Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

Грасиан Энрике

Поиск простых чисел — одна из самых парадоксальных проблем математики. Ученые пытались решить ее на протяжении нескольких тысячелетий, но, обрастая новыми версиями и гипотезами, эта загадка по-прежнему остается неразгаданной. Появление простых чисел не подчинено какой-либо системе: они возникают в ряду натуральных чисел самопроизвольно, игнорируя все попытки математиков выявить закономерности в их последовательности. Эта книга позволит читателю проследить эволюцию научных представлений с древнейших времен до наших дней и познакомит с самыми любопытными теориями поиска простых чисел.

 

Предисловие

С точки зрения арифметики большинство чисел отличается, так сказать, «хорошим поведением». Четные числа всегда чередуются с нечетными, каждое третье число всегда кратно трем, квадраты чисел подчиняются определенному закону. Поэтому мы можем составить длинный ряд чисел, которые ведут себя так, как им положено, независимо от длины этого ряда и величины самих чисел. Но простые числа похожи на неуправляемую толпу. Они появляются там, где им захочется, без предварительного предупреждения, на первый взгляд, совершенно хаотично, без какой-либо закономерности. А самое главное — их нельзя проигнорировать: простые числа необходимы для арифметики и для математики в целом.

Простые числа — не такая уж сложная тема, на изучение которой потребовалось бы много лет; фактически ее проходят еще в школе. Чтобы понять, что такое простое число, нужно лишь уметь считать и владеть четырьмя основными арифметическими действиями. Тем не менее, простые числа были и продолжают оставаться одной из самых удивительных проблем в истории науки. Тот, кто хочет заниматься математикой, но не владеет теорией простых чисел, ничего не сможет добиться, так как они присутствуют везде — иногда затаившись, как в засаде, готовые появиться когда их меньше всего ожидаешь. С неизбежностью появления простых чисел невозможно не считаться.

Простые числа важны не только в математике. Многие даже не догадываются о том, что они играют важную роль в нашей повседневной жизни, например, в банковских операциях или в обеспечении защиты персональных компьютеров и конфиденциальности разговоров по мобильному телефону. Они являются краеугольным камнем компьютерной безопасности.

В метафорическом смысле простые числа — как вредоносный вирус: если он захватывает ум математика, его очень трудно искоренить. Евклид, Ферма, Эйлер, Гаусс, Риман, Рамануджан и многие другие известные математики стали его жертвой.

Хотя некоторым и удалось более-менее излечиться, все они страдали навязчивой идеей найти «волшебную формулу», которая определяет, какое простое число будет следовать за определенным натуральным числом. Однако никому еще не удалось открыть это правило.

Простые числа на протяжении всей истории математики порождали множество гипотез. В каком-то смысле можно сказать, что история простых чисел является историей неудач, но прекрасных неудач, которые со временем привели к возникновению новых теорий, свежих воззрений и передовых рубежей. В смысле развития математики простые числа являются источником чрезмерного богатства: как это ни парадоксально звучит, даже хорошо, что эта теория до конца не изучена. И все говорит о том, что такая ситуация будет сохраняться в течение долгого времени.

При подготовке этой книги мы старались поддерживать «высокий» уровень разъяснения: объем математических знаний, необходимых для понимания материала, может быть небольшим. Кавычки указывают на то, что эти понятия относительны, тем более для рассматриваемых здесь тем. Во всяком случае, эта книга является кратким путеводителем по миру простых чисел и будет полезна каждому читателю, который знает, что такое числа, и умеет оперировать ими.

С другой стороны, для читателей, имеющих более глубокие знания математики, мы постарались включить информацию о конкретных исторических процессах, необходимых для понимания тонкостей, которые великие математики применяли в решении проблем, связанных с простыми числами.

Как будет ясно из первой главы, понятие простых чисел и задачи, связанные с ними, можно легко объяснить, но решения этих задач в большинстве своем относятся к сложнейшим областям профессиональной математики.

 

Глава 1

На заре арифметики

Как и у всего остального, у простых чисел тоже есть происхождение: свое начало они берут в системах счета. Простые числа появились одновременно с натуральными, но очень быстро выделились в виде особого набора специальных чисел.

Нет ничего более натурального, чем натуральные числа.

«Бог создал первые десять чисел, остальное — дело рук человека». Эти слова сказаны немецким математиком Леопольдом Кронекером (1823–1891) про натуральные числа, которые мы используем при счете: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. Кронекер имел в виду, что могучее здание математики построено на самой простой, элементарной арифметике. Если не углубляться в религию, то утверждение о том, что Бог дал нам первые десять чисел, означает, что эти числа всегда были частью природы.

Без особой натяжки можно предположить, что необходимость в счете появилась, когда человечество перешло от охоты и собирательства к земледелию и животноводству. При этом урожай и скот перестали быть продуктами немедленного потребления, а превратились в товары, которые нужно считать, регистрировать и продавать.

Это создало потребность в конкретных способах счета. Представим себе пастуха, который выгоняет стадо на пастбище. Он должен быть уверен, что в загон вернется то же количество животных, которое он выпускал. Без системы счета самым естественным решением будет взять горсть гальки и класть один камень в сумку каждый раз, как из загона выходит одна овца. Затем, по возвращении, он должен вынимать один камень для каждой входящей в загон овцы, чтобы таким образом убедиться в том, что все овцы целы. Это, конечно, примитивная система подсчета. Кстати, слово подсчет (calculation) происходит от латинского слова calculus, означающего «галька, камешки». Такая галечная система не требует понятия числа. В терминах современной математики мы бы сказали, что пастух устанавливает взаимно однозначное (один к одному) соответствие между стадом овец и множеством камней.

Заметим, однако, что математическое понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами появилось лишь в XIX в., поэтому было бы странным называть такой процесс подсчета наиболее естественным. Так что, используя слова «естественный» или «натуральный», по крайней мере в этом контексте, мы должны сделать некоторые разъяснения.

Можно предположить, что естественным следует называть такой мыслительный процесс, который не требует предварительных размышлений. Однако нельзя быть уверенным в том, что система подсчета с использованием мешка камней не потребовала предварительных рассуждений. В любом случае естественный мыслительный процесс может быть охарактеризован легкостью исполнения и эффективностью в достижении цели. Использовать количество размышлений для определения естественности мыслительного процесса не совсем приемлемо. В этом контексте лучше говорить об уровнях абстракции.

* * *

ВОСПРИЯТИЕ ЧИСЕЛ

Когда китайцы говорят о десяти тысячах звезд на небе, это не значит, что они их все посчитали. Это просто способ выразить очень большое число. Можно подумать, что для выражения такого понятия лучше подходит число миллиард. Но мы должны с самого начала учитывать, что наше непосредственное восприятие чисел ограничено пятью единицами. Если кто-то показывает пять пальцев одной руки и три пальца другой, мы практически сразу определяем общее количество в восемь пальцев, но для нас это почти что шифр. Когда же восемь объектов разложены на столе, нам придется посчитать их или визуально разделить на маленькие группы, чтобы узнать их количество. Поэтому нам очень трудно представить миллион объектов, если у нас нет непосредственного соответствия. Мы знаем, что значит выиграть миллион фунтов в лотерею, потому что мы знаем цену деньгам, и мы быстро проделываем мысленные расчеты, что на них можно купить. Но существует большая разница между таким пониманием и четким представлением о том, как выглядит выложенный в ряд миллион монет в один фунт (они покроют расстояние в 22,5 км).

С одного взгляда наш мозг способен распознать до пяти объектов. При больших количествах для подсчета приходится использовать другие стратегии.

* * *

Системы счета возникли на основе такого мощного процесса абстракции, который, по мнению многих специалистов, наряду с изучением языка является одним из самых серьезных достижений человечества за всю историю. Когда мы говорим «три», мы можем иметь в виду три овцы, три камня, три дома, три дерева, три чего угодно. Если бы приходилось использовать разные слова для описания количества разных объектов, первобытное сельскохозяйственное общество с самого начала было бы погребено под лавиной словесной информации. «Три» является абстрактным понятием, чисто ментальным образом, для которого требуется только одно слово и один знак, чтобы служить средством коммуникации в социальной группе.

Напомним, кстати, что повседневный язык также включает в себя процесс абстракции. Когда ребенок впервые узнает слово «стул», он называет им исключительно тот объект, на котором обычно сидит, но постепенно он понимает, что то же самое слово может относиться не только к одному высокому стулу, но и ко многим другим объектам с той же функцией. Процесс абстракции продолжается и в один прекрасный день переходит на более высокий уровень: появляется слово «сиденье», которое относится не только ко всем стульям, но и к скамейкам, табуреткам и всему, на чем можно сидеть.

Многие не любят математику, объясняя это тем, что она слишком абстрактна, как будто процесс абстракции является чем-то искусственным и неестественным.

Но это не так. Если бы мы не обладали способностью к абстракции, мы не смогли бы даже выработать общий язык. Иногда абстрактное мышление называют также непрактичным, но и это не соответствует действительности. Лишь наиболее абстрактный метод является наиболее практичным. Хорошим примером этого служит позиционная система счисления, которую мы используем в повседневной жизни самым «естественным» образом. В непозиционной системе символ, представляющий число, имеет одно и то же значение независимо от позиции, которую он занимает.

Например, в римской системе счисления число пять обозначается буквой V и имеет одно и то же значение в выражениях XV, XVI и VII. Однако если бы римская система была позиционной системой счисления, то в первом выражении символ V означал бы пять единиц, во втором — 50, а в третьем — 500.

Открытие позиционной системы счисления оказалось не совсем простым делом.

На это потребовалось более тысячи лет. Числа имеют долгую и интересную историю, но это не главная тема нашей книги. Будем считать, что числа нам уже известны и что, кроме того, мы уже знакомы с основными операциями сложения, вычитания, умножения и деления.

Цивилизация майя — одна из немногих древних цивилизаций, применявших позиционную систему счисления. Майя использовали только три символа: раковина обозначала ноль, точка — каждую единицу, тире — пять единиц.

Что такое простое число?

Возьмем любое число, например, 12. Мы знаем, что мы можем выразить это число по-разному как произведение других чисел:

12 = 2 х 6;

12 = 3 х 4;

12 = 2 х 2 х 3.

Далее мы будем называть эти числа «делителями». Таким образом, мы будем говорить, что 3 является делителем числа 12. Делитель — это меньшее число, на которое делится большее, а именно, 12 делится на 3. Аналогично мы можем сказать, что 5 является делителем 20, потому что 20 делится на 5. В данном контексте под словом «делится» мы подразумеваем тот факт, что если разделить число 20 на 5, то получится натуральное число, в данном случае 4, а остаток от деления будет равен нулю.

Разложение числа на множители иногда называют факторизацией: от латинского слова facere — «делать» или «производить», потому что каждый множитель «производит» исходное число. В выражении 12 = 3 х 4 число 3 является одним из множителей, которые «производят» число 12.

Соответственно, на вопрос: «Какие числа являются делителями числа 12?» можно ответить, что числа 2, 3, 4 и 6 будут делителями числа 12, потому что при делении 12 на любое из них получается целое число. Делителем любого числа также является 1, так как каждое число делится на единицу и еще на само себя. Например, делителями числа 18 являются следующие числа: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Теперь сделаем то же самое для числа 7, а именно найдем его делители. Мы увидим, что число 7 делится только на единицу и на само себя. То же самое верно и для чисел 2, 3, 5, 11 и 13. Эти числа и являются «простыми».

Теперь мы можем дать точное определение простого числа: число называется простым, если оно делится только на единицу и на само себя.

Эти рассуждения о натуральных числах содержали операции умножения и деления. В результате мы пришли к выводу, что некоторые числа являются особыми, и при нахождении определения, которое описывает их, мы использовали процесс абстракции. Дав этим числам название и определив их свойства, мы можем приступить к более глубокому их изучению.

* * *

ЗНАКИ ДЬЯВОЛА

В эпоху темного средневековья цифры считались тайными знаками «секретного письма». Именно поэтому закодированные сообщения до сих пор называют «зашифрованными сообщениями», так как слово «шифр» происходит от арабского слова «цифра». Строго говоря, только те сообщения, в которых буквы заменены цифрами, следует называть зашифрованными. Когда арабские цифры впервые появились в Европе, рьяные абацисты (счетоводы) заменяли их на счетах римскими цифрами, не желая использовать эти «дьявольские символы, которыми Сатана сбил арабов с пути истинного». Даже спустя шесть веков после смерти папы Сильвестра II, в 1003 г., церковники приказали вскрыть его могилу, чтобы проверить, нет ли там демонов, которые внушили ему интерес к науке сарацинов.

Гэрберт Орильякский , избранный папой римским под именем Сильвестра II, был папой-математиком.

* * *

Основная теорема арифметики

Простые числа называют «кирпичами» в здании математики, «атомами» математики и «генетическим кодом» чисел. Дома строятся из кирпичей, все в природе состоит из атомов, а живые организмы определяются генетическим кодом. Все эти аналогии основаны на общем понятии: первичных элементах, из которых строится вся система. Рассмотрим теперь роль простых чисел в математике.

Как мы увидели, число может быть разложено на делители, или на множители. Так, число 12 можно представить в виде 3 x 4. Напомним, что при разложении на множители имеется в виду, что число 12 производится числами 3 и 4. Но мы также знаем, что число 12 может быть получено и из других чисел, например:

12 = 2 x 6 = 3 x 4 = 2 x 2 x 3.

Итак, процесс разложения числа на множители называется факторизацией. Напомним, именно этот процесс привел нас к точному определению простого числа, при факторизации которого мы получаем только единицу и само число в качестве множителей. Например, число 13 будет разложено так:

13 = 1 х 13.

Когда один из множителей в произведении повторяется, мы используем надстрочный индекс, равный количеству повторений. Например:

2 х 2 х 2 х 2 х 2 = 25;

З х З х З х З = 34.

В математике это называют «степенью». Читается это как 25 (два в пятой степени) и З4  (три в четвертой степени).

В предыдущем примере мы представили число 12 в виде трех произведений с различными множителями: 2 и 6; 3 и 4; 2, 2 и 3. Только последнее из этих произведений содержит лишь простые множители. Рассмотрим другой пример, число 20:

20 = 2 x 10 = 2 x 2 x 5 = 4 x 5.

Только произведение 20 = 2 x 2 x 5 = 22 х 5 содержит лишь простые множители.

Перед нами встает следующий вопрос: можно ли любое наугад взятое число всегда разложить на простые множители? Другими словами, может ли оно быть представлено в виде произведения только простых чисел? Ответ на этот вопрос положителен. Более того, любое число можно разложить на простые множители единственным образом. Когда мы записываем число 20 в виде произведения простых множителей, 20 = 22 х 5, мы делаем это единственно возможным образом, учитывая, что порядок множителей не имеет существенного значения, то есть разложения 2 х 5 х 2 и 5 х 2 х 2 считаются одинаковыми. Эта теорема была сформулирована Евклидом и известна как «основная теорема арифметики». Она утверждает, что «любое натуральное число может быть представлено единственным образом в виде произведения простых множителей».

* * *

КАК НАЙТИ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Чтобы разложить число на простые множители, для начала нужно написать исходное число слева от вертикальной линии. Затем проверить, делится ли число на 2, 3, 5 и т. д., то есть на простые числа, начиная с самых маленьких. Если делится, то мы записываем результат деления слева от черты и проделываем с ним то же самое. Процесс продолжается до тех пор, пока слева не появится единица. Тогда правый столбик будет содержать простые числа, которые являются множителями в разложении исходного числа.

* * *

Так что когда мы пишем 24 = 23  х 3, мы утверждаем, что это единственный способ разложить число 24 на простые множители. Таким образом, название «основная теорема» полностью оправдано, поскольку это одна из основ арифметики. Кроме того, в этом смысле простые числа также играют важнейшую роль. Возвращаясь к вышеупомянутым сравнениям, можно сказать, что разложение 23 х 3 является формулой ДНК числа 24; это — последовательность, состоящая из генов 23  и 3, или из атомов 2 и 3, образующих элемент 24.

Следовательно, простые числа являются первичными элементами, из которых построены все числа. Слово «простой» (prime) происходит от латинского слова primus, означающего «первый» и включающего в себя оригинальное значение «первичный», или «примитивный», так как все числа могут быть порождены простыми числами. Так же как атомы образуют молекулы, простые числа образуют составные числа. Все известные химические элементы состоят из атомов, которые сочетаются друг с другом определенным образом. Русский химик Дмитрий Иванович Менделеев (1834–1907) создал периодическую систему элементов, расположив все химические элементы по группам. Однако не существует аналогичной таблицы для простых чисел, в которой они были бы сгруппированы в соответствии с неким правилом, не существует закона, который генерирует все простые числа без исключений. Простые числа появляются хаотическим образом и распределяются в ряду натуральных чисел без всякой видимой закономерности.

Простые числа: изобретение или открытие?

С появлением систем счисления одной из первых естественных задач была проверка того, является ли число четным или нечетным. Следующим шагом было разложение чисел на множители, что определило признаки деления, которые изучаются в начальной школе. Таким образом, в любой системе счета есть наборы чисел, определяемые своими свойствами, которые легко проверить. Но это не относится к простым числам. Единственное, что точно о них известно, это то, что они не могут быть четными (за исключением самого первого простого числа — 2), иначе они бы делились на два. Но и нельзя их рассматривать как что-то редко встречающееся, так как еще Евклид доказал, что множество простых чисел бесконечно. Позже мы рассмотрим элегантный способ доказательства этой идеи. Также нельзя недооценивать важность простых чисел, поскольку основная теорема арифметики определила им в математике главную роль. Поэтому, как уже говорилось, простые числа по праву стали предметом пристального изучения.

Когда мы говорим о предмете научного исследования, логично предположить, что он существует. Мы его уже обнаружили или еще нет, впоследствии мы можем его изучать или проигнорировать, но в любом случае он существует независимо от того, что мы о нем думаем. Так в определенный исторический момент бактерии стали для биологов объектом изучения. Никто не сомневается в том, что бактерии уже присутствовали в природе в качестве живых организмов задолго до появления биологов, на самом деле даже до появления вида человека. Никто из ученых не сомневается в этом. Однако в математике вопрос приобретает иную окраску. Являются ли простые числа открытием или изобретением человеческого ума? Существовали бы простые числа, если бы не было человека? Этот вопрос вызывал и продолжает вызывать много споров, что очень интересно для одних и неважно для других. Скорее всего, это один из вопросов, не имеющих ответа, и мы можем лишь высказывать свои мнения.

Но в отношении математических исследований есть действительно интересный момент: математики ведут себя как первопроходцы, вступающие в странный незнакомый мир, как будто математика на самом деле отделена от нашего мира. Это чувство неизведанного является самой сутью математических исследований и придает им поэтическую привлекательность. Немецкий физик Генрих Рудольф Герц (1857–1894) говорил: «Разве можно не испытывать такого чувства, будто математические формулы живут собственной жизнью, обладают собственным разумом? Кажется, что эти формулы умнее нас, умнее даже самого автора, что они дают нам больше, чем мы в них изначально заложили».

Философская, или, лучше сказать, эпистемологическая школа, которая считает, что идеи (в том числе математические истины) существуют независимо от нас, известна как платонизм. Это учение утверждает, что конкретные воплощения существуют до тех пор, пока находятся в присутствии абстрактной идеи.

История математики, похоже, подтверждает эту теорию неоспоримым фактом универсальности математики: различные цивилизации в разные периоды истории и в разных концах света, как правило, приходят к одним и тем же заключениям и истинам. В случае простых чисел существует интересный артефакт, который можно назвать археологическим экспонатом математики: кость Ишанго.

Существуют ли простые числа сами по себе, вне человеческого разума? Этот вопрос занимал немецкого физика Генриха Рудольфа Герца .

* * *

КОСТЬ ИШАНГО

Кость Ишанго, возможно, берцовая кость бабуина, с первого взгляда выглядит как некий инструмент. Она имеет рукоятку, за которую ее удобно держать, и заостренный кристалл кварца на конце. Она была найдена у истоков Нила, на границе между Угандой и Демократической Республикой Конго, и принадлежала первобытному племени, погребенному извержением вулкана. Этому инструменту около 20000 лет.

Кость Ишанго выставлена в бельгийском музее естественных наук в Брюсселе.

* * *

На кости имеются насечки в виде коротких прямых линий. Их детальное изучение привело к гипотезе, что эта кость не инструмент, а численная система для помощи в счете. В таком случае вполне вероятно, что кварцевый наконечник использовался для написания неких цифр. Другими словами, эта кость являлась примитивным калькулятором. Расположение насечек по столбцам предполагает операции сложения и умножения в системе счисления с основанием 12. Все числа справа — нечетные, но самое удивительное, что все числа слева являются простыми из промежутка от 10 до 20. Маловероятно, что эти знаки нанесены случайно, скорее всего, они указывают на существование некоторого серьезного метода вычислений.

Кость Ишанго в виде диаграммы, показывающей распределение насечек по трем столбцам. Кость, вероятно, использовалась для выполнения математических расчетов.

Напомним, что понятие простого числа требует абстрактного мышления, выходящего за рамки простого счета.

Вопрос о существовании математических истин независимо от человека имеет третий компромиссный ответ, который допускает возможность того, что действительно существуют математические идеи, которые могут быть открыты, но они являются «психическими понятиями», предопределенными нашим генетическим наследием. Если это так, некоторые примитивные формы этих понятий должны существовать в природе. Например, существует несколько видов животных, которые совершенно точно могут считать. Одиночные осы могут подсчитывать количество живых гусениц, которых они оставляют рядом со своими яйцами в качестве пищи для вылупившихся личинок: это всегда в точности 5, 12 или 24. У ос рода Eumenes мы встречаем еще более удивительные примеры. Оса знает, какая особь вылупится из отложенного яйца: мужская или женская. Неясно, как ей удается установить пол будущего потомства, так как норки, в которых она откладывает яйца, совершенно одинаковы. Но самое удивительное, что оса оставляет пять гусениц рядом с яйцом мужской особи и десять — рядом с яйцом женской особи. Причина такого различия в том, что женские особи вырастают до гораздо больших размеров, чем мужские.

Для иллюстрации существования в природе более сложных понятий, таких как простые числа, можно привести любопытный пример некоторых видов так называемых периодических цикад, а именно Magicicada septendecim и Magicicada tredecim.

Названия видов septendecim и tredecim означают соответственно 17- и 13-летний жизненные циклы насекомых. Оба числа являются простыми, и зоологи разработали различные теории для объяснения выбора простого числа для жизненного цикла этих насекомых.

Возьмем, к примеру, вид Magicicada septendecim. Личинка цикады живет под землей и питается соками корней деревьев. Она проводит 17 лет в таком состоянии, а затем выходит на поверхность, чтобы превратиться во взрослое насекомое. Эта стадия длится всего несколько дней, во время которых цикада размножается и после этого умирает. Теория, объясняющая такой жизненный цикл цикады, выглядит следующим образом: взрослое насекомое защищается от паразита с жизненным циклом два года.

Если бы жизненный цикл цикады был кратен 2, оба вида встречались бы каждые 2, 4, 8 лет и так далее. Однако если жизненный цикл цикады является достаточно большим простым числом, например, 17, паразит и цикада могут встретиться раз в 34 года, так как 34 — первое число, кратное 17 и 2. Если бы, к примеру, жизненный цикл паразита составлял 16 лет, они бы могли встретиться раз в 16 х 17 = 272 года.

Вполне вероятно, что со временем при исследовании поведения животных найдутся еще примеры видов, которые обладают умением считать. Нас не должна смущать простота приведенных примеров, ибо факт остается фактом: несмотря на то что математические понятия, такие как простые числа, являются творением человека, исследователи в разных областях науки могут привести примеры существования этих понятий в природе независимо от нас.

Самки некоторых одиночных ос откладывают яйца в норках, где также складывают несколько парализованных гусениц, которые будут служить пищей для личинок осы после того, как те вылупятся. Самое удивительное, что эти осы знают, из каких яиц вылупятся мужские особи, а из каких женские, и оставляют для них определенное количество гусениц.

Решето Эратосфена

Поиск простых чисел всегда был сложной задачей. Один из первых известных методов приписывают Эратосфену из Кирены (273–194 до н. э.) , древнегреческому математику, астроному и географу, который также заведовал Александрийской библиотекой. Метод получил название решета Эратосфена. Давайте посмотрим, как с помощью этого метода можно найти простые числа в первой сотне натуральных чисел.

Во-первых, составим таблицу со всеми натуральными числами от 1 до 100. Затем вычеркнем все числа, кратные двум: 4, 6, 8, 10 потом вычеркнем все числа, кратные трем: 6 (уже вычеркнули), 9, 12, 15. Затем проделаем то же самое для чисел, кратных пяти и семи.

Остались только простые числа.

Обратите внимание, что «просеивание» закончилось на числе 10, квадратном корне из 100. В общем случае, чтобы найти все простые числа, меньшие, чем заданное число N, нужно «просеять» все числа, которые меньше или равны квадратному корню из N. Это и дает метод нахождения простых чисел, который используется и сегодня, спустя более чем 2000 лет после изобретения, для поиска «малых простых чисел»: так называются простые числа, которые меньше 10 млрд.

* * *

РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ

Имя Эратосфена связано с методом нахождения простых чисел. Однако этот метод вовсе не является его самым важным достижением. На самом деле Эратосфен вошел в историю науки как первый человек, вычисливший размер Земли. Используя методы, доступные в III в. до н. э., он смог посчитать длину полярной окружности с погрешностью менее одного процента.

Карта мира, каким он был известен Эратосфену . Греческий ученый был первым, кто разделил изображение мира на равные части, проведя параллели, хотя его меридианы были расположены неравномерно.

* * *

Сколько существует простых чисел?

Если мы хотим изучать природу простых чисел, чтобы найти соотношения, связывающее их, или правила, позволяющие предсказать, когда появится следующее простое число, то в первую очередь нам необходимо иметь довольно большой набор простых чисел. В приведенном ниже списке, полученном с помощью решета Эратосфена, можно видеть простые числа из первой тысячи натуральных чисел.

С первого взгляда видно, что простые числа совершенно непредсказуемы. Например, между 1 и 100 простых чисел больше, чем между 101 и 200. Всего в первой тысяче 168 простых чисел. Можно предположить, что если продолжить нашу таблицу, то с каждой тысячей количество простых чисел будет увеличиваться. Но это не так. Уже известно, что, например, среди тысячи чисел между 10100 и 10100 + 1000 находится лишь два простых числа. И эти числа состоят более чем из ста цифр!

Казалось бы, чтобы найти закономерность, надо составить таблицу, которая содержит все простые числа. Все? А что, если их очень много? Хотя, имея в распоряжении современные методы, можно проделать с числами всевозможные тесты, позволяющие найти закономерности. Ведь понятно, что в случае конечных множеств, даже очень больших, закономерность может быть найдена или, по крайней мере, можно придумать правило, которое для данного множества будет работать. Однако ситуация радикально меняется, если мы имеем дело с бесконечными множествами, поэтому мы должны сначала выяснить, является ли множество простых чисел бесконечным. Эта задача также была решена Евклидом. Его метод так остроумен, элегантен и прост, что стоит рассмотреть его подробнее.

Возьмем ряд последовательных простых чисел, например: 2, 3, 5.

Затем перемножим их:

2 х 3 х 5 = 30.

Теперь добавим к результату единицу:

2 х 3 х 5 + 1 = 30 + 1 = 31.

Ясно, что если разделить 31 на любое простое число из этого ряда — 2, 3, 5, — то в остатке получится 1:

31/2 = 15 + 1

31/3 = 10 + 1

31/5 = 6 + 1.

Это означает, что число 31 не делится на наши числа. Это справедливо и в общем случае: если взять ряд последовательных простых чисел, перемножить их и добавить единицу, то полученное число не будет делиться ни на одно из исходных простых чисел. Этот простой факт и лежит в основе доказательства Евклида.

Число 31 тоже простое число, но его нет в первоначальном списке, который, следовательно, является неполным. Возьмем следующий ряд чисел в качестве примера:

{2, 3, 5, 7, 11, 13}.

Перемножим их и добавим единицу:

2 х 3 х 5 х 7 х 11 х 13 + 1 = 30 030 + 1 = 30 031.

Результат не является простым числом, так как может быть разложен в произведение двух других чисел:

30 031 = 59 х 509.

Евклид уже доказал, что любое натуральное число может быть единственным образом разложено в произведение простых множителей. В случае с числом 30 031, которое является составным числом, ясно, что для его разложения в произведение простых множителей чисел в списке {2, 3, 5, 7, 11, 13} будет недостаточно, то есть этот список неполон.

Мы пришли к следующему выводу: каким бы ни был первоначальный ряд простых чисел, при их перемножении и добавлении единицы получается новое число одного из двух типов:

1) простое число, которого нет в списке;

2) составное число, при разложении которого на простые множители получаются простые числа, не входящие в список.

Таким образом, первоначальный ряд простых чисел всегда является неполным, если он не является бесконечно длинным.

К сожалению, этот метод не позволяет найти все простые числа, хотя он является важной отправной точкой, так как указывает на масштаб проблемы и позволяет разрабатывать различные стратегии для ее решения. Можно было бы подумать, что не так уж важно доказывать, что множество простых чисел бесконечно, ибо это подсказывает нам интуиция. Однако с простыми числами нужно быть очень осторожными, ведь они настолько «редко» встречаются, как будто могут закончиться в любой момент. Тем не менее, теорема Евклида убедительно доказывает, что этого не произойдет.

 

Глава 2

Простые числа: ускользающие правила

Как мы уже говорили, простые числа представляют из себя одну из важных тем, которые возвращают нас к самым истокам математики, а затем по пути возрастающей сложности приводят на передний край современной науки. Таким образом, было бы очень полезно проследить увлекательную и сложную историю теории простых чисел: как именно она развивалась, как именно были собраны факты и истины, которые в настоящее время считаются общепринятыми. В этой главе мы увидим, как целые поколения математиков тщательно изучали натуральные числа в поисках правила, предсказывающего появление простых чисел, — правила, которое в процессе поиска становилось все более и более ускользающим. Мы также подробно рассмотрим исторический контекст: в каких условиях математики работали и в какой степени в их работе применялись мистические и полурелигиозные практики, которые совсем не похожи на научные методы, используемые в наше время. Тем не менее медленно и с трудом, но была подготовлена почва для новых воззрений, вдохновлявших Ферма и Эйлера в XVII и XVIII вв. Эти теории мы подробно рассмотрим в следующей главе.

Гении по наследству

Как и в истории математики в целом, с великими открытиями в теории простых чисел связаны имена нескольких человек. Но эти математики не смогли бы достичь таких результатов без богатого наследия, оставленного предшествующими учеными: гении не появляются из ниоткуда. Поэтому мы не должны игнорировать ту систему воззрений, на которой это наследие было построено, а также культурные традиции, которые помогли добиться таких научных результатов.

В 1930 гг. специализированные книжные магазины начали продавать учебники математики ранее неизвестного автора Николя Бурбаки. Эти книги сразу завоевали определенный успех в математическом сообществе. Среди прочего они содержали первое хорошее изложение теории математического анализа.

Однако их цель заключалась не только в обеспечении рынка новыми учебниками, но и в объединении отдельных областей математики, например, алгебры и анализа, где царил хаос из-за огромного количества новых результатов, полученных за последние годы. Но многие были удивлены, узнав, что математика Николя Бурбаки никогда не существовало и что этот псевдоним выбрала для себя небольшая группа математиков, в числе которых были Анри Картан (1904–2008) и Андре Вейль (1906–1998) , решившие из благих побуждений реконструировать математику.

Труды группы Бурбаки хорошо документированы, потому что этот математический коллектив существовал совсем недавно. Но то же самое нельзя сказать о других школах древности, таких как школы Пифагора и Евклида: их работы сегодня приписываются одному человеку. Правда, многие полагают столь же вероятным, что эти труды были результатом сотрудничества нескольких человек.

* * *

ГЕНЕРАЛ-МАТЕМАТИК

Откуда взялся псевдоним «Бурбаки»? По версии одного из самых выдающихся членов группы, Андре Вейля, в его студенческие годы произошел такой забавный случай. Как-то раз Картан и Вейль посетили лекцию, которую читал странного вида математик с непроизносимым скандинавским именем и с неопределенным акцентом. Он рассказал об удивительной и невероятной теореме Бурбаки, автором которой был французский генерал Шарль Дени Бурбаки (1816–1897) , знаменитый герой франко-прусской войны. Лекция оказалась шуткой другого студента, Рауля Хасона, но Картана и Вейля вдохновило имя генерала: греческое происхождение имени делало его идеальным псевдонимом, под которым можно было опубликовать «евклидову реконструкцию» математики. Так Бурбаки и стал великим математиком.

Генерал  Дени Бурбаки , вдохновлявший патриотов и математиков.

* * *

Информационные центры

Замечательный факт состоит в том, что достижения в области научного знания, как в целом, так и в математике, никогда не зависят лишь от одного человека. Это правда, что некоторые люди совершают великие открытия, но они сами являются продуктом математического сообщества. Для нового открытия также необходимо, чтобы существовали журналы, читались лекции, проводились конференции, на которых может быть получена новая информация и установлены связи между учеными. В настоящее время, конечно, обмен информацией достиг беспрецедентного пика эффективности. Благодаря общению через интернет научное открытие оказывается в пределах досягаемости каждого, кто только пожелает получить к нему доступ. Однако потребность в сохранении информации (чтобы ею могли воспользоваться другие) существовала во все времена: это одна из культурных связей, объединяющих общество. В этом смысле простые числа являются необычным предметом исследования. Еще на заре истории они привлекали внимание исследователей и продолжают это делать до сих пор. Проследив историю этих исследований, мы не только получим информацию об их математической природе, но и сможем развивать такие точки соприкосновения, которые с использованием современной терминологии можно было бы назвать «информационными центрами». Александрийская библиотека является классическим примером одного из них.

Александрия

Птолемей I, известный также как Сотер («Спаситель»), был первым правителем Александрии. Привлекая лучших архитекторов мира, город превратился в архитектурное чудо. Длинная дамба соединила город с островом Фарос, на котором был построен маяк, указывающий путь средиземноморским морякам в течение тысяч лет. Затем была создана библиотека, слава которой сохраняется на протяжении всей истории человечества. Маяк и библиотека сделали Александрию одним из самых важных информационных центров древнего мира; этой цели Птолемей хотел добиться любой ценой. Его первым шагом было возвращение из ссылки тирана Деметрия, которого Кассандр, один из трех наследников Александра Великого, назначил правителем Афин. Именно Деметрий поддерживал работу лицея, основанного Аристотелем. Несмотря на политическую деятельность, истинным призванием Деметрия была наука, и поэтому он был рад получить приглашение Птолемея основать библиотеку в Александрии, в которой были бы собраны и систематизированы все знания цивилизованного мира.

Гавань Александрии состояла из небольших островов, защищенных дамбами, с единственным выходом к морю через большой канал, по которому могли входить и выходить корабли. Это надежно защищало гавань от атак с моря. Одним из самых важных районов был Брухеион, расположенный прямо в центре города, где находились наиболее важные общественные здания, в том числе музей, посвященный музам музыки и науки, то есть мелодиям, ритмам и цифрам. Когда Деметрий узнал, что этот центр знаний находится под покровительством одного из самых могущественных правителей в мире, он, не колеблясь, согласился стать его директором.

Первым делом он попросил у Афин рукописи наиболее выдающихся мыслителей и писателей Древней Эллады. Он приказал скопировать рукописи, вернул Афинам копии и оставил на хранение оригиналы вместе с текстами, которые Птолемей захватил в качестве трофеев во время военных кампаний.

Такой метод пополнения библиотеки оказался весьма эффективным, хотя и довольно неортодоксальным: все оригинальные документы, с которыми суда входили в гавань Александрии, реквизировались, копировались, оригиналы помещались в библиотеку, а копии возвращались владельцам. Именно так возникла так называемая «корабельная библиотека». Но вскоре богатые купцы Средиземноморья узнали об этой хитрости и отказались привозить рукописи. Тогда Деметрий сделал торговцам такое предложение: если они хотят торговать на рынках в порту Александрии, они должны привозить из своих городов рукописи в качестве пропуска в порт Александрии. Не имело значения, какие вопросы рассматривались в этих документах: техника, философия, искусство, математика или музыка, лишь бы они способствовали накоплению знаний. Идея заключалась в том, что с текстов будут сняты копии: оригиналы останутся в библиотеке, а копии будут возвращены торговцам. Эти копии возвращались владельцам в оригинальных переплетах, так что большинство торговцев даже не замечали разницы, а если и замечали, многих из них это не слишком беспокоило. Известно, что в то время Александрия содержала крупнейший в мире штат переписчиков книг.

Но Александрия была не только центром хранения информации: город стал местом, где информация обрабатывалась. Александрия быстро привлекла многих специалистов по всем дисциплинам, которые давали лекции и делились знаниями с другими учеными. Для этих целей строились учебные комнаты, жилье, галереи и парки.

Логично предположить, что появились научные школы, в том числе школа Евклида, которая, как и группа Бурбаки два тысячелетия спустя, собирала математические знания того времени и превратилась в учение, или, другими словами, в систему математических понятий и методов, достижения которой актуальны и сегодня.

Заметим, что две тысячи лет спустя в современной средней школе преподается та же геометрия, которая родилась в классных комнатах и садах древней Александрии.

Александрия была самым важным информационным центром древнего мира. На рисунке сверху: гравюра, изображающая ученых во время работы в знаменитой библиотеке. Внизу: римские монеты с изображением маяка на острове Фарос, еще одного чуда Александрии.

Большие пробелы

Одной из первых особенностей простых чисел, которая привлекла внимание древних математиков, было отсутствие правила, с помощью которого можно было бы предсказать их появление в последовательности натуральных чисел. Более того, даже их непоявление так же непредсказуемо. Они могут располагаться достаточно близко друг к другу или, наоборот, очень далеко друг от друга. Например, если взглянуть на простые числа из первой сотни натуральных чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,

становится понятно, что первые восемь простых чисел находятся в первых двух десятках, и ни одно не встречается между 89 и 97.

Ряд простых чисел второй сотни, между 100 и 200:

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

имеет большие пробелы: например, девять составных (не простых) чисел между 182 И 190.

Поэтому возникает вопрос: как такое возможно, что существуют очень большие пробелы, например, 50 000 идущих подряд чисел, среди которых нет ни одного простого числа?

Множество простых чисел достаточно большое, чтобы в нем могли встретиться сколь угодно длинные последовательности чисел, не содержащие ни одного простого числа. Этот вывод не просто гипотеза, его можно легко доказать.

Рассмотрим произведение первых четырех натуральных чисел:

1 х 2 х 3 х 4.

Мы можем быть уверены, что число 1 х 2 х З х 4 + 2 не является простым, так как оно делится на 2. Это можно сразу проверить: 1 х 2 х З х 4 + 2 = 26, и при делении на 2 мы получаем 13.

Но нам не нужно выполнять все вычисления, чтобы проверить делимость на два, так как оба слагаемых содержат множитель 2.

По той же причине очевидно, что число 1 х 2 х З х 4 + 3 = 27 не является простым, так как делится на 3; число 1 х 2 х З х 4 + 4 = 28 не является простым, так как делится на 4.

Таким образом, мы получили три последовательных числа, 26, 27 и 28, которые не являются простыми числами. Чтобы получить четыре последовательных составных числа, надо выполнить следующие действия:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 2 = 122

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 3 = 123

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 4 = 124

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 5 = 125

Для краткой записи произведения последовательных чисел используется восклицательный знак:

1 x 2 x 3 x 4 = 4!

1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 5!

В математике такое выражение называется «факториал». Например, факториал числа 6 равен

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.

Выражения для четырех последовательных составных чисел удобнее записать следующим образом:

5! + 2

5! + 3

5! + 4

5! + 5

Таким образом можно составить любой ряд последовательных чисел, не содержащий простых чисел. Например, если мы хотим получить сто последовательных составных чисел, достаточно написать:

101! + 2,

101! + 3,

101! + 4,

и так далее до 101! + 101.

Это означает, что в ряду натуральных чисел существуют промежутки любой длины, в которых нет простых чисел. Таким же образом мы могли бы построить ряд из пяти триллионов последовательных чисел, в котором простое число не появится.

Получается, что простые числа встречаются все реже по мере продвижения по ряду натуральных чисел, и, следовательно, при приближении к бесконечности наступит момент, когда простые числа больше не появятся.

Конечно, этот вывод неверен, так как мы знаем, что по теореме Евклида множество простых чисел бесконечно, и что каким бы длинным ни был ряд составных чисел, в конце концов появится простое число.

* * *

С ПОМОЩЬЮ КАЛЬКУЛЯТОРА

Хорошо бы использовать мощность компьютеров и написать программу, которая находила бы длинные ряды чисел, не содержащие простых чисел. В самом деле, алгоритм довольно прост, но нужно иметь в виду, что, работая с выражениями, содержащими факториалы, можно довольно быстро исчерпать память калькулятора. Факториалы будут расти с головокружительной быстротой. Это можно проверить на любом карманном калькуляторе, используя клавишу факториала (символ«!»). Посчитаем факториалы первых десяти чисел:

1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120; 6! = 720; 7! = 5040; 8! = 40320; 9! = 362880; 10! =3628800.

Большинство калькуляторов не смогут посчитать факториалы чисел, которые больше 70.

* * *

Чувство ритма

Во время концерта иногда возникает момент, когда публика оживляется и начинает аплодировать в такт музыке. Однако через некоторое время синхронность между ритмом хлопков аудитории и ритмом игры музыкантов нарушается. В случае простых ритмов синхронность может сохраняться довольно долго, но для более сложных ритмов это практически невозможно. Воспользуемся этой аналогией в отношении попыток математиков навязать чувство ритма простым числам, например, «один, два, три… вперед!» Но это не работает: простые числа не встречаются через каждые три составных числа. Попробуем по-другому: «один, два, три, двадцать, сто… вперед!» И это не работает. Мы могли бы повторять подобные попытки до бесконечности. Даже сегодня мы не знаем, подчиняются простые числа некоему чертовски сложному ритму или у них совсем нет чувства ритма.

Как найти закономерность в последовательности чисел? Для этого существует много способов. Важно, чтобы эта закономерность предсказывала появление следующего числа в последовательности. Например, для последовательности

2, 4, 6, 8, …

очевидно, следующее число будет 10.

В случае последовательности

1, 3, 5, 7, …

также легко предсказать, что следующее число — 9. Первый пример представляет собой последовательность четных чисел, а второй — нечетных. Еще один пример:

2, 3, 5, 9, 17….

Здесь каждое число получается умножением предыдущего на 2 и вычитанием из результата единицы.

Выражаясь языком математики, закономерность точно определена, если имеется «общий член» — выражение, позволяющее получить значение каждого члена последовательности, просто подставив значение индекса n. Например, для последовательности четных чисел формула общего члена выглядит так:

а n = 2n.

Если n = 1, то а 1 = 2 х 1 = 2.

Если n = 2, то а2   = 2 х 2 = 4.

Если n = 3, то а 3 = 2 х 3 = 6.

В случае последовательности нечетных чисел мы имеем следующую формулу общего члена:

а n = 2n + 1.

Эту формулу можно использовать для нахождения значения любого члена. Например, чтобы найти значение члена, занимающего двадцать седьмую позицию в последовательности, мы подставим n = 27 в формулу общего члена:

а 27 = 2 х 27 + 1 = 55.

Нахождение формулы общего члена эквивалентно нахождению закономерности в данной последовательности. Возникает вопрос: поскольку мы можем найти любой член последовательности по формуле общего члена, можем ли мы найти эту формулу, имея достаточное количество членов последовательности? Для многих последовательностей ответ на этот вопрос часто является довольно сложной задачей.

Например, предсказать следующий член в последовательности

не так уж легко. И действительно, формула общего члена в данном случае выглядит так:

Чтобы найти первые три члена, подставим соответствующие значения n:

На протяжении многих веков это являлось одной из главных задач математиков в изучении простых чисел, но попытки найти закономерности и правила всегда заканчивались неудачей и разочарованием. Может, этот хаотический набор чисел действительно регулируется случайностью? Но математики, по-видимому, умеют ценить неудачи: пусть их усилия не достигают цели; даже в этом случае, возможно, будут найдены новые пути, разработаны другие математические методы или открыты новые понятия. Часто кажется, что поставленная цель была лишь предлогом для работы над новой задачей. Поэтому простые числа были и продолжают оставаться одним из самых богатых источников парадоксов и гипотез.

Простые числа-близнецы

Хотя общий закон для простых чисел нельзя установить, можно по крайней мере, изучать поведение некоторых простых чисел, имеющих особые свойства. Представьте себе, будто мы стоим у двери, через которую постоянно проходят группы людей. Мы знаем, что некоторые из них мужчины, а другие — женщины, но мы не можем найти правило, которое предсказывает, кто следующий появится в дверях.

И вот однажды мы замечаем некоторую особенность: оказывается, мужчины появляются в шляпах, а женщины в очках, с детьми и с зонтиками. Тогда мы пытаемся найти правило для каждой из таких групп: например, что мужчины в шляпах появляются в сто раз чаще, чем женщины, или что за каждым мужчиной обязательно следует женщина. Это позволяет нам найти некую закономерность. И может показаться, что такое правило действительно работает, пока мы не проверим его на трех миллионах человек. Тогда мы воскликнем: «О, почти!» И сформулируем результаты нашего исследования словами, которые часто использовались в истории простых чисел: «Похоже на то, что почти всегда…»

* * *

ОДИНОЧЕСТВО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Между двумя соседними простыми числами могут находиться миллионы и миллионы составных чисел или всего лишь одно, ведь это самое короткое расстояние между простыми числами, так как, за исключением чисел 2 и 3, простые числа никогда не следуют друг за другом. Этот факт был использован в виде метафоры в названии книги Паоло Джордано «Одиночество простых чисел». В одной из глав романа эта метафора описана более подробно: «В университете на одной из лекций Маттиа узнал, что среди простых чисел есть особенные. Математики называют их парными, или числами-близнецами. Это пары простых чисел, которые стоят рядом, то есть почти рядом, потому что между ними всегда оказывается другое число, которое мешает им по-настоящему соприкоснуться. Это, например, числа 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43. Маттиа думал, что они с Аличе — вот такие простые числа-близнецы, одинокие и потерянные, вместе, но недостаточно близкие, чтобы по-настоящему соприкоснуться друг с другом».

* * *

Действительно, некоторые группы простых чисел удалось описать (в общей сложности несколько десятков), и это позволило добиться определенного прогресса.

Мы остановимся на некоторых необычных парах простых чисел, имеющих свойства, которые помогут нам лучше представить математические трудности, связанные с этим непредсказуемым множеством.

Два простых числа не могут идти друг за другом, так как каждое простое число является нечетным. Следовательно, между двумя из них должно быть четное число, которое не является простым. Таким образом, два простых числа всегда разделены по крайней мере одним числом. Исключение составляют числа 2 и 3, так как 2 является единственным четным простым числом.

В первой сотне натуральных чисел мы можем найти следующие пары чисел, отличающихся на две единицы:

(3, 3), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (39, 61) и (71, 73).

Такие простые числа называются «числами-близнецами» или просто «парными».

Парные числа могут быть описаны выражением (р, р + 2), где р — простое число. Ниже мы приводим список всех парных чисел из первой тысячи:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29,31),

(41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109),

(137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199),

(227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313),

(347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523),

(369, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661),

(809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

Мы знаем, что простые числа-близнецы по мере увеличения встречаются в ряду натуральных чисел все реже. Однако компьютерные вычисления показывают, что парные числа продолжают встречаться даже среди необыкновенно больших чисел.

А так как существует бесконечное количество простых чисел, можно выдвинуть гипотезу о существовании бесконечного множества чисел-близнецов, но это еще никому не удалось доказать.

Еще одна замечательная группа простых чисел, которая встречается в первой сотне натурального ряда, содержит три числа: 3, 5 и 7. Они могут быть записаны как (р, р + 2, р + 4), где р — простое число. Эта группа простых чисел состоит из так называемых «троек». На самом деле нет никакой необходимости давать им специальное название, так как существует только одна такая тройка. Это доказанный результат. К счастью, этот вопрос решен, в противном случае эта группа могла бы породить еще несколько недоказанных гипотез.

Самыми большими известными числами-близнецами (открытыми в 2009 г.) являются числа 65 516 468 355 х 2333333—1 и 65 516 468 355 х 2333333 + 1, каждое из которых состоит из 100 355 цифр!

* * *

БЕСКОНЕЧНЫЕ РАЗДЕЛЕНИЯ

Парные числа породили целый ряд гипотез в дополнение к той, согласно которой их множество бесконечно. Одна из них носит общий характер и была сформулирована в 1849 г. французским математиком Альфонсом де Полиньяком (1817–1890) . Он предположил, что для любого числа С найдется бесконечное количество пар простых чисел, разделенных 2С составными числами.

Например, существует бесконечное множество простых чисел, разделенных четырьмя составными числами, шестью составными числами, восемью составными числами и так далее. При С = 1 эта гипотеза является гипотезой о бесконечном количестве чисел-близнецов.

* * *

Магия и математика

Мы уже говорили о той важной роли, которую информационные центры играют на протяжении всей истории науки. Сейчас мы остановимся еще на одном аспекте, который имел особое значение для истории математики, особенно для теории чисел: на связи магии и математики. Под магией мы подразумеваем историческую математическую традицию, называемую арифмологией или (чаще) нумерологией.

Связь между математикой и нумерологией аналогична связи между астрономией и астрологией или между химией и алхимией. В настоящее время эти пары практически не пересекаются, но на протяжении веков эти связи были достаточно прочны и не могут быть проигнорированы, если мы хотим понять, как развивалась каждая область в разные исторические периоды.

Числа, и в особенности простые числа, всегда были предметом не только математических, но и философских исследований, и даже элементами религиозных культов.

Являясь частью таких систем, они использовались по-разному. Они встречаются в Библии, в магических квадратах, в магических суммах и особенно в философии пифагорейской школы, для которой геометрические фигуры и цифры были основой всего сущего.

Поэтому имена таких известных математиков, как Мерсенн и Ферма, окружены тайнами и легендами. Владея самыми простыми математическими методами, они добились впечатляющих результатов, прославивших их на века. Французский математик и историк Аибри писал: «Ферма знал то, чего не знаем мы, и, чтобы повторить его результаты, нам требуются более совершенные методы, чем известные в его время». Кстати, в отличие от многих математиков того времени, Ферма не пытался скрывать свои знания, хотя и оставлял в тайне методы, с помощью которых он эти результаты получал.

В истории математики были такие периоды, когда математическая строгость, по сути родившаяся в XVIII в., не имела того значения, которое мы уделяем ей сегодня. В те времена математика была набором инструментов для практических целей, а не теоретической наукой. Таким образом, традиционный подход, проникнутый мистическим символизмом, не препятствовал развитию науки, а наоборот, давал простор воображению.

Таким образом, представление о математике может быть неверным из-за ошибочных представлений о том, как великие математики делали свое дело. Незнание того, как именно работают математики, ведет не только к непониманию природы математических исследований, но и в некоторой степени является причиной непопулярности этой науки. Конечный результат исследований, который обычно принимает форму теоремы, выглядит в переработанном и отшлифованном виде так, что почти всегда оказывается слишком непонятным для людей, не имеющих соответствующей подготовки.

Постороннему человеку трудно увидеть красоту в математических формулировках, которые содержат много технических деталей и чистой логики. Однако сам исследователь шел не по такому ясному и логичному пути, а долго блуждал в кромешной тьме в дремучем лесу чисел в поисках едва различимых тропинок.

* * *

КНИГА ЧИСЕЛ

«Числа» — это четвертая книга Библии и одна из частей Торы, содержащей Пятикнижие Моисея.

На первый взгляд, «Числа» является книгой счетов и, следовательно, представляет несомненную историческую ценность, так как в ней тщательно перечисляются все количества, от вождей племен до голов крупного рогатого скота, то есть книга служит историческим фоном для событий, описанных в других святых книгах. Однако «Числа» — это еще и книга секретных кодов для тех посвященных, кто может их расшифровать, потому что эти числа не только представляют собой количества, но и имеют особый смысл. Например, число 1 символизирует Бога, 2 — человека, 3 — совокупность вещей и так далее. Интересно, что число 5 представляет собой неопределенное количество, «несколько». Например, во время Нагорной проповеди при умножении хлебов Иисус взял пять хлебов, то есть «несколько хлебов». Особенность заключается в том, что число 5 является первым количеством, которое мы не можем определить с одного взгляда. Известно, что если группа содержит меньше пяти объектов, мы определяем их количество, фактически не считая их, а большие количества мы мысленно делим на группы по четыре предмета или меньше и затем складываем результаты.

Тора известна христианам как Пятикнижие и составляет первые пять книг Ветхого Завета.

* * *

Тот факт, что математика исследует самые тайные интеллектуальные ландшафты, беспокоил некоторых хранителей морали. Например, вот что говорил святой Августин: «Добрый христианин должен остерегаться математиков и всех прочих пустых предсказателей. Существует опасность того, что математики заключили договор с дьяволом, чтобы помрачить дух человеческий и увлечь его в ад».

В дополнение к тому, что мы называли информационными центрами и магическими аспектами чисел, есть еще один момент, на который следует обратить внимание при изучении истории теории простых чисел. Это исключительный дар в обращении с числами, которым обладают некоторые люди, — способность, в большинстве случаев сочетающаяся с исключительным даром слова. Многие известные математики, имена которых связаны с теорией простых чисел, также имели необычайные способности к языкам. Само по себе это не удивительно, ведь, как мы говорили в начале книги, цифры и слова связаны между собой как наиболее абстрактные понятия, используемые человеком. В ранние периоды, когда устройств, помогающих в вычислениях, практически не существовало, способность считать в уме являлась существенным преимуществом. Эта способность выходит далеко за рамки простых численных вычислений, ибо такое умение более подходит шоумену, чем математику.

Великие математики, такие как Ферма, Мерсенн, Эйлер и Рамануджан, обладали чудесным даром «видеть» мир чисел. Эта способность позволила им открыть такие связи, которые только они могли заметить. Но доказательство этих соотношений часто оставалось за пределами их возможностей, а иногда за пределами их интересов.

* * *

ЛЮДИ-КАЛЬКУЛЯТОРЫ

Люди-калькуляторы появились в XIX в. Для развлечения толпы они выполняли на сцене арифметические вычисления в уме. Вскоре они стали модными и выступали в европейских и американских театрах, привлекая зрителей своими удивительными способностями. Зера Колберн, один из первых профессиональных калькуляторов, история которого достоверно известна, родился в Каботе, штат Вермонт (США), в 1804 г. Однажды его попросили умножить 21734 на 543. Почти сразу же он дал ответ: 11801562. Когда кто-то из зала спросил его, как он это сделал, он ответил: «Я увидел, что 543 в три раза больше 181. Сначала я умножил 21734 на три, а затем умножил результат на 181». (Обычно ему требовалось всего несколько секунд для умножения пятизначных чисел.) Это произошло в 1812 г., когда Колберну было всего восемь лет.

 

Глава 3

Новые парадигмы

В середине XVII в. происходил подъем многих областей науки, которая в то время вышла за пределы традиционных учебных заведений. Тогда уже существовали многие европейские университеты, являвшиеся центрами развития научных знаний, но они не спешили переходить к новым способам познания. Это было серьезной проблемой для тех, кто желал заниматься научными исследованиями вне академических структур, потому что только сотрудники учебных заведений могли получать зарплату за свою работу. Наступил период меценатства, когда богатые дворяне и помещики гордились тем, что поддерживают великих мыслителей. Таким образом их имена оказывались связанными с новыми идеями и открытиями.

Большинство биографов того времени упоминали не только имена великих ученых, но и их покровителей. Однако временами возникали проблемы с общением ученых между собой.

Тогда появились специализированные учреждения для обеспечения научных коммуникаций. Одним из них являлась Французская академия наук, основанная в 1666 г. Людовиком XIV по предложению Жан-Батиста Кольбера, возникшая в монашеской келье парижского монастыря. В этой келье жил отец Мерсенн.

Марен Мерсенн

Мерсенн родился 8 сентября 1588 г. в Уазе (в наши дни это департамент Сарта). О первых годах его жизни известно немного. Мы знаем, что в 1604 г. он поступил в иезуитский коллеж в Ла-Флеш (основанный в 1603 г. Генрихом IV), где учился в течение года. Там он близко сошелся с другим учеником коллежа, Рене Декартом, дружбу с которым пронес через всю жизнь.

В 1609 г. Мерсенн начал изучать теологию в Сорбонне, а через два года, окончив университет, присоединился к францисканскому ордену «минимов».

В 1612 г. он был рукоположен в священники монастыря Благовещения в Париже. С 1614 по 1618 гг. преподавал философию в Неверском монастыре. Затем Мерсенн вернулся в свою келью, где оставался до самой смерти 1 сентября 1648 г. Желая служить науке до конца, Мерсенн написал в завещании, чтобы его тело передали на медицинский факультет для анатомических исследований.

Первые работы Мерсенна носят чисто богословский характер и включают следующие сочинения: «Рассуждения на Книгу Бытия» (1623), «Истина науки против скептиков и пирроников» (1625), «Теологические, физические, моральные и математические вопросы» (1634). Один из его научных трудов, «Всеобщая гармония» (1636), содержит формулу, связывающую длину струны и высоту звука, который она издает при колебании.

Эта формула позволила ему создать музыкальный строй, где каждая октава делится на математически равные интервалы. Тем самым ученый уничтожил пифагорову комму (разницу между суммами квинт и октав в пифагоровом строе) и заложил основы величайшей революции в истории музыки — хроматического, или равномерно темперированного, строя.

Марен Мерсенн (1588–1648).

* * *

МОНАШЕСКИЙ ОРДЕН «МИНИМОВ»

Само название ордена говорит о том, что его члены обязаны придерживаться строгих аскетических практик. Целью ордена было избегать любых доктрин, которые провозглашают излишне строгие убеждения и правила поведения. И действительно, единственное, что члены ордена категорически не принимали, был атеизм. По сути, они посвящали себя молитве, науке и преподаванию и следили за тем, чтобы их религиозные убеждения не мешали их научной и педагогической деятельности. Доказательством этого является горячая поддержка Мерсенном идей Галилея.

* * *

Числа Мерсенна

Величайшей чисто математической работой Мерсенна является трактат «Физико-математические размышления» (1644), в котором появляются знаменитые простые числа, названные его именем. Во введении Мерсенн пишет, что для ряда простых чисел от 2 до 257 число 2Р — 1 тоже является простым, если р имеет одно из следующих значений:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Если число 2 возвести в степень, равную последнему числу из этого списка, то получится число, состоящее из 77 цифр. До сих пор остается загадкой, как Мерсенну удалось доказать, что полученное число является простым, имея в своем распоряжении лишь методы вычислений того времени.

Легко показать, что если 2Р — 1 является простым числом, то и р должно быть простым (или, что то же самое, если р не является простым, то и 2Р  — 1 не будет простым). Этот результат, который уже был известен в то время, привел Мерсенна к вопросу: что произойдет, если число р, которое уже является простым, подставить в это выражение? В то время было также известно, что 2Р — 1 является простым числом для значений р = 2, 3, 5, 7, 13, 17 и 19, но не для р = 11.

Прошло 100 лет, прежде чем Эйлеру удалось доказать, что 231 — 1 является простым числом. В 1947 г. был наконец получен полный список: который показывает, что изначальный список Мерсенна содержал два неправильных числа, и в нем не хватало еще трех. Тем не менее эти числа продолжают называть «числами Мерсенна», и в настоящее время они играют важную роль в так называемых «тестах простоты» — алгоритмах, определяющих, является ли число простым.

р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127,

Мерсенн изучал колебания струн и создал музыкальный строй, где октава делится на равные интервалы.

* * *

ЦЕНТР НАУЧНОЙ МЫСЛИ

Маленькая келья, в которой Мерсенн провел последние 30 лет жизни в монастыре «минимов» рядом с Пале-Рояль, стала средоточием европейской науки. Считалось даже, что сообщить Мерсенну о своем открытии было равносильно распространению публикации по всей Европе.

После его смерти в келье были обнаружены документы, подтверждающие, что Мерсенн поддерживал исследования и вел переписку с 78 респондентами, среди которых были такие известные ученые, как Торричелли, Декарт, Паскаль, Гассенди, Роберваль, Богран и Ферма.

* * *

Пьер де Ферма

Ферма (1601–1665) стал настоящей легендой в мире математики. Его открытия, особенно в области теории чисел, основателем которой он считается, снискали ему славу «князя математиков-любителей». Кроме того, он в совершенстве владел классическими языками, латинским и греческим, и большинством европейских языков, на которых говорили в то время.

Ферма был богат и знатен, что позволило ему в полной мере предаваться своей страсти к числам. Он родился в богатой семье, и его юридическое образование позволило ему получить должность представителя местных властей в Тулузе. Одним из требований к кандидату на этот пост был отказ от всех видов социальной деятельности, с тем чтобы избежать любых подозрений в коррупции. Ферма женился на Луизе де Лонг, дальней родственнице матери, и у них было трое детей. Старший, Клеман-Самуэль, позже издал работы отца, а две дочери Ферма стали монахинями.

Ферма почти никогда не путешествовал, только один раз он был в Париже, где по рекомендации влиятельного французского математика Пьера де Каркави (1600–1684) встретился в монастыре с отцом Мерсенном.

Некоторые люди любят выращивать цветы и тратят много времени на выведение новых сортов из семян, привезенных из дальних стран, или на создание гибридов, которые иногда приносят приятные сюрпризы. Ферма выводил новые сорта чисел.

Однажды утром он словно по мановению волшебной палочки мог открыть новый вид чисел, что для обычных людей казалось магией. В отличие от других математиков, которые скрывали результаты своей работы, Ферма делился ими со всеми, хотя почти никогда не объяснял, как он их получил. Утверждение, что «любое число вида 4n + 1 является суммой двух квадратов», было, например, одним из многих результатов, которые Ферма так и не объяснил, и только Эйлер в 1749 г. доказал этот факт после семи лет напряженной работы. Гаусс как-то сказал, что этот результат был «одним из самых красивых цветков, которые Ферма обнаружил в саду чисел».

Малая теорема Ферма

В 1995 г. имя Ферма попало на первые полосы газет благодаря Эндрю Уайлсу, который доказал одну из самых знаменитых гипотез в истории: если n — целое число, большее 2 (n > 2), то не существует целых чисел х, у и z, отличных от 0 и удовлетворяющих уравнению

xn   + y n = z n .

Это гипотеза известна также как «последняя теорема Ферма».

Однако существует и другая, менее известная теорема, называемая «малой теоремой Ферма», которая оказалась особенно актуальной в теории простых чисел. Впервые она была сформулирована в письме, отправленном Ферма 18 октября 1640 г. своему другу, тоже математику-любителю, Бернару Френиклю де Бесси (1605–1675) , с которым Ферма делился своими результатами (оба были членами кружка Мерсенна). В письме говорилось: «Каждое простое число эквивалентно степени минус один с любым основанием и показателем, равным данному простому числу минус один… И это утверждение, как правило, справедливо для всех оснований и всех простых чисел. Я бы Вам прислал доказательство, если бы оно не было таким длинным».

Последняя теорема Ферма была доказана в 1995 г. английским математиком Эндрю Уайлсом . Два года спустя он опубликовал предварительное доказательство, где, однако, была ошибка, которую он впоследствии смог исправить.

Ферма снова опускает доказательство, оправдывая это тем, что оно слишком длинное, как и в случае с его более знаменитой последней теоремой. Большинство историков считают, что, скорее всего, великий математик не имел доказательства этих и многих других высказанных им утверждений. Во всяком случае, Ферма считал себя математиком-любителем и мог позволить себе некоторую свободу.

Формулировка теоремы в письме, посланном Френиклю де Бесси, звучит довольно загадочно и неясно, поэтому мы приведем ее в современной терминологии.

Два числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей.

Например, 8 и 27 взаимно просты, так как не имеют общих делителей: 8 = 23 и 27 = 33 С другой стороны, 12 и 15 не являются взаимно простыми, так как у них есть общий делитель 3: 12 = 3 х 4, 15 = 3 х 5.

Таким образом, теорема утверждает, что для простого числа р и числа а, взаимно простого с р, разность (а р  — а ) делится на р.

Например, возьмем простое число 3 и число 8, которое не делится на 3. Тогда число 83 — 8 = 512 — 8 = 504 делится на 3. И действительно, 504/3 = 168.

Можно сказать, что малая теорема Ферма — малая, да удалая (название «малая» впервые использовал в 1913 г. немецкий математик Курт Гензель), так как она наиболее часто используется в «тестах простоты», определяющих, является ли некое большое число простым.

Даже сам Ферма, скорее всего, пользовался ей для разложения больших простых чисел на множители. Известно, например, что ему удалось представить число 100 895 598169 в виде простых множителей 898 423 и 112 303 в ответ на вопрос Мерсенна, который хотел знать, является ли исходное число простым. Однако неясно, как Ферма мог работать с такими большими числами.

Теорема была впервые доказана Эйлером в 1736 г. У Лейбница было похожее доказательство, но он его не опубликовал. Гаусс также привел еще одно доказательство в своей знаменитой книге «Арифметические исследования», опубликованной в 1801 г. Эйлер позже нашел еще два доказательства. Самым простым является первое доказательство Эйлера, которое можно понять, имея лишь элементарные знания математики (см. Приложение).

* * *

КИТАЙСКАЯ ГИПОТЕЗА

Некоторые документальные источники подтверждают, что еще за две тысячи лет до Ферма математики из Поднебесной сформулировали так называемую «китайскую гипотезу», похожую на малую теорему Ферма. Эта гипотеза утверждает, что число р является простым числом тогда и только тогда, когда 2 Р — 2 делится на р . Китайская гипотеза, таким образом, является частным случаем малой теоремы Ферма. Однако обратное утверждение, что если это условие выполняется, то р будет простым, — неверно, поэтому в целом китайская гипотеза ошибочна.

* * *

Напомним, что малая теорема Ферма позволяет установить, является ли число простым, без нахождения его делителей. Покажем это на простом примере.

Пусть р = 9 и а = 2, тогда 29 — 2 = 510. Эта разность не делится на 9, и мы заключаем, что 9 не является простым числом, что и так очевидно. Польза этого простого метода заключается в том, что его можно применять для очень больших чисел.

Нужно отметить, что малая теорема Ферма содержит необходимое, но не достаточное условие: если р — простое число, то условие выполняется, но выполнение условия не означает, что р будет простым. Например, если взять р = 4 и а = 5, то 54 — 5 = 620 делится на 4, но 4 = 2 х 2 является составным числом.

Числа  Ферма

«Числами Ферма» называются натуральные числа вида:

Они обозначаются буквой F (по имени Ферма) с соответствующим индексом (n), так что F0   обозначает первое число Ферма, F 1 — второе и так далее. Посчитаем значения первых пяти чисел Ферма, учитывая, что любое число в степени 0 равно 1:

20  = 1; 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8.

Подставляя в формулу, получим:

Ферма предположил, что все числа, полученные таким способом, являются простыми. Первые пять чисел — 3, 5, 17, 257 и 65537 — действительно простые.

Но при n = 5 получается число:

Ферма не смог определить, является ли это число простым. Но Эйлеру в 1732 г. удалось представить это число в виде произведения двух множителей:

4294967297 = 641 х 6700417.

Тем самым Эйлер показал, что гипотезы Ферма могут быть ложными. Нечто подобное произошло впервые. И хотя гипотеза оказалась ошибочной, числа Ферма продолжают играть важную роль — не только потому, что благодаря им возникли новые идеи и гипотезы, но и потому, что они оказались полезными для выявления простых чисел.

В настоящее время известно, что только первые пять чисел Ферма являются простыми. Но это вовсе не означает, что других простых чисел Ферма не существует: на самом деле их может быть бесконечное множество. Разложение на множители было проделано лишь для чисел Ферма с индексом до n = 11. Представление числа в виде произведения простых множителей является нелегкой задачей. Как мы позже покажем, эта трудность лежит в основе одного из самых популярных методов шифрования, используемых сегодня.

Леонард Эйлер

Не существует ни одной области классической математики, будь то дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, аналитическая и дифференциальная геометрия, теория чисел или теория рядов, в которой бы не появлялось имя швейцарского математика и физика Леонарда Эйлера (1707–1783) . Он был одним из самых плодовитых математиков своего времени. После его смерти в Санкт-Петербурге его сочинения продолжают вызывать восхищение и регулярно переиздаются Санкт-Петербургской Академией наук. Швейцарская академия наук планирует опубликовать полное собрание его работ, которое составит около 90 томов.

Банкнота 10 швейцарских франков 1997 г. выпуска с портретом Эйлера и изображениями гидравлической турбины, солнечной системы и света, проходящего через линзу. Все это иллюстрирует вклад Эйлера в математику.

Эйлер всегда проявлял особый интерес к простым числам. Он составил таблицу всех простых чисел от 1 до 100 000 и нашел формулы, которые позволяли ему получать невероятные количества таких чисел. Одной из наиболее интересных является следующая формула:

х 2 + х + q,

которая генерирует простые числа для любых значений х, больших 0 и меньших q — 2.

Эйлер нашел все такие простые числа для q = 2, 3, 5, 7, 11 и 17. В то время математика была экспериментальной, ее целью было получение практических результатов, поэтому строгие доказательства часто отсутствовали. Однако в отличие от Ферма Эйлер не скрывал своей работы. Если у него было доказательство, он публиковал его, а если факт приводился без доказательства, значит, оно не было найдено.

Работы Эйлера привели к важным изменениям в мире математики, вызвав медленный, но неумолимый сдвиг научной мысли. Среди многочисленных достижений Эйлера есть три, которые оказали решающее влияние на дальнейшие исследования в теории простых чисел: понятия функции, бесконечных сумм и мнимых величин.

Позже мы еще вернемся к ним.

Функции

Эйлер заложил основы того, что в последующие века будет называться математическим анализом. Именно он ввел обозначение функции, f(х), которое используется и в настоящее время. Функция работает как устройство, которое преобразует числа в другие числа в соответствии с установленным правилом. (Мы имеем в виду действительные функции действительного переменного.) Например, если правило гласит, что к каждому числу нужно прибавить определенное число, например, 3, то функция записывается следующим образом:

f(х) = x + 3.

Теперь функцию можно применить к любым значениям переменной:

f(1) = 1 + 3 = 4;

f(2) = 2 + 3 = 5;

f(24) = 24 + 3 = 27;

f(0,32) = 0,32 + 3 = 3,32.

Действительные функции действительного переменного ставят в соответствие каждому действительному числу другое действительное число. Например, функция f(x) = 2х + 1 каждое значение х увеличивает в два раза и прибавляет единицу. Составим таблицу значений этой функции:

Эта таблица позволяет построить график функции по вышеуказанным координатам точек:

Это очень простой график, он представляет из себя прямую линию, построить которую можно всего по двум точкам. С другой стороны, функция вида f(х) = х 2 будет иметь следующую таблицу значений:

И график этой функции уже не так легко построить:

Фактически, чем больше у нас точек, тем более точный график можно построить, но если выражение функции не является линейным, то есть если переменная х возводится в степень, большую единицы, графиком функции является кривая линия.

В некоторых случаях эта кривая известна, а в других она оказывается очень непредсказуемой и ее нельзя построить вручную. Одним из величайших достижений Эйлера является представление сложных функций в простых терминах.

Бесконечные суммы

Еще Эйлер для обозначения суммы, или «суммирования», ввел специальный символ, который используется и в современной математике. Это знак Σ — заглавная буква «сигма» греческого алфавита, а также первая буква слова «сумма».

Выражение суммирования записывается следующим образом:

Σi=5j=1i,

где есть переменная, в данном случае i, и индексы, показывающие, как эта переменная изменяется. В данном примере i изменяется от 1 до 5. Таким образом:

Σi=5j=1 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5;

Σi=3j=1(n + 1) = (1 + 1) + (2 + 1) + (3 + 1);

Σi=4j=1 n 2 = 12 + 22 + 32 + 42.

Обычно запись выражения упрощают, указывая в качестве верхнего индекса лишь последнее значение переменной:

Σ5j=1 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

Это означает, что i меняется от 1 до 5.

Если верхний предел не является числом, то используется символ бесконечности, означающий, что сумма бесконечна. Например:

Хотя это может показаться странным, но существуют бесконечные суммы, результат которых является конечным числом. Ряды, имеющие такую сумму, называются сходящимися. Например, ряд

имеет конечную сумму, приблизительно равную 2. Так как члены ряда становятся все меньше и меньше, в какой-то момент каждый следующий член будет настолько мал, что его добавление ничего не изменит, и итоговая сумма будет конечным числом. Безусловно, это не совсем точное объяснение. Можно предположить, что ряд типа

также имеет конечную сумму, но это не так. Данный ряд, которым особенно интересовался Эйлер, называется гармоническим. Эйлер использовал его, чтобы получить еще одно доказательство бесконечности множества простых чисел.

* * *

БАЗЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА

Братья Якоб  (1654–1705) и Иоганн (1667–1748) Бернулли занимались изучением гармонических рядов. Особенно активно они работали в период между 1689 и 1704 гг. Именно они доказали, что некоторые ряды расходятся. Воодушевленные результатами, они взялись за ряд обратных квадратов:

Якоб показал, что ряд сходится, и ему даже удалось доказать, что сумма ряда меньше или равна двум, но он не смог найти точное значение. Он так увлекся этой проблемой, что сказал: «Велика будет наша благодарность, если кто-нибудь найдет и сообщит нам о том, что до сих пор избегало нашего внимания». Эта проблема известна как «базельская задача», потому что Якоб заведовал кафедрой математики в университете швейцарского города Базеля, и именно там он произнес свои знаменитые слова.

Многие великие математики, в том числе Менголи и Лейбниц, не смогли решить эту задачу, не говоря уже о совместных усилиях братьев Бернулли. И лишь спустя 30 лет решение было найдено «волшебником» Эйлером. Результат был действительно впечатляющим:

Эйлер писал об этом результате так:

«…Я сейчас обнаружил вопреки всем ожиданиям элегантное выражение для суммы ряда 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …, которое имеет отношение к квадратуре круга… Я обнаружил, что сумма этого ряда, умноженная на 6, равна квадрату длины окружности, диаметр которой — единица».

К сожалению, Якоб умер к тому времени, когда Эйлер опубликовал свои результаты. «Эх, если бы мой брат был жив!» — воскликнул Иоганн.

«Волшебником» Эйлера называли из-за совершенно магических методов, которые он использовал в доказательствах. На самом деле доказать этот результат совсем не сложно, но такой подход требует некоторых знаний высшей математики и показывает смелость Эйлера, который рассмотрел этот ряд в качестве полиномиальной функции, а затем связал его с разложением в ряд функции синуса. Отсюда и появилось число π , которое является одним из нулей синуса.

Иоганн Бернулли был учителем Эйлера и одним из лучших математиков своего времени.

* * *

Гармонический ряд расходится, и это означает, что сумма его членов бесконечна, но расходится он чрезвычайно медленно по сравнению с рядом вида

Работая с гармоническим рядом, Эйлер вывел функцию, вошедшую в историю как одна из важнейших функций математики: «дзета-функция Эйлера», которая в настоящее время несколько несправедливо называется «дзета-функцией Римана».

Для ее обозначения Эйлер использовал греческую букву ζ (дзета):

Если взять х = 1, то мы получим уже известный нам гармонический ряд причем мы знаем, что его сумма бесконечна. Однако Эйлер предполагал, что при х = 2 сумма ряда

не будет бесконечной, так как здесь содержатся только некоторые члены гармонического ряда, а именно дроби с квадратами. Но найти сумму этого ряда было практически невозможно, используя знания того времени. Тем не менее Эйлеру удалось блестяще доказать следующее равенство:

Эйлер сделал это открытие в возрасте 28 лет, хотя ему понадобилось еще шесть лет, чтобы отшлифовать доказательство. Неожиданное появление в выражении для суммы ряда числа π, которое встречается в формулах площади круга и длины окружности, вызвало удивление всего математического сообщества того времени. С помощью этого результата Эйлер смог решить одну из самых интригующих проблем того времени, так называемую «базельскую задачу».

Экспериментируя с дзета-функцией, Эйлер получил ряд результатов. Например, он уже знал, что при х, меньших или равных 1, сумма ряда бесконечна, и что, следовательно, ряд сходится только при х, больших 1.

* * *

ЭЙЛЕР И МИР ЗВУКОВ

Эйлер догадался использовать мнимую переменную в так называемой экспоненциальной функции f (х) = 2 х . Он был поражен, обнаружив, что график этой функции содержит волнообразные линии, которые встречаются при попытках изобразить музыкальные ноты. В зависимости от значений, принимаемых этими мнимыми числами, волны соответствовали более высоким или более низким нотам.

Несколько лет спустя французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830) разработал метод анализа периодических функций, основанный на результате Эйлера, который связал аналитические методы и мир звуков.

* * *

Эйлер попытался связать простые числа с функциями. Он знал, что по основной теореме арифметики любое натуральное число может быть единственным способом выражено в виде произведения простых чисел. Это означало, что знаменатель каждой из дробей в разложении дзета-функции может быть записан в виде произведения простых чисел. Например, запишем дзета-функцию для х = 2:

и возьмем дробь 1/360. Разложим ее знаменатель, 360, на простые множители:

360 = 23 х З2 х 5, так что

Возведем обе части в квадрат:

Проделав это с каждым из знаменателей дзета-функции, Эйлер получил выражение

которое содержит только простые числа. В левой части этого выражения стоит бесконечная сумма, а в правой — произведение, также состоящее из бесконечного множества чисел. Это выражение, названное «эйлеровым произведением», является краеугольным камнем, на котором в последующие века строилось здание аналитической теории чисел. Оно стало отправной точкой, с которой Риман начал наводить порядок в хаотическом царстве простых чисел, о чем подробнее мы расскажем в шестой главе.

Гипотеза  Гольдбаха

Прусский математик Кристиан Гольдбах (1690–1764) часто переписывался с Эйлером. 18 ноября 1752 г. Гольдбах послал ему письмо, содержащее следующее утверждение: «Любое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел». Выражение «сумма двух простых чисел» включало в себя и случаи, когда простое число повторяется. Например,

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7

12 = 5 + 7

14 = 3 +11.

16 декабря того же года Эйлер прислал ответ, где сообщал, что проверил гипотезу до числа 1000, а в другом письме от 3 апреля 1753 г. он написал, что проверил результат до числа 2500. В настоящее время с помощью компьютеров гипотеза проверена для всех четных чисел до двух триллионов. Однако в общем виде гипотеза еще не доказана. По мнению специалистов, она является одной из самых сложных проблем за всю историю математики.

Чен Цзинжунь (1933–1996), один из самых выдающихся математиков XX в., получил в 1966 г. лучший результат в деле доказательства гипотезы Гольдбаха. Он доказал, что любое достаточно большое четное число можно представить в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Этот факт засвидетельствован на почтовой марке Китайской Народной Республики, выпущенной в 1999 г. в честь Чена.

* * *

ДЯДЯ ПЕТРОС И ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА

Так называется знаменитый роман Апостолоса Доксиадиса, в котором главный герой, бывший математик, просит своего племянника решить математическую задачку. Племянник соглашается на предложенное дядей условие: отказаться от изучения математики в университете, если ему не удастся решить задачу за время отпуска. Потратив все лето на безрезультатные попытки, племянник сдается и переходит на юридический факультет. Задачей была именно гипотеза Гольдбаха. В 2000 г., рекламируя этот роман, английский издатель Тони Фабер предложил вознаграждение в миллион долларов тому, кто сможет доказать гипотезу до апреля 2002 г. Как и следовало ожидать, приз никому не достался.

Обложка некоторых изданий книги Апостолоса Доксиадиса с изображением раковины наутилуса, представляющей из себя логарифмическую спираль.

 

Глава 4

Логарифмы и простые числа

Когда мы исследуем объект, приборы, которые мы используем, тоже влияют на результаты наблюдений. Например, развитие астрономии было тесно связано с совершенствованием телескопов, а микробиология — с микроскопами. Оборудование для наблюдений и измерений стало ключевым фактором, открывающим двери в неведомые миры. В этом смысле математика не является исключением: объекты ее исследования нематериальны, но даже они могут изучаться с высокой степенью точности.

Одним из самых мощных математических инструментов, когда-либо изобретенных человеком, являются логарифмы, служившие сначала для упрощения расчетов, но благодаря Карлу Гауссу превратившиеся в устройство для поиска простых чисел.

Джон Непер

В некоторых учебниках упоминаются логарифмы Непера, в то время как в других — логарифмы Нэйпера. На самом деле в истории математики это имя появлялось во многих вариантах: Нэйпер, Неппер, Нейпер, Нейпир, Непер… (Napeir, Nepair, Nepeir, Neper, Napare, Naper, Naipper…). Единственное написание, которое создатель логарифмов ни разу в своей жизни не использовал, было Непер (Napier) — и именно оно сейчас считается правильным!

Шотландский математик и богослов Джон Непер вошел в историю благодаря открытому им методу упрощения сложных расчетов.

Джон Непер родился в 1550 г. в замке Мерчистон близ Эдинбурга в Шотландии. Он был сыном аристократа Арчибальда Непера, и жизнь его проходила в очень комфортных условиях. Джон изучал теологию в Сент-Эндрюсском университете. Его интерес к математике проявился во время долгого путешествия по Европе. Известно, что он учился в Парижском университете, а также провел некоторое время в Италии и в Голландии. Возвратившись в Шотландию в 1572 г., он женился на Элизабет Стерлинг. Следующие два года он посвятил строительству замка в Гартнесс. Непер проводил много времени в этом замке, именно в этот период погрузившись в таинственные занятия математикой. Слово «таинственные» использовано неслучайно, потому что когда Непер изредка появлялся на публике, он был одет во все черное и носил на плече черного петуха. Его эксцентричность принесла ему репутацию чародея, которая только подтверждалась демонстрацией его математических навыков.

В дополнение к своей исключительной увлеченности математикой он проводил много времени за изучением Евангелия, особенно Книги Откровения. Непер опубликовал свои размышления в книге «Простое истолкование всего Откровения Иоанна Богослова», переведенной на несколько языков, в которой пытался доказать, что папа является Антихристом.

Одна из первых моделей счета  Непера , известных как «костяшки Непера», применявшихся для быстрого умножения и деления.

* * *

СТРАННЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

Сегодня нам кажется совершенно нормальным возможность выразить дробь 19/8 в виде десятичной дроби 2,375 — мы просто делим 19 на 8. Но в XVI в. десятичные дроби были экзотикой. Фламандский инженер  Симон Стевин (1548–1620) ввел обозначение десятичных дробей и предложил единицы веса и длины, основанные на десятичной записи, как и в метрической системе, используемой сегодня. Непер поддержал использование десятичных дробей и упрощенные обозначения Стевина, введя запятую (так называемую «десятичную точку») в качестве разделителя целой и дробной частей десятичной дроби. Запятая до сих пор используется во многих европейских странах. Однако в англоговорящих странах в качестве десятичного разделителя используется точка.

* * *

Непер также интересовался нумерологией и астрологией. Второе увлечение привело его к исследованию свойств геометрических фигур на сферической поверхности, и в результате он получил важные соотношения для сферических треугольников. Любой студент, изучавший сферическую тригонометрию, наверняка помнит формулы, носящие имя знаменитого шотландца.

Тем не менее для Непера один вопрос был намного важнее всех остальных. В те дни численные расчеты были очень утомительными. Непер подумал, что он мог бы использовать свое время более эффективно, чем просто заполнять страницу за страницей бесконечными расчетами, которые на самом деле были лишь рутинной работой.

Ему удалось изобрести устройство для быстрого умножения и деления, состоящее из стержней с квадратным сечением и доски для умножения. В 1617 г. Непер издал руководство под названием «Рабдология» (счет с помощью палочек), в котором он объяснил правила работы с этим устройством. Устройство Непера, предшественник логарифмической линейки, использовалось в Шотландии более 100 лет. (Непер позднее усовершенствовал этот инструмент, заменив стержни карточками, которые позволяли умножать большие числа. На самом деле эти карточки были прообразом знаменитых перфокарт, которые появились более чем четыре века спустя вместе с первыми компьютерами IBM.)

Однако важнейшим достижением Непера с точки зрения истории математики являются логарифмы — гениальный способ вычислений, который он опубликовал в 1614 г. под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio («Описание удивительной таблицы логарифмов»). Чтобы оценить важную роль, которую логарифмы играют в теории простых чисел, мы сначала рассмотрим некоторые из их свойств.

Логарифмы

Логарифмы основаны на следующей идее. Мы знаем, что число 1000 = 10 х 10 х 10 может быть записано как десять в степени три, 103 Аналогично:

1 000 = 103;

10 0 00 = 104;

1 000 000 = 106.

Предположим, мы хотим перемножить эти числа:

1000 x 10000 x 1000000 = 10000000000000.

Но 10000000000000 = 1013.

Мы могли бы выполнить это умножение, сразу написав 103 + 4 + 6 = 1013. Совершенно очевидно, что проще складывать, чем умножать. Чтобы убедиться в этом, попробуйте умножить 1038 х 1052 = 1090, записав числа в развернутом виде!

Здесь и появляются логарифмы. Глядя на пример 1000 = 103, мы можем задать такой вопрос: «В какую степень надо возвести число 10, чтобы получить 1000?» Ответом будет 3. Запишем это следующим образом: log10  (1000) = 3. Тогда, например:

log10  100 = 2;

log10 1 000 = 3;

log10 1 000 000 = 6.

Главной идеей такого подхода является то, что числа гораздо проще складывать, чем умножать. Например:

log10 (100 x 1000) = log10100 + log101000 = 2 + 3 = 5.

Применяя обратную функцию, антилогарифм, мы получаем конечный результат:

105 = 100000.

Эти операции показаны в следующей в таблице:

Первая строка таблицы начинается с числа 1, и каждое следующее число в 10 раз больше предыдущего. Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией со знаменателем 10. С другой стороны, числа в нижней строке таблицы получаются путем добавления единицы к предыдущему числу. Таким образом, верхняя строка содержит операции умножения, а нижняя строка — операции сложения. Как видно из таблицы, операция умножения

1000 x 100000 = 100000000

эквивалентна операции сложения

3 + 5 = 8.

Мы можем составить такую таблицу, используя любую геометрическую прогрессию в верхней строке, например:

Чтобы умножить 4 на 16 (верхняя строка), мы сложим 2 и 4 (нижняя строка), получив число 6, которое соответствует числу 64. Аналогично мы можем выполнить операцию деления, но в этом случае результат получается путем вычитания соответствующих чисел в нижнем ряду. Например, чтобы разделить 256 на 8, мы просто вычтем 3 из 8, то есть 8–3 = 5, что соответствует 32, числу над числом 5.

Такое соотношение между числами в нижней и верхней строках является ключевым для логарифмов.

Теперь мы можем сформулировать строгое определение логарифма. Когда мы говорим о том, что число 32 соответствует числу 5, мы имеем в виду следующее равенство:

25 = 32.

Напомним, что 2 в степени 5 означает, что число 2 умножается само на себя пять раз. Мы можем читать строки второй таблицы следующим образом: «Число 3 является показателем степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 8» и «число 7 является показателем степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 128», что сокращенно записывается так:

log28 = 3;

log2128 = 7.

Эти выражения читаются соответственно так: «Логарифм числа 8 по основанию 2 равен 3» и «логарифм числа 128 по основанию 2 равен 7». Теперь рассмотрим пример из первой таблицы, 104 = 10000, то есть 4 является показателем степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число 10000. Запишем это с использованием логарифма: log1010 000 = 4, что читается как «логарифм числа 10000 по основанию 10 равен 4».

Итак, обратимся к общему определению. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число b (а с = Ь), что записывается как

logab = с.

Непер был заинтересован в упрощении вычислений в сферической тригонометрии и впервые применил логарифмы для тригонометрических функций. Его подход не был похож на используемый сегодня, который можно назвать арифметическим.

Его метод был «кинематическим», то есть он рассматривал два отрезка, пробегаемых с разной скоростью. Слово «логарифм», впервые использованное самим Непером, означает «числа отношений» в смысле отношений между различными отрезками. (В нашем случае это отношение между числами из разных строк таблицы.) Непер работал с логарифмами по основанию 107, что было не особенно практично. Кроме того, ему не удалось установить, что логарифм числа 1 равен нулю, что равносильно соотношению 100  = 1. Генри Бригс (1561–1632) , заведующий кафедрой геометрии Оксфордского университета, заинтересовался логарифмами Непера, написал ему и предложил встретиться. Летом 1615 г. Бригс приехал к Неперу в замок Мерчистон, где они обсудили возможность использования числа 10 в качестве основания логарифма и соотношение log 1 = 0. Непер, который был болен в то время, отказался составлять новую версию своих логарифмических таблиц. Через два года Непер умер, и Бригс сформулировал определение десятичных логарифмов, так называемых «логарифмов Бригса».

Кроме того, как оказалось, вроде бы случайный подход при составлении логарифмических таблиц стал важной вехой в развитии математики. На задней обложке школьных учебников принято приводить таблицу умножения, аналогично и список простых чисел помещался в конце логарифмических таблиц. Тому была особая причина. Напомним, что любое число можно представить в виде произведения простых множителей, поэтому логично сначала вычислить логарифмы простых чисел, а затем считать логарифмы других чисел путем простого сложения результатов.

Логарифмические таблицы, которые Гаусс использовал в школе, содержали список первой тысячи простых чисел. Перед гением оказались два вроде бы не связанных между собой понятия, но их последующее сочетание привело к одной из самых интересных теорем алгебры.

* * *

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

В наше время, чтобы посчитать логарифм, достаточно нажать клавишу карманного калькулятора, но в XVII в. использовались огромные книги, содержащие логарифмы как можно большего количества чисел. В 1617 г. Генри Бригс опубликовал первые таблицы с логарифмами чисел от 1 до 1000 с точностью до четырнадцати десятичных знаков. Семь лет спустя появились новые таблицы, сначала для чисел от 1 до 20 000, а затем от 20 000 до 100 000, также с точностью до четырнадцати десятичных знаков. Издания этих таблиц вскоре были напечатаны и в других странах в связи с огромной практической пользой вычислений с помощью логарифмов. Морская навигация требовала все более точных астрономических карт, и астрономам приходилось тратить много часов, дней и даже лет на сложные тригонометрические расчеты. Как говорил Пьер-Симон Лаплас, Непер своим изобретением «продлил жизнь астрономов».

Первые логарифмические таблицы, опубликованные в Эдинбурге в 1614 г.

Иоганн Карл Фридрих Гаусс

Гаусс родился в Брауншвейге, в Германии, 30 апреля 1777 г. Он происходил из бедной семьи и, скорее всего, работал бы на ферме, если бы не вмешательство судьбы: уже в начальной школе в возрасте девяти лет Гаусс был лучшим учеником. В этой общественной школе работал всего один учитель, господин Бюттнер, которому приходилось управляться с сотней учеников. Поэтому он старался занять детей длинными утомительными вычислениями. Однажды он дал им задание сосчитать сумму первых ста натуральных чисел. В тот же момент Гаусс положил свою тетрадь и сказал: «Готово!». Он не только посчитал сумму

1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) = 101 + 101 + … + 101 = 101 х 50 = 5050

за рекордно короткое время, но и решил задачу о нахождении суммы арифметической прогрессии. Бюттнер, увидев исключительную одаренность мальчика, передал его Иоганну Мартину Бартельсу (1769–1836) , талантливому преподавателю математики, который был всего лишь на восемь лет старше Гаусса. С Бартельсом, с которым они оставались близкими друзьями до конца жизни, Гаусс сделал первые шаги в мире чисел. Мать Гаусса, Доротея Бенц, понимая, что надо развивать необычные способности сына, но не имея собственных средств, обратилась к герцогу Брауншвейга. Тот стал покровителем мальчика и дал ему стипендию для обучения в гимназии, а затем в Гёттингенском университете. Вот так молодой Гаусс избежал судьбы фермера и стал «принцем математики». Вершиной его профессиональной карьеры стала должность профессора астрономии и директора обсерватории в Гёттингенском университете. Жизнь Гаусса протекала относительно спокойно.

Портрет  Гаусса в молодости.

Во время политической нестабильности он остался верен герцогу, своему покровителю. Гаусс был единственным ребенком в семье и женился лишь в возрасте 32 лет на Иоганне Остгоф. У них было трое детей, младший из которых умер через несколько месяцев после смерти Иоганны.

В 1810 г. Гаусс женился во второй раз на Вильгельмине Вальдек, дочери университетского профессора права. Вильгельмина родила ему еще троих детей. Гаусс умер в Гёттингене 23 февраля 1835 г. К тому времени как ученый он был известен во всем мире.

Литография Эдуарда Ритмюллера , изображающая уже знаменитого Гаусса на террасе обсерватории в Гёттингенском университете.

Первая гипотеза

В записной книжке, которая была у Гаусса в возрасте 14 лет, имеется такая запись:

«Простые числа, меньшие 

Гаусса заинтересовал длинный список простых чисел, приведенный в конце логарифмических таблиц, мальчик был очаровал их хаотичностью. Однако он уже решил для себя, что не его это дело — искать формулу, предсказывающую появление следующего простого числа. Гаусс чувствовал, что такие попытки, скорее всего, закончатся провалом. Вместо этого он решил посчитать, сколько простых чисел находится между двумя заданными числами или, другими словами, сколько простых чисел встречается среди первых десяти, ста, тысячи и десяти тысяч чисел, что позволило бы ему оценить частоту, с которой простые числа появляются в последовательности натуральных чисел.

Мы уже знаем, что первые десять натуральных чисел содержат только четыре простых числа (2, 3, 5 и 7). От десяти до ста — двадцать одно простое число. Для выражения этого количества Гаусс ввел следующую функцию, которую он обозначил π(x):

π (x): = количество простых чисел, меньших, чем х.

* * *

УЧЕНЫЙ ДО МОЗГА КОСТЕЙ

Гаусс занимался не только математикой. Он получил важные результаты, исследуя магнитное поле Земли, притяжение эллипсоидов, а также сделал интересные открытия в теории электромагнетизма, капиллярности и диоптрики. В области геодезии Гаусс изобрел гелиостат (устройство для посылания сигналов с помощью отраженного света). Любопытный случай произошел в 1833 г., когда Гаусс работал с  Вильгельмом Вебером (1804–1891) , проводя исследования по электромагнетизму. Ученый создал электрическое устройство, способное передавать сообщения со скоростью света. Он изобрел не что иное, как электрический телеграф.