ведическая культура

Около 1500 года до н. э. кочевники с севера завоевали Хараппскую цивилизацию, ассимилировав некоторые ее обычаи. Этот народ, арии, говорил на индоевропейском языке — санскрите. Именно на этом языке написаны древнейшие памятники письменности. На нем говорили о философии, астрономии, математике, грамматике, религии — обо всем, что было необходимо потом записать. На санскрите записывали гимны и речи, обряды и церемонии, формулы и заклинания, а также очень точные правила фонетики (чтобы правильно говорить), грамматики (чтобы правильно писать), стихосложения (чтобы научиться писать стихи), астрономии (чтобы определять подходящее время для жертвоприношений, вычислять положение Солнца и Луны в разных накшатрах — аналогах зодиакальных созвездий) и математики (чтобы определять форму и площадь алтарей, веди, и расположение агни — источников священного огня, чтобы жертвоприношения возымели силу). Здесь снова появляются письменные упоминания о теореме Пифагора — возможно, за несколько веков до рождения самого Пифагора.

Шульба-сутры и алтари

Важнейшими математическими источниками ведической культуры являются шульба-сутры. Сутры — это особый жанр письма, максимально кратко выражающий суть высказывания, которое нужно передать. Для них были определены точные грамматические правила, подобные математическим законам. В шульба-сутрах в поэтической форме описываются алтари для жертвоприношений. Алтари квадратной и круглой формы, которые было легко соорудить, подходили для домашних ритуалов. Для публичных обрядов требовались более сложные алтари, состоящие из прямоугольников, треугольников, трапеций и других геометрических фигур. Один из этих алтарей имеет форму сокола, который готовится взлететь. Считалось, что если принести жертву на этом алтаре, то душа молящегося вознесется соколом прямо на небеса.

Ведический алтарь в форме сокола. Буквы обозначают разные типы кирпичей, используемых при постройке

(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)

Одной из важнейших характеристик алтаря была его площадь. Чтобы рассчитать ее, требовались формулы, с помощью которых можно было бы преобразовать одну геометрическую фигуру в другую той же площади. Подобные формулы содержатся в шульба-сутрах. В шульба-сутре Бодхайяны, датированной 800–600 годами до н. э., содержится формулировка теоремы Пифагора, методы вычисления квадратного корня из 2 (с точностью до пятого знака после запятой), а также описан ряд геометрических построений. Среди них — различные решения задачи о квадратуре круга (приближенные) и о построении многоугольников, чья площадь равна сумме или разности площадей двух других многоугольников. Для верного выполнения ритуалов тщательное соблюдение форм и размеров алтарей было столь же важно, как и безошибочное произношение мантр. Позднее Апастамба написал шульба-сутры на те же темы, что и Бодхайяна, но более подробные. Катьяяна создал шульба-сутры, немного дополнявшие предыдущие. Оба эти автора писали в более древнем стиле по сравнению с тем, что описал грамматик Панини в IV веке до н. э.

Бодхайяна точно изложил теорему Пифагора: «Веревка (шульба), натянутая по диагонали квадрата, образует фигуру вдвое большей площади, чем исходный квадрат». Катьяяна приводит более общий случай: «Веревка [натянутая вдоль диагонали и по длине равная] диагонали прямоугольника образует фигуру той же площади, что и образованная горизонтальной и вертикальной сторонами».

Теорема  Пифагора в изложении Водхайяны . Площадь квадрата, построенного на диагонали, вдвое больше площади исходного квадрата.

Теорема Пифагора в изложении Катьяяны .

Эти знания позволяли строить ведические алтари с исключительной точностью. В качестве примера можно привести так называемый алтарь смасана, на котором богам подносился одурманивающий напиток сома. Чтобы жертвоприношения возымели нужный эффект, размеры основания алтаря должны были точно соблюдаться.

В шульба-сутре Апастамбы приводились точные указания по постройке этого алтаря. Джордж Гевергезе Джозеф изложил эти указания в современной нотации так:

Используя веревку, отметьте ХY длиной ровно 36 пад.

Отметьте на этой линии точки Р, Q и R такие, что ХР, XR и XQ равны 5, 28 и 35 пад соответственно.

Проведите перпендикуляры в точках X и Y.

Зная, что треугольники АРХ, DPX, BRY и CRY прямоугольные, а их стороны выражены целыми числами, определите положение точек А, В, С и D. Иными словами, длина AXD должна составлять 24 пады, длина ВYС — 30 пад. Если построение верно, отрезки АС и BD должны пересекать ХY в одной точке О.

АХ = XD = 12 пад

BY = YC = 15 пад

ХР = 5 пад

PR = 23 пады

RQ = 7 пад

QY = 1 пада

ХY = 36 пад

Размеры алтаря смасана

(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)

Получим следующие пифагоровы тройки:

ΔАРХ и ΔDPX имеют стороны 5, 12, 13.

ΔАОХ и ΔDOX имеют стороны 12, 16, 20.

ΔAQX и ΔDQX имеют стороны 12, 35, 37.

ΔBRY и ΔCRY имеют стороны 8, 15, 17.

ΔBOY и ΔCOY имеют стороны 15, 20, 25.

ΔВХУ и ΔСХУ имеют стороны 15, 36, 39.

Так как стороны этих треугольников выражены целыми числами, их можно было отмерить с удивительной точностью. Если этого было недостаточно, сама конструкция содержала множество дополнительных пифагоровых троек, которые помогали еще больше повысить точность. Так пифагоровы тройки оказались на службе технологий. Это удивительно и красиво. Конечно, было известно множество других троек, которые также использовались при сооружении разных алтарей.

Поэтому очевидно, что ведической цивилизации была прекрасно известна теорема Пифагора. Она обычно использовалась в задачах вида «объединить два равных или неравных квадрата и получить третий квадрат». С ее помощью можно было построить алтарь, по площади равный двум другим. Решение задачи такого типа приведено в шульба-сутрах. В современной нотации оно выглядит так:

Пусть нужно объединить два квадрата — ABCD и PQRS.

Пусть DX = SR.

Следовательно, площадь квадрата со стороной АХ будет равна сумме площадей квадратов ABCD и PQRS.

На рисунке ясно видно построение, описанное в тексте. В нем явно используется теорема Пифагора: AD 2 + SR 2 = АХ 2

(источник:  Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)

Вне всяких сомнений, еще в незапамятные времена люди чувствовали красоту арифметики и геометрии. С самого начала им стало понятно, что все фигуры делятся на криволинейные и прямолинейные. Прямоугольные треугольники быстро заняли привилегированное место среди прочих фигур. Два прямоугольных треугольника можно получить, если разделить прямоугольник пополам его диагональю. Привилегированное место в арифметике заняли натуральные числа, которые использовались при счете. В какой-то момент стало понятно, что можно строить прямоугольные треугольники, длины всех сторон которых выражены целыми числами. Открытие равенства суммы квадратов катетов и квадрата гипотенузы было особенным.

Было найдено удивительное и замечательное свойство удивительной и замечательной фигуры, красота, свойственная прямоугольным треугольникам, о которой стоило рассказать потомкам. Пифагор во время одного из своих путешествий в Египет или Месопотамию узнал об этом свойстве и восхитился им, как восхищаемся этим свойством и мы. Он также привел доказательство этого свойства. Быть может, его доказательство было первым, а может быть, и нет. В любом случае Пифагор прочувствовал красоту чисел и фигур и подтвердил, что мир строится по математическим законам. До сих пор неизвестно, кто именно открыл эту теорему и когда.

Наиболее вероятно, что не существует ни какой-то конкретной даты, ни конкретного имени. Возможно, эта теорема была несколько раз открыта повторно в разных культурах. Как бы то ни было, она служит воплощением математической красоты. Наверное, называть эту теорему именем Пифагора будет лучше всего.

 

Глава 3

Ферма, городской адвокат

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В современной записи это выглядит так: х2 + у2 = z2. Как мы уже показали в прошлой главе, еще в древности были известны целые числа, которые являются решениями этого уравнения. Позднее такие числа стали называть пифагоровыми тройками. Используя эти решения, можно с легкостью построить прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражены целыми числами. Со временем были открыты формулы для вычисления пифагоровых троек, и оказалось, что их бесконечно много.

Ферма пришло в голову заменить показатель степени, 2, другими числами: 3, 4, 3… Это не столь существенное изменение. Может показаться, что до этого мог додуматься любой. Однако с того момента, когда была открыта теорема Пифагора, до того, как Ферма внес в нее эти изменения, прошли тысячи лет. Удивительно, но, несмотря на все усилия, он никак не мог найти ни одного целого решения ни для одного из показателей степени. Невероятно. Лишь спустя много часов, потраченных на поиски, он понял, что таких решений не существует и что это можно доказать.

Он сформулировал свою знаменитую теорему и удалился на покой, не записав найденное им доказательство, оставив эту задачу потомкам. Кем был Ферма? Как он додумался до этого? Какое доказательство он нашел? Почему он не записал его?

Жизнь Ферма окутана завесой тайны. Он жил уединенной жизнью и общался с друзьями только по переписке, и только из писем нам известно о его достижениях. Он был страстным любителем математики и совершил множество удивительных открытий. Он развлекался тем, что предлагал современникам задачи, утверждая, что сам он решил их, однако же редко публиковал свои решения. О нем говорят разное, но тем не менее о нем известно куда меньше, чем хотелось бы.

Памятник Пьеру де Ферма , воздвигнутый в 1898 году Шарлем Барро . В настоящее время памятник находится в Зале знаменитостей Тулузской ратуши.

(фотография:  Николя Гэрин , GFDL)

Дата рождения, семья, образование

Вот первая из загадок Ферма: никому доподлинно не известно, когда он родился. Принято считать датой и местом его рождения 17 августа 1601 года, город Бомонде-Ломань в департаменте Тарн и Гаронна на юге Франции. Эту дату предложил в 1844 году Луи Топьяк, предполагая, что Ферма был сыном Доминика Ферма, буржуа и второго консула Бомона, и Клер де Лонг, дочери дворянина Клемента де Лонга. Однако в его свидетельстве о смерти, которое хранится в семейных архивах, указано, что Ферма умер в городе Кастр 12 января 1665 года. Надпись на его надгробии, которое находится в церкви августинцев в Тулузе, гласит, что Ферма умер в возрасте 57 лет. Если верить этой надписи, то получается, что Ферма родился примерно в 1608 году.

Еще одну версию предложил аббат Дюгро в 1980 году. По его мнению, Ферма был сыном Доминика Ферма и Франсуазы Казенев, дочери купца, жившего в окрестностях Бомона. Это предположение основано на том, что в 1603 году Доминик Ферма был женат на Франсуазе, а в 1607 году — уже на Клер де Лонг.

В 2002 году Пьер Герен снова занялся этим вопросом и тщательно изучил генеалогическое древо Ферма в поисках убедительного ответа. Он получил другую дату. Таким образом, окончательный ответ на этот вопрос до сих пор не найден. Ферма мог быть сыном Клер де Лонг, происходившей из благородной французской семьи, а предполагаемой датой его рождения может являться 1605 или, что более вероятно, 1606 год. Но и это противоречит надписи на его надгробии.

По всей видимости, у Ферма был брат и две сестры. В детстве его образованием занимались монахи-францисканцы из аббатства Грансельв. О первых годах его жизни известно очень немногое. Однако в течение всей жизни Ферма был очень привязан к родным местам и не соблазнился блеском Парижа.

Нам также неизвестно, какое образование получил Ферма. Вне всяких сомнений, он был очень эрудирован: переводил классические труды, в совершенстве владел латынью и древнегреческим, а его обширные знания математики бесспорны. Но где он обучался математике? Быть может, в университете? А может, с ним занимался один из друзей семьи? О его образовании и карьере известно далеко не все, но кое-что можно узнать из его писем. В юности он поступил в Тулузский университет, чтобы завершить начатое обучение. Он хотел изучать право, и его семья поддерживала его: в то время эта профессия была очень престижной и открывала многие двери, но предполагала очень хорошее образование.

Математические круги

Впоследствии Ферма переехал в Бордо. Часть биографов считают, что там он работал адвокатом и познакомился с Жаном Бограном, который принадлежал к местному математическому обществу. По всей видимости, это произошло в августе 1626 года. В начале XVII века в научном сообществе стала понятна польза от обмена идеями. Именно тогда начали формироваться сообщества математиков, которые непрерывно обменивались результатами своих работ. Их участники предлагали друг другу задачи, находили решения, объясняли новые методы, делились идеями. Бордо был одним из центров, где бурлила научная жизнь, где находили поддержку талант и творчество. Вне всяких сомнений, эта среда привлекла молодого Ферма.

Богран в кругу друзей всегда гордился тем, что именно он открыл Ферма и во многом благодаря его усилиям работы Ферма стали столь известны. Богран позднее стал членом высших политических кругов Парижа, а также приобрел известность благодаря способностям к математике. Говорят, что он учился у самого Франсуа Виета. В Париже он был завсегдатаем математического кружка, который возглавлял Марен Мерсенн, и постоянно делился с ним своими находками и открытиями Ферма.

Сообщить какую-то идею Мерсенну означало сообщить ее всему математическому сообществу того времени. Богран также совершил путешествие в Италию, куда его пригласил французский посол Бельевр. Там он посетил Кавальери в Болонье, Кастелли в Риме и Галилея в Арчетри близ Флоренции. После возвращения в Париж он поддерживал переписку с ними. Разумеется, он рассказал им о своем друге Ферма — иначе и быть не могло.

Портрет Галилео Галилея кисти Юстуса Сустерманса , 1636 год. Галилей познакомился с работами Ферма через их общего друга Жана Бограна .

* * *

ФРАНСУА ВИЕТ

Франсуа Виет родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт. По профессии он был адвокатом, как и Ферма, но его подлинной страстью была математика. Став учителем юной девушки по имени Каталина де Партенеи, он начал изучать астрономию, которая была особенно интересна его ученице. Когда Виет поступил на службу к французскому королю Генриху IV, он расшифровал переписку агентов испанского короля Филиппа II, взломав шифр, состоящий более чем из 500 символов. Математики при дворе короля Испании считали, что расшифровать его было невозможно. Когда об этом стало известно в Испании, Филипп II отправил письмо Папе Римскому Пию V, обвинив Генриха IV в использовании черной магии. Говорят, что степень сосредоточенности Виета была такова, что он часто проводил за работой по три дня подряд без сна и еды. Один из известнейших исторических случаев о нем рассказал Таллеман де Рео:

«Во времена Генриха IV некий голландец по имени Адрианус Романус, сведущий в математике, пусть и в меньшей степени, чем считал он сам, написал книгу, в которой сформулировал задачу для всех европейских математиков, перечислив их поименно. В своем списке Романус не упомянул ни одного из французов. Некоторое время спустя посол Голландии встретился с королем Франции в Фонтенбло. Король с удовольствием рассказал послу о разных достопримечательностях, упомянув, какие выдающиеся представители всех профессий жили в его королевстве. "Но, сир, — сказал посол, — в вашем королевстве нет ни одного математика, ведь Адрианус Романус не упоминает ни одного француза в своем списке". "Напротив, — ответил король, — у нас есть выдающийся ученый муж. Скажите, пусть пошлют за господином Виетом". Виет явился в Фонтенбло. Посол велел разыскать книгу Адриануса Романуса, чтобы показать Виету задачу из этой книги. Виет, расположившись у одного из окон галереи, где они находились, быстро написал два решения. Ночью он отправил послу еще несколько решений, добавив, что может привести столько решений, сколько тому заблагорассудится, поскольку их было бесконечное множество». Задача Адриануса Романуса заключалась в решении уравнения 45-й степени, в котором Виет незамедлительно узнал одно из тригонометрических соотношений. Он привел 22 положительных решения этой задачи — все, которые были допустимы в математике того времени. В 1595 году Виет опубликовал ответ Адрианусу Романусу и, чтобы оценить знания оппонента, предложил тому задачу Аполлония: «Найти окружность, касающуюся трех данных окружностей». Решение этой задачи было известно Виету.

* * *

В Бордо Ферма познакомился с д’Эспанье, Филоном, Праде. В беседах с ними он расширил кругозор и узнал о многих ученых. Этьен д’Эспанье, член парламента Бордо, познакомил Ферма с работами Виета и с обозначениями, которые тот использовал. Отец д’Эспанье был первым председателем парламента Бордо и другом Виета. Нужно помнить, что в те времена знания передавались в основном среди знакомых и друзей.

В Бордо были изданы первые работы Ферма. Именно там зародились многие его идеи, в частности идея переиздания книги Аполлония «Плоские места», Apollonii Pergaei libri dúo de loas planis restituti. Там же он открыл метод нахождения максимумов и минимумов, описанный в работе Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum, а также провел некоторые исследования, посвященные магическим квадратам.

Административная и политическая карьера

Из Бордо Ферма переехал в Орлеан, где закончил изучать право, после чего перебрался в Тулузу, где началась его блестящая карьера. 14 мая 1631 года он получил должность советника парламента Тулузы и члена палаты по рассмотрению прошений, где обсуждались общественные проблемы. 30 декабря 1634 года он стал членом следственной палаты, а в 1638 году занял пост советника в суде. В августе 1648 года он получил должность советника палаты эдиктов, а в 1654 году впервые выступил в Верховной палате. Карьера Ферма строилась по всем правилам, и в итоге он занял очень ответственный пост. Он получил право сменить имя и называться Пьером де Ферма.

* * *

СЕМЬЯ ФЕРМА

1 июня 1631 года, спустя полтора месяца после того, как Ферма впервые получил должность советника, он женился на двоюродной сестре матери Луизе де Лонг. У них было пятеро детей: Клемент-Самуэль, который был членом суда, как и сам Ферма, и который частично опубликовал работы отца; Жан, который стал архидьяконом Фемарена; Клэр, чей внук Жан Гейяр занял пост советника вслед за Жаном Франсуа, сыном Самуэля Ферма; Катерина и Луиза, которые посвятили жизнь религии.

* * *

Возможно, столь бурным продвижением по службе он был обязан эпидемии, которая разразилась в той местности около 1650 года и унесла много жизней. Из-за этого освободилось множество государственных должностей, где определяющую роль играл опыт, поэтому данные посты занимали люди определенного возраста. Посреди этого беспорядка в 1653 году поступило ошибочное сообщение о смерти самого Ферма, которому также не удалось избежать недуга. Затем, разумеется, он опроверг это известие.

Разные источники расходятся во мнениях о том, как Ферма относился к службе. С одной стороны, в 1664 году адвокат Пьер Сапорта писал: «О нашем судье, который занимал эту должность большую часть жизни, я скажу, что он отличается удивительной честностью и компетентностью в делах. Он приобрел качества большого судьи, а также знания о многих других вещах, далеких от его профессии». Следует отметить, что Сапорта был другом Ферма и посвятил ему свой перевод на французский язык труда Торричелли о движении воды, опубликованный в том же 1664 году. С другой стороны, в 1663 году Жан Батист Кольбер утверждал: «Парламент Тулузы: Ферма, очень эрудированный человек, везде поддерживает отношения с умнейшими, но не слишком заинтересован в службе. Не особенно хорош как судья». Это цитата из секретного донесения Кольбера, который в то время был министром финансов короля Людовика XIV, о судьях и государственных чиновниках. Людовик XIV обычно был к ним весьма строг. Учитывая, что Ферма не входил в круг близких друзей первого министра Гаспара де Фьюбе, неудивительно, что в этом донесении он не удостоился хвалебных слов.

Портрет Жана Батиста Кольбера кисти Клода Лефевра , 1666 год. Министр финансов при короле Людовике XIV не слишком лестно отзывался о работе Ферма в суде.

Как бы то ни было, Ферма добросовестно исполнял свои обязанности и, по мере возможностей, старался избегать интриг. Служба была непростой, поскольку в то время Франция периодически испытывала серьезные потрясения: во-первых, между католиками и гугенотами сохранялись напряженные отношения, во-вторых, не прекращалась борьба за власть. То была эпоха кардинала Ришельё и кардинала Мазарини, время мушкетеров. Было нетрудно сегодня принимать одну сторону, а завтра впасть в немилость у другой. Сложнее было удерживаться посередине между противоборствующими сторонами. Именно этим принципом и руководствовался Ферма. Он не стремился к власти и, возможно, по этой причине избегал Парижа, селясь в небольших городах. Он всегда оставался поблизости от родных мест, а в течение девяти лет (в 1638, 1644 и 1643, 1648 и 1649, 1633 и 1656, 1663 и 1664 годах) он занимал пост судьи в небольшом городе Кастр лишь в нескольких километрах от его родного города Бомон-де-Ломань.

С другой стороны, Ферма не особенно поддерживал отношения с тогдашней буржуазией. Должность обязывала его сохранять разумную дистанцию от всех, кто в будущем мог обратиться в суд, чтобы уладить дела. В некотором смысле одиночество было свойственно его работе. В то время как другие представители его профессии в свободное время писали труды о суде и судьях, он занимался математикой.

Кардинал Ришельё на осаде Ла-Рошели. Картина кисти Анри Мотте , 1881 год. Осада этой крепости гугенотов произошла в 1628 году, и это лишь один из многочисленных примеров, показывающих, в сколь неспокойное время жил Ферма.

«Король среди любителей» и Пьер де Каркави

Ферма постоянно жаловался на недостаток времени. В июне 1640 года он писал своему другу Мерсенну: «Чувствую себя под давлением множества занятий, которые не оставляют времени для этого…» и позднее, в марте 1641 года: «Судебные тяжбы, которыми сейчас целиком забита моя голова, не позволяют мне спокойно прочитать труды, которые вы сделали честь прислать мне». Но и тогда, всякий раз, когда выпадала возможность, он находил время для математики и делился этой страстью с коллегами по профессии и другими математиками. Ферма — яркий пример того, как можно сочетать профессию и увлечение на высочайшем уровне. В этом смысле он был не одинок. Многие его коллеги также были видными математиками и совершили заметные открытия. Ферма выделяется из общего ряда благодаря числу и масштабу своих достижений, за что он был удостоен титула «король среди любителей». Американский автор Джулиан Кулидж не включил его в знаменитый перечень математиков-любителей, посчитав, что его следует рассматривать в профессиональной категории.

В Тулузе Ферма познакомился с Пьером де Каркави, который занимал пост советника парламента Тулузы в 1632–1636 годах и был большим любителем математики. Их дружба сыграла основополагающую роль в научной карьере Ферма. Хотя Каркави не получил университетского образования и не добился заметных успехов в математике, заслуживает упоминания его переписка со многими учеными той эпохи, которая показывает, насколько разносторонними были его знания. В течение всей жизни Каркави переписывался с Ферма, Гюйгенсом, Паскалем, Декартом, Мерсенном, Галилеем, Торричелли и многими другими.

Нужно учитывать, что многие открытия того времени никогда не публиковались и о них можно было узнать лишь из переписки, которую вели их авторы. В развитии математики большую роль сыграли те, кому принадлежали новые открытия, но не менее важны и те, кто посвящал свое время их распространению. В этих письмах не только сообщались какие-то новые результаты, но также вносились комментарии и предлагались новые идеи, которые впоследствии учитывались в других трудах.

Сколь волнующим, должно быть, было то время, когда каждое полученное письмо могло содержать море новых идей и побуждать работать дальше. Письма могли идти до получателя несколько недель, часто терялись в пути. Тогда течение времени было другим, а часы не имели ничего общего с современными точными электронными часами. В 1636 году Каркави получил должность советника в Совете Парижа и переехал в столицу. Ферма по-прежнему поддерживал с ним переписку и отправлял ему свои работы. Оказавшись в Париже, Каркави познакомился с Мерсенном — ключевой фигурой в истории математики.

Портрет Декарта кисти Франса Хальса , 1649 год. Он был одним из крупнейших философов XVII века и всегда интересовался математикой. Декарт вел обширную переписку со многими математиками своего времени.

Марен Мерсенн

Марен Мерсенн родился в 1388 году в скромной семье. В 16 лет он записался в Ла-Флеш — иезуитскую школу, где давали образование детям из любых семей, вне зависимости от их достатка. В этой школе также учился Декарт, с которым Мерсенн впоследствии поддерживал тесные отношения. Затем он перебрался в Париж и поступил в Коллеж де Франс, чтобы изучать философию, и в Сорбонну, чтобы постигать богословие. Он завершил обучение в 1611 году. Решив не изменять монашеской жизни, в июле 1611 года он записался во францисканский орден минимов и годом позже получил сан священника. Монахи этого ордена отличались аскетизмом, безукоризненным образованием и добродетелью. Первые работы Мерсенна посвящены богословию, но с течением времени в нем рос интерес к науке. Он был твердо убежден, что математика лежит в основе всех наук и что обмен идеями является залогом прогресса в науке вообще и в математике в частности. Ученые того времени жили в уединении, и многие их открытия становились известны лишь спустя годы после их смерти либо вовсе оставались в забвении. Мерсенн понял, что можно добиться большего, если действовать сообща. Примерно в 1623 году он начал формировать группу ученых, которые периодически собирались в его парижской обители. На этих встречах они говорили о науке и обменивались полученными результатами, открытиями, новыми способами вычислений. Этот кружок дал начало Французской академии наук.

Мерсенн не ограничивался этими встречами и вел обширную переписку со многими учеными со всего мира, создав таким образом настоящее международное научное сообщество. Ему были известны все совреме