Геометрия первоначально была наукой об измерениях. Греческие геометры умели измерять отрезки линий (как прямых, так и кривых), площадь поверхности, ограниченной линиями, и объемы фигур, ограниченных поверхностями. Однако глагол «измерять» вскоре принял более широкий смысл: «устанавливать отношения между геометрическими объектами». Появились геометрические формулировки, которые используются и сегодня: «прямая линия r параллельна прямой q», «отрезок АС в три раза длиннее отрезка АВ», «отношение периметра окружности к ее диаметру
есть число, которое не может быть выражено в виде дроби».
Для установления истинности таких отношений геометры древности разработали и довели до совершенства особую систему доказательств, которая стала основным методом математики. Система греческих геометров состояла в выводе важнейших результатов (теорем) из набора основополагающих аксиом с помощью «длинных цепочек рассуждений», как называл доказательства Декарт в своем трактате «Рассуждение о методе». Этот практически творческий подход является характерной чертой евклидовой геометрии.
«Начала» Евклида и пятый постулат
Как и в случае со многими другими выдающимися деятелями далекого прошлого, сведения о Евклиде крайне скудны. Ни дата, ни город его рождения точно не известны. Все имеющиеся сведения содержатся в толкованиях древних документов, упоминающих геометрию. Оттуда известно, что он жил до Архимеда, ок. 325–265 гг. до н. э., и был почти современником Птолемея (367–283 гг. до н. э.) . Стиль его рассуждений указывает на то, что он учился в Афинах с другими учениками Платона. Достоверно известно, что Евклид жил в Александрии, где преподавал математику на протяжении более чем 20 лет. Именно там он основал знаменитую школу, с которой и связан расцвет его научной деятельности.
Около 300 г. до н. э. Евклид написал свой магнум опус, великий труд «Начала», содержащий практически все известные в то время математические сведения. Эта книга является, по-видимому, наиболее читаемой после Библии. В самом деле, она использовалась в качестве учебного пособия в течение почти 2000 лет и считалась нерушимой основой не только геометрии, но даже здравого смысла. Первая печатная версия «Начал» появилась в Венеции в 1482 г. Это был перевод с арабского языка на латинский. Первая версия прямого перевода с греческого на латынь была опубликована в 1303 г.
Страница из первой книги «Начал» Евклида . Издание Леонардо де Базилея и Гчльермо де Павия , 1491 г.
«Начала геометрии» (или «Начала») состоят из 13 книг, содержащих 463 утверждений, 372 теоремы и 93 задачи. Они не содержат обычного набора рутинных расчетов, которыми нагружают учеников в школе, а представляют собой логичный и структурированный свод современных знаний в стиле Платона. В соответствии со своими научными идеалами Платон говорил, что геометрия — это наука, которой занимаются ради познания. В седьмой книге диалога «Государство» он так объясняет свои представления об этой науке:
«Как если бы они были заняты практическим делом, геометры употребляют выражения «построим» четырехугольник, «проведем» линию, «произведем наложение» и так далее. А между тем, все это наука, которой занимаются ради познания».
В «Началах» все предложения доказываются шаг за шагом. Первые четыре книги называют пифагорейскими, так как они содержат главным образом материал, который изучали Пифагор и его последователи. Эти книги посвящены геометрии на плоскости: теореме Пифагора, свойствам треугольников, параллелограммов, кругов, многоугольников и так далее.
Следующие две книги излагают понятия пропорциональности и подобия многоугольников и содержат первое упоминание о золотой пропорции (в терминах «крайнего и среднего отношения»).
Книги с седьмой по девятую посвящены арифметике и рассматривают задачи, связанные с теорией чисел: делимость, простые числа, совершенные числа и так далее. Здесь определяется евклидово понятие числа. Евклид рассматривал все числа как геометрические отрезки, что соответствует современному понятию измеряемых величин.
Десятая книга дает классификацию чисел, называемых иррациональными, то есть таких чисел, которые не могут быть выражены в виде дроби. Последние три книги посвящены стереометрии (многогранникам, сферам и так далее). Здесь также рассматриваются пять правильных многогранников, так называемых «Платоновых тел», все грани которых равны и при этом являются правильными многоугольниками.
Евклид начинает изложение с простых, очевидных утверждений, которые могут быть легко и интуитивно поняты и не подлежат сомнению. Он называет их определениями, постулатами и аксиомами, и из них он выводит свои предложения, которые доказываются с помощью цепочек рассуждений. Основы учения Евклида сформулированы в первой книге «Начал», которая содержит 23 определения, 5 постулатов и 48 предложений.
* * *
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Существует только пять правильных выпуклых многогранников. Возможно, именно поэтому греки уделяли им особое значение, соотнося их с четырьмя стихиями: тетраэдр (огонь), куб (земля), октаэдр (воздух), икосаэдр (вода); а додекаэдр олицетворял Вселенную. Правильные многогранники также известны как пять «Платоновых тел».
ТЕРМИНОЛОГИЯ ЕВКЛИДА
Предложение — истинное утверждение, которое уже доказано или должно быть доказано.
Теорема — предложение, которое может быть логически выведено из аксиом или из других ранее доказанных теорем с помощью принятых правил доказательства.
Постулат — предложение, истинность которого принимается без доказательства и лежит в основе дальнейших рассуждений; другими словами, допущение, лежащее в основе доказательства.
Аксиома — предложение, настолько ясное и очевидное, что оно не требует доказательств. Аксиомы более очевидны, чем постулаты.
* * *
Первоначальные определения из первой книги даются для точки, прямой линии, прямого угла и параллельных линий и лежат в основе евклидовой геометрии и других геометрий.
Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.
Определение 2. Линия — это длина без ширины.
[…]
Определение 4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.
[…]
Определение 10. Когда же прямая, восставленная на другой прямой, образует смежные углы, равные между собой, то каждый из углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.
[…]
Определение 23. Параллельные — суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются.
Затем формулируются следующие аксиомы.
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.
3. Целое больше части.
В отношении фигур Евклид не говорит об их равенстве, а старается использовать слово «конгруэнтность». В общем случае под конгруэнтностью геометрических фигур понимается тот факт, что при наложении друг на друга они совпадают.
Далее Евклид формулирует пять знаменитых постулатов.
I. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
II. Любой отрезок можно непрерывно продолжать по прямой линии.
III. Имея любой отрезок, можно описать круг с радиусом, равным длине этого отрезка, и с центром в одном из концов этого отрезка.
IV. Все прямые углы равны между собой.
V. Если две прямые пересекаются третьей, так что с одной стороны сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то эти две прямые неизбежно пересекаются друг с другом по эту сторону, будучи продленными достаточно далеко.
В соответствии с пятым постулатом, если сумма углов меньше двух прямых углов, то прямые линии будут сходиться (пересекутся). Значит, верно и обратное: если сумма углов больше двух прямых углов, то прямые линии никогда не пересекутся (они будут расходиться). Что произойдет, если сумма углов равна двум прямым углам? Тогда прямые линии и не сходятся, и не расходятся, то есть они будут параллельными и никогда не пересекутся. Однако пятый постулат вскоре стал вызывать сомнения. Во-первых, его формулировка является более сложной, чем у других постулатов, и не кажется интуитивно ясной. Даже Евклид долго не использует пятый постулат, пока не формулирует предложение 32:
«Сумма углов треугольника равна двум прямым углам (180°)».
Как потом доказал сам Евклид, это утверждение эквивалентно пятому постулату. Все треугольники образованы пересечением двух непараллельных прямых, которые затем пересекаются третьей. Параллельные линии в пятом постулате представляют собой особый случай, когда третья прямая перпендикулярна двум другим, и тогда два угла в сумме равны 180°, не оставляя ничего третьему углу треугольника.
Следовательно, по Евклиду нельзя построить треугольник с двумя прямыми углами.
Знаменитая теорема Пифагора также является еще одним частным случаем пятого постулата, когда только один из углов равен 90°:
«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон».
Таким образом, оказывается, что, по сути, существует несколько утверждений, эквивалентных пятому постулату, о которых сам Евклид, возможно, не догадывался.
Утверждения, эквивалентные пятому постулату
Пятый постулат, по сути, вызвал сумятицу. Понятие параллельных прямых, которые можно неограниченно продолжать, фактически вводило понятие бесконечности.
Кроме того, по формулировке Евклида пятый постулат больше похож на теорему, чем на универсальную истину. Таким образом, на протяжении веков многие математики были убеждены, что это на самом деле свойство прямых, которое может быть доказано, и поэтому пытались найти доказательство. В результате появилось большое количество эквивалентных формулировок пятого постулата. Наиболее важные из них (именно с точки зрения новых геометрий) приведены ниже.
Греческий философ Прокл (410–485 ) был самым известным представителем афинской школы математики. Его постулат о равноудаленности формулируется следующим образом:
«Прямая, параллельная данной прямой, сохраняет постоянное расстояние от нее».
* * *
ГЕОМЕТРИЯ В ИСКУССТВЕ
Художники в своих работах используют точки, прямые линии и другие геометрические объекты. Их работы очень помогают при ответе на вопросы «что такое точка?», «что такое прямая линия?», «что мы имеем в виду под параллельностью?» Василий Кандинский (1866–1944) был русским художником, поэтом, драматургом и педагогом. Научные исследования в области права и экономики он сочетал с занятиями графикой и живописью. Его преподавательский опыт отражен в трактате «Точка и линия на плоскости» (1925), где Кандинский определил прямую линию как «след перемещающейся точки».
* * *
Великий французский математик Адриен Мари Лежандр (1752–1833) пытался доказать пятый постулат в книге «Начала геометрии», которая многократно переиздавалась и переводилась на многие языки. Более 40 лет он искал доказательство пятого постулата, которое было бы математически строгим, но в то же время понятным читателям и студентам. К сожалению, он умер, так и не увидев развития неевклидовых геометрий. Однако именно он сформулировал постулат для углов треугольника:
«Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым».
Тут мы должны упомянуть Яноша Бойяи, о котором мы позже расскажем более подробно. Отец Бойяи, который также был математиком, безуспешно пытался доказать пятый постулат и поэтому не хотел, чтобы его сын зря тратил время на решение этой задачи. Однако Яношу было суждено сделать гораздо большее. Все началось с постулата о трех точках:
«Через любые три точки, не лежащие на прямой линии, всегда можно провести окружность».
Мы также более подробно рассмотрим результаты «принца математики» Карла Фридриха Гаусса, который начал работать над пятым постулатом в 1792 г. в возрасте 15 лет и к 1817 г. убедился, что этот постулат совершенно независим от других четырех. Гаусс сформулировал постулат о площади треугольника:
«Существует треугольник сколь угодно большой площади».
Особенно важным был результат шотландского математика и геолога Джона Плейфера (1748–1819). Именно его «аксиома параллельности», в отличие от сложной формулировки Евклида, в настоящее время преподается в школах и наиболее часто встречается в учебниках. И действительно, ее часто принимают за оригинальную формулировку пятого постулата Евклида. Ее ценность заключается в простоте — аксиому Плейфера гораздо легче понять, чем формулировку Евклида:
«В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной».
Эту аксиому также можно сформулировать следующим образом: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, которая не пересекает данную прямую (см. рис. V' на стр. 31).
Как бы то ни было, даже такое ясное и очевидное утверждение, как аксиома Плейфера не смогло убедить многих геометров. Откуда же эта одержимость идеей бросить вызов бессмертному Евклиду?
* * *
ТЕОРЕМА О БОЛЬШОЙ ТОЧКЕ
Эта теорема представляет собой довольно необычный результат, который можно сформулировать следующим образом:
«Число прямых, параллельных данной прямой, которые можно провести через точку вне этой прямой, зависит от того, насколько большой является эта точка».
Через большую точку вне прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной.
Из этого также следует, что «через большую точку вне прямой можно провести сколь угодно много параллельных (и перпендикулярных) прямых к данной прямой».
Конечно, это всего лишь математическая шутка, но тем не менее эта формулировка наводит на интересные мысли. Откуда мы знаем, сколько линий (в евклидовом смысле) содержится в кончике грифеля карандаша? Чтобы проверить параллельность этих линий, нам придется продолжить их в бесконечность, а на это не хватит никакой бумаги в мире. Поэтому пятый постулат Евклида не может быть доказан экспериментально.
* * *
Геометрия в картинах эпохи Ренессанса
Эта одержимость объединяла Леонардо да Винчи (1452–1519) и Альбрехта Дюрера (1471–1528) , превратив их в выдающихся художников эпохи Возрождения и в величайших теоретиков за всю историю искусства. В своем трактате Institutiones Geometricae (латинский перевод с немецкого Underweysung der Messung, «Об измерениях»), опубликованном в Германии в 1525 г., Дюрер писал:
«Немецкие художники не имеют себе равных в использовании цвета, но их работы имеют некоторые недостатки в отношении пропорции, перспективы и так далее. Без правильных пропорций картина не может быть совершенной, как бы тщательно она ни была написана. Таким образом, те, кто желает овладеть искусством живописи, должны прежде всего изучать пропорции и понимать, как рисовать объекты в проекции и в перспективе».
И Леонардо да Винчи, и Дюрер искали способы изображения трехмерных объектов в двух измерениях. Как картине придать ощущение глубины? Этот вопрос привел их к понятиям перспективы, проекции и сечения, которые изучает специальный раздел геометрии, называемый проективной геометрией.
* * *
РАЗМЕРНОСТИ
На самом деле идеи Евклида представляют собой абстракцию, а не реальность: точка, не имеющая размеров; линия, не имеющая ширины, а только длину… Это дает понятие размерности, где длина и ширина определяют каждое измерение.
Так как точка не имеет размеров, она не имеет размерности. Так как прямая линия имеет только длину, ее размерность равна единице. Поверхность не имеет толщины и является двумерной. И, наконец, пространственные тела (например, куб) имеют три измерения. Фактически в евклидовой геометрии возможны только размерности, имеющие целые значения: 0, 1, 2 и 3.
* * *
Проективная геометрия является математической теорией, разработанной в произведениях искусства эпохи Возрождения. Поверхность картины считалась стеклом окна, через которое художник видит объект. Точки объекта соединяются с глазом наблюдателя прямыми линиями. Эти линии, проходя через стекло, образуют на нем изображение, которое является проекцией объекта на поверхность стекла. Этот процесс показан на гравюре Дюрера «Рисующий лютню», где художник демонстрирует, как на картине изобразить проекцию в соответствии с методом из трактата «Об измерениях». Помощник художника (слева) держит лист стекла, на котором объект на столе изображен в перспективе.
Чтобы получить такое изображение, стекло помещается в рамку, которую держит художник справа. Лучи света (прямые линии) от изображаемого объекта, попадая в глаз художника, проходят через стекло и образуют на нем так называемую проекцию. Таким образом, для художника ключевыми понятиями являются перспектива и проекция.
Эта гравюра включена в трактат «Об измерениях» (1525) и известна под названием «Рисующий лютню». На ней Дюрер показывает, как получить изображение в перспективе с помощью проекции.
Обратите внимание, что в проективной геометрии параллельные линии сходятся в точке, называемой точкой схода, или точкой бесконечности. Понятие параллельных линий превращается в понятие прямых, которые пересекаются в точке, расположенной на бесконечном расстоянии. Однако эта бесконечно удаленная точка все еще находится в поле зрения наблюдателя.
Хорошим примером точки схода на плоскости является точка, где сходятся железнодорожные рельсы. Другим примером являются чертежи архитектора с плоскостными проекциями для изображения более реалистичного варианта дизайна.
Точка схода в реальности при взгляде на рельсы (сверху). Точка схода на художественной проекции. Иллюстрация из опубликованного в 1565 г. «Трактата о перспективе» фламандского художника Вредемана де Вриса (снизу).
Методы проективной геометрии приводят к искажению изображений: длины отрезков, величины углов и размеры фигур евклидовой геометрии не обязательно сохраняются. В сущности, проективная геометрия является геометрией художников. Поэтому параллельные линии изображались художниками эпохи Возрождения совсем не так, как у Евклида. Изменилось само понятие параллельности.
Теория Евклида под сомнением
Вплоть до конца XVIII в. роль математики заключалась в обосновании физической реальности мира, в котором мы живем. В следующем же веке эта роль изменилась с появлением неевклидовых геометрий. Время «Начал» Евклида, являвшихся непререкаемой истиной на протяжении 23 веков, подошло к концу, и вместе с этим пошатнулось само понятие реальности в том абстрактном смысле, который в него вкладывали до сих пор.
Иммануил Кант утверждал, что пространство является системой отсчета, существующей в человеческом сознании, и, следовательно, аксиомы и постулаты геометрии Евклида являются предопределенным знанием, понятиями, априори запечатленными в уме человека. Без этих аксиом и постулатов невозможно даже рассуждать о пространстве. Тем не менее он был первым, кто допускал возможность существования другого типа геометрии. В своей первой работе, опубликованной в 1746 г., Кант рассматривает пространство с более чем тремя измерениями и говорит:
«Если возможно существование пространств с другими измерениями, то, скорее всего, Бог создал бы их, ибо его творения заключают в себе все величие и разнообразие, на которое они способны».
Геометриями, которые предсказал Кант, являются известные в наше время многомерные неевклидовы геометрии.
В формальном смысле евклидова геометрия определена в первых шести книгах «Начал», а неевклидовы геометрии получаются путем отказа от пятого постулата.
В формулировке Плейфера этот отказ означает две возможности: либо отрицать уникальность параллельной прямой, либо отрицать ее существование. Это может быть выражено следующими альтернативными утверждениями.
1. В плоскости через точку Р, не лежащую на данной прямой l, проходит более одной прямой, параллельной данной.
2. В плоскости через точку Р, не лежащую на данной прямой l, не проходит ни одна прямая, параллельная данной.
* * *
ИММАНУИЛ КАНТ (1724–1804)
Знаменитый немецкий философ Иммануил Кант получил строгое образование, при котором латинскому языку и религии уделялось больше внимания, чем математике и естественным наукам. И только в университете он по-настоящему занялся физикой и математикой. Но когда умер его отец, Кант был вынужден оставить учебу и работать репетитором, чтобы прокормить себя. В 1755 г. благодаря помощи друга он продолжил образование и получил докторскую степень. Кант в конечном счете стал преподавателем, работая в университетах в течение 15 лет, читая лекции по истории, естественным наукам и математике, а также по философии. Кант считается одним из самых ярких мыслителей современной Европы. С самого начала его теории оказывали огромное влияние на интеллигенцию и до сих пор являются основой современной философии, которая постоянно ссылается на него. Идеи Канта нашли отражение во многих дисциплинах: в философии, праве, этике, логике… Вместе с Платоном, Аристотелем и Декартом Кант является одним из основоположников западной философской мысли, отцом современной философии.
* * *
Чтобы в полной мере понять эти формулировки, нам в первую очередь необходимо выйти за рамки нашего восприятия того, чем являются параллельные линии. Новая геометрия может быть построена таким способом: мы сохраним все постулаты Евклида, но только заменим пятый постулат его альтернативой. Такая геометрия позволяет получать логичные результаты и не имеет внутренних противоречий. Первая такая геометрия, так называемая гиперболическая геометрия, была предложена Николаем Лобачевским (1792–1856) и Яношем Бойяи (1802–1860) . Другую геометрию, так называемую эллиптическую геометрию, сформулировал Бернхард Риман (1826–1866) .
Развитие неевклидовых геометрий проходило в два этапа: сначала были попытки доказать пятый постулат Евклида, а потом появились новые геометрии с альтернативным пятым постулатом, которые сосуществовали с евклидовой геометрией.
Такой подход предполагает существенные изменения в нашем восприятии реальности. Например, пятый постулат Евклида можно рассматривать в формулировке о сумме углов треугольника и сформулировать альтернативные постулаты. Сумма трех внутренних углов любого треугольника равна 180° — но только в мире Евклида, где параллельные линии можно продолжать до бесконечности и пространство не искривлено. А если бы Евклид побывал в бесконечности и увидел, что там произошло с параллельными линиями? А вдруг они бы пересеклись? Это бы значило, что пространство искривлено, а сумма углов треугольника больше 180°, как если бы треугольник был нарисован на поверхности апельсина. Аналогично в гиперболической геометрии, где параллельные линии неумолимо расходятся, сумма углов треугольника меньше 180°.
Евклидова геометрия содержит основные понятия любой геометрии, такие как точки, прямые и плоскости, но эти понятия в других геометриях необходимо пересмотреть. В новой геометрии прямой линией будет называться любая линия, которая является кратчайшим расстоянием между двумя точками, а плоскостью будет такая поверхность, которая обладает следующим свойством: если две точки на прямой принадлежат этой поверхности, то все другие точки на этой прямой также будут принадлежать этой поверхности.
Эти идеи действительны во всех геометриях и характеризуют новый подход к восприятию форм. Неевклидовы прямые линии могут оказаться искривленными, а в так называемой сферической геометрии сфера считается плоскостью и большие окружности на ее поверхности являются прямыми линиями. Обе геометрии имеют общую терминологию, потому что и там, и там прямая линия является самой простой линией, а плоскость — самой простой поверхностью.
Как же мы можем быть уверены в том, что две прямые параллельны? Нам нужно продолжить их в бесконечность и убедиться, что они никогда не пересекутся. Человеческий разум владеет абстрактным понятием прямой линии, имеющей только длину, но не ширину. Можно представить себе две линии, которые никогда не пересекаются и всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Все это можно представить, но нельзя доказать экспериментально. В конце концов, евклидова геометрия является такой же абстрактной идеей, как и все остальные.
* * *
НАПОМИНАНИЕ
До сих пор никто не смог доказать ни одно из следующих утверждений.
1. Через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.
2. Через точку вне прямой проходит более одной прямой, параллельной данной.
3. Через точку вне прямой не проходит ни одна прямая, параллельная данной.
Все эти постулаты возможны и приводят к новым геометриям.
-
ЗЛОПОЛУЧНАЯ ФРАЗА
В конце 1950 гг. математики со всего мира встречались на семинарах и конгрессах в Европе и Америке, обсуждая необходимость преподавания так называемой «современной математики» в средней школе. Самый известный конгресс состоялся в Руайомоне (Франция) в ноябре 1959 г. Там французский математик Жан Дьёдонне (1906–1992) , заканчивая свой доклад, посвященный «Началам» Евклида, воскликнул: «Долой Евклида!» Эта фраза стала популярной в математическом сообществе и ассоциируется с наступлением эры современной математики.
К сожалению, эти слова были сказаны одним из самых влиятельных математиков XX в. Нет необходимости еще раз говорить о значении «Начал» и вкладе их автора: без Евклида мы были бы не в состоянии объяснить окружающую реальность или развивать другие геометрии. К счастью, специалисты в области образования во всем мире отстояли наследие Евклида, и его геометрию продолжают изучать в школе.