Фрактальная геометрия природы

Мандельброт Бенуа

Классическая книга основателя теории фракталов, известного американского математика Б. Мандельброта, которая выдержала за рубежом несколько изданий и была переведена на многие языки. Перевод на русский язык выходит с большим опозданием (первое английское издание вышло в 1977 г.). За прошедший период книга совсем не устарела и остается лучшим и основным введением в теорию фракталов и фрактальную геометрию. Написанная в живой и яркой манере, она содержит множество иллюстраций (в том числе и цветных), а также примеров из различных областей науки.

Для студентов и аспирантов, физиков и математиков, инженеров и специалистов.

 

Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 стр.

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данная работа представляет собой расширенное переиздание моего эссе 1977 г. «Фракталы: форма, случайность и размерность», которое, в свою очередь, явилось расширенным переизданием написанного на французском языке эссе 1975 г. «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»1. В переиздания добавлялись новые иллюстрации, текст серьезно пересматривался, в результате чего почти каждый раздел подвергался изменениям, а некоторые места я удалял совсем; кроме того, в книгу вносились дополнения, посвященные моей прежней работе, и — что более важно — обширные дополнения, посвященные новым исследованиям.

Существенный вклад и в эссе 1977 г., и в эту книгу внес Рихард Ф. Фосс, в особенности благодарен я ему за создание фрактальных хлопьев, большей части ландшафтов и планет. Программы, с помощью которых были выполнены многие поразительные иллюстрации специально для нового издания настоящего эссе, были предоставлены В. Аланом Нортоном.

За неоценимое, тесное и длительное сотрудничество я хочу поблагодарить Зигмунда В. Хандельмана и Марка Р. Лаффа, которые выполнили вычисления и подготовили графический материал, а также X. Катарин Дитрих и Дженис Т. Ризничок, редактировавших и набиравших текст.

Благодарности отдельным лицам за программы, с помощью которых выполнены иллюстрации, и за прочее разнообразное содействие можно найти в конце книги после библиографического списка.

Я чувствую себя в неоплатном долгу перед Исследовательским Центром имени Томаса Дж. Уотсона корпорации IBM за поддержку моих исследований и книг. Ральф Э. Гомори — сначала руководитель группы, затем управляющий отделом, а ныне вице-президент IBM по исследовательской работе — находил способы поддержать мою работу еще тогда, когда она была не более чем игрой, и сейчас продолжает оказывать мне любую помощь, какая бы ни потребовалась.

Моя первая научная публикация увидела свет 30 апреля 1951 г. На протяжении прошедших лет многим казалось, что я слишком непостоянен в выборе тем для своих исследований. Однако этот кажущийся беспорядок скрыл под собой глубокое единство цели, которое как раз и призвано открыть настоящее эссе — наряду с двумя предшествующими работами. Как бы то ни было, большая часть моих трудов — это муки рождения новой научной дисциплины.

 

I ВВЕДЕНИЕ

 

1 ТЕМА

 

Почему геометрию так часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин — ее неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы — конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии — прямолинейным.

В более общем виде я заявляю, что многие формы Природы настолько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами (евклидовым в данной работе мы будем называть все, что относится к обычной геометрии) Природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Количество различных масштабов длины в естественных формах можно считать бесконечным для каких угодно практических задач.

Существование таких феноменов бросает нам вызов и побуждает заняться подробным изучением тех из форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их «бесформенности» — исследовать, так сказать, морфологию «аморфного». Математики же пренебрегли этим вызовом и предпочли бежать от природы путем изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем.

Рискнув ответить на вызов, я задумал и разработал новую геометрию Природы, а также нашел для нее применение во многих разнообразных областях. Новая геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые я называю фракталами. Наиболее полезные фракталы включают в себя элемент случайности; как правильность, так и неправильность их подчиняется статистическим законам. Кроме того, описываемые здесь фигуры стремятся к масштабной инвариантности, т. е. степень их неправильности и/или/ фрагментации неизменна во всех масштабах. Центральное место в настоящей работе занимает фрактальная (или хаусдорфова) размерность.

Одни фрактальные множества представляют собой кривые или поверхности, другие — несвязную «пыль»; есть и такие, чья форма столь причудлива, что ни наука, ни искусство не в состоянии предложить подходящее для них название. Я предлагаю читателю ознакомиться с ними прямо сейчас, просмотрев иллюстрации в книге.

На многих из этих иллюстраций представлены формы, которые до сих пор никто не рассматривал, на других же показаны давно известные конструкции, причем нередко впервые именно в таком виде. В самом деле, хотя фрактальная геометрия как таковая появилась лишь в 1975 г., многие из ее концепций и инструментов были разработаны раньше — пусть и для целей, в корне отличных от моей. Старые камни в кладке стен нового здания обеспечили фрактальной геометрии чрезвычайно мощный строго математический фундамент, в результате чего математика обогатилась новыми захватывающими идеями и проблемами.

И все же, в рамках данной работы меня не интересуют ни абстракция, ни обобщение ради самих себя; эта книга не является ни учебником, ни математическим трактатом. Несмотря на ее размер, я склонен определить ее жанр как научное эссе, так как изложенный в ней материал представляет только мою собственную точку зрения и ни в коем случае не претендует на всеохватывающую полноту. Кроме того, как и во многих других эссе, в ней немало отступлений и интерлюдий.

Такой неформальный подход призван помочь читателю избежать тех частей текста, которые лежат вне области его интересов или за пределами его компетенции. По всей книге разбросано множество «легких» в математическом смысле мест, особенно ближе к концу. Листайте книгу, где-то останавливаясь, что-то пропуская — по крайней мере, при первом и втором прочтении.

 

ИЗЛОЖЕНИЕ ЗАДАЧ

В этом эссе сводятся вместе аналитические методы различных наук с целью создания нового философско-математического синтеза. Таким образом, оно может рассматриваться и как сборник прецедентов, и как манифест. Кроме того, оно открывает изумленному взгляду совершенно новый мир пластичной красоты.

 

СБОРНИК НАУЧНЫХ ПРЕЦЕДЕНТОВ

Термином «сборник прецедентов» юристы называют собрание реальных, имевших место в юридической практике случаев, объединенных общей темой. В науке соответствующего термина нет, поэтому я предлагаю его позаимствовать. Наиболее важные случаи требуют многократного рассмотрения, однако и менее значительные также заслуживают

внимания; на интенсивность обсуждения нередко влияет и наличие похожих «прецедентов».

Рассмотрение одного из прецедентов касается широко известного приложения широко известного математического аппарата к одной широко известной задаче природы; я имею в виду винерову геометрическую модель физического броуновского движения. К нашему удивлению, винеровский процесс нигде больше непосредственно не применим, и это наводит на мысль, что среди феноменов высокой степени сложности, с которыми мы имеем дело, броуновское движение представляет собой особый случай, исключительно простой и неструктурированный. Тем не менее, я включил броуновское движение в настоящую книгу, поскольку многие весьма полезные фракталы представляют собой не что иное, как тщательные его модификации.

Другие исследования затрагивают, главным образом, мою собственную работу, ее дофрактальные предпосылки и дальнейшее развитие, которым она обязана трудам тех ученых, которые откликнулись на предшествующие данному эссе 1975 и 1977 гг. Некоторые «прецеденты» относятся к высокозрелищным горным ландшафтам и тому подобным вещам, тем самым выполняя, наконец, обещание, заложенное давным-давно в слово «геометрия». Другие имеют дело с субмикроскопическими ансамблями частиц — важнейшим объектом изучения для современной физики.

Основная тема некоторых примеров носит несколько эзотерический характер. В других примерах тема близка и знакома, однако ее геометрические аспекты не были до сих пор адекватно рассмотрены. В этой связи вспоминается замечание Пуанкаре о том, что есть вопросы, которыми задаемся мы, и вопросы, которые задают себя сами. А вопрос, который уже давно и безответно себя задает, считается детским.

Из-за этого в своих предыдущих эссе я неустанно подчеркивал тот факт, что фрактальный подход является одновременно и эффективным, и «естественным». Следует не только принять его с распростертыми объятиями, но еще и поразиться тому, как мы смогли так долго без него обходиться. Во избежание ненужных дискуссий я также сократил в ранних текстах до минимума разрыв между изложением стандартных взглядов и опубликованных материалов, изложением их с новых позиций и представлением своих собственных идей и результатов. В настоящем эссе я, напротив, весьма тщательно разграничиваю заслуги.

Кроме того, хочу со всей категоричностью заявить, что я не считаю фрактальную точку зрения панацеей; анализ каждого случая должен оцениваться согласно критериям, принятым в соответствующей области (т.е., как правило, исходя из его способности организовать, объяснить и предсказать), а не рассматриваться как очередной пример чисто математического построения. Поскольку я был вынужден обрывать рассмотрение каждого случая прежде, чем оно принимало узкоспециализированный характер, подробную информацию читателю придется поискать где-то в другом месте. Данное эссе — от начала и до конца — одно сплошное предисловие (в подражание д'Арси Томпсону [568]). Специалист, ожидающий большего, будет разочарован.

 

МАНИФЕСТ: У ГЕОМЕТРИИ ПРИРОДЫ ФРАКТАЛЬНОЕ ЛИЦО

Причиной же, собравшей все эти предисловия под одной обложкой, является то, что каждое из них помогает понять другие, так как все они имеют общую математическую структуру. Фримен Дайсон дал однажды очень красноречивое резюме этой моей темы.

«Фрактал — это слово, изобретенное Мандельбротом для того, чтобы объединить под одним заголовком обширный класс объектов, которые [сыграли]... историческую роль... в развитии чистой математики. Классическую математику XIX в. от современной математики века XX отделяет великая революция идей. Корни классической математики лежат среди правильных геометрических структур Евклида и поступательной динамики Ньютона. Современная математика начинается с канторо- вой теории множеств и заполняющей пространство кривой Пеано. Исторически революция была вызвана открытием математических структур, не умещавшихся в рамках построений Евклида и Ньютона. Эти новые структуры рассматривались... как «патологические»... как некая «выставка чудовищ», вроде кубистской живописи и атональной музыки, перевернувших примерно в то же время установленные стандарты хорошего вкуса в искусстве. Математики же, сотворившие этих чудовищ, считали их важными свидетельствами того, что мир чистой математики содержит в себе необыкновенное изобилие возможностей, далеко выходящее за рамки тех простых структур, что можно наблюдать в Природе. Математика XX в. расцветала в убежденности, что она уже оставила далеко позади все ограничения, налагаемые на нее ее естественным происхождением.

И тут, как отмечает Мандельброт ... Природа сыграла с математиками шутку. Возможно, математикам XIX в. недоставало воображения — Природа же никогда таким недостатком не страдала. Как оказалось, окружающим нас и хорошо знакомым нам объектам всегда были присущи те самые патологические структуры, которые математики изобрели, чтобы избавиться от уз натурализма XIX в.»1.

Короче говоря, я лишь подтвердил наблюдение Блеза Паскаля, заключающееся в том, что воображение иссякает прежде Природы. («L'imagination se lassera plutot de concevoir que la nature de fournir».)

Тем не менее, фрактальная геометрия не является прямым «приложением» идей, доминирующих в математике XX в. Это — новая отрасль, несколько запоздало родившаяся из кризиса математики, который начался в 1875 г., когда Дюбуа-Реймон впервые сообщил миру о непрерывной недифференцируемой функции, построенной Вейерштрассом ([115], главы 3, 39 и 41). В списке главных действующих лиц кризиса, продолжавшегося приблизительно до 1925 г., отметим такие выдающиеся имена, как Кантор, Пеано, Лебег и Хаусдорф. Этих людей, а вместе с ними и Безиковича, Больцано, Чезаро, Коха, Осгуда, Серпинского и Урысона, вы вряд ли встретите среди авторов эмпирических исследований Природы, однако я заявляю, что влияние трудов этих великих людей оказалось значительно шире рамок их первоначальных замыслов.

Я намерен показать, что за упомянутыми безумными творениями лежат необъятные миры, которых так и не увидели ни их создатели, ни несколько поколений последователей, — миры, которые будут небезынтересны тем, кто воспевает Природу, стремясь ей подражать.

И снова удивляемся мы — хотя некоторые недавние события должны были бы показать нам, что ничего удивительного тут нет — тому, что «применение языка математики к естественным наукам оказывается непостижимо эффективным ..., дар, которого мы настолько же не понимаем, насколько не заслуживаем. Мы должны быть благодарны за этот дар и надеяться, что будущие исследования не только не обесценят его, но и позволят распространить на многие области человеческого знания, будь то на горе или на радость, ко всеобщему удовольствию или, что гораздо более вероятно, к не менее всеобщему недоумению» [598].

 

МАТЕМАТИКА, ПРИРОДА, ЭСТЕТИКА

Вдобавок ко всему, благодаря фрактальной геометрии мы узнаём о том, что некоторые из наиболее сухих и холодных разделов математики скрывают за внешней суровостью целый мир чистой пластичной красоты, доселе неведомой.

 

«ФРАКТАЛ» И ПРОЧИЕ НЕОЛОГИЗМЫ

У римлян была поговорка, согласно которой «назвать — значит узнать»: Nomen est питеп. До того, как я принялся за изучение упомянутых в предыдущих разделах множеств, они были не настолько важны, чтобы требовать для себя особого термина. Однако по мере того, как, благодаря моим усилиям, теряли свои клыки и покорялись классические чудовища, и поднимали головы новые монстры, все более очевидной становилась необходимость как-то их всех называть. Особенно остро эта проблема встала передо мной, когда нужно было дать имя первому предшественнику настоящего эссе.

Термин фрактал я образовал от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как ломать, разламывать, т. е. создавать фрагменты неправильной формы. Таким образом, разумно — и как кстати! — будет предположить, что, помимо значения «фрагмен- тированный» (как, например, в словах фракция или рефракция), слово fractus должно иметь и значение «неправильный по форме» — примером сочетания обоих значений может служить слово фрагмент.

Словосочетание фрактальное множество мы впоследствии определим строго, сочетания же естественный или природный фрактал я предполагаю применять более свободно для обозначения естественных структур, которые с той или иной целью могут быть представлены в виде фрактального множества. Например, броуновские кривые являются фрактальными множествами, а броуновское движение мы назовем природным фракталом.

(Так как слово алгебра происходит от арабского jabara («связывать, соединять»), получается, что фракталы и алгебра — этимологически противоположны.)

В своих странствиях по только что открытым или только что заселенным землям я часто испытывал искушение воспользоваться своим правом первооткрывателя и дать имена всем местным достопримечательностям. Вообще, мне кажется, что подходящий неологизм, как правило, удобнее, чем новое значение и без того затертого до дыр термина.

Кроме того, нельзя забывать и о том, что первичное значение слова часто так глубоко впечатано в сознание, что его не сотрешь оттуда никакими переопределениями. Вольтер писал в 1730 г.: «Если бы Ньютон не воспользовался в своих трудах словом притяжение1, [Французская] Академия в полном составе прозрела бы и увидела бы, наконец, свет. К несчастью, произнося это слово в Лондоне, он и не подозревал о том, что в Париже оно ничего, кроме смеха, не вызывает». А что можно сказать о таком вот неуклюжем творении: «распределение вероятностей распределения Шварца в пространстве по отношению к распределению галактик»?

Для того, чтобы избежать этой ловушки, я выбирал при создании новых терминов, в основном, малоиспользуемые латинские и греческие корни (например, трема), и изредка заимствовал из простой и здравой лексики домохозяек, рабочих и фермеров. Дайте чудовищу какое-нибудь уютное, домашнее имя, и вы удивитесь, насколько легче будет его приручить! Специальными терминами стали у меня такие, например, слова, как пыль, творог и сыворотка. Я также готов отстаивать термин пертайлинг1, который мы будем применять для обозначения полного покрытия некоторой площади плотно прилегающими друг к другу самоподобными плитками (как на мостовой).

 

ИЗЛОЖЕНИЕ ЗАДАЧ (ЗАКЛЮЧЕНИЕ)

Суммируя вышеизложенное, отмечу, что в настоящем эссе описаны предлагаемые мной для множества конкретных задач — некоторые из этих задач имеют весьма почтенный возраст — решения с помощью математики (орудие, конечно, тоже не ново, однако таким образом его еще никто не использовал, если не считать математического аппарата броуновского движения). Случаи, с которыми позволяет справляться такая математика, и расширения, которых эти случаи от нее требуют, составляют основу новой научной дисциплины.

Ученые мужи будут очень удивлены (я в этом уверен) и обрадованы, обнаружив, что отныне и впредь они получают возможность рассматривать со строгих (но справедливых) количественных позиций те формы, которые раньше им приходилось характеризовать различными «ненаучными» словами — такими, например, как ветвистый, водорослеобразный, волнистый, извилистый, клочковатый, промежуточный, прыщавый, пушистый, рябой, сморщенный, спутанный, странный, шероховатый и т. д.

Собственно математики будут удивлены (я надеюсь) и обрадованы и тем, что множества, считавшиеся ранее исключительными [68], становятся в некотором смысле правилом, и тем, что конструкции, полагавшиеся ранее патологическими, естественным образом развиваются из весьма конкретных задач, и тем, что внимательное изучение Природы несомненно разрешит все старые вопросы и предложит взамен множество новых.

И все же в данном эссе я избегал чисто специальных проблем. Оно адресовано прежде всего людям науки вообще, а не только специалистам-математикам. Представление каждой новой темы начинается с конкретных примеров. Читатель самостоятельно и постепенно раскрывает для себя природу фракталов — такой путь представляется мне более результативным, нежели внезапное озарение с подачи автора.

А что касается искусства, то оно ценно само по себе.

 

2. ИРРЕГУЛЯРНОЕ И ФРАГМЕНТИРОВАННОЕ В ПРИРОДЕ

 

«Красота всегда относительна... Не следует... полагать, что берега океана и впрямь бесформенны только потому, что их форма отлична от правильной формы построенных нами причалов; форму гор нельзя считать неправильной на основании того, что они не являются правильными конусами или пирамидами; из того, что расстояния между звездами неодинаковы, еще не следует, что их разбросала по небу неумелая рука. Эти неправильности существуют только в нашем воображении, на самом же деле они таковыми не являются и никак не мешают истинным проявлениям жизни на Земле, ни в царстве растений и животных, ни среди людей.» Эти слова английского ученого XVII в. Ричарда Бентли (источник вдохновения для начальных строк настоящего эссе) свидетельствуют о том, что идея объединить формы берегов, гор и небесных объектов и противопоставить их евклидовым построениям возникла в умах людей уже очень давно.

 

ИЗ-ПОД ПЕРА ЖАНА ПЕРРЕНА

Прислушаемся теперь к голосу, обладатель которого несколько более близок к нам — как по времени, так и по роду занятий. Прежде чем мы приступим к обсуждению неправильности и фрагментированности береговых линий, броуновских траекторий и других рисунков Природы, исследуемых в настоящем эссе, позвольте мне представить на ваш суд несколько цитат из одной статьи Жана Перрена [468] в моем вольном переводе. Последующие работы Перрена, посвященные броуновскому движению, принесли ему Нобелевскую премию и стимулировали развитие теории вероятности. Я же намерен привести здесь некоторые строки из его раннего философского манифеста. Хотя этот текст в несколько измененном виде появился позднее в предисловии к книге «Атомы» [470], заметили его, похоже, только тогда, когда я процитировал его в первом (французском) издании моего эссе. Я слишком поздно обратил внимание на это обстоятельство, чтобы оно как-то существенно повлияло на книгу, однако этот отрывок вдохновлял меня в час нужды, не говоря уже о том, что он являет собой прекрасный образец ораторского искусства.

«Общеизвестно, что хороший учитель, давая ученикам строгое определение непрерывности, покажет прежде, что лежащая в основе

этого понятия идея хорошо им знакома. Он построит на доске какую-нибудь вполне непрерывную кривую и, перемещая вдоль нее линейку, скажет: «Как видите, касательная существует во всех точках кривой». Или, например, для того, чтобы ознакомить учеников с понятием истинной скорости движущегося объекта в некоторой точке его траектории, учитель говорит: «Вы, разумеется, понимаете, что среднее между значениями скорости в двух соседних точках не изменяется сколько-нибудь существенно при приближении этих точек друг к другу на бесконечно малое расстояние». И многие люди, полагая, что для некоторых всем знакомых движений такой взгляд достаточно точно отражает положение вещей, не желают замечать, что все не так просто.

Математики, однако, прекрасно понимают, что попытка показать при помощи построения кривых то, что каждая непрерывная функция имеет производную, по меньшей мере, наивна. Хотя дифференцируемые функции и являются самыми простыми, они все же представляют собой исключение. Говоря языком геометрии, кривые, не имеющие касательных, могут считаться правилом, в то время как правильные кривые — такие, например, как окружность — любопытным, но весьма частным случаем.

Изучение же общего случая представляется, на первый взгляд, остроумным, но совершенно искусственным упражнением для праздного интеллекта — этакое стремление к абсолютной точности, доведенное до абсурда. Те, кто впервые слышит о кривых без касательных или о функциях без производных, часто склонны полагать, что в Природе не существует ни подобных сложных конструкций, ни даже намека на них.

Это, однако, неверно — математики со своей логикой оказываются ближе к реальности, нежели физики с их практическими представлениями. В качестве иллюстрации к этому утверждению взглянем непредвзято на некоторые экспериментальные данные.

Возьмем, например, одну из белых чешуек, которые образуются при добавлении соли в раствор мыла. С некоторого расстояния может показаться, что чешуйка имеет четко очерченный контур, однако при более близком рассмотрении четкость исчезает. Мы больше не можем провести мысленно касательную к любой точке этого контура. Вполне удовлетворительная, на первый взгляд, линия оказывается либо перпендикулярной к границе, либо наклонной. Использование увеличительного стекла или даже микроскопа ничуть не уменьшает неопределенности — при каждом очередном увеличении возникают новые неправильности, и нам никак не удается получить такую же четкую и гладкую границу, как, например, у стального шарика. Таким образом, если считать последний классической иллюстрацией непрерывности, то на примере нашей чешуйки можно сформулировать более общее понятие непрерывной функции, не имеющей производной.»

Прервемся ненадолго, чтобы взглянуть на рисунки 25 и 26.

Здесь и далее черно-белые иллюстрации приводятся сразу же после соответствующей главы и нумеруются номерами страниц, на которых они расположены. Цветные иллюстрации собраны в отдельной вклейке, причем пояснения к этим иллюстрациям не связаны непосредственно с остальным содержанием книги.

Продолжим цитату.

«Не следует забывать о том, что данная неопределенность положения касательной в некоторой точке контура ни в коей мере не то же самое, что и неопределенность, наблюдаемая, скажем, на карте побережья Бретани. Хотя карта также будет изменяться в зависимости от масштаба, мы всегда сможем найти касательную, так как карта — это всего лишь условный рисунок. Напротив, существенным свойством нашей чешуйки, равно как и самого побережья, является следующее: можно только предполагать — так как увидеть этого мы не в состоянии, — что их границы в любом масштабе включают в себя такие детали, которые полностью исключают возможность существования какой-либо определенной касательной.

Не покидая экспериментально подтверждаемой реальности, мы наблюдаем под микроскопом проявление броуновского движения на примере малой частицы, взвешенной в толще жидкости (см. рис. 29). Мы видим, что направление прямой, соединяющей точки, соответствующие двум очень близким во времени положениям частицы, изменяется по мере уменьшения временного промежутка между двумя измерениями совершенно беспорядочно. Беспристрастный наблюдатель заключит из этого, что он имеет дело с функцией, не имеющей производной, а вовсе не с кривой, к которой в любой ее точке можно провести касательную.

Хотя близкое рассмотрение любого объекта ведет в общем случае к обнаружению его в высшей степени неправильной структуры, не следует забывать и о том, что можно весьма достоверно оценить его свойства с помощью непрерывных функций. Древесина бесконечно пориста, однако нам удобнее считать, что поверхность отпиленного и обструганного деревянного бруска имеет конечную площадь. Иными словами, в определенном масштабе и при определенных методах исследования можно полагать, что многие феномены представимы в виде правильных непрерывных функций — так, оборачивая кусок губки фольгой, вовсе не обязательно точно следовать всем изгибам сложной поверхности губки.

Более того, если мы считаем, что материя обладает бесконечно зернистой структурой — а это вполне в духе атомной теории, — то возможность применять к реальности строгое математическое понятие непрерывности сводится почти на нет.

Рассмотрим, например, способ, с помощью которого мы определяем плотность воздуха в заданной точке в заданный момент времени.

Мы мысленно рисуем сферу объема v с центром в упомянутой точке, содержащую массу воздуха то. Отношение m/v определяет среднюю плотность воздуха внутри сферы, истинной же плотностью мы считаем некоторое предельное значение этого отношения. Это понятие, однако, предполагает, что средняя плотность для сфер, меньших некоторого объема, практически постоянна. Средняя плотность воздуха в сфере объемом 1000м3 может значительно отличаться от плотности в сфере объемом 1см3 , но для сфер объемом в 1см3 и 0,001мм3 ожидаемая разница составит величину лишь порядка К)

Предположим, что объем постепенно уменьшается. Вместо того, чтобы уменьшаться вместе с ним, флуктуации только растут. Для масштабов, при которых наблюдается броуновское движение, флуктуации достигают уже 10−3 , а когда радиус нашей гипотетической сферы достигает сотых долей микрона, порядок флуктуаций возрастает до 0,2.

Еще немного, и радиус малой сферы достигает размеров молекулярного порядка. Будучи помещена внутрь области, заполненной газом, такая сфера, в общем случае, оказывается в межмолекулярном пространстве, где средняя плотность по определению обращается в нуль. Истинная плотность в данной точке также обращается в нуль. Но приблизительно в одном случае из тысячи точка окажется внутри молекулы, и средняя плотность в ней будет в тысячи раз больше, чем то значение, которое мы обычно считаем истинной плотностью газа.

Предположим, что радиус сферы продолжает постепенно уменьшаться. Вскоре, если не возникнет никаких исключительных обстоятельств, сфера совершенно опустеет и далее будет оставаться пустой, поскольку пусто межатомное пространство. Истинная плотность обращается в нуль почти везде — за исключением бесконечного множества изолированных точек, где она бесконечно возрастает.

Похожие соображения можно применить и к другим физическим свойствам — таким, например, как скорость, давление или температура. Вглядываясь в нарисованную нами неизбежно несовершенную картину Вселенной при все возрастающем увеличении, мы видим, что поведение этих свойств становится все более нерегулярным. Функция, описывающая любое физическое свойство, образует в межматериальном пространстве континуум, состоящий из бесконечного количества сингулярных точек.

Пример бесконечно разрывной материи — непрерывный эфир с вкраплениями крошечных звезд — являет нам космическая Вселенная. Разумеется, все те заключения, к которым мы пришли выше, могли бы быть достигнуты с помощью воображаемой сферы, с легкостью вмещающей в себя планеты, солнечные системы, звезды и туманности...

Позволим себе высказать одно предположение, достаточно произвольное, но непротиворечивое. Наверняка мы вскоре столкнемся с такими случаями, для описания которых окажется проще использовать недифференцируемые функции, нежели те, что имеют производную. Когда такое произойдет, практическая ценность математических исследований иррегулярных континуумов станет очевидной всем».

И далее, подчеркивая мысль, с новой строки:

«Однако это — всего лишь мечтания. Пока».

 

КОГДА «ВЫСТАВКА ЧУДОВИЩ» СТАНОВИТСЯ МУЗЕЕМ НАУКИ

Часть из тех мечтаний, относящаяся к броуновскому движению, и впрямь воплотилась в реальности еще при жизни Перрена. Случилось так, что его статья [469] привлекла внимание Норберта Винера, причем восторженный и удивленный Винер тут же решил должным образом исследовать и строго определить недифференцируемую первую модель броуновского движения ([595], с. 38-39 или [596], с. 2-3).

Эта модель до сих пор сохраняет свое значение, хотя физики и указывают на то, что ее недифференцируемость проистекает из злостной идеализации, а именно — из пренебрежения инерцией. Поступая так, физики поворачиваются спиной к наиболее существенному для данного труда свойству модели Винера.

Что касается других предсказываемых Перреном применений математических исследований в физике, то до сегодняшнего дня никто даже не пытался этим заниматься. Собрание множеств, о которых упоминал Перрен (кривые Вейерштрасса, канторова пыль и подобные им), до сих пор остается предметом изучения «чистой математики».

Некоторые авторы (например, Виленкин [573]) называют это собрание «Музеем математических искусств», не подозревая (я уверен), насколько точно и полно доказываются эти слова в данном эссе. Из первой главы мы помним, что кое-кто (начиная еще с Анри Пуанкаре) предпочитает использовать для упомянутого собрания словосочетание «Выставка чудовищ» — подобно Джону Валлису с его «Трактатом об алгебре» (1685), где четвертое измерение было описано как «чудовище в Природе, не более возможное, чем химера либо кентавр».

Одна из задач настоящего эссе состоит в том, чтобы посредством беспристрастного рассмотрения всевозможных явных «случаев» показать читателю, что та же самая «Выставка» с полным правом может называться «Музеем науки».

Можно только похвалить математиков за то, что они в столь давние времена додумались до первых из упомянутых множеств; однако то, что те же математики так долго отпугивали нас от этих множеств, достойно всяческого осуждения.

В процитированных во второй главе вдохновенных словах Жана Перрена описывается форма «белых чешуек, которые образуются при добавлении соли в раствор мыла». Помещенные здесь рисунки иллюстрируют замечания Перрена.

Спешу заверить вас, что эти иллюстрации не являются ни фотографиями, ни смоделированными с помощью компьютера изображениями каких бы то ни было реальных объектов, будь то чешуйки мыла, дождевые облака, тучи вулканического пепла, астероиды или медные самородки.

Они также не претендуют на то, чтобы считаться продуктом теории, описывающей различные аспекты образования реальных чешуек — химические, физико-химические и гидродинамические.

Более того, они вообще не имеют никакого отношения к каким бы то ни было научным принципам. Это — полученные с помощью компьютера изображения, призванные по возможности наглядно проиллюстрировать некоторые геометрические характеристики, которые, как мне показалось, присутствуют в описании Перрена, и которые я смоделировал, используя понятие фрактала.

Рис. 25 и 26. ИСКУССТВЕННЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ ЧЕШУЙКИ

Эти чешуйки существуют только в памяти компьютера. Насколько мне известно, никто и никогда не создавал их реальных моделей. Затенение также считал компьютер.

Построение таких чешуек описывается в главе 30. Видимые невооруженным глазом различия между ними объясняются разными значениями параметра D, которые указаны над рисунками. Этот параметр, называемый фрактальной размерностью и являющийся ключевым понятием настоящего труда, вводится в главе 3. Похожесть общих очертаний фигур во всех трех случаях объясняются смещением, которое является результатом аппроксимации и обсуждается в пояснении к рис. 372 и 373.

Более ранняя версия этих иллюстраций странно напоминала якобы фотографию лохнесского чудовища. Можно ли считать подобное сходство случайным совпадением?

В статье [469] физическое броуновское движение описывается следующим образом: «Все части находящейся в состоянии равновесия жидкой массы (такой, например, как вода в стакане), представляются нам совершенно неподвижными. Если поместить в нее объект с большей плотностью, то он опустится вниз. Скорость этого падения, разумеется, будет тем меньше, чем меньше объект, и все же в конце концов любой видимый объект опускается на дно сосуда и не проявляет стремления вновь подняться на поверхность. Однако, наблюдая за взвесью в жидкости очень мелких частиц, нетрудно заметить, что их движение абсолютно беспорядочно. Они движутся, останавливаются, снова начинают движение, взбираются вверх, опускаются, снова поднимаются и совершенно не желают оставаться неподвижными».

В качестве иллюстрации приводится один из многих изображающих этот естественный феномен рисунков из книги Перрена «Атомы» [470]. На нем изображены четыре индивидуальные траектории движения коллоидной частицы радиуса 0,53μ, полученные с помощью микроскопа. Через каждые 30 секунд на координатной сетке отмечались последовательные положения частицы (шаг сетки 3,2μ), которые соединялись затем прямыми (эти прямые, таким образом, не имеют никакого физического смысла).

Продолжим наш вольный перевод из Перрена [469]. «Может возникнуть искушение определить «среднюю скорость частицы», как можно точнее последовав за ней по ее извилистому пути. Однако подобная оценка окажется в корне неверной. И величина, и направление видимой средней скорости частицы изменяются самым безумным образом. Рисунок дает лишь слабое представление об изумительной запутанности реальной траектории. Если бы положения частицы регистрировались в 100 раз чаще, то вместо каждого отрезка прямой мы получили бы ломаную, столь же сложную как и исходный рисунок, хотя и меньших размеров — и так далее. Нетрудно убедиться, что на практике понятие касательной в применении к таким кривым является полной бессмыслицей».

Автор настоящего эссе разделяет мнение Перрена, однако рассматривает неправильность под несколько иным углом. Мы подчеркиваем тот факт, что при последовательном увеличении разрешения микроскопа, длина траектории наблюдаемого броуновского движения возрастает до бесконечности (см. главу 25).

Кроме того, след, оставляемый броуновской частицей, в конце концов почти заполняет всю плоскость. Разве не напрашивается вывод, что в каком-то смысле (смысл этот нам еще предстоит отыскать) размерность этой необычной кривой должна совпадать с размерностью плоскости? Самое интересное — так оно и есть. Одна из главных задач этой книги заключается в том, чтобы показать, как расплывчатое понятие размерности расщепляется на несколько вполне определенных составляющих. Топологически след движения броуновской частицы является кривой (размерность 1). Однако так как он способен заполнить практически всю плоскость, то во фрактальном смысле его размерность равна 2. Расхождение между этими двумя величинами дает броуновскому движению право называться, согласно вводимой ниже терминологии, фракталом.

Рис. 29. ФИЗИЧЕСКОЕ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАРИСОВКИ ЖАНА ПЕРРЕНА

 

3 РАЗМЕРНОСТЬ, СИММЕТРИЯ, РАСХОДИМОСТЬ

 

Центральную роль в этой книге играют древние понятия размерности (т. е. количества пространственных измерений или степени многомерности) и симметрии. Кроме того, позже мы неоднократно столкнемся с различными симптомами расходимости.

 

ИДЕЯ РАЗМЕРНОСТИ

Во время кризиса 1875-1925 гг. математики осознали, что невозможно достичь истинного понимания неправильности и фрагментации (равно как правильности и связности), по-прежнему определяя размерность как число пространственных координат. Первый шаг в направлении строгого анализа был сделан Кантором в его письме к Дедекинду от 20 июня 1877 г., следующий — Пеано в 1890 г., а к середине 20-х гг. XX в. процесс благополучно завершился.

Как случается со всеми значительными интеллектуальными достижениями, результат этого процесса может иметь весьма различные интерпретации. Во всех попадавших мне на глаза математических исследованиях теории размерности подразумевается, что теория эта единственна и неповторима. Главным здесь, на мой взгляд, является то, что довольно расплывчатое понятие размерности, судя по всему, имеет много математических аспектов, которые не только принципиально различны, но еще и дают различные числовые значения этой самой размерности. То, что Уильям из Оккама говорил о сущностях, относится и к размерностям — не следует множить размерности без необходимости, однако от множественности размерностей нам никуда не деться. Евклид в свое время ограничился множествами, все существенные размерности которых совпадают — эти множества можно назвать размерностно-согласованными множествами. С другой стороны, различные размерности множеств, которым посвящена значительная часть этой книги, отказываются совпадать, т. е. эти множества размерностно-несогласованы.

Переходя от размерностей математических множеств к «эффективным» размерностям моделируемых этими множествами физических объектов, мы встречаемся с другой двусмысленностью, неизбежной и реально необходимой. И математические, и физические аспекты понятия размерности вкратце предваряются в данной главе.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМИНА «ФРАКТАЛЬНЫЙ»

В нижеследующем тексте используются не определенные ранее математические термины, однако многие читатели, возможно, сочтут этот отрывок полезным для себя или хотя бы просто занимательным. Остальные же вольны его пропустить.

Это и последующие отступления от основной линии настоящего эссе я буду помечать особыми скобками — < и >. Последний символ намеренно сделан более заметным, чтобы любой затерявшийся в отступлениях и желающий двигаться дальше читатель мог с легкостью его найти. Открывающая скобка не столь привлекает внимание: мне не хотелось, чтобы отступления слишком сильно выделялись в тексте. В отступлениях часто можно встретить предварительное упоминание материала, обсуждаемого в последующих главах.

< Размерностную несогласованность основных фракталов можно использовать для трансформации интуитивного понятия фрактала в строго математическое. Я решил сосредоточиться на двух определениях, каждое из которых ставит в соответствие всякому множеству в евклидовом пространстве — каким бы «патологическим» оно ни выглядело — некое вещественное число, которое и с интуитивной, и с формальной точки зрения имеет полное право называться размерностью этого множества. Более неформальным из двух является определение топологической размерности по Брауэру, Лебегу, Менгеру и Урысону. Эта размерность описана в соответствующем разделе главы 41. Обозначим ее через DT Определение второй размерности было сформулировано Хаусдорфом в [203] и приведено в окончательный вид Безиковичем. Ее описание можно найти в главе 39, а обозначать ее мы будем через D.

< В евклидовом пространстве RE величины размерностей DT и D заключены в промежутке от 0 до E. Однако на этом их сходство заканчивается. Размерность DT всегда является целым числом, в то время как для размерности D это вовсе не обязательно. Эти две размерности не обязательно должны совпадать, они должны лишь удовлетворять неравенству Спилрайна (см. [231], глава 4)

D≤DT

В случае евклидовых множеств D=DT . Однако почти для всех множеств в этой книге D>DT . Такие множества необходимо было как-то называть, поэтому я придумал термин фрактал, определив его следующим образом:

< Фракталом называется множество, размерность Хаусдор- фа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности.

< Любое множество с нецелым значением D является фракталом. Например, исходное канторово множество представляет собой фрактал, поскольку, как мы увидим в главе 8, его размерность

D=ln2/ln3≈0,6309>0, при DT =0.

Канторово множество в пространстве RE можно обобщить так, чтобы DT =0, a D принимала бы любые желаемые значения в промежутке от 0 до E (включительно).

< Фракталом является и исходная кривая Коха, поскольку, как будет показано в главе 6, ее размерность

D=ln4/ln3≈1,2618>1, при DT =1.

< Фрактал может иметь и целочисленную размерность. Например, в главе 25 показано, что траектория броуновского движения представляет собой фрактал, так как ее размерность

D=2, при DT =1.

< Тот поразительный факт, что размерность D не должна непременно быть целым числом, заслуживает некоторого терминологического отступления. Если понимать термин «дробь»1 в широком смысле, т.е. как синоним термина «нецелое вещественное число», то некоторые из вышеперечисленных значений размерности D являются дробными — размерность Хаусдорфа-Безиковича иногда даже называют дробной размерностью. Однако учитывая, что D может принимать и целые значения (меньшие, чем E, но строго большие, чем DT ), я предпочитаю называть величину D фрактальной размерностью. ►

 

ФРАКТАЛЫ В ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

< Исследование фракталов частично затрагивает и геометрический аспект гармонического анализа, однако в настоящем труде этот факт не слишком подчеркивается. Большинству читателей гармонический анализ (иначе называемый спектральным или анализом Фурье) мало известен, а многие из тех, кто эффективно используют его на практике, мало знакомы с его фундаментальными структурами.

Кроме того, каждый из этих подходов — и фрактальный, и спектральный — имеет свои характерные особенности и свою прелесть, которые лучше постигать на своем собственном опыте. И наконец, на мой взгляд, по сравнению с гармоническим анализом фракталы просты и интуитивно понятны. ►

 

О «ПОНЯТИЯХ, КОТОРЫЕ ... НОВЫ, НО ... »

В свое время Лебег немало потешался над некоторыми «понятиями, которые, безусловно, новы, но абсолютно бесполезны». К размерности D эту характеристику никто не применял, однако ее использование было ограничено весьма узким кругом областей, причем все эти области относились к чистой математике. Я, пожалуй, был первым, кто успешно применил размерность D к описанию Природы. Одной из важнейших целей моей работы является закрепление за размерностью D центрального места в эмпирической науке и демонстрация таким образом того, что размерность эта обладает гораздо более широкой применимостью, чем кто-либо может себе представить.

В некоторых областях физики мое утверждение о важности размерности D было принято с исключительной готовностью. Более того, многие ученые, работающие в этих областях, сознавая неадекватность обычной размерности, уже пытались вести поиски в этом направлении, получая в результате всевозможные дробные, аномальные, либо непрерывные размерности. К сожалению, эти поиски никак не были связаны друг с другом. К тому же в некоторых случаях различные размерности определялись одинаково, ни одна из них не могла похвастать наличием математического теоретического обоснования, и ни одна не была должным образом разработана, так как из-за отсутствия математического обоснования эти размерности невозможно было отличить друг от друга. Для тех разработок, которые будут описаны ниже, существование математической теории жизненно необходимо.

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ - ЭТО НЕ ТОЛЬКО ТОПОЛОГИЯ

Если вы спросите у математика, какая четко определенная область математики имеет дело с формами, он почти наверняка упомянет топологию. Топология, безусловно, имеет к нашим целям самое непосредственное отношение — мы даже упоминали о ней в предыдущей главе, — однако в настоящем эссе выдвигается и защищается утверждение, что довольно расплывчатое понятие формы содержит не только топологические, но и другие математические аспекты.

Топология, которую раньше называли геометрией местоположений или analysis situs1 (греческое слово переводится как «место» или «положение»), полагает, что все горшки с двумя ручками имеют одинаковую форму, так как если бы они обладали неограниченной гибкостью и сжимаемостью, то можно было бы из одного горшка вылепить любой другой, причем непрерывным образом, не делая никаких новых отверстий и не закрывая старых. Топология также учит, что форма береговой линии любого острова идентична форме береговой линии любого другого острова, поскольку все такие линии топологически идентичны дружности. Топологическая размерность береговой линии равна топо- логической размерности окружности, и обе они равны 1. Если добавить острову несколько не соприкасающихся с ним «спутников», то совокупная береговая линия получившегося архипелага будет топологически идентична совокупности нескольких окружностей. Таким образом, топология не видит разницы между различными береговыми линиями.

В главе 5 показано, что различные береговые линии имеют, как правило, различные фрактальные размерности. Различия между фрактальными размерностями обусловлены различиями между нетопологическими аспектами формы, которые я предлагаю назвать фрактальными.

Большинство действительно важных и интересных задач сложным образом сочетают в себе фрактальный и топологический аспекты формы.

Заметим, что в топологии определения собственно поля и размерности DT развивались параллельно, а понятие фрактальной размерности D появилось на полвека раньше настоящего исследования в области фрактальных форм.

Кстати, из-за того, что некий класс топологических пространств носит имя Феликса Хаусдорфа, широко используемый для обозначения размерности D термин «хаусдорфова размерность» может быть воспринят как сокращение от «размерности хаусдорфова пространства», создавая тем самым впечатление, что D является топологическим понятием — это абсолютно не так. Вот вам еще одна причина, почему я предпочитаю термин фрактальная размерность.

 

ЭФФЕКТИВНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Помимо математических идей, лежащих в основе размерностей DT и D, я часто прибегаю к помощи эффективной размерности — понятия, которому не следует давать точного определения. Это мощное интуитивное понятие представляет собой возврат к древнегреческой пифагорейской геометрии. Новизна заключается в том, что в настоящем эссе значение эффективной размерности может быть дробным.

Эффективная размерность выражает соотношение между математическими множествами и естественными объектами. Строго говоря, все физические объекты — такие, например, как вуаль, нить или маленький шарик — должны быть представлены трехмерными телами. Однако физики предпочитают считать, что вуаль имеет размерность 2, а размерности нити и шарика равны соответственно 1 и 0 (при условии, разумеется, что и вуаль, и нить, и шарик достаточно малы). Например, для описания нити относящиеся к множествам с размерностями 1 или 3 теории должны быть соответствующим образом скорректированы с помощью поправочных членов. После этого строится более точная геометричеcкая модель, требующая меньших поправок. Если повезет, такая модель оказывается верной даже без учета поправок. Иными словами, эффективная размерность неизбежно опирается на субъективный фундамент; она обусловлена приближением и, как следствие, степенью разрешения.

 

ЭФФЕКТИВНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ, СКРЫТЫЕ В СКРУЧЕННОМ ИЗ НИТИ ШАРЕ

Для подтверждения последнего заявления скрутим из толстой нити диаметром 1 мм шар диаметром 10 см и рассмотрим скрытые в таком клубке эффективные размерности.

Удаленному наблюдателю наш клубок покажется фигурой с нулевой размерностью, т. е. точкой. (Да что там клубок! — еще Блез Паскаль и средневековые философы утверждали, что в космическом масштабе весь наш мир есть не более, чем точка!) С расстояния в 10 см шар из нитей выглядит как трехмерное тело, а с расстояния в 10 мм — как беспорядочное переплетение одномерных нитей. На расстоянии в 0,1 мм каждая нить превратится в толстую колонну, а вся структура целиком опять станет трехмерным телом. На расстоянии 0, 01 мм колонны превратятся в переплетение волокон — шар снова станет одномерным. При дальнейшем приближении процесс становится периодическим — размерность наблюдаемой фигуры переключается с одного значения на другое и наоборот. Наконец, когда клубок превратится в скопление, состоящее из какого-то конечного числа точек, имеющих размеры порядка атомных, его размерность снова становится равной нулю. Похожую последовательность смены размерностей можно наблюдать при разглядывании листа бумаги.

Тот факт, что численный результат может и должен зависеть от соотношений между объектом и наблюдателем, не только вполне в духе сегодняшней физики, но и являет собой достойный подражания пример.

Большинство объектов, рассматриваемых в этой книге, похожи на наш нитяной клубок: они демонстрируют целую последовательность различных эффективных размерностей. Однако существует одно важное отличие: некоторые недостаточно определенные переходы между зонами с отчетливо выраженной размерностью интерпретируются здесь как фрактальные зоны, внутри которых D>DT .

 

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОДНОРОДНОСТЬ, МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И САМОПОДОБИЕ

Оставим пока размерности в покое и приготовимся к разговору о симметрии, для чего вспомним о простейших формах, с которых начинается евклидова геометрия: о линиях, плоскостях и пространствах. И о простейших физических задачах, возникающих при однородном распределении какой-либо физической величины — плотности, температуры, давления или скорости.

Однородное распределение вдоль линии, на плоскости или в пространстве обладает двумя очень привлекательными свойствами. Оно инвариантно при смещении и при изменении масштаба. При переходе к фракталам обе инвариантности неизбежно подвергаются модификации и/или/ ограничению области их действия. Следовательно, наилучшими можно считать те фракталы, которые демонстрируют максимальную инвариантность.

В случае смещения различные участки траектории броуновского движения частицы не могут быть точно совмещены друг с другом, как, например, могут быть совмещены различные участки прямой линии. Тем нe менее, можно считать, что эти участки совместимы в статистическом смысле. Почти все фракталы, представленные в этой книге, в той или иной степени инвариантны при смещении.

Более того, большинство этих фракталов инвариантны при некоторых преобразованиях масштаба. Назовем их масштабно-инвариантными фракталами. Фрактал, инвариантный при обычном геометрическом преобразовании подобия, называется самоподобным.

В составном термине масштабно-инвариантные фракталы прилагательное служит для смягчения существительного. Основной термин фрактал подразумевает неупорядоченность и относится к структурам ярко выраженной иррегулярности, тогда как определение масштабно-инвариантный намекает на некоторый порядок. Если же под основным термином понимать масштабную инвариантность, предполагающую строгий порядок, то фрактал сыграет роль модификатора, призванного исключить всякий намек на прямые и плоскости.

Не следует превратно понимать стремление допустить однородность и масштабную инвариантность. Как и в случае обыкновенной геометрии природы, все мы прекрасно осведомлены о том, что ничто в окружающем нас мире не является ни строго однородным, ни масштабно-инвариантным. Обыкновенная геометрия рассматривает прямые как предварительные модели. Так же и в механике понятие однородного прямолинейного движения является лишь первым шагом.

Те же соображения применимы и к изучению масштабно-инвариантных фракталов, однако в этом случае первый шаг получается значительно более длинным, поскольку вместо прямых линий мы имеем огромное множество самых разнообразных возможностей, лишь самые яркие примеры которых вошли в эту книгу. Не следует удивляться тому, что масштабно-инвариантные фракталы используются здесь лишь как источники первых приближений к естественным структурам, подлежащим рассмотрению. Скорее, удивиться нужно тому, насколько поразительно верными оказываются эти первые приближения.

Нелишним будет напомнить, что идея самоподобия далеко не нова.. В случае с прямыми эта идея пришла в голову еще Лейбницу примерно в 1700 г. (см. раздел МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПО ЛЕЙБНИЦУ И ЛАПЛАСУ в главе 41). Ее математическому обобщению, не ограничивающемуся прямыми и плоскостями, скоро исполнится сто лет, хотя реальной его важности до настоящего эссе никто не признавал. Физики тоже давно знакомы с самоподобием — с тех пор, как в 1926 г. Льюис Ф. Ричардсон предположил, что турбулентность в широком диапазоне масштабов может быть разбита на самоподобные завихрения. Поразительные аналитические следствия этой идеи в приложении к механике были сформулированы Колмогоровым в работе [276]. Что касается масштабной инвариантности, то ее аналитические аспекты связываются в физике с понятием ренорм-групп (см. главу 36).

И все же впервые геометрические аспекты нестандартной масштабной инвариантности в Природе были должным образом освещены лишь в первом издании настоящего эссе в 1975 г.

 

«СИММЕТРИИ» ЗА ПРЕДЕЛАМИ МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ

Покончив с прямыми, евклидова геометрия берется за фигуры, обладающие более богатыми в смысле инвариантности свойствами, обычно называемыми «симметриями». Мы с вами также не преминем отправиться на довольно продолжительную экскурсию в царство неинвариантных фракталов (в главах 15-20).

Самоотображающиеся, но масштабно-неинвариантные фракталы тесно связаны с некоторыми из наиболее тонких и сложных мест «строго классического» математического анализа. Опровергая распространенное мнение о сухости анализа, эти фракталы удивительно прекрасны.

 

СИНДРОМ РАСХОДИМОСТИ

Почти все подлежащие далее рассмотрению прецеденты демонстрируют проявления синдрома расходимости. Иными словами, некоторая величина — по всем предположениям, положительная и конечная — оказывается вдруг бесконечной либо вовсе обращается в нуль. На первый взгляд, такое недостойное поведение кажется в высшей степени странным и даже пугающим, однако тщательное исследование показывает, что оно вполне объяснимо, если ... если, конечно, вы готовы начать мыслить по-новому.

Прецеденты, в которых симметрия сопровождается расходимостью, также давно известны специалистам по квантовой физике, в которой вообще большим почетом пользуются всевозможные аргументы, устраняющие расходимость. К счастью для нас, с фрактальными расходимостями справиться гораздо проще.

 

4 ВАРИАЦИИ НА ТЕМУ

 

Обозначив в общих чертах все разнообразные задачи настоящего эссе, рассмотрим способы, с помощью которых эти задачи решаются. Здесь можно выделить несколько ярко выраженных граней.

 

НЕЯСНОСТЬ ИЗЛОЖЕНИЯ - НЕ ДОБРОДЕТЕЛЬ

Для того, чтобы книга оказалась доступной для ученых и студентов, вовсе не обязательно являющихся специалистами во всех затрагиваемых здесь областях знания (многие из которых, надо признать, весьма эзотеричны), я стремился сделать изложение как можно более ясным.

Однако ясность изложения не является главной целью этой книги.

Кроме того, мне не хотелось отпугнуть тех людей, кому, возможно, не слишком важна математическая точность, но наверняка интересны мои основные выводы. Вам встретятся в книге и строгие математические обоснования моих слов (более здравые, между прочим, чем у многих физиков), однако общий стиль выдержан в неформальном (хотя и точном) ключе. Большая часть математических подробностей отнесена в главу 39 — там можно навести необходимые справки и вдохновиться на создание собственных трудов.

Поскольку для оригинального исследования такие вещи, как правило, не характерны, настоящее эссе можно считать до некоторой степени популяризаторским.

Однако популяризация не является его главной целью.

 

ЭРУДИЦИЯ ПОЛЕЗНА ДЛЯ ДУШИ

На примере главы 2 можно видеть, что в книге имеется довольно большое количество ссылок на труды старых и малоизвестных авторов. Большая часть этих работ привлекла мое внимание уже значительно позже того, как я завершил свои собственные исследования в родственных областях, и они никак не повлияли ни на процесс, ни на выводы. Однако после всех тех долгих лет, на протяжении которых никто не разделял моих интересов, я был счастлив обнаружить в старых книгах схожие с моими соображения, пусть высказанные мельком и не возымевшие видимых последствий. Так у меня возник и окреп интерес к «классике», хотя в обычных обстоятельствах он, как правило, не выдерживает испытания рутинной научной практикой.

Иными словами, мне было радостно сознавать, что среди необходимых мне как архитектору и строителю теории фракталов камней есть немало таких, которых касались руки других подобных мне строителей. Однако есть ли смысл вспоминать об этом сегодня? Современная традиция вполне удовлетворилась бы краткими постраничными сносками, а если мне вдруг взбредет в голову подробно распространяться о дальних предках и длинных родословных моих идей, не рискую ли я создать у читателя абсурдное ощущение того, что построенный мною архитектурный шедевр представляет собой лишь груду древних камней, облепленных новыми ярлыками?

Очевидно, моя страсть к древностям нуждается в каком-нибудь оправдании, но я не стану оправдываться. Скажу лишь, что, на мой взгляд, интерес к истории идей полезен для души ученого.

Однако всякий раз, когда мы взираем на труды великих людей с высоты тех знаний, которыми они не обладали, уместно будет поразмыслить над замечательным предисловием, которое написал Лебег к одной из книг Лузина. В ответ на то, что автор упомянутой книги приписывал Лебегу всевозможные глубокие мысли, французский математик заявил, что он, безусловно, мог бы — или даже должен был бы — подумать об этом, однако не подумал, а посему автором этих мыслей следует все же считать Лузина. Аналогичный феномен можно наблюдать в книге Уиттекера [591]: автор заявляет, что физическая теория относительности была создана не Эйнштейном, а Пуанкаре и Лоренцем, и приводит в подтверждение цитаты из их трудов; при этом известно, что и Пуанкаре, и Лоренц подчеркнуто отрицали свою к этому причастность.

Кроме того, на каждого ученого, когда-то в прошлом высказавшего мимоходом некую идею, из которой мы можем сегодня получить рабочую теорию, найдется, по меньшей мере, еще один ученый, его современник, который уверенно заявлял, что упомянутая идея совершенно абсурдна. Стоит ли ставить в заслугу Анри Пуанкаре те идеи, которые он в молодости не удосужился разработать, а в зрелом возрасте и вовсе отверг? Если верить Стенту [540], то незрелые идеи, высказанные слишком рано, не заслуживают ничего большего, нежели сострадательное забвение.

Хотя избыточная эрудиция в отношении истории идей сама по себе, как оказывается, довольно бесполезна, мне все же хотелось как-то зафиксировать эти отголоски прошлого, что я и сделал в биографических и исторических очерках в главах 40 и 41.

Однако демонстрация эрудиции автора никоим образом не является главной целью этой книги.

 

«ВИЖУ - ЗНАЧИТ ВЕРЮ»

В своем письме к Дедекинду, написанном в самом начале кризиса математики 1875 - 1925 гг., Кантор, ошеломленный своими поразительными находками, восклицает, переходя при этом с немецкого на французский, что он не может поверить в то, что он видит («Je le vois, mais je ne le crois pas!»1) И математика, словно бы поняв намек с полуслова, принимается усердно избегать обманчивых и искусительных ликов чудовищ. Какой контраст между безудержной вычурностью до- и контрреволюционной геометрии и практически полным отсутствием какого бы то ни было визуального сопровождения в работах Вейерштрасса, Кантора и Пеано! Аналогичный оборот приняли дела и в физике — после того, как в 1800 г. вышла в свет «Небесная механика» Лапласа без единой иллюстрации. Как выразился П. А. М. Дирак в предисловии к изданной в 1930 г. «Квантовой механике», «фундаментальные законы природы управляют мирозданием не так непосредственно, как мы себе это воображаем; они воздействуют на некий субстрат, о котором мы не можем создать для себя никакого представления, не исказив всей картины привнесением в нее наших собственных неуместных добавлений».

Широкое и некритичное приятие таких взглядов принесло в конечном счете немало неприятностей. Теория фракталов, как никакая другая, требует обратного подхода: «Вижу — значит верю.» Поэтому, прежде чем вы продолжите чтение, еще раз рекомендую некоторое время по- разглядывать иллюстрации, особенно те, что вошли в цветную «книгу в книге». Я строил свое эссе таким образом, чтобы его содержимое оказалось доступным (пусть и в различной степени) самому широкому кругу читателей; кроме того, в нем я пытаюсь убедить даже самых отъявленных пуристов от математики в том, что качественные иллюстрации не только помогают разобраться в уже известных понятиях, но и незаменимы при поиске новых концепций и создании новых теорий. Не так уж часто встретишь в современной научной литературе подобную веру в полезность графики.

Однако демонстрация красивых картинок не является главной целью этой книги; иллюстрации — это чрезвычайно полезный инструмент, но и только.

Следует также помнить о том, что любая попытка проиллюстрировать геометрию заведомо обречена на провал. Например, прямая обладает бесконечной длиной и гладкостью, а также бесконечно малой толщиной — в то время как любое изображение этой прямой имеет конечную длину, положительную толщину и неровные края. Тем не менее, многие считают, что созерцание грубого подобия прямой весьма полезно (некоторые даже полагают, что совершенно необходимо) для развития интуиции и облегчает нахождение решений и доказательств. Заметим, что грубое изображение прямой представляет собой более адекватную геометрическую модель, скажем, нити, чем сама идеальная математическая прямая. Иными словами, для практического использования вполне достаточно, чтобы и геометрическая концепция, и ее изображение были заключены между некоторыми определенными значениями характеристических размеров — большим, но конечным (внешний порог), и меньшим, но положительным (внутренний порог).

Сегодня, благодаря возможности строить изображения с помощью компьютера, такие грубые изображения приобрели практическую полезность и в случае фракталов. Например, все самоподобные фрактальные кривые также имеют бесконечную длину и бесконечно малую толщину. В то же время каждая из них демонстрирует свое, строго специфичное отсутствие гладкости, что делает задачу построения изображения таких кривых более трудной, чем самые сложные задачи евклидовой геометрии. Таким образом, согласно вышеупомянутым принципам даже самое лучшее изображение оказывается истинным только в очень ограниченном диапазоне. Однако установление ограничения на очень маленькие или очень большие детали не только вполне приемлемо, а даже в высшей степени разумно, поскольку и внешние, и внутренние пороги так или иначе либо присутствуют, либо предполагаются в Природе. Следовательно, типичную фрактальную кривую можно вполне удовлетворительно изобразить с помощью большого, но ограниченного количества элементарных штрихов.

Чем больше число таких штрихов и чем точнее они наносятся, тем ближе изображение к идеальной кривой, так как точное соблюдение относительных размеров штрихов и их взаимного расположения в пространстве играет весьма существенную роль в определении фрактала. Руками так не нарисуешь, а вот компьютер справляется просто превосходно. На содержание всех моих эссе в немалой степени повлияла возможность использования все более сложных компьютерных систем — равно как и возможность обратиться к услугам все более искушенных программистов, настоящих виртуозов своего дела, управлявших этими системами. Кроме того, мне посчастливилось получить доступ к аппарату, способному выдавать готовые к печати иллюстрации; некоторые результаты его работы вошли и в эту книгу.

Графическое представление — это чудесное средство для сопоставления моделей с реальностью. Когда данные случайной выборки согласуются с данными, полученными при помощи какого-либо аналитического метода, и при этом результаты моделирования не выглядят «реалистичными», винить следует именно аналитический метод. Формула может описать лишь малую долю взаимоотношений между моделью и реальностью, в то время как человеческий глаз обладает огромными способностями к интеграции и различению. Конечно, глаз иногда

принимает за истинные те отношения, которые впоследствии не подтверждаются статистическим анализом, но эта проблема возникает, как правило, в тех областях науки, где исследуемые объекты очень малы. Там же, куда направляемся мы с вами, объекты просто огромны.

Кроме того, графическое представление помогает обнаружить новые области применения для уже существующих моделей. Впервые я столкнулся с такой возможностью, разглядывая иллюстрацию, посвященную случайным блужданиям, в книге Феллера [147] — кривая на рисунке выглядела как контур рассеченной пополам горы, а те точки, где она пересекала временную ось, напомнили мне о некоторых данных из проводимого мною в то время исследования закономерностей возникновения ошибок на телефонных линиях. Посетившие меня в тот момент озарения привели в конце концов к теориям, представленным, соответственно, в главах 28 и 31. Мои собственные полученные с помощью компьютера иллюстрации аналогичным образом послужили источником вдохновения как для меня, так и для тех, кто по моей просьбе «примеривал» мои идеи к другим научным дисциплинам (каковых дисциплин, кстати, оказалось больше, чем я себе представлял).

Возможности графики естественным образом расширяет кинематография — фрагменты, посвященные некоторым классическим фракталам, можно увидеть в [417].

 

ОБЩЕПРИНЯТЫЕ ФОРМЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО «ИСКУССТВА» И ЕГО НОВЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Картинки на форзацах книги и некоторые из разбросанных там и сям узоров представляют собой непреднамеренный результат ошибочного программирования. Я много раз слышал и даже читал, что мои иллюстрации — и те, что призваны подтвердить те или иные идеи, и те, что получились случайно, — называют не иначе как «Новой Формой Искусства».

Заявляю со всей решительностью — в задачу настоящего эссе никоим образом не входит конкурировать с художниками. Однако раз об этом говорят, следует прояснить ситуацию. Вопрос заключается не в том, насколько аккуратно выполнены графические изображения, не в том, нарисованы они от руки или отпечатаны на принтере, и даже не в том, кто, собственно, рисовал оригиналы — человек или компьютер (хотя с экономической точки зрения последний пункт как раз весьма важен). Просто мы и впрямь имеем дело с новой формой спорного, но освященного временем утверждения, что всякое графическое представление математических концепций является формой искусства, причем согласно канонам этой формы, чем проще изображение, тем лучше — этакий, выражаясь языком художников, «минимализм».

Распространено мнение, что минималисты обязаны обходиться ограниченным набором стандартных геометрических форм: прямых, окружностей, спиралей и так далее. Однако это не совсем так. Используемые в теоретических моделях фракталы также имеют весьма простую форму (вследствие того, что теоретическая наука поощряет простоту форм). И я вполне могу согласиться с тем, что многие из фракталов можно рассматривать как новую форму минималистского геометрического искусства.

Не напоминают ли вам некоторые его образцы творения М.К.Эшера? Если да, то в этом нет ничего удивительного, так как Эшер весьма разумно подошел к выбору источника вдохновения — этим источником стали гиперболические черепичные покрытия из книги Фрикке и Клейна [154], которые (см. главу 18) очень близки к формам, характерным для царства фракталов.

Фрактальное «новое геометрическое искусство» демонстрирует поразительное родство с картинами старых мастеров или творениями «изящной» архитектуры. Одна из очевидных причин заключается в том, что и фракталы, и произведения классических визуальных жанров искусства включают в себя многие масштабы длины и элементы самоподобия (см. [399]). Вполне возможно, что именно по этим причинам, а также потому, что фрактальное искусство возникло из попыток постичь законы Природы, имитируя ее, мы и принимаем его с такой готовностью — оно нам не чуждо. К абстрактной живописи у нас двойственное отношение: те, например, картины, которые мне нравятся, близки к фрактальному геометрическому искусству, остальные же больше тяготеют к стандартной геометрии, что лично мне не доставляет никакого эстетического удовольствия.

Здесь возникает парадоксальная ситуация: если верить Дайсону (см. главу 1), может показаться, что современные математика, музыка, живопись и архитектура каким-то образом связаны между собой. Однако реальных оснований для такого вывода нет, особенно в отношении архитектуры: например, какой-нибудь шедевр Миса ван дер Роэ являет собой откровенный возврат к немасштабируемой евклидовой геометрии, в то время как любое строение эпохи расцвета изящных искусств просто изобилует фрактальными элементами.

 

СООБРАЖЕНИЯ УДОБСТВА

Главы расположены в порядке возрастания сложности обсуждаемых в них предметов; сделано это для облегчения восприятия основных концепций, вводимых постепенно, по мере возникновения необходимости. То, что такой подход вообще оказывается возможным, является немалым плюсом для теории фракталов. Текст изобилует повторениями, так что читатель едва ли сможет потерять основную нить рассуждения, даже пропустив несколько абзацев, которые покажутся ему слишком скучными или слишком сложными (особенно те, что содержат формулы, выходящие за пределы элементарной математики). Большое количество важных сведений можно почерпнуть из пояснений к иллюстрациям.

Как уже упоминалось, иллюстрации помещены после тех глав, в которых впервые рассматриваются соответствующие феномены. Кроме того, автор довольно часто испытывает необходимость побеседовать частным порядком с той, скажем так, категорией читателей, которая может испытать крайний дискомфорт, если какое-либо место в книге останется нерассмотренным или необъясненным. Такие отступления вставлены прямо в основной текст и снабжены лично мною изобретенными скобками < и ► — для того, чтобы остальные могли их легко заметить и пропустить. Есть и другие отступления, посвященные не настолько существенным замечаниям, чтобы развивать их здесь в полном объеме. В целом же в этом эссе гораздо меньше отступлений, чем во «Фракталах» 1977 г.

Кроме того, теперь, как мне кажется, можно с одного взгляда на текст определить, идет речь о теоретической размерности D или же об экспериментальной. Значение последней, как правило, известно лишь с точностью до одного или двух десятичных знаков и записывается поэтому как 1, 2 или 1, 37. Значение теоретической размерности записывается в виде целых чисел, отношений целых чисел, отношений логарифмов целых чисел или в десятичной форме, по меньшей мере, с четырьмя знаками после запятой.

 

И СНОВА ГЛАВНАЯ ТЕМА

Отрекшись от всевозможных побочных для настоящего эссе целей, хочу напомнить, о чем я говорил в первой главе. Эта книга представляет собой одновременно и манифест, и собрание прецедентов; за редкими исключениями она составлена из тех теоретических предположений, которые я в свое время высказывал и которые часто приводили к извлечению из праха всевозможных древних идей и их пересмотру с современной точки зрения.

Ни одна из этих теорий не остановилась в своем развитии, а некоторые все еще не вышли из зародышевой стадии. Для одних теорий эта книга — первый выход в свет, другие уже описаны в моих более ранних работах. Кроме моих собственных теорий, в книге упоминаются всевозможные сторонние разработки, инспирированные моими предыдущими исследованиями и давшие мне стимул продолжать работу. Я, однако, далек от мысли попытаться составить полный список областей человеческой деятельности, в которых оказались полезными фракталы — мне не хочется разрушать стиль этого эссе в его теперешнем виде и терять дух манифеста.

И последнее напоминание: в мою задачу не входило проводить подробное исследование каждого прецедента (безусловно, желательное для специалистов). Однако многие темы упоминаются неоднократно. Да, вот еще что: не забывайте о предметном указателе.

 

II ТРИ КЛАССИЧЕСКИХ ФРАКТАЛА - СОВЕРШЕННО РУЧНЫЕ

 

5 КАКОВА ПРОТЯЖЕННОСТЬ ПОБЕРЕЖЬЯ БРИТАНИИ?

 

Прежде чем познакомиться с первым видом фракталов — а именно, с кривыми, фрактальная размерность которых превышает 1, — рассмотрим типичный участок какого-нибудь берега. Очевидно, что его длина не может быть меньше расстояния по прямой между его начальной и конечной точками. Однако, как правило, береговые линии имеют неправильную форму — они извилисты и изломаны, и их длины, вне всякого сомнения, значительно превышают расстояния между их крайними точками, измеренные по прямой.

Известно много способов оценить длину береговой линии более точно, и в этой главе мы проанализируем некоторые из них. В конце концов мы придем к очень примечательному выводу: длина береговой линии — понятие весьма скользкое, и голыми руками его не ухватишь. Какой бы метод измерения мы ни применяли, результат всегда одинаков: длина типичного побережья очень велика и настолько нечетко определена, что удобнее всего считать ее бесконечной. Следовательно, если кому-нибудь вздумается сравнить различные берега с точки зрения их протяженности, ему придется подыскать что-нибудь взамен понятия длины, которое к данному случаю неприменимо.

В этой главе мы как раз и займемся поисками подходящей замены, причем в процессе поисков нам не избежать знакомства с различными формами фрактальных концепций размерности, меры и кривой.

 

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ

Метод А. Установим раствор измерительного циркуля на некоторую заданную длину ε, которую назовем длиной шага, и пройдемся этим циркулем вдоль интересующей нас береговой линии, начиная каждый новый шаг в той точке, где закончился предыдущий. Количество шагов, умноженное на длину е, даст нам приблизительную длину берега L(ε). Со школьной скамьи нам известно, что если повторять эту операцию, каждый раз уменьшая раствор циркуля, то можно ожидать, что величина L(ε) быстро устремится к некоторому вполне определенному значению, называемому истинной длиной. Однако то, что происходит на деле, никак не соответствует нашим ожиданиям. В типичном случае наблюдаемая длина L(ε) склонна увеличиваться неограниченно.

Причина такого ее поведения очевидна: если рассмотреть какой-нибудь полуостров или бухту на картах масштаба 1/100 000 и 1/10 000, то на последней карте мы ясно различим более мелкие полуострова и бухты, которых не было видно на первой. Карта того же участка, выполненная в масштабе 1/1000, покажет нам еще более мелкие полуостровки и бухточки, и так далее. Каждая новая деталь увеличивает общую длину берега.

Вышеописанная процедура подразумевает, что линия берега имеет слишком неправильную форму, и поэтому ее длина не может быть непосредственно представлена в виде суммы длин простых геометрических кривых, значения длин которых можно найти в справочниках. То есть, Метод А заменяет береговую линию на последовательность ломаных линий, составленных из прямолинейных участков, длину которых мы определять умеем.

Метод В. Такого же «сглаживания» можно добиться и другими способами. Вообразите себе человека, проходящего вдоль берега по кратчайшему пути, траектория которого нигде не отходит от воды далее чем на заданное расстояние ε. Дойдя до конечной точки, он возвращается назад, несколько уменьшив при этом величину ε. Затем еще и еще, пока, наконец, величина ε не достигнет, скажем, 50 см. Уменьшать ее далее не представляется возможным, так как человек слишком велик и неуклюж, чтобы суметь проследить более детализированную траекторию. Мне могут возразить, что эти недостижимые мелкие детали, во-первых, не представляют для человека никакого непосредственного интереса, а во-вторых, подвержены столь значительным изменениям в зависимости от времени года и высоты прилива, что их подробная регистрация вообще теряет всякий смысл. Первое из возражений мы рассмотрим позднее в этой главе. Что касается второго возражения, то его можно нейтрализовать, ограничившись рассмотрением скалистого берега при низком приливе и спокойной воде. В принципе, человек может проследить и более детализированные приближенные кривые, призвав себе на помощь мышь, затем муравья и так далее. И снова, по мере того, как наш ходок следует все более близкой к воде тропой, расстояние, которое ему предстоит пройти, неограниченно возрастает.

Метод С. Метод В подразумевает определенную асимметричность между водой и берегом. Для того, чтобы избежать этой асимметричности, Кантор предложил рассматривать береговую линию словно бы через расфокусированный объектив, вследствие чего каждая точка превращается в круглое пятно радиуса ε. Другими словами, Кантор рассматривает все точки — как на суше, так и на воде, — расстояние от которых до собственно береговой линии не превышает ε. Эти точки образуют некое подобие сосиски или ленты шириной 2ε (пример такой «сосиски» — правда, в ином контексте — приведен на рис. 56). Измерим площадь полученной ленты и разделим ее на 2ε. Если бы береговая линия была прямой, то лента представляла бы собой прямоугольник, а найденная вышеописанным образом величина оказалась бы действительной длиной берега. Имея дело с реальными береговыми линиями, мы получаем приблизительную оценку длины L(ε), которая неограниченно возрастает при уменьшении ε.

Метод D. Вообразите себе карту, выполненную в манере худож- ников-пуантилистов, т. е. такую, где материки и океаны изображены цветными круглыми пятнами радиуса ε. Вместо того, чтобы считать центрами пятен точки, принадлежащие береговой линии, как в Методе С, потребуем, чтобы количество пятен, полностью скрывающих линию, было наименьшим. В результате у мысов пятна будут по большей части лежать на суше, а у бухт — в море. Оценкой длины береговой линии здесь будет результат деления закрытой пятнами площади на 2ε. «Поведение» этой оценки также оставляет желать лучшего.

 

ПРОИЗВОЛЬНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Резюмируя предыдущий раздел, заметим, что результат применения любого из четырех методов всегда один и тот же. По мере уменьшения е приблизительная длина кривой устремляется в бесконечность.

Для того, чтобы в должной мере уяснить значение этого факта, произведем аналогичное измерение длины какой-либо обыкновенной евклидовой кривой. Например, на отрезке прямой приблизительные оценочные данные измерения в основном совпадают и определяют искомую длину. В случае окружности приблизительное значение длины возрастает, но довольно быстро устремляется к некоторому конкретному пределу. Кривые, длину которых можно определить таким образом, называются спрямляемыми.

Еще более поучительно попробовать измерить длину какой-нибудь из береговых линий, одомашненных человеком, — скажем, побережья вблизи Челси в его сегодняшнем виде. Поскольку очень большие складки местности человек пока оставляет без изменений, установим на нашем циркуле очень большой раствор ε и будем его постепенно уменьшать. Как и следовало ожидать, длина береговой линии при этом будет расти.

Однако здесь имеется одна интересная особенность: при дальнейшем уменьшении ε мы неизбежно попадаем в некую промежуточную зону, где длина L(ε) почти не изменяется. Эта зона простирается приблизительно от 20 м до 20 см (очень приблизительно). Когда ε становится меньше 20 см, длина L(ε) снова начинает возрастать — теперь на результат измерения влияют уже отдельные камни. Таким образом, если построить график изменения величины L(ε) как функции от ε, то на ней, вне всякого сомнения, обнаружится плоский участок при значениях е в интервале от 20 м до 20 см — на аналогичных графиках для естественных «диких» побережий подобных плоских участков не наблюдается.

Очевидно, что измерения, произведенные в этой плоской зоне, обладают огромной практической ценностью. Поскольку границы между различными научными дисциплинами являются, в основном, результатом договоренности между учеными о разделении труда, мы можем, например, передать все феномены, масштабы которых превышают 20 м, т. е. те, до которых человек еще не дотянулся, в ведомство географии. Такое ограничение даст нам вполне определенную географическую длину. Береговая охрана может с успехом использовать то же значение ε для работы с «дикими» берегами, а энциклопедии и альманахи сообщат всем желающим соответствующую длину L(ε).

С другой стороны, мне трудно представить, что все заинтересованные правительственные учреждения пусть даже какой-либо одной страны договорятся между собой об использовании единого значения ε, а уж принятие его всеми странами мира совершенно невозможно вообразить. Ричардсон [494] приводит такой пример: в испанских и португальских энциклопедиях приводится различная длина сухопутной границы между этими странами, причем разница составляет 20% (так же обстоит дело с границей между Бельгией и Нидерландами). Это несоответствие, должно быть, частично объясняется различным выбором ε. Эмпирические данные, которые мы вскоре обсудим, показывают, что для возникновения такой разницы достаточно, чтобы одно значение ε отличалось от другого всего лишь в два раза; кроме того, нет ничего удивительного в том, что маленькая страна (Португалия) измеряет длину своих границ более тщательно, чем ее большой сосед.

Второй и более значительный довод против выбора произвольного ε носит философский и общенаучный характер. Природа существует независимо от человека, и всякий, кто приписывает слишком большую важность какому-либо конкретному значению ε или L(ε), предполагает, что определяющим звеном в процессе постижения Природы является человек со своими общепринятыми мерками или весьма переменчивыми техническими средствами. Если береговым линиям суждено когда-нибудь стать объектами научного исследования, вряд ли нам удастся законодательным порядком запретить неопределенность, наблюдаемую в отношении их длин. Как бы то ни было, концепция географической длины вовсе не столь безобидна, как представляется на первый взгляд. Она не является до конца «объективной», так как при определении длины таким образом неизбежно влияние наблюдателя.

 

ПРИЗНАНИЕ И ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Несомненно, многие придерживаются мнения, что береговые линии представляют собой неспрямляемые кривые, и я, если уж на то пошло, не могу припомнить, чтобы кто-нибудь считал иначе. Однако мои поиски письменных свидетельств в пользу этого мнения потерпели почти полный провал. Помимо цитат из Перрена, приведенных во второй главе, имеется еще вот такое наблюдение в статье Штейнгауза [539]: «Измеряя длину левого берега Вислы с возрастающей точностью, можно получить значения в десятки, сотни и даже тысячи раз большие, чем то, что дает школьная карта... Весьма близким к реальности представляется следующее заявление: большинство встречающихся в природе дуг не являются спрямляемыми. Это заявление противоречит распространенному мнению, сводящемуся к тому, что неспрямляемые дуги — математическая фикция, а в природе все дуги спрямляемы. Из этих двух противоречивых заявлений верным, по всей видимости, следует считать все же первое». Однако ни Перрен, ни Штейнгауз так и не удосужились разработать свои догадки подробнее и довести их до логического конца.

К. Фадиман рассказывает одну занятную историю. Его друг Эдвард Каснер несколько раз проводил такой эксперимент: он «спрашивал у маленьких детей, какова, по их мнению, общая длина побережья Соединенных Штатов. После того, как кто-то из детей высказывал достаточно «разумное» предположение,... Каснер... предлагал им подумать о том, насколько можно увеличить эту цифру, если очень тщательно измерить периметр всех мысов и бухт, затем так же тщательно проследить меньшие мыски и бухточки в каждом из этих мысов и в каждой из этих бухт, затем измерить каждый камешек и каждую песчинку из тех, что образуют береговую линию, каждую молекулу, каждый атом и т. д. Получалось, что берег может быть каким угодно длинным. Дети понимали это сразу, а вот со взрослыми у Каснера возникали проблемы.» История, конечно, очень мила, однако вряд ли она имеет отношение к моим поискам. Каснер явно не ставил перед собой цель выделить некий аспект реальности, достойный дальнейшего изучения.

Таким образом, можно сказать, что статья [356] и книга, которую вы держите в руках, представляют собой по существу первые работы, посвященные этой теме.

В своей книге «Воля верить»1 Уильям Джеймс пишет: «То, что не укладывается в рамки классификаций... всегда являет собой тучную ниву для великих открытий. В любой науке вокруг общепризнанных и упорядоченных фактов вечно кружит пыльное облако исключений из правил — явлений малозаметных, непостоянных, редко встречающихся, явлений, которые проще игнорировать, нежели рассматривать. Всякая наука стремится к идеальному состоянию замкнутой и строгой системы истин... Феномены, не подлежащие классификации в рамках системы, считаются парадоксальными нелепостями и заведомо не истинны. Ими пренебрегают и их отвергают, исходя из лучших побуждений научной совести... Тот, кто всерьез займется иррегулярными феноменами, окажется способен создать новую науку на фундаменте старой. По завершении же этого процесса правилами обновленной науки по большей части станут вчерашние исключения».

Настоящее эссе, скромной целью которого является полное обновление геометрии Природы, описывает феномены, настолько не вписывающиеся в классификацию, что говорить о них можно лишь с позволения цензуры. С первым из таких феноменов вы встретитесь уже в следующем разделе.

 

ЭФФЕКТ РИЧАРДСОНА

Эмпирическое исследование изменения приблизительной длины L(ε), получаемой с помощью Метода А, описано в статье Ричардсона [494], ссылка на которую по счастливой (или роковой) случайности попала мне на глаза. Я обратил на нее внимание только потому, что я был наслышан о Льюисе Фрае Ричардсоне как о выдающемся ученом, оригинальность мышления которого была сродни эксцентричности (см. главу 40). Как мы увидим в главе 10, человечество обязано ему некоторыми наиболее глубокими и долговечными идеями относительно природы турбулентности — особого внимания среди них заслуживает та, согласно которой турбулентность предполагает возникновение самоподобного каскада. Он также занимался и другими сложными проблемами — такими, например, как природа вооруженного конфликта между государствами. Его опыты являли собой образец классической простоты, однако он, если возникала такая необходимость, не колеблясь пользовался и более утонченными концепциями.

Приведенные на рис. 57 графики, обнаруженные уже после смерти Ричардсона среди его бумаг, были опубликованы в чуть ли не секретном (и совершенно не подходящем для таких публикаций) «Ежегоднике по общим системам». Рассмотрев эти графики, мы приходим к заключению, что существуют две постоянные (назовем их λ и D) — такие, что для определения длины береговой линии посредством построения приближенной к ней ломаной необходимо взять примерно Fε−D интервалов длины ε и записать следующую формулу:

L(ε)~Fε1−D .

Значение показателя D зависит, по всей видимости, от характера измеряемой береговой линии, причем различные участки этой линии, рассматриваемые по отдельности, могут дать различные D. Для Ричардсона величина D была просто удобным показателем, не имеющим какого-либо особенного смысла. Однако похоже, что значение этого показателя не зависит от выбранного метода оценки длины береговой линии. А значит, он заслуживает самого пристального внимания.

 

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ [356]

Изучив работу Ричардсона, я предположил [356], что хотя показатель D не является целым числом, его можно и нужно понимать как размерность — точнее, как фрактальную размерность. Разумеется, я вполне осознавал, что все вышеперечисленные методы измерения L(ε) базируются на нестандартных обобщенных определениях размерности, уже применяемых в чистой математике. Определение длины, основанное на покрытии береговой линии наименьшим числом пятен радиуса ε, используется в [481] для определения размерности покрытия. Определение длины, основанное на покрытии береговой линии лентой шириной 2ε, воплощает идею Кантора и Минковского (см. рис. 56), а соответствующей размерностью мы обязаны Булигану. Однако эти два примера лишь намекают на существование многих размерностей (большинство из которых известны лишь немногим специалистам), которые блистают в различных узкоспециализированных областях математики. Некоторые из этих размерностей мы обсудим более подробно в главе 39.

Зачем математикам понадобилось вводить это изобилие различных размерностей? Затем, что в определенных случаях они принимают различные значения. К счастью, с такими случаями вы в этом эссе не встретитесь, поэтому список возможных альтернативных размерностей можно с чистой совестью сократить до двух, о которых я, правда, еще не упоминал. Старейшая и подробнее исследованная размерность из нашего списка восходит еще к Хаусдорфу и служит для определения фрактальной размерности — очень скоро мы ею займемся. Вторая, более простая, размерность называется размерностью подобия: она носит не такой общий характер, как первая размерность, однако оказывается более чем адекватной во многих случаях — ее мы рассмотрим в следующей главе.

Разумеется, я не собираюсь приводить здесь математическое доказательство того, что показатель Ричардсона D является размерностью. Честно говоря, я не представляю, как можно провести такое доказательство в рамках какой бы то ни было естественной науки. Я хочу лишь обратить внимание читателя на тот факт, что понятие длины ставит перед нами концептуальную задачу, а показатель D предоставляет удобное и изящное решение. Теперь, когда фрактальная размерность заняла свое место в изучении береговых линий, вряд мы захотим, из каких бы то ни было особенных соображений, возвращаться к тем временам, когда мы бездумно и наивно полагали D=1. Тому, кто все еще считает D=1, придется теперь постараться, если он пожелает доказать свою правоту.

Следующий шаг — объяснение формы береговых линий и выведение значения D из других, более фундаментальных соображений — я предлагаю отложить до главы 28. На этом этапе достаточно сказать, что в первом приближении D=3/2. Это значение слишком велико, чтобы верно описывать факты, однако его более чем достаточно для того, чтобы мы могли заявить: можно, должно и естественно полагать, что размерность береговой линии превосходит обычное евклидово значение для кривой D=1.

 

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА

Если согласиться с тем, что различные естественные береговые линии обладают бесконечной длиной, а также с тем, что значение длины, основанное на антропометрической величине ε, дает лишь частичное представление о реальном положении дел, то каким образом можно сравнить между собой разные берега? Так как бесконечность ничем не отличается от бесконечности, умноженной на четыре, много ли нам будет проку от утверждения, что длина любого берега в четыре раза больше, чем длина любой из его четвертей? Необходим лучший способ для выражения вполне разумной идеи о том, что кривая должна обладать некоторой «мерой», причем эта мера для всей кривой должна быть в четыре раза больше, чем та же мера для любой из ее четвертей.

В высшей степени остроумный метод для достижения этой цели предложил Феликс Хаусдорф. В основе его метода лежит тот факт, что линейная мера многоугольника вычисляется сложением длин его сторон без каких бы то ни было их преобразований. Можно предположить, что эти длины сторон возводятся в степень D=1, равную евклидовой размерности прямой (причина такого предположения вскоре станет очевидной). Аналогичным образом вычисляется мера поверхности внутренней области замкнутого многоугольника — посредством покрытия ее квадратами, нахождения суммы длин сторон этих квадратов и возведения ее в степень D=2 (евклидова размерность плоскости). Если же использовать при вычислениях «неверную» степень, то результат этих вычислений не даст нам никакой полезной информации: площадь любого замкнутого многоугольника окажется равной нулю, а длина его внутренней области будет бесконечной.

Рассмотрим с таких позиций полигональную (кусочно-линейную) аппроксимацию береговой линии, составленной из малых интервалов длины ε. Возведя длину интервала в степень D и умножив ее на число интервалов, мы получим некую величину, которую можно предварительно назвать «аппроксимативной протяженностью в размерности D». Так как, согласно Ричардсону, число сторон равно N=Fε−D то наша аппроксимативная протяженность принимает значение FεD Fε−D =F.

Таким образом, теоретически аппроксимативная протяженность в размерности D не зависит от ε. На практике же можно наблюдать лишь незначительное изменение этой аппроксимативной протяженности при изменении е.

Кроме того, получает простое подтверждение и обобщение тот факт, что длина внутренней области квадрата бесконечна: аппроксимативная протяженность береговой линии, определенная при любой размерности dD соответствующая аппроксимативная протяженность береговой линии стремится к нулю при ε→0. То есть аппроксимативная протяженность береговой линии демонстрирует благоразумное поведение тогда и только тогда, когда d=D.

 

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ КРИВОЙ МОЖЕТ БЫТЬ БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ; ФРАКТАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Согласно замыслу своего создателя, хаусдорфова размерность сохраняет за собой обязанности обычной размерности и служит показателем степени при определении меры.

Однако с другой стороны, размерность D в высшей степени необычна, — она выражается дробным числом! Мало того, она больше единицы, которая представляет собой «естественную» размерность для кривых (можно строго доказать, что единице равна и их топологическая размерность DT ).

Я предлагаю называть кривые, фрактальная размерность которых превосходит их топологическую размерность 1, фрактальными кривыми. А в качестве краткого резюме для настоящей главы могу предложить следующее утверждение: в географических масштабах береговые линии можно моделировать с помощью фрактальных кривых. Береговые линии по своей структуре фрактальны.

Рис. 55. ОБЕЗЬЯНЬЕ ДЕРЕВО

На данном этапе этот небольшой рисунок следует рассматривать просто как декоративный элемент, он всего лишь заполняет пустое место.

Однако после прочтения главы 14 читатель сможет обнаружить здесь подсказку для распутывания «архитектурной» загадки на рис. 210. Более серьезную подсказку дает нижеприведенный генератор:

Если у математика возникает необходимость «приручить» какую-нибудь особенно нерегулярную кривую, он может воспользоваться следующей стандартной процедурой: выбирается некое значение ε, и вокруг каждой точки кривой строится круг радиуса ε. Эта процедура, восходящая, по меньшей мере, к Герману Минковскому, а то и к самому Георгу Кантору, несколько грубовата, но зато весьма эффективна. (Что касается термина сосиска, то его происхождение, согласно непроверенным слухам, как-то связано с применением Норбертом Винером данной процедуры к броуновским кривым.)

На помещенных здесь иллюстрациях вышеописанное сглаживание применяется не к реальным берегам, а к одной теоретической кривой, которую мы построим несколько позже (см. рис. 79) путем постоянного добавления все более мелких деталей. Сравнивая изображенный справа кусок сосиски с правым концом сосиски, помещенной вверху, мы видим, что критический этап в построении кривой наступает, когда кривая начинает включать в себя детали меньшего, чем ε, размера. На более поздних этапах сосиска существенно не изменяется.

Рис. 57. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ РИЧАРДСОНА ОТНОСИТЕЛЬНО СКОРОСТИ РОСТА ДЛИН БЕРЕГОВЫХ ЛИНИЙ

На этом рисунке приведены экспериментальные результаты измерения длины кривой, произведенные на различных кривых с использованием равносторонних многоугольников с уменьшающейся длиной стороны ε. Как и ожидалось, в случае окружности измерения с возрастающей точностью дают величину, которая очень быстро стабилизируется около вполне определенного значения.

В случае береговых линий приближенные значения длины, напротив, не стабилизируются вовсе. По мере того, как длина шага ε стремится к нулю, аппроксимативные значения длины, отложенные в дважды логарифмической системе координат, образуют прямую с отрицательным наклоном. Так же обстоит дело и с сухопутными границами между странами. Наведенные Ричардсоном в различных энциклопедиях справки вскрыли значительные различия в определении длины общей границы картографами соответствующих стран: например, длина границы между Испанией и Португалией составляет 987 км с точки зрения испанцев и 1214 км с точки зрения португальцев; аналогичным образом пострадала и граница между Нидерландами и Бельгией (380 и 449 км). Так как угловой коэффициент соответствующих прямых равен -0,25, двадцатипроцентная разница между результатами измерений означает двукратную разницу между принятыми для этих измерений значениями ε — не такое уж невероятное предположение.

Ричардсон не дал никакой теоретической интерпретации различному наклону своих прямых. Мы же с вами намерены интерпретировать береговые линии как приближения к фрактальным кривым и рассматривать угловые коэффициенты соответствующих им прямых как приближенные значения разности 1−D, где D — фрактальная размерность.

 

6 СНЕЖИНКИ И ДРУГИЕ КРИВЫЕ КОХА

 

Для более полного понимания моей интерпретации ричардсонова D как фрактальной размерности перейдем от природных феноменов, над которыми мы не имеем никакой власти, к полностью подвластным нашей воле геометрическим конструкциям.

 

САМОПОДОБИЕ И КАСКАДЫ

До сих пор мы больше уделяли внимание геометрической сложности береговых линий; настало время упомянуть и о том, что их структура в значительной степени упорядочена.

Хотя выполненные в разных масштабах карты и различаются в конкретных деталях, более общие их особенности остаются неизменными. В грубом приближении крупные детали береговых линий геометрически идентичны мелким, разница только в масштабе.

Такую форму можно сравнить с узором, который рисует на небе какой-нибудь многоступенчатый фейерверк: на каждом этапе его сгорания в общую картину добавляются новые, все более мелкие детали, идентичные по форме результату исходного взрыва. Однако из упоминавшихся выше трудов Льюиса Ричардсона, посвященных турбулентности, мы можем позаимствовать более подходящее сравнение и назвать порождающий такие структуры механизм каскадом.

Если каждая из частей некоторой формы геометрически подобна целому, то и форма, и порождающий ее каскад называются самоподобными. В настоящей главе мы займемся исследованием самоподобия, используя для этого самые что ни на есть правильные фигуры.

Наиболее полную противоположность самоподобным формам представляют собой кривые, которые имеют либо только один масштаб (например, окружность), либо два четко разделенных масштаба (например, окружность, украшенная «гребнем» из множества меньших полуокружностей). Такие формы мы можем охарактеризовать как немасштабируемые.

 

ТЕРАГОНЫ КАК МОДЕЛИ БЕРЕГОВЫХ ЛИНИЙ. ТРОИЧНАЯ КРИВАЯ КОХА

K

Если мы хотим получить кривую, содержащую бесконечное число масштабов длины, то надежнее всего будет ввести их туда собственноручно, один за другим. Правильный треугольник с длиной стороны, равной 1, имеет один масштаб, правильные треугольники с длиной стороны, равной 1/3, также имеют один масштаб, только меньший — уменьшая длину стороны далее по правилу (1/3)k , мы будем получать треугольники все меньшего масштаба. Нагромоздив затем все эти треугольники друг на друга (как показано на рис. 70), получим форму, содержащую все масштабы, меньшие 1.

В сущности, мы предполагаем, что некоторый участок береговой линии, изображенный в масштабе 1/1 000 000, выглядит как прямой отрезок единичной длины; назовем такой участок инициатором. Затем мы предполагаем, что на карте масштаба 3/1000 000 становится видимой некая деталь, а именно, — выступ в форме равностороннего треугольника, занимающий среднюю треть исходного отрезка. Полученное таким образом второе приближение — ломаную, составленную из четырех отрезков равной длины — назовем генератором. Предположим далее, что еще более подробная карта (масштаба 9/1000 000) выглядит как результат замены каждого из четырех отрезков генератора уменьшенной в три раза копией этого самого генератора, т. е. из каждого выступа вырастает по два новых выступа той же формы, но меньшего размера.

Продолжая в том же духе, мы заменяем все прямолинейные отрезки ломаными линиями, и первоначально прямой инициатор постепенно превращается во все более длинную ломаную кривую. Поскольку мы будем иметь дело с такими кривыми на всем протяжении этого эссе, предлагаю ввести для их обозначения новый термин терагоны (от греч. «чудовище, странное создание» и «угол»). Кстати, префикс тера обозначает (очень уместно, надо сказать) в метрической системе умножение на 1012 .

Если продолжить вышеописанный каскадный процесс до бесконечности, то наши терагоны устремятся к пределу, рассмотренному впервые фон Кохом [574] (см. рис. 74). Назовем такую кривую троичной кривой Коха и обозначим символом K.

На рис. 71 хорошо видно, что площадь этой кривой обращается в нуль. С другой стороны, с каждой ступенью построения ее общая длина увеличивается в 4/3 раза, следовательно, в пределе длина кривой Коха бесконечна. Более того, кривая Коха непрерывна, но нигде не имеет касательной — точно график непрерывной функции, не имеющей производной.

В качестве модели береговой линии кривая K, представляет собой лишь очень отдаленное приближение, но не потому, что она слишком неправильна — скорее потому, что по сравнению с неправильностью типичной береговой линии неправильность кривой Коха уж очень предсказуема. В главах 24 и 28 мы попробуем добиться лучшего соответствия с помощью некоторой рандомизации процесса построения.

 

КРИВАЯ КОХА В РОЛИ ЧУДОВИЩА

У человека, прочитавшего предыдущий раздел, может сложиться впечатление, что кривая Коха относится к числу наиболее очевидных и интуитивно понятных геометрических фигур. Однако вовсе не так очевидны причины, толкнувшие фон Коха на ее построение. И уж совершенно загадочным представляется отношение к ней со стороны математиков. Чуть ли не единодушно они провозгласили кривую K чудовищной! За подробностями обратимся к работе Хана «Кризис здравого смысла» [190], которая, кстати, еще неоднократно нам пригодится. Хан пишет: «Характер [неспрямляемой кривой или кривой, к которой невозможно провести касательную] совершенно не укладывается в рамки того, что мы можем понять интуитивно. В самом деле, всего лишь после нескольких повторений простой операции сегментирования образующаяся фигура становится настолько сложной, что с трудом поддается непосредственному восприятию, а уж то, к чему эта кривая стремится в пределе, и вовсе невозможно себе представить. Только с помощью разума, применяя логический анализ, мы можем до конца проследить эволюцию этого странного объекта. Если бы мы положились в данном случае на здравый смысл, то составленное нами представление оказалось бы в корне ошибочным, поскольку здравый смысл неизбежно привел бы нас к заключению, что кривых, не имеющих касательной ни в одной своей точке, попросту не бывает. Этот первый пример неадекватности интуитивного подхода затрагивает самые фундаментальные концепции дифференцирования».

Надо отдать Хану должное — в своих высказываниях он не доходит до знаменитого восклицания Шарля Эрмита относительно недифферен- цируемых функций. В письме к Стилтьесу, датированном 20 мая 1893 года, Эрмит пишет об ужасе и отвращении, которые вызывает у него «это наказание Господне, эти жалкие функции без производных» ([211], II, с. 318). Конечно же, каждому из нас хочется верить в то, что великие лишены недостатков и что Эрмит просто шутил, однако из написанной в 1922 году «Заметки» Лебега ([295], I), можно заключить, что это не совсем так. Написав статью о поверхностях, к которым нельзя построить касательные плоскости (об «абсолютно измятых носовых платках»), Лебег представил ее Академии наук для публикации, однако «Эрмит сначала воспротивился включению статьи в «Comptes Rendus»1; примерно к этому времени относится его письмо Стилтьесу... »

Мы с вами уже знаем, что Перрен и Штейнгауз страха перед чудовищами не испытывали, однако единственным математиком, который возражал против общего мнения, основываясь именно на интуитивных соображениях (Штейнгауз возражал, опираясь на факты), был Поль Ле-ви [311]: «[Мне] всегда было удивительно слышать, что если руководствоваться в геометрии здравым смыслом, то непременно приходишь к выводу, что все непрерывные функции дифференцируемы. Насколько я могу судить по собственному опыту, начиная с моей первой встречи с концепцией производной и по сей день, верно как раз обратное».

Как ни печально, эти голоса остались неуслышанными. Почти все книги и абсолютно все музеи науки продолжают уверять нас в том, что недифференцируемые функции противны здравому смыслу, «чудовищны», «патологичны» или даже «психопатичны».

 

ПРИРУЧЕНИЕ КРИВОЙ КОХА. РАЗМЕРНОСТЬ

D=

ln4

/

ln3

≈1,2618

Я утверждаю, что кривая Коха является грубой, но математически строгой моделью береговой линии. В качестве первой количественной проверки рассмотрим длину L(ε) троичного терагона Коха, длина сторон которого равна ε. На этот раз длину кривой можно измерить точно, получив при этом чрезвычайно удовлетворительный результат:

L(ε)=ε1−D .

Эта точная формула оказывается идентичной эмпирическому закону Ричардсона о длине побережья Британии. Для троичной кривой Коха имеем

D=ln4/ln3≈1,2618,

откуда следует, что значение D находится внутри интервала значений, полученных Ричардсоном!

< Доказательство: Очевидно, что L(1)=1, а

L(ε/3)=(4/3)L(ε).

Это уравнение имеет решение вида L(ε)=ε1−D если D удовлетворяет соотношению 3D−1 =4/3.

Следовательно, D=ln4/ln3, что и следовало доказать. ►

Разумеется, в случае кривой Коха показатель D представляет собой не эмпирическую, а математическую постоянную. Таким образом, аргументы в пользу того, чтобы считать этот показатель размерностью, становятся еще более убедительными, чем в случае береговых линий.

С другой стороны, аппроксимативная хаусдорфова протяженность в размерности D (понятие, введенное в предыдущей главе) равна произведению εD на количество отрезков длины ε, т. е. εD ε−D =1. Неплохое подтверждение тому, что величина D представляет собой хаусдорфову размерность. К сожалению, данное Хаусдорфом определение этой размерности весьма плохо поддается строгой математической трактовке. И даже если бы это было не так, идея обобщения понятия размерности на множество нецелых чисел настолько широка и чревата настолько серьезными последствиями, что более глубокое ее обоснование можно только приветствовать.

 

РАЗМЕРНОСТЬ ПОДОБИЯ

Оказывается, мы легко можем получить искомое более глубокое обоснование, рассмотрев случай самоподобных фигур и понятие размерности подобия. Мы часто слышим о том, что математики используют размерность подобия для приблизительного определения хаусдорфовой размерности, причем в большинстве случаев, рассматриваемых в этом эссе, такая приблизительная оценка оказывается верной. В применении к этим случаям мы вполне можем считать фрактальную размерность синонимом размерности подобия. < Аналогичным образом мы используем термин «топологическая размерность» как синоним обычной, «интуитивной», размерности. ►

В качестве своего рода стимулирующего вступления давайте рассмотрим стандартные самоподобные формы: отрезки прямой, прямоугольники на плоскости и т. д. (см. рис. 73). Евклидова размерность прямой равна 1, следовательно, при любом целочисленном «основании» b отрезок 0≤x

Евклидова размерность плоскости равна 2. Отсюда аналогичным образом следует, что при любом значении b «целое», состоящее из прямоугольника с длинами сторон 0≤x

Где k и h изменяются от 1 до b. И здесь каждая часть может быть получена из целого с помощью преобразования подобия с коэффициентом r(N)=1/b=1/N1/2 .

В случае прямоугольного параллелепипеда аналогичное рассуждение приводит нас к коэффициенту r(N)=1/N1/3 .

Не возникает никаких сложностей и с определением пространств, евклидова размерность E которых больше 3. (Здесь и далее мы будем обозначать евклидову — или декартову — размерность буквой E.) Для всех D-мерных параллелепипедов (D

r(N)=1/N1/D .

Таким образом,

NrD =1.

Эквивалентные альтернативные выражения имеют следующий вид:

lnr(N)=ln(1/N1/D )=−(lnN)/D,

D=−lnN/lnr(N)=lnN/ln(1/r)=.

Перейдем теперь к нестандартным фигурам. Для того, чтобы показатель самоподобия имел формальный смысл, необходимо лишь, чтобы рассматриваемая фигура была самоподобной, т. е. чтобы ее можно было разбить на N частей, каждая из которых может быть получена из целой фигуры с помощью преобразования подобия с коэффициентом r (в сочетании со смещением или преобразованием симметрии). Полученная таким образом величина D всегда удовлетворяет равенству

0≤D≤E.

В случае троичной кривой Коха N=4, а r=1/3, отсюда D=ln4/ln3, что полностью совпадает с хаусдорфовой размерностью.

 

КРИВЫЕ. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

До сих пор мы, не особенно задумываясь, называли фигуру Коха K кривой; настало время разобраться с этим понятием. Здравый смысл подсказывает, что стандартная дуга представляет собой связное множество, причем если удалить любую его точку, то множество становится несвязным. А замкнутая кривая — это связное множество, разделяющееся после удаления двух точек на две стандартные дуги. По этим причинам фигуру Коха K можно считать кривой.

Любой математик скажет вам, что все фигуры, обладающие вышеуказанным свойством (будь то кривая K, интервал [0,1] или окружность), имеют топологическую размерность DT , равную 1. То есть у нас появляется еще одна концепция размерности! Будучи последователями Уильяма Оккама, все ученые прекрасно осведомлены о том, что «не следует множить сущности без необходимости». Здесь я должен признаться, что наши с вами метания между несколькими почти эквивалентными формами фрактальной размерности объясняются всего лишь соображениями удобства. А вот параллельное существование фрактальной и топологической размерности является самой что ни на есть суровой необходимостью. Читателям, пропустившим то отступление в главе 3, где дано определение фрактала, я рекомендую прочесть его сейчас; кроме того, каждому необходимо ознакомиться с разделом, озаглавленным РАЗМЕРНОСТЬ, в главе 41.

 

ИНТУИТИВНЫЙ СМЫСЛ РАЗМЕРНОСТИ D ПРИ НАЛИЧИИ ПОРОГОВ

Λ

И

λ

Одна из работ Чезаро [74] начинается с эпиграфа:

«... безгранична воля, безграничны желания, несмотря на то, что силы наши ограничены, а осуществление мечты — в тисках возможности».1

В самом деле, тиски возможности властны над учеными в не меньшей степени, чем над шекспировскими Троилом и Крессидой. Для построения кривой Коха необходимо, чтобы каскад новых, с каждым разом уменьшающихся выступов уходил в бесконечность, однако в Природе всякий каскад обречен либо прекратиться, либо измениться. Мы, конечно, можем допустить существование бесконечной серии выступов, но охарактеризовать их как самоподобные можно только в определенных пределах. Когда длина уменьшается до значений, меньших нижнего предела, понятие береговой линии перестает принадлежать географии.

Таким образом, представляется разумным рассматривать реальную береговую линию как кривую, включающую в себя два пороговых масштаба. Внешним порогом Ω можно считать диаметр наименьшей окружности, описывающей остров или материк, а в качестве внутреннего порога ε мы можем взять те самые 20 м, о которых говорилось в главе 5. Весьма сложно указать реальные числовые значения для порогов, однако необходимость введения этих самых порогов не подлежит сомнению.

И все же даже после того, как мы отбросили самые крупные и самые мелкие детали, величина D продолжает означать эффективную размерность в том виде, в каком она описана в главе 3. Строго говоря, и треугольник, и звезда Давида, и конечные терагоны Коха имеют размерность 1. Однако — как с интуитивной, так и с прагматической точки зрения, руководствующейся простотой и естественностью необходимых поправочных членов — разумнее рассматривать терагон Коха на одной из поздних стадий построения как фигуру, более близкую к кривой с размерностью ln4/ln3, нежели к кривой с размерностью 1.

Что же касается береговой линии, то она, вероятнее всего, имеет несколько различных размерностей (вспомните клубок ниток из третьей главы). Ее географической размерностью является показатель Ричардсона D. Но в диапазоне размеров, которыми занимается физика, размерность береговой линии может быть совсем иной — связанной с понятием границы раздела между водой, воздухом и песком.

 

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ КОХА И КРИВЫЕ КОХА БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ

Сформулируем еще раз основной принцип построения троичной кривой Коха. Построение начинается с двух фигур: инициатора и генератора. Последний представляет собой ориентированную ломаную, состоящую из N равных отрезков длины r. В начале каждого этапа построения мы имеем некоторую ломаную; сам этап заключается в замене каждого прямого участка копией генератора, уменьшенной и смещенной так, чтобы ее концевые точки совпали с концевыми точками заменяемого отрезка. На каждом этапе D=lnN/ln(1/r).

Нетрудно изменить общий вид получаемой конструкции путем модификации генератора; особенно интересны сочетания выступов и впадин — примеры можно найти на следующих после главы иллюстрациях. Таким образом, можно получить различные терагоны Коха, сходящиеся к кривым, размерности которых находятся в интервале от 1 до 2.

Все эти кривые Коха нигде не пересекают сами себя, поэтому при определении D их можно без какой бы то ни было неоднозначности делить на непересекающиеся части. Однако если при построении кривой Коха использовать небрежно подобранные генераторы, существует известный риск получить самокасание или самопересечение, а то и самоперекрытие. Если желаемое значение D достаточно мало, то тщательным подбором генератора можно легко избежать появления двойных точек. Задача резко усложняется при увеличении D, однако пока значение D остается меньше 2, решение существует.

Если же попытаться получить с помощью вышеописанного построения кривую Коха с размерностью больше 2, то мы неизбежно придем к кривым, которые покрывают плоскость бесконечно много раз. Случай D=2 заслуживает особого рассмотрения, и мы займемся им в главе 7.

 

ДУГИ И ПОЛУПРЯМЫЕ КОХА

В некоторых случаях возникает необходимость в педантичной замене термина «кривая Коха» чем-нибудь более точным и подходящим. Например, фигура, изображенная на рис. 73 внизу, формально является коховым отображением отрезка прямой и может быть названа дугой Коха. Как следствие, граничная линия на рис. 74 оказывается составленной из трех дуг Коха. Часто бывает полезно экстраполировать дугу в полупрямую Коха — экстраполяция увеличивает исходную дугу сначала в 1/r=3 раза, используя ее левую концевую точку как фокус, затем в 32 раз и т. д. Результат каждой следующей экстраполяции включает в себя предыдущую кривую, и получающаяся в пределе кривая содержит все промежуточные конечные кривые.

 

ЗАВИСИМОСТЬ МЕРЫ ОТ РАДИУСА ПРИ ДРОБНОМ ЗНАЧЕНИИ D

Рассмотрим еще одну стандартную ситуацию евклидовой геометрии и обобщим ее с учетом фрактальных размерностей. В случае идеальных однородных физических объектов плотности ρ мы можем считать, что масса M(R) стержня длиной 2R, диска или шара радиуса R пропорциональна ρRE . При E = 1,2 и 3 коэффициенты пропорциональности соответственно равны 2, 2π и 4π/3.

Правило применимо и к фракталам, при условии, что они самоподобны.

В случае троичных кривых Коха это утверждение доказывается проще всего, если начало координат совпадает с концевой точкой полупрямой Коха. Если круг радиуса R0 =3k (где k≥0) содержит массу M(R0 ), то круг радиуса R=R0 /3 вместит в себя массу M(R)=M(R0 )/4. Отсюда

.

Следовательно, отношение M(R)/RD не зависит от радиуса R и может послужить для определения плотности ρ.

 

ДВИЖЕНИЕ КОХА

Представьте себе точку, движущуюся вдоль полупрямой Коха и проходящую за одинаковые интервалы времени дуги одинаковой меры. Если теперь обратить функцию, определяющую время как зависимость от положения точки, то мы получим функцию, определяющую положение точки как зависимость от времени, т. е. функцию движения. Скорость такого движения, разумеется, бесконечна.

 

СЛУЧАЙНЫЕ БЕРЕГОВЫЕ ЛИНИИ: ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ВЗГЛЯД

Кривая Коха похожа на настоящие береговые линии, однако она имеет кое-какие существенные недостатки (эти недостатки практически в неизменном виде присущи всем ранним моделям рассматриваемых в настоящем эссе прецедентов). Ее части идентичны одна другой, а коэффициент само подобия r непременно задается жесткой шкалой вида b−k , где b — целое число, т. е. r=1/3, (1/3)2 и т.д. Таким образом, кривую Коха можно считать лишь очень предварительной моделью береговой линии.

Я разработал несколько способов избавления от этих недостатков, однако ни один из них не обходится без известных вероятностных усложнений, с которыми нам на данный момент не справиться: сначала следует уладить множество вопросов, касающихся неслучайных фракталов. Интересующемуся же читателю, знакомому с теорией вероятности, ничто не мешает заглянуть немного вперед и полюбоваться на модели, основанные на моих «сквиг-кривых» (см. главу 24) и, что более важно, на линиях уровня дробных броуновских поверхностей (см. главу 28).

Здесь и далее я использую следующий способ представления материала. Многочисленные узоры, создаваемые Природой, рассматриваются на фоне упорядоченных фракталов, которые могут служить пусть и очень приблизительными, но все же моделями рассматриваемых феноменов, тогда как предлагаемые мною случайные модели отнесены в более поздние главы.

Памятка. Во всех случаях, когда значение D известно точно, не является целым числом и записано в десятичной форме с целью облегчения сравнений, в нем сохраняются четыре знака после запятой. Число 4 было выбрано исходя из следующих соображений: я хотел показать, что в данном случае значение D не является ни эмпирическим (все эмпирические значения в настоящее время известны с точностью до одного или двух десятичных знаков), ни не вполне определенным геометрическим значением (все подобные значения в настоящее время известны либо с точностью до одного-двух десятичных знаков, либо с точностью до шести десятичных знаков).

 

СЛОЖНОЕ ИЛИ ВСЕ ЖЕ ПРОСТОЕ И ПРАВИЛЬНОЕ?

Кривые Коха демонстрируют новое и весьма интересное сочетание простоты и сложности. На первый взгляд они выглядят гораздо более сложными, чем любая стандартная евклидова кривая. Однако теория математических алгоритмов Колмогорова-Чайтина утверждает обратное: кривая Коха ничуть не сложнее окружности! Эта теория оперирует некоторым набором «букв» или «атомных операций», причем длина кратчайшего известного алгоритма построения искомой функции принимается за объективный верхний предел сложности этой функции.

Попробуем применить вышеописанный подход к построению кривых. Условимся изображать буквы или «атомы» графического процесса прямыми «штрихами». При использовании такого алфавита построение правильного многоугольника требует конечного числа штрихов, каждый из которых можно описать с помощью конечного числа инструкций, и, как следствие, является задачей конечной сложности. В построении же окружности, напротив, участвует «бесконечное количество бесконечно коротких штрихов», и поэтому окружность представляется нам как кривая бесконечной сложности. Однако если производить построение окружности рекурсивно, можно видеть, что необходимо лишь конечное число инструкций, и значит построение окружности также является задачей конечной сложности. Начнем, например, с правильного многоугольника, число сторон которого равно 2m (m>2), затем заменим каждый штрих длины 2sin(π/2m ) двумя штрихами длины 2sin(π/2m+1 ); далее процесс повторяется снова и снова. Для построения кривых Коха применяется тот же подход, но с использованием более простых операций: длину каждого штриха нужно всего лишь умножить на r, причем относительное расположение штрихов остается неизменным на протяжении всего построения. Отсюда и следует парадоксальное заявление: когда сложность определяется длиной лучшего на настоящий момент алгоритма, выраженного средствами данного алфавита, кривая Коха оказывается проще окружности.

Это необычное распределение кривых по относительной сложности их построения не следует принимать всерьез. Самое интересное, что, используя алфавит, основанный на окружности и линейке (т. е. взяв в качестве «атома» окружность), мы придем к противоположному выводу. И все же, при разумно подобранном алфавите, любая кривая Коха не только имеет конечную сложность, но оказывается проще большинства евклидовых кривых.

Меня всегда зачаровывала этимология слов, и поэтому я не могу завершить эту главу, не сознавшись в том, что мне претит называть кривую Коха «неправильной». Этот термин родственен слову править и в принципе вполне приемлем, если понимать это слово как «делать правильным, выпрямлять»: кривую Коха вряд ли что-либо способно выпрямить. Однако вспоминая о другом смысле слова править и размышляя о правителях или королях (тот же смысл, но несколько иная этимология. Кстати, латинские слова rex («король») и regula («правило») также имеют один корень), т. е. о тех, кто устанавливает свод незыблемых правил, которым следует беспрекословно подчиняться, я всякий раз молча протестую против неудачного термина — в этом смысле в мире просто нет ничего «правильнее» кривой Коха.

Рис. 70. ТРОИЧНЫЙ ОСТРОВ (ИЛИ СНЕЖИНКА) КОХА K. ПЕРВОНАЧАЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ХЕЛЬГЕ ФОН КОХА (РАЗМЕРНОСТЬ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ D=ln4/ln3~1,2618)

Начинается построение с «инициатора», т. е. с черного равностороннего треугольника, длина стороны которого равна единице. Затем в средней трети каждой из сторон строим по равностороннему треугольнику с длиной сторон, равной 1/3. На этом этапе мы получаем шестиконечную звезду, или звезду Давида. На каждой из сторон полученной звезды строим вышеописанным образом по равностороннему треугольнику и повторяем процесс до бесконечности.

Точки средней трети любого из отрезков при каждом добавлении смещаются в перпендикулярном направлении, в то время как вершины треугольного инициатора остаются неподвижными. Остальные девять вершин звезды Давида достигают своих окончательных положений после конечного числа этапов. Некоторые точки смещаются бесконечное число раз, но каждый раз на меньшую величину, и в конце концов сходятся к неким пределам, которые и определяют форму береговой линии.

Сам остров представляет собой предел последовательности областей, ограниченных многоугольниками, каждый из которых содержит область, ограниченную предыдущим многоугольником. Фотографический негатив такого предела можно увидеть на рис. 74.

Обратите внимание на то, что и на этом, и на многих других рисунках чаще изображены не береговые линии, а острова и озера — вообще, «сплошным» фигурам явно отдается предпочтение перед контурами. Объясняется это очень просто — мы всего лишь пытались максимально эффективно использовать высокую разрешающую способность нашей графической системы.

Почему к данной кривой нельзя провести касательную? Выберем в качестве неподвижной точки одну из вершин исходного треугольника и проведем прямую до некоторой точки, расположенной на предельной кривой, в направлении по часовой стрелке. По мере того, как выбранная точка на кривой приближается к нашей вершине, соединяющая их прямая колеблется внутри угла в 30 градусов и совершенно не желает устремляться к какому бы то ни было пределу, который мы могли бы назвать касательной в направлении по часовой стрелке. Касательная в направлении против часовой стрелки также не определена. Точка, к которой нельзя провести касательную, поскольку опущенные из нее хорды колеблются под вполне определенными углами, называется гиперболической точкой. Что касается тех точек, к которым кривая K стремится асимптотически, то к ним также нельзя провести касательную, но по другой причине.

Рис. 71. ТРОИЧНЫЙ ОСТРОВ (ИЛИ СНЕЖИНКА) КОХА К. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ЭРНЕСТА ЧЕЗАРО (РАЗМЕРНОСТЬ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ D=ln4/ln3~1,2618)

Альтернативное построение острова Коха предложено в статье Чезаро, посвященной кривым фон Коха [74] — работе настолько замечательной, что всякий раз, открывая журнал, я забываю о том, как долго и упорно я искал эту статью (и как разозлился, обнаружив впоследствии, что все мои труды были напрасны — мне следовало сразу же заглянуть в сборник [75]). Позволю себе привести несколько особенно восхитительных строк в моем вольном переводе. «Бесконечное вложение этой фигуры в самоё себя дает нам некоторое представление о том, что Теннисон однажды назвал внутренней бесконечностью — единственный, в сущности, род бесконечности, доступный нашему восприятию Природы. Благодаря такому подобию между целым и частями — вплоть до самых мельчайших, исчезающе малых частей — кривая Коха обретает воистину чудесные свойства. Если бы ей была дарована жизнь, то для того, чтобы убить ее, нам пришлось бы уничтожить всю кривую без остатка, ибо она возрождалась бы вновь и вновь из глубин своих треугольников; то же, впрочем, можно сказать и о жизни во Вселенной вообще».

В роли инициатора в построении Чезаро выступает правильный шестиугольник с длиной стороны √3/3. Окружающий остров океан изображен серым цветом. Каждый прямолинейный участок берега заменяется треугольной бухтой, размер которой уменьшается с каждым этапом построения до бесконечности, а остров Коха становится пределом уменьшающихся приближений.

На приведенном рисунке показаны оба метода построения: и метод Коха (см. рис. 70) и только что описанный метод Чезаро. При таком представлении предельная береговая линия Коха оказывается зажатой между двумя неуклонно приближающимися изнутри и снаружи терагонами. Можно вообразить себе некий каскадный процесс, в начале которого мы имеем три концентрических кольца: твердая земля (черная), болото (белое) и вода (серая). С каждым этапом такого каскадного процесса некоторый участок болота преобразуется либо в твердую землю, либо в воду. В пределе болото донельзя истончается, превращаясь из «поверхности» в кривую.

Интерпретация срединного смещения. Используем приведенные ниже генератор и последующий шаг (угол равен 120 градусов):

Смещение средней точки прямолинейного отрезка наружу k-го внутреннего терагона дает k-й наружный терагон; срединное смещение внутрь k-го наружного терагона дает k+1-й наружный терагон. Эффективность такого подхода демонстрируется на рис. 98 и 99, а также в главе 25.

Рис. 73. ДВА ВИДА САМОПОДОБИЯ: СТАНДАРТНОЕ И ФРАКТАЛЬНОЕ

На рисунке показано, как, располагая некоторым целым числом (в данном случае b = 5), можно разбить прямолинейный отрезок единичной длины на N=b подынтервалов, длина каждого из которых равна r=1/b. Аналогичным образом мы можем разделить единичный квадрат на N=b2 меньших квадратов с длиной стороны r=1/b. И в том, и в другом случае величина lnN/ln(1/r) представляет собой размерность подобия рассматриваемой фигуры, — величина, о которой школьная геометрия не считает нужным упоминать, так как ее значение сводится к евклидовой размерности.

Нижняя фигура — это троичная кривая Коха или треть побережья острова Коха. Ее также можно разбить на подобные исходной кривой фигуры меньшего размера, при этом N=4, а r=1/3. Размерность подобия D=lnN/ln(1/r) в данном случае оказывается дробным числом (ее значение примерно 1,2618), не находя себе аналогов в стандартной геометрии.

Хаусдорф показал, что величина D может быть весьма полезной в математике и что она совпадает с хаусдорфовой, или фрактальной, размерностью. Я же утверждаю, что без величины D не обойтись и в естественных науках.