Мир математики: т.6 Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?

Ибаньес Рауль

Нечасто математические теории опускаются с высоких научных сфер до уровня массовой культуры. Тем не менее на рубеже XIX и XX веков люди были увлечены возможностью существования других измерений за пределами нашей трехмерной реальности. Благодаря ученым, которые использовали четвертое измерение для описания Вселенной, эта идея захватила воображение масс. Вопросом многомерности нашего мира интересовались философы, богословы, мистики, писатели и художники. Попробуем и мы проанализировать исследования математиков и порассуждать о том, насколько реально существование других измерений.

 

Предисловие

Нечасто математические теории опускаются с высоких научных сфер до уровня массовой культуры. Если это происходит, то лишь в качестве отдельных или поверхностных модных тенденций. Тем не менее в конце XIX и начале XX века люди были увлечены возможностью существования пространств других размерностей за пределами нашей трехмерной реальности.

При нормальных обстоятельствах эта двойная революция, вызванная открытием неевклидовой геометрии и рождением многомерной дифференциальной геометрии, осталась бы не замеченной широкой общественностью и привлекла бы внимание лишь ученых, понимавших ее важность для будущего математики, науки и техники.

Однако четвертое измерение захватило воображение масс и часто обсуждалось в ряде популярных изданий.

Это повальное увлечение вызвали сами математики, распространяя новые идеи на конференциях, в статьях и книгах, прежде рассчитанных на научное сообщество, а затем и на широкую общественность. Эти идеи вскоре закрепились, как мы не раз увидим на протяжении этой книги.

Ученые использовали четвертое измерение для описания Вселенной. Многомерные пространства оказались очень полезным инструментом. Философы размышляли над концепцией пространства, формы и структуры Вселенной, самого существования человечества. В более общем смысле богословы и религиозные деятели рассматривали четвертое измерение в качестве пути к созданию теорий о Боге, рае и аде, душе, духовности и существовании высшей реальности. Мистики, спиритуалисты, теософы и многие мнимые пророки также описывали картину Вселенной, открывшуюся им через четвертое измерение.

Писатели в своих книгах затрагивали интересные аспекты четвертого измерения, например, как могут выглядеть четырехмерные существа, их сверхъестественные возможности, путешествия во времени, в другие измерения и в параллельные миры.

В мире искусства это означало отрыв от метода перспективы эпохи Возрождения, появление нового языка и пути к доселе невиданной реальности. Поэтому дополнительное измерение открыло много возможностей для широкой общественности: многие люди увлеклись новыми идеями, и даже сейчас некоторые думают, что наши души обитают в четырехмерном пространстве.

Одной из книг, внесших наибольший вклад в распространение идей о четвертом измерении, была «Флатландия» Эдвина Эбботта, продолжающая оставаться хорошей отправной точкой для интересующихся этой математической концепцией. И мы начнем нашу книгу с идей, представленных в этом романе.

 

Глава 1. Флатландия: роман о четвертом измерении

«Флатландия: роман о четвертом измерении», без сомнения, является книгой, которая внесла наибольший вклад в распространение и популяризацию идеи четвертого измерения среди математиков, ученых и студентов, а также мыслителей, художников и широкой общественности. Она была опубликована в 1884 г. и до сих пор остается популярной. Книга продолжает вызывать искренний интерес, по-прежнему печатаются новые издания, несмотря на то что текст свободно доступен в интернете.

Это не столько научно-популярная книга, сколько произведение художественной литературы, которое с помощью аналогий знакомит читателя с увлекательным миром четвертого, да и других измерений. Автор предлагает нам в образе двумерного существа исследовать плоский мир, в котором такие существа обитают, чтобы потом подвести нас к идее, что есть миры большей и меньшей размерности — трехмерные и одномерные. Это позволяет читателю ощутить всю сложность представления реальности с большим количеством измерений, чем те, что воспринимаются нашими чувствами. В то же время это также доказывает, что такие невоспринимаемые размерности вполне могут существовать. Автор предлагает мысленный эксперимент, который поможет нам представить четвертое измерение, существующее вне нашего трехмерного мира. У некоторых людей, прочитавших книгу, остается впечатление, что это просто околоматематический роман. Однако «Флатландия» — это нечто большее. Это социальная сатира викторианской Англии — той эпохи, в которую жил автор, поэтому он использовал метафоры для обсуждения интересовавших его богословских вопросов.

Обложка первого издания « Флатландии ».

Центральная идея книги, объединяющая множество математических, социальных и богословских вопросов, заключается в том, чтобы читатели попытались разорвать цепи ограниченного восприятия реальности и открыли свой разум новым формам, новым идеям и новому миру. Простота сюжетных идей и используемого языка позволила этой книге оказать сильное влияние на широкий круг читателей. Следует заметить, что автор книги был викарием англиканской церкви и считал, что проповеди должны быть простыми, чтобы их понимали все. Он также работал директором школы и поэтому всегда интересовался вопросами обучения. Но успех «Флатландии» является не только результатом собственных достоинств книги, но и следствием интереса общества к возможности существования многомерной вселенной. Причиной этого растущего интереса, несомненно, стало развитие неевклидовых геометрий.

Автор: Эдвин Эбботт Эбботт

Как мы видим на обложке «Флатландии», автором книги является Квадрат (A Square). Этот псевдоним Эбботт использовал, возможно, в качестве игры слов, так как главного героя романа, жившего во Флатландии, звали Квадрат. К тому же из-за повторения в фамилии автора (Abbott Abbott) его можно было бы назвать «А в квадрате».

Эдвин Эбботт Эбботт родился в Лондоне в 1838 г. Он получил образование в Школе лондонского Сити, а затем в колледже Сент-Джон Кембриджского университета, где он изучал классическую литературу, грамматику и богословие.

В 1862 г. Эбботт был рукоположен в священники англиканской церкви, а год спустя женился. В возрасте всего лишь 26 лет он стал директором Школы лондонского Сити.

Как педагог и священник, Эбботт был социально ответственным человеком, а также имел радикальные взгляды. Ему удавалось внедрять новые идеи как в школе, где он был директором, так и на конференциях директоров английских школ. Эбботт считал, что образование помогает сломать социальные барьеры, и в качестве ведущего члена «Движения за права молодежи из всех социальных групп» боролся за права бедных классов.

Эбботт посвятил свою жизнь изучению грамматики, литературы и теологии, написал более 40 книг и множество статей на эти темы. «Флатландия» — единственная из его работ, связанная с математикой. Как получилось, что Эбботт, не имея специального математического образования, заинтересовался четвертым измерением и создал книгу, которая донесла эти идеи до широкой общественности?

Эдвин Эбботт в 1884 г., когда была опубликована «Флатландия».

Лучший друг Эбботта, учитель математики Ховард Кэндлер, поддерживающий с ним обширную переписку, преподавал в школе Аппингем (Uppingham School).

Кстати, английский математик Чарльз Хинтон, один из главных специалистов по четвертому измерению, также преподавал в этой школе. Возможно, Эбботт познакомился с Хинтоном в Аппингеме или узнал об этих идеях через своего друга Кэндлера. В любом случае он достаточно ясно представлял себе концепцию четвертого измерения, чтобы использовать ее в качестве метафоры социального и богословского устройства разделенного на классы общества викторианской Англии.

Цель книги

Как мы уже видели, «Флатландия» — это не просто научно-фантастический роман. По своей сути это аллегория, которая использует геометрические формы и размерности для описания насущных проблем современности. Помимо изложения математических понятий, связанных с размерностями, в книге явно прослеживаются еще две линии: социальная сатира и богословские размышления.

С социальной точки зрения «Флатландия» — явная сатира на английское общество того времени с его жесткой системой классов и сопротивлением переменам любого рода. Эбботт описывает жестокость, с которой обращались с наиболее нуждающимися слоями населения, лишая их возможности образования — исключительной привилегии социальной элиты. Он также выступает против подчиненного положения женщин и противодействия новым идеям. Социальную сатиру использовали и другие уважаемые предшественники Эбботта, такие как Джонатан Свифт в книге «Путешествия Гулливера» (1726) и Льюис Кэрролл с его «Алисой в стране чудес» (1865).

Наряду с социальной сатирой Эбботт также обращается к интересовавшим его богословским вопросам, которые он более явно затрагивал в других своих книгах и статьях. Некоторые пассажи, такие как путешествие главного героя книги Квадрата в страны других размерностей, можно интерпретировать как метафору мистического опыта потусторонней реальности. Кроме того, автор критикует веру в чудо как основу религиозных убеждений и пытается показать, что наука в состоянии обеспечить прогресс человеческого рода через развитие знаний о Вселенной, но никогда не сможет приблизить нас к Богу. Наконец, можно наблюдать определенную параллель между попытками Квадрата объяснить таинства третьего измерения и евангелистской деятельностью апостолов.

Тем не менее, именно математическое содержание выделяет «Флатландию» из ряда других книг того времени. Во времена Эбботта споры о четвертом измерении были в самом разгаре. Предпринималось множество попыток понять, что оно означает, и как-то визуализировать его. В 1952 г. философ и богослов Карл Хайм так описал серьезную проблему человеческой интуиции в постижении четвертого измерения: «Прогресс математики и физики дает нам крылья поэтического воображения, выводящего нас за границы евклидового мира в попытке представить себе пространство, в котором существует более трех координатных осей, перпендикулярных друг другу. Но все эти усилия выйти за пределы нашего мира в конечном итоге всегда приводят в трехмерное евклидово пространство. Пытаясь открыть четвертое измерение, мы сталкиваемся с непреодолимым препятствием. Нет никаких сомнений, что можно производить вычисления в пространствах высших размерностей, но мы не в состоянии вообразить их. Мы, как в тюрьме, заперты в пространстве, в котором мы оказались в начале нашего существования. Точно так же двумерные существа могут верить в третье измерение, но они не могут видеть его».

Можно сказать, что многомерная аналогия, использованная Эбботтом и являвшаяся одним из основных инструментов того времени, приблизила нас к возможности «увидеть» невидимое.

Часть первая: мир Флатландии

«Флатландия» написана от лица главного героя, математика Квадрата, который рассказывает о странном приключении, которое он пережил. В результате он узнал много нового об устройстве Вселенной, но оказался заключенным в тюремную камеру, в которой и пишет свою историю. Таким образом, первая часть книги дает описание его мира, двумерной Флатландии, и общества, в котором он живет. Именно эта часть содержит большую часть социальной сатиры.

Как мы уже говорили, мир главного героя является плоским, двумерным.

(«Представьте себе огромный лист бумаги», — пишет Эбботт.) В этом мире живут прямые линии, квадраты, пятиугольники, шестиугольники и другие многоугольники. За исключением укреплений, казарм и административных зданий, дома, в которых живут обитатели этого мира, имеют пятиугольную форму. Крыши домов ориентированы на север, так как сила тяжести направлена на юг, что означает, что дождь всегда «идет» с севера на юг. В дополнение к этому в домах имеется две двери: одна для мужчин, другая для женщин.

Типичный пятиугольный дом во Флатландии (иллюстрация Эдвина Эбботта ).

Далее Эбботт описывает жителей этого любопытного мира. Женщины имеют вид отрезков прямых; солдатам и представителям низших слоев населения досталась форма равнобедренных треугольников. Средний класс состоит из равносторонних треугольников, а джентльмены и лица, владеющие какой-либо профессией, имеют форму квадратов и пятиугольников.

Затем идут благородные сословия. Их низшую ступень занимают шестиугольники, но по мере продвижения вверх число сторон у фигуры возрастает. Наконец, когда число сторон многоугольника становится столь велико, что фигуру нельзя отличить от окружности, ее причисляют к жрецам. Внутренний угол фигуры (самый маленький в равнобедренном треугольнике), очевидно, связан с числом сторон и отражает социальное положение и образование фигуры. В дополнение к этому дети мужского пола имеют на одну сторону больше, чем их отцы, хотя это не всегда так среди торговцев и еще реже встречается среди солдат и низших слоев рабочих. Если каким-то образом сын равнобедренного треугольника рождается равносторонним, то его забирают у родителей, после чего его усыновляет бездетная чета равносторонних треугольников.

Женщины являются отрезками прямых линий — без углов, без образования, без социальных прав. Это описано Эбботтом в одном из пассажей книги: «Не следует думать, будто наши женщины лишены увлечений. Но, к сожалению, увлечение, охватившее особу слабого пола в данный момент, всегда оказывается сильнее любых разумных соображений. Причину этого, разумеется, следует искать в неудачной конфигурации женского тела. Ибо женщины, не имея надежд получить собственный внутренний угол (в этом отношении они уступают даже последнему из равнобедренных треугольников), полностью лишены способности рассуждать, не обладают ни ясностью мышления, ни здравостью суждений, ни способностью обдумать заранее свои поступки, ни даже памятью. Поэтому в приступах ярости женщины не помнят своих обещаний и не признают никаких различий».

Геометрические формы, представляющие различные социальные классы жителей Флатландии.

В этом обществе мужчины, особенно представители высших классов, пытаются оправдать социальную изоляцию женщин и отсутствие у них прав, утверждая, что такое положение является не результатом дискриминации со стороны общества, а лишь следствием самой природы женщин, конфигурации их тел и размеров.

Жители Флатландии узнают друг друга различными способами. Низшие классы и женщины делают это на ощупь. Равносторонние треугольники, квадраты и пятиугольники используют слух, отличая других жителей по голосам. Высшие классы различают другие фигуры по внешнему виду. Любой житель Флатландии выглядит со стороны как прямая линия, однако постоянный туман, который держится в этом мире, позволяет определить глубину и, следовательно, углы другой фигуры. Из-за действия тумана видимость уменьшается с расстоянием; таким образом, когда угол мал, как у равнобедренных треугольников, его стороны начинают расплываться почти сразу, а для большего угла это происходит медленнее. Распознавание на ощупь преподается в школах, в основном с помощью практических тренировок. На уроках используются равнобедренные треугольники с углами от полградуса до десяти градусов. Эти фигуры не обладают достаточным интеллектом для использования хотя бы в качестве пушечного мяса и поэтому играют роль школьного реквизита. Науку и искусство распознавания по внешнему виду преподают представителям элиты в университетах, но для этого требуется изучение геометрии.

Искусство распознавания по внешнему виду во Флатландии (иллюстрация Эдвина Эбботта ).

Все фигуры во Флатландии являются правильными. Неправильность фигуры — это признак моральной нечистоплотности и склонности к совершению уголовного преступления. Вот как описывает это главный герой книги Квадрат: «Неправильные фигуры с самого рождения не видят ласки от своих родителей, их осыпают насмешками братья и сестры, ими пренебрегают их ближайшие родственники, общество обливает их презрением и относится к ним с подозрительностью, им запрещается занимать ответственные и доверенные посты и исполнять всякую полезную работу. За любым передвижением неправильной фигуры ревностно наблюдает полиция.

Наконец, неправильная фигура достигает совершеннолетия и предстает перед комиссией для освидетельствования. Если отклонения окажутся слишком большими, фигуру разрушают, в противном случае ее замуровывают в каком-нибудь правительственном учреждении на должности клерка седьмого класса. Неправильная фигура не может вступать в брак. Обреченная на унылую деятельность, она получает ничтожную плату и должна жить и столоваться непосредственно в конторе. Даже свой отпуск она проводит под неослабным наблюдением».

На другом конце социальной лестницы находятся жрецы. «Наши жрецы занимают ведущие посты во всех отраслях коммерческой деятельности, искусства и науки. Они руководят розничной и оптовой торговлей, армией, архитектурой, промышленностью, решают наиболее важные государственные дела, им принадлежит самое веское слово в вопросах законодательства, морали и теологии. Не делая ничего сами, они являются побудителями, причиной всего, что следует делать и делается другими». Их предназначение состоит в том, чтобы беспокоиться о конфигурации флатландцев, так как это определяет роль и судьбу каждого.

Противодействие новым идеям и всему тому, что может означать нарушение установленного социального порядка, особенно отчетливо проявилось в случае с введением цвета в черно-белом мире Флатландии и последующим восстанием красок, которое в конце концов было подавлено жрецами с помощью женщин.

* * *

ШОВИНИЗМ ВО ФЛАТЛАНДИИ

Некоторые из прочитавших «Флатландию» в первый раз выступили против книги, обвинив ее автора в шовинизме. Однако это совсем не так: Эбботт был активным сторонником защиты прав женщин и одним из лидеров Движения за право на образование женщин. В 1870 г. университеты Оксфорда и Кембриджа начали принимать женщин на учебу, хотя до 1920 г. они были не в состоянии получить соответствующую подготовку. Женщин принимали в университет и позволяли получить образование такого же уровня, как и у мужчин, но школ, помогавших им подготовиться, было мало. Через английский Совет директоров и Педагогическое общество Эбботт помогал создавать возможности для девочек получить образование.

Часть вторая: иные миры

Вторая часть книги, озаглавленная «Иные миры», затрагивает проблемы многомерных аналогий и богословские аспекты, хотя социальная сатира присутствует на протяжении всей книги. Сначала Квадрат в странном сне оказывается в Лайнландии, мир которой представляет собой бесконечную прямую и поэтому является одномерным. Он населен отрезками прямых (мужчины) и точками (женщины). Находясь вне Лайнландии, Квадрат обращается к королю этого мира, который сначала не может понять, с кем или с чем он разговаривает. Квадрат пытается объяснить королю, что он сам живет в двумерном мире и воспринимает все в двух измерениях, но король его не понимает, а Квадрат не знает, как это все объяснить. Он начинает описывать ситуацию, когда точка, двигаясь в одномерной Лайнландии, образует отрезок — что очевидно для короля, — но если отрезок перемещается «вверх», то получается квадрат. Однако король не в состоянии понять ни смысл выражения «вверх», ни понятие «квадрат». Тогда двумерный математик решает пересечь Лайнландию, чтобы показать королю, что он представляет собой двумерное существо. Но король не верит, что отрезки, которые он видит, являются различными сечениями квадрата, а не неким жителем Лайнландии, обладающим непостижимой способностью появляться и исчезать.

На следующий день после пробуждения Квадрат встречается со Сферой, живущей в Спейсландии — мире с тремя измерениями, который содержит в себе Флатландию. Как и в случае с королем Лайнландии, Квадрат сначала не может понять, откуда доносится голос. На этот раз Сфера пытается описать природу трехмерного пространства жителю Флатландии, приведя аналогию, что если квадратная фигура будет расти в направлении «вверх», то получится куб, имеющий три измерения. Когда ученик оказывается неспособным понять эти аргументы, Сфера решает пересечь Флатландию так, что оказываются видны ее плоские сечения, являющиеся окружностями. Но Квадрат думает, что это жрец, который появился неким волшебным образом, потом быстро вырос, как если бы время ускорилось, а затем таинственно сжался и исчез.

Продолжая ряд аналогий относительно разных размерностей и социальной структуры, трехмерный посетитель приводит аргумент, основанный на количестве вершин (углов) и граней. Количества вершин точки, отрезка и квадрата образуют геометрическую прогрессию 1, 2, 4, которая продолжается числом 8, что, как Сфера объясняет Квадрату, является количеством вершин куба. Кроме того, точки не имеют граней, отрезок имеет две (его два конца), а квадрат имеет четыре грани (четыре стороны). Получается арифметическая прогрессия 0, 2, 4, которая продолжается числом 6, равным количеству граней куба.

Иллюстрация, показывающая, как Сфера проходит через Флатландию.

Сфера, убедившись в тщетности своих объяснений, принимает решительные меры и выносит нашего героя из Флатландии, что возможно благодаря тому, что Флатландия и все ее жители имеют постоянную толщину в трехмерном пространстве. Увидев свой мир со стороны, Квадрат понимает смысл третьего измерения пространства, о котором говорил его учитель. Сразу стали ясны все изложенные аргументы, но это еще не всё. Как хороший математик, он понимает, что эти аргументы позволяют ему пойти дальше. Подумав некоторое время, он объясняет Сфере, что если использовать ту же аналогию с размерностями, то, возможно, существует и четырехмерное пространство, содержащее и мир Сферы. Теперь сама Сфера приходит в замешательство, отказываясь признать этот аргумент и факт существования четырехмерного пространства: «Такой страны нет. Сама мысль о том, что она существует, лишена всякого смысла».

Если точка (нулевой размерности) движется в определенном направлении, то получается отрезок (размерность 1). Если отрезок перемещается в перпендикулярном направлении, то получается квадрат (размерность 2). При перемещении квадрата в перпендикулярном направлении получается куб (третье измерение). Гиперкуб (четвертое измерение) получается путем перемещения куба.

Как мы уже говорили, Эбботт не верил в чудеса и считал, что христиане не должны основывать на них свою веру. Эта идея также отражена во «Флатландии», где то, что кажется чудом двумерным существам, на самом деле легко объясняется при переходе в третье измерение. Приведем несколько ироничный диалог между Квадратом и Сферой:

«Потрясенный зрелищем сокровенных тайн земли, открывшихся моему недостойному глазу, я сказал своему спутнику:

— Я стал как бы богом. Ведь говорят же мудрецы во Флатландии, что способность все видеть или, как они выражаются, быть всевидящим присуща лишь богу.

В ответ мой наставник заметил:

— Так ли это на самом деле? У нас в Спейсландии найдется немало карманных воров и убийц, которых ваши мудрецы приняли бы за богов, ибо каждый из них, взглянув на Флатландию, увидел бы не меньше, чем вы сейчас. Поверьте мне, ваши мудрецы глубоко заблуждаются».

Роман заканчивается тем, что герой попадает в тюрьму за попытку написать трактат о тайнах третьего измерения и рассказать жителям своего плоского мира о существовании трехмерного пространства. Здесь мы можем увидеть аналогию со священными писаниями и гонениями, которым подвергались святые апостолы.

Даже язык Эбботта в этой части становится похож на библейскую речь, когда, например, он приводит слова Квадрата: «Смерть или тюремное заключение ожидает апостола учения о Спейсландии». Социальная сатира заключается в изображении общества, которое наказывает тех, кто пытается пропагандировать новые идеи.

Контекст «Флатландии»

Многомерные аналогии и изучение различных пространств с учетом их размерности являются ключевыми идеями «Флатландии», предложенными Эбботтом. В действительности, в то время они были широко распространенным подходом для понимания многомерных пространств, включая аналогию с двумерным пространством, населенным плоскими существами.

Одно из первых упоминаний о важности изучения различных пространств и идеи многомерных аналогий можно найти в «Республике» Платона (книга VII).

В этой книге Сократ обсуждает с Главконом образование, которое должны получать стражи идеального государства. Главкон объясняет, что начать нужно с арифметики и изучения ряда чисел. Затем надо перейти к плоской геометрии, содержащей необходимые знания для ведения войны («Очевидно, что мы имеем дело с той частью геометрии, которая относится к войне»), а также для всех других видов деятельности, относящихся к управлению государством. Когда Сократ спрашивает, что должно идти дальше, Главкон предлагает астрономию. Сократ замечает, что тот упустил важный шаг: «Правильнее было бы после второго измерения рассмотреть третье: оно касается измерения кубов и всего того, что имеет глубину». Только перейдя от первого измерения ко второму, а затем к третьему, ученики будут готовы к изучению «астрономии, или круговращения твердых тел».

Знаменитый миф о пещере — аллегория Платона — является основополагающим ориентиром для вопросов, рассматриваемых во «Флатландии». Здесь мы также находим многомерную аналогию, проблему познания мира, в котором мы живем, и образование как средство для достижения этого знания. Платон предлагает представить расу людей, которые с рождения живут в темной подземной пещере, связанные таким образом (тело, ноги, руки, шея), что они могут видеть только стену пещеры. За ними находится невысокая стена, за которой горит огонь. Между огнем и стеной перемещаются фигурки маленьких людей, животных и инструментов, а огонь проецирует их тени на стену пещеры. Когда заключенные разговаривают, их голоса отражаются от стен, и им кажется, что говорят тени. Более того, они думают, что они сами являются тенями. Пещерные жители считают эти тени единственной реальностью и не понимают, что они сами и эти фигурки расположены в трехмерном пространстве. Интересно упомянуть конец этой истории, когда пришелец извне пытается объяснить им истинную картину мира, но они считают его сумасшедшим.

Еще одна связь между мифом о пещере и четвертым измерением состоит в том, что пленники думают, что они являются двумерными существами. То, что они на самом деле трехмерные существа, так же странно для них, как для нас мысль о том, что мы являемся трехмерными проекциями четырехмерных существ.

В середине XIX в. идея, похожая на миф о пещере, появилась в коротком рассказе немецкого психолога и физика Густава Фехнера (1801–1887) «Пространство имеет четыре измерения», в котором человек-тень проецируется на экран с помощью проектора.

Схематичное изображение платоновского мифа о пещере.

* * *

« ФЛАТЛАНДИЯ» КАК ИСТОЧНИК ВДОХНОВЕНИЯ

«Флатландия» приобрела статус популярной классики, что вдохновило многих авторов на создание похожих произведений. Дионис Бюргер (1892–1987) написал «Сферландию, или Роман об искривленном пространстве и расширяющейся Вселенной с иллюстрациями автора, Шестиугольника» как продолжение «Флатландии» примерно с таким же относительно простым сюжетом. Главный герой романа — Шестиугольник, внук Квадрата, — живет в более равноправном обществе. При измерении очень большого двумерного треугольника выяснилось, что сумма его углов больше 180°. Это позволило предположить, что на самом деле двумерный мир является не плоскостью, а поверхностью сферы. Даже Иэн Стюарт (р. 1945), один из самых известных современных популяризаторов математики, не удержался от соблазна посетить «Флатландию»», создав ее аннотированную версию и даже продолжение «Флащеландию», то есть Флатландию, только в большей степени. Главный герой книги — Виктория Лейн, потомок Квадрата из классического произведения Эбботта, — исследует более современные понятия, такие как фрактальная размерность, скрытые пространственные измерения, гиперболическая геометрия, квантовая механика, теории относительности, сингулярности пространства-времени и путешествия во времени.

Другие идеи о плоских мирах

Математик Чарльз Хинтон, который уже в начале 1880-х гг. написал серию статей о двумерном мире и существах, населяющих его (мы расскажем о нем подробнее в четвертой главе), является автором романа под названием «Случай во Флатландии, или Как двумерные люди обнаружили третье измерение». Это не просто совпадение, что книги Хинтона и Эбботта были написаны примерно в одно и то же время.

В плоской вселенной Хинтона планеты-круги вращаются вокруг круга-солнца.

Одна из этих планет, Астрия, населена двумя расами треугольников: цивилизованные юнифы создали науку и технику, а варварские скифы являются воинами. В этой книге Хинтон в большей степени, чем Эбботт во «Флатландии», затрагивает вопросы науки и техники. В частности, он описывает физику двумерного мира и некоторые механические устройства. И конечно, в романе затрагиваются и социальные вопросы: автор повествует об отношениях между молодой леди и простым пролетарием. Дядя девушки является единственным человеком Астрии, который верит в существование трехмерного пространства.

Иллюстрация из книги Чарльза Хинтона « Случай во Флатландии ». Действие разворачивается на планете Астрия, представляющей собой плоский круг и населенной треугольниками. На западе живут скифы, а на востоке — юнифы.

* * *

ОТ «ФЛАТЛАНДИИ» К «ПЛАНИВЕРСУМУ»

Использование компьютеров для имитации «Флатландии» привело к появлению в 1984 г. книги «Планиверсум. Виртуальный контакт с двумерным миром». Ее автор, математик Александр Дыодни, родился в Канаде в 1941 г. Он рассмотрел всевозможные аспекты двумерного мира, аналогичного описанному Хинтоном. Среди них — политика, география, архитектура, физика, химия, биология, культура, игры и даже что и как обитатели этого мира едят.

 

Глава 2. Что такое размерность?

В этой главе рассматриваются понятия размерности и многомерных пространств.

Термин «размерность» широко используется не только в науке и технике, но и в повседневной жизни. Это слово в разных смыслах часто встречается в газетах и в Интернете. Например, выражение «GPS-навигация в трехмерном пространстве» использует понятие трех измерений, которые необходимы устройству GPS для определения положения объекта на земном шаре: широты, долготы и высоты. Вместе с этим выражение «размеры коробки 30 см (длина) х 15 см (ширина) х 15 см (высота)» означает величину предмета. Мы можем даже найти что-то вроде выражения «культурная размерность интернета», которое можно интерпретировать метафорически, имея в виду всю многогранность интернета и нашей культуры в целом.

Слово «размерность», или «измерение», используемое сейчас в нашей повседневной жизни, имеет почти такой же смысл, как и в науке вплоть до XIX в., хотя значение термина развивалось по мере популяризации изначальных математических идей. Даже в таких фразах, как «жить в другом измерении» или «путешествие в другое измерение», значение слова по-прежнему основывается на тех же фундаментальных идеях. В науке и технике этот термин тоже приобрел несколько различных значений и разную степень сложности в зависимости от области, в которой он используется. Например, существуют такие понятия, как размерность векторного пространства, топологическая размерность, фрактальные размерности… Однако целью этой книги является не объяснение терминов, а лишь введение интуитивного понятия размерности.

Степени свободы

Во-первых, давайте остановимся на вопросе: «Что такое размерность?» В общем случае, когда мы говорим о размерности пространства, мы имеем в виду то, что физики и инженеры называют степенью свободы.

В одномерном пространстве у нас есть только одна степень свободы, то есть мы можем двигаться только вперед и назад по одной линии. В поезде мы всегда движемся либо вперед по рельсам, либо назад: состав не может совершать другие движения.

Рельсы, по которым движется поезд, образуют достаточно произвольную кривую, но эта кривая представляет собой одномерное пространство. Наблюдая в поле траектории движения муравьев, мы увидим, что эти траектории тоже представляют собой кривые линии. Насекомые движутся по ним, возвращаясь в муравейник или отправляясь на поиски добычи. Аналогичное движение — вперед и назад — является единственно возможным для короля и других жителей Лайнландии.

В упрощенном виде траектории движения муравьев являются одномерными пространствами, так как насекомые движутся по кривым линиям в обе стороны.

Муравьи движутся так, потому что они следуют по запахам феромонов, оставленным другими муравьями. Однако первый муравей (тот, что проложил путь) мог двигаться во всех направлениях. Если мы выпустим муравья на поверхность стола, мы увидим, что он ползает вперед и назад, а также вправо и влево и под любым углом к этим направлениям. Поверхность стола представляет собой двумерное пространство, другими словами, она имеет две степени свободы.

Муравей-первопроходец на поверхности стола с двумя степенями свободы будет двигаться не только вперед и назад, но и в других направлениях.

Этот муравей имеет такую же свободу передвижения, как и Квадрат, живущий во Флатландии. Корабль на поверхности моря и альпинист на склоне горы также движутся в двумерном пространстве. Положение корабля или альпиниста на поверхности земного шара может быть определено с помощью двух параметров: широты и долготы. Аналогично положение муравья на поверхности стола может быть установлено с помощью расстояний от обеих сторон стола.

Если вместо корабля мы рассмотрим подводную лодку, мы добавим возможность перемещения вверх и вниз на конкретную глубину. Точно так же вертолет может подниматься на разную высоту в воздухе. Следовательно, и вертолет, и подводная лодка имеют три степени свободы. Это и есть наше естественное трехмерное пространство.

Если вертолет летает, например, в определенное время каждый день, мы можем добавить еще одну степень свободы — время, хотя в этом измерении мы можем двигаться только вперед, по крайней мере, таково наше восприятие времени. Наша жизнь, таким образом, протекает в четырехмерном пространстве-времени и поэтому может быть задана с помощью четырех координат.

Координаты

При формулировании понятия степени свободы мы уже видели, что для определения положения в пространстве нам нужны не только числовые значения, но и количество измерений пространства. В примере с вертолетом, движущимся в трехмерном пространстве, GPS определяет его положение с помощью трех чисел — широты, долготы и высоты по отношению к уровню моря — и таким образом использует математическое понятие размерностей в виде набора координат, другими словами, группы чисел.

Возьмем теперь пример с поездом. Представьте себе железнодорожный путь, соединяющий два города с центральной станцией, которая контролирует движение поездов. Положение каждого поезда может быть определено как расстояние от станции в одном или другом направлении (чтобы различать направления, мы обозначим одно знаком плюс, а другое — знаком минус). Следовательно, для определения положения поезда будет достаточно одной координаты (x1). Пространство всевозможных положений поезда может быть отождествлено с одномерным пространством координат, задаваемых всевозможными значениями х1.

Аналогичным образом с помощью одного числа можно задать рост каждого члена семьи. Эти значения в некоторых домах можно увидеть на косяке двери, который таким образом становится графическим представлением одномерного пространства всевозможных значений роста.

Точное местоположение любого судна в любом океане Земли можно определить с помощью двух чисел — широты и долготы.

Двумя числами (х1 — долгота, х2  — широта) мы можем описать положение любого места на земной поверхности, которая является двумерным пространством. Более абстрактным примером двумерного пространства будет «пространство», образованное рамками для фотографий, заданными двумя размерами — длиной и шириной. В этом пространстве точкой с координатами (29, 35) является рамка, длина которой 29 см, а ширина — 35 см.

Аналогично, если мы измерим рост и вес членов некой семьи, эти измерения также будут точками в двумерном пространстве, заданными парой измеренных значений. Однако на дверном косяке нельзя будет изобразить эти точки, нам потребуется для этого вся стена. Вот почему ни одна семья не отмечает эти данные таким образом! Стена была бы представлением координатной плоскости. Мы бы отмечали рост по вертикали, а вес — по горизонтали. Тогда пара чисел для каждого члена семьи изображалась бы точкой на стене.

Стена кухни представляет собой координатную плоскость, дверной косяк является осью роста, а плинтус — осью веса. Четыре точки соответствуют четырем парам чисел — росту и весу каждого члена семьи.

* * *

МУХА ДЕКАРТА

Французский математик  Рене Декарт (1596–1650) ввел понятие координатной плоскости, а также аналитической геометрии в своей работе «Геометрия», опубликованной в качестве приложения к книге «Рассуждение о методе». По одной из легенд, идея декартовой плоскости пришла к нему в голову, когда он думал о движении мухи по потолку спальни. Декарт понял, что положение мухи может быть задано расстояниями от двух стен. Таким образом, Декарт добавил координаты — алгебраический инструмент — к плоскости Евклида, которая, в свою очередь, находится в некотором геометрическом пространстве. Хотя в наше время координаты могут показаться простым понятием, в то время это было очень трудно воспринять даже Исааку Ньютону (1643–1727), который испытывал сложности при чтении работ Декарта.

Координатная плоскость с точками А = (4, 2), В = (-5, 3), С = (-2, -4) и D = (5, -3).

* * *

Трехмерное координатное пространство задается тройками чисел (х1, х2, х3). Как уже говорилось, положение вертолета определяется тремя числами — широтой, долготой и высотой. Аналогично более абстрактным примером будет пространство, содержащее картонные коробки, определенные их длиной, шириной и высотой.

Коробка, изображенная в трехмерном координатном пространстве. Координаты точки ( а ,  Ь , с ) определяют размеры коробки длиной а , шириной b  и высотой с .

В общем случае координаты точки в n-мерном пространстве задаются кортежем (набором) из n чисел (х 1 …,x n ), где n — размерность пространства. Таким образом, каждая точка пространства является кортежем (х 1 …,x n ), а n-мерное координатное пространство состоит из всевозможных кортежей. В математических символах это записывается так:

Во многих отраслях науки и техники различные данные представляют собой наборы числовых значений, поэтому, применяя понятие координатного пространства к этим кортежам чисел, мы можем использовать геометрические инструменты для организации, локализации и обработки информации. Таким образом мы получаем возможность делать полезные заключения. Можно привести разнообразные примеры, такие как результаты медицинских анализов крови (количество в крови натрия, калия, глюкозы, холестерина и других соединений). Эти результаты представляют собой кортеж из n чисел, где n обозначает количество проведенных клинических испытаний. Другими примерами могут выступать списки групп студентов, результаты спортивных соревнований и так далее.

* * *

ОБЫЧНОЕ РАССТОЯНИЕ

Понятие координатного пространства предполагает существование фиксированного расстояния между двумя точками в этом пространстве, так называемого обычного расстояния. Например, для двух точек р  =  (x 1 , х 2 , х 3 ) и q  = (y 1 , у 2 ,  у 3 ) в трехмерном координатном пространстве R 3 обычное расстояние задается выражением

что делает наш мир трехмерным евклидовым пространством. Именно это расстояние мы используем в нашей повседневной жизни. Конечно, это понятие расстояния легко обобщается на n-мерное координатное пространство.

Расстояние ( С ) между двумя точками ( x 1 , y 1 ) и ( х 2 , у 2 ) на плоскости определяется по теореме Пифагора, так как С является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами А = у 2 — у 1 и В =  х 2   — х 1

Существование пространств более высокой размерности

Несмотря на кажущуюся простоту этих идей, потребовалось много времени, чтобы привыкнуть к ним и начать применять их на практике. Математики, другие ученые и философы вели жаркие споры о смысле и реальности пространств более высокой размерности. Например, в «Началах» Евклида определяется, что точка не имеет размерности, прямая линия имеет одну размерность (длину), плоскость — два измерения (длину и ширину), а тело в пространстве — три измерения (длину, ширину и высоту). Но Аристотель в своей работе «О небе» утверждал, что четырехмерного пространства не существует: «Величина, делимая в одном измерении, есть линия, в двух — плоскость, в трех — тело, и кроме них нет никакой другой величины, так как три измерения суть все измерения, и величина, которая делима в трех измерениях, делима во всех измерениях».

Клавдий Птолемей (ок. 100–170 н. э.) в своей работе «О расстоянии» впервые доказал, что четвертого измерения не существует. К сожалению, эта книга не сохранилась до наших дней, мы знаем о ней благодаря греческому математику и философу Симпликию Киликийскому (490–560). Фактически Птолемей говорил, что если рассмотреть три перпендикулярные прямые, то невозможно провести четвертую прямую, перпендикулярную к трем другим. Таким образом, четвертого измерения не существует. Однако Птолемей лишь доказывает, что невозможно воспроизвести четыре измерения в нашем трехмерном пространстве.

Позже, при попытке дать геометрическую интерпретацию алгебраических уравнений, возникла идея, что могут существовать пространства более высоких размерностей, но некоторые математики отзывались об этой возможности как о «неестественной». Английский математик Джон Валлис (1616–1703) в своей работе «Алгебра» назвал четвертое измерение «чудовищем, возможным в природе не более, нежели химера или кентавр. Длина, ширина и толщина полностью заполняют пространство. Даже фантазия не может описать, как четвертое измерение может существовать наряду с этими тремя».

Были и те, кто пытался принять существование четвертого измерения на духовном уровне. Например, английский философ Генри Мор (1614–1687) утверждал, что души имеют четыре измерения. Эта идея, как мы увидим в пятой главе, стала очень популярной. В этой связи немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804) писал: «Наука обо всех этих возможных видах пространства, несомненно, представляла бы собой высшую геометрию, какую способен построить конечный ум… Если возможно, чтобы существовали протяжения с другими измерениями, то весьма вероятно, что Бог где-то их действительно разместил. Поэтому подобные пространства вовсе не принадлежали бы к нашему миру, они должны были бы составлять особые миры».

В одной из своих работ Кант утверждал, что левая рука является зеркальным отражением правой и что мы не можем идеально совместить руку с ее отражением. Однако Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868) впервые заметил, что при вращении правой руки в гипотетическом четырехмерном пространстве она может стать своим зеркальным отражением — левой рукой, вернувшись в трехмерное пространство.

Если даже ученым было трудно представить пространства с более высокими размерностями, то обычным людям требовалось гораздо больше времени и усилий, чтобы понять это, и обычно это происходило на интуитивном уровне. Революция в геометрии XIX в., которая, как мы увидим в следующей главе, вышла за рамки простых обобщений пространств с более высокими размерностями, была ключевым моментом для науки и общества и означала вступление в мир многомерных пространств.

Физические и математические пространства

В двух предыдущих разделах мы уже затрагивали вопрос о различии физического и математического пространства, но не углублялись в детали.

Для физиков и других ученых понятие пространства тесно связано с понятием действительности, но для математиков это не совсем так. Вопрос «Существует ли четырехмерное пространство?» имеет различный смысл в зависимости от того, кто его задает. Для физиков этот вопрос звучит так: «Существует ли реальное четырехмерное пространство?» Ответ, конечно, отрицательный, если под реальным пространством имеется в виду наблюдаемый физический мир.

Таким образом, когда речь идет о четвертом измерении, физики имеют в виду четырехмерное пространство-время. Однако для математиков этот вопрос означает: «Существует ли концепция четырехмерного пространства?»

В конечном итоге это различие связано с самой сущностью математики и ее подходом. Математики не только изучают физический мир, который нас окружает, но и способны абстрагироваться от него и перенестись в мир идей, концепций и математических структур, в котором физический мир является лишь небольшой его частью или совсем отсутствует. Математики работают в этом мире идей, получая абстрактные результаты, общие понятия, создавая новые формы и инструменты. Несмотря на огромное расстояние между реальностью и математикой, эта наука успешно применяется в реальном мире. Венгерский математик и физик Юджин Вигнер (1902–1995), лауреат Нобелевской премии по физике, говорил о «необъяснимой эффективности прикладной математики в естественных науках». Математики Эдвард Казнер и Джеймс Ньюман в своей знаменитой книге «Математика и воображение» (1989) использовали другую метафору: «Математик — это портной, служащий благородному сословию наук. Он шьет всевозможные костюмы для всех, кто только пожелает их носить».

В этом смысле математики естественным образом работают с многомерными пространствами, не ограничивая себя физической реальностью. Для них математические понятия существуют, если только они не являются логически противоречивыми. Вот почему, когда математики говорят о четырехмерном пространстве, им не нужно обязательно думать о пространстве-времени или о четвертом пространственном измерении.

* * *

РАЗМЕРНОСТЬ ВСЕЛЕННОЙ

Наши чувства говорят нам, что мы живем в трехмерном пространстве, а если мы добавим время, то можно считать, что наша Вселенная является четырехмерной. В настоящее время физики работают над теорией струн, которая предполагает, что наша Вселенная может существовать в пространстве более высоких размерностей: 10,11 или даже 26. Но размерности эти существуют в субатомных масштабах, поэтому они — вне нашей способности воспринимать их. Многие из нас не в состоянии даже представить их! Интересно, что Чарльз Хинтон уже в конце XIX в. говорил о такой возможности, излагая теорию четвертого измерения.

Теория струн до сих пор не доказана экспериментально, хотя уже произвела глубокую научную и философскую революцию. Ее противники утверждают, что ее невозможно полностью проверить и, следовательно, в действительности она вообще не является научной теорией. Это один из вопросов, на который может пролить свет Большой адронный коллайдер, построенный в ЦЕРНе.

Какая польза от многомерных пространств?

В области математической физики важность работы с многомерными пространствами уже давно стала очевидной. Французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) в своей книге «Аналитическая механика» рассматривал механику в терминах многих координат (степеней свободы), включая время как отдельную координату. Впоследствии ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865) переписал уравнения механики для многомерных пространств.

Давайте рассмотрим следующий пример. Нам нужны четыре координаты для описания положения колеса, которое без скольжения движется вперед по поверхности: две координаты для описания точки касания колеса с поверхностью, одна — для угла поворота, и еще одна — для угла вращения вокруг продольной оси. Это делает пространство положений колеса четырехмерным. Если мы добавим движение, нам придется ввести еще четыре координаты для скорости. Таким образом, пространство положений колеса, движущегося по поверхности, имеет восемь измерений.

Эта диаграмма показывает, что пространство положений колеса, которое катится без скольжения по плоской поверхности, имеет четыре измерения. Координаты точек — х , у , α , Θ . Первые две, х и у , описывают точку касания колеса с плоскостью. Угол α является углом вращения вокруг продольной оси, а Θ — углом поворота.

Большинство областей науки (физика, астрономия, экономика, биология, медицина, машиностроение и многие другие) используют многомерные пространства.

Значение такого подхода заключается в том, что он позволяет нам оперировать геометрическими и математическими инструментами для получения полезной информации по изучаемому объекту или для выявления его интересных применений. Рассмотрим два ярких примера, которые показывают полезность этих методов в нашей повседневной жизни.

Шифрование сообщений

Мобильные телефоны, интернет, цифровые телевизоры, музыкальные компакт-диски, фильмы на DVD, цифровая идентификация — все это зависит от шифрования данных и их последующей расшифровки. В этом процессе обнаружение и исправление ошибок является важным элементом.

В наш цифровой век шифрование сообщений, будь то изображение, музыка или текст, требует перевода информации в последовательности нулей и единиц. Это называется двоичным шифрованием (каждый 0 или 1 называется бит — сокращение от английского выражения «двоичная цифра»). Такие последовательности делятся на «слова» фиксированной длины, которую мы обозначим k. Строки из 4 бит (содержащие 4 цифры) называют шестнадцатеричными цифрами. Всего существует 24 = 16 таких цифр, а строки из 8 бит называются байтами (их 28 = 256 штук).

Кодировка ASCII содержит 256 возможных кодов для выражения различных символов, другими словами, с помощью этих кодов можно закодировать 256 печатных символов. Бит каждого «слова» можно рассматривать как координату, хотя она принимает только значения 0 и 1. Каждое «слово» из k бит представляет собой точку в координатном пространстве размерности k, другими словами, количество размерностей равно длине слов. Например, шестнадцатеричное слово ООН отождествляется с точкой (0, 0, 1, 1) четырехмерного координатного пространства. В этом пространстве можно задать расстояние — способ измерения, насколько далеко друг от друга находятся точки (двоичные «слова») этого геометрического пространства.

Например, так называемое расстояние Хэмминга между двумя словами определяется количеством цифр, которыми эти слова различаются (так, слова ООН и 1011 находятся на расстоянии 1). В этом координатном пространстве мы можем использовать все математические инструменты арифметики, алгебры, анализа и геометрии.

Однако все не так просто, учитывая, что при передаче данных — со спутника или по электронной почте — или при чтении зашифрованных данных (например, на музыкальных компакт-дисках) могут возникнуть ошибки. В этой ситуации у нас имеется две проблемы: возможно, мы не знаем, что полученная информация является ошибочной, а также мы не знаем, какие биты неправильны. Поэтому приходится использовать дополнительные контрольные коды, увеличивая длину слов и, следовательно, размерность координатного пространства.

Пример кода, который помогает обнаружить ошибки, — это испанский налоговый идентификационный номер, содержащий дополнительную букву, которая генерируется с помощью математической формулы. Таким образом, если хотя бы одна цифра номера будет неверной, то буква будет отличаться от нужной, что и поможет выявить ошибку.

Самокорректирующийся код американского инженера Ричарда Уэсли Хэмминга устроен так: к каждому шестнадцатеричному слову с помощью математического алгоритма добавляются еще три бита (например, слово ООП превратится в 0011101). К тому же, этот код способен исправить ошибку в одном из битов слова.

Код Хэмминга очень прост, но существуют и другие, гораздо более сложные коды обнаружения и исправления ошибок. Например, код Рида — Соломона, который используется в компакт-дисках и в телеметрии с гражданских спутников, где применяются 65- и 265-битовые слова соответственно, то есть каждое слово представляет собой точку в координатном пространстве с 65 и 265 измерениями. Таким образом, использование математического аппарата в координатном пространстве оказывается очень полезным, особенно при создании кодов для обнаружения и исправления ошибок.

Поисковая система Google

В настоящее время поисковая система Google стала одним из основных инструментов поиска в интернете, и у нее огромное количество пользователей. Одной из причин такого успеха является ее эффективность, так как для каждого поискового запроса система быстро выдает упорядоченный список результатов, и первые из них, как правило, содержат то, что мы ищем. Способ упорядочивания результатов поиска, то есть присвоения числового рейтинга каждой странице, использует сложную математику — смесь линейной алгебры, теории графов и теории вероятностей.

При разработке поисковых систем, подобных системе Google, приходится решать и математические, и технические задачи. Другими словами, главный вопрос заключается в том, как упорядочить результаты поиска. Можно предположить, что рейтинг определенной веб-страницы зависит от количества других страниц, ссылающихся на нее. Однако существуют страницы, на которые мало ссылок, но которые очень важны для данного поиска. Поэтому такая модель невыгодна для пользователей. К тому же она может быть легко использована веб-сайтами для искусственного повышения рейтинга.

Создатели Google Сергей Брин и Ларри Пейдж разработали алгоритм для определения рейтинга страницы не по количеству ссылок на нее, а пропорционально важности этой страницы для данного поиска. Этот алгоритм требует решения системы алгебраических уравнений. Фактически задача сводится к линейной алгебре, а именно к вычислению собственных векторов и собственных значений некой матрицы. Если обозначить важность веб-страниц в интернете набором чисел (x 1 , …., x n ), где n — число страниц, существующих в интернете, а хi   — число, означающее важность конкретной веб-страницы i, то задача сводится к поиску в n-мерном пространстве элемента (x 1 , …., x n ), который является решением некой системы уравнений.

В 2006 г. было подсчитано, что в интернете существует около 600 миллиардов веб-страниц. Это число и соответствует числу измерений рассматриваемого пространства. Такое пространство, безусловно, является многомерным!

* * *

АЛГОРИТМ, КОТОРЫЙ ИЗМЕНИЛ ИНТЕРНЕТ

В 1998 г. два молодых студента-информатика Стэнфордского университета в Калифорнии Ларри Пейдж и Сергей Брин заканчивали исследовательский проекте несколько загадочным названием «Анатомия системы крупномасштабного гипертекстного интернет-поиска». Он содержал первую версию простого и элегантного алгоритма PageRank, используемого для упорядочивания списка

страниц в зависимости от их значимости. PageRank стал основой поисковой системы Google, которая через несколько лет обошла Yahoo, Altavista и многие другие поисковые системы. Поиск в Google даже стал синонимом поиска в интернете (слово «гуглить»» еще не вошло в словари, но активно употребляется в разговорной речи).

Алгоритм PageRank действительно элегантен и прост и может быть записан следующим образом:

где  W j  — рейтинг страницы j ; W i   — рейтинг страницы i , которая содержит ссылку на страницу j ; число d — коэффициент затухания со значением между 0 и 1, необходимый для сходимости рядов; n i , — число ссылок на странице W i , на другие страницы; N  — общее количество страниц, которые содержат ссылку на страницу j .

Рейтинг любой страницы является суммой рейтингов всех страниц, которые ссылаются на нее, с весовым коэффициентом, зависящим от общего числа ссылок на каждой.

 

Глава 3. Революция в геометрии XIX века

Нечасто математические проблемы представляют общий интерес. Однако вопросы четвертого измерения после двух геометрических революций XIX в. глубоко проникли в общество. Они заинтересовали ученых и философов, теологов и медиумов, писателей и художников, музыкантов и поэтов — общественность в целом.

Неевклидовы геометрии

Примерно в 300 г. до н. э. Евклид Александрийский опубликовал свою главную работу «Начала», в которой собрал все геометрические, арифметические и алгебраические сведения, известные в то время. Его труд начинался с изложения элементарных понятий и упорядочения имеющихся знаний; затем Евклид использовал дедуктивный метод и систему доказательств, в которой, среди прочего, важную роль играли более неформальные подходы, такие как интуиция, аналогии и симметрия.

Наряду с Библией «Начала» являются одной из наиболее влиятельных книг всех времен. Они неоднократно копировались, переводились на многие языки, а после изобретения книгопечатания постоянно переиздавались. На протяжении более двух тысячелетий этот труд использовался в качестве учебника и был стандартом математического мышления.

Одним из важнейших достижений Евклида был выбор группы основных постулатов, из которых с помощью аксиом и дедуктивного метода могут быть выведены все другие теоремы. Таким образом, для геометрии на плоскости сначала давались некоторые интуитивно понятные определения: точка, прямая линия, угол и так далее. Затем формулировались аксиомы — очевидные истины, не требующие доказательства. Например, «равные одному и тому же равны и между собой» или «целое больше части». И, наконец, пять постулатов Евклида, которые лежат в основе его геометрии, хотя он их не доказывает:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Пятый постулат в современных терминах формулируется следующим образом: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данную». Очевидно, что эта аксиома не зависит от предыдущих.

К тому же ее формулировка длиннее и содержит в себе условие. Многие математики думали, что пятый постулат можно вывести из предыдущих аксиом, и попытались доказать это. Некоторые из них до конца жизни были уверены, что им удалось сделать это, а другие сомневались даже в том, что его можно считать постулатом.

* * *

ЕВКЛИД АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ

Удивительно, как мало нам известно о жизни автора «Начал»». Его называют Евклид Александрийский, потому что он заведовал музеем в Александрии. Это учреждение наряду с великолепной библиотекой являлось хранилищем всех знаний того времени.

Евклид был скромен и доброжелателен, хотя часто саркастичен. «Нет царского пути к геометрии»», — так ответил он Птолемею, правителю города, когда тот спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала»». А когда один ученик спросил, какова выгода от геометрии, Евклид приказал дать ему три монеты, «раз он хочет извлекать прибыль из учебы»». Считается, что Евклид также написал труды по широкому кругу других вопросов, таких как оптика, астрономия, геометрия, музыка и дидактика, хотя историки не уверены в том, один и тот же ли Евклид является автором всех этих текстов, приписываемых ему.

* * *

На протяжении более двух тысячелетий многие знаменитые математики бились над проблемой пятого постулата, называемой также задачей о параллелях.

Ключевым моментом в решении этого вопроса стала работа итальянского математика Джироламо Саккери (1667–1733). Вместо того чтобы вывести пятый постулат из предыдущих, он использовал метод от противного. Доказательство основывалось на четырехугольнике с двумя прямыми углами А и D и равными сторонами АВ и CD. Для других равных углов В и С существует три возможности:

1) В = С = 90° (гипотеза прямых углов, или евклидова гипотеза);

2) В = С > 90° (гипотеза тупых углов);

3) В = С < 90° (гипотеза острых углов).

Четырехугольник Саккери с двумя прямыми углами.

Гипотеза тупых углов быстро отбрасывается, о гипотезе острых углов Саккери сказал следующее: «Гипотеза острых углов абсолютно ложна, потому что противна самой природе прямой линии». И Саккери, и немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) получили интересные геометрические результаты, вытекающие именно из гипотезы острых углов.

Лишь в XIX в. Гаусс, Лобачевский и Бойяи окончательно решили эту проблему, хотя немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс не публиковал свои открытия, поскольку они противоречили философским доктринам той эпохи о природе пространства.

Русский математик Николай Иванович Лобачевский был первым, кто обнародовал новую геометрию, отличавшуюся от геометрии Евклида. Лобачевский назвал ее «воображаемой геометрией», и теперь она известна как гиперболическая геометрия. Она соответствует гипотезе острых углов Саккери, по которой через точку вне данной прямой проходит бесконечное количество прямых, параллельных данной.

Лобачевский представил свою работу в 1826 г. на конференции в Казанском университете, где он работал, а затем опубликовал ее в журнале «Казанский вестник» в серии статей под названием «О началах геометрии». Три важнейшие его работы содержат описание новой геометрии: «О началах геометрии» (на русском языке), «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (на немецком языке) и его последняя книга «Пангеометрия» (на русском и французском языках).

Математик-любитель и офицер австро-венгерской армии Янош Бойяи (1802–1860) подошел к задаче с несколько иной точки зрения. Он разработал абсолютную геометрическую теорию, используя только первые четыре постулата, и исследовал, зависят ли полученные геометрические результаты от пятого постулата. Его статья была опубликована в 1832 г. в виде приложения к работе его отца, близкого друга Гаусса, математика Фаркаша Бойяи (1775–1856), который также работал над проблемой о параллелях. Он так написал об этом своему сыну: «Ради бога, молю тебя, оставь эту материю. Страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни…»

* * *

ИММАНУИЛ КАНТ И ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

После эпохи Возрождения образ Бога начал терять свое значение в области математики и науки в целом. Позже, в XVIII в., роль Бога как архитектора мира еще более поблекла. Говорят, что Наполеон упрекал французского математика Пьера Лапласа (1749–1827) в том, что в его главной работе «Небесная механика» тот не упоминал Творца, на что Лаплас ответил: «Сир, я не нуждался в этой гипотезе».

Но тогда философы задались вопросом, а верны ли сами математические законы природы?

Шотландский философ Дэвид Юм (1711–1776) считал, что наше знание о мире является субъективным, поскольку оно получено через наши органы чувств. Другими словами, никто не может гарантировать существование объективного физического мира, и, следовательно, не имеет смысла говорить о его научных законах.

Со своей стороны, Кант в работе «Критика чистого разума» (1781) утверждал, что пространство и время являются формами восприятия и интуиции, на основании которых ум рассматривает реальность. Так как понятие пространства находится в нашем сознании, оно принимает форму определенных истин, которые Кант называл «априорными синтетическими суждениями», являющимися частью наших врожденных умственных способностей. Геометрия просто следует из них. Евклидова геометрия и трехмерное пространство являются частью этих истин априори.

* * *

И сумма углов треугольника, и количество прямых, параллельных данной прямой линии и проходящих через точку вне ее, зависит от типа геометрии: евклидовой , гиперболической или эллиптической .

Сначала работы этих гениев никого не заинтересовали. Труды Лобачевского были в основном на русском языке, а Бойяи опубликовал свою статью в качестве приложения. Математическое сообщество проявило интерес к этой теме только после лекции немецкого математика Бернхарда Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854), которую мы рассмотрим более подробно в следующих главах. Риман был первым математиком, который обратил внимание на возможность существования геометрии, вытекающей из гипотезы тупых углов, так называемой эллиптической геометрии, в которой не существует прямых, параллельных данной прямой и проходящих через точку вне ее. Его идея заключалась в замене гипотезы бесконечного пространства на гипотезу неограниченного пространства. Например, сфера является конечной, но неограниченной.

* * *

НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ (1792–1856)

Отец неевклидовой геометрии был человеком скромным, очень хорошо воспитанным и серьезным, неутомимым работником, который посвятил свою жизнь работе в Казанском университете. После окончания физико-математического факультета родного университета он начал в нем преподавать и вскоре получил должность декана факультета, а затем стал ректором Казанского университета. Этот пост он занимал в течение 19 лет. Параллельно с занятиями математикой он добился исключительных результатов на этой должности. Он улучшал здания университета и строил новые, организовывал работу библиотеки (иногда лично сортируя книги), открыл лабораторию и новую клинику и привлек на работу лучших преподавателей и ученых. Кроме геометрии Лобачевский также интересовался другими областями математики, такими как тригонометрические ряды, теория вероятностей, механика и интегральное исчисление. Наиболее важной негеометрической его работой была «Алгебра, или Вычисление конечных».

Советская марка с портретом Лобачевского .

Рождение многомерной геометрии

В 1822 г. с публикацией работы Гаусса «Исследования относительно кривых поверхностей» появилась новая ветвь геометрии — дифференциальная геометрия, в которой используется дифференциальное и интегральное исчисление для изучения кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Сразу после открытия этого исчисления в работах Ньютона и Лейбница математики стали использовать этот мощный инструмент для анализа кривых, а впоследствии Эйлер и Монж начали применять его также для поверхностей.

Однако даже работа Гаусса не содержит систематического и исчерпывающего исследования поверхностей в трехмерном пространстве. Гаусс заинтересовался поверхностями, когда занимался задачами геодезии и картографии, еще в Ганновере работая над методом триангуляции, а также благодаря своим астрономическим исследованиям. В «Общих исследованиях о кривых поверхностях», изучая поверхности в геометрических пространствах, он открыл новый научный метод. Он первым начал рассматривать поверхности как объекты, которые могут быть описаны двумя координатами и хг называемыми локальными координатами. До Гаусса поверхности считались всего лишь границами твердых тел. В то время как обычная геометрия изучала объекты на плоскости и в пространстве в их целостности, новая дифференциальная геометрия концентрировалась на отдельных локальных свойствах кривых и поверхностей.

Поверхности в пространстве — это геометрические объекты, которые могут быть локально описаны двумя координатами U и V , называемыми локальными координатами. Локальная карта ( Т ) является телескопом, через который математик наблюдает (получается двумерное изображение) конкретную область изучаемого объекта.

В упомянутой работе Гаусс ввел понятие ориентации поверхности и связанного с ориентацией поля нормальных векторов, содержащего векторы, перпендикулярные к поверхности в каждой ее точке, что стало основным инструментом для измерения кривизны поверхности. Эти инструменты позволили определить два вида кривизны поверхности, известные сегодня как кривизна Гаусса К и средняя кривизна Н. Гаусс показал, что, вопреки определению, кривизна К зависит только от внутренней геометрии поверхности, доказав основную теорему теории поверхностей, так называемую Theorema Egregium. Он также определил другие основные элементы внутренней геометрии, в частности, геодезические линии как кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности. Им же были получены интересные результаты, следующие из внутренней геометрии, такие как отношение между углами геодезического треугольника и его кривизной.

Формула показывает, что разность между 180° (или π радиан) и суммой углов геодезического треугольника зависит от кривизны Гаусса.

Если взять полоску бумаги и соединить ее два конца, то получится лента с двумя поверхностями — внешней и внутренней, то есть двухсторонняя. Но если мы развернем один конец бумаги при склеивании, то получится лист Мёбиуса , который является односторонней поверхностью. Чтобы проверить это, достаточно провести карандашом линию по ленте и убедиться, что линия вернется в начало, пройдя по всей ленте. Эта лента имеет только одну сторону.

* * *

ИОГАНН КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777–1855)

Гаусс, несомненно, один из самых выдающихся математиков всех времен. Еще ребенком он показал исключительный талант к математике, поэтому, несмотря на скромное происхождение юного гения, его обучение было профинансировано герцогом Вильгельмом Фердинандом. Так, в 1795 г. Гаусс начал изучать математику в университете Гёттингена. В возрасте 19 лет он решил одну из классических задач геометрии, показав, что правильный 17-сторонний многоугольник можно построить с помощью линейки и циркуля. Это была первая запись в его знаменитом научном дневнике, в который он заносил короткие заметки о своих самых важных открытиях. В 21 год он написал свой важнейший труд «Арифметические исследования». Гаусс стал известен всей Европе, когда с помощью вычислений определил орбиту астероида Цереры, используя свой метод наименьших квадратов. В 1807 г. он возглавил кафедру астрономии в Гёттингенском университете и был назначен директором обсерватории. Он сделал открытия во многих областях математики, в том числе в алгебре, теории чисел, дифференциальной геометрии, неевклидовой геометрии, математическом анализе, геодезии, астрономии, теории ошибок, а также в области физики, магнетизма, оптики и электричества. После его смерти король Ганновера Георг V назвал его принцем математики и распорядился выпустить памятную медаль в честь Гаусса.

Карикатура на  Гаусса авторства Энрике Моренте .

Внутренние и внешние геометрии

В чем различие между внутренней и внешней геометрией поверхности? Внутренняя геометрия — это геометрия самой поверхности, которую могли бы описать существа, живущие на этой поверхности. Гаусс в письмах к своим коллегам упоминал гипотетическую моль, живущую в двумерном пространстве. Theorema Egregium, основная теорема теории поверхностей, утверждает, что гауссова кривизна определяется геометрией, которая присуща самой поверхности. Эта величина характеризует внутреннюю кривизну поверхности. Внешняя же геометрия отражает связь между поверхностью и внешним трехмерным пространством и определяет среднюю кривизну линий на поверхности.

Локально внутренние геометрии плоскости и цилиндра одинаковы, так как обе имеют гауссову кривизну, равную нулю. Если взять лист бумаги и соединить два противоположных конца, то получится цилиндр. Этот небольшой эксперимент изменяет геометрию (метрику) поверхности. Обе поверхности внутренне плоские, и существа, живущие на них, не смогли бы отличить одну от другой, если бы они не могли посмотреть на них снаружи. Вместе с этим в трехмерном пространстве плоскость не искривлена (ее средняя кривизна равна нулю), а цилиндр, средняя кривизна которого является положительным постоянным числом, искривлен.

Плоскость ( К = 0, Н = 0); цилиндр радиуса r ( К = 0, Н = 1/ r > 0); сфера радиуса r ( К = Н  = 1/ r 2 > 0).

Заметим, что внутренняя геометрия сферы, гауссова кривизна которой постоянна и положительна, отличается от внутренней геометрии плоскости. Вот почему жители сферы могут понять, что они живут на искривленной поверхности, не выходя за ее пределы. Это можно сделать, проверив, что сумма углов геодезического треугольника больше 180°. Гаусс пытался доказать это для поверхности Земли, но погрешность его измерений была слишком велика. Важным следствием этого является невозможность построения правильных карт поверхности Земли, сохраняющих геометрию (расстояния, кратчайшие пути, площади и направления). Более того, для большинства поверхностей значение гауссовой кривизны варьируется от точки к точке.

Примером может служить поверхность тора (или бублика), которая имеет точки с положительной, отрицательной и нулевой гауссовой кривизной (внешние, внутренние и граничные точки поверхности тора соответственно).

Точки поверхности тора выделены разным цветом в зависимости от кривизны — положительной, нулевой или отрицательной.

* * *

МОДЕЛИ ГЕОМЕТРИЙ НА ПОВЕРХНОСТЯХ

Чтобы построить модель неевклидовой геометрии, надо представить пространство в виде поверхности, а геодезические линии на ней (кратчайшие расстояния между двумя точками) назвать прямыми линиями. Дифференциальная геометрия помогает определить, на каких поверхностях справедливы постулаты Евклида. Такие поверхности должны быть геодезически полными (геодезические линии неограниченны), чтобы выполнялись постулаты 1 и 2, и иметь постоянную гауссову кривизну К для выполнения постулатов 3 и 4. Таким образом, если К  = 0, то справедлива евклидова геометрия на плоскости. Если К > 0, то мы имеем модель эллиптической геометрии (например, на сфере) с гипотезой тупых углов. В этом случае первый постулат не выполняется, так как через диаметрально противоположные точки проходит бесконечное количество геодезических линий. Диаметрально противоположные точки сферы можно отождествить, но тогда получится абстрактная поверхность вне трехмерного евклидова пространства. Если К < 0, то мы имеем модель гиперболической геометрии (псевдосферу) с гипотезой острых углов. Эта модель тоже не является геодезически полной, и, следовательно, ее тоже приходится обобщать до абстрактной поверхности вне трехмерного евклидова пространства.

Вклад Римана

В любом случае революция, начатая Гауссом, проходила в трехмерном евклидовом пространстве. Многомерные случаи были еще впереди, а пока обычная аналитическая геометрия занималась изучением координатных пространств первых трех измерений (на прямой, на плоскости и в трехмерном пространстве). Как мы уже говорили, признать существование высших измерений было нелегкой задачей для ученых и философов. Однако в середине XIX в. многомерные пространства появились как естественное продолжение аналитической геометрии. Одной из двух важных работ, связанных с этим, была статья «Главы из аналитической геометрии п измерений» английского математика Артура Кэли (1821–1895). Второй базисной работой стали «Лекции о линейном расширении» немецкого математика и философа Германа Грассмана (1809–1877).

Потом появился доклад Римана, представленный в Гёттингенском университете, «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Он содержал великие геометрические идеи:

1. Понятие n-мерного геометрического пространства (называемого дифференцируемым многообразием), обобщающее понятие поверхности, данное Гауссом.

2. Понятие метрического тензора, обобщающее понятие расстояния, и изучение метрических отношений на дифференцируемых многообразиях (рождение геометрии Римана).

3. Обобщение понятия кривизны и других элементов внутренней геометрии поверхности на римановы n-мерные многообразия.

Понятие n-мерного дифференцируемого многообразия включает в себя тот факт, что локально его можно определить с помощью n локальных координат x1, …, xn, а также законов их преобразований. Геометрическое пространство (дифференцируемое многообразие) необязательно связано с реальным пространством, но может быть любым объектом, в котором выполняются общие условия, заданные определением.

Более того, Риман отказался от обычного математического и философского подхода, согласно которому понятие пространства подразумевает расстояние, заданное как обычное евклидово расстояние. Этим он разделил понятия пространства (п-мерного дифференцируемого многообразия) и расстояния, называемого метрическим тензором Римана. Таким образом, в одном и том же пространстве могут существовать три расстояния, с которыми, конечно, связаны различные значения кривизны. Поэтому геометрия Римана является неевклидовой геометрией в гораздо более общем смысле, чем разработанная Лобачевским и Бойяи, так как она подразумевает большее количество измерений и ее кривизна может принимать разные значения в разных точках.

Риман также глубоко интересовался проблемами физики и попытался объединить физические силы природы — гравитационные, электрические и магнитные.

По его мнению, силы притяжения являются следствием геометрии пространства и его кривизны. Он надеялся, что введенная им новая геометрия позволит обобщить силы природы.

Его идеи являются фундаментальными для физики XX в. В частности, они заложили основы теории относительности. В 1905 г. немецкий физик Альберт Эйнштейн (1879–1955) вместе с нидерландским физиком и математиком Хендриком Лоренцем (1853–1928) и французским математиком Анри Пуанкаре (1854–1912) представил специальную теорию относительности. Вскоре после этого немецкий математик Герман Минковский (1864–1909) связал четырехмерное многообразие Римана, пространство-время, с пространственным метрическим тензором Римана, который содержал скорость света. Именно на основе этого пространства в 1916 г. была разработана общая теория относительности Эйнштейна.

* * *

БЕРНХАРД РИМАН (1826–1866)

Риман за свою короткую жизнь опубликовал всего несколько работ, зато они были исключительно высокого достоинства, так как в них он решил некоторые из наиболее сложных математических проблем. Также он ввел новые понятия и методы и кардинально изменил представление о пространстве. Он был застенчивым человеком и избегал публичных выступлений, а из-за слабого здоровья страдал частыми нервными срывами.

Детство его было скромным, что неудивительно: он был сыном пастуха, но это не помешало проявлению фантастических способностей к вычислениям и особого математического таланта. Еще в школе юный Бернхард прочитал книгу Лежандра по теории чисел, поглощая 900 страниц в неделю.

Начав учиться на факультете теологии и философии, Риман вскоре увлекся математикой, поэтому отправился изучать ее в Берлинский университет. Там он начал развивать свои идеи по теории функций комплексного переменного, написав по этой теме докторскую диссертацию под руководством Гаусса в Гёттингенском университете. В 1859 г. Риман опубликовал свою единственную работу по простым числам. Этой областью он увлекался в течение многих лет, сформулировав одну из самых известных в математике гипотез.

Карикатура на Римана  авторства Херардо Басабе .

От научных кулуаров до кофейни

Красивые идеи, представленные в диссертации Римана, вскоре распространились по всем образовательным и научно-исследовательским учреждениям Европы. Многомерная дифференциальная геометрия наряду с неевклидовыми геометриями начала набирать популярность в математических и научных кругах. Исследования продолжались. В области неевклидовых геометрий строились новые модели пространств, а также предпринимались попытки сделать геометрии более последовательными, чтобы они не содержали логических противоречий. В дифференциальной геометрии здание, заложенное Риманом, продолжили строить такие известные итальянские математики, как Эудженио Бельтрами (1835–1900), Грегорио РиччиКурбастро (1853–1925) и Туллио Леви-Чивита (1873–1941), а также немецкий математик Элвин Бруно Кристоффель (1829–1900). Ученые того времени пытались применять элегантную теорию Римана, и хотя сначала это было нелегко (например, необходимо было дальнейшее развитие физики), наука XX в. показала истинное значение этой новой области геометрии.

В то же время математики и ученые начали распространять информацию о неевклидовых геометриях и геометрии Римана в академических кругах, проводя конференции, публикуя статьи в научных журналах и книгах, и мало-помалу эти идеи стали доступны широкой публике.

Одним из самых активных популяризаторов четвертого измерения был немецкий математик Герман фон Гельмгольц (1821–1894). Его статьи публиковались в Германии, Франции, Англии и США в 1860—1870-х гг.

Гельмгольц, как и некоторые из его современников, также использовал образ двумерных существ, живущих на сфере и на других поверхностях. Эти существа имеют свою собственную геометрию, отличную от евклидовой; в их геометрии, например, сумма внутренних углов треугольника не будет равна 180°. По поводу четвертого измерения Гельмгольц писал в своей работе «Популярные лекции о науке» (1881), что нам не удастся его вообразить, и приводил сравнение с человеком, который родился слепым и не может представить себе цвета.

Немецкий физик Герман фон Гельмгольц написал много работ по неевклидовой геометрии и о гипотетических многомерных мирах. Его идеи стали популярны среди широкой общественности во всем мире.

В то время как одни ученые работали над серьезными вопросами, другие решали более приземленные проблемы: как двумерные существа питаются, как устроен их кишечно-желудочный тракт, как они передвигаются, как выглядят их глаза, как устроено их зрение — эти и другие подобные вопросы, конечно, были более интересны широкой публике. В те времена выражение «четвертое измерение» стало синонимом любого многомерного пространства и понятия неевклидовой и многомерной геометрий часто отождествлялись.

Масштабы геометрической революции привели к тому, что эти вопросы стали темой наиболее важных научных и философских дискуссий конца XIX — начала XX в. Важнейшими среди них были вопросы о научной истине, связях между наукой и реальностью, о возможности существования пространств высших измерений, о структуре, функции и значении математики. Понятие пространства также подвергалось переосмыслению, и прежде всего был поставлен такой вопрос: наше пространство евклидово или неевклидово? Другими словами, какова форма нашего пространства?

Популяризация четвертого измерения также имела удивительные, даже магические аспекты, как мы увидим в четвертой главе. Оно означало существование сверхсуществ, всемогущих и вездесущих, умеющих проходить через стены и обладающих другими впечатляющими способностями. Это неизбежно привело к тому, что многомерные пространства стали вопросом религии и даже веры. Четырехмерное пространство можно рассматривать как свидетельство существования Бога или сверхъестественных существ. Например, христианские мыслители предполагали, что Бог и бессмертие могут быть связаны с нашим трехмерным миром через четвертое измерение.

Особенно широко вопросы четвертого измерения освещались в 1877 г. во время скандального судебного процесса, состоявшегося в Лондоне, о котором писала как британская, так и международная пресса. Генри Слейд, знаменитый американский медиум, предстал перед судом за мошенничество во время проведения спиритических сеансов с участием важных представителей лондонского общества. Скандал разразился, когда выдающиеся ученые всего мира, в том числе будущие лауреаты Нобелевской премии, выступили в его защиту, утверждая, что сеансы Слейда доказывают, что духи — это на самом деле существа из четвертого измерения. Несмотря на приговор, вынесенный Слейду, Иоганн Карл Фридрих Цёлльнер (1834–1882), профессор физики и астрономии Лейпцигского университета, провел серию экспериментов, чтобы продемонстрировать существование духов. Об этом мы подробнее расскажем в пятой главе. Этот скандал сделал многомерные пространства (правда, совершенно антинаучный их вариант) главной темой разговоров в Великобритании и во всем мире.

Генри Слейд был одним из самых знаменитых медиумов XIX в., и когда его спиритические сеансы были объявлены мошенническими, некоторые представители научного сообщества встали на его защиту.

Другим популярным аспектом четвертого измерения стали попытки визуализации различных четырехмерных объектов.

Одной из первых научных работ по этой проблеме была статья американского математика Вашингтона Ирвинга Стрингхема (1847–1909) «Правильные фигуры в n-мерном пространстве» (1880). В частности, попытка визуализировать гиперкуб, четырехмерный аналог трехмерного куба, стала синонимом визуализации четвертого измерения. Чарльз Хинтон, как и многие другие ученые (Пуанкаре например), посвятил этой задаче много времени, — он был убежден, что четвертое измерение можно визуализировать. Хинтон был главным представителем теории, известной как философия гиперпространства, занимающейся вопросами многомерных пространств и их взаимодействий с другими объектами.

На следующей странице приведен рисунок из названной статьи. Первые три изображения в левой части рисунка — «фасады» фигур, которые можно назвать гипертетраэдром, гиперкубом и гиперикосаэдром, — аналогов тетраэдра, куба и икосаэдра в четвертом измерении. В случае гипертетраэдра в каждой его вершине сходятся четыре тетраэдра, как и в трехмерном тетраэдре в каждой вершине сходятся три треугольника. В случае гиперкуба в каждой его вершине сходятся четыре куба таким же образом, как и в трехмерном кубе в каждой вершине сходятся три квадрата. Во втором ряду — проекции этих трех четырехмерных фигур на плоскость.

Четвертое измерение стало излюбленной темой некоторых писателей той эпохи.

После всеобщего разочарования в материализме и позитивизме многомерные пространства и неевклидовы геометрии внесли значительный вклад в развитие различных культурных феноменов.

В мире искусства это позволило кубистам отказаться от метода перспективы эпохи Возрождения, и они начали изображать объекты с разных точек зрения одновременно. Аналогично музыканты, дизайнеры, архитекторы и художники начали говорить о новом языке искусства и приближении к высшей реальности. Четвертое измерение проникло во все социальные и культурные сферы и стало обычной темой разговоров в кафе, расположившись где-то между привычными сплетнями и политическими спорами.

Рисунок из статьи «Правильные фигуры в n-мерном пространстве» Вашингтона Ирвинга Стрингхема , опубликованной в American Journal of Mathematics в 1880 г.

 

Глава 4. Магия четвертого измерения

Почему вопросы четвертого измерения привлекают внимание не только ученых, но и всего общества? Возможно, всех нас манит неизвестное, таинственное — одним словом, то, что мы не можем даже вообразить. Кроме того, для некоторых людей другие измерения могут служить способом ухода от действительности, от проблем социума, в котором они живут (вспомним, например, тяжелые условия жизни во времена викторианской Англии), или просто от личных неприятностей. Но прежде всего четвертое измерение представляет собой новую неизученную вселенную со всеми вытекающими отсюда возможностями развития науки, философии, религии и искусства.

Широкую публику четвертое измерение привлекало в основном своей связью с верой и религией, особенно тех, кто интересовался спиритуализмом. Мы расскажем об этом подробнее в пятой главе. Однако были и другие удивительные и, возможно, даже магические аспекты четвертого измерения, которые возбуждали воображение людей. О них речь пойдет в этой главе.

Взгляд из четвертого измерения

Представьте себе, что наша трехмерная вселенная является частью четырехмерного гиперпространства. Тогда такое гиперпространство можно разделить на две части, которые Чарльз Хинтон называл ана и ката. Точка нулевой размерности делит прямую на две полупрямые — «правую» и «левую». Прямая линия делит плоскость на две полуплоскости — «ближнюю» и «дальнюю». Плоскость делит пространство на два полупространства, которые мы можем назвать верхним и нижним, хотя, как и в других случаях, это просто вопрос выбора. В общем случае n-мерное гиперпространство будет делить (n + 1) — мерное гиперпространство на два полугиперпространства.

Точка нулевой размерности делит одномерную прямую на два отрезка, левый и правый. Прямая линия делит двумерную плоскость на две области, ближнюю и дальнюю. Плоскость делит трехмерное пространство на два полупространства, верхнее и нижнее. Аналогично трехмерное пространство будет делить четырехмерное гиперпространство на две отдельные области, ана и ката.

Некоторые христиане, интересовавшиеся четвертым измерением, увидели в этой теории способ определения местонахождения ада и рая. Рай, Бог и его ангелы находятся с одной стороны нашей видимой вселенной, например в ана, в то время как ад, дьявол и его демоны обитают в ката. Иными словами, ангелы и демоны разделены нашим земным миром.

* * *

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВСЕЛЕННЫЕ

Мы можем предположить, что наша вселенная не единственная в гиперпространстве и что существуют другие параллельные вселенные. В простейшем случае две параллельные вселенные — физический мир и астральный. Затем христианская версия трех параллельных вселенных — рай, ад и земной мир. И, наконец, бесчисленное количество параллельных вселенных, содержащих всевозможные варианты нашего мира. Например, в одном из них математик пишет книгу о четвертом измерении, а в другом мире тот же человек решил заняться философией и немецким языком, тогда как в третьем мире этого человека просто не существует, потому что у его родителей не было детей. Можно даже найти вселенную, в которой люди имеют крылья.

Параллельные вселенные: две вселенные (наш мир и астральный), три вселенные (земной мир, ад и рай), бесконечное количество вселенных.

Также могут существовать перпендикулярные вселенные, пересечением которых — так называемым порталом — будет плоскость. Другая возможность — наша вселенная искривлена в гиперпространстве и даже пересекает сама себя, образуя пространственные туннели, соединяющие две отдаленные точки.

Две вселенные в четырехмерном пространстве могут быть перпендикулярны, образуя тем самым портал, связывающий их. Более того, вселенная не обязана быть плоской, она может быть искривлена в гиперпространстве и даже пересекать саму себя, образуя туннели, через которые можно путешествовать из одного конца вселенной в другой в мгновение ока.

* * *

В таком случае возникает вопрос: как существо из четвертого измерения, например ангел, находящийся в ана, может предстать перед нами, существами трехмерного пространства? Для ответа на этот вопрос можно использовать трехмерные аналогии, описанные Эбботтом во «Флатландии» в эпизоде, когда Сфера появилась перед Квадратом. На рисунке ниже показано, что Сфера, глядя из Спейсландии, видит Квадрат одновременно и снаружи, и изнутри, как и все дома Флатландии: она видит не только их периметр, но и всех их обитателей.

Глядя на Флатландию из Спейсландии, мы одновременно видим Квадрат у порога его дома и всю его семью внутри дома. Мы также видим сам Квадрат и его внутренности.

Как мы уже рассказывали в первой главе, когда флатландец смотрит на Квадрат или на любого другого жителя Флатландии, он видит только часть его внешнего периметра, а именно отрезок, и в некотором смысле глубину как результат действия тумана. Однако когда Сфера смотрит на Квадрат, она видит полный периметр — все его четыре стороны — а также его внутренности: желудок, кишечник, сердце и легкие. Если положить на стол монету и посмотреть на нее, находясь на уровне поверхности стола, мы сможем представить, как видят жреца жители Флатландии.

Однако если мы посмотрим на монету сверху, мы увидим не только ее окружность, но и изображение на ней.

Аналогично в нашем мире, когда мы смотрим друг на друга, мы видим одну сторону нашей внешней поверхности — плоское изображение с некоторой глубиной за счет эффекта перспективы. Объемное изображение получается благодаря расположению наших глаз (люди с одним глазом не видят объемных изображений).

Но как видят нас гиперсущества? В соответствии с описанной выше аналогией можно сказать, что они будут видеть всю нашу поверхность одновременно (грудь, спину, ноги, голову и другие части тела), а также все наши внутренности (сердце, легкие, печень, вены, кости и прочее). И все это с одного взгляда. Врач из четвертого измерения одним взглядом произведет медицинский осмотр и узнает, например, есть ли у нас проблемы с сердцем, камни в почках или трещины в костях, без хирургических операций и даже без рентгенографии или ультразвука.

Как такое возможно, что гиперсущество может увидеть нас и изнутри, и снаружи одновременно? Сетчатка глаза человека похожа на двумерный диск, с которым связаны окончания зрительных нервов. Они несут в мозг информацию от наших сферических глаз. Когда мы смотрим на Квадрат, живущий во Флатландии, каждая его точка соединяется в трехмерном пространстве лучом света с точкой на нашей сетчатке, в результате чего мы видим изображение квадрата, как будто Квадрат, уменьшившись, перенесся через пространство и попал в наш глаз.

* * *

ЖЕЛУДОК ДВУМЕРНОГО СУЩЕСТВА

Не всегда аналогии в различных измерениях настолько прямолинейны. Рассмотрим, например, пищеварительную систему двумерного существа. Если предположить, что это всего лишь двумерная версия нашего пищеварительного тракта, то возникает проблема: житель Флатландии будет разделен на две части. Очевидно, что так он выжить не сможет. В конце XIX в. пищеварительная система двумерных существ вызывала большой интерес и даже споры. Одним из возможных решений этой проблемы является такая форма пищеварительного тракта, когда он закрывается и открывается по мере прохождения пищи: своего рода застежка-молния, которая не дает двумерному существу распасться надвое.

Пищеварительный тракт Квадрата делит его пополам. Чтобы Квадрат не распался на две половины, его кишечник может иметь форму канала с воротами, которые открываются и закрываются.

* * *

Аналогичным образом сетчатка гиперсущества может быть трехмерной сферой с нервными окончаниями (сам глаз будет гиперсферой). Когда гиперсущество смотрит на нас, оно видит полный образ всего нашего тела, так как каждая точка нашего тела и снаружи, и внутри будет соединена с точкой на сетчатке гиперсущества лучом света, проходящим через ана и ката. Это походит на то, как если бы наша уменьшенная копия была перенесена лучами света на сетчатку гиперсущества. Дополнительное измерение необходимо, чтобы лучи света соединили каждую точку нашего тела с точкой на сетчатке.

В романе Эбботта Квадрат рассказывает, что он смог воспринять трехмерное пространство, лишь когда Сфера вынесла его из Флатландии и дала ему возможность посмотреть на его двумерный мир из Спейсландии. В этом эпизоде предполагается, что зрение Квадрата в трехмерном пространстве работало так же, как и у Сферы. Но давайте разберем эту ситуацию подробнее. Сетчатка глаза Квадрата представляет собой отрезок прямой с нервными окончаниями. Когда он смотрит на Флатландию, он видит лишь сечение своей страны плоскостью, в которой он находится в трехмерном пространстве. Точнее, несколько сечений по мере того, как Сфера перемещала его. Другими словами, его глаз работал бы как сканер, создавая серию сечений Флатландии, что с литературной точки зрения выглядит не так увлекательно и не совсем подходит для целей сюжета.

Квадрат, смотрящий на Флатландию из Спейсландии. В романе Эбботта Квадрат видит свой мир также, как Сфера, хотя его двумерный глаз на это не способен.

Аналогично если бы ангел из четвертого измерения взял нас в рай, то, глядя на наш мир из ана, мы бы увидели лишь двумерные сечения нашей вселенной, полученные пересечением нашего трехмерного пространства с тем трехмерным пространством, в котором наше тело будет находиться в четвертом измерении.

Великолепный вид

Еще одним интересным вопросом является обратная ситуация: как выглядит для нас гиперсущество из четвертого измерения, которое посетило наше пространство? Те, кто считает духов существами из четвертого измерения, думают, что, когда мы встретим некоторых из них, они будут выглядеть похожими на нас. Однако «на самом деле» это может быть совсем не так.

В книге Эбботта, когда Сфера пересекает Флатландию, Квадрат видит плоские сечения пришельца. Для него Сфера похожа на двумерное существо, в частности на жреца. Но что увидели бы жители этой двумерной вселенной, если бы ее посетил человек? Например, на рисунке из рассказа Руди Рукера «Послание, найденное во Флатландии» (1983) показано, как главный герой провалился сквозь Флатландию, которая удивительным образом оказалась расположена в подвале одного из пакистанских ресторанов. Флатландцы увидели плоские сечения человеческого тела: различные фигуры и кольца, образованные тканями кожи, волос и одежды.

Понятно, что вместо пальцев руки они бы увидели пять маленьких дисков с кожей и волосами на их окружностях, а вокруг диска тела — большие окружности тканей одежды.

Человек, провалившийся сквозь Флатландию. Ее житель Квадрат увидел бы лишь быстро меняющиеся темные области.

Гиперсущество, пересекая нашу трехмерную вселенную, будет выглядеть похожим образом. То есть, принимая во внимание дополнительное измерение, мы увидим ряд деформированных тел разных размеров. Некоторые из них будут окружены кожей и волосами, другие — тканью и частями плоти. Эти тела будут являться пересечением гиперсущества и нашей вселенной. Разве это не ужасное зрелище? Конечно, нужно признать, что мы не знаем, какую форму имеют гиперсущества, поэтому мы можем позволить себе представить их похожими на нас, но с дополнительным измерением.

* * *

КАК ПОЙМАТЬ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ СУЩЕСТВО

Если бы жители Флатландии захотели поймать человека, увидев его в своей двумерной вселенной, они могли бы захватить с помощью лассо или железных наручников одно из сечений человеческого тела. Человек смог бы убежать «вверх», если бы этой частью оказалось сечение пальца, но не запястья или лодыжки.

Главный герой романа «Монстр из ниоткуда» (1974) Нельсона Бонда во время путешествия в Перу обнаруживает четырехмерное существо и прибегает к аналогичному способу поимки. Он спрятал одно из сферических сечений существа в сумку, пригвоздив ее для надежности копьем, и таким образом не дал чудовищу убежать из нашей вселенной.

Ограбление века

Если четвертое измерение существует и если бы некоторые люди имели возможность свободно переходить из нашего мира в ана или ката и путешествовать там, они считались бы в нашем мире своего рода богами, так как в определенном смысле они были бы вездесущими, всемогущими и способными творить чудеса. Они могли бы проходить сквозь стены, как привидения в замках, могли бы легко убежать из любой тюрьмы, несмотря на решетки и охрану, они могли бы ограбить любой банк, входя и выходя из здания, не открывая дверей. Они могли бы видеть сквозь стены без рентгена, незаметно следить за любым человеком, пить напитки, не открывая бутылку, есть апельсин, не очищая его, читать письма в запечатанных конвертах и делать многое другое, используя для этого четвертое измерение.

Чтобы понять, как такие трюки возможны, мы вновь обратимся к двумерной аналогии с Флатландией. На что похожа тюрьма, где был заперт Квадрат? Тюрьма могла бы быть тоже квадратной, окружая пленника со всех сторон. Однако наш герой мог бы убежать через третье измерение, если бы он имел такую способность, или, например, с помощью своих друзей из Спейсландии. Побег представлял бы собой всего-навсего перемещение «вверх» из Флатландии, затем движение в третьем измерении и возвращение «вниз» в свой собственный мир, но только за пределами тюрьмы.

Кроме того, Квадрат мог бы шпионить из Спейсландии за своими тюремщиками, оставаясь незамеченным. Если бы он захотел пить, никто не смог бы помешать ему опуститься в соседний дом, не открывая дверей, через третье измерение. И если бы Квадрат захотел (хотя мы знаем, что он был честным существом), он мог бы украсть драгоценности из дома жреца опять же через третье измерение, и никто бы его не увидел. А если бы жрец неожиданно вернулся, Квадрату пришлось бы просто подняться вверх, чтобы остаться незамеченным.

А если внук Квадрата Шестиугольник вдруг подавился бы конфетой, его дедушка легко смог бы спасти ему жизнь, поднявшись в третье измерение и вынув конфету из горла внука. Аналогично врач в четвертом измерении легко сделал бы нам операцию без хирургического вмешательства.

Таким же образом, хотя это и кажется удивительным, можно через четвертое измерение разнять два сцепленных металлических кольца или развязать узел, как в стихотворении Максвелла, послужившем эпиграфом к этой главе.

В нашем пространстве невозможно разнять металлические кольца или развязать трилистный узел, хотя из четвертого измерения сделать это очень просто.

Симметрия: Алиса в Зазеркалье

Вот замечательная идея для сюжета рассказа. Человек, который может перемещаться в четвертом измерении, решает ограбить банк и таким образом совершает идеальное преступление. Убегая через гиперпространство, он роняет несколько банкнот, и они остаются в нашем мире, где их находит детектив, расследующий это дело. В изумлении детектив замечает, что изображение на банкнотах зеркально перевернуто. Детектив пытается понять, что случилось с банкнотами и как это связано с ограблением банка.

Зеркально перевернутые изображения на банкноте, после того как она побывала в четвертом измерении.

Итак, как можно определить, что человек побывал в четвертом измерении или что флатландец путешествовал в Спейсландию?

Вернемся еще раз к примеру с Флатландией. Если мы повернем Квадрат вокруг одной из его осей симметрии, как показано на рисунке ниже, то есть поднимем его из плоскости и развернем в третьем измерении, то мы получим его зеркальный образ.

Мы можем провести этот эксперимент, подняв со стола вырезанный из бумаги квадрат, повернув его в пространстве и снова возвратив в его плоскую вселенную.

Предположим, голова всех жителей Флатландии, в том числе и Квадрата, находится с северной стороны, их глаза и рот — с восточной стороны тела, а легкие — с западной. Если мы повернем Квадрат в пространстве, то мы получим его зеркальное изображение. Глаза и рот будут с западной стороны, а легкие — с восточной.

Другие жители Флатландии, встретив такой Квадрат, сразу поймут, что он побывал в третьем измерении.

Квадрат, повернутый в третьем измерении. В результате получилось его зеркальное изображение.

Теперь предположим, что в четырехмерном пространстве поворачивают человека вокруг плоскости, которая пересекает его сверху вниз (заметим, что вращение происходит вокруг плоскости, а не вокруг прямой линии). В результате человек останется самим собой, но зеркально отображенным. То, что было слева, например сердце, теперь будет справа. В самом деле, если трехмерное тело вращается в четвертом измерении, оно меняет ориентацию. Например, раковина улитки, закрученная по часовой стрелке, теперь будет закручена в противоположном направлении. То же самое произойдет с правосторонним объектом, который превратится в левосторонний.

Раковина улитки после ее путешествия через четвертое измерение.

Когда мы смотрим в зеркало, мы видим образ того «человека», который бы вернулся в наш мир после поворота в четвертом измерении. Если мы поднимаем правую руку, наш образ в зеркале поднимает левую.

А существует ли зеркало, которое показывает наше настоящее, а не зеркальное изображение? Да, если мы поместим два зеркала под углом друг к другу, отражение первого отражения и будет истинным представлением нашей внешности. Это изображение будет таким, как если бы мы повернулись вокруг линии пересечения зеркал. Если мы поднимем правую руку, то наше второе отражение в зеркале также поднимет правую руку, что мы не привыкли видеть в зеркалах.

* * *

И СНОВА ЛЕНТА МЁБИУСА

Если бы вселенная, в которой живет Квадрат и другие жители Флатландии, имела форму ленты Мёбиуса, то есть была бы односторонней поверхностью, то Квадрат мог бы встретиться со своим зеркальным отражением, что невозможно в плоской и в любой другой вселенной. Аналогичную ситуацию можно представить и в других измерениях, в том числе и в нашей трехмерной вселенной.

Квадрат и его зеркальное изображение встретились на ленте Мёбиуса .

Чарльз Хинтон и философия четвертого измерения

Математик Чарльз Хинтон был одним из тех, кто много сделал для популяризации четвертого измерения. Он интересовался различными областями: математикой и физикой, философией и религией, а также визуализацией четырехмерного пространства, в частности гиперкуба. Он также публиковал работы и на другие интересные темы.

Чарльз Хинтон родился в Лондоне в 1853 г. Он изучал математику в Оксфорде, который окончил в 1877 г., а степень магистра получил там же в 1886 г. Затем он начал работать учителем естественных наук в школе Аппингем.

С раннего возраста Хинтон интересовался проблемой визуализации. В Оксфорде он получил приличные математические знания, но ему их было недостаточно. В то время он начал работать с кубическим ярдом (91,5 см3), состоящим из 36 х 36 х 36 = 46 656 кубиков, каждый из которых имел соответствующее название на латинском языке, например Collis Nebula. Когда Хинтон хотел визуализировать четырехмерный объект, он мысленно как бы развертывал его и помещал внутри куба.

После этого он мог изучать структуру объекта, анализируя кубики, которые составляли его трехмерную развертку. Хинтон также разработал систему для уменьшения количества деталей, которые нужно было запомнить. Эта на первый взгляд абсурдная идея материализовалась в своего рода конвертер — преобразователь четырехмерных объектов в трехмерные — и стала еще одним шагом к пониманию четвертого измерения. Куб Хинтона являлся неким четырехмерным глазом, который вдохновил его на изобретение знаменитых цветных кубиков.

* * *

ДЖЕЙМС ХИНТОН

Молодой Чарльз Хинтон находился под сильным влиянием группы интеллектуалов с прогрессивными социальными и политическими взглядами. Среди них были врач-сексолог Хэвлок Эллис, основатель математической логики Джордж Буль и его жена, математик Мария Эверест Буль. Однако наиболее радикальным из них был отец Чарльза Джеймс Хинтон, работавший хирургом, прежде чем стать известным писателем и философом. Из-под его пера вышло несколько книг, как по медицине (Джеймс Хинотон считался лучшим хирургом-отоларингологом своего времени), так и по социальной философии.

* * *