Фрактальные кривые, поверхности и пылевидные множества, описываемые и в научных целях приручаемые в этой части, можно назвать масштабно-инвариантными только в асимптотическом или как-нибудь иначе ограниченном смысле.

Первая глава части посвящена поверхностям положительного (не обращающегося в нуль!) объема. Что за безумное сочетание противоречивых понятий! Неужели мы, наконец, добрались до математических чудовищ, лишенных-таки какой бы то ни было полезности для естествоиспытателя? Ответ, и на этот раз, решительно отрицательный. Некая парочка весьма известных математиков-теоретиков, полагая, что они старательно избегают всяческих связей с Природой, невольно подготовили для меня как раз тот инструмент, в котором я нуждался, чтобы (помимо всего прочего) описать геометрию … живой плоти.

 

КАНТОРОВЫ ПЫЛЕВИДНЫЕ МНОЖЕСТВА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ МЕРЫ

В качестве предварительного шага освежим в памяти построение Кантором троичного множества C. Его нулевая длина (а если быть точным до конца, то нулевая линейная мера) следует из того факта, что длины трем (средних третей) составляют в сумме

.

Однако то, что множество C является абсолютно несвязным (и, следовательно, его топологическая размерность DT =0), не зависит от длин трем. Это свойство основано на том фундаментальном факте, что на каждом этапе построения каждый полученный на предыдущем этапе интервал рассекается удалением тремы, центр которой приходится на середину этого интервала. Обозначим отношение длин тремы и ее «несущего» интервала через λk , тогда выражение для совокупной длины интервалов, оставшихся после K этапов построения, принимает вид . Эта длина уменьшается при K→∞ до некоторого предела, который обозначим через P. В оригинальной конструкции Кантора λk ≡2/3, следовательно, P=0. Однако P>0 всегда, когда . В этом случае остаточное множество C* имеет положительную длину 1−P. Это множество не самоподобно, следовательно, не характеризуется размерностью подобия, однако, исходя из определения Хаусдорфа – Безиковича (см. главу 5), мы можем заключить, что размерность D такого множества равна 1. Из неравенства D>DT следует, что множество C* фрактально. Так как ни D, ни DT не зависят от длин трем λk , значения этих размерностей дают весьма поверхностную характеристику множества C* .

Еще более явным выглядит построение на плоскости. Вырежем из единичного квадрата крест площади λ1 , оставив четыре малых квадрата по углам. Затем вырежем из каждого малого квадрата крест относительной площади λ2 . Этот каскад порождает пыль, топологическая размерность DT которой равна 0, а площадь выражается произведением . Если площадь не обращается в нуль, D=2.

Аналогичным образом можно получить в E− мерном пространстве пыль положительного объема с размерностями DT =0 и D=E.

 

ПЛАВАЮЩАЯ ВЕЛИЧИНА ln

N/

ln

(1/r)

Хотя канторовы пылевидные множества положительной меры площади или объема не имеют размерности подобия, представляется полезным записать равенство rk =(1−λk )/2 и рассмотреть формальные размерности, определяемые как Dk =lnN/ln(1/rk ).

В своем медленном изменении размерность Dk воплощает идею об эффективной размерности, рассмотренную в главе 3 при описании спутанной в шар нити. На прямой размерность D=1 предельного множества C* представляет собой предел отношения ln2/ln(1/rk ). Более того, заключение D=1 не требует непременной справедливости неравенства , а удовлетворяется выполнением более слабого условия λk →0. Как следствие, мы имеем три класса линейных канторовых пылевидных множеств: а) с размерностью 0

Случай, подобный последнему (в), может произойти и с кривыми Коха. Для этого достаточно изменять генератор на каждом этапе построения и позволить его размерности D устремиться к 2. Возьмем, например, rk =k/2 и присвоим Nk (а значит и Dk ) максимальное значение, о котором мы говорили в пояснении к рис. 83. Предельная кривая в этом случае обладает весьма примечательным сочетанием свойств: ее фрактальная размерность D=2 нестандартна для кривой, однако ее топологическая размерность (DT =0) и площадь, которая обращается в нуль, являются стандартными.

Та же комбинация свойств характерна и для броуновского движения (см. главу 25), только здесь она достигается при избежании двойных точек.

Формальная размерность может дрейфовать не только в сторону значения D=2, но и прочь от него. Например, k этапов построения заполняющего плоскость дерева могут завершиться этапами с размерностью D<2. Результат такого построения бывает полезен при моделировании определенных речных бассейнов, которые в масштабах, превышающих внутренний порог η, выглядят как заполняющие плоскость, но в областях меньшего масштаба орошают почву не столь эффективно. Значение η очень велико в пустынях и очень мало (вплоть до 0) во влажных джунглях. Эффективная размерность таких рек составит D=2 для масштабов, больших η, и D<2 для масштабов, меньших η.>

 

КРИВЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ПЛОЩАДИ

Так как наше интуитивное представление о пылевидных множествах весьма несовершенно, нас мало беспокоит пыль положительной длины или объема. А вот кривую, площадь которой отлична от нуля, проглотить уже значительно сложнее. Поэтому после того, как Лебег [294] и Осгуд [458] убедили всех в том, что глотать все равно придется, эти кривые сменили кривую Пеано на посту самого чудовищного чудовища. После описания соответствующего примера я покажу, что действительность не так страшна, как идея: поверхности положительного объема оказываются, в самом буквальном смысле, близки сердцу любого человека.

А идея заключается в обобщении построения со срединным смещением, приведенного на рис. 71. Мы оставляем неизменными бухты и полуострова, каждый из которых представляет собой треугольник, вдающийся в треугольник болота, причем середина основания полуострова совпадает с серединой основания болотного треугольника. Новизна состоит в том, что относительные ширины λk бухт и полуостровов больше не являются постоянными, но стремятся к нулю при увеличении k таким образом, что . При таком построении площадь болота не стремится к нулю и, следовательно, предельное болото имеет размерность D=2. С другой стороны, болото оказывается совершенно отличным от любого стандартного множества с размерностью 2. Оно не только не имеет внутренних точек, но и является кривой с DT =1, поскольку окрестность любой точки может быть отделена от остального множества удалением всего двух точек.

Идею приведенного выше построения мы позаимствовали у Осгуда [458], несколько упростив его причудливую манеру упрощения сложных надуманных конструкций. Однако не дóлжно судить о ценности научного открытия, исходя из причин его совершения.

 

ГЕОМЕТРИЯ АРТЕРИЙ И ВЕН

Позволяю себе процитировать Гарвея (1628 г., [201]): «Движение крови может быть названо круговым в том смысле, в каком Аристотель утверждает, что воздух и дождь воспроизводят круговое движение высших тел…. Подобно этому и в живом теле, благодаря движению крови… различные его части питает, лелеет и оживляет более теплая, совершенная, насыщенная, живая и питательная кровь, которая затем, после соприкосновения с упомянутыми частями, становится холодной, сгущенной и, так сказать, ослабленной».

Гарвей пытался донести до современников идею кровообращения, согласно которой почти в каждой точке тела можно найти на малом расстоянии друг от друга и артерию, и вену. (Загляните также и в «Венецианского купца» Шекспира.) В этой идее не нашлось места для капилляров, однако в первом приближении мы вполне можем потребовать, чтобы и артерия, и вена были расположены бесконечно близко от любой точки тела, - исключая, разумеется, точки, находящиеся внутри артерии (вены), которые не могут быть очень близко к вене (артерии).

Сформулируем это иначе (только в такой формулировке результат выглядит еще более странно!): каждая точка ткани, не относящейся к системе кровообращения, должна лежать на границе между двумя кровеносными системами.

Еще одно конструкторское ограничение заключается в том, что кровь нужно экономить. Отсюда полный объем артерий и вен должен составлять лишь малый процент от объема тела, оставляя бóльшую часть пространства тканям.

 

ЧУДОВИЩА ЛЕБЕГА – ОСГУДА ВНУТРИ НАС

С точки зрения евклидовой геометрии, наши критерии представляют собой изысканную аномалию. Искомая фигура должна быть топологически двумерной, так как она образует границу, общую для двух топологически трехмерных фигур, причем требуется, чтобы ее объем был одновременно не только пренебрежимо мал по сравнению с объемами фигур, которые она ограничивает, но и гораздо больше этих объемов!

Одно из достоинств фрактального подхода к анатомии заключается в демонстрации того, что вышеуказанные требования прекрасно сочетаются друг с другом. Всем требованиям, которые нам вздумалось наложить на конструкцию системы кровообращения, вполне отвечает пространственный вариант построения Осгуда, описанный в одном из предыдущих разделов.

Вены и артерии в нашей конструкции являются стандартными трехмерными областями, поскольку в них должны целиком умещаться сферы малого радиуса (кровяные шарики). С другой стороны, сосуды занимают очень небольшую долю от общего объема тела. Ткань – другое дело; в ней нет ни одного участка, сколь угодно малого, который не был бы пересечен и артерией, и веной. Ткань представляет собой фрактальную поверхность: ее топологическая размерность 2, а фрактальная размерность 3.

В таком виде вышеприведенные критерии теряют всю свою экстравагантность. И кому теперь интересно, что их появление связано с попыткой надуманного математического бегства от здравого смысла. Они оказались неизбежными и с точки зрения этого самого здравого смысла. Более того, фрактальные чудовища Лебега – Осгуда составляют самую сущность нашей плоти!

 

ОБ ИНТУИЦИИ И ЗДРАВОМ СМЫСЛЕ

Совместное расположение дыхательных путей и кровеносной системы в легком также представляет собой весьма интересную конструкцию, в которой общую границу имеют уже три множества – артерии, вены и бронхиолы. Первым примером такого множества мы обязаны Брауэру. Рассматривая конструкцию Брауэра с учетом приведенных выше соображений, мы не найдем абсолютно никаких противоречий со здравым смыслом. Однако для оценки ее в исторической перспективе нам следует еще раз обратиться к нашему красноречивому поборнику интуитивного знания и общепринятых воззрений, Гансу Хану.

«Мы интуитивно знаем, что три области могут граничить между собой только в отдельных точках… Мы не в состоянии интуитивно постичь построение Брауэра, хотя логический анализ требует от нас его принятия. В очередной раз [обнаруживается], что даже в простых и элементарных вопросах геометрии совершенно нельзя полагаться на здравый смысл. Невозможно использовать [его] в качестве отправной точки или фундамента математической дисциплины. Пространство геометрии представляет собой … целиком логическое построение…

[Однако если] мы привыкнем иметь дело с подобными логическими построениями, если они проникнут в школьную программу, если мы будем узнавать о них, так сказать, с младых ногтей, так же, как мы узнаем о трехмерной евклидовой геометрии – тогда, очевидно, никому и в голову не придет сказать, что такие геометрические построения противны здравому смыслу».

Настоящее эссе служит наглядной демонстрацией того, что Хан опять оказывается глубоко неправ. Для того, чтобы справиться с теми неприятностями, о которых он говорит, необходимо, на мой взгляд, научить тот здравый смысл, который есть у нас сейчас, воспринимать новое – нет необходимости отбрасывать «старый» здравый смысл и пытаться воспитать «новый». Хан ставит ошибочный диагноз и прописывает лекарство, которое загонит пациента в гроб.

Здравый смысл в геометрии никогда не отрицал того, что он нуждается в помощи логики, невзирая на ее странные и запутанные методы. С чего бы логике опять пытаться от него ускользнуть?

Словом, ни в коем случае нельзя полагаться на то, что типичный математик считает совместимым со здравым смыслом; никак невозможно позволять какому бы то ни было здравому смыслу руководить нами при построении той или иной модели; и вообще, математика слишком важна, чтобы можно было отдать ее на откуп фанатикам от логики.

 

В настоящей главе обсуждается нитевидные фрактальные деревья и другие почти масштабно-инвариантные фракталы, т. е. масштабно-инвариантные за исключением пренебрежимо малого во фрактальном смысле остатка. Эти фракталы оказываются неоднородными в том смысле, что для разных частей таких множеств размерности D и/или/ DT принимают различные значения. Оглядываясь же назад, мы видим, что все рассмотренные до сих пор фракталы можно охарактеризовать как однородные.

 

ПОНЯТИЕ О МНОЖЕСТВЕ СКЕЙЛИНГОВЫХ ОСТАТКОВ

Стандартные интервалы. Полуоткрытый интервал ]0,1], включающий в себя правую концевую точку и не включающий левую, является масштабно-инвариантным, так как он состоит из N=2 уменьшенных копий себя ]0,1/2] и ]1/2,1]. А вот открытый интервал ]0,1[ нельзя считать масштабно-инвариантным, так как кроме N=2 своих копий меньшего масштаба ]0,½[и ]½,1[ он включает в себя и среднюю точку x=1/2. Я предлагаю назвать эту среднюю точку скейлинговым (или масштабным) остатком. При вычислении D - и во многих других случаях – ею можно пренебречь. Физик сказал бы, что она характеризуется меньшим физическим порядком величины, чем целое и части.

Приведенный пример может ввести нас в искушение рассматривать все остаточные члены как порожденные излишней педантичностью усложнения, никак не влияющие на результат масштабирования. Однако в аналогичных примерах, относящихся к фракталам, которые я называю неоднородными фракталами, остаток может приобрести неожиданно большую значимость. Неоднородный фрактал – это сумма (или разность) множеств с различной фрактальной и топологической размерностью. Ни одно из этих множеств нельзя полностью исключить из рассмотрения, даже если они пренебрежимо малы как во фрактальном, так и в топологическом смысле. И между ними часто возникают конфликты с весьма интересными и значительными последствиями.

Канторовы пылевидные множества и изолированные точки. Построим канторову пыль, разделив интервал [0,1] на b=4 части, и сохранив крайние [0,¼] и [¾,1]. Альтернативный способ – удаление интервалов ]¼,½[ и ]½,¾[ - дает ту же пыль и остаточную точку x=1/2. Эта изолированная точка не является фракталом, так как и DT , и D в этом случае равны 0.

При обобщении на пространство канторова пыль имеет размерности DT =0 и D>0, а для нефрактального множества остатков верно равенство DT =D=E−1. То есть остаток вполне может превосходить пыль топологически и/или фрактально.

 

ФРАКТАЛЬНЫЕ ДЕРЕВЬЯ, ОСТАТОЧНЫЕ ЧЛЕНЫ КОТОРЫХ ПРЕДСТАВЛЯЮТ СОБОЙ ИНТЕРВАЛЫ

На рис. 223 представлены зонтичные деревья с бесконечно тонкими стволами. К жизни они совершенно не приспособлены, и в главе 17 мы постараемся несколько увеличить их адекватность в качестве моделей реальных растений. И все же даже эти «остовы» деревьев представляют большой интерес для многих областей математики. Топологу все они показались бы одинаковыми, так как, на его взгляд, любое дерево состоит из бесконечно упругих нитей, и наши деревья также можно растягивать, или сжимать до тех пор, пока они не совпадут друг с другом. Однако эти деревья все-таки различаются и сточки зрения здравого смысла, и как фракталы.

Концы ветвей. Дерево представляет собой сумму двух множеств (ветвей и концов ветвей), размерности которых уживаются друг с другом очень интересным способом. Более простой для изучения частью дерева является множество концов ветвей – фрактальная пыль, похожая на многие другие известные нам пылевидные множества. Она масштабно-инвариантна: N=2, а r лежит в интервале между 1/√2и 0. Следовательно, D варьируется от 2 до 0, хотя фигуры на рисунке имеют размерность D от 1 до 2. Угол между ветвями принимает при каждом разветвлении одно и то же значение θ; это значение может изменяться в довольно широких пределах, никак не влияя на r и D. То есть одна и та же размерность D может характеризовать весьма различные древесные формы.

Когда 1

Деревья. На первый взгляд, деревья на рисунке кажутся самоподобными, поскольку каждая ветвь вместе с произрастающими из нее меньшими ветвями является уменьшенной копией целого. Однако на самом деле две ветви, выходящие из главного разветвления, не дают в сумме целого: необходимо прибавить сюда и остаток, т. е. ствол дерева. Даже с точки зрения здравого смысла, таким остатком никак нельзя пренебречь. Более того, люди, как правило, придают большее значение стволам и ветвям деревьев, нежели концам ветвей. Если верить интуиции, ветви «господствуют» над своими концами.

Кроме того, независимо от значения D, концы ветвей дерева без самопересечений образуют пыль с размерностью DT =0, а ветви (неважно, с включенными концами или нет) – кривую с размерностью DT =1. Следовательно, топологически ветви господствуют-таки над своими концами. В самом деле, чтобы отделить от множества точку P и ее окрестность, необходимо удалить либо одну (если P - конец ветви), либо две (если P принадлежит внутренней части ветви), либо три точки (если P - точка ветвления).

Перейдем к фрактальному аспекту. Размерность множества концов ветвей D, а размерность каждой ветви 1. Что касается целого, то оно, не будучи масштабно-инвариантным, все же характеризуется фрактальной размерностью, определяемой по формуле Хаусдорфа – Безиковича, причем эта размерность не может быть ни меньше D, ни меньше 1, а на деле оказывается равной большей из двух величин. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

Фрактальные деревья. Когда D>1, фрактальная размерность всего дерева равна D. Несмотря на то, что ветви доминируют в конструкции как с точки зрения здравого смысла, так и топологически, во фрактальном смысле ими можно пренебречь. Так как D>DT , дерево представляет собой фрактальное множество, в котором величина D служит мерой ветвления. Таким образом, нам открывается еще одна грань фрактальной размерности в добавление к ее способности выступать качестве меры иррегулярности и фрагментации. Когда мы перейдем в главе 17 к не нитевидным деревьям, мы обнаружим, что гладкая поверхность с достаточным количеством острых локализованных «выступов» может оказаться чем-то «бóльшим», чем стандартная поверхность.

Субфрактальные деревья. В случае 0

Тем не менее, если подобрать единицы измерения таким образом, чтобы длина ствола составила 1−2r, то ветви (рассматриваемые как открытые интервалы) можно будет разместить вдоль пустот линейной канторовой пыли C, которая занимает интервал [0,1] и характеризуется теми же значениями N=2 и r, что и множество концов ветвей. Аналогичным образом, на множестве C можно разместить и сами концы ветвей. Получается, что интервал [0,1] целиком заполняется отображениями точек нашего дерева. Не отображаются только те точки, на которых держатся ветви. Эти точки образуют счетное остаточное множество.

Вспомним о замечании, сделанном нами по поводу чертовой лестницы на рис. 125 – ее форма необычна, но фракталом она не является. Если важность этих форм будет возрастать и далее, им может понадобиться особое и тщательно выбранное название. Пока же остановимся на субфракталах.

В качестве последнего эксперимента заменим прямолинейные ветви фрактальными кривыми с размерностью D* >1. Когда DD* наше дерево будет фракталом с размерностью D.

 

НЕОДНОРОДНЫЕ ФРАКТАЛЫ

Думаю, настала пора вводить новое определение. Фрактал называется однородным, если все множества, полученные в результате пересечения с диском или шаром, центр которого принадлежит , имеют одинаковую топологическую (DT ) и фрактальную (D>DT ) размерности.

Очевидно, что кривые Коха, канторова пыль, разветвленные кривые и т. д. являются однородными фракталами. А остовы деревьев с D>0 из предыдущей главы следует отнести к фракталам неоднородным.

Вообще говоря, деревья могут считаться фракталами только отчасти: пересечение дерева и достаточно малого диска, центр которого принадлежит ветви, не является фракталом, но состоит из одного или нескольких интервалов.

 

ФРАКТАЛЬНЫЕ КРОНЫ

До сих пор мы полагали, что деревья, изображенные на рис. 223, пусть едва-едва, но все же избегают самокасаний. На самом же деле, концы ветвей этих деревьев асимптотически касаются друг друга. В результате множество концов ветвей перестает быть пылью с DT =0 и становится кривой с DT =1 без малейшего изменения фрактальной размерности. Для описания этого нового класса фрактальных кривых я предлагаю термин расширенные фрактальные кроны. Заметим, что длина тени такой кроны возрастает с увеличением D.

Кривую, ограничивающую открытую область снаружи получающейся в результате фигуры, назовем просто «фрактальной кроной». Благодаря отсутствию «складок», присущих расширенной кроне, размерность этой кривой не дотягивает до D на величину, которая возрастает с увеличением D.

Поскольку для деревьев жизненно важен солнечный свет, ветви, заканчивающиеся в складках расширенной фрактальной кроны, скорее всего, засохнут. Садовник может либо позволить каким-то ветвям вырасти, а затем засохнуть из-за отсутствия света, либо составить более сложную программу, которая запретит расти именно этим ветвям. Я предпочел бы более простую программу.

Когда D<1, слияние пыли с размерностью D в кривую невозможно. Если попытаться добиться самокасания посредством уменьшения угла θ между ветвями, то цель будет достигнута лишь тогда, когда угол станет равным 0 и дерево стянется в интервал. Если же пойти другим путем и зафиксировать длину тени дерева, а самокасания добиваться посредством вытягивания ветвей вверх, то цель не будет достигнута никогда: в пределе из дерева получится комбинация линейной канторовой пыли C и свисающих из каждой точки C полупрямых.

 

ДЕРЕВЬЯ БЕЗ ОСТАТОЧНЫХ ЧЛЕНОВ

Многообразие фрактальных деревьев не сводится к тем формам, которые мы рассмотрели в предыдущих разделах. Вспомним, например, конструкцию, описанную на с. 202. А теперь возьмем в качестве кохова генератора крест, ветви которого имеют следующие длины: rв (верхняя), rн (нижняя), rб (боковые), причем выполняется равенство . Каждая ветвь получившегося фрактального дерева, какой бы малой она ни была, в изобилии окружена подветвями. А если исключить корневую точку, то такие деревья масштабно-инвариантны без остатка.

 

ФИЗИКА ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ: РЕАКТИВНЫЕ СТРУИ

Фейнман [149] пишет, что благодаря фрактальным деревьям он смог представить себе и смоделировать «струи», образующиеся при столкновениях частиц очень высоких энергий. Эту идею исследовал Дж. Венециано, о чем он сообщает в отчетах CERN.

Рис. 223. Фрактальные зонтичные деревья и фрактальные кроны

Каждое дерево на этом рисунке имеет бесконечно тонкий ствол и неизменный угол θ между ветвями. Размерность D варьируется между 1 и 2, причем для каждого D угол θ принимает наименьшее возможное без самокасаний значение.

При D, чуть большем 1 (вверху слева), результат похож на веник. При увеличении D ветви раскрываются, вследствие чего «крона» расширяется и образует складки, укрытые от солнечного света. При взгляде на такую конструкцию вспоминаются цветы некоторых разновидностей вида Brassica oleracea – таких, например, как цветная капуста (B. o. botrytis) и брокколи (B, o. italica). Интересно, насколько значительным может оказаться тот факт, что геометрические различия между цветной капустой и брокколи частично определяются фрактальной размерностью?

Фигура, получаемая при бóльших D (внизу слева), может напомнить французу о фортификационных сооружениях близ Вобана. Значения D=2 и θ=π дают дерево, заполняющее плоскость. При дальнейшем увеличении угла θ>π (внизу справа) приходится снова уменьшать размерность D, при этом всякое сходство с зонтиком пропадает, уступая место искривленному орнаменту, который странным образом ассоциируется с классическими древнеиндийскими скульптурами, изображающими танцующих людей.

На одной из наиболее известных иллюстраций в книге д ' Арси Томпсона «Рост и форма» [568] показано отображение друг на друга черепов рыб различных видов путем непрерывных и гладких преобразований в евклидовом духе. Преобразования, способные отобразить друг на друга приведенные на нашем рисунке деревья, вдохновлены тем же источником, но весьма отличны по духу.

 

В этой главе мы займемся изучением геометрического строения «деревьев», стволы которых обладают толщиной. Такая структура характерна для легких, кровеносной системы, реальных деревьев, речных бассейнов и т. д.

Эти природные объекты всем нам очень хорошо известны; более того, никакой другой объект не иллюстрирует столь же доступно идею фигуры, содержащей большое количество элементов различного линейного масштаба. К сожалению, деревья оказываются более сложными конструкциями, чем это может представиться на первый взгляд. Мы не рассматривали их раньше из-за одного простого обстоятельства, упомянутого в предыдущей главе: деревья не могут быть самоподобными. Самое большее, на что можно рассчитывать – это то, что самоподобие сохраняется на уровне концов ветвей; таким допущением мы и будем руководствоваться в этой главе. В дополнение к фрактальной размерности D множества концов ветвей, деревья характеризуются еще одним параметром, который называется диаметрическим показателем и обозначается буквой Δ. Когда дерево самоподобно с остатком, как в главе 16, показатель Δ совпадает с размерностью D множества концов ветвей. В противном случае Δ и D оказываются независимыми друг от друга характеристиками, и пред нами предстает образчик феномена, называемого биологами «аллометрией». Нам встретятся случаи как с Δ=D, так и с Δ

 

ДИАМЕТРИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ

Δ

Леонардо да Винчи пишет в своих «Заметках» (заметка № 394): «Совокупная толщина всех ветвей дерева на любой высоте равна толщине ствола (ниже их)». Формальное выражение выглядит следующим образом: диаметры ветвей настоящего дерева до и после разветвления (d, d1 и d2 )

удовлетворяют соотношению

,

где Δ=2. Смысл этого выражения таков: если принимать во внимание толщину ветвей, настоящие деревья не являются самоподобными деревьями с почти заполняющей пространство корой. В самом деле, самоподобие требует выполнения равенства Δ=D, а размерность D почти заполняющей пространство структуры должна быть близка к E=3.

Иными словами, во всех случаях, когда выполняется вышеприведенное соотношение, величина Δ представляет собой новый параметр в дополнение к размерности D; мы будем называть этот новый параметр диаметрическим показателем. Его рассматривали очень многие люди – в большинстве случаев независимо друг от друга – в этом можно убедиться, взглянув хотя бы на список литературы в [568]. В этой главе показано, что для бронхов Δ~3. Показатель Δ дерева артерий равен приблизительно 2, 7, а для настоящих деревьев он близок к значению, указанному Леонардо, Δ=2. Ширина рек также регулируется показателем Δ=2. Кроме того, мы рассмотрим здесь некоторые физические, физиологические и геометрические аспекты величины Δ.

Параразмерность. Во «Фракталах» 1977 г. я называл показатель Δ паразмерностью (от греческого παρα «рядом, около»), но я больше не настаиваю на употреблении этого термина. Функции величины Δ вообще весьма туманны: в одних случаях она является размерностью, в других – нет. Аналогичное поведение демонстрирует показатель в [29]; см. также главу 39.

 

ДЕРЕВО БРОНХОВ В ЛЕГКИХ

Первый пример: деление воздушных трубок в легких человека во всех практических отношениях самоподобно, причем Δ=D, а D~E=3.

Внутреннюю структуру легкого вряд ли можно назвать хорошо знакомой широкому кругу людей, поэтому было бы поучительно вставить в этом месте фотографию реального легкого (такие фотографии можно найти, например, в [585] или в [84]), однако я установил для себя правило ограничиться в данном эссе моделями (и это, пожалуй, единственный случай, когда я сожалею об этом своем решении) .Значит, придется обойтись словесным описанием. Представьте себе, что мы заполнили все бронхи и бронхиолы легкого жидкой пластмассой, а после того, как пластмасса затвердела, удалили ткани. В результате мы получим чрезвычайно разветвленное дерево, которое заполняет легкое с такой густотой, однородностью и непроницаемостью для взгляда, какой не достигается ни одно настоящее дерево. Между двумя первыми разветвлениями, которые нас пока не касаются, и тремя последними, ведущими к альвеолам (о которых мы говорили в главе 12), имеется еще пятнадцать последовательных разветвлений, происходящих с поразительной правильностью.

По данным Вайбеля [585], отрезки бронхов в первом приближении подобны друг другу, и Δ~3. Воздушный поток представляет собой конкретную величину, разделяющуюся между разветвляющимися бронхами, и поскольку воздушный поток в трубе равен площади сечения трубы, умноженной на скорость движения воздуха, получается, что скорость изменяется пропорционально dΔ−2 : при вхождении в более тонкие бронхи воздух замедляется.

Строгое равенство Δ=3 весьма важно. Первая интерпретация основана на рассуждениях Мюррея [439], следующим образом представленных в [568] (с. 954 в издании 1942 г. или 129 в издании 1961 г.): «Рост площади поверхности бронхов вскоре приводит к значительному увеличению трения и уменьшению скорости проходящего по ним газа; следовательно, ветви должны быть более вместительными, чем может показаться на первый взгляд . Вопрос заключается уже не во вместительности, а в сопротивлении бронхов; а ответ в общих чертах таков: условием наименьшего возможного сопротивления во всей системе целиком является неизменность отношения сопротивления к поперечному сечению на всех участках системы, как до, так и после разветвления. Суммарное поперечное сечение отходящих от ствола ветвей должно быть, таким образом, больше, чем сечение самого ствола, в соответствии с возрастающим сопротивлением. Приблизительный вывод, хорошо известный людям, изучающим гидродинамику [современный подход излагается в [224] и [606]], состоит в том, что сопротивление минимально, и система работает в оптимальном режиме» тогда, когда коэффициент ветвления по всей системе равен 21/3 ~1,26.

Следовательно, значение Δ=3 является наилучшим из всех значений, каких можно достичь как целенаправленным конструированием, так и селективной эволюцией. Разумеется, критерий оптимальности по Мюррею исключительно локален, и конструктор никаким способом не сможет заранее узнать, можно ли будет оптимально соединить локально оптимальные элементы.

 

ЗАПОЛНЕНИЕ БРОНХАМИ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Я предлагаю в качестве альтернативы совершенно отличные от предыдущих фрактальные соображения для объяснения Δ=3; они основаны на не зависящих от нашей воли геометрических ограничениях на процесс внутриутробного роста легких и на их окончательную форму. Очевидное преимущество такого подхода состоит в том, что он не требует введения в генетический код коэффициента ветвления 21/Δ ~21/3 (на чем, по всей видимости, настаивает подход Мюррея).

Мы будем опираться на тот фундаментальный факт, что внутриутробный рост легкого начинается с почки, из которой вырастает трубка, на которой, в свою очередь, образуются две новые почки, каждая из которых ведет себя вышеописанным образом. Помимо всего прочего, такой рост самоподобен (а ствол легкого образует остаток!). Для того чтобы объяснить самоподобную структуру легкого, нет никакой необходимости доказывать, что она лучше всех остальных, нужно лишь показать, что она проще: представьте, насколько короче становится программа, управляющая ростом чего бы то ни было, если каждый последующий этап повторяет предыдущий в уменьшенном масштабе, или даже в том же масштабе, но после того, как результат предыдущего этапа дорастет до определенного размера. Если ситуация именно такова, то результат роста полностью определяется отношением поперечника ветвей к их длине и диаметрическим показателем. Кроме того, необходимо еще правило, указывающее, когда следует остановить рост.

Далее, в зависимости от значения Δ (величину отношения поперечника ветвей к их длине будем полагать постоянной), процесс роста, регулируемый вышеописанными правилами, приводит к одному из следующих трех результатов: а) после некоторого конечного числа этапов ветви заполняют весь доступный для роста объем; б) ветвям удается заполнить только некоторую часть доступного пространства; в) доступное для роста пространство в точности соответствует необходимому для данного процесса. Когда мы хотим получить в пределе заполняющую пространство структуру, нет необходимости встраивать в программу роста какие-либо подробные инструкции, поскольку конкуренция за свободное пространство почти не оставляет места для неопределенности. Двумерная реализация такого процесса представлена на рис. 236 и 237 , где мы можем видеть, что по мере уменьшения отношения поперечника ветвей к их длине до нуля, коэффициент ветвления заполняющей плоскость кривой стремится к 21/2 , что дает Δ=E=2. Аналогичным образом коэффициент ветвления заполняющей пространство кривой, соответствующий бесконечно тонким ветвям, равен 21/3 , что дает Δ=E=3.

Так как показатель Δ=3 соответствует предельному случаю бесконечно тонких трубок, его нельзя реализовать в действительности. А жаль, потому что «кора» дерева, построенного из бесконечно тонких разветвлений, продолжающихся до нуля, совершенно заполняет пространство. Этому последнему свойству мы могли бы дать телеологическую интерпретацию ничуть не хуже интерпретации Мюррея: такая структура наилучшим образом отвечает целям химического обмена между воздухом и кровью, поскольку предоставляет для этого обмена наибольшую поверхность.

Однако реальные бронхи не являются бесконечно тонкими, поэтому мы, в лучшем случае, можем рассчитывать лишь на значение показателей D и Δ, чуть меньшее 3, что вполне согласуется с опытными данными. Это значение подразумевает одинаковую степень несовершенства во всех точках ветвления – однако такой результат может быть получен и как побочное следствие самоподобия с остатком и не нуждается в особом рассмотрении.

Размерность. Ветви нашего дерева образуют стандартное множество: его размерность и в топологическом, и во фрактальном смысле равна E. Если оболочка каждой ветви является гладкой, то размерность всей оболочки равна показателю Δ.

 

АЛЬВЕОЛЫ – ВНУТРЕННИЙ ПОРОГ

Как обычно, процесс интерпретации не достигает бесконечно тонких бронхов, прерываясь при некотором пороге. Это происходит после пятнадцатого разветвления, а сам порог имеет ступенчатую структуру, которую я нахожу геометрически безупречной.

Основное замечание таково: хотя бесконечное самоподобное разветвление заполнило бы в конце концов все доступное пространство, процесс идет достаточно медленно, так что после первых пятнадцати этапов разветвления оказывается заполненной только малая часть объема легкого. Для того чтобы заполнить оставшееся пространство за малое число этапов, следует сделать трубы значительно толще, чем предполагает самоподобная экстраполяция. В самом деле, из слов Вайбеля ([585], с. 123 – 124) можно заключить, что на этапах после пятнадцатого диаметр трубок больше не уменьшается (т. е. показатель Δ перестает быть определенным). Длина трубок также становится больше, чем можно было ожидать, исходя из соображений подобия, причем предельный коэффициент равен 2. На рис. 237 видно, что самоподобные ветви прорастают примерно на половину ближайшего доступного пустого пространства и, следовательно, коэффициент 2 выглядит в высшей степени логично. Кроме того, последнее обстоятельство еще раз показывает, что программа роста легких обусловлена исключительно свойствами пространства и не нуждается в каком-либо дополнительном кодировании.

 

СНОВА О ГЕОМЕТРИИ КРОВЕНОСНЫХ СОСУДОВ

Вернемся к кульминационному моменту главы 15, где я заявил, что фрактальные чудовища Лебега – Осгуда составляют самую сущность нашей плоти. Допустим, что область ветвления (артерии) занимает примерно 3% объема области (тело), и что область подходит бесконечно близко к каждой точке области . Я утверждаю, что толщина ветвей области должна уменьшаться быстрее, чем это происходит в самоподобных деревьях. Теперь, когда мы установили, что в некоторых случаях скорость уменьшения толщины характеризуется показателем Δ, мы вполне можем поинтересоваться, определен ли этот показатель для артерий.

Представьте себе, он и в самом деле определен в широком поддиапазоне от 8-го до 30-го разветвления, которые происходят между сердцем и капиллярами; более того, об этом факте известно уже почти столетие. Р. Тома [567], а затем Р. Гроут [178] подвели итоги своих экспериментальных исследований, и пришли к значению Δ=2,7. Их оценка была исчерпывающим образом подтверждена Сувой и Такахаси [546].

 

НАСТОЯЩИЕ ДЕРЕВЬЯ

Налюбовавшись объектами, к которым термин дерево применим только фигурально, мы возвращаемся к тем деревьям, которые изучает ботаника. «Нормальными» в данном случае представляются значения D=3 и Δ=2, обусловленные аналитическими соображениями. Разумеется, они вряд ли универсальны: при столь поразительном разнообразии ботанических форм наверняка найдутся отклонения, подчас даже более интересные, чем «норма». Равенство Δ=2 имеет любопытное следствие: если поставить рядом почти самоподобное дерево бронхов и дерево-растение, то ветви последнего покажутся чрезвычайно редкими. Сквозь точную модель легкого ничего нельзя разглядеть, тогда, как лишенная листвы крона дерева свободно просматривается во всех направлениях.

Причина того, что D и Δ принимают целочисленные значения, соответствующие евклидовым размерностям объемных тел и поверхностей, заключается, по мнению д' Арси Томпсона, в том, что «рост дерева управляется простыми физическими законами, которые и определяют величину относительных изменений в объеме и площади». Более конкретное объяснение находим в работе [191]: «Задачу об энергетическом обмене в дереве можно упростить, представив дерево как систему, в которой необходимо оросить наибольшую возможную площадь при наименьшем производимом объеме, обеспечив одновременный отвод поглощенной энергии». Поскольку объемы и площади несоизмеримы между собой в рамках евклидовой геометрии, геометрическая задача об архитектуре деревьев является, по сути, фрактальной. Фрактальный характер этой задачи становится еще более очевидным в тех случаях, когда ни D, ни Δ не являются целыми числами.

 

ЗНАЧЕНИЯ

D

И

Δ

НАСТОЯЩИХ ДЕРЕВЬЕВ

Значение D=3 . Читателю хорошо известно, что наибольшая возможная площадь поверхности листьев дерева может быть достигнута в том случае, если они образуют поверхность, заполняющую пространство. В качестве приближенной модели можно взять куст, листья или иголки которого располагаются очень близко к любой точке внутри определенного ограниченного объема (за исключением, пожалуй, мертвого остова, который нам не виден). Для пропускания же внутрь солнечного света и воздуха вполне достаточно очень небольшой разницы 3−D.

Зонтики. Тем не менее, различные ограничения, налагаемые на архитектуру дерева, могут помешать реализации равенства D=3. Единственной стандартной альтернативой является стандартная же поверхность с размерностью D=2: например, поверхность сферического «зонтика», скрывающая под собой сердцевину, состоящую из ветвей без листьев. Вот почему Хорн [223], ограничивающийся стандартной геометрией, допускает как D=3, так и D=2. Как бы то ни было, я не вижу явных преимуществ в структуре с D=2; более того, чтобы концы ветвей образовали в итоге сферический зонтик, рост этих самых ветвей должен следовать весьма причудливым правилам.

С другой стороны, взяв на вооружение фрактальную геометрию, «зодчий деревьев» получает гораздо бóльшую творческую свободу. Во-первых, «многократно зубчатые» поверхности крон многих больших деревьев можно представить в виде масштабно-инвариантных фракталов с размерностью D между 2 и 3, причем разным значениям D будут соответствовать различные формы. На ум снова приходят цветная капуста и брокколи, но о них мы поговорим чуть позже, так как они представляют собой несколько иной случай. Можно вспомнить и о ползучих растениях, скудный лиственный покров которых образует поверхность с размерностью меньше 2 (а еще подумайте о том, что деревья бонсаи, которым так старательно придается «гармоничная» форма, также фрактальны, D<3).

Значение Δ=2 . Правило Леонардо да Винчи, процитированное в начале этой главы, не годится для легких (Δ=3) и артерий (Δ=2,7), однако анатомия растений отличается от анатомии человека. Значение Δ=2 основывается на представлении о дереве как о совокупности неветвящихся труб фиксированного диаметра, соединяющих корни с листьями и занимающих неизменную долю поперечного сечения каждой ветви. Циммерман говорит, что японцы называют такое представление «трубчатой моделью».

Измерение Δ . Эмпирические свидетельства оказываются на удивление скудными и косвенными. Мюррей ([439], процитировано также в [568]), установил опытным путем, что вес ветви пропорционален ее диаметру, возведенному в степень M, где M~2,5, хотя я бы сказал, что обнаруженное им M было несколько больше. Он утверждает также, что M=Δ, однако мой анализ дает иное соотношение: M=2+Δ/D. При D=3 значение Леонардо Δ=2 соответствовало бы M~2,66, тогда как M~2,5 дает всего лишь Δ=1,5. Некоторое время назад профессор Макмагон любезно передал мне данные относительно трех «деревьев Макмагона», использованные при написании статьи [423], и я, таким образом, получил возможность лично проанализировать эти данные. Обозначим d1 /d через x, а d2 /d через y и отыщем такой показатель Δ, чтобы значения X=xΔ и Y=yΔ принадлежали прямой X+Y=1. К сожалению, разброс опытных данных чрезвычайно велик при любом Δ, и оценка величины Δ с неизбежностью оказывается недостоверной. Тем не менее, этот результат не опровергает значения Δ=2, лишь предполагает чуть меньшее Δ. В настоящий момент мы, пожалуй, можем благополучно заключить, что показатель Δ=2 является достаточно разумным приближением, не забывая о том, что древесная архитектура придерживается консервативных принципов, поэтому дочерние ветви оказываются несколько тоньше, чем это, строго говоря, необходимо.

Следствия равенств D=3 и Δ=2 . Следствие первое: площадь листьев на ветви пропорциональна как занимаемому ветвью объему, так и поперечному сечению ветви. Этот вывод был сделан Хубером в 1928 г. и, действительно, подтверждается эмпирически.

Следствие второе: отношение квадрата высоты дерева к кубу диаметра ствола постоянно для любого вида деревьев и равно отношению куба линейной меры объема впитываемой ветвью жидкости к квадрату диаметра ветви. Можно также ожидать, что у деревьев разных видов величина этого отношения различается незначительно. Заметим, что сила, прилагаемая ветром к лишенному листьев дереву (или к дереву с листьями) приблизительно пропорциональна площади поверхности ветвей (или, соответственно, ветвей и листьев), а также пропорциональна кубу высоты дерева в данной модели. Сопротивление же ствола ветру пропорционально квадрату его диаметра. Следовательно, можно предположить, что отношение этих величин представляет собой коэффициент прочности дерева.

В зонтичном дереве с Δ=2 и D=2 отношение квадрата высоты дерева к кубу диаметра его ствола постоянно, равно как постоянно и более общее отношение (высота дерева)D /(диаметр ствола)Δ .

Отступление о костях задних ног. Отношение между высотой и диаметром, характеризующее настоящие деревья с D=3 и Δ=2, справедливо также и для скелетов животных, только буквой d здесь обозначается диаметр главной опорной кости.

 

УПРУГИЙ СКЕЙЛИНГ ПО ГРИНХИЛЛУ

Легочные и сосудистые деревья поддерживаются снаружи; большинство растений поддерживают себя сами. Гринхилл (цитирую по [568], издание 1961 г.) вводит на этом этапе понятие упругости (в противоположность геометрическому подобию). Идея статического упругого подобия заключается в том, что общая высота дерева не должна превышать некоторого фиксированного процента от критической высоты прогиба под действием собственного веса однородного цилиндра с таким же диаметром основания. Это условие дает в точности те же результаты, что и фракталы с D=3 и Δ=2. То есть «трубчатое» дерево с заполняющими пространство листьями прогибаться не будет.

Макмагон и Кронауэр [423] развили идею Гринхилла, введя понятие динамического упругого подобия, и получили все тот же результат.

 

РАСТЕНИЯ С

D=Δ<3

Ствол некоторых растений служит не только в качестве опоры для веса и трубы для перекачки соков, но и в качестве хранилища для питательных веществ. В таких случаях – и даже когда сосудистая система растения соответствует «трубчатой модели» - показатель Δ не обязательно должен быть равен 2.

На рис. 235 изображено дерево, концы веток которого образуют нестандартный «зонтик» с размерностью D<3 и Δ=D (на рисунке, разумеется, представлен плоский вариант, соответствующие показатели раны D−1 и Δ−1). Хорошо видно, что геометрическая цветная капуста имеет характерные пустые включения – совсем как настоящая цветная капуста, выросшая на грядке. Простое совпадение? Природе нет нужды загромождать генетический код характеристиками, предопределяемыми геометрией.

Рис. 235. Плоские фрактальные модели цветов

Возьмем любое из зонтичных деревьев на рис. 223 с θ<π и заменим каждый прямолинейный отрезок равнобедренным треугольником, в котором указанный отрезок займет место одной из сторон, при этом углы у концов отрезков будут равны θ/2 (корневой конец) и π−θ. Поскольку угол θ имеет наименьшее, позволяющее избежать самопересечений дерева, значение, наши утолщенные треугольные стебли также не пересекаются, но заполняют внутреннюю область «зонтика». Чтобы сделать рисунки более наглядными, треугольники на одном из них были слегка подрезаны с одной стороны.

Заметим, что ветви быстро истончаются по мере того, как значение размерности D приближается к 1 или к 2 (в пространственной кривой, соответственно, к 2 или к 3). Соответствуют ли наблюдаемые в действительности значения D наибольшей возможной толщине ветвей?

Рис. 236 и 237. Заполняющие пространство рекурсивные бронхи

«Поддеревья», построенные из двух первых ветвей, подобны целому дереву, но каждое со своим коэффициентом подобия (обозначим их через r1 и r2 ). Все дерево самоподобным не является, так как наряду с поддеревьями оно включает в себя и ствол. С другой стороны, множество асимптотических концов ветвей самоподобно. Согласно пояснению к рис. 87 и 88, размерностью подобия называется размерность D, удовлетворяющая равенству . В верхней фигуре на рис. 237 концы ветвей почти заполняют плоскость, и значение разности 2−D мало; в нижней фигуре D значительно меньше 2.

Кстати, при постоянном отношении диаметра к длине коразмерность 3−D соответствующей пространственной структуры оказывается меньше, чем коразмерность 2−D ее плоского варианта.

Рис. 236. Эта сложная фигура представляет собой результат кохова построения дерева, в котором на каждом этапе генератор изменяется так, чтобы отношение толщины к длине постепенно уменьшалось до 0. В левой части рисунка это отношение уменьшается быстрее, чем в правой. Как следствие, множество концов ветвей перестает быть самоподобным, однако все же достигает размерности D=2. Вот вам еще один способ достижения цели, поставленной в главе 15.

Рис. 237. При рекурсии Коха все прямолинейные интервалы любого конечного приближения порождают в следующем приближении ломаные, состоящие из более коротких отрезков. Во многих случаях бывает полезно обобщить эту процедуру, позволив определенным интервалам оставаться «бесплодными», т. е. неизменными на последующих этапах построения.

В данном случае такая обобщенная процедура использована для выращивания «дерева». Начинаем со ствола с бесплодными стенками и плодоносной «почкой» на конце. Почка порождает две «ветви», в которых плодоносными являются опять только «почки» на концах. И так далее до бесконечности. Для того чтобы дерево заполнило без пустот и самопересечений приблизительно прямоугольную область плоскости, рост его намеренно асимметричен. Однако асимптотических самокасаний мы избегать не стремились; и в самом деле, всякая точка, принадлежащая линии «коры», может быть получена как предел окончания какой-либо ветви.

 

ЕЩЕ О ГЕОМЕТРИИ МОЗГА

Обсуждая в главе 12 поверхность мозга, мы не принимали во внимание сеть аксонов, соединяющих различные его части. В случае мозжечка аксоны соединяют его поверхность с внешним веществом, и мы получаем в результате поверхность серого вещества, которая обволакивает дерево, состоящее из белого вещества. Я пересмотрел рассуждения главы 12 с учетом этого дерева и нашел, что полученные при этом поправочные члены для соотношения между площадью и объемом позволяют достичь лучшего согласия с экспериментальными данными. Однако это слишком длинная история, и вряд ли стоит пересказывать ее здесь.

Ветвление нейронов. Клетки Пуркинье в мозжечке млекопитающего имеют почти плоскую форму, а их дендриты образуют заполняющий плоскость лабиринт. По мере перехода от млекопитающего к голубям, крокодилам, лягушкам и рыбам плотность заполнения уменьшается [314]. Было бы замечательно, если бы это уменьшение соответствовало уменьшению размерности D; однако это не так, и предположение о фрактальной природе нейронов пока остается лишь предположением.

Закон Ролла. У. Ролл [486] отмечает, что нейронные деревья с постоянным значением dΔ , где Δ=1,5, электрически эквивалентны цилиндрам и, следовательно, весьма удобны для изучения. За подробностями рекомендую обратиться к [238].

 

КАКОВА ШИРИНА РЕКИ МИССУРИ?

Вернемся к рекам. Несмотря на концептуальную значимость моей «пеанианской» модели (см. главу 7), она может рассматриваться лишь как первое приближение. Эта модель, в частности, предполагает, что ширина реки обращается в нуль, тогда как реальные реки всегда имеют положительную ширину.

Необходимо найти ответ на очень важный эмпирический вопрос – сохраняется ли неизменным диаметрический показатель Δ на протяжении всех разветвлений реки? Если показатель Δ определен, возникает другой вопрос: положительна разность 2−Δ или равна нулю? Я не знаю прямого способа ответить на эти вопросы, однако известно, что объем стока речной воды (Q) остается при разветвлениях постоянным, следовательно, вполне может заменить величину dΔ . Мэддок (см. [297]) обнаружил, что d~Q1/2 , отсюда Δ=2. Кроме того, глубина реки пропорциональна Q0,4 , а скорость течения пропорциональна Q0,1 . И сумма показателей не обманывает наших ожиданий: 0,5+0,4+0,1=1.

Еще в 30-е г. Дж. Лейси заметил, что равенство Δ=2 верно и для системы устойчивых ирригационных каналов в Индии, которая ставит перед специалистами по гидравлике вполне определенные задачи. Значит, можно надеяться на появление какого-нибудь гидромеханического объяснения, которое станет для рек тем же, чем стало объяснение Мюррея для легких.

Равенство Δ=2 имеет еще одно интересное следствие: если изобразить реки на карте в виде лент, правильно передав их относительную ширину, то, исходя из формы рек, угадать масштаб карты невозможно. (Угадать масштаб невозможно и на карте речных излучин, но это уже совсем другая история.)

Те, кто полагает, будто Леонардо знал обо всем на свете, несомненно, увидят показатель Δ=2 в продолжение цитаты, которая открывала эту главу: «Совокупная ширина всех ветвей (потока) воды на любой стадии его течения равна ширине основного потока (при условии, что скорости течения всех потоков одинаковы)».