Одна из основных задач алгебры - решение уравнений... Уже в глубокой древности в Вавилоне "халдейские мудрецы" справлялись с задачами, которые связаны с квадратными уравнениями. Об этом неопровержимо свидетельствуют клинописные таблички, написанные четыре тысячи лет назад. Столь же почтенный возраст имеет и "папирус Ахмета" из Египта, в котором есть задачи, решаемые с помощью алгебраических действий. Правда, уравнения эти не очень сложные - первой и второй степени.
Но только в XVI в.- в эпоху Возрождения - ученые Европы впервые нашли способ решения кубических уравнений. Вскоре математики одолели и уравнения четвертой степени. Однако уравнения пятой степени оказались для математиков XVII и XVIII вв. камнем преткновения.
Крупнейшие ученые мира тщетно пытались найти формулу, при помощи которой можно было бы вычислить корни уравнения по его коэффициентам. В 1770-1771 гг. французский ученый Ж. Лагранж критически пересмотрел все способы решения алгебраических уравнений, но и он не добился успеха. Тогда математики - Лейбниц, Эйлер, Гаусс - высказали мысль, что для уравнений пятой и более высоких степеней в общем случае не существует алгебраической формулы для выражения корней через коэффициенты. В начале XIX в. это положение доказал норвежский математик Нильс Абель...
В это время во Франции появилась новая, необычайно яркая звезда на горизонте чистой математики-Эварист Галуа.
Современники знали Эвариста Галуа как революционера, "неистового республиканца", в груди которого пылала ненависть к тирании. Горячие речи, смелые выступления на улицах Парижа в июльские дни 1830 г., открытые призывы к свержению короля, почти безумная храбрость на суде, тюрьма, а затем подстроенная полицией дуэль. Юноша был смертельно ранен... Через несколько дней газеты сообщали, что 2 июня 1832 г. состоялось "погребение артиллериста парижской национальной гвардии, члена Общества друзей народа, мсье Эвариста Галуа". Его знали только как революционера. Александр Дюма (отец) так и писал: "Эваристу Галуа было в то время не более двадцати трех, двадцати четырех лет от роду. Он был один из самых неистовых республиканцев".
Эварист Галуа
Но он был поглощен и другой страстью - любовью к математике. Эварист Галуа установил существование разрешимых в радикалах уравнений с целыми коэффициентами. Он нашел такие условия, при которых уравнение может быть решено в радикалах. Все эти результаты потребовали создания новой глубокой теории - теории групп. Понятие группы позже нашло многочисленные применения не только в математике, но и в физике - в квантовой механике, в кристаллографии. Один из разделов современной алгебры носит название теории Галуа. И этот гений трагически погиб на дуэли, когда ему едва исполнился двадцать один год, в возрасте, который для многих и очень многих - только начало творческой деятельности.
...Родители отдали Эвариста в парижский лицей Луи де Гран-довольно мрачное учебное заведение. Галуа чувствовал здесь себя неуютно, его совершенно не понимали ни товарищи, ни преподаватели. Вот несколько характеристик, которые давали ему: "несколько легкомыслен"; "его знания свидетельствуют лишь о странностях и нерадивости"; "всегда занят посторонними делами. С каждым днем становится все хуже".
В лицее имелась библиотека, в которой наряду с греческими и латинскими авторами Галуа обнаружил несколько книг по математике. Довольно быстро он освоил "Начала геометрии" А. Лежандра, восторгаясь стилем, гармонией и красотами геометрии. С таким же рвением приступил он к труду Лагранжа по алгебре "Решение численных уравнений". И здесь его ожидало разочарование. Он не увидел законченности, стройности алгебры, учебник как-то неожиданно обрывался. Лагранж не знал, как решать уравнения высших степеней (этого тогда никто не знал). Но должен, же был существовать метод!
И в шестнадцатилетнем возрасте Галуа приступает к самостоятельному исследованию. Однажды Эваристу - ученику класса риторики - показалось, что он совершил великое открытие, доказал, что уравнение пятой степени разрешимо. Радость была преждевременной, вскоре он убедился - его рассуждение ошибочно. Так что же? Бросить дальнейшие поиски? Прийти в отчаяние? Опустить руки? Нет, Галуа не таков. Снова и снова он думает, ищет. Наконец, ему удалось найти отличительные признаки, определяющие, можно ли справиться с данным уравнением произвольной степени. Галуа даже и не подозревал, что могучие и революционные методы, которые он использовал, повлияют на развитие математики столетие спустя.
В 1829 г. он опубликовал в "Анналах математики" первую свою работу "Доказательство одной теории о периодических непрерывных дробях". В этом же году его не приняли в Политехническую школу, школу, где учились математики...
Эварист Галуа вынужден был поступить в так называемую Подготовительную школу, которая выпускала учителей для королевских лицеев. Преподаватель физики, принимавший у Эвариста вступительные экзамены, оставил свой отзыв - пример человеческой глупости и слепоты. В отзыве говорилось: "Галуа единственный, кто отвечал мне плохо. Он ничего не знает. Очень сомневаюсь, что из него когда-нибудь получится хороший преподаватель".
А юношу манили недоступные вершины науки. Изо дня в день он настойчиво и упорно работает над захватившей его проблемой. Наконец, он решился послать в Академию рукопись, где сформулировал результаты своих исследований. И рукопись, содержащая несколько величайших математических теорий века, была безвозвратно потеряна членом Академии О. Коши.
Галуа уверен в истинности своих открытий. Он не пришел в отчаяние, он продолжал работать. В "Бюллетене Ферюссаки" за 1830 г. появились три исследования Эвариста: "Анализ одного мемуара об алгебраическом решении уравнений", "О решении численных уравнений" (оба очень небольшие, всего по две страницы) и более обширное "Из теории чисел". К последней статье имелось примечание: "Настоящая работа является частью исследований мсье Галуа в области теории перестановок и алгебраических уравнений".
Более полно свою теорию математик изложил в работе, которую представил на ежегодный конкурс на премию Академии. Это кажется неправдоподобным, но рукопись... снова потеряли!
Выяснилось, что секретарь Академии умер, в бумагах у него ничего не оказалось. Новый секретарь Ф. Араго настоятельно рекомендовал Галуа переписать работу. Эварист согласился. В январе 1831 г. он в третий и последний раз посылает краткое изложение своей теории "Об условиях разрешимости уравнений в радикалах".
Напомнив о судьбе своих предшествующих рукописей, Галуа писал далее: "Умоляю ценителей моей работы внимательно прочитать хотя бы эти немногие страницы". После долгих проволочек "эти немногие страницы" послали на заключение математикам Лакруа и Пуассону. В это же время Галуа открыл "публичный курс по алгебре". В одной из парижских газет сообщалось: "Курс состоит из новых теорий, ни одна из которых ранее не была изложена в публичном курсе. Достаточно назвать новую теорию мнимых величин, теорию уравнений, разрешимых в радикалах, теорию чисел и эллиптических функций, рассматриваемых чистой алгеброй..."
Двадцатилетний ученый действительно прочитал несколько лекций, но вскоре был вовлечен в водоворот политических событий...
Время шло, ответа не было, и обеспокоенный Галуа обращается с письмом к президенту Академии: "Смею надеяться, что господа Лакруа и Пуассон не сочтут дерзостью мое напоминание о работе, посвященной теории уравнений и представленной на их рассмотрение три месяца назад". Эварист просил выяснить, не потеряна ли рукопись снова?
Летом Галуа был арестован и посажен в тюрьму на долгих девять месяцев "за незаконное ношение формы и запрещенного оружия". И здесь, в тюрьме, он получает из Академии свою рукопись и сопроводительное письмо.
Работу не поняли... В отзыве Пуассона прямо говорилось: "Мы приложили все усилия, чтобы понять доказательства мсье Галуа. Его рассуждения недостаточно ясны, недостаточно развернуты и не дают возможности судить, насколько они точны. Мы не в состоянии дать даже в этом отзыве наше мнение о его работе".
Издать отдельной брошюрой, выпустить за свой счет - решает математик, и в его голове слагаются строки предисловия, полные горечи и сарказма. И он написал его, подвергнув в нем осмеянию Пуассона, экзаменаторов Политехнической школы, властелинов царства науки... Между тем королевская полиция не теряла надежды расправиться с опасным революционером- Эваристом Галуа. И ей это удалось. После освобождения из тюрьмы юношу вовлекают в интригу по пустяковому случаю. Вечером 29 мая 1832 г. последовал вызов на дуэль. У Эвариста оставалось всего тринадцать часов жизни, а так много надо было сделать. Прежде всего - письмо всем республиканцам, в котором он с горечью признавался: "Жизнь моя угасла в жалкой лужице клеветы". Затем - письмо-завещание другу, Огюсту Шевалье. В нем - самое главное, самое существенное из того, что еще не опубликовано, самые важные результаты, общие сведения о своем методе. Галуа коротко перечислил проблемы, которые обдумывал в последнее время. "Все, что написано здесь,- говорилось в письме,- я уже целый год храню в голове. Могут заподозрить, что я объявляю результаты исследований, для которых не имею исчерпывающих доказательств. В моих интересах не допустить ошибки, чтобы подобные подозрения не могли возникнуть". Далее Галуа просил Шевалье напечатать это завещание в "Энциклопедическом обозрении" и обратиться к Якоби и Гауссу, чтобы ученые дали "мнение не об истинности, а о значении тех теорем, развернутого доказательства которых я не даю".
Эварист торопливо просмотрел уже готовые свои работы: кое-где надо бы дать более развернутые доказательства. С отчаянием он пишет на полях: "У меня нет времени".
Неистовый республиканец был смертельно ранен.
...Огюст Шевалье выполнил последнюю волю своего друга - уже в 1832 г. в "Энциклопедическом обозрении" он опубликовал письмо, написанное Эваристом накануне дуэли. Правда, никакого отклика в научном мире эта публикация не нашла. Младший брат Галуа Альфред поклялся умирающему, что приложит все силы, чтобы опубликовать его рукописи. Сохранились тщательно переписанные Огюстом работы Галуа и копия письма Альфреда к Якоби.
От Шевалье рукописи попадают к знаменитому математику Ж. Лиувиллю, который попытался разобраться в наследии Галуа. Самую важную его работу он опубликовал (в 1846 г.) в "Журнале чистой и прикладной математики". Публикация сопровождена пространным предисловием. Отмечая достоинства открытий Галуа, Лиувилль вместе с тем пытался защитить и оправдать тех, кто в свое время не смог и не пожелал понять Галуа. В предисловии, в частности, говорилось:
"Главным объектом исследований Эвариста Галуа являются условия разрешимости уравнений в радикалах. Автор строит основы общей теории, которую детально применяет к любому уравнению, чья степень - простое число. Шест надцати лет, на скамье Луи ле Гран, работал Галуа над этой сложной темой. Он последовательно представил в Академик ряд работ, содержащих результаты его размышлений
Референтам показались неясными формулировки молодого математика, и следует признать, что упрек был не лишен основании. Преувеличенное стремление к краткости породило этот недостаток, которого нужно в первую очередь избегать, когда имеешь дело с отвлеченными и таинственными категориями чистой алгебры. Тому, кто намерен вести читателя к неизведанной земле, далеко от проторенной дороги, воистину необходима ясность. Как сказал Декарт: "Когда имеешь дело с трансцендентальными вопросами, будь трансцендентально ясен" Слишком часто пренебрегал Галуа этой заповедью, и понятно почему знаменитые математики могли счесть необходимым направить одаренного, но неопытного новичка на правильный путь суровым советом. Автор, которого они осудили, был полон энергии и рвения: их совет мог оказаться ему полезен
Теперь все иначе. Галуа больше нет! Остережемся бессмысленной критики; пройдем мимо недочетов и обратимся к достоинствам..." Как видим, Лиувилль не только оправдывает людей сыгравших роковую роль в судьбе ученого, но и сам говорит о "недочетах"...
В этом же предисловии Лиувилль объявил о том, что намерен снабдить работу Галуа комментариями, но он никогда их не написал. Лиувилль утверждал, что понять доказательство очень легко, правда, при этом он добавлял: "Достаточно на месяц-другой посвятить себя исключительно этой работе не думая ни о чем другом".'
Это затруднение, в котором в свое время признался Пуассон, хорошо объяснил автор очерка о Галуа математик Бертран: "Прежде чем написать работу, Галуа больше года производил смотр бесчисленной армии сочетаний, подстановок Ему пришлось отобрать и пустить в ход все дивизии, бригады полки и батальоны и выделить простые подразделения Чтобы понять его изложение, читателю нужно познакомиться с этим сборищем, проложить сквозь него дорогу, научиться видеть его в нужном свете. На все это нужны долгие часы и активное внимание. Этого требует сущность темы. И мысли и язык являются новыми. Их не изучить за один день".
Лиувилль не только не написал комментарии, но помешал это сделать другим. Он прочитал для нескольких друзей ряд лекции о теории Галуа. На этих лекциях присутствовал математик Серре. Несколько лет спустя он выпустил "Учебник высшей математики" - об открытиях Галуа в нем не было ни слова. Серре не хотел незаконно воспользоваться правами своего учителя - Лиувилля. Через пятнадцать лет готовилось к выпуску в свет второе издание "Учебника"; в нем 61 страница отводилась теории Галуа. Бертран корректировал оттиски. Но, уступая желанию Лиувилля, Серре из этого издания изъял уже напечатанные страницы. Чтобы уладить дело с наборщиком, он написал столько же страниц на совершенно другую тему.
Почти через сорок лет после смерти Эвариста Галуа, в 1870 г. К. Жордан создал обширный труд (667 стр.) о теории подстановок. Это - по мнению самого автора - лишь комментарий к работе Галуа. Именно труд К. Жордана привлек внимание математического мира к идеям Галуа и принес ему посмертную славу. Во введении хорошо было сказано о значении метода Галуа: "Галуа было суждено дать четкое обоснование теории разрешимости уравнений... Проблема разрешимости, прежде казавшаяся единственным объектом теории уравнений, ныне представляется первым звеном в длинной цепи вопросов, касающихся преобразования и классификации иррациональных чисел. Применяя свои общие методы к этой частной проблеме, Галуа без труда нашел характерное свойство групп уравнений, разрешимых в радикалах".
С появлением книги К. Жордана наступило "второе рождение" теории Галуа. Когда Жордан работал над своим трактатом, к нему приехали два молодых математика - норвежец Софус Ли и немец Ф. Клейн. Они увлеклись идеями Эвариста Галуа и очень многое сделали для дальнейшей разработки его теории. Софус Ли обратился (следуя по пути Галуа) к дифференциальным уравнениям. Ф. Клейн вскрыл фундаментальную роль идей Галуа для геометрии. Работы этих ученых оказались плодотворными для самых различных разделов математики и математической физики.
В 1906-1907 гг. Ж. Таннери опубликовал большую часть из оставшихся посмертных рукописей Галуа - "дань его славе, сияющей все ярче и ярче со времени публикации Лиувилля".
О трудах французского математика знали и в нашей стране. Первая книга в русской литературе, излагающая теорию Галуа, вышла в свет в 1890 г. Это - "Высшая алгебра" М. Е. Ващенко-Захарченко...
Продолжались разработки основных положений Галуа и в алгебре, появилась специальная научная дисциплина "теория Галуа", изучаемая в высших учебных заведениях. Член-корреспондент АН СССР Н. Чеботарев в предисловии к I тому "Основ теории Галуа (1934 г.) писал: "Теория Галуа вышла из рамок, которые были намечены ее творцом. Вопрос о решении уравнений в радикалах перестал быть центральным в алгебре, но теория Галуа продолжает играть в ней главную роль. Я не говорю уже о том, что идеи Галуа глубоко проникли и в другие отделы математики и частью создали, частью продвинули такие математические дисциплины, как дифференциальные уравнения, автоморфные функции, комбинаторную топологию и т. п.".
И сегодня теория Галуа не является полностью завершенной, многие ее задачи ждут своего решения.
Рукописи Эвариста Галуа сейчас хранятся во французской Академии наук, в той самой Академии, которая в свое время столь высокомерно обошлась с одним из величайших математиков мира.