Крупный учёный и педагог-математик, организатор народного образования и педагогической науки в СССР, профессор Московского государственного университета, в течение ряда лет как штатный преподаватель и в Калининском государственном педагогическом институте, Алексей Иванович Маркушевич родился 2 апреля 1908 года в Петрозаводске в семье младшего архитектора губернского правления. С очень раннего возраста он пристрастился к чтению, а в 13—14 лет увлёкся математикой.
В 1916 году семья переезжает в Восточный Казахстан, в Семипалатинск. Там Алексей Иванович получил среднее образование: в 1924 году он окончил общеобразовательные курсы по подготовке к поступлению в вуз, а в 1925 году — вечернюю школу.
Уже в это время его любовь к математике становится вполне осмысленной и приводит к принятию жизненно важного решения. В 1925 году по направлению от Семипалатинского отдела народного образования А.И. Маркушевич поступает на физико-математическое отделение Среднеазиатского университета в Ташкенте. Выдающиеся математические способности студента обратили на себя внимание ведущего математика этого университета проф. В.И. Романовского, под руководством которого на третьем курсе Алексей Иванович выполнил свои первые научные работы «К вычислению символа Якоби» (1928) и «Об алгорифме Эйзенштейна» (1929), опубликованные в «Бюллетене Среднеазиатского государственного университета».
В 1930 году Алексей Иванович успешно окончил университет, был принят в заочную аспирантуру и одновременно стал работать ассистентом кафедр технической механики и высшей математики Среднеазиатского хлопково-ирригационного политехнического института. Весною 1931 году Алексей Иванович был назначен заведующим кафедрой технической механики этого вуза.
По совету В.И. Романовского осенью 1931 года А.И. Маркушевич поступает в аспирантуру Научно-исследовательского института механики и математики МГУ. Его научным руководителем стал Михаил Алексеевич Лаврентьев, будущий вице-президент Академии наук СССР, организатор и руководитель её Сибирского отделения, выдающийся математик и гидродинамик, основоположник теории квазиконформных отображений. Именно М.А. Лаврентьеву принадлежит знаменитый афоризм: «Студент не сосуд, который надо наполнить знаниями, а факел, который нужно зажечь». Следуя этому принципу, Михаил Алексеевич ярко зажёг факел в душе своего ученика Алексея Маркушевича.
Первые научные интересы Алексея Ивановича относились к теории чисел, и первоначально занятия теорией функций комплексного переменного он рассматривал как подготовку для будущих исследований по теории чисел. Однако теория функций настолько увлекла А.И. Маркушевича, что она стала для него основной научной специальностью.
Поступив в аспирантуру, Алексей Иванович сразу попал в атмосферу высокого творческого накала, характерную для московской школы теории функций. В аспирантуре он выполняет важные исследования по теории конформных отображений областей с переменными границами. Эти исследования существенно продвинули вперёд фундаментальные результаты в этом направлении, принадлежавшие К. Каратеодори и Р. Куранту.
Эти и ряд других результатов в том же направлении составили содержание кандидатской диссертации А.И. Маркушевича «Конформное отображение областей с переменными границами, с приложениями к аппроксимации аналитических функций полиномами», которую он защитил в 1934 году. Результаты А.И. Маркушевича, наряду с известными результатами М.В. Келдыша, М.А. Лаврентьева и В.И. Смирнова, вызвали широкий поток исследований по теории приближений аналитических функций, которые обеспечили советской школе теории функций в этом направлении ведущее место в мировой науке.
В начале 1935 года Алексей Иванович Маркушевич становится старшим научным сотрудником НИИ механики и математики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, а в 1938 году — доцентом университета, в котором начал преподавание с 1935 года.
Не оставляя преподавание в МГУ, А.И. Маркушевич с 1940 года на постоянной основе работал в Калининском государственном педагогическом институте (ныне — Тверской государственный университет). Двое из подготовленных им в этом вузе кандидатов наук — Н.А. Давыдов и В.И. Никольский — в дальнейшем были в числе руководителей тверской школы по теории приближений и экстремальных задач.
В годы Отечественной войны Алексей Иванович выполнял большую работу, заведуя учебной частью Московского государственного университета. В то же время он вёл и интенсивные научные исследования. Интересы А.И. Маркушевича в это время смещаются в сторону изучения общих подходов к теории аппроксимации, интерполяции и разложения функций в ряды. Алексей Иванович одним из первых в мировой науке систематически применил к изучению семейств аналитических функций методы теории линейных топологических пространств. Он указал общий критерий полноты системы аналитических функций, из которого как частный случай вытекали многочисленные специальные теоремы, полученные другими авторами, причём в улучшенном и обобщённом виде. Алексей Иванович дал законченную формулировку в виде критерия двойственности связи между полнотой систем и единственностью аналитических функций.
Используя свои общие идеи в теории интерполяции и аппроксимации функций, Алексей Иванович получил ряд весьма глубоких конкретных результатов. Этот цикл исследований составил содержание докторской диссертации А.И. Маркушевича «Некоторые вопросы теории приближения и разложения функций в ряды», которая была защищена в апреле 1944 года в Московском государственном университете.
А.И. Маркушевич выполнил также небольшой, но весьма интересный цикл исследований по обобщениям теории аналитических функций. В работе «О некоторых классах непрерывных отображений» (1940) он, развивая идеи Г. Греча и М.А. Лаврентьева, вводит класс локально однолистных отображений л-мерного евклидова пространства, которые почти в каждой точке области своего определения обладают в некотором смысле ограниченным искажением. Широкое понимание ограниченности искажения, принятое Алексеем Ивановичем, в последующие годы послужило основой для плодотворного обобщения понятия квазиконформного отображения, развитого в работах И.Н. Песина, П.П. Белинского и Б.В. Боярского.
К этому же направлению примыкает работа А.И. Маркушевича «О продолжении по непрерывности», в которой он, с весьма общей точки зрения и для весьма широкого класса функций, изучил вопросы продолжения по непрерывности, навеянные теорией аналитического продолжения, а также работа, в которой Алексей Иванович обобщает теорию неопределённого интегрирования на решения некоторых линейных систем уравнений с частными производными. Последнее исследование нашло многочисленные отклики, как у нас, так и за рубежом.
В 1958 году в связи с 50-летием А.И. Маркушевича коллеги писали о нём, что он «принадлежит к числу тех больших учёных, чьи работы открывают новые пути в развитии науки и во многом предопределяют это развитие. Так, широкое использование в теории аналитических функций методов функционального анализа и, в частности, теории линейных пространств, ведущее начало от цикла работ Алексея Ивановича по вопросам приближения, интерполяции и полноты, стало к настоящему времени одной из наиболее интенсивно разрабатываемых ветвей теории функций. Такое же развитие нашли идеи, высказанные Алексеем Ивановичем в его работах по обобщениям теории аналитических функций. Алексей Иванович встретил своё пятидесятилетие в полном расцвете творческих сил, и хочется пожелать ему найти в теории функций ещё много новых непроторенных путей».
Математические интересы А.И. Маркушевича не исчерпываются перечисленными проблемами. Он написал интересные работы по теории граничных свойств аналитических функций — такие, как «Об одной граничной задаче теории аналитических функций», «Несколько замечаний об интегралах типа Коти», «Некоторые вопросы теории граничных свойств аналитических функций», по некоторым вопросам анализа, а также по приложениям теории функций к гидродинамике.
Наиболее известны его книги «Теория аналитических функций» и «Краткий курс теории аналитических функций», а также «Возвратные последовательности» (1950), «Площади и логарифмы» (1979), «Комплексные числа и конформные отображения» (1954), «Очерки по истории теории аналитических функций» (1951).
С 1946 года А.И. Маркушевич работал в системе Академии педагогических наук, в 1967—1975 годах был её вице-президентом. Действительный член Академии педагогических наук РСФСР с 1950 года, действительный член Академии педагогических наук СССР с 1967 года.
А.И. Маркушевич вёл научно-исследовательскую и преподавательскую работу в вузах Москвы. За свою многолетнюю преподавательскую деятельность Алексей Иванович прочитал огромное количество самых различных математических курсов и снискал себе славу блестящего педагога; его учебники являются значительным вкладом в учебную литературу; особое место занимает его фундаментальный курс «Теория аналитических функций». Немало молодых специалистов воспитано на значительно переработанном под руководством Алексея Ивановича издании монографии И.И. Привалова «Граничные свойства аналитических функций» (1950).
В течение многих лет А.И. Маркушевич руководил работой научно-исследовательского семинара по теории функций комплексного переменного в Московском государственном университете. Он являлся организатором регулярно проводившихся с 1955 года Всесоюзных конференций по теории функций, которые играли важную роль в консолидации усилий отечественных специалистов в этой области. Тех, кто общался с Алексеем Ивановичем на семинарах, конференциях, в беседах на научные темы, поражали его всеобъемлющая эрудиция в теории функций, глубокое понимание идей, движущих эту теорию, умение быстро и верно оценить место и значение того или иного конкретного результата. Среди его учеников — крупные математики Н.А. Давыдов, Г.Ц. Тумаркин, С.Я. Хавинсон и другие.
Алексей Иванович одновременно с научной и преподавательской деятельностью заведовал редакцией математики в Издательстве технико-теоретической литературы в 1934—1937 и 1943—1947 годах.
А.И. Маркушевич являлся также признанным специалистом по истории математики. Ему принадлежат весьма интересные исследования по классификации иррациональностей у Евклида, по ранней истории теории аналитических функций, монография «История теории аналитических функций в XIX в.», которая вошла в состав двухтомной «Математики XIX века» под редакцией А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича.
Он также — автор многочисленных научно-популярных книг по математике. По инициативе и при участии Маркушевича был начат выпуск серий книг «Библиотека учителя», «Популярные лекции по математике». Он был одним из инициаторов и редакторов «Энциклопедии элементарной математики» (1951—1952, 1963—1966); популярной 12-томной «Детской энциклопедии» (был её главным редактором в 1971—1978 годах). Эта энциклопедия издавалась на языках народов СССР и переведена на ряд иностранных языков. В 1968 году вышло под его редакцией не менее знаменитое 3-томное издание «Что такое? Кто такой?» для младших школьников.
В 1958—1964 годах А.И. Маркушевич был заместителем министра просвещения РСФСР. Алексей Иванович — один из видных и признанных деятелей движения за реформу школьной математики в 1960—1970-е годы, он возглавлял комиссии Академии наук и Академии педагогических наук СССР по определению содержания образования в средней школе. В 1960-е годы А.И. Маркушевич активно участвовал в создании новых школьных учебников по математике, достаточно успешно разрабатывал теорию школьного учебника.
Алексей Иванович Маркушевич исследовал вопросы истории книги. С 1940-х годов он собирал личную библиотеку. В ней — и первые издания произведений великих писателей и учёных, и лучшие образцы творчества знаменитых типографов и художников книги. В 1976 году Маркушевич безвозмездно передал своё собрание инкунабул Библиотеке им. В.И. Ленина (ныне Российская государственная библиотека). По поводу любой книги или гравюры из своего собрания Алексей Иванович мог прочитать увлекательную лекцию — как в кругу друзей, так в издательствах, Московском доме учёных и т.д.
В 1958 году А.И. Маркушевич был избран председателем Общества «СССР—Финляндия». Много раз он представлял советскую науку и педагогику на различных международных съездах и конференциях. Он являлся председателем секции средней школы Московского математического общества, членом редакции журнала «Успехи математических наук».
В последние годы жизни Алексей Иванович Маркушевич переживал заметный творческий подъём. Вышла его книга «Избранные вопросы теории аналитических функций», в которой с предельной ясностью и доступностью описаны три крупных направления этой теории: особенности непрерывных функций и условия монотонности, аналитическое продолжение и целые функции, пространства аналитических функций. Написаны дополнения к новому, четвёртому, изданию книги «Краткий курс теории аналитических функций» (1978). За несколько месяцев до кончины в издательство «Наука» им была сдана рукопись новой книги «Введение в теорию абелевых функций», написанной на основе курса, который А.И. Маркушевич читал в 1976 г. на факультете повышения квалификации Московского государственного университета. Около трёх лет напряжённого труда потребовал анализ развития теории аналитических функций в XIX в., охватывающий создание теории эллиптических и абелевых функций и начала теории функций нескольких комплексных переменных. Результатом этого труда явилась монография Алексея Ивановича «История теории аналитических функций в XIX в.» — последняя в обширном перечне научных трудов выдающегося учёного-математика. Он умер в Москве 7 июня 1979 года.