Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Дуран Антонио

Поэзия — недоказуемая истина. Математика же, напротив, состоит из доказательств. И все-таки у этих двух сфер есть что-то общее. Ученый Анри Пуанкаре писал: «Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова». Математик находится посередине между наукой и искусством, и это подтверждает неизбежную связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмоциями. Цель этой книги — на нескольких ярких примерах показать красоту математики.

 

Предисловие

Поэзия — это недоказуемая истина. Согласно словарному определению, цель поэзии — передать красоту с помощью слов. В том же толковом словаре математика определяется как дедуктивная наука, исследующая свойства таких абстрактных сущностей, как числа, геометрические фигуры и символы, а также отношения между ними. В это определение следовало бы включить один очень важный элемент: когда математик выбирает, какие свойства чисел или абстрактных сущностей изучать, он часто руководствуется их красотой. Лингвисты, которым буквы ближе, чем числа, видимо, не поняли до конца неразрывную связь между математикой и прекрасным, хотя кто-то из великих сказал, что именно красота — проводник на пути к математическим открытиям.

Математик находится посередине между наукой и искусством, и это также доказывает неизбежную связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмоциями. Анри Пуанкаре писал: «Могут вызвать удивление эмоции, пробуждаемые математическим доказательством, которое, как может показаться, интересно лишь интеллекту. Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова».

Обо всем этом — о красоте математики, сколь реальной, столь и труднодостижимой, об эмоциях, неразрывно связанных с этой необычной наукой, и о многом другом рассказывается в нашей книге. Ее цель — показать красоту математики и на нескольких ярких примерах продемонстрировать весь спектр связанных с математикой эмоций. Автор не ставил перед собой задачу создать развернутый теоретический дискурс или нагромоздить целую гору рассуждений и аргументов в защиту заявленной темы. Слишком много теоретизировать по поводу красоты математики столь же абсурдно, как и пытаться объяснить, чем именно прекрасна Девятая симфония Бетховена.

Все примеры представлены в соответствующем историческом и эмоциональном контексте, и их яркая мозаика раскрывает важные эпизоды человеческой истории за последние двадцать пять столетий. Автор постарался сделать изложение напряженным и интересным. Разумеется, мы не забыли и о традиционных искусствах — живописи, литературе и архитектуре, на примере которых мы продемонстрируем совпадения и подчеркнем различия.

 

Глава 1

Место красоты в математике

Если мы спросим случайного прохожего о красоте математики, он наверняка лишь удивленно поднимет брови. И тем не менее в массовом сознании укрепилась мысль о том, что математика полна элегантности и гармонии, а математические рассуждения не лишены определенной красоты. Как это свойственно западной культуре, идея о связи между красотой и математикой сформировалась под влиянием великих законодателей мнений — классических древнегреческих философов. Для Платона пропорциональность и соразмерность, составлявшие суть древнегреческой математики, были синонимом красоты. Аристотель писал: «Важнейшие виды прекрасного — это слаженность, соразмерность и определенность, и математика больше всего выявляет именно их». Впоследствии красоту математики восхваляло множество ученых и мыслителей. «Геометрия есть архетип красоты мира», — писал астроном, астролог и математик Иоганн Кеплер в XVII веке. Позднее, уже в XX столетии, философ и логик Бертран Рассел отмечал: «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой — красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства». Лауреат Нобелевской премии по физике Поль Дирак говорил: «Физические законы должны обладать математической красотой».

И все же если мы спросим случайного прохожего о красоте математики, никого не удивит скептическое выражение его лица. Должно быть, красота математики подобна очарованию классических произведений: о нем знают почти все, но мало кто смог почувствовать его сам.

Эту книгу следует начать с выражения, отражающего массовые представления: математика обладает красотой. Но чтобы умерить пыл излишне оптимистичных читателей, следует добавить, что насладиться этой красотой непросто. В этой главе мы объясним, в чем заключается красота, которой, по нашему мнению, обладает математика, а в следующей главе обсудим, почему математическую красоту столь сложно оценить. И вначале уточним значение понятий, о которых пойдет речь, то есть определим, что означает «математика» и «красота».

Британский физик  Поль Дирак (1902–1984), совершивший множество открытий в квантовой механике, — один из многих ученых, видевших связь между математикой и красотой.

«Пробуждать душевное наслаждение»

О том, что такое красота, написано множество скучных эссе и высказано множество мнений, как тревожных, так и приторно-слащавых. К первым можно отнести стихи Райнера Марии Рильке «Дуинские элегии»: «Красота — только первый укол ужаса, переносимый, но как сердце зашлось оттого, что мы поняли холод, с которым она отстранилась, чтоб нас не разрушить», ко вторым — фразу Стендаля «Красота есть обещание счастья». В этой книге мы не будем углубляться в научные трактаты в поисках сложного определения прекрасного или эстетичного. Обратимся к словарю. Вы увидите, что даже ничем не примечательное на первый взгляд словарное определение может оказаться весьма интересным.

В словаре мы прочтем такие строки: «Красота — свойство людей или вещей, которое заставляет любить их, пробуждая в нас душевное наслаждение». Мне кажется, что это прекрасное определение: оно показывает, что красота предмета подразумевает то или иное воздействие на зрителя. Составители словаря сходятся во мнениях с Вольтером, который в своем философском словаре писал: «Для вкуса недостаточно видеть или знать красоту шедевра: нужно почувствовать ее, нужно попасть под ее влияние». Математика прекрасно отражает личные предпочтения большинства ученых, с которыми я познакомился на протяжении своей карьеры (и, разумеется, мои собственные предпочтения): увлечение, любопытство и интерес, которые в нас пробуждает математика (значит ли это, что мы любим ее?), мы объясняем красотой, которую мы в ней видим, душевным наслаждением, которое мы испытываем, когда занимаемся математикой, эстетическим удовольствием, которое она вызывает в нас.

Восхищение, испытанное мной после знакомства с определением красоты, предложенным лингвистами, сменилось разочарованием, когда я дочитал словарную статью до конца: «Это свойство (красота) существует в природе и в произведениях искусства». Лингвисты совершили непростительную ошибку — они забыли причислить к сфере прекрасного научные работы. Нов этой книге мы не станем обходить их стороной!

Понятие «математика» я буду трактовать в очень широком смысле. Разумеется, в наше определение войдут математические идеи, понятия и рассуждения, а также их сочетания. Иногда мы будем использовать выражение «математические рассуждения» как синоним понятия «математика» в самом широком смысле, в других случаях будем иметь в виду более конкретные объекты — теоремы, определения, доказательства, целые теории и даже эвристические рассуждения, необязательно имеющие достаточное логическое обоснование.

Парфенон и математика Архимеда : здание из идей

В этой книге мы утверждаем, что математика обладает красотой. Мы принимаем это утверждение за недоказуемую истину со всеми поэтическими оттенками, которыми обладает любая недоказуемая истина. Тем не менее это не помешает нам обсудить некоторые вопросы. Вот первый вопрос, который вызывает это утверждение: если математика обладает красотой, то где она находится? Как ее найти?

Вместо развернутого теоретического обсуждения обратимся к конкретике. Лучше всего провести параллель с одним из видов искусства. Мы уже говорили в предисловии, что искусство дает множество примеров, но пусть читатель не забывает, что они могут быть довольно неожиданными.

Поэтому вместо того чтобы задуматься, в чем именно заключается красота математики, попытаемся ответить на другой вопрос: в чем заключается красота Парфенона?

Строительство Парфенона на афинском Акрополе началось примерно в 447 году до н. э., спустя несколько десятилетий после того, как персы опустошили город и разрушили Акрополь до основания. Строительство Парфенона продолжалось почти десять лет, еще несколько лет ушло на завершение отделки под руководством скульптора Фидия. Из греческого храма Парфенон превратился в церковь, затем — в мечеть, а в XVII веке турки использовали его как пороховой склад. В1687 году храм серьезно пострадал при обстреле Афин венецианским флотом. В начале XIX века англичане демонтировали значительную часть скульптур и фризов, украшавших фронтоны здания, так как они якобы нуждались в реставрации. Эти украшения до сих пор находятся в Британском музее.

Однако оставшихся украшений, которые сохранились до наших дней, достаточно, чтобы мы смогли ответить на вопрос, в чем заключается красота Парфенона.

Если мы внимательно рассмотрим здание Парфенона, то увидим, что его размеры гармоничны, его колонны, слегка наклоненные к центру, имеют соразмерные пропорции, а их особая форма компенсирует оптические искажения. Даже горизонтальные линии здания — например, линии антаблементов и лестниц — искривлены так, что кажутся прямыми. За счет этого, по словам Джорджа Сантаяны, удалось избежать сухости и жесткости, свойственной длинным прямым линиям. (Возможно, подобные искривления, как отмечает архитектор Оскар Тускетс, объясняются не столько эстетическими, сколько практическими причинами: они обеспечивали сток дождевой воды, попадавшей в перистиль.) Наконец, Парфенон отличает гармония декоративных элементов, в том числе элементов фронтонов главных фасадов, которые мы можем представить — если нам позволит сила воображения, — глядя на рисунки, планы здания и остатки украшений, хранящихся в Британском музее.

Вывод очевиден: красота Парфенона — в гармонии его архитектурных элементов. Взяв этот вывод за основу, зададимся вопросом: из каких элементов состоят математические рассуждения? Они состоят из математических идей. Иными словами, красоту математических рассуждений следует искать в гармоничном сочетании математических идей, из которых они состоят.

Этот вывод, к которому мы пришли не совсем прямым путем, привел еще Годфри Харолд Харди почти три четверти столетия назад в своем эссе «Апология математика». В этой небольшой книге, о которой мы подробнее поговорим в главе 4, Харди пишет: «Математик, подобно художнику или поэту, создает образы. Если его «образы» долговечнее их образов, то потому, что они состоят из идей. Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике».

Парфенон, вид сбоку. Вы можете видеть, какой ущерб был нанесен зданию в 1687 году при взрыве турецкого порохового склада, располагавшегося внутри храма.

Одна из метоп Парфенона, которая в настоящее время хранится в Британском музее. Эта метопа украшала южный фриз храма, декоративные элементы которого были посвящены кентавромахии.

Настало время продемонстрировать гармоничное сочетание математических идей. По разным причинам, которые я объясню чуть позже, я выбрал одно из них, не только очень красивое, но и необычное: это расчет квадратуры сегмента параболы, изложенный Архимедом в «Методе», одном из его фундаментальных трудов. Этому примеру мы посвятим оставшуюся часть главы, так как, учитывая цель, которую поставил перед собой автор этой книги, совершенно необходимо изложить все сопутствующие обстоятельства и привести исторический контекст. Поэтому прежде чем привести сам пример, вкратце расскажем о «жизни и чудесах» Архимеда. Сначала мы изложим историю его смерти — возможно, одну из самых символичных историй античного мира.

Смерть Архимеда и его инженерные достижения

О смерти Архимеда говорится в произведениях разных эпох, начиная от мозаики, найденной при раскопках Помпеи, и заканчивая фресками Пеллегрино Тибальди в библиотеке монастыря Эскориал в Мадриде и картиной Делакруа.

Эта история произошла в 212 году до н. э., спустя пять лет после взятия Сагунта войсками Ганнибала, что стало началом Второй пунической войны. В этом году основные военные действия переместились на Сицилию, в частности в Сиракузы — город, дружественный Карфагену, который в то время осаждали войска римского генерала Марка Клавдия Марцелла. Рим хотел взять остров под контроль и захватить урожай зерновых. Штурм Сиракуз завершился неудачей. Только после длительной осады город сдался армии Марцелла, и римские солдаты занялись грабежами и разбоем. Во время этих беспорядков и был убит Архимед, которому в то время уже перевалило за 70. Римский писатель Валерий Максим спустя два столетия так описывал это событие:

«Римский солдат, ворвавшийся в дом Архимеда, чтобы ограбить его, направил на ученого меч и спросил его, кто он такой. Архимед, целиком погруженный в решение задачи, не назвал себя и, указав на линии, проведенные на песке, сказал: «Пожалуйста, не трогай моих чертежей». Солдат, услышав в ответе ученого оскорбление, отрубил ему голову, и кровь Архимеда смешалась с плодами его науки».

На этой мозаике, найденной на раскопках Помпеи, изображен римский солдат, который через мгновение обезглавит Архимеда , и кровь ученого прольется на его чертежи.

Смерть Архимеда следует считать трагической случайностью, так как генерал Марцелл приказывал найти мудреца и сохранить ему жизнь. Плутарх в I веке так описывал этот эпизод в своей «Жизни Марцелла»: «Нельзя усомниться в том, что Марцелл очень сожалел об этом и, извергая проклятия, приказал привести к нему солдата, который убил Архимеда. Затем Марцелл повелел разыскать родственников Архимеда и окружить почетом».

Марцелл проявлял интерес к Архимеду не потому, что тот был известным математиком: Архимед также был видным инженером. По легенде, он обладал сверхъестественным даром изобретательства, и его считали почти полубогом: «Все тайны Вселенной были известны Архимеду, — пишет Силий Италик в своей поэме «Пуника» (I век). — Он знал, когда неяркие лучи нарождающегося солнца предвещают бурю, неподвижна ли Земля или вращается вокруг оси, почему море, распростершееся по земному шару, приковано к его поверхности, почему возникают волны на море и каковы фазы Луны, какому закону подчиняются океанские приливы и отливы. Он стал известен тем, что сосчитал, сколько песчинок на Земле; он, кто смог снять с мели галеру силами одной женщины; он, кто поднял гору камней против уклона земли».

У Плутарха мы также находим упоминание легендарной способности Архимеда использовать рычаги: «Архимед как-то раз написал царю Гиерону, с которым был в дружбе и родстве, что данною силою можно сдвинуть любой данный груз; как сообщают, увлеченный убедительностью собственных доказательств, он добавил сгоряча, что будь в его распоряжении другая земля, на которую можно было бы встать, он сдвинул бы с места нашу».

* * *

АРХИМЕД  И ЕГО БОЕВЫЕ МАШИНЫ

Описания разрушительной силы военных машин Архимеда у классических историков напоминают дантовские сцены: «Итак, римляне напали с двух сторон, и сиракузяне растерялись и притихли от страха, полагая, что им нечем сдержать столь грозную силу. Но тут Архимед пустил в ход свои машины, и в неприятеля, наступающего с суши, понеслись всевозможных размеров стрелы и огромные каменные глыбы, летевшие с невероятным шумом и чудовищной скоростью, — они сокрушали все и всех на своем пути и приводили в расстройство боевые ряды, — а на вражеские суда вдруг стали опускаться укрепленные на стенах брусья и либо топили их силою толчка, либо, схватив железными руками или клювами вроде журавлиных, вытаскивали носом вверх из воды, а потом, кормою вперед, пускали ко дну, либо, наконец, приведенные в круговое движение скрытыми внутри оттяжными канатами, увлекали за собою корабль и, раскрутив его, швыряли на скалы и утесы у подножия стены, а моряки погибали мучительной смертью. Нередко взору открывалось ужасное зрелище: поднятый высоко над морем корабль раскачивался в разные стороны до тех пор, пока все до последнего человека не оказывались сброшенными за борт или разнесенными в клочья, а опустевшее судно разбивалось о стену или снова падало на воду, когда железные челюсти разжимались».

Фрагмент фрески Джулио Париджи конца XVI века, на которой изображена одна из хитроумных военных машин, созданных Архимедом .

* * *

Живительнее всего то, что Архимед использовал рычаги не только для перемещения огромных весов — он применил рычаги в чистой геометрии и провел с их помощью сложные расчеты, в частности вычислил площадь сегмента параболы. О решении этой задачи мы расскажем чуть позже, а сначала приведем еще несколько историй об Архимеде.

Легенды об  Архимеде

Хотя Архимед был умелым инженером, по легенде, его больше всего интересовали теоретические задачи геометрии. «Архимед, — пишет Плутарх, — был человеком такого возвышенного образа мыслей, такой глубины души и богатства познаний, что о вещах, доставивших ему славу ума не смертного, а божественного, не пожелал написать ничего, но, считая сооружение машин и вообще всякое искусство, сопричастное повседневным нуждам, низменным и грубым, все свое рвение обратил на такие занятия, в которых красота и совершенство пребывают не смешанными с потребностями жизни». И действительно, неизвестно никаких исследований Архимеда, посвященных военным машинам, однако следует учитывать, что множество его работ утрачены, а в сохранившихся можно увидеть практическую направленность — например, Архимед доказал, что число π чуть меньше 22/7 и чуть больше 223/71. Он вообще выделялся на фоне остальных математиков Древней Греции, а благодаря решению некоторых задач стал героем легенд и анекдотов.

Кто не знает изречений «Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю» или «Эврика!»? Очевидно, что все они хотя бы отчасти соответствуют действительности. Вспомним известную легенду, в которой рассказывается, как Архимед смог определить, из чистого ли золота сделана корона царя Гиерона, использовав разницу плотности золота и серебра. Решив задачу, Архимед издал всем известный возглас «Эврика!», который позднее стал боевым кличем ученых. Витрувий в девятой из «Десяти книг об архитектуре» рассказывает эту историю так: «Гиерон, достигший царской власти в Сиракузах, после удачного завершения своих предприятий, решил по обету бессмертным богам поместить в одном из храмов золотой венец, он заказал сделать его за определенную плату и отвесил нужное количество золота подрядчику. В назначенный по договору срок тот доставил царю тонко исполненную работу, в точности, видимо, соответствовавшую весу отпущенного на нее золота. После же того как сделан был донос, что часть золота была утаена и при изготовлении венца в него было примешано такое же количество серебра, Гиерон, негодуя на нанесенное ему оскорбление и не находя способа доказать эту покражу, обратился к Архимеду с просьбой взять на себя разрешение этого вопроса. Случилось так, что в то время как Архимед над этим думал, он пошел в баню и, садясь в ванну, заметил, что чем глубже он погружается в нее своим телом, тем больше через край вытекает воды. И как только это указало ему способ разрешения его вопроса, он, не медля, вне себя от радости, выскочил из ванны и голый бросился к себе домой, громко крича, что нашел то, что искал; ибо на бегу он то и дело восклицал по-гречески: «Эврика!»

* * *

НАГОТА АРХИМЕДА

Архимед изображен нагим не только в истории об «Эврике». В других сценах, исполненных гедонизма, мы вновь встречаем похожие описания: «И нельзя не верить рассказам, будто он был тайно очарован некоей сиреной, не покидавшей его ни на миг, а потому забывал о пище и об уходе за телом, и его нередко силой приходилось тащить мыться и умащаться, но и в бане он продолжал чертить геометрические фигуры на золе очага и даже на собственном теле, натертом маслом, проводил пальцем какие-то линии — поистине вдохновленный Музами, весь во власти великого наслаждения» [5] — пишет Плутарх в «Сравнительных жизнеописаниях».

Эта «вдохновленность Музами», свойственная любому ученому, погруженному в себя, не раз вызывала возмущение церковных сановников: они видели в этом некий эротизм, уподоблявший страсть к науке плотским страстям. Известны слова Блаженного Августина: «Помимо вожделения плоти, которое заключается в удовольствии всех чувств и которому уступают те, кто становится его рабом, удаляясь от Господа, также удаляется душой от Господа тот, кто испытывает пустое любопытство, скрытое под эвфемизмами "знание" и "наука"». Отголосок этой мысли слышится во фразе Стивена Хокинга, одного из известнейших ученых наших дней: «Самое приятное в жизни — открывать что-то, о чем раньше никто не знал. Я сравнил бы это с сексом, но он проходит куда быстрее, чем это потрясающее ощущение».

Гравюра конца XVI века, на которой изображена знаменитая история «Эврики!» Архимеда .

* * *

Эта история, как и все ее версии, не совсем верна с научной точки зрения. Как в свое время совершенно справедливо заметил Галилей, опыт Архимеда, несомненно, был намного точнее, чем это описано в исторических анекдотах. Очевидно, что если бы Витрувий включил в свой рассказ подробное изложение опыта Архимеда, его история утратила бы часть своей привлекательности, так как образ нагого ученого, кричащего «Эврика, Эврика!», привлекает намного большее внимание, чем образ того же ученого, склонившегося за рабочим столом.

Легенду, согласно которой Архимед сжег римские военные корабли с помощью зеркал, решительно можно считать художественным вымыслом. В исторических источниках, ближайших по времени к эпохе Архимеда, его подвиги как военного инженера описываются в возвышенных тонах и с большими преувеличениями, однако зажигательные зеркала не упоминаются. Вероятно, этот эпизод был добавлен к историям о чудесных боевых машинах Архимеда позже, тем более что он вряд ли располагал необходимыми технологиями для изготовления таких зеркал. Возможно, он знал, как их можно сделать, и по этой причине изобретение приписывается именно ему.

Гравюра, посвященная легендарному изобретению Архимеда  — зажигательным зеркалам, с помощью которых он сжег вражеские корабли при осаде Сиракуз.

Точнее говоря, Архимед, разумеется, знал, что зеркало в форме параболоида вращения фокусирует солнечные лучи в определенной точке, называемой фокусом. Для тех читателей, кто не знаком с параболоидом вращения, укажем, что это поверхность, получаемая вращением параболы вокруг оси.

Архимед доказал несколько удивительных утверждений о параболах. Одно из них, касающееся квадратуры параболы, мы используем в качестве примера, показывающего, как гармоничное сочетание математических идей рождает красоту в математике.

Квадратура параболы

Парабола входит в число конических сечений, то есть кривых, получаемых сечением конуса плоскостью. В зависимости от расположения этой плоскости сечением конуса будет окружность, эллипс, гипербола или парабола. Последнюю мы получим, когда секущая плоскость расположена параллельно образующей конуса.

Полное фото семейства: конус и его отпрыски.

Греки попытались решить задачу о квадратуре для областей, ограниченных каждой из этих кривых, с помощью циркуля и линейки. В случае с окружностью и эллипсом они потерпели неудачу, так как для вычисления искомой квадратуры требовалось знать точное значение числа π. Неудача постигла их и при вычислении квадратуры гиперболы, так как для этого требовалось рассчитать логарифмы. Однако им удалось квадратуру параболы — это сделал Архимед тремя разными способами, один удивительнее другого. Рассуждения Архимеда изложены в его труде под названием «Метод» — об удивительной истории этой книги мы расскажем позже.

Парабола может быть определена не только как коническое сечение, но и следующим способом. Допустим, дан угол с вершиной в точке А, образованный сторонами АВ и АС. Обозначим через r соотношение длин этих сторон: r = АВ/АС. Предлагаем читателю выбрать произвольную точку на отрезке АС. Она будет располагаться на некотором расстоянии от вершины А (обозначим его через d). Соедините эту точку с точкой отрезка АВ, находящейся на расстоянии d·r от В. Если вы проведете это построение для всех точек стороны АС, построенные отрезки будут описывать кривую, являющуюся частью параболы. Эта кривая изображена на следующем рисунке: слева показаны несколько точек отрезка АС, соединенные с соответствующими точками отрезка АВ, справа — парабола, описанная этими отрезками.

Осью этой части параболы будет прямая, соединяющая точку А с серединой отрезка ВС. Точка V, где ось пересекает параболу, называется вершиной.

Парабола, ее ось и вершина.

Рассмотрим сегмент параболы BVC с вершиной в точке V.

На этом сегменте параболы мы построим треугольник с вершинами D, В и С: сторона DB будет параллельной оси сегмента параболы и пройдет через точку В, а сторона DC будет касаться параболы в точке С.

Архимед доказал, что площадь сегмента параболы BVC равна одной третьей площади треугольника BDC. Ключевым элементом его рассуждений стало умелое использование рычага. Чтобы читателю было проще понять, приведем схему рассуждений в общем виде. Сначала мы представим треугольник и сегмент параболы в виде совокупностей отрезков прямых, затем вставим в геометрическую фигуру рычаг — он позволит нам сравнить отрезки, на которые мы разделили обе фигуры. Затем вновь составим из этих отрезков треугольник и параболу, которые будут находиться в равновесии на концах рычага. Согласно правилу рычага, площади треугольника и параболы будут обратно пропорциональны плечам рычага, уравновешивающего их.

Наконец, вычислим искомое соотношение плеч рычага. Чтобы читатель смог лучше понять эстетику этих рассуждений, напомним ему фразу Эмиля Шартье (Алена): «Прекрасное не доставляет удовольствие или неудовольствие — оно заставляет нас задержаться». Подробные рассуждения выглядят следующим образом.

Архимед счел, что треугольник BDC образован множеством отрезков XT, параллельных оси параболы (или стороне треугольника BD), а сегмент параболы BVC образован множеством прямых отрезков ХР, параллельных оси параболы, как показано на следующем рисунке. Представление геометрической фигуры в виде множества отрезков было чем-то доселе невиданным в математике. В следующий раз этот метод был применен в XVII веке, спустя почти две тысячи лет.

Далее Архимед сравнил отрезки, из которых состояли рассматриваемые фигуры, с помощью рычага. Плечо рычага будет располагаться вдоль прямой, соединяющей вершину треугольника С с вершиной параболы V, а точкой опоры рычага будет точка F — точка пересечения плеча рычага и стороны BD треугольника. Левый конец рычага Е i  будет располагаться в одной точке и находиться на том же расстоянии от точки F, что и вершина С треугольника. Иными словами, длины отрезков E i F и FC равны. Положение правого конца рычага E d будет изменяться. Его определит пересечение плеча рычага с одним из отрезков, образующих треугольник.

Следовательно, если мы перенесем отрезок, образующий параболу, к левому концу рычага E i , при этом на правом конце рычага E d положение отрезка, образующего треугольник, останется неизменным (как показано на рисунке ниже),

рычаг будет находиться в равновесии.

Следовательно, при рассмотрении параболы как совокупности отрезков Архимеду удалось сбалансировать на разных концах рычага параболу (ее центр тяжести совпадает с точкой E i ) и треугольник, центр тяжести которого, точка G, совпадает с правым концом рычага.

Согласно правилу рычага, соотношение площадей параболы и треугольника обратно пропорционально отношению плеч рычага, на которых располагаются парабола и треугольник. Это соотношение равно одной третьей, что объясняется на следующей странице. Следовательно, площадь сегмента параболы BVC равна одной трети площади треугольника BDC.

* * *

ПРОПОРЦИЯ И РАВНОВЕСИЕ

Рассмотрим подробнее, почему соотношение плеч рычага, на котором уравновешены треугольник и парабола, равно одной третьей. В силу особенностей построения левое плечо рычага  E i F равно отрезку FC , а правое плечо рычага — это отрезок FG . Центр тяжести треугольника — это точка пересечения его медиан (прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами противоположных сторон). Центр тяжести делит медианы в соотношении 2:1, считая от вершины. Так как FC — медиана треугольника (этот отрезок соединяет вершину  С и середину стороны В ), длина отрезка FG будет равна одной трети длины отрезка FC .

* * *

Математика: результат творчества или открытия?

Рассуждения Архимеда, позволившие ему вычислить квадратуру параболы, помогут нам ответить на непростой вопрос: можно ли назвать ученого творцом? Толчком к этой полемике стали размышления об эстетике.

Большинство, возможно, полагает, что термин «творец» неприменим к ученым в целом и математикам в частности. К примеру, Фернандо Саватер в «Вопросах жизни» писал: «Творец — тот, кто создает что-то, что без него никогда не появилось бы на свет, тот, кто привносит в мир что-то, что без него никогда не могло бы существовать именно в таком виде, а не в другом, более или менее похожем». Так, Александр Флеминг не «изобрел» пенициллин, а открыл его: «Если бы он не открыл пенициллин, рано или поздно другой мудрец открыл бы лечебные свойства этого чудесного грибка. Напротив, если бы Моцарт или Сервантес умерли бы в младенчестве, никто бы не написал «Волшебную флейту» и не рассказал бы историю Дон Кихота». С философом Саватером согласны и другие ученые, например лауреат Нобелевской премии по медицине Франсуа Жакоб.

Любой научный факт имеет два аспекта. Первый аспект — это само открытие, будь то теорема, универсальный закон, галактика или химический элемент, второй — форма, в которой было совершено это открытие. Если мы используем термин «открытие», то уместно было бы назвать ученых «первооткрывателями». Однако порой случается — возможно, редко, но все же случается, — что ученого уместно назвать творцом, так как он совершил или представил свое открытие совершенно уникальным способом.

Так, можно сказать, что Архимед не был творцом соотношения площадей сегмента параболы и треугольника — рано или поздно это соотношение обнаружил бы и другой ученый. Однако Архимед не просто определил соотношение между площадями фигур, а сделал это определенным образом. И именно этот конкретный способ уравновешивания площадей посредством рычага можно назвать результатом творчества. Как мы не можем представить картину «Менины» без Веласкеса, так и эти геометрические рассуждения нельзя представить без Архимеда. Можно сказать, что Архимед открыл формулу квадратуры параболы, но его исполненный эстетики метод разделения фигур на отрезки с их уравновешиванием — результат творчества в полном смысле этого слова, о котором говорил Саватер: «без него [это] никогда не могло бы существовать именно в таком виде, а не в другом, более или менее похожем».

Если бы Архимед умер в младенчестве, никто не вычислил бы площадь сегмента параболы, уравновесив ее с треугольником с помощью рычага, и это исторический факт, а не личное мнение. Рассуждения Архимеда уникальны, а сам его труд под названием «Метод», в котором ученый объяснил свои расчеты, дошел до наших дней благодаря удивительным обстоятельствам. Подобно множеству античных научных трудов и художественных произведений, работы Архимеда не раз могли бесследно затеряться. И некоторые его книги действительно оказались утеряны. Эта участь могла ожидать все или почти все труды Архимеда, которые на протяжении многих веков сохранялись в виде одной-двух рукописей. Ветер Истории переносил их с одного побережья Средиземного моря на другое, как сухую листву, в то время как совсем рядом гремели боевые барабаны, солдаты мародерствовали, а пожары уничтожали целые города.

«Метод» Архимеда и письменные источники

Древнейшие рукописи с трудами Архимеда, о которых нам известно, были созданы в Константинополе в Х-м или, что маловероятно, в IX веке. Должны были существовать и более древние рукописи, в том числе и написанные самим Архимедом в III веке до н. э., но все они утрачены.

Архимед наверняка создал все или большинство своих трудов в изоляции от других ученых, в родных Сиракузах. В этом городе он родился в 287 году до н. э., однако в юности учился в Александрии — центре эллинистической математики и науки вообще (Александрия имела этот статус начиная с момента основания Александром Македонским и до V века). Закончив обучение в Александрии, Архимед вернулся в Сиракузы, где прожил большую часть жизни. Если говорить современным языком, то научные труды Архимеда, дошедшие до наших дней, представляют собой монографии. Они были написаны в разные годы и попали из Сиракуз в Александрию и даже в Самос, где жил Конон, один из самых близких друзей Архимеда. В число этих монографий входит «Метод», представляющий для нас наибольший интерес. Это длинное письмо Архимеда к Эратосфену, который в то время был главой Александрийской библиотеки. В этом письме Архимед излагает свой метод совершения научных открытий.

Весьма вероятно, что все произведения Архимеда попали в Александрию разными путями, и ни при его жизни, ни в первые годы после его смерти не образовывали единое целое. По своему масштабу и размаху труды Архимеда значительно превосходят «Начала» Евклида. Большая часть «Начал» содержала элементарные рассуждения, и это заставляет предполагать, что было создано множество копий труда Евклида. А вот работы Архимеда имели более высокий уровень и были понятны лишь посвященным. Естественно, что они существовали лишь в нескольких копиях, которые, возможно, хранились в Александрийской библиотеке или в ее отделении в Серапеуме. В результате часть копий была утеряна, другая серьезно пострадала. Ущерб, нанесенный произведениям Архимеда, стал заметен уже спустя полвека после его смерти — об этом упоминали авторы, которые не смогли найти некоторые из теорем Архимеда. Однако из других источников известно, что еще в III–IV веках существовали произведения Архимеда, до наших дней не дошедшие, — возможно, они были утеряны при разрушении Серапеума в 391 году.

В первой трети VI столетия была предпринята попытка объединить труды Архимеда, упорядочить их и снабдить комментариями. Нельзя утверждать, что это была первая из подобных попыток, но упоминаний о более ранних собраниях сочинений Архимеда не сохранилось. Следующее действие этой истории развернулось в Константинополе, когда на смену Восточной Римской империи пришла Византийская империя, а императора Юстина, грубого и безграмотного служаку, сменил образованный Юстиниан, знаток богословия и права. Во время его правления, возможно, возродился интерес к античной математике. Это не привело к появлению видных математиков, однако в результате для потомков были сохранены некоторые важные труды, в том числе произведения Архимеда. Это стало своеобразным реквиемом по греческой науке: в 529 году Юстиниан издал указ о закрытии Академии Платона и других научных и философских центров, которые якобы проповедовали языческое учение.

Спустя три года император принял решение построить собор Святой Софии. Именно авторы проекта нового собора, Исидор Милетский и Анфимий Тралльский, помогли сберечь научное наследие греков, повелев найти и переписать все сохранившиеся к тому времени классические труды, а также составить их списки. Один из учеников Исидора Милетского и Анфимия Тралльского, Евтокий, составил сборник трудов Архимеда, которые смог найти, и прокомментировал три из них.

Два столетия спустя Византия вновь пережила период культурного, военного и религиозного расцвета. Именно тогда были составлены три рукописи на греческом языке, благодаря которым труды Архимеда, дошедшие до наших дней, стали известны ученым последнего тысячелетия. Эти три рукописи, по-видимому, появились в одном и том же городе, Константинополе, в IX–X веках, однако они имели очень разную судьбу. Из трех рукописей до наших дней дошла всего одна, и она не оставила сколько-нибудь заметного следа в истории. А вот две исчезнувшие оказали огромное влияние на европейскую математику XVII века, когда, говоря современным языком, Архимед был самым цитируемым математиком, хотя его работы насчитывали уже почти две тысячи лет. Обозначим эти три рукописи A, В и С. Рукописи А и В, вместе либо по отдельности, в XII веке попали из Константинополя на Сицилию, родину Архимеда.

Рукопись В, возможно, содержала труды по механике и оптике. Она исчезла в начале XIV века и о ней известно лишь то, что в XIII веке на ее основе некоторые труды Архимеда были переведены на латынь.

Рукопись А жила бурной жизнью и пропала в середине XVI века, однако после нее осталось довольно много потомков — копий, выполненных в середине XV — середине XVI века, которые дошли до наших дней. Четыре копии, сохранившиеся лучше остальных, находятся в Национальной библиотеке святого Марка в Венеции, еще две — в Национальной библиотеке Франции.

Разворот латинского перевода трудов  Архимеда , выполненного Вильгельмом Мербеке .

На основе рукописи А и ее списков, а также латинского перевода рукописи В было подготовлено первое печатное издание трудов Архимеда на греческом и латыни. Эта книга была издана в Базеле в 1544 году. С ее появлением математики Возрождения и барокко наконец смогли познакомиться с большинством работ Архимеда. Однако в эту книгу не вошел «Метод», которого не было в рукописях А и В.

Рукопись С — единственная, местонахождение которой известно на сегодняшний день. Ее обнаружил эрудит Йохан Гейберг, преподаватель греческого языка в Кембриджском университете, в 1906 году. Этот документ представляет собой палимпсест — древнюю рукопись, сделанную поверх более ранних записей. В нашем случае поверх математического трактата был написан молитвенник для воскресных служб и других христианских праздников.

Рукопись  С

Рукопись С имеет удивительную историю. Возможно, это была последняя из трех византийских рукописей с трудами Архимеда, и это единственная рукопись, местонахождение которой сегодня известно. Она оказала наименьшее влияние на математику, так как считалась утерянной до 1906 года, и с момента ее обнаружения прошло чуть больше ста лет.

Судя по особенностям письма, рукопись была составлена примерно в 975 году. Два с половиной столетия спустя кто-то решил, что поверх нее можно записать нечто более интересное, и полностью соскоблил ее текст, чтобы лист пергамента можно было использовать повторно. Рукопись Архимеда была дополнена листами из четырех других книг. Листы пергамента были перемешаны, обрезаны и переплетены снова, в результате новый текст был записан перпендикулярно старому. Переписчик записал христианские молитвы поверх сложнейших и тончайших рассуждений древнегреческого математика. С помощью ультрафиолетовых лучей ученые смогли прочесть послесловие, где указывалось, что палимпсест был завершен 13 апреля 1229 года.

Труды Архимеда были скрыты христианскими молитвами, но время взяло свое, и постепенно любопытство ученых привлек исходный текст рукописи. В середине XIX века немецкий исследователь Константин Тишендорф, посетив Константинополь, сообщил о том, что обнаружил палимпсест с математическими рассуждениями. Палимпсест постепенно начал раскрывать свои секреты. Тишендорф не постеснялся вырвать из рукописи один лист, — он и не предполагал, что держит в руках теоремы Архимеда. Этот лист, согласно завещанию Тишендорфа, в 1876 году был продан Кембриджскому университету, где хранится и сейчас.

Следующим исследователем, который обратил внимание на эту рукопись, был греческий палеограф Пападопулос Керамеус, который включил ее в каталог рукописей, опубликованный в 1899 году. Ему удалось прочесть несколько строк Архимеда, которые он привел в своем каталоге. Согласно Пападопулосу, рукопись содержала примечания XVI века (они не дошли до наших дней), где указывалось, что книга принадлежала Лавре Саввы Освященного в Палестине. Неизвестно, как и почему пергамент оказался в этом монастыре-крепости, затерянном в горах к югу от Вифлеема. Палимпсест неопределенное время находился в Палестине, после чего вернулся в Константинополь, где его обнаружил Тишендорф в 1840 году и вырвал из него один лист.

Несколько строк, опубликованных Пападопулосом Керамеусом, чрезвычайно заинтересовали Йохана Людвига Гейберга, который в 1880–1881 годах опубликовал прекрасное издание трудов Архимеда. В 1906 году Гейберг переехал в Константинополь, где изучил палимпсест и понял, что в нем было сокрыто несколько трудов Архимеда, два из которых, «Метод» и «Стомахион» (сохранилась лишь небольшая часть последнего), не содержались ни в одной из известных на то время рукописей с произведениями ученого. Еще один труд, «О плавающих телах», был известен только по средневековому переводу рукописи В на латынь. Несомненно, обнаружение рукописи С стало важнейшим событием нескольких последних столетий для понимания классической науки. На основе фотографий пергамента Гейберг подготовил новое издание трудов Архимеда, которое увидело свет в 1910–1915 годах (разумеется, в собрание был включен и «Метод»). Глубина и серьезность исследования Гейберга поражают, особенно если учесть, что в его распоряжении находились очень скудные технические средства, а прочесть оригинальный текст было непросто.

* * *

БОЛЬ В ЖИВОТЕ

Стомахион — греческое слово, которое означает «боль в животе», а также служит названием одного из трудов Архимеда и геометрической головоломки. В этой головоломке нужно составить квадраты и другие фигуры из 14 частей, на которые разделен исходный квадрат. Собрать эту головоломку сложно, поэтому она действительно может вызвать головную боль и даже боль в животе — именно таково происхождение ее названия и названия труда Архимеда, который известен только благодаря отрывку, переведенному на арабский, и двум страницам палимпсеста, которые дошли до нас в очень плохом состоянии. По результатам изучения рукописи С сегодня считается, что «Стомахион» Архимеда мог быть трактатом по комбинаторике. Это открытие, которое, впрочем, не подтверждено документально, учитывая недостаток материала и его плохое состояние, стало настоящим сюрпризом, ведь древнегреческие математики, и в частности Архимед, были очень далеки от комбинаторики.

Слева — начальное положение элементов «Стомахиона». Справа — один из 17152 вариантов, которыми можно составить исходный квадрат из элементов головоломки.

* * *

История рукописей Архимеда гласит, что «Метод» был неизвестен математикам практически с момента создания и до публикации Гейбергом в начале XX века. Следовательно, неизвестным оставался и метод расчета площади сегмента параболы, который мы описали в предыдущем разделе. У нас нет сведений ни об одном математике, который на протяжении двух тысячелетий с небольшим вычислил бы площадь параболы, уравновесив ее на одном рычаге с треугольником. Это доказывает, что если бы Архимед умер в младенчестве, этот способ вычисления площади сегмента параболы никогда не существовал бы именно в таком виде, а не в другом, более или менее похожем. Никому никогда не удалось повторить рассуждений Архимеда. Так что его метод, полный гармонии и красоты, можно по праву назвать результатом творчества.

Последние перипетии в истории палимпсеста  Архимеда

Было бы непростительно закончить эту главу, не рассказав о последних перипетиях в истории рукописи С. После публикации Гейбергом палимпсест, скорее всего, был украден. Его местонахождение было неизвестно на протяжении почти всего XX века, пока он вновь не появился 28 октября 1998 года в Нью-Йорке на аукционе Christie’s. Рукопись была приобретена за сумму, превысившую два миллиона долларов, неизвестным американским коллекционером. Спустя несколько месяцев новый обладатель палимпсеста передал его Музею искусства Уолтера в Балтиморе для хранения и изучения.

Интернет-страница The Archimedes Palimpsest Project («Проект "Палимпсест Архимеда"») содержит подробную информацию о восстановлении древней рукописи.

Палимпсест был тщательно отреставрирован и изучен знатоками античной науки, реставраторами и специалистами по обработке изображений, которые использовали самые современные технологии. Это неудивительно, ведь в ходе своей одиссеи в XX веке рукопись пострадала больше, чем за предыдущие тысячелетия.

Несколько страниц исчезло, многие другие были серьезно повреждены плесенью, из-за чего их содержимое стало невозможно разобрать невооруженным глазом (эти повреждения особенно заметны, если сравнить современное состояние палимпсеста с фотографиями Гейберга), наконец, кто-то, посчитав, что это привлечет интерес к рукописи и повысит ее цену, изобразил на ней четыре миниатюры из жизни евангелистов — в результате поврежденными оказались еще несколько страниц.

 

Глава 2

Почему оценить красоту математики непросто

Как мы уже говорили в начале предыдущей главы, никто не удивится, если случайный прохожий, которого мы спросим об эстетической ценности математики, лишь скептически поднимет брови. Мы же считаем, что эта эстетическая ценность, безусловно, существует, и сомнения случайного прохожего означают лишь одно: оценить красоту математики непросто. Здесь и возникает вопрос, вынесенный в название главы.

Пять чувств и изобразительное искусство

Мы знаем, что красота математических рассуждений заключается в гармоничном сочетании идей, которые их образуют, подобно тому как красота здания складывается из гармоничного сочетания его архитектурных элементов. Однако большинству людей намного сложнее оценить красоту теоремы, чем красоту готического собора.

В чем же причина? По нашему мнению, ответ на этот вопрос лежит в области физиологии: людям сложно оценить эстетическую ценность математических рассуждений, так как нам не хватает отдельного чувства, позволяющего автоматически различить структуру идей, составляющих рассуждения, и оценить гармоничность их сочетания.

Прежде чем обсудить это утверждение, приведем несколько примеров, показывающих тесную связь между нашими чувствами и визуальным искусством.

Живопись

Начнем с живописи. Можно сказать, что красота картины заключается в гармоничном сочетании ее элементов: форм, цветов, композиции, пространства, света и даже текстуры. Из утилитарных соображений рассмотрим живопись с чисто формальной точки зрения, оставив в стороне ее этическую, моральную и другую ценность и функции. Об этом мы поговорим позже.

Как бы то ни было, все элементы картины, а также связи между ними воспринимаются зрением напрямую.

Рассмотрим наскальный рисунок. Он состоит из простых цветных пятен на стене пещеры. Зрение позволяет нам понять, что на рисунке изображены животные и люди на охоте. Мы с первого взгляда увидели всю структуру форм картины, и теперь наш мозг может решить, гармонична ли ее композиция.

Наскальный рисунок на плато Тассилин-Адджер на юго-востоке Алжира. Плато объявлено объектом всемирного наследия ЮНЕСКО, так как на нем было сделано множество ценных археологических находок.

Точно так же достаточно одного взгляда, чтобы оценить картину Яна ван Эйка «Портрет четы Арнольфини» — мозг автоматически получает информацию о цветах и может определить, кажется ли картина красивой.

Так же автоматически зрение воспринимает композицию фрески Рафаэля «Афинская школа» в Ватиканском дворце: персонажи картины, в числе которых можно увидеть Пифагора, Евклида, Птолемея и, разумеется, Платона и Аристотеля, рас положены симметричными группами. Мы мгновенно воспринимаем расположение персонажей под куполами, ограничивающими сцену, и глубину, созданную с помощью методов перспективы. Вся эта информация очень быстро передается органами зрения в мозг, и он может «решить», гармонично ли сочетание элементов композиции. Ничто не ускользает от нашего взора: ни пространство и свет, изображенные Веласкесом на картине «Менины», ни даже текстура мазков «Сеятеля» Ван Гога — здесь зрение словно заменяет тактильные ощущения.

«Портрет четы Арнольфини» — картина  Яна ван Эйка , созданная в 1434 году, хранится в Лондонской национальной галерее.

«Афинская школа» — фреска, созданная Рафаэлем Санти в 1510–1511 годах для Ватиканского дворца.

Слева — «Менины», картина Веласкеса , написанная в 1656 году, сейчас хранится в музее Прадо. Справа — фрагмент картины «Сеятель», созданной  Винсентом ван Гогом в 1888 году, в настоящее время хранится в частной коллекции.

Музыка

Похожие рассуждения будут справедливы для музыки и органов слуха. Здесь нужно рассмотреть последовательность музыкальных аккордов во времени, их кинетический характер. Философ Монро Бирдсли писал: «Музыка есть искусство, которое течет со временем: она колеблется, подпрыгивает, колышется, становится неспокойной, поднимается, запинается и беспрерывно движется». Эта временная упорядоченность музыки, которая отсутствует в живописи, также крайне важна в математике. Теорема, подобно симфонии, начинается, продолжается и заканчивается, и порядок расположения ее составных частей имеет огромное значение.

Последовательный характер музыки очень важен для ее восприятия: чтобы оценить эстетику мелодии, нужно обладать определенной звуковой памятью. При этом звуковая память человека не особенно развита по сравнению, например, с визуальной.

Как-то раз я услышал такую фразу: человек, слушающий квартет Брамса, подобен рыбе, смотрящей «Психоз» Хичкока. Наша кратковременная звуковая память не способна фиксировать сложные последовательности звуков, и еще меньше она подходит для распознавания подобных последовательностей с легким изменением ритма каждые несколько минут. Именно это чувствует рыба, которая смотрит на киноэкран: увидев эпизод фильма, уже спустя несколько минут или даже секунд она забывает его и не способна узнать персонажа, который на мгновение исчез с экрана. Мне кажется, что способность людей запоминать сложные мелодии также проявляется в распознавании абстрактных элементов грамотных математических рассуждений. Как следствие, ограниченные способности распознавания подобных шаблонов, которые столь часто встречаются в математике, всерьез мешают нам оценить их красоту.

Схожесть музыки и математики легла в основу множества эссе, которые уже написаны и наверняка появятся в будущем. Не будем забывать слова великого Лейбница: «Музыка есть тайное упражнение в арифметике ведущей счет, но не сознающей этого души». Далее мы ограничимся тем, что подчеркнем важное различие между музыкой и математикой. Когда мы наслаждаемся музыкой, органы слуха последовательно и автоматически передают мозгу мелодию, ритмические элементы, ее ритм, композицию и так далее. Располагая этой информацией, мозг определяет, можно ли считать элементы мелодии гармоничными, а музыку — красивой. Но какое из наших чувств автоматически передает мозгу последовательность математических идей, которые содержит великая теорема?

«Виолончелист». Снимок выполнен одним из пионеров фотографии Антоном Джулио Брагалья в 1913 году.

Пример из гастрономии

Все эти рассуждения справедливы и в более сложных ситуациях, когда участвуют несколько чувств, например в гастрономии, поэтому процесс сенсорного восприятия более сложен, но столь же эффективен. Так, в дегустации вина участвуют все чувства, начиная со слуха, который передает в мозг звук вина, льющегося в бокал (по этому звуку можно оценить содержание в вине глицерина и алкоголя); за ним следует зрение, которое передает тональность и насыщенность цвета; обоняние, транслирующее мозгу множество информации о запахах, в формировании которых участвуют различные сорта винограда, особенности изготовления вина, условия и продолжительность выдержки; букет, позволяющий оценить соотношение четырех основных вкусов; и даже осязание, которое передает внутреннюю гармонию различных компонентов вина. Все органы чувств сообщают мозгу информацию об органолептических свойствах вина, позволяющую оценить его с эстетической точки зрения.

В последнем примере нужно учесть некоторые минимальные начальные условия, без которых оценить эстетические свойства вина невозможно. Речь идет об отсутствии определенных религиозных и моральных ограничений — пусть и в меньшей степени, это соображение применимо для живописи и скульптуры: представьте себе знаменитый тайный зал дворца Габсбургов, где хранились изображения обнаженной натуры, или цензуру в нацистской Германии, запрещавшую полотна импрессионистов, экспрессионистов, авангардистов и других представителей «дегенеративного искусства». Необходимо обладать определенной культурой и развитой способностью оценивать и различать вкусы и запахи, а также обонятельной памятью, которая позволяет распознавать запах дегустируемого вина и сравнивать его с винами, попробованными ранее. И разумеется, важное условие — отсутствие атрофии органов чувств, возникающей при встрече с некоторыми определенными вкусами и запахами. Совсем нетрудно увидеть, что подобные начальные условия мешают нам наслаждаться математическими рассуждениями: это и антипатия, которую добрая часть населения испытывает к математике, и атрофия чувств, которую может вызвать подобная нелюбовь. Не будем говорить о причинах такого отношения к математике. Предлагаем читателю поразмыслить: рекламной индустрии удалось совершить чудо и превратить черный и сладкий освежающий напиток во «вкус жизни», просто повторив одну и ту же фразу несколько миллионов раз; то же самое, но со знаком «минус», произошло с математикой.

Литература

Наконец, рассмотрим пример, который намного ближе к математике, а именно литературу. В этом случае органы зрения (или слуха, если кто-то читает нам книгу вслух, либо осязания, если мы читаем книгу, набранную шрифтом Брайля) передают в мозг сюжетные повороты романа и строчки стихотворения. Но если мозг фиксирует живописные элементы картины или мелодию струнного квартета автоматически, то для восприятия литературы необходим определенный анализ. Причина в том, что эстетический объект, а именно литература, не имеет особенностей, доступных визуальному, аудиальному, обонятельному или осязательному восприятию, а состоит из смыслов, которые неощутимы органами чувств и являются результатом интенсивной работы разума. Эстетическая ценность романа или стихотворения не написана черным по белому — она сокрыта в тексте. Литература обладает эстетической, но не осязаемой ценностью.

Когда пяти чувств недостаточно

Представленные выше примеры подтверждают исходное утверждение: красоту математических рассуждений сложно оценить потому, что у нас нет подходящего чувства, которое позволило бы оценить композицию идей, в которой и заключена красота математики.

Математические рассуждения, подобно литературе, обладают неосязаемой эстетической ценностью: внешний вид, форма (в гегелевском смысле) математических рассуждений, которые мы способы ощутить с помощью органов чувств, не имеют отношения к их эстетической ценности — их содержимое и значение важнее. Математика, хотя и служит для описания и понимания реальности, целиком заключена в мозгу человека, и теорема — не более чем передача идей из одного мозга в другой, при этом в качестве посредника используется бумага или доска. Следовательно, нет ничего, что менее зависело бы от чувств, чем математика.

Поэтому неудивительно, что смысл математики можно понять только по результатам глубоких размышлений. Иными словами, математика — хранилище эстетической ценности, которую можно оценить не органами чувств, а в результате интеллектуального анализа. Именно поэтому оценить красоту математики сложнее, чем красоту картины, скульптуры или музыкальной композиции. Усилия, необходимые, чтобы разобраться в хитросплетении математических идей, составляющих теорему, очевидно, не всегда одинаковы. Существуют способы, позволяющие упростить эту задачу, и эти способы имеют отношение к органам чувств. Самый привычный из них — сделать математические рассуждения более понятными с помощью рисунков и геометрических фигур. В этом случае мы просто используем быстроту и легкость, с которыми зрение передает в мозг необходимую информацию.

Хотя зрение, слух и осязание делают формулировку теоремы или ее доказательство доступными для мозга, структура идей в этой формулировке или доказательстве необязательно будет заметной. Часто бывает, что она скрыта за логическими преобразованиями, которыми изобилуют доказательства теорем, раздроблена промежуточными действиями и доказательствами второстепенных утверждений, которые скрывают основные идеи и мешают оценить их гармонию. Мозг оценивает структуру идей, а в результате анализа элементов доказательства, его очистки от незначительных элементов и переупорядочивания этот процесс не протекает автоматически, и его итог может зависеть от уровня математической подготовки, приложенных усилий и так далее.

На этой фотографии 1920 года  Альберт Эйнштейн ,  Пауль Эренфест , Поль Ланжевен , Хейке Камерлинг-Оннес и  Пьер Вейс изображены за обсуждением у доски.

Органы чувств автоматически передают мозгу информацию о форме, цветах, композиции, пространстве, освещении и текстуре картины, о гармоничности и ритмичности музыкальной композиции, однако в математике этого не происходит: анализ, выполняемый в этом случае, требует усилий. И чем больше усилий необходимо, чтобы понять математические рассуждения, тем сложнее оценить их красоту. Однако, возможно, удовольствие, испытанное при виде их красоты, будет выше, ведь за сложностью могут скрываться блестящие, глубокие и даже гениальные математические идеи.

Понимание структуры идей, в зависимости от гармонии их составляющих, пробуждает эстетическое удовольствие, «душевное наслаждение», как сказано в словаре. Перефразируя описание эстетической ценности, которое привел философ Джордж Сантаяна в своей книге «Постижение красоты», можно сказать, что это объективированное удовольствие, интеллектуальное наслаждение, которое мы можем получить, если изучим и поймем некую теорему, является центральной эстетической категорией, свойством математических рассуждений, которое наделяет их красотой.

Органы чувств передают в мозг информацию о том, что происходит вне его, следовательно, без них невозможно насладиться красотой чего бы то ни было, будь то картина, симфония или пейзаж. Тем не менее удовольствие, которое вызывает красота, лежит не только в плоскости чувств, но и требует вмешательства разума.

«Довольствия, которые доставляет красота, — писал Фернандо Саватер, — наименее „зоологические“ из всех». Так, было бы неразумно полагать, что собака или горилла оценят эстетику готического собора или картины Веласкеса. Последователи Сантаяны утверждают, что существует тесная взаимосвязь между эстетическими ценностями и другими жизненно важными представлениями человека. Витгенштейн возвел эту взаимосвязь в абсолют, сформулировав уравнение: «Этика равна эстетике». В любом случае, именно этот союз красоты и разума делает математику вместилищем эстетической ценности.

Сплетение судеб

Как мы уже говорили в предисловии, цель этой книги — не развернуть сухое и скучное обсуждение эстетической ценности математики, а продемонстрировать на примерах некоторые основные принципы математической красоты. К этому мы сейчас и приступим.

Вы уже знаете, как сложно увидеть красоту, сокрытую в математических рассуждениях. Похожие сложности возникают в попытках оценить эстетику литературы. Однако литература описывает природу человека, что несколько упрощает ее восприятие: эмоции намного ближе, понятнее и поэтому интереснее нам, чем холодность прямоугольного треугольника или экзотичность простого числа. Однако математика также имеет эмоциональную составляющую, причем более интенсивную и важную, чем можно предположить. Об этом мы поговорим в следующей главе.

Мы, математики, должны уметь использовать эмоции в той же степени, что и писатели, и переводить на математический язык, пусть и с необходимыми оговорками, некоторые приемы из арсенала романистов. Расскажем об одном из таких приемов.

Одна из главных целей любого романа и, возможно, его основное достоинство заключается в том, чтобы показать богатство, разнообразие и сложность человеческой природы. В XX веке возник стилистический прием, позволяющий достичь этой цели, — это изображение человеческого муравейника, в который неизбежно превращается любой большой город, и плотной сети взаимоотношений между его жителями. Так родились романы с великим множеством персонажей, изображавшие сложность кишащего людьми мегаполиса; эти персонажи в романе, кажется, никак не пересекаются друг с другом, но постепенно скальпель автора рассекает реальность и обнаруживает плотную сеть удивительных взаимосвязей между героями. К жемчужинам этого стиля принадлежат «Манхэттен» (1925) американского писателя Джона Дос Пассоса и «Улей» (1951) испанского писателя Камило Хосе Села, лауреата Нобелевской премии по литературе, в котором описывается 296 воображаемых и 50 реальных персонажей, хотя большинство из них появляются на сцене лишь ненадолго.

В математике достаточно часто случается так, что различные законы и теоремы кажутся далекими друг от друга, однако в итоге между ними обнаруживается неразрывная связь. Математика представляет собой единое целое, и часто всего один взгляд под правильным углом или одна блестящая идея позволяют связать и объединить результаты, которые, на первый взгляд, никак не связаны между собой. Как и в романах «Манхэттен» и «Улей», демонстрация этого богатства скрытых взаимосвязей позволяет ярче выразить красоту математики. Хорхе Вагенсберг в своей книге «Интеллектуальное наслаждение» отмечает, что поиск общего принципа в различном — важнейший источник эстетического удовольствия: «Понять, что две вещи, по сути, различные, есть в конечном итоге одно и то же, — основа понимания и редкого интеллектуального наслаждения». Оставшуюся часть этой главы мы посвятим примеру, доказывающему истинность этого суждения.

Касательные окружности, рациональное приближение, диофантовы уравнения и роман «Улей»

Среди великого изобилия законов, теорем и гипотез, населяющих необозримый мир элементарной математики, выберем случайным образом трех главных героев нашей истории. Как и на страницах «Улья», эти персонажи кажутся настолько далекими друг от друга, насколько это позволяет невероятная широта и многообразие математики.

Однако в конечном счете отсутствие связей оказывается мнимым.

Первый персонаж нашей истории живет в старом квартале геометрии: это построение, в котором участвуют касательные окружности. Для удобства я дам имена всем трем нашим персонажам. Не думаю, что читатель очень удивится, когда узнает, что я дал им имена героев романа «Улей». Так, я назову нашего первого героя доньей Росой. В романе Селы донья Роса — хозяйка кафе «Утеха», где происходит действие многих эпизодов романа. «Мир для доньи Росы, — пишет Села, — это ее кафе и все прочее, что находится вокруг ее кафе. Говорят, что, когда приходит весна и девушки надевают платья без рукавов, у доньи Росы начинают поблескивать глазки. Я думаю, все это болтовня: донья Роса не выпустит из рук серебряной монеты ни ради каких радостей жизни. Что весной, что осенью. Самое большое удовольствие для нее — таскать взад-вперед свои килограммы вот так, прохаживаясь между столиками».

Второе действующее лицо нашей истории живет в рабочем районе приближений: это метод, позволяющий верно определить приближенное значение произвольного числа, например √2 или π, с помощью дробей. Этого персонажа я назову Мартин Марко. В романе «Улей» Мартин Марко — поэт-идеалист левых взглядов, который остался вне игры, когда закончилась гражданская война: «Мартин Марко, бледный, изможденный, в обтрепанных брюках и потертой куртке, прощается с официантом, поднеся руку к полям своей убогой, грязной серой шляпы». Мартин Марко выживает только благодаря заботам друзей и старых знакомых, питается жареными яйцами, которые тайком от мужа готовит ему сестра Фило, и ночует в свободных кроватях отдыхающих проституток борделя, который держит старая подруга его матери.

Третий и последний герой нашей истории — житель самого дорогого и эксклюзивного района математики — теории чисел. Это диофантово уравнение

p2 + q2 + r2 = 3·p·q·r,

точнее, тройки натуральных чисел, удовлетворяющие этому уравнению. Этого героя я назову Хулитой в честь героини романа, которую Села изображает несколько ветреной и легкомысленной: «Она красит волосы в рыжий цвет. Со своей пышной волнистой шевелюрой она похожа на Джин Харлоу». Хулита — племянница доньи Росы и встречается со своим ухажером в апартаментах доньи Селии. Возможно, многим пуристам из мира математики покажутся неуважительными подобные параллели между математическими понятиями и героями романа Селы.

Не отрицаю, что стремление сравнить геометрию или даже ее раздел с коварной доньей Росой, полной, нечистоплотной и эгоистичной женщиной, или сравнить рациональное приближение иррациональных чисел с мечтателем Мартином Марко, олицетворением всех неудачников, или знаменитое диофантово уравнение — с модницей Хулитой Леклерк де Моисее не лишено концептуального риска. Однако и подобные сравнения, и сопутствующий им риск — важнейший элемент игры, которую я предлагаю читателю.

Биография всех наших героев берет начало во времена древних греков, однако, как вы увидите далее, это совпадение будет не единственным и даже не самым важным. Как и в любом романе, совпадения в математике не случайны.

Донья Роса , или построения с касательными окружностями

Начнем рассказ с доньи Росы, то есть с построений с касательными окружностями.

О великом греческом геометре Аполлонии нам практически ничего не известно. Мы знаем лишь, что он родился в Перге примерно в 262 году до н. э., написал несколько важных книг, большинство из которых не сохранились, и был известен под прозвищем «великий геометр». Из всех его трудов нас интересуют «Касания» — эта книга считается утраченной и о ней известно лишь по рассказам Паппа Александрийского, датируемым III–IV веками. В «Касаниях» Аполлоний приводит решение задачи, которая позднее получила название задачи Аполлония: построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных точек, прямых или окружностей. И построение искомых окружностей, и число решений зависит от исходных элементов задачи (точек, прямых или окружностей) и их относительного расположения. Аполлоний, по всей видимости, привел решения для всех возможных случаев.

Первые построения с касательными окружностями возникают в случае, когда исходными элементами задачи являются три окружности. В частности, если три данные окружности касаются, задача имеет два решения: в одном из них построенная окружность будет располагаться внутри, в другом — снаружи.

Задача  Аполлония в случае, когда исходными тремя фигурами являются окружности (слева), имеет два решения (справа).

В самом общем случае, когда три данные окружности не касаются друг друга, задача имеет восемь разных решений.

Для трех данных окружностей, не касающихся друг друга (слева), задача  Аполлония имеет восемь решений (на рисунке в центре представлены два из них, на рисунке справа — третье).

Из множества вариантов расположения касательных окружностей рассмотрим один, особенно простой и элегантный. Окружности, расположенные таким образом, называются окружностями Форда и строятся по следующим правилам. Отметим на прямой линии значения дробей (или рациональные числа — так мы, математики, любим называть дроби), как показано на иллюстрации.

Все дроби вида р/q, которые мы рассмотрим, являются несократимыми, то есть р и q не имеют общих делителей, при этом q — положительное число. К примеру, мы будем рассматривать не дробь 5/15, а эквивалентную ей несократимую дробь 1/3. В точках, соответствующих каждой дроби p/q, мы поместим окружность радиуса 1/(2q2), которая будет касаться прямой.

Если мы будем использовать привычную систему декартовых координат для обозначения точек плоскости (читатель должен был познакомиться с декартовыми координатами в средней школе), то множество окружностей Форда будет образовано всеми окружностями с центром в точках (р/q, 1/(2q2)) и радиусом 1/(2q2).

Окружности Форда имеют немало удивительных свойств. Путем несложных расчетов можно показать, что две произвольные окружности Форда либо не пересекаются, либо касаются, как показано на двух следующих иллюстрациях.

Окружности  Форда , соответствующие дробям на интервале от 0 до 1, знаменатель которых меньше или равен 7. Так, изображенные на иллюстрации окружности соответствуют следующим дробям: 0, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1.

Аналогичные расчеты показывают, что окружности Форда, соответствующие дробям p/q и Р/Q, касаются, если числа р·Q и Р·q отличаются на единицу; верно и обратное.

Еще один фрагмент окружностей Форда. Изображенные на рисунке окружности соответствуют дробям между 1/2 и 1 со знаменателем, меньшим либо равным 11.

Также можно относительно просто доказать, что если окружности, соответствующие дробям p/q и Р/Q, касаются, то окружности Форда, соответствующие дробям

будут касаться окружности, соответствующей дроби p/q. Кроме того, указанные дроби описывают все окружности Форда, касающиеся окружности, которая соответствует дроби p/q.

Построение окружностей  Форда , касательных данной.

Аналогично простые расчеты показывают, что окружности Форда, касающиеся данной, полностью окружают ее. Если бы мы могли изобразить на иллюстрации бесконечное множество этих окружностей, то увидели бы, что они бесконечно приближаются к дроби p/q, пока не «кусают» ее (см. рисунок выше и врезку ниже), как если бы они обладали столь же огромным аппетитом, что и донья Роса из романа Селы.

* * *

ПРОЖОРЛИВЫЕ ОКРУЖНОСТИ  ФОРДА

Представленные ниже простые расчеты должны убедить читателя, что окружности Форда, касающиеся данной окружности, соответствующей дроби p / q , неограниченно приближаются к точке, соответствующей этой дроби. Рассмотрим касающиеся окружности, расположенные слева от дроби p / q . Они соответствуют дробям ( Р +  n · p )/( Q + n · q ), где n — любое натуральное число. Теперь достаточно показать, что разность между этими дробями и p / q неограниченно уменьшается с увеличением n :

Так как окружности, соответствующие дробям p / q и P / Q , касаются, то, как мы отмечали выше, числа р · Q и Р · q будут последовательными. Как следствие, их разность будет равна 1 или -1. С учетом этого предыдущее равенство примет вид:

Так как n расположено в знаменателе, то с его увеличением разность между p / q и ( Р +  n · p )/( Q + n · q ) будет уменьшаться и в пределе, при бесконечно большом n , будет равна нулю.

* * *

Читатель согласится с тем, что окружности Форда настолько исполнены гармонии и элегантности, насколько отсутствие этих атрибутов характерно для доньи Росы; ее вздутого, как мех с оливковым маслом, живота, который Села называет «воплощением враждебности сытого к голодному».

Мартин Марко , или рациональное приближение иррациональных чисел

Оставим ненадолго донью Росу и окружности Форда и обратимся к биографии второго нашего героя — Мартина Марко, или рационального приближения иррациональных чисел.

Пифагор и пифагорейцы основывали математику и рациональное объяснение природы на том, что всю Вселенную можно свести к числам. Для пифагорейцев существовали только натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5 и так далее) и дроби, которые можно было образовать из натуральных чисел. Тем не менее когда ученики Пифагора занялись простейшей геометрической операцией — измерением отрезков, основы их научной картины мира рухнули. Длина диагонали квадрата со стороной 1 оказалась в точности равна √2. Пифагорейцев постигло разочарование, когда они поняли, что √2 нельзя представить в виде дроби (об этом подробно рассказано на следующей странице). Что может быть проще, чем измерить диагональ квадрата? Однако даже ее нельзя точно выразить с помощью натуральных чисел и рациональных дробей. По легенде, Гиппас из Метапонта, пифагореец, раскрывший эту тайну кому-то из непосвященных, был сброшен в море с борта корабля и осужден вечно бороздить волны: «Раскрыв секрет невыразимого, он удостоился страшнейшего наказания — быть отделенным от сущего и низвергнутым в ничто, откуда прибыл».

Вскоре стало понятно, что, помимо чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., которые мы используем при счете, и дробей, которые образуются из натуральных чисел, нужны и другие, более «сложные» числа. Чтобы установить различия между «нормальными» и «сложными» числами, математики стали использовать символические названия: числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. стали называться натуральными, а дроби, которые можно образовать из этих чисел, — рациональными.

Числа √2,  3√5, π, напротив, называются иррациональными, словно предупреждая об их нездоровой природе.

* * *

ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ КОРНЯ ИЗ 2

В доказательстве подобных утверждений проявляется изумительная сила логических рассуждений математики. Так как существует бесконечное множество дробей и мы не можем проверить их все, то как мы можем быть уверены в том, что не существует дроби, которая при умножении на саму себя будет равна 2? Используем революционное изобретение древних греков — доказательство, то есть корректное логическое обоснование математического утверждения. Взяв за основу очевидный факт, посредством логических рассуждений, каждое из которых логически выводится из предыдущих, мы доказываем истинность другого, неочевидного, факта. Первое доказательство, о котором мы расскажем, приписывается самому Пифагору и звучит так. Заметим, что всякая дробь имеет эквивалентную ей несократимую дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей. Если существует несократимая дробь (обозначим ее через p / q ), которая при умножении на саму себя равняется 2 (иными словами, p / q · p / q  = 2), должно выполняться равенство р · р  = 2· q · q . Покажем, что это невозможно. Если р · р  = 2· q · q , то р · р — четное число; иными словами, оно в два раза больше некоторого другого числа. Так как квадрат нечетного числа — всегда нечетное число, р должно быть четным. Следовательно, число р  в два раза больше некоторого другого числа, которое мы обозначим через k  (иными словами, р  = 2· k ). Подставив это выражение в вышеуказанное равенство, получим 2· k ·2· k  = 2· q · q , или, что аналогично, 2· k · k  = q · q . Следовательно, q · q — четное число, поэтому q также будет четным. Однако это невозможно, так как если дробь p / q является несократимой, числитель и знаменатель не могут быть четными одновременно.

* * *

Эта редкая особенность иррациональных чисел становится очевидной, если мы попытаемся ответить на совершенно невинные вопросы: чему равен √2? чему равно π? Иррациональное число по своей сути нельзя представить в виде дроби: можно найти дробь, которая будет отличаться от этого числа всего на одну миллионную или даже на одну миллиардную, но она не будет равна иррациональному числу. Если мы захотим уменьшить заданную величину разницы, мы сможем найти новую дробь, но она опять не будет равна иррациональному числу. Эта ситуация подобна проклятию: с той же жестокой монотонностью, с какой протекают тяжелые дни, описанные в романе «Улей», дроби будут следовать друг за другом, и последняя дробь, возможно, будет очень близка к иррациональному числу, но по-прежнему не равна ему.

Получается, чтобы описать иррациональное число, нужно использовать более или менее точные рациональные приближения. Чтобы выразить иррациональное число с абсолютной точностью, нам потребуется бесконечное количество рациональных приближений. Так родился новый тип математических задач — задачи о рациональном приближении иррациональных чисел.

Одним из первых внес вклад в решение задач этого типа Архимед, который получил известный результат, связанный с самой знаменитой математической константой: найдя приближенное значение длины окружности с помощью правильного 96-угольника, он определил, что число π меньше дроби 22/7 чуть больше чем на одну тысячную. Впоследствии этот результат пытались улучшить многие ученые: так, китайский математик Цзу Чунчжи обнаружил, что дробь 355/113 отличается от π менее чем на 3 десятимиллионных (это же значение получили многие европейские математики в конце XVI столетия).

Марки, выпущенные в честь Архимеда и  Цзу Чунчжи — двух математиков древности, которые нашли самые точные приближения числа  π .

С XVII века разложение в ряд стало подлинной одержимостью, охватившей всех, кто занимался вычислением рациональных приближений числа π. Эта лихорадка не обошла стороной даже столь видных ученых, как Ньютон и Эйлер.

Но как можно найти приближенное значение иррационального числа в виде дробей в общем виде? Уточним задачу. Определить несократимую дробь p/q тем «затратнее», чем больше ее знаменатель q — чтобы определить ее, нужно разделить единицу на столько частей, сколько указывает знаменатель дроби. Следовательно, чтобы определить, насколько точным приближением иррационального числа является дробь p/q, нужно сравнить разность между этой дробью и иррациональным числом относительно знаменателя q дроби. Для произвольного иррационального числа (обозначим его через а) нужно оценить наименьшее значение выражения |а — p/q| для всех дробей p/q с неизменным знаменателем q. Здесь для оценки разности двух чисел мы используем привычную математическую нотацию: разность |х — у|, записанная между вертикальными чертами, обозначает, что всегда рассматривается разность между большим и меньшим числом, следовательно, эта разность всегда будет положительной. Точнее говоря, |х — у| равно х — у, если х больше у, и у — х, если у больше х.

Так как все дроби со знаменателем, равным q, расположены на числовой прямой на одинаковом расстоянии друг от друга, равном 1/q, можно сделать вывод: для любого иррационального числа а всегда найдется дробь p/q такая, что |а — p/q| < 1/(2 — q). Мы всегда можем представить иррациональное число в виде дроби, при этом погрешность будет меньше величины, обратной удвоенному знаменателю дроби.

К примеру, если мы рассмотрим число π и q = 10 и воспользуемся калькулятором, то получим, что наиболее точное рациональное приближение числа π со знаменателем, равным 10, будет дробью 31/10. В этом случае π — 31/10 = 0,04159…, что в действительности несколько меньше, чем 1/(2·10) = 0,05. Это наиболее точное рациональное приближение со знаменателем, равным 10, из всех возможных. При других значениях знаменателя точность приближения можно значительно улучшить.

Рассмотрим q = 7. Самым точным рациональным приближением числа π дробью со знаменателем, равным 7, будет дробь Архимеда — 22/7. В этом случае |π — 22/7 | = 0,00126… Как вы можете видеть, дробь Архимеда 22/7 ближе к истинному значению π, чем приведенная выше дробь 31/10. Нечто похожее произойдет, если мы рассмотрим дроби со знаменателем, равным 113. В этом случае самым точным приближением будет дробь 355/113, полученная Цзу Чунчжи: |π — 355/113 | = 0,000000266. Если мы рассмотрим дроби со знаменателем 125, большим 113, то самым точным приближением будет 393/125, которое будет заметно хуже: |π — 393/125 | = 0,0024. Это приближение даже менее точно, чем дробь Архимеда.

Становится очевидным, что одни знаменатели подходят для приближенных значений иррациональных чисел лучше других. Вопрос заключается уже не в том, как найти точное приближение иррационального числа дробью, а как найти точное приближение дробью с правильно выбранным знаменателем.

С учетом этого немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (женатый на сестре композитора Феликса Мендельсона) в 1842 году показал, что иррациональное число всегда можно представить в виде дроби так, что ошибка будет меньше величины, обратной квадрату знаменателя дроби.

Немецкий математик  Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859), после смерти  Гаусса сменивший его на посту главы кафедры в Гёттингене в 1855 году.

Доказательство этого утверждения элементарно и основано на «принципе ящиков», позднее названном в честь Дирихле. Принцип Дирихле представляет собой простое отражение здравого смысла: если мы хотим поместить определенное число голубей в ящики, при этом голубей больше, чем ящиков, то в конечном итоге в одном из ящиков окажется больше одного голубя. Принцип Дирихле полезен при доказательстве определенных математических результатов, среди которых — теорема Дирихле о рациональном приближении. Эта теорема звучит так: для данного иррационального числа а существует бесконечно много дробей вида p/q таких, что |a — p/q| < 1/q2. Доказательство этой теоремы приведено на следующей странице. Этот результат существенно точнее, чем тот, о котором мы говорили выше, так как с увеличением q число 1/q2 уменьшается намного быстрее, чем 1/(2·q). Результат Дирихле нельзя улучшить относительно второй степени 1/q. Это тесно связано с разделением иррациональных чисел на алгебраические и трансцендентные.

Рассмотрим √2: это иррациональное число, однако его можно достаточно просто описать последовательностью целых чисел (…, —6, —5, —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…)» так как является решением уравнения с целыми коэффициентами х2  —2 = 0. Числа, которые представляют собой решения уравнения с целыми коэффициентами (вне зависимости от степени уравнения), называются алгебраическими.

* * *

ДИРИХЛЕ И «ПРИНЦИП ЯЩИКОВ»

Доказательство принципа Дирихле выглядит следующим образом. Рассмотрим произвольное иррациональное число а и выберем некоторое натуральное число  N . Теперь рассмотрим числа а , 2· а , 3· а …,  N · а и ( N + 1)· а . Этот список содержит  N + 1 число. Для каждого из них (обозначим их в общем виде k · а ) найдется натуральное число р k такое, что разность k · а — р k будет лежать на интервале от 0 до 1. К примеру, если а = √5 = 2,236…, то 2· а  = 4,472… и р 2 будет равно 4.3· а  = 6,708…, р 3   будет равно 6 и так далее. Теперь расположим числа от 0 до 1 в N ящиков: в первом ящике окажутся числа от 0 до 1/ N , во втором — от 1/ N и 2/ N и так далее. В последнем ящике окажутся числа от ( N — 1)/ N до 1. Так как наш список чисел k · а — р k , k = 1, …, N + 1 содержит N + 1 число, лежащее на интервале от 0 до 1, и мы расположили числа от 0 до 1 в N  разных ящиках, то, согласно принципу Дирихле, в одном из этих ящиков будет больше одного числа. Допустим, что числа k · а — р k и n · а — р n  находятся в одном ящике. Очевидно, что разница между двумя числами в одном ящике меньше 1/ N . Отсюда следует, что | k · а — р k — ( n · а — р n )| < 1/ N . Если теперь мы введем обозначения q  =  k — n и р  = р k — р n , то получим: | q · а — р | < 1/ N , или | а — p / q | < 1/( q · N ). Так как и k , и n  меньше N  + 1, получим, что q меньше N . Учитывая, что это число можно считать положительным, имеем | а — p / q | < 1/ q 2 . Так как число а  иррационально, а N — произвольное натуральное число, неравенство | а — p / q | < 1/( q · N ) гарантирует, что мы можем найти бесконечно много различных дробей вида p / q , удовлетворяющих неравенству | а — p / q | < 1/ q 2 .

* * *

Каким бы монструозным нам ни казалось число

оно является алгебраическим, так как его можно представить как решение уравнения четвертой степени с целыми коэффициентами х4 + 8х — 5 = 0. Все числа, которые не являются алгебраическими, в математике называются трансцендентными. В некотором смысле они максимально далеки от натуральных чисел, которые мы используем при счете.

Самые знаменитые математические константы — обычно трансцендентные числа. Так, трансцендентными являются число π и число е, однако это было доказано лишь в конце XIX века. Трансцендентность числа π имеет удивительное следствие: задача о квадратуре круга не имеет решения. Иными словами, с помощью циркуля и линейки нельзя построить квадрат, равный по площади данному кругу. Задача о квадратуре круга не давала покоя древнегреческим математикам, однако ее решение было найдено лишь в конце XIX столетия. Если мы сравним решение математической задачи с установлением мирового рекорда, то задача о квадратуре круга стала рекордом, который не удавалось превзойти две с половиной тысячи лет!

При поиске приближения алгебраических чисел в виде дробей нельзя найти более точное приближение, чем описанное теоремой Дирихле. Если мы рассмотрим произвольное алгебраическое число а и число k, строго большее 2 (k > 2), то, за некоторыми исключениями (число этих исключений всегда будет конечным), будет выполняться неравенство |а — р/q| > 1/q k .

Это означает, что результат Дирихле нельзя улучшить относительно степени знаменателя. Однако с единицей, «сопровождающей» знаменатель, дело обстоит иначе. В 1891 году другой немецкий математик, Адольф Гурвиц, доказал, что эту константу можно заменить меньшей: 1/√5. Так, для произвольного иррационального числа а существует бесконечно много дробей вида p/q таких, что |а — p/q| < 1/(√5·q2). Гурвиц также доказал, что значение 1/√5 является минимально возможным, поскольку существует еще одна математическая константа, так называемое золотое число, описывающее золотое сечение, Ф = (1 + √5)/2.

Адольф Гурвиц (1859–1919), один из величайших математиков XX столетия, внесший особый вклад в изучение алгебраических кривых и теорию чисел.

Золотое сечение — это соотношение сторон прямоугольника совершенных пропорций. Согласно древнегреческим геометрам, прямоугольник обладает совершенными пропорциями, если при отсечении от него квадрата со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, оставшийся прямоугольник будет иметь прежнее соотношение сторон. Допустим, длина короткой стороны прямоугольника равна а, длинной стороны — b. Следовательно, длины сторон нового прямоугольника будут равны b — а и а. Соотношение сторон прямоугольника будет наиболее гармоничным при b/а = а/(Ь — а). Приняв х = b/а, имеем х = 1/(х — 1), то есть х2 — х — 1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен золотому числу Ф = (1 + √5)/2.

Если мы отсечем от прямоугольника золотого сечения бесконечное число квадратов и будем соединять противоположные вершины этих квадратов дугами длиной в четверть окружности, получим спираль золотого сечения, изображенную ниже.

Именно такую форму имеет раковина наутилуса, в виде этой спирали располагаются семена подсолнуха, облака в ураганах и антициклонах и звезды во многих галактиках.

Форму золотой спирали имеют раковины наутилуса, ураганы и галактики.

Золотое сечение присутствует в природе повсеместно. Оно привлекало математиков, художников, архитекторов и музыкантов. Обратимся к творчеству Дюрера. Из всех художников Возрождения он, возможно, лучше всех разбирался в математике. Все, что Дюрер знал о возведении городских стен и крепостей, об использовании циркуля и угольника для измерения размеров твердых тел, о пропорциях человеческого тела и о форме букв алфавита, он изложил во множестве книг, напечатанных после его смерти. Большую часть математических знаний Дюрер получил в Италии. По рекомендации венецианского художника Якопо де Барбари он в 1506 году отправился в Болонью, где постигал тайную науку у неизвестного наставника. Многие считают, что этим учителем был монах-францисканец Лука Пачоли, который в 1494 году составил большую математическую энциклопедию XV столетия. До какой степени Дюрер проник в тайны изученной им науки, в которой золотое сечение было заветной формулой идеальных пропорций человеческого тела, можно судить по его прекрасным картинам, где изображены обнаженные Адам и Ева. Оцените разницу между головастым Адамом и пышнотелой Евой на гравюрах Дюрера 1504 года (сегодня они хранятся в венской галерее Альбертина) и ими же, прекрасными и стройными, на картинах 1507 года (они выставлены в мадридском музее Прадо).

Чему Дюрер научился за три года с момента создания гравюры слева до написания картины справа? Чем вызвана эта разница в пропорциях тел Адама и Евы на его картинах?

Как показал Гурвиц, золотое сечение задается иррациональным числом, которое хуже всего описывается рациональными дробями: для любого числа с > √5 справедливо неравенство |Ф — p/q| > 1/(с·q2), за исключением некоторых дробей p/q, при этом их число всегда будет конечным.

Донья Роса — Мартин Марко, Форд — Дирихле и  Гурвиц

Вряд ли в романе «Улей» найдется два персонажа, которые бы внешне отличались больше, чем донья Роса и Мартин Марко. Она — полная, прожорливая, алчная и мизантропичная, он — худой, голодный, бездомный и приветливый. Эти два персонажа сталкиваются, когда донья Роса приказывает официанту вышвырнуть Мартина Марко из ее кафе за то, что тот не заплатил по счету. Хозяйка кафе указывает официанту, как нужно поступить: «На улицу выставить поаккуратней, а там — пару добрых пинков куда придется. Хорошенькое дело!» Тем не менее официант не стал наказывать Мартина Марко, поэтому ему ничего не оставалось, кроме как соврать донье Росе:

«— Всыпал ему?

— Да, сеньорита.

— Сколько?

— Два.

Хозяйка щурит глазки за стеклами пенсне, вынимает руки из карманов и гладит себя по лицу, где из-под слоя пудры пробиваются щетинки бороды.

— Куда дал?

— Куда пришлось, по ногам.

— Правильно. Чтоб запомнил. Теперь ему в другой раз не захочется воровать деньги у честных людей».

Столь же непохожими, как донья Роса и Мартин Марко, кажутся окружности Форда и рациональные приближения иррациональных чисел, описываемые теоремами Дирихле и Гурвица. Окружности Форда точны, элегантны и гармоничны, дроби Дирихле и Гурвица — шокирующие, полные секретов. Кажется, что эти понятия отражают два очень далеких друг от друга аспекта математики.

Однако в хороших романах часто случается так, что два далеких друг от друга персонажа воплощают дополняющие друг друга противоположности, составляющие одну из граней человеческой природы. Так же часто два математических результата, на первый взгляд далекие друг от друга, оказываются выражениями одного и того же математического явления.

Таковы касательные окружности Форда и рациональные приближения иррациональных чисел: первое есть не более чем геометрическое представление второго, как если бы хитросплетения теоремы Гурвица выкристаллизовались в четком и прозрачном изображении — в окружностях Форда.

Если читатель посмотрит на иллюстрацию на странице 50, он увидит, что это не что иное, как наглядное представление теоремы Гурвица. В самом деле, изобразим иррациональное число на числовой оси и проведем через соответствующую ему точку прямую, перпендикулярную числовой оси, как показано на следующем рисунке. Всякий раз, когда эта прямая будет пересекать окружность Форда (допустим, окружность, соответствующую рациональному числу p/q), разница между а и p/q обязательно будет меньше, чем радиус окружности, то есть меньше, чем 1/(2·q2): |a — р/q| < 1/(2·q2).

Как мы уже показали, окружности Форда, касающиеся окружности, которая соответствует дроби р/q, образуют последовательность, которая неизбежно приближается к р/q и в итоге «кусает» ее (см. рис. на стр. 51). Таким образом, если прямая, проведенная через точку, обозначающую иррациональное число а, пересекает окружность Форда, соответствующую дроби р/q, то она пересечет и другую окружность, касающуюся этой и расположенную под ней (см. следующий рисунок), а также окружность, расположенную под этой, и так далее. Отсюда следует, что прямая, соответствующая иррациональному числу, пересечет бесконечное множество окружностей Форда. Таким образом, существует бесконечное множество дробей р/q, удовлетворяющих неравенству |а — p/q| < 1/(2·q2). Это необычное следствие особого расположения окружностей Форда лежит на полпути между теоремами Дирихле и Гурвица, так как полученная нами константа равна 1/2, а согласно теоремам Дирихле и Гурвица она равняется 1 и 1/√5.

С помощью окружностей Форда также можно получить оптимальное значение этой константы, описываемое теоремой Гурвица. В самом деле, на верхнем рисунке на стр. 50, помимо окружностей Форда, представлены и другие фигуры — криволинейные треугольники, заключенные между любыми тремя касательными окружностями. Эти треугольники также обладают очень важными свойствами. Так, первая координата всех трех вершин подобных треугольников является рациональным числом. Рассмотрим криволинейный треугольник, образованный касательными окружностями Форда, которые соответствуют дробям p/q, p 2 /q 2 и р 3 /q 3 . Обозначим вершины этого треугольника через А, В и С. Пусть А 1 — первая координата вершины А, В 1 — первая координата вершины В, С 1 — первая координата вершины С. Нетрудно видеть, что

Так как первые координаты вершин треугольника — рациональные числа, прямая, проведенная через точку, соответствующую иррациональному числу а на числовой прямой, пересечет не только бесконечное множество окружностей Форда, но и бесконечное число криволинейных треугольников. Если большая из трех окружностей, образующих криволинейный треугольник, расположена справа, то в зависимости от значений координат А и В 1 (в зависимости от того, какая из них больше) эти треугольники будут иметь один из двух различных видов, как показано на рисунках.

Подробный анализ этих двух случаев позволяет сделать вывод: всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а, пересекает криволинейный треугольник первого вида (при А 1   < B1   см. рисунок выше), разность между а и p 2 /q 2 будет строго меньше, чем 1/(√5·q22). Всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а, пересекает криволинейный треугольник второго вида (при A 1 > B 1 см. следующий рисунок), разность между а и р 3 /q 3 будет строго меньше, чем 1/(√5·q23). В любом случае пересечения прямой, соответствующей иррациональному числу а, и сторон криволинейных треугольников определят бесконечное множество дробей p/q таких, что |а — р/q| < 1/(√5·q2). Иными словами, последовательность криволинейных треугольников, порожденных окружностями Форда, есть геометрическое представление теоремы Гурвица.

Хулита , или диофантово уравнение p 2 + q 2 + r 2 = 3pqr

В нашей истории есть и третий персонаж — диофантово уравнение р2 + q2 + r2 = 3·р·q·r, — которого я сравнил с Хулитой, еще одной героиней романа «Улей».

Диофантово уравнение — это всего лишь алгебраическое уравнение, как правило, от нескольких переменных, однако нас интересуют лишь те его решения, которые являются целыми числами (или рациональными, что в некоторых случаях одно и то же). Эти уравнения получили свое название в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. О нем мы знаем немного больше того, что сказано в его эпитафии: «Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей». Решив эту задачу, получим, что Диофант прожил 84 года. Предположительно, он жил в II–III веках.

Нам известно, что Диофант был автором нескольких трудов, важнейший из них — «Арифметика». Из тринадцати книг «Арифметики» сохранилось шесть книг на древнегреческом и еще четыре — в переводе на арабский.

Обложка «Арифметики»  Диофанта , изданной в 1621 году с комментариями французского математика Баше де Меризиака .

* * *

ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ

Задача, описанная на этой странице, приводится во второй книге «Арифметики» под номером 15. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он обозначил через р и q квадраты двух последовательных чисел, так как ему было известно, что их произведение, увеличенное на их сумму, также является квадратом. В самом деле, если р  = m 2 , q  = ( m + 1) 2 , то:

p · q +  p + q = m 2 ·( m + 1) 2 + m 2 + ( m + 1) 2 = m 4 + 2· m 3 + 4· m 2 + 2· m + 1 = ( m 2  +  m + 1) 2 .

В частности, Диофант использовал р  = 4 и q  = 9. Таким образом, p · q  + p + q  обязательно будет квадратом: 4·9 + 4 + 9 = 7 2 . Две остальные величины будут таковы: 4· n + 4 + n = 5· n  + 4 и 9· n + 9 + n = 10· n + 9. Таким образом, нужно найти число n такое, что и 10· n + 9, и 5· n + 4 будут квадратами. Далее Диофант ввел еще две вспомогательные переменные, r и k , определяемые уравнениями r 2   = 10· n + 9 и k 2  = 5· n + 4. Имеем

r 2 — k 2 = 10· n + 9–5· n — 4 = 5· n + 5,

что можно записать как ( r + k )·( r — k ) = 5·( n + 1). Таким образом, r  +  k  = 5 и r — k  =  n + 1. Выразив r и k из этих равенств, получим: r  = ( n /2) + 3 и k  = 2 — ( n /2). Подставив значение r в уравнение r 2  = 10· n + 9 и упростив полученное выражение, получим уравнение второй степени ( n 2 /4) = 7· n  = 0. Его решением будет n  = 28.

* * *

Приведем пример уравнений, которые рассматривает Диофант в своей «Арифметике»: «Найти три таких числа, что произведение любых двух из них, увеличенное на их сумму, будет квадратом». Если мы обозначим искомые числа через р, q и n, тo p·q + p + q, p·n + p = n и q·n + q + n должны быть квадратами. Диофант привел решение р = 4, q = 9 и n = 28. В самом деле, р·q + q = 49 = 72, р·n + р + n = 289 = 172, q·n + q + n = 144 = 122 (см. врезку). Такие уравнения были известны древним грекам задолго до Диофанта. Первое из них, несомненно, выглядело так: найти натуральные числа m и n такие, что m2 = 2·n2. Как вы уже знаете, П