Фрактальная геометрия природы

Мандельброт Бенуа

X СЛУЧАЙНЫЕ ТРЕМЫ. ТЕКСТУРА

 

 

31 ТРЕМЫ В ИНТЕРВАЛЕ. ЛИНЕЙНАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ

 

Структура этой группы глав несколько запутана. Понятия случайных трем и текстуры сойдутся вместе только в главе 35, где будет показано, как можно управлять текстурой. В главе 34 понятие текстуры вводится вне особой связи с тремами; здесь описаны факты, которые можно было бы разбросать по нескольким предыдущим главам, однако ради сохранения целостности рассмотрения я предпочел собрать их в одном месте.

Что касается глав 31 – 33, то текстура в них совсем не упоминается, а тремы активно используются для построения случайных фракталов, многие из которых встретятся нам впервые. Новые фракталы (как и те, что рассматривались в предыдущих – броуновских – главах) свободны от временных и/или/ пространственных решеток.

В настоящей главе мы поговорим о случайных пылевидных множествах, ограниченных прямой, и попытаемся применить их к решению проблемы шума, с которой мы впервые столкнулись в главе 8, а также подготовим почву для их обобщения на плоскость и пространство; различные варианты такого обобщения будут описаны дальше, в главах 32 и 33.

Главная практическая цель глав 32, 33 и 35 – внести вклад в построение модели скоплений галактик; впервые возможности решения этой проблемы мы обсуждали в главе 9.

 

УСЛОВНО СТАЦИОНАРНЫЕ ОШИБКИ [21]

В главе 8 мы с восторгом обнаружили, что канторова пыль представляет собой вполне приемлемую модель главных характерных особенностей некоторых избыточных шумов в первом приближении. Однако мы даже не попытались проверить действительное соответствие модели реальным данным. Причина, очевидно, заключается в том, что мы заранее знали – никакого соответствия здесь нет и в помине. Канторова пыль слишком правильна для того, чтобы служить точной моделью любого из известных мне естественных иррегулярных феноменов. В частности, коэффициенты самоподобия канторовой пыли ограничены величинами вида rk . Кроме того, способ построения канторовой пыли также накладывает свой отпечаток (весьма неудачный, надо сказать): канторово множество не сможет быть совмещено само с собой посредством сдвига – иными словами, оно не является инвариантным относительно сдвига.

Иррегулярность можно легко привнести – для этого существует рандомизация. Что касается инвариантности при сдвигах, то от нашей искомой замены канторову множеству потребуется лишь инвариантность в статистическом смысле. В рамках вероятностной терминологии это означает, что множество должно быть стационарным или, по меньшей мере, удовлетворять некоторому подходящим образом смягченному условию стационарности.

В главе 23 было предложено весьма простое средство для частичного достижения этой цели. В настоящей главе мы продвинемся еще на три шага вперед.

Первый шаг можно позаимствовать из самой ранней реалистичной модели перемежаемости. В работе [21] мы начали с некоторого конечного приближения пыли с порогами ε>0 и Ω<∞, а затем случайным образом перемешали пустоты, чтобы добиться их статистической независимости друг от друга. Интервалы длины ε между последовательными пустотами мы оставили неизменными. В главе 8 показано, что относительное количество пустот, длина которых превышает u, задается в канторовой пыли почти гиперболической ступенчатой функцией. Рандомизация по-новому интерпретирует эту функцию в качестве распределения вероятностей больших отклонений .

В результате получаем рандомизированную канторову пыль с ε>0. К сожалению, ступени распределения все еще сохраняют в себе следы исходных значений N и r. Поэтому в [21] мы сгладили эти ступени: мы положили, что длины последовательных пустот, измеренные в единицах ε, представляют собой статистически независимые целые числа ≥1, причем их распределение имеет следующий вид:

.

Соответствие этой модели действительности оказалось на удивление хорошим: немецкие государственные телефонные линии показали D~0,3, а согласно сообщениям других авторов, исследовавших позднее другие каналы, значение D варьируется от 0,1 до почти 1.

Длительности последовательных пустот в нашей с Берегером модели независимы; следовательно, ошибки представляют собой то, что в теории вероятности называется «процессом восстановления» или «возвратным процессом» (см. [147]). Каждая ошибка – это точка возврата, где прошлое и будущее статистически независимы друг от друга и следуют одинаковым для всех ошибок правилам.

 

ЛИНЕЙНАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ

К сожалению, множество, полученное перемешиванием пустот усеченной канторовой пыли (и сглаживанием их распределения), также не избавлено от недостатков: а) соответствие формулы данным наблюдения по избыточным шумам все еще не полно; б) ограничение ε>0, возможно, вполне приемлемо для физиков, однако весьма досадно с эстетической точки зрения; в) построение остается неуклюжим и произвольным; и, наконец, г) оно слишком далеко по духу от оригинального построения Кантора.

В [347], воспользовавшись множеством, предложенным Полем Леви, я построил усовершенствованный вариант искомого множества, лишенный недостатков (а) и (б). Позвольте мне назвать такое множество пылью Леви. При заданном значении D пыль Леви является единственным множеством, сочетающим в себе два желаемых свойства. Как и в рандомизированной усеченной канторовой пыли, прошлое и будущее, рассматриваемые из принадлежащей этому множеству точки, независимы друг от друга. Как и канторова пыль, пыль Леви статистически тождественна самой себе при уменьшении с произвольным коэффициентом подобия r в интервале от 0 до 1 – ничем подобным канторова пыль похвастаться не может.

Оказывается, нуль – множество броуновского движения (глава 25) представляет собой пыль Леви с D=½.

К сожалению, метод, использованный Леви при введении своего множества, сохраняет вышеупомянутые недостатки (в) и (г). К тому же, он весьма деликатен в формальном смысле: требуется, чтобы значение uбыло не просто целым числом ≥1, но и могло принимать любые положительные вещественные значения с вплоть до u=0. Так как 0−D =∞, общая «вероятность» также бесконечна. Метод, используемый для устранения этой, по всей видимости, нелепой возможности, весьма важен и интересен, однако никакого отношения к нашей работе не имеет.

К счастью, от этих трудностей легко избавиться, приняв более естественный способ построения «трем», предложенный в [371].

 

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И ВИРТУАЛЬНЫЕ ТРЕМЫ

Предварительное замечание: я утверждаю, что было бы очень полезно описать исходную канторову пыль с помощью сочетания «действительных» и «виртуальных» трем. Начинаем – как обычно – с интервала [0,1] и вырезания его средней трети . После этого этапа сущность построения остается той же, однако формальное описание изменяется. Мы делаем вид, что средние трети на втором этапе вырезаются из каждой трети исходного интервала [0,1]. Хотя вырезание средней трети из уже вырезанной средней трети не оказывает сколько-нибудь заметного воздействия, виртуальные тремы вскоре окажутся весьма удобными. Далее аналогичным образом вырезаем средние трети из каждой девятой части интервала [0,1], затем из каждой 27 –й и т.д. Заметим, что распределение количества трем, длина которых превосходит u, задается теперь ступенчатой функцией, общий характер изменения которой пропорционален уже не u−D , а u−1 . Характер зависимости от u сохраняется неизменным при различных правилах створаживания; от метода построения зависят только расположение ступеней и коэффициент пропорциональности.

 

ТРЕМЫ В ИНТЕРВАЛЕ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПУСТОТЫ [371]

В работе [371] я рандомизировал канторово построение путем сглаживания ступеней распределения и выбором расположения трем и их длин случайным образом, независимо друг от друга. Наконец, для реализации пропорциональности u−1 предполагается, что количество трем, длина которых превышает u, а центр приходится на некий интервал длины Δt, имеет математическое ожидание, равное (1−D* )Δt/u, и пуассоновское распределение. Причина введения обозначения 1−D* вскоре прояснится.

Будучи независимыми, тремы могут пересекаться, чем они и занимаются с большим удовольствием: вероятность того, что какую-либо трему ни разу не пересечет другая трема, равна нулю. Иными словами, понятия тремы и пустоты (или паузы) больше не совпадают: термином пустота мы теперь обозначаем интервалы, образованные перекрывающимися тремами. Возникает вопрос: сливаются ли все тремы, в конце концов, в одну гигантскую пустоту, или в интервале остаются непокрытые ими точки? Мы сначала объявим ответ, а затем, в следующем разделе, обоснуем его с помощью наглядного рассуждения на примере процесса рождения и покажем, что непокрытые точки образуют невынужденные кластеры.

Рассмотрим интервал, не покрытый полностью тремами с длиной больше ε0 , и введем меньшие тремы, длина которых превышает движущийся порог ε, убывающий с ε0 до 0. Устремив при D* ≤0 порог ε к 0, мы почти наверняка (вероятность стремится к 1) получим интервал, в котором не остается непокрытой ни одна точка. При 0

Даже в пределе существует некоторая положительная вероятность, что какой-то участок («трема – фрактал») останется непокрытым. В [371] доказывается, что этот трема – фрактал представляет собой не что иное, как пыль Леви с размерностью D=D* .

Короче говоря, D=max(D* ,0).

 

ПРОЦЕСС РОЖЕНИЯ И НЕВЫНУЖДЕННАЯ КЛАСТЕРИЗАЦИЯ В ПЫЛИ ЛЕВИ

При построении, описанном в главе 8, канторовы ошибки поступают иерархическими пакетами или «кластерами», причем интенсивность кластеризации находится в соответствии с показателем D, Это свойство сохраняется и тогда, когда паузы перемешаны случайным образом, однако доказательство этого утверждения весьма запутано и мало что проясняет.

Напротив, доказательство того же результата для пыли со случайными тремами является очень простым и представляет подлинный интерес.

Суть, опять же, заключается в том, чтобы начать с трем, длина которых несколько больше порога ε, затем многократно умножать ε на некоторый коэффициент r<1 (скажем, r=⅓) с тем, чтобы значение ε устремилось к нулю. Начинаем с межпаузного интервала, не содержащего трем, ограниченного двумя «ε - паузами». Добавление трем с длинами между ε/3 и ε приводит иногда к совершенно опустошительному результату: стирается весь интервал. Существует, однако, неплохая вероятность того, что воздействие будет значительно более мягким: а) ограничивающие «ε - паузы» растягиваются в более длинные (ε/3) - паузы и б) внутри нашего межпаузного интервала появляются дополнительные малые (ε/3) - паузы. Заново определенные межпаузные интервалы неизбежно выглядят как кластеризованные. Аналогичным образом порождаются и подкластеры, только (ε/3) нужно заменить на (ε/9),...,3−n ε,...

Эволюция этих кластеров при n→∞ управляется новым процессом – процессом рождения и гибели. Как и в классической теории (см. главу 23), кластеры гибнут или множатся независимо от других кластеров с тем же n, равно как и от истории их семей. Вероятность стирания длинного межпаузного интервала меньше, чем вероятность стирания короткого, и кроме того, длинный интервал порождает в среднем более многочисленное потомство. При возрастании величины 1−D* интервалы между ε - паузами становятся короче, а некоторые интервалы между (ε/3) - паузами исчезают вовсе. Таким образом, ожидаемое количество потомков уменьшается двумя путями. Значение D* =0 является критическим в том смысле, что при D* ≤0 семейство почти наверное обречено на вымирание, тогда как при D* >0 существует положительная вероятность того, что семья будет процветать и множиться вечно.

 

СРЕДНЕЕ КОЛИЧЕСТВО ОШИБОК СОГЛАСНО МОДЕЛИ БЕРГЕРА – МАНДЕЛЬБРОТА

Это техническое отступление призвано показать, что основные результаты, касающиеся распределения ошибок в модели, основанной на канторовой пыли, остаются истинными и после рандомизации. Более того, в этом случае рассуждения и выводы значительно упрощаются, особенно если принять Ω=∞. Мы продемонстрируем применение условного математического ожидания в самоподобных процессах на следующем примере.

Предположим, что в интервале [0,R] имеется, по меньшей мере, одна ошибка; значение R находится в диапазоне, определяемом неравенствами R≫η и R≪Ω. Такое условие имеет вид M(R)>0. Причина, по которой модель Бергера – Мандельброта называется условно стационарной, заключается в следующем: если интервал целиком находится внутри интервала [0,R], то распределение условного количества ошибок, определяемого выражением , не зависит от t. Следовательно, достаточно рассмотреть его при t=0. Кроме того, учитывая аддитивность математических ожиданий, из одной лишь условной стационарности следует, что

.

Самоподобие же подразумевает, что

,

где D* - константа, определяемая спецификой рассматриваемого процесса. Для доказательства этого утверждения достаточно ввести некоторую промежуточную величину d', удовлетворяющую неравенству d в виде

.

Объединив два последних равенства, получим

.

Таким образом, для того, чтобы показать, что

,

вполне достаточно просто объединить условную стационарность с самоподобием. В данной конкретной модели D* =D. Кроме того, из одного лишь самоподобия следует, что величины

и

являются случайными величинами, зависящими от D, но не зависимых ни от R, ни от Ω.

В отличие от условной вероятности, абсолютная вероятность обусловливающего события M(R)>0 сильно зависит от Ω. Однако если усечение до Ω<∞ произведено должным образом, то получается следующее равенство:

.

Поскольку последнее выражение можно вывести из выражения, приведенного в предыдущем абзаце, просто заменив R на L, а d на R, событие «M(R)>0, если известно, что L<∞» можно рассматривать как событие « M(R)>0, если известно, что M(L)>0». В пределе Ω→c вероятность того, что интервал [0,R] целиком поместится в некоторой очень длинной паузе, стремится к единице, т.е. вероятность возникновения ошибки становится бесконечно малой. Однако на выведенную ранее условную вероятность количества ошибок это никак не влияет.

Предыдущее рассуждение можно рассматривать как дополнение обсуждению условного космографического принципа в главе 22.

Рис. 398. Улицы, проложенные случайным образом

Как уже указывалось в главе 8, канторову пыль, к большому нашему сожалении, очень сложно изобразить непосредственно. Однако мы можем представить ее себе опосредованно, в виде пересечения троичной кривой Коха с ее основанием. Аналогичным образом можно опосредованно представить пыль Леви, На иллюстрации показаны черные полосы, напоминающие улицы и расположенные случайным образом; что особенно важно, их направления изотропны. Ширина «улиц» следует гиперболическому распределению и очень быстро уменьшается настолько, что их становится невозможно изобразить на рисунке. Площадь остаточного множества (участки белого цвета, или «кварталы») асимптотически приближается к нулю, а размерность D - к некоторой величине, меньшей 2.

Пока остаточные кварталы имеют размерность D>1, их пересечение произвольной прямой представляет собой пыль Леви с размерностью D−1. Если же D<1, то пересечение почти наверное является пустым множеством. Этот вывод, однако, не представляется очевидным, так как на рисунке невозможно отобразить сколько-нибудь поздний этап построения.

В главе 33 имеется более удачная иллюстрация. В случае, когда вычитаемые из плоскости тремы представляет собой случайным образом расположенные диски случайного размера, как показано на рис. 424 – 427, пересечения трема – фракталов с прямыми суть не что иное, как пыль Леви.

Рис. 399 и 400. Дьявольские лестницы поля Леви (размерность D=1; размерности множеств абсцисс ступеней раны, соответственно, D=9/10, D=3/10 и D=0,6309)

Эти графики представляют собой рандомизированные аналоги функции Кантора (иначе – чертовой лестницы) с рис. 125. Размерность наибольшей из этих лестниц Леви равна размерности Канторова оригинала; размерности двух оставшихся лестниц либо намного меньше, либо намного больше.

Для того чтобы построить лестницу Леви, рассмотрим абсциссу как функцию от ординаты. На первом этапе будем увеличивать абсциссу на некоторую случайную величину согласно распределению при всяком увеличении ординаты на величину Δy (в наших примерах Δy=0,002). На втором этапе масштабируем абсциссу так, чтобы лестница заканчивалась в точке (1,1). Количество ступеней в маленькой лестнице с D=0,3 кажется меньше из-за чрезвычайно сильной кластеризации абсцисс ступеней.

 

32 СУБОРДИНАЦИЯ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГАЛАКТИКИ

 

Центральной темой этой и следующей глав являются скопления галактик (эту тему мы уже затрагивали в главах 9, 22 и 23). Пользуясь известными методами, мы обобщим пылевидные множества из предыдущей главы на плоскость и пространство. В настоящее главе мы будем в основном заниматься пространственной пылью Леви. Следуя Бохнеру, мы введем эти фракталы посредством «обработки» броуновского движения по методу «субординации». Вдобавок к пыли Леви мы познакомимся с полетом Леви, представляющим собой нестандартное случайное блуждание. Начинается глава с неформального предисловия, посвященного кластерам случайного блуждания. Далее, путем обобщения на неслучайные структуры объясняется и обосновывается метод субординации. Утверждения, сделанные в предисловии, обосновываются в последнем разделе.

 

ПРЕДИСЛОВИЕ: КЛАСТЕРЫ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ

Цель моей ранней модели скопления галактик состояла в демонстрации распределения масс со следующими характерными особенностями: а) масса M(R), заключенная в сфере, центр которой совпадает с центром распределения, удовлетворяет соотношению , где D<2; б) распределение удовлетворяет условному космографическому принципу в его статистической форме.

Промежуточные остановки полета Рэлея. В качестве предварительного шага рассмотрим конструкцию, ни фрактальная, ни топологическая размерность которой не совпадает с размерностями скоплений галактик. Начиная с некоторой точки Π(0) в пространстве, ракета, выполняющая полет Рэлея, совершает прыжок в некотором изотропном случайном направлении. Длительность каждого прыжка составляет Δt=1, а расстояние U до следующей остановки Π(1) представляет собой случайную гауссову величину, удовлетворяющую условию . Далее ракета прыгает в точку Π(2) - такую, что величины

U1 =Π(1)−Π(0) и U2 =Π(2)−Π(1)

представляет собой независимые и тождественно распределенные векторы. И так далее.

Если предположить, что движение ракеты не ограничено ни началом, ни концом, следует добавить и предыдущие остановки Π(−1), Π(−2), .... Однако изменение направления течения времени никак не влияет на случайное блуждание, а следовательно, достаточно изобразить две независимые траектории с началом в точке Π(0).

След нашей ракеты (включая и «инверсионный след», который она оставляет при прыжках) представляет собой случайное множество. Таким же случайным множеством является и совокупность точек промежуточных остановок, рассмотренная без учета порядка их посещения. Оба множества следуют совершенно одинаковому распределению при рассмотрении с любой из точек Π(t). Согласно терминологии, введенной в главе 22, оба множества удовлетворяют условному космографическому принципу в его должной статистической форме.

Погрузка. Тождественно распределенные и статистически независимые массы приписываются случайным образом к каждой промежуточной остановке полета Рэлея, распространяя на массы условную стационарность.

Размерность D=2 . Широко известно, что расстояние, которое ракета Рэлея преодолевает за K прыжков, возрастает пропорционально √K. Вследствие этого количество остановок, оказавшихся внутри сферы радиуса R с центром в точке Π(t), выражается формулой . Показатель здесь находится в соответствии с тем, что размерность множества промежуточных остановок Π(t) составляет D=2. Глобальная плотность, в частности, обращается в нуль.

Броуновское движение. Интерполируя полет Рэлея в непрерывном времени, получаем броуновский след, который (см. главу 25) представляет собой непрерывную кривую с размерностью D=2. Таким образом, модель полета Рэлея является, в сущности, фрактальной кривой (DT =1, D=2), удовлетворяющей условному (а отнюдь не усиленному) космографическому принципу. Последнее заключение вполне удовлетворительно, однако значения DT и D неприемлемы.

Обобщенная плотность. Если нагрузить броуновский след между точками Π(t0 ) и Π(t) массой , то массу M(R) можно представить как произведение времени, проведенного ракетой внутри сферы радиуса R, на равномерную обобщенную плотность δ.

Расширение Вселенной. В рамках стандартных дискуссий исходное распределение имеет равномерную плотность δ. По мере равномерного расширения Вселенной плотность δ уменьшается, однако распределение остается равномерным. С другой стороны, общепринятое состоит в том, что любое другое распределение при расширении изменяется. Равномерно нагруженный броуновский след конструктивно показывает, что это заключение неверно: плотность δ, конечно же, изменяется при расширении, однако остается определенной и равномерной.

Таким образом, в вопросе о возможном расширении Вселенной, промежуточные остановки Рэлея занимают промежуточную позицию. Это свойство остановок сохраняется и в том случае, когда размерность D уменьшается при замене полета Рэлея на полет Леви, который мы сейчас и рассмотрим.

Промежуточные остановки полета Леви. Нецелочисленные размерности D<2 . Моя модель распределения галактик, основанная на случайных блужданиях, способна реализовать любую желаемую фрактальную размерность D<2 с помощью пыли, т.е. множества, топологическая размерность которого равна нулю. Для достижения этой цели я использую случайное блуждание, в котором математическое ожидание бесконечно, поскольку величина U представляет собой гиперболическую случайную величину с внутренним пределом при u=1. Так, при u≤1 вероятность , а при u>1 вероятность , где 0

Важнейшим следствием такого рассуждения можно считать соотношение , где R≫1. Именно этого соотношения мы, собственно, и добивались. Оно допускает любое значение D, какое только могут предложить теория или результаты наблюдений.

Отступление об устойчивости по Леви. При t→∞ масса, переносимая за временной интервал t (должным образом масштабированный), сходится к случайной величине, не зависимой от t; эта случайная величина была впервые исследована Полем Леви, и поэтому называть ее лучше всего «устойчивой по Леви» (см. главу 39). Отсюда, кстати, и термин «полет Леви», предложенный мною для обозначения процесса, лежащего в основе моей модели.

Поскольку , стандартная центральная предельная теорема здесь не годится, вместо нее следует применять специальную центральную предельную теорему. Эта замена влечет за собой довольно значительные последствия. Стандартная теорема «универсальна» в том смысле, что предел зависит только от величин и . Нестандартная теорема не является универсальной. Через показатель D распределение M(R) явным образом зависит от распределения прыжков.

В оставшейся части главы мы построим пыль, которая играет в отношении полета Леви ту же роль, какую броуновское движение играет в отношении полета Рэлея. Прямая интерполяция утомительно формальна, поскольку ей приходится придавать смысл распределению , применяемому вплоть до u=0, где оно расходится. Непрямой же подход может оказаться не только простым, но и точным, если использовать процесс субординации. Этот процесс представляет собой отдельный интерес и открывает пути для многочисленных очевидных обобщений.

 

ПОЛЕТ КОШИ И

D=1

Воспользуемся для представления процесса субординации наглядным примером. Если исходной кривой является броуновский след с размерностью D=2, то для получения размерности D=1 нам необходимо найти способ понизить D на единицу. Имея дело с классическими фигурами евклидовой геометрии, добиться такого понижения очень легко. В случае плоскости достаточно взять ее сечение прямой, в случае З – пространства – его сечение плоскостью, а в случае 4 – пространства - его сечение 3 – пространством. Из главы 23 нам известно, что то же правило годится и для случайных фрактальных творогов, а из главы 25 – что размерность броуновской функции из прямой в прямую равна 3/2, в то время как размерность ее нуль – множества и всех сечений, не перпендикулярных оси t, равна ½.

Расширив этот метод вычитания 1 из D по формальной аналогии, можно заподозрить, что должным образом выбранные сечения броуновского следа должны, как правило, имеет размерность 2−1=1. Это подозрение и в самом деле подтверждается (см. [148], с. 348). Более того, можно и нужно расширить упомянутый метод на плоские сечения следа в обычном 3 – пространстве и на трехмерные сечения следа в 4 – пространстве (обозначим его измерения через x, y, z и «юмор»).

Возьмем в качестве исходного броуновский след из прямой в 4 - пространство и рассмотрим точки, координата «юмор» которых равна 0. Можно представить, что эти «серьезные» точки порождаются в том порядке, в каком они посещаются соответствующим броуновским движением, и что расстояния между этими посещаемыми точками независимы и изотропны. Следовательно, серьезные точки можно рассматривать как промежуточные остановки случайного полета, правила построения которого существенно отличаются от правил построения броуновского движения. Такое блуждание мы будем называть движением (или полетом) Коши. При заданных моментах времени 0 и t плотность вероятности вектора из точки Π(0) в точку Π(t) представляет собой число, кратное значению выражения

.

Формальное допущение D=1 подтверждается в работах С. Дж. Тейлора [561, 562]. Полет Коши проиллюстрирован на одном из видов рис. 414.

 

ПОНЯТИЕ СУБОРДИНАЦИИ

Рассмотрим внимательнее построение из предыдущего раздела. Броуновское движение из прямой в E - пространство посещает «серьезные» точки в те моменты времени, когда одна из его координатных функций из прямой в прямую обращается в нуль. Но каждая из координатных функций представляет собой одномерное броуновское движение. Нуль – множества такой функции образуют множество с размерностью D=½ (см. главу 25); вдобавок ко всему из взаимной независимости межнулевых интервалов следует, что рассматриваемое нуль – множество есть линейная пыль Леви. Вывод: движение Коши есть не что иное, как отображение линейной пыли Леви на броуновское движение. Вспомните об очаровательном римском обычае под названием «децимация», заключавшемся в казни каждого десятого из некоторой недружественной группы людей, и вы увидите, что движение Коши – это результат своего рода фрактальной децимации. Первым этот процесс описал Бохнер [42], он же дал ему имя – субординация. (У Феллера [148] можно найти немало разрозненных, но весьма глубоких замечаний по поводу этого понятия.)

А пока заметим на будущее, что

Dследа Коши =Dброуновского следа ×Dброуновского нуль−множества .

 

СУБОРДИНАЦИЯ ПРИМЕНИМА И К НЕСЛУЧАЙНЫМ ФРАКТАЛАМ

Для более глубокого понимания природы фрактальной субординации применим ее к некоторым фрактальным кривым Коха и Пеано. (Как это ни странно, но настоящее обсуждение является, по всей видимости, первым случаем упоминания субординации и неслучайном контексте.)

Идея заключается в модификации посредством замены генератора (при неизменном инициаторе) не некоторое подмножество исходного генератора. Такая операция замещает предельное фрактальное множество (которое мы будем называть субординантом) на некоторое субординантное подмножество (или субординат). Рассмотрим сначала примеры, а затем введем весьма важное правило – правило умножения размерностей.

Пример с D<2 . Возьмем четырехзвенный генератор троичной кривой Коха (его мы применяли для построения фигуры на рис. 70). Если стереть второе и третье звенья, получится классический генератор троичной канторовой пыли (рис. 120). Таким образом, канторова пыль является субординантным подмножеством для трети коховой снежинки. Можно получить и другую субординантную пыль, не ограниченную прямой, если стереть, например, первое и третье из N=4 звеньев генератора Коха. В любом случае субординация изменяет размерность ln4/ln3 на ln2/ln3. Если стереть только одно звено генератора, то субординантная пыль не окажется подмножеством прямой, хотя ее размерность равна ln3/ln3=1.

Пример с D=2 . Возьмем четырехзвенную ломаную, получаемую на втором этапе построения кривой Пеано – Чезаро (рис. 98), и удалим второе и третье звенья. Новый генератор представляет собой не что иное, как сам интервал [0,1]! Таким образом, прямолинейный интервал является субординатом кривой Пеано – Чезаро (самым что ни на есть тривиальным!) Удалив иной набор из двух звеньев, получим фрактальную пыль с размерностью D=1. Удаление одного звена дает множество с размерностью ln3/ln2.

 

УМНОЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТЕЙ

В главах 6 и 7 мы упоминали о том, что кривые Коха и Пеано можно рассматривать как следы «движений», временной параметр t которых лежит в интервале [0,1]. Если в качестве примера взять генератор снежинки Коха, то это время определяется следующим образом: четыре звена генератора покрываются в те моменты времени, значения которых, разложенные по основанию 4, начинаются, соответственно, с 0, 1, 2 и 3. А, скажем, вторая четверть третьей четверти генератора покрывается в те моменты времени, значения которых, разложенные по основанию 4, начинаются с 0,21. Рассматриваемые в виде движений, кривые Коха и Пеано сами являются «фрактальными отображениями» интервала [0,1]. В этом смысле воздействие упоминаемой ранее децимации звеньев генератора заключается в том, чтобы удалить те значения t, которые содержат цифры 1 и 2 (или 0 и 3), ограничив тем самым параметр t значениями, принадлежащими определенной канторовой пыли на интервале [0,1].

Следовательно, мы можем охарактеризовать наши субординатные подмножества кривых Коха и Пеано как фрактальные отображения фрактального подмножества моментов времени. Совершенно очевидно, что такое подмножество представляет собой канторову пыль; назовем его субординатором. Его размерность равна lnN/lnN'=ln2/ln4=½. Обобщая, получаем следующее не требующее дополнительных объяснений соотношение:

Dсубордината =Dсубординанда ×Dсубординатора .

Это также обобщает и то соотношение, которое характеризует движение Коши. При рассмотрении сечений и пересечений мы уже встречались с суммами размерностей. Теперь же оказывается, что в нашем замечательном «исчислении» смысл имеют не только суммы, но и произведения размерностей.

Разумеется, это правило имеет исключения, аналогичные тем, которые являются исключениями из правила о сложении коразмерностей при пересечении.

 

ЛИНЕЙНАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ В РОЛИ СУБОРДИНАТОРА

Линейная пыль Леви из главы 31 была первым субординатором у Бохнера, и с тех пор чистая математика использует ее в качестве субординатора настолько широко, что соответствующую лестницу Леви часто называют устойчивой субординаторной функцией. Для получения подобных субординаторных множеств применяется самоподобный субординанд – такой, как броуновское или дробное броуновское движение.

Заметим, что, хотя для броуновского движения характерна размерность 2, броуновское движение, ограниченное прямой, имеет размерность 1. Следовательно, правило из предыдущего раздела принимает несколько иной вид

Dсубордината =min{E, 2×Dсубординатора }.

В общем случае для дробного броуновского движения характерна размерность 1/H, однако

Dсубордината =min{E, Dсубординатора /H}.

Таким образом, размерность E пространства, которое может быть полностью заполнено этим субординатным множеством, не превышает целой части числа 1/H.

Броуновское движение в роли субординанда. Наиболее значительным субординандом является броуновский след. Броуновское отображение моментов времени, ограниченных линейной пылью Леви с размерностью D/2, лежащей в интервале между 0 и 1, представляет собой пространственную пыль с произвольной размерностью D, лежащей в интервале между 0 и 2. Представляется уместным назвать такое отображение пространственной пылью Леви.

Учитывая, что и паузы пыли – субординатора, и приращения субординанда статистически независимы, можно предположить, что приращения процесса субординации также статистически независимы. А учитывая, что длины пауз субординатора удовлетворяют соотношению и что за время паузы продолжительностью ω броуновское движение пройдет расстояние порядка u=√ω, можно предположить, что паузы пространственной пыли, по всей видимости, удовлетворяют соотношению . Можно показать, что так оно в самом деле и есть.

 

УПОРЯДОЧЕННЫЕ СКОПЛЕНИЯ ГАЛАКТИК

Из формулы мы видим, что субординантная пыль реализует процесс, упомянутый в начале этой главы.

Размерности. Сама пыль имеет размерность D. Если отображения концевых точек каждой линейной паузы соединить интервалами, то получится след Леви; его размерность равна max(1,D) (такую же размерность мы получили, исследуя деревья в главе 16).

Корреляции. След Леви способен линейно упорядочивать порождаемые им галактики; при этом каждая галактика взаимодействует только со своими непосредственными соседями. Каждая же пара соседей ведет себя независимо от других пар. В этом смысле полет Леви сродни ничем не оправданной замене нерешаемой задачи N тел на вполне удобоваримую совокупность многих задач двух тел. Результат мог бы оказаться донельзя нереалистичным, однако не оказался. В работе [383] (полное описание которой можно также найти в монографии П. Дж. Э. Пиблса [467], с. 243 – 249) я показал, что полет Леви приводит к двух- и трехточечным корреляциям на небесной сфере, тождественным тем, которые были получены Пиблсом и Гротом в 1975 г. методом подбора; см. [467].

Рис. 409. В роли художника – ошибка в программе, опус 2

Авторство этой иллюстрации можно частично приписать ошибочному программированию. Ошибку вовремя распознали и исправили (после сохранения результата, разумеется!); конечным результатом вы можете полюбоваться на рис. 105.

Изменения, явившиеся результатом пустяковой ошибки в критическом месте, далеко превзошли наши наихудшие опасения.

Очевидно, что по замыслу в «правильном рисунке 105 должен был наличествовать весьма строгий порядок. Здесь этот порядок оказался скрыт от глаз, причем никакого другого порядка также не наблюдается.

То, что эта иллюстрация – по крайней мере, на первый взгляд – вполне может сойти за произведение высокого искусства, явно не случайно. Свои соображения на этот счет я вкратце высказал в [399] и намерен изложить их в полном виде в самом ближайшем будущем.

Рис. 410 и 411. Скопления галактик согласно ранней модели Мандельброта (размерность D=1,2600). Полет Леви и его промежуточные остановки

Полет Леви в грубом виде можно представить как последовательность скачков, разделенных остановками. Непосредственный интерес для нас в рамках этой главы представляют последние, однако и скачки являются необходимым элементом построения.

Например, изображенный на верхних (черных на белом) рисунках след движения включает в себя и «инверсионный след», оставляемый летящей ракетой. Трехмерный след показан с помощью двух его проекций на перпендикулярные плоскости. Оригинал можно представить, расположив страницы книги перпендикулярно друг другу.

Нижние рисунки (белые на черном) получены из верхних – в процессе исчезли отрезки, представляющие траектории скачков, а изображение было преобразовано в собственный негатив. Каждая промежуточная остановка символизирует собой звезду, галактику, либо просто некий обобщенный сгусток материи.

Говоря точнее, прямолинейные отрезки на верхних (черные на белом) рисунках имеют следующую особенность: их направление в пространстве случайно и изотропно (т.е. параллельно вектору, соединяющему начало пространственных координат с некоторой точкой, выбранной наугад на поверхности сферы). Различные отрезки статистически независимы, а их длины следуют распределению вероятностей , за исключением того, что при u<1. Значение D=1,2600 близко к значению D~1,23, найденному для реальных галактик.

Подавляющее большинство отрезков слишком малы, чтобы их можно было разглядеть. На самом деле мы просто накрыли плоскость однородной решеткой и отметили те ячейки, на которые приходились одна или более остановок. Иными словами, каждая точка представляет собой целый миникластер.

Кроме того, сами миникластеры также собираются в скопления, причем независимо от значения D. Они демонстрируют настолько ярко выраженные иерархические уровни, что трудно поверить в то, что в рассматриваемую модель не заложено никакой явной иерархии, кроме присущего ей изначального самоподобия.

Для дальнейшего развития темы следует упомянуть и о том, что на всех иллюстрациях в данной подборке представлены начала двух различных полетов, прямого и обратного, и что эти полеты суть не что иное, как две статистически независимые копии одного процесса. Если переместить начало координат в точку какой-либо другой остановки, то и новые половины процесса будут, по всей видимости, независимыми. Следовательно, все промежуточные остановки обладают абсолютно равными правами на звание Центра Мироздания. Эта особенность составляет сущность условного космографического принципа, провозглашаемого мною в настоящем эссе.

Рассматриваемый метод никоим образом не предназначен для объяснения действительного способа образования галактик, однако вполне справляется с продвижением моей основной идеи, заключающейся в том, что условный космографический принцип ничуть не противоречит явной иерархической кластеризации. Можно предложить очень много подобных конфигураций, причем самых разнообразных, пусть даже ни одна из них не окажется «сшита по мерке».

Рис. 412. Неслучайная субординация: кластеризованная фрактальная пыль с размерностью D=1; субординат кривой Коха с размерностью D=1,5

Метод рекурсии, лежащий в основе построения кривой Коха, можно модифицировать так, чтобы кривая систематически терпела разрыв, в результате чего мы получим пыль, обладающую той же размерностью, что и исходная кривая (D=1), но с совершенно иной топологией и внешним видом.

Представьте себе резиновую ленту, первоначально соединяющую концы интервала [0,1], а затем растянутую в виде кохова генератора, с помощью которого мы построили фрактальную кривую с размерностью 3/2 на рис. 81. теперь закрепим резиновую ленту в угловых точках и разрежем посередине каждый из восьми прямолинейных отрезков; получим 16 кусков резины, которые сократятся до своей исходной длины 1/16. Свободные концы этих кусков также закрепим и повторим процесс. Окончательным результатом будет иерархически кластеризованная пыль с r=1/16 и N=16, вследствие чего D=1.

Такой способ построения, по сути дела, позволяет нам заранее пометить все те звенья генератора, которые затем, на следующем этапе кохова построения, будут удалены. В тексте главы этот процесс называется субординацией. В итоге остаются лишь те точки, в которых оказывается движение Коха в моменты времени, принадлежащие некоторому подмножеству с фрактальной размерностью ln16/ln64=4/6. А то, что (4/6)×(3/2)=1, спишем на особый случай правила умножения размерностей, рассматриваемого в соответствующем разделе настоящей главы.

Заметим, что все точки изображенной здесь пыли неизменно упорядочены вдоль кривой Коха, подмножеством которой и является наш генератор. Кроме того, нетрудно найти частотное распределение длин, до которых сокращаются резиновые отрезки, между последовательно расположенными точками закрепления. Количество длин ≥u приблизительно пропорционально u−D , где D=1. Обратите внимание, что на рис. 410 и 411 то же частотное распределение дает совершенно иную картину.

Рис. 414. Понижение размерности D с помощью субординации. Разделение скоплений Леви

Степень кластеризации плоской пыли Леви зависит от ее размерности D. Этот эффект проиллюстрирован здесь путем обработки плоского броуновского следа (D=2) с помощью ряда последовательных субординаций Леви, каждая из которых (кроме первой) применяется к результату предыдущей. В конечном итоге получаем Dсубординатора =−1/6 =0,89, т.е. последовательность размерностей субординатных пылей имеет следующий вид: 1,78 (=2×0,89), 1,59; 1,41; 1,26; 1,12; 1; 0,89.

Лестницы Леви в правых нижних углах рисунков показывают, какую децимацию пришлось перенести временнóму параметру, чтобы мы могли получить соответствующую пыль из пыли с размерностью D=1,78. При D, близком к 2, еще вполне ясно можно различить «призрак» субординанда (непрерывного броуновского следа), однако при понижении D этот призрак тает прямо на глазах (см. главу 35). Рост кластеризации вызван не сгущением всех точек вокруг немногих центров, а всего лишь исчезновением многих точек, что приводит к росту количества видимых иерархических уровней.

Рис. 415. Пыль Леви с размерностью D=1,2600: крупные планы

Первый рисунок (вверху слева) представляет собой вид из квадратного иллюминатора отдаленного космического корабля на звездное скопление, состоящее из 12 500 000 промежуточных остановок движения Леви. Переход к следующему по часовой стрелке виду символизирует уменьшение расстояния от корабля до центра скопления в b=3 раза, соответственно уменьшается и размер поля зрения. Конструкция, видимая в иллюминатор, меняется в деталях, однако, в общем и целом остается неизменной. Это отнюдь не является для нас неожиданностью – рассматриваемое множество самоподобно.

Рис. 416. Круговой облет скоплений Леви с размерностью D=1,3000

Форма скоплений, образованных из остановок полета Леви в плоскости, очень сильно зависит от условий выборки, т.е. при построении большого количества моделей скоплений (пусть и с одинаковой размерностью) следует ожидать не меньшего разнообразия форм.

То же верно и для малого изолированного пространственного скопления Леви при рассмотрении его с различных сторон, что демонстрируют представленные здесь иллюстрации (начиная с верхней левой и далее по часовой стрелке).

 

33 КРУГОВЫЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕМЫ: ЛУННЫЕ КРАТЕРЫ И ГАЛАКТИКИ

 

Представив линейную пыль Леви в качестве трема – фрактала с помощью случайных трем в форме интервалов (глава 31), мы тут же (глава 32) свернули с намеченного пути в сторону и произвели обобщение этой пыли на плоскость и пространство с помощью процесса субординации. В настоящей же главе (и в следующей за ней) предпринимается попытка непосредственного обобщения случайных трем.

Плоские и пространственные тремы в этой главе представлены кругами и шарами, поэтому наше обобщение оказывается напрямую связано с формами лунных кратеров и метеоритов. Однако наиболее важное применение пространственных трем относится к несколько иной области и не так очевидно. При значении D, близком к 1, трема – фрактал представляет собой пыль и, следовательно, является потенциальным кандидатом на замещение совокупности промежуточных остановок полета Леви при моделировании скоплений галактик. Новизна по сравнению с основанными на случайных блужданиях моделями заключается, главным образом, в том, что галактики в такой модели не упорядоченны вдоль некоего следа. Отсюда получаем выигрыш в априорном правдоподобии и, как следствие, проигрываем в удобстве вычислений, однако, в конечном счете, новая модель все же побеждает благодаря лучшему соответствию реальности: предсказанные с ее помощью ковариантные свойства оказываются заметно ближе к результатам наблюдений. Несферические тремы (глава 35) улучшают соответствие еще больше.

 

ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТРЕМЫ

Прежде чем мы приступим к рассмотрению случайных и перекрывающих трем, опишем плоское створаживание на решетке (главы 13 и 14), используя понятие виртуальной тремы. Первый этап каскада заключается в выделении N из b2 квадратных ячеек для последующего сохранения их в качестве творогов. Иначе можно сказать, что на первом этапе вырезаются b2 −N квадратных трем. На следующем этапе вырезаются квадратные тремы второго порядка в количестве b2 (b2 −N), включая N(b2 −N) истинно новых трем и (b2 −N)2 «виртуальных» трем (которые и здесь удаляют то, что уже было удалено на предыдущем этапе). И так далее.

Пересчитав истинные и виртуальные тремы, мы обнаружим, что количество трем с площадью, превышающей некоторую величину s, пропорционально 1/s. Аналогичный вывод можно сделать и по отношению к створаживанию в 3 – пространстве: количество трем, объемы которых превышают некоторую величину v, пропорционально 1/v.

Бóльшая часть этой главы (и главы 35) посвящена рассмотрению случая, когда количество независимых трем, сосредоточенные в ячейке со сторонами dx и dy (или dx,dy и dz), представляет собой пуассоновскую случайную величину с ожиданием

,

.

Соответствующее ожидание в пространстве равно

(C/Ev)dx1 ,...,dxE .

Фрактальные свойства получаемого в результате трема – множества столь же просты, как и в линейном случае, рассмотренном в главе 31. При C<1 эти свойства можно вывести из свойств линейного множества; в предшествующих же эссе было высказано предположение, что упомянутые свойства остаются в силе при всех C. Это предположение получило подтверждение в работе [132].

При C>E трема – множество почти наверное окажется пустым. При C

Что касается топологии трема – фракталов, то, руководствуясь общими принципами, можно предположить, что трема – множество с размерностью D<1 есть пыль (DT =0). С другой стороны, при D>1 одних общих принципов недостаточно, и топология определяется формой тремы. Здесь снова возникает задача о перколяции, причем в ином, нежели раньше, фрактальном контексте.

 

ЛУННЫЕ КРАТЕРЫ И КРУГОВЫЕ ТРЕМЫ

Начнем с одного второстепенного вопроса, который обеспечит нас упрощенной двумерной подготовкой и сам по себе довольно занимателен: какова геометрическая природа множества, не занятого лунными кратерами? Хотя греки называли словом κρατηρчашу или иной сосуд для питья, большая часть кратеров на поверхности Земли имеет вулканическое происхождение. Большинство людей, однако, полагает, что кратеры, наблюдаемые на поверхности Луны, Марса, юпитерианского спутника Каллисто, а также других планет и их спутников образовались, преимущественно, в результате падений метеоритов.

Чем больше метеорит, тем шире и глубже оказывается образующийся при его ударе о поверхность планеты кратер. Кроме того, большой кратер, явившийся следствием падения тяжелого метеорита, может «стереть с лица планеты» несколько уже существовавших малых кратеров; с другой стороны, падение легкого метеорита вполне может оставить «зазубрину» на краю старого большого кратера. Что касается размеров кратеров, существуют достоверные эмпирические данные в пользу того, что площади кратеров (измеренные сразу же после удара метеорита о поверхность) следует гиперболическому распределению: количество кратеров, площади которых превышают s км2 , а центры расположены в пределах квадрата со стороной в 1 км2 , можно записать в виде C/s, где C - некоторая константа. За подробностями отсылаю к работам [411], [8] и [200] .

Для упрощения рассуждений (главный результат от этого не изменится) аппроксимируем лунную поверхность плоскостью, а лунные кратеры – тремами в форме кругов. Если бы Луна вечно захватывала метеориты из статистически инвариантного окружения, то каждая точка ее поверхности снова и снова оказывалась бы принадлежащей какому – либо кратеру, и так до бесконечности. С другой стороны, те или иные геологические процессы – такие, скажем, как выход на поверхность вулканической лавы – могут время от времени «стирать» кратеры, и в этом случае трема – множество, не покрытое на какой-то момент времени кратерами, может оказаться весьма нетривиальным. Кроме того, эволюция солнечной системы могла происходить таким образом, что бомбардировка Луны метеоритами заняла лишь какой-то конечный период времени. Параметр C может характеризовать либо время, прошедшее после последнего стирания кратеров, либо общую продолжительность бомбардировки.

Для оценки влияния параметра C на форму трема – фрактала попробуем изменить этот параметр, сохраняя инвариантной затравку. По мере увеличения C от 0 до 2 поверхность Луны становится все более насыщенной кратерами, а размерность D свободной от кратеров поверхности, согласно одному из выводов предыдущего раздела, уменьшается и достигает нуля при C≥2. Зависимость формы трема – фрактала от D проиллюстрирована на рис. 424 – 427.

Аппенцеллер и Эмменталер. При очень малых значениях параметра C наши фракталы представляются мне (думаю, многие любители швейцарских сыров со мной в этом согласятся) похожими на ломтики сыра, почти целиком испещренные очень маленькими, «булавочными» отверстиями. Можно назвать такую форму приблизительной экстраполяцией структуры аппенцелльского сыра. По мере увеличения C мы постепенно переходим к столь же приблизительной экстраполяции структуры другого сыра, эмментальского, для которого характерны большие, перекрывающие друг дружку отверстия.

(Вот так выясняется, что английский детский стишок о Луне, сделанной из зеленого сыра, является истинным отражением реальности – за исключением, пожалуй, цвета.)

Топология. Критические значения D . Обе упомянутые выше экстраполяции могут быть лишь приблизительными, поскольку площадь трема – фрактальных «ломтей сыра» приближается к нулю. Выскажу предположение: пока параметр C достаточно мал, трема – фрактал представляет собой σ - кластер, каждый из контактных кластеров которого имеет вид переплетения связанных между собой нитей с топологической размерностью DT =1. Когда размерность D достигает определенного критического значения Dкрит, размерность DT падает до нуля и σ - паутина коллапсирует в пыль.

Следующее критическое значение D=0. При C>2 поверхность Луны перенасыщена кратерами – любая из ее точек почти наверное принадлежит, по меньшей мере, одному кратеру. Так, в частности, обстояло бы дело, если бы поверхность Луны никогда не очищалась от кратеров и продолжала бы бесконечно принимать на себя удары метеоритов.

Немасштабируемые кратеры. Плотность кратеров, покрывающих поверхности некоторых других планет (наша Луна в их число не входит), характеризуется выражением вида Ws−γ , где γ≠1. С задачей, которую ставят перед нами такие кратеры, мы разберемся в приложении к настоящей главе.

Рис. 424 и 425. Малые круговые тремы (белые) и случайные «швейцарские сыры» (размерности D=1,9900 и D=1,9000)

Тремы на этих иллюстрациях представлены в виде белых кругов. Их центры распределены на плоскости случайным образом. Площадь круга ранга ρ равна K(D−2)/ρ; выбор числовой постоянной осуществляется, исходя из соображений соответствия трема – модели, описанной в тексте главы. На рис. 424 мы видим нечто похожее на сыр аппенцеллер в разрезанном виде (размерность черной области D=1,9900), поверхность же, изображенная на рис. 425, напоминает об эмментальском сыре (размерность черной области D=1,9000).

Рис. 426 и 427. Большие круглые тремы (черные) и случайные разветвленные белые нити (размерности D=1,7500 и D=1,5000)

Построение этих фигур сходно с построением фигур, изображенных на рис. 424 и 425, только здесь тремы черные, а их площадь больше (настолько больше, что свободного места почти нет). Под D подразумевается размерность белой фрактальной области, оставшейся невырезанной.

 

ГАЛАКТИКИ И МЕЖГАЛАКТИЧЕСКИЕ ПУСТОТЫ, ПОСТРОЕННЫЕ С ПОМОЩЬЮ СФЕРИЧЕСКИХ ТРЕМ

Хотя круговые тремы с некоторых пор обрели независимое и общепризнанное существование в виде лунных кратеров, шарообразным тремам с масштабно-инвариантным распределением приходилось поначалу довольствоваться ролью естественного приложения этого же геометрического приема к пространственному случаю. Я предположил, что шарообразные тремы смогут явиться основой для построения галактической модели, альтернативной той, что описана в главе 32. Тем самым я постулировал существование межгалактических пустот, объединяющих в себе большое количество трем и способных достигать очень больших размеров. Хорошее соответствие реальности, продемонстрированное получившейся моделью, оказалось весьма приятным сюрпризом и потребовало дальнейших теоретических (см. главу 35) и экспериментальных изысканий.

Ковариантности. Так как статистики и физики имею обыкновение доверять корреляциям и спектрам, первое испытание трема – фракталов в роли моделей скоплений галактик опирается на их корреляционные свойства. Ковариантность между двумя точками в пространстве оказывается такой же, как и в модели, основанной на случайных блужданиях, - в этом нет ничего удивительного, так как последняя модель хорошо согласуется с данными наблюдений. То же верно (как, собственно, и должно быть) и для ковариантности между двумя направлениями в небесах. Предсказываемые данной моделью ковариантности между тремя и четырьмя направлениями соответствуют реальности лучше, чем те, что дает модель случайных блужданий, однако улучшения носят чисто технический характер, и их рассмотрение едва ли отвечает нашим целям и задачам. В сущности, при определенном значении D различные модели дают одинаковые корреляции.

А теперь вспомним о том, что гауссовы феномены, включая броуновские и дробные броуновские фракталы, полностью характеризуются своими ковариантностями. Если же упомянутые феномены масштабно - инвариантны, то они полностью характеризуются размерностью D. Учитывая влияние гауссовых феноменов на мыслительные процессы, происходящие в головах статистиков, возникает сильное искушение остановиться на ковариантностях. Однако фрактальная пыль не является гауссовым феноменом, а ее размерность D оказывается неспособной описать многие важные ее свойства.

Критические размерности. Необходимо разобраться еще с одним вопросом, более фундаментальным, чем корреляция: обладают ли трема – фракталы соответствующей топологией? Для этого лучше всего воспользоваться уже испытанным в предыдущем разделе способом: Будем увеличивать значение параметра C от 0 до 3, сохраняя затравку неизменной. Пока значение C мало, DT =2, а наш фрактал представляет собой совокупность разветвленных вуалей. Когда значение D пересекает определенную границу D2 крит , называемую верхней критической размерностью, вуали распадаются на нити с топологической размерностью DT =1. Когда же значение D пересекает некоторую меньшую границу Dкрит (нижняя критическая размерность), нити расползаются в пыль (DT =0) . Поскольку для моделирования скоплений галактик необходима именно пыль, важно удостовериться, что размерность Dкрит превышает известную из наблюдений величину D~1,23. Результаты проведенного мною компьютерного моделирования подтверждают соблюдение этого неравенства.

Перколяция. Надежда на то, что наш мир не более сложен, чем это необходимо, побуждает меня поверить, что условие D>Dкрит является необходимым и достаточным условием для перколяции на трема – фрактале (в смысле, описанном в главе 13).

 

МЕТЕОРИТЫ

Распределение масс падающих на Землю метеоритов исследовано достаточно тщательно (например, в [206]). Метеориты средних размеров состоят из камня, и 1 км3 пространства содержит приблизительно P(v)=10−25 /v метеоритов, объемы которых превосходят v км3 .

Обычно это утверждение выражают несколько иначе, пользуясь при этом довольно путаными единицами измерения: каждый год каждый квадратный километр поверхности Земли принимает на себя удар (в среднем) 0,186/m метеоритов, масса каждого из которых превышает m граммов. Поскольку средняя плотность метеоритов в более согласованных единицах, сводится к 5,4⋅10−17 /v метеоритов, объемы которых превосходят v км3. Кроме того, земля движется по орбите со скоростью, составляющей приблизительно 1 км за 10−9 лет – величина, обратная порядку длины траектории движения Земли вокруг Солнца, выраженному в километрах. Таким образом, пользуясь согласованными единицами измерения и округляя значения величин до их порядков (т.е. записывая 10 вместо 5,4), мы приходим к следующему выводу: за то время, пока Земля проходит в пространстве путь длиной в 1 км, на каждый квадратный километр ее поверхности приходится по 10−25 /v метеоритов, объемы которых превосходят v км3. Полагая, что метеориты, сталкивающиеся с Землей по мере ее продвижения в пространстве, представляют собой репрезентативную выборку распределения метеоритов в этом самом пространстве, получим заявленный ранее результат.

Этот закон (10−25 /v) формально идентичен закону C/s для лунных кратеров, однако имеется и различие: кратеры могут перекрывать друг друга, тогда как метеориты такой способностью не обладают.

Тем не менее, забавно понаблюдать, что получится, если приравнять объем v в соотношении P(v)=10−25 /v к нулю и предположить, что метеориты – страшно подумать! – способны перекрывать друг друга. Если добавить сюда же невинное допущение о сферической форме метеоритов, то интересующее нас трема – множество можно будет изучать непосредственно (не прибегая к результатам, полученным в работе [132]). Сечения заполненного метеоритами пространства прямыми, случайным образом проведенными в этом пространстве, представляет собой линейные тремы, и можно показать, что количество таких интервалов, центры которых находятся внутри километрового промежутка, а длины превышают u км, равно C'⋅10−25 /v. (C' - численный коэффициент порядка 1, которым в данном контексте можно пренебречь.) Следовательно, согласно одному из выводов главы 32, размерность линейного сечения трема – множества составляет 1−10−25 . Возвращаясь от линейных сечений к исходной фигуре, прибавим к этому соотношению 2 и получим 3−D=10−25 .

Этот результат – бессмыслица, так как он подразумевает, в частности, что метеориты почти заполняют пространство, несмотря даже на то, что им позволено перекрывать друг друга. Тем не менее, коразмерность 3−D=10−25 заслуживает еще одного взгляда. Допустим в первом приближении, что значение отношения 10−25 /v удерживается на уровне некоторого положительного порога η>0 и что не существует метеоритов меньшего размера. Согласно вкратце набросанному нами рассуждению, верно следующее: если и в самом деле возможно перейти к пределу η→0, то множество, свободное от метеоритов, сойдется при этом к трема – множеству с размерностью D=3−10−25 . К счастью, схождение к этому предельному множеству происходит чрезвычайно медленно, - настолько медленно, что на наблюдаемом интервале способность метеоритов к перекрытию не составляет никакой проблемы. Но – к сожалению – значение D в этом случае лишено какой бы то ни было практической значимости.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ: НЕМАСШТАБИРУЕМЫЕ КРАТЕРЫ

С учетом поставленной задачи распределение кратеров на поверхности Луны лучше всего описать в виде , где γ=1. Такое же значение показателя γ верно, по всей видимости, и для Марса, однако спутники Юпитера характеризуются иными значениями γ (см. [531]). Ну а для метеоритов малого объема γ<1. Соответствующие трема – множества не являются масштабно-инвариантными.

Случай γ>1 . В первом немасштабируемом случае на любую заданную точку поверхности планеты, независимо от значения W, почти наверное приходится бесконечное количество кратеров. В текстуре поверхности наблюдается подавляющее преобладание малых кратеров. Подобная текстура характерна для поверхности Юпитера Каллисто, а показатель γ в этом случае действительно больше единицы. Неравенство γ>1 рассматривалось и в предыдущих эссе, увидевших свет еще до полета «Вояджера», хотя тогда мы могли обсуждать его лишь в качестве теоретической возможности.

Случай γ<1 . Ограничение на площадь кратеров. Обозначим наибольшую площадь через 1; тогда вероятность того, что некая точка не попадет ни в один из существующих кратеров, положительна, поскольку сходится интеграл , но уменьшается при увеличении W. Получаемая при этом щербатая поверхность даже больше похожа на срез головы швейцарского сыра, чем рассмотренные ранее масштабно-инвариантные множества. Чем больше значение γ, тем меньше количество малых отверстий, и тем более «цельным» становится получаемый сыр. Однако, независимо от γ, площадь поверхности остается положительной, т.е. поверхность представляет собой множество (несамоподобное) с размерностью 2. С другой стороны, я не сомневаюсь в том, что его топологическая размерность равна 1, а это означает, что перед нами фрактал.

В пространственном (метеоритном) случае размерности этого трема – фрактала составляют, соответственно, D=3 и DT =2.

 

34 ТЕКСТУРА: ПУСТОТЫ И ЛАКУНАРНОСТЬ, ПЕРИСТОСТЬ И СУККОЛЯЦИЯ

 

Понятие текстуры имеет склонность просачиваться между пальцами; математики и другие ученые стремятся его избегать, потому что оно никак не дается им в руки. Инженерам и художникам избежать его не удается, но в большинстве случаев не удается и справиться с ним ко всеобщему удовлетворению. Существуют, однако, многочисленные указания на то, что некоторыми отдельными аспектами понятия текстуры мы сможем вскоре овладеть на количественном уровне.

В сущности, большую часть фрактальной геометрии можно представить как своего рода неявное изучение текстуры. В этой и в следующей главах мы попытаемся явным образом рассмотреть два конкретных аспекта текстуры, уделяя особое внимание скоплениям галактик. Некоторые замечания о текстуре можно было поместить и в более ранние главы, начиная с 8–й и 9–й, однако мне показалось более предпочтительным собрать все, связанное с текстурой, в одном месте (пусть даже и ценой прерывания дискуссии о тремах!)

Как уже неоднократно упоминалось, мои поиски модели скоплений галактик шли поэтапно. На ранних этапах, описанных в главах 32 и 33, я добился желаемых значений размерности D, сохранив при этом согласие с условным космографическим принципом. На поздних этапах, описанных в главе 35, достигнуто, ко всему прочему, и соответствие текстуры.

В этой главе несколько вводных разделов: в них представлены основные результаты наблюдений галактик, благодаря которым мне открылось различие между двумя аспектами текстуры, названными мною лакунарностью и сукколяцией. Латинское слово lacuna обозначает «пустое место, пробел», т.е. если фрактальное множество содержит достаточно большие пустоты (длинные интервалы, круги или шары большого диаметра), то мы вправе назвать его лакунарным. Сукколяционным же мы назовем фрактал, который содержит «почти» достаточное количество нитей, необходимых для осуществления перколяции; исходя из того, что латинское слово percolare означает «протекать насквозь» (глава 13), я придумал достойный, как мне кажется, неолатинский неологизм succolare (т.е. sub - colare), который означает «протекать почти» или «недопротекать».

В остальной части главы мы введем некоторые меры лакунарности; что касается мер, характеризующих степень сукколяции, то они оказываются за рамками нашего элементарного повествования.

В главе 35 показано, как можно управлять лакунарностью и сукколяцией с помощью трем.

До сих пор главная роль при измерении фракталов была отведена топологической и фрактальной размерностям. Глава 14 явилась исключением (оставшимся, впрочем, без последствий), поскольку порядок ветвления определяет иные, более тонкие, различия между фракталами с одинаковыми размерностями DT и D. Мы повидали много различных выражений вида

префактор×(величина)показатель ,

однако до сих пор нас интересовал только показатель. Теперь же, если мы хотим разобраться с тем, что скрывается за понятием текстуры, нам придется обратить внимание и на префактор. Раз уж мы не можем игнорировать его и дальше, вряд ли нам стоит удивляться тому, что и Природа (наука), и человеческая мысль (математика) оказываются сложнее, чем представляется на первый взгляд!

 

«ПЕРИСТЫЕ» НИТИ ГАЛАКТИК

В 1974 году, в Париже, после моей первой лекции, посвященной описанной в главе 32 модели, мое внимание было привлечено к одному таинственному открытию. В своей модели я тогда пытался достичь одной – единственной цели – получить заданное значение размерности D в некотором фрактальном множестве (по правде говоря, в то время я еще не додумался до термина фрактал). Однако во время обсуждения лекции некий оставшийся неизвестным астроном указал мне на еще один, весьма неожиданный, момент, добавляющий модели правдоподобия: в моих построениях точки нередко оказывались выстроенными вдоль почти прямых линий; обобщив результаты, можно заметить, что точки, как правило, рассыпаются вдоль довольно узких «почти – потоков» или «почти – нитей». Так вот, упомянутый астроном сообщил мне, что галактики обладают тем же свойством и даже в более ярко выраженной форме, а при внимательном рассмотрении такой галактический «почти – поток» распадается на более тонкие «почти – потоки». Кроме того, астроном подчеркнул, что термин поток в данном случае не годится, поскольку интересующие нас структуры несвязны.

Желая избежать путаницы в терминологии и подыскивая подходящее слово, я вдруг вспомнил о перистых облаках (так метеорологи называют высокие полупрозрачные «кружевные» облака) и пометил для себя, что галактики имеют перистую структуру и что следует усовершенствовать модель таким образом, чтобы эта перистость проявилась более явно.

Лишь спустя некоторое, довольно значительное, время я действительно обнаружил упоминания об этом феномене в научной литературе: в 1937 г. Томбо наблюдал «перистые» структуры в сверхгалактике Персея, а в 1950 гг. де Вокулер сообщил о наличии таких структур в нашей и Южной сверхгалактиках. Дальнейшие подтверждения я нашел в статье Питерсона [471] (о каталоге Цвикки), в работе [242] и в докладе Сонейры и Пиблса, сделанном в 1978 году (относительно каталога Ликской обсерватории, подготовленного Шейном и Виртаненом, см. [467]).

 

ПЕРИСТЫЕ ФРАКТАЛЫ

Очевидно, перистые структуры могут присутствовать в неслучайной фрактальной пыли, но совсем не обязаны этого делать. Например, в модели Фурнье (глава 9), порождающей совокупность «сосредоточенных масс», такие структуры напрочь отсутствуют. Напротив, если взять ковер Серпинского из главы 14 и разъединить его генератор (не проявляя излишней жестокости), то можно легко получить всевозможные перистые структуры. Поскольку размерность получаемого при этом фрактала может принимать, в сущности, любое значение, хочу еще раз подчеркнуть: перистость никак не связана с размерностью. Как бы то ни было, намеренно внесенные неслучайные перистые структуры выглядят слишком искусственно, чтобы на них стоило обращать особое внимание.

Вот почему мне показалось весьма знаменательным то обстоятельство, что в случайных моделях при значении D, достаточно близком к 2, присутствуют непредусмотренные, но ясно различимые перистые структуры.

Это наблюдение подвигло меня на более тщательное изучение других семейств случайных фракталов. Особо очевидные и интересные конфигурации можно наблюдать на иллюстрациях после главы 28 и на рис. С17, где острова, многие их которых объединяются в архипелаги, имею форму атоллов чаще, чем какую-либо другую.

 

ОЖИДАЕМАЯ ПЕРИСТОСТЬ «ПОЧТИ» ПЕРКОЛЯЦИОННЫХ ФРАКТАЛОВ

На рис. 426 и 427 хорошо видно, что во фракталах, построенных путем удаления случайных круглых трем (как описано в главе 33), наличествует ярко выраженная перистая структура. Для этого достаточно, чтобы размерность фрактала была близка к критической размерности перколяции Dкрит, оставаясь «чуть ниже» ее. В данном случае причина возникновения перистой структуры очевидна. Представим себе последовательность фрактальных множеств, каждое из которых вложено в своего предшественника, а размерность D каждого последующего множества уменьшается, становясь в конце концов меньше Dкрит. Известно, что топологическая размерность может измениться – скажем, уменьшиться с 1 до 0 – лишь дискретно, однако эта дискретность способна изменяться непрерывно. Например, размытая картинка, полученная путем замены каждой ее точки на шар радиуса ρ, изменяется непрерывно. Такую несфокусированную картинку можно назвать «потокообразной» - не толь при D>Dкрит, но и тогда, когда разность Dкрит−D положительна (и невелика).

Отметим, что размерность Dкрит можно считать определенной и для фракталов, описанных в главе 32, только в этом случае ее значение вырождено и равно maxD=2.

 

НАБЛЮДАЕМАЯ ЛАКУНАРНОСТЬ ГАЛАКТИК

Вот и второй скелет загремел костями в шкафах большинства моделей распределения галактик. Во избежание завистливой (даже если она и справедлива) критики авторов этих самых моделей, рассмотрим какую-либо из моих собственных ранних моделей, проанализированных в главах 32 и 33. При значении размерности D, близком к экспериментальному (D~1,23), показанные на иллюстрациях ограниченные участки пространства имеют, на первый взгляд, вполне достойный вид. Однако карты всего небесного свода, построенные на основании упомянутых моделей, оказываются совершенно неверными. Пустоты на этих картах включают в себя огромные области (покрывающие подчас более десятой части всего небосвода), абсолютно лишенные галактик в пределах любого заданного расстояния. В противоположность нашим картам, настоящие карты звездного неба (например, карта, составленная в Ликской обсерватории, см. [467]) выглядят весьма однородными, или изотропными – если, конечно, не рассматривать их отдельные участки в особо крупном масштабе. В таких случаях я говорю, что небосвод характеризуется низкой лакунарностью, тогда как в моих моделях лакунарность довольно высока.

«Очевидное» космологическое следствие. Это последнее обстоятельство где-то в начале 1970 гг. чуть было не ввело меня в соблазн неверной интерпретации картины звездного неба – такой, будто его размерность D представляет собой величину гораздо большую, нежели предложенное де Вокулером значение D~1,2 [104]. Насколько мне известно, ученые – космологи преклоняются перед идеей об однородной Вселенной и полагают, что на расстояниях, превышающих некоторый малый внешний порог; во Вселенной преобладает однородность (с размерностью D=3). Им ничего не стоит поспешить с выводами и счесть вышеописанное несоответствие подтверждением мнения, согласно которому фракталы с размерностью D~1,23 пригодны для описания лишь малой области Вселенной.

Лакунарность есть параметр, отличный от размерности D . По правде говоря, я намерен показать, что при изменении видимой лакунарности часто бывает возможно сохранить неизменной размерность D фрактала. Основная идея проиллюстрирована на рис. 439 с помощью двух весьма различных на вид ковров Серпинского с одинаковой размерностью D. Тот, что слева, демонстрирует бóльшие пустоты и является более лакунарным – как на первый взгляд, так и в соответствии с мерами, которые я вам вскоре представлю.

Истинное космологическое следствие. Напрашивающееся заключение о том, что наблюдаемая низкая лакунарность предполагает «малый» внешний порог Ω, является, возможно, слишком поспешным. Адвокат дьявола готов в жарких дебатах отстоять свои убеждения, согласно которым «мелкомасштабные» свидетельства в пользу размерности D~1,23 и «крупномасштабные» свидетельства в пользу почти полной изотропии вовсе не являются несовместимыми с должным образом построенной фрактальной моделью, в которой Ω=∞ . Его цель в этих дебатах заключается не в доказательстве ложности неравенства Ω<∞, но лишь в демонстрации того, что определение Ω требует дополнительных данных и большей тщательности.

 

ЛАКУНАРНОСТЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Вопрос о величине внешнего порога Ω не обошел стороной и исследователей турбулентности. В главе 10 упоминалось о том, что, согласно Ричардсону [491], значение Ω в атмосфере чрезвычайно велико, тогда как большинство метеорологов полагают его малым. Таким образом, бóльшую часть замечаний из предыдущего раздела можно после некоторой модификации отнести и к турбулентности.

Ввиду отсутствия активных и громогласных поборников истинности равенства Ω=∞, в теории турбулентности этот вопрос стоит не так остро, как при изучении распределения галактик, поэтому мне представляется более удобным рассматривать его именно в последнем контексте.

 

ЛАКУНАРНОСТЬ КАНТОРОВОЙ ПЫЛИ

Понятие лакунарности (в отличие от понятия сукколяции) имеет смысл и на прямой, а значит, подтверждение приведенных в предыдущих разделах положений проще всего получить на примере линейной пыли. Из главы 8 нам известно, что размерность D канторовой пыли C на интервале [0,1] может достигать любого значения между 0 и 1 (исключая границы) самыми различными способами и что результаты совсем не обязательно выглядят похожими друг на друга.

Это верно даже тогда, когда C разбивается на некоторое заданное количество N равных частей. В самом деле, значения D и N определяют общую для всех частей длину r=N−1/D , но никак не ограничивают их размещения внутри интервала [0,1]. Как следствие, одинаковые значения D и N (а значит, и r) могут соответствовать значительно отличающимся друг от друга распределениям частей.

Можно представить себе два крайних случая такого распределения. В первом случае все части собираются в две кучи, ограниченные, соответственно, 0 и 1. В середине при этом получается большой пустой промежуток, относительная длина которого 1−Nr=1−N1−1/D очень близка к единице. Примером такого множества может служить горизонтальное среднее сечение левого ковра Серпинского на рис. 439. В сущности, тот же эффект достигается размещением длинного пустого промежутка в любом месте интервала [0,1].

В другом крайнем случае N частей разделяются N−1 пустотами одинаковой длины (1−Nr)(N−1). Примером может служить горизонтальное среднее сечение правого ковра Серпинского на рис. 439. При случайном створаживании длины пустот почти одинаковы.

При N≫1 результат первого «крайнего» построения выглядит как несколько точек, имитируя тем самым размерность D=0, тогда как во втором крайнем случае результат построения похож на «полный» интервал (размерность D=1). Можно, разумеется, сымитировать любую размерность между этими двумя крайними значениями, просто выбирая для N−1 пустот соответствующую совокупность интервалов, относительная длина которых составляет в сумме 1−Nr.

Различие между крайними случаями возрастает пропорционально увеличению значений N, 1/r и b. По внешнему виду минимально лакунарного фрактала с большим значением N довольно сложно определить его фрактальную размерность. При малых же значениях N сделать это очень легко. Таким образом, угадывание размерности D по одному лишь внешнему виду фрактала имеет свои ограничения. Занятие это ни в коем случае не является пустым времяпровождением (и мы совсем недаром посвятили ему столько места в предыдущих главах), однако в случае галактик оно приводит к неверным результатам.

Некоторую ясность в этот вопрос вносит по необходимости «изгнанный» в главу 39 раздел, посвященный нелакунарным фракталам. При ближайшем рассмотрении оказывается, что основной характеристикой нелакунарного фрактала является его размерность подобия (которая, как мы убедимся, равна 1), а вовсе не хаусдорфова размерность. Здесь эти две размерности отличны одна от другой, причем последняя является более уместным воплощением фрактальной размерности.

 

N≫1

И

D>1

: ПУСТОТЫ ИЛИ ПЕРИСТОСТЬ

При N≫1 и D>1 разумный выбор генератора может привести к одному из следующих четырех результатов: высокой лакунарности, низкой лакунарности, перистости, произвольно близкой к перколяции, либо полному отсутствию перистости. Таким образом, введенные нами два аспекта текстуры могут, в принципе, варьироваться независимо друг от друга.

 

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕРЫ ЛАКУНАРНОСТИ

За то короткое время, что я занимаюсь лакунарностью, мною обнаружено несколько различных, но равно достойных рассмотрения подходов к ее исследованию. К сожалению, не приходится ожидать, что получаемые при применении упомянутых подходов альтернативные меры окажутся монотонными функциями друг от друга. Они представляют собой вещественные числа, выбранные для представления формы кривой и, как следствие, сродни таким понятиям, как «средний человек» и «типичное значение случайной величины». Типичные значения являются неопределенными по самой своей природе – что есть печальный, однако непреложный факт (невзирая на решимость многих статистиков пожертвовать всем во имя защиты своих любимцев).

 

ПРЕФАКТОР РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУСТОТ

Представляется весьма удобным измерять степень лакунарности канторовой пыли по относительной длине наибольшего пустого промежутка. В плоских же фигурах (таких, например, как представленные на рис. 439) лакунарность, с достаточной степенью точности, обратно пропорциональна отношению периметра тремы к квадратному корню из ее площади. Можно, однако, вывести и более многообещающий способ измерения лакунарности, и источником его послужит распределение размеров пустот.

Из главы 8 нам известно, что длины пустот канторовой пыли удовлетворяют соотношению в том смысле, что зависимость , рассматриваемая как функция от lnu, имеет график правильной ступенчатой формы. В настоящем обсуждении мы не намерены вносить какие-либо изменения в последний результат, за исключением того, что на первый план здесь выходит префактор F, которому ранее не придавалось особого значения.

Приходится признать, что данное нами определение F несколько произвольно. Можно, например, считать, что значение F относится к линии, соединяющей левые концевые точки ступеней лестницы, правые концевые точки или же средние точки. К счастью, подобные детали не имеют здесь никакого значения. По мере роста лакунарности величина префактора уменьшается, как бы мы его ни определили (в разумных пределах, конечно же). То же верно и для масштабных коэффициентов объемов и площадей, относящихся к коврам Серпинского и фрактальным пенам. Во многих случаях рост степени лакунарности происходит из-за схлопывания многих пустот в один – единственный пустой промежуток бóльшего размера. При этом график ступенчатой функции «скользит» в направлении на 4 ч 30 мин, т.е. в направлении, более крутом, чем общий наклон лестницы −D/E, вызывая тем самым вышеупомянутое уменьшение F.

Таким образом, мы видим, что в пределах довольно обширного (и все же особого) класса фракталов, куда входят канторовы пыли и ковры Серпинского, лакунарность можно измерить (а стало быть, и определить) с помощью префактора F.

Применимость этого определения, однако, весьма ограничена. Оно не годится уже для случая, когда в середину большого центрального медальона ковра помещается другой, меньший, ковер. Следовательно, нам необходимо отыскать альтернативные определения. Самым подходящим представляется замена F более широко применимым префактором из соотношения .

 

ЛАКУНАРНОСТЬ КАК ЭФФЕКТ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОТНОСИТЕЛЬНО МАССОВОГО ПРЕФАКТОРА

Для описания нерекурсивно построенных фракталов (например, случайных фракталов) нам необходимы какие-то иные способы определения лакунарности. Способы, описанные в этом и следующем разделах, представляет собой всего лишь статистические усреднения (даже в случае неслучайной канторовой пыли).

Рассмотрим для начала канторовы пыли, представляющие собой горизонтальные сечения двух фигур, изображенных на рис. 439. Положим общую массу каждой пыли равной 1 и рассмотрим массу, содержащуюся в различных подынтервалах одинаковой длины 2R=2/7. В левом, более лакунарном, примере эта масса изменяется в довольно широких пределах (от 0 до ½), тогда как в менее лакунарной фигуре справа изменения массы происходят лишь в небольшой окрестности некоторого среднего значения. К сожалению, в случае регулярной канторовой пыли весьма сложно точно вычислить распределение масс; в этом смысле гораздо удобнее рассмотреть более простой случай полностью случайной канторовой пыли .

Предположим, что пыль пересекает интервал [0,1], и обозначим ожидаемую в этом интервале массу через (W) (причина такого обозначения вскоре прояснится). Если выбрать внутри интервала [0,1] некий малый интервал , то ожидаемая в этом интервале масса будет равна, как и полагается, 2R(W). Однако, исключив малоинтересные случаи, где масса обращается в нуль, мы обнаружим, что ожидаемая масса возросла до 2rD (W). Ее значение зависит теперь от D - и ни от чего другого. (это означает, что вероятность пересечения нашей пылью интервала [0,1] равна (2R)1−D .) Иными словами, саму массу можно записать в виде W(2R)D , где W - некоторая случайная величина: иногда большая, в других случаях малая, но в среднем равная (W), независимо от степени лакунарности.

Копнем теперь глубже и выясним, насколько сильно действительные значения W/(W)−1 отличаются от нуля. Общепринятой мерой такого отклонения является ожидаемое значение выражения второго порядка (W/(W)−1)2 , записываемое как . В тех случаях, когда невооруженным глазом видна низкая лакунарность фрактала, значение лакунарности второго порядка также мало, когда же степень лакунарности фрактала очевидно высока, значение лакунарности второго порядка велико. Таким образом, величину (W/(W)−1)2 можно считать кандидатом в определители лакунарности. Имеются и достаточно привлекательные альтернативные варианты (например, ), однако они гораздо сложнее в оценке, нежели средний квадрат.

Подведем итоги: мы вышли за рамки соотношения «масса пропорциональна RD » и обратили отдельное внимание на префактор пропорциональности массы величине RD . Отметим также, что понятие лакунарности не имеет ничего общего с топологией и касается лишь различий во фракталах при одинаковом значении D; возможность ее использования для сравнения фракталов с разными размерностями остается пока неисследованной.

 

ЛАКУНАРНОСТЬ КАК ЭФФЕКТ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ОТНОСИТЕЛЬНО МАССОВОГО ПРЕФАКТОРА

Альтернативный подход к лакунарности связан с распределением массы в интервале при условии, что средняя точка 1+R интервала принадлежит пыли . Из этого условия следует, что интервал пересекает , однако обратное утверждение не обязательно истинно: если интервал пересекает , то его средняя точка 1+R не обязательно принадлежит . При таком, более строгом, условии ярче выраженной становится тенденция к устранению тех случаев, где масса оказывается значительно ниже среднего; в результате увеличивается ожидаемая масса. Иными словами, мы заменяем W новой величиной W* , при этом . Значение отношения велико для очень лакунарных множеств и мало для менее лакунарных множеств. Итак, перед нами еще один альтернативный кандидат на роль определителя и меры лакунарности: .

 

ПЕРЕХОД ПРИ ПОРОГЕ И ЛАКУНАРНОСТЬ

Рассматривавшиеся до сих пор подходы к описанию лакунарности являются внутренними, т.е. не подразумевают наличия какой бы то ни было внешней точки сравнения. Нам, однако, известно, что многие физические системы характеризуются конечным внешним порогом Ω. Такие системы допускают еще один подход к лакунарности – не такой общий, как два предыдущих, но гораздо более удобный.

В самом деле, заменим наше фрактальное множество , в котором Ω=∞, другим фрактальным множеством , которое «похоже на » при масштабах, меньших Ω, и почти однородно при масштабах, больших Ω . Примером порога Ω может послужить, например, радиус перехода, при достижении которого размерность распределения галактик изменяется с D , порог Ω представляется размером наименьшего элемента, который необходимо исследовать, дабы получить достаточно полное представление о целом. Обитателю множества должно казаться, что менее лакунарный мир становится однородным очень быстро, более же лакунарный мир – очень медленно.

Немедленно возникает побуждение записать

при R≪Ω

и при R≫Ω

и доказать, что переход происходит при αRD =βRE , т.е. при ΩE−D =α/β. Следовательно,

при R≫Ω.

В малом варианте этого же подхода точка выбирается там, где две формулы имеют равные производные, следовательно, Ω*E−D =Dα/Eβ. При увеличении лакунарности (т.е. α) и фиксированных значениях β и D возрастают как Ω, так и Λ* . Оба варианта являются очередными кандидатами, претендующими на место определителя и меры лакунарности.

 

РАСШИРЕННОЕ ПОНИМАНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ПРИ СДВИГАХ

Тот факт, что прямая способна при продольном смещении отображаться на самое себя, выражается фразой: «Прямая инвариантна при сдвигах». В главе же 22 заостряется внимание на том, что канторовы пыли обладают одним в высшей степени неприятным свойством: они не инвариантны при сдвигах. Например, оригинальная троичная пыль C и результат ее смещения на 1/3 даже не пересекаются. А вот пыль C и результат ее смещения на 2/3 пересекаются, причем пересечение содержит половину точек множества C.

Если же мы будем сдвигать максимально лакунарные канторовы пыли с N≫1, то сколько-нибудь значительное перекрытие можно будет получить только при величине смещения, близкой либо к 1, либо к 0. В случае минимально лакунарных пылей, напротив, допустимая величина смещения может представлять собой (приблизительно) любое число, кратное 1/N.

Иными словами, для успешного применения канторовой пыли понятия инвариантности при сдвигах следует весьма значительно ослабить требования этой инвариантности, однако при низкой лакунарности пыли можно обойтись гораздо меньшим ослаблением.

В конце главы 22 мы пришли к выводу, что применить к фракталам инвариантность при сдвигах и космологический принцип возможно, если фракталы сделать случайными, а понятие инвариантности переформулировать к «условному» виду. Эта переформулировка, собственно, и является главной причиной введения случайных фракталов.

 

СТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ И НЕСТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ ТЕКСТУРЫ

Процесс, используемый в этой главе для изменения сукколяции в ковре Серпинского и лакунарности в канторовой пыли и ковре Серпинского, предполагает возврат к описанию неслучайных и ранних случайных фракталов с точки зрения стратификации – весьма эффективный, но искусственный метод. В частности, ограничив коэффициенты подобия видом rk , мы обеспечиваем требуемую лакунарность ценой сужения диапазона самоподобия. При большом N (например, N=1022 - см. пояснение к рис. 141) и соответственно малом r стратифицированность значительна и хорошо заметна.

Такой способ управления сукколяцией и лакунарностью, очевидно, нельзя считать приемлемым. Поэтому я рад, что мне удалось добиться того же и даже бóльшего с помощью простого обобщения метода трем, которое заключается в замене интервалов, кругов и шаров более общими фигурами, которые мы обсудим в следующей главе.

 

НЕЛАКУНАРНЫЕ ФРАКТАЛЫ

Как показано в соответствующем разделе главы 39, лакунарность фрактала может быть исчезающе малой.

Рис. 439. Лакунарность ковров

Рассмотрим ковры Серпинского, построенные с помощью следующих генераторов:

Оба генератора удовлетворяют параметрам b=1/r=7 и N=40, отсюда D~1,8957. Правда, с первого взгляда не совсем очевидно, откуда взялось N=40, - и, тем не менее, так оно и есть, в чем можно убедиться, внимательно рассмотрев следующие этапы построения, приведенные на верхнем рисунке с семикратным увеличением.

Равенство размерностей D этих двух ковров также не бросается в глаза. Впечатление усугубляется еще и тем, что левый ковер, судя по его виду, содержит гораздо бóльшие пустоты, т.е. является более лакунарным (от лат. lacuna «пустое место, пробел»). В тексте главы рассматривается несколько различных методов, которые помогут вам избавиться от этого ложного впечатления.

Размерность D~1,8957 замечательно близка к размерности бернуллиевой перколяции (см. конец главы 13), однако это обстоятельство не должно вводить нас в заблуждение: топологически эти два случая очень различаются.

 

35 ОБОЩЕНИЯ ТРЕМЫ И УПРАВЛЕНИЕ ТЕКСТУРОЙ

 

Сообразуясь с логикой нашего эссе, в главах 31 – 33 мы ввели трема – фракталы с помощью простейших примеров, в основе которых лежат интервалы, круги и шары. Полученные результаты радуют взор своим разнообразием, которое, однако, вряд ли можно сравнить с богатствами, ожидающими нас среди трем более общей формы.

Да, разумеется, в работе [132] со всей однозначностью показано, что размерность трема – фрактала определяется исключительно распределением длин (площадей, объемов) трем. Однако те дни, когда размерность D была единственным числовым параметром, характеризующим фрактал, остались в прошлом, как только мы ввели в главе 34 понятия сукколяции и лакунарности. В настоящей главе показано, какое влияние на эти характеристики оказывает форма тремы. И снова мы оказываемся свидетелями чудесного совпадения спроса, предъявляемого прецедентными исследованиями, и предложения, поступающего со стороны геометрии.

Исследуя трема – фрактал на предмет сукколяции, мы убеждаемся в том, что форма трем влияет на величину Dкрит, т.е. при заданном значении D от нее зависят знак и величина разности D−Dкрит.

Лакунарность фрактала также зависит от формы трем, и здесь мы можем сделать несколько более продвинутых по сравнению с предыдущими главами заявлений. Из линейных трема – фракталов (глава 31) самыми лакунарными являются пыли Леви; наиболее простой и естественный путь получения любой меньшей степени лакунарности заключается в использовании в качестве тремы объединения многих интервалов. В случае пространственных трема - фракталов, получаемых непосредственным построением (глава33), простейший способ изменения лакунарности состоит в изменении формы каждой тремы с круглой или шарообразной на любую другую. В случае же пространственных трема – фракталов, субординированных броуновскому или дробному броуновскому движению (глава 32), следует в качестве субординатора взять какую-либо другую фрактальную пыль, менее лакунарную, чем пыль Леви.

К сожалению, отведенное мне время не бесконечно, а для того, чтобы привести в надлежащий (пригодный к публикации) вид все теоретические рассуждения, касающиеся трема – фракталов, потребуется значительная их переработка. Так что эта глава (собственно, последняя в настоящем эссе) поневоле оказывается не более чем наброском.

 

ТРЕМА – ГЕНЕРАТОРЫ. ИЗОТРОПИЯ

Термин форма тремы, использованный во вступительном разделе, связан с понятием трема – генератора. Мы, конечно же, уже знакомы с термином генератор, который встречался нам в нескольких предшествующих главах. Мы также помним о том, что ломаные генераторы канторовых и коховых фигур, равно как и трема-генераторы фигур Серпинского, определяют одновременно и саму фрактальную фигуру, и ее размерность D. Здесь же, обратите внимание, трема – генератор определяет все, кроме D.

Неслучайный трема – генератор. Такой генератор представляет собой открытое множество с некоторым, произвольно выбранным внутри него, центром, причем длина (площадь, объем) этого множества равна 2 (π или 4π/3, соответственно). А тремы – это перемасштабированные версии описанного генератора. Положения и размеры трем случайны, а распределение вероятностей совпадает с аналогичным распределением в главах 31 и 33.

В случае E=1, например, количество трем, длина которых превышает r, а центр расположен внутри интервала длины Δt, по-прежнему является пуассоновской случайной величиной с ожиданием (E−D* )Δt/τ. Кроме того, как показано в [132], остается справедливой и хорошо известная нам формула для определения размерности D=max(D* ,0) - правда, с некоторыми нестрогими ограничивающими допущениями относительно формы трема – генератора. (Отдельного рассмотрения заслуживает вопрос о причине возникновения этих ограничивающих допущений – присущи ли они трема – фракталам изначально, или мы обязаны ими методу доказательства.)

Ограниченность генератора. Поскольку теоретической целью построения с использованием трем является создание глобальных структур из локальных взаимодействий, разумно будет ввести допущение о локальности (т.е. ограниченности) трем. Если же тремы не ограничивать, то они могут привести к весьма неожиданным сюрпризам. На рис. 398 представлено дальнейшее обобщение модели трем.

Определение пустот. Пустой промежуток теперь представляет собой не объединение трем, но объединение наибольших открытых компонентов трем.

Неслучайная изотропия. Для обеспечения изотропности генератора мы должны иметь возможность выбирать точку отсчета таким образом, чтобы генератор представлял собой множество точек, удовлетворяющих следующему условию: расстояния между этими точками и точкой отсчета должны принадлежать некоторому множеству на положительной вещественной оси (обычно это набор заданных интервалов). Изотропный случай является самым простым и наиболее хорошо изученным.

Однако неизотропия здесь также не исключается. В частности, фрактальную пыль можно сделать асимметричной относительно прошлого и будущего.

Случайный трема – генератор. Такой генератор представляет собой частично или полностью случайное множество, длина (площадь, объем) которого равна единице. Было бы неплохо тщательно рассмотреть вопрос о применимости к данному случаю теоремы, доказанной в [132].

Наименьшего уровня случайности можно достичь, если выбрать из процесса, генерирующего случайные множества, какую-то ограниченную совокупность элементов и отождествить с этой совокупностью все наши тремы (вплоть до смещения и размера). Следующий практически полезный уровень случайности достигается путем добавления случайного поворота, выбираемого для каждой тремы отдельно и независимо от других. Еще более общая картина возникает, когда каждая трема является результатом независимой выборки из какого-либо генерирующего случайные множества процесса. Выбранные множества не обязательно должны иметь одинаковый объем, объемы выравниваются на следующем этапе. Затем выборки поворачиваются. Можно представить случай, когда повороты зависят один от другого, однако я пока таких случаев не рассматривал.

Случайная изотропия. На первом из вышеописанных альтернативных уровней случайности изотропия требует инвариантности выборки при повороте. На втором – выборка поворотов должна иметь однородное распределение. На третьем же необходимо лишь, чтобы инвариантным при повороте был сам процесс.

Стратификация. Исходя из вышеприведенных определений, длина (площадь, объем) трем, в принципе, допускает стратификацию, т.е. ограничение коэффициента подобия значениями вида rk . Однако при этом сложно провести границу между эффектами стратификации и обобщения форм трем, так что от стратификации придется отказаться.

 

УПРАВЛЕНИЕ СУККОЛЯЦИЕЙ С ПОМОЩЬЮ КРИТИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОСТИ

D

крит

ОБОБЩЕННЫХ ТРЕМА – ФРАКТАЛОВ

В одном из разделов главы 34 показано, что если фрактал «почти» перколирует (т.е. он принадлежит к некоторому семейству с вполне определенной критической размерностью Dкрит, а его собственная размерность D «всего лишь чуть-чуть» ниже критической), то следует ожидать, что его структура будет перистой. Иными словами, требуемые размерность D и интенсивность перистости структуры могут быть достигнуты совместно, если среди параметров модели числятся одновременно и D, и Dкрит.

В случае трема - фрактала параметрами являются вещественное число D и некоторая функция, задающая трема – генератор. Позвольте мне продемонстрировать, что размерность Dкрит является ничем иным, как функцией от этого последнего параметра: можно добиться того, что ее значение окажется произвольно близко к E, а если E>2, то можно сделать так, что размерность Dкрит будет произвольно близка к 1.

Случай, когда критическая размерность D крит произвольно близка к E . Для реализации такой размерности достаточно взять в качестве генератора произвольно тонкую иглу или плоский блин с фиксированной формой, но изотропно ориентированными осями (см. рис. 446). Для доказательства этого утверждения в случае плоскости (E=2) заметим, что при заданном произвольном значении D<2 размеры и направление трем, а также расположение их центров можно выбирать только сообразуясь с коэффициентом плоскостности генератора. Далее рассмотрим квадрат со стороной L, а все тремы разделим на три группы: средние тремы (площади трем меньше πL2 /10, но больше πη2 ), большие тремы и малые тремы. В случае, когда величина D много больше Dкрит (по отношению к дискообразным тремам), а тремы представляет собой едва сплющенные диски, картина напоминает ту, что мы видели в главе 33: средние тремы, по большей части, образуют отдельные пустоты, окруженные в высшей степени связным множеством. Однако если тремы сплющены почти в прямые, то они почти наверное разобьют наш квадрат на малые несвязные многоугольники. Добавление малых сплющенных трем может привести только к дальнейшему разбиению упомянутых многоугольников. Добавление же больших трем может либо полностью стереть квадрат, либо рассечь его на части, либо оставить без изменений. В последнем случае перколяция становится невозможной. То есть я только что продемонстрировал, что посредством сплющивания трем можно увеличить критическую размерность Dкрит до значений, превышающих любое заданное D<2.

Обобщение для случая E>2 представляется очевидным.

Тот же эффект достигается и в случае E≥2 (а также распространяется на случай E=1), если в качестве трема – генератора взять область, заключенную между двумя концентрическими сферическими поверхностями, причем радиус бóльшей сферы должен быть много больше единицы.

Случай, когда критическая размерность D крит произвольно близка к 1. Рассуждая эвристически, можно предположить, что при E≥3 и почти иглообразных тремах величина критической размерности Dкрит будет произвольно близка к единице.

 

УПРАВЛЕНИЕ ЛАКУНАРНОСТЬЮ С ПОМОЩЬЮ ИЗМЕНЕНИЯ РАЗМЕРОВ ТРЕМ В ОБОБЩЕННЫХ ТРЕМА – ФРАКТАЛАХ

В одном из разделов главы 34 показано, как можно управлять лакунарностью в случае стратифицированных длин трем. А сейчас давайте занесем на скрижали (без особых, правда, подробностей) следующее замечание: той же цели можно достичь и посредством изменения трема – генератора. Мы воспользуемся той мерой лакунарности (из упомянутых в главе 34), которая определяется через величину внешнего порога Ω.

Вообще-то мы предпримем предварительно еще один шаг и введем двойной порог, ограничив линейный масштаб трем следующими величинами:ε>0 и Λ<∞.

Нетрудно убедиться в том, что случайным образом выбранная точка по-прежнему принадлежит с вероятностью (ε/Λ)E−D получающемуся в результате усеченному трема – фракталу. Затем распределим по нашему множеству некоторую массу с плотностью εD−E . Префактор β=αΩD−E из главы 34 окажется при этом равным ΛD−E . Если переход к ε→0 выполнить должным образом, то выражение остается справедливым и для ε=0. Следовательно, .

(При альтернативном определении порога Ω его величина выражается следующим образом: .)

Остается вычислить величину α. Как выясняется, она зависит от общей формы трема – генератора и достигает наибольших значений, когда генератор представляет собой интервал (диск, шар). Она может быть и произвольно малой; соответственно малым оказывается при этом и внешний порог Ω.

Если трема заключена между двумя концентрическими сферами с радиусами α≫1и β≫1, то результат получается очень простой: .

Таким образом, вполне возможно добиться того, что , а следовательно, и ковариантность распределения масс произвольно быстро перейдет к такому поведению, какое наблюдается в асимптотической области, т.е. плотности в двух точках, расстояние между которыми превышает Ω, станут эффективно независимы одна от другой.

Странно, что уменьшение лакунарности (через уменьшение параметра α) достигается посредством растягивания генератора. Скорее, следовало бы ожидать, что все более растягивающий генератор приведет к увеличению размеров предасимптотической области. Этот факт еще раз подчеркивает, что поведение величины (а значит, и относительной ковариантности распределения масс) дает лишь частичную картину структуры множества. Много дополнительной информации несут в себе более высокие моменты M(R) (а значит, и относительной ковариантности распределения масс) дает лишь частичную картину структуры множества. Много дополнительной информации несут в себе более высокие моменты M(R), однако рассматривать их здесь мы уже не будем.

 

УПРАВЛЕНИЕ ЛАКУНАРНОСТЬЮ В ПЫЛЯХ, СУБОРДИНИРОВАННЫХ БРОУНОВСКИМ СЛЕДАМ

Раз уж мы управляем лакунарностью линейной пыли, мы вполне можем отобразить результат на пространство с помощью процесса субординации, описанного в главе 32. Имея дело с плоскостью и используя в качестве субординанда броуновскую сеть (см. рис. 341), можно построить пыль, которая произвольно близка к тому, чтобы выглядеть как сеть, и характеризуется бесконечной степенью ветвления. Начнем с плоскости и положим, что субординанд представляет собой дробную броуновскую сеть с H>½; пустоты такой сети имеют меньший размер, чем пустоты сети с H=½. Если при этом размерность субординатора удовлетворяет неравенству D/H

Рис. 446. Влияние трема – генератора на лакунарность трема — фрактала

Эти иллюстрации призваны дать читателю представление о степени влияния формы трема – генератора на лакунарность фрактала. Оба трема – генератора имеют форму ромба, однако первый ромб представляет собой почти квадрат, а второй больше похож на тонкую иглу. Внутри белых областей можно разглядеть отдельные маленькие черные ромбы.

Оба построения характеризуются одинаковой размерностью D; площади наибольшего и наименьшего ромбов также одинаковы. Отсюда следует, что в обоих случаях одинаковы и площади оставшихся белыми областей (с учетом статистической изменчивости). Тем не менее, непосредственное наблюдение со всей очевидностью свидетельствует о том, что белые участки на одном из рисунков распределены гораздо более равномерно, чем на другом. В соответствии с введенными мною мерами лакунарности более равномерно распределенные белые остатки характеризуются более низким значением коэффициента лакунарности.

Рис. 447. Фрактальная пыль, получаемая при использовании несферических трем:

Проекция одного пространственного октанта на сферический небосвод

Мне, право, очень неловко об этом говорить, но изначально я планировал поместить здесь совсем другую иллюстрацию, и более того - в настоящий момент я не в состоянии припомнить точных спецификаций той, которая все-таки сюда попала. Причина весьма незамысловата. К первому января 1979 г. мы подготовили огромное количество изображений фракталов с размерностью D~1,23 и различными степенями лакунарности и сукколяции. Бóльшая часть готовых иллюстраций хранилась в одной папке, которую куда-то засунули и не смогли потом отыскать; к счастью, в других папках уцелели некоторые предварительные результаты, однако ярлыки к ним оказались никуда не годными. Времени на повторный запуск программы уже не оставалось, поэтому пришлось довольствоваться тем, что удалось спасти.

Насколько я помню, построение для данной иллюстрации начинается с периодической структуры, периодом которой является кубическая решетка 600×600×600. Иными словами, вычисление проводится на решетке 600×600×600, противоположные грани которой совпадают, образуя тор. Распределение объемов трем усечено. Поскольку тремы в процессе построения удаляются, точка начала координат перемещается в некоторую не удаленную точку, которая выбирается либо произвольно, либо внутри области с высокой плотностью.

Точки, близкие к началу координат, исключаются из результата построения, остальные же сортируются по оболочкам, задаваемым неравенством , в соответствии с уменьшающимся уровнем яркости. Каждая оболочка проецируется на сферический небосвод.

Целью построения является обработка имеющихся в наличии данных с тем, чтобы извлечь из них максимальное количество независимой информации. При малых значениях R2 можно составить карту всего небосвода целиком, однако при бóльших R2 не следует обрабатывать больше некоторой разумной доли одного периода исходной периодической структуры. Максимальное значение R2 в самой внешней оболочке соответствует карте, ограниченной одним-единственным октантом небесной сферы – например, областью, где x>0, y>0 и z>0 . Определяя этот октант в сферических координатах, можно сказать, что он соответствует положительным значениям широты (северное полушарие), долгота же при этом варьируется от −45° до 45°. В использованной здесь хаммеровской проекции этот октант отображается на участок, напоминающий готическое стрельчатое окно; см. нижеследующий рисунок.