Большая часть настоящего эссе посвящена фракталам, которые либо полностью инвариантны при преобразованиях подобия, либо, по меньшей мере, «почти» инвариантны. В результате у читателя может сложиться впечатление, что понятие фрактала неразрывно связано с самоподобием. Это решительно не так, однако поскольку мы только начинаем знакомиться с фрактальной геометрией, мы должны, прежде всего, рассмотреть своего рода фрактальные аналоги прямых линий евклидовой геометрии… мы можем называть их «линейными фракталами».

В главах 18 и 19 мы сделаем следующий шаг. В них вкратце описываются свойства фракталов, которые представляют собой соответственно наименьшие множества, инвариантные при геометрической инверсии, и границы наибольших ограниченных множеств, инвариантных при возведении в квадрат.

Оба этих семейства фундаментально отличаются от самоподобных фракталов. При должным образом выбранных преобразованиях масштабируемые фракталы остаются инвариантными, однако для их построения необходимо указать форму генератора и установить некоторые другие правила. С другой стороны, одного того, что фрактал «генерируется» каким-либо нелинейным преобразованием, часто бывает достаточно для определения, т. е. генерации, его формы. Кроме того, многие нелинейные фракталы ограничены, т. е. имеют заранее заданный конечный внешний порог Ω<∞. Те, кого по каким-либо причинам не устраивала неограниченность Ω, будут, несомненно, обрадованы этим обстоятельством.

Первые самоинверсные фракталы были представлены на суд публики в 80-х гг. XIX в. Анри Пуанкаре и Феликсом Клейном вскоре после того, как Вейерштрасс построил непрерывную, но не дифференцируемую функцию – примерно в одно время с множествами Кантора и задолго до кривых Пеано и Коха и их масштабно-инвариантных родственников. Ирония заключается в том, что самоподобные фракталы нашли себе надежное место под солнцем в качестве материала для всевозможных контрпримеров и математических игр, в то время как самоинверсные фракталы образовали узкоспециальный раздел теории автоморфных функций. Теорией этой некоторое время никто не занимался, затем она возродилась, но в весьма абстрактной форме. Одна из причин того, что самоинверсные фракталы оказались полузабыты, состоит в том, что их действительная форма оставалась неисследованной вплоть до настоящей главы, в которой вашему вниманию будет предложен новый эффективный способ их построения.

В последнем разделе главы мы рассмотрим одну физическую проблему, главным героем которой оказывается простейший самоинверсный фрактал.

 

БИОЛОГИЧЕСКАЯ ФОРМА И «ПРОСТОТА»

Как мы вскоре увидим, многие нелинейные фракталы имеют «органический внешний вид», поэтому данное отступление посвящено биологической теме. Биологические формы часто чрезвычайно сложны, и может показаться, что программы, отвечающие за выращивание таких форм, должны быть очень громоздкими. Особенно парадоксальными представляются случаи, когда внешняя сложность не служит, на первый взгляд, никакой разумной цели (а так случается довольно часто среди относительно простых живых существ) – почему бы Природе не стереть эти громоздкие программы из генетического кода и не освободить место для чего-нибудь действительно полезного?

Однако структура упомянутых сложных форм очень часто включает в себя многочисленные повторы. Вспомните, как в конце главы 6 мы говорили о том, что кривую Коха нельзя считать ни иррегулярной, ни чрезмерно сложной, поскольку она порождается простым и систематическим правилом. Все дело в том, что правило применяется снова и снова, последовательными циклами. В главе 17 эти соображения распространены на кодирование структуры легких.

В главах 18 и 19 мы намерены пойти гораздо дальше и обнаружить, что одни фракталы, построенные согласно нелинейным правилам, напоминают то насекомых, то головоногих, тогда как другие похожи на растения. Парадокс исчезает, уступая место невероятно тяжелому труду воплощения идей в реальность.

 

СТАНДАРТНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНВЕРСИЯ

Следующей по сложности геометрической фигурой после прямой является в евклидовой геометрии окружность, причем окружность остается окружностью не только при преобразовании подобия, но и при преобразовании обратными радиусами, т. е. инверсии. Многие ученые последний раз слышали об инверсии еще в школьные годы, поэтому, на мой взгляд, не лишним будет повторить основные положения. Возьмем окружность C радиуса R с центром в точке O; инверсия по отношению к окружности C преобразует некоторую точку P в точку P', такую, что P и P' лежат на одном луче с началом в точке O, причем длины отрезков и удовлетворяют равенству . Окружности, содержащие точку O, инвертируются в прямые, содержащие точки O, и наоборот (см. рисунок). Окружности, не содержащие точку O, инвертируются в окружности (рисунок внизу справа). Окружности, ортогональные C, и прямые, проходящие через точку O, остаются инвариантными при инверсии относительно C (рисунок внизу слева).

Рассмотрим теперь совокупность трех окружностей: C1 , C2 и C3 . Обычно – например, когда открытые ограниченные круги, границами которых являются окружности Cm , не пересекаются – существует окружность Γ, ортогональная каждой из окружностей Cm . Если окружность Γ существует, она совместно самоинверсна относительно Cm .

Эти краткие сведения практически исчерпывают то, что стандартная геометрия способна нам поведать о самоинверсных множествах. Остальные самоинверсные множества фрактальны, и большинство из них можно назвать какими угодно, но никак не гладкими.

Генератор. Самоинверсные множества. Как обычно, мы начинаем с генератора, который в данном случае состоит из некоторого (какого угодно) числа M окружностей Cm . Преобразования, представляющие собой последовательность инверсий относительно этих окружностей, составляют то, что алгебраисты назвали бы группой, порождаемой этими инверсиями; обозначим ее буквой . Для обозначения самоинверсного множества имеется и формальный термин: «множество, инвариантное под действием операций группы ».

Затравки и кланы. Возьмем любое множество S (назовем его затравкой) и добавим к нему преобразования множества S под действием всех операций группы . Результат, который мы назовем здесь кланом S, является самоинверсным. Хотя, конечно, смотреть тут особо не на что. Например, если множество S представляет собой расширенную плоскость (т. е. плоскость плюс точка в бесконечности), то клан S абсолютно идентичен множеству .

Химические инверсные группы. Кроме того, может случиться так, что при некоторой заданной группе , основанной на инверсиях, клан каждой области S покрывает всю плоскость целиком. В этом случае самоинверсное множество также должно представлять собой всю плоскость целиком. По причинам, которые прояснятся в главе 20, я предлагаю называть такие группы хаотическими. Нехаотическими группами мы обязаны Пуанкаре, однако они носят имя Клейна: дело в том, что Пуанкаре однажды ошибочно приписал какую-то из предыдущих работ Клейна Л. Фуксу; Клейн выразил протест, и Пуанкаре в знак примирения пообещал, что назовет свое следующее великое открытие именем Клейна – и ведь назвал!

Придерживаясь пока нехаотических групп, обсудим три самоинверсных множества, отобранных еще Пуанкаре, затем еще одно множество неясного происхождения и, наконец, пятое, важность которого я обнаружил самостоятельно.

 

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОЗАИКА ИЛИ ТАЙЛИНГ

Не многим из поклонникам творчества Морица Эшера известно, что этот знаменитый рисовальщик частенько черпал вдохновение непосредственно из трудов «неизвестных» математиков и физиков (см. [89]). Вся его работа часто состояла в простом добавлении украшений к самоинверсным мозаикам, известным Пуанкаре и представленным на многочисленных иллюстрациях в [154].

Эти множества (обозначим их через ) получаются посредством объединения кланов самих окружностей Cm .

Так как группа нехаотична, дополнением объединенных кланов окружностей Cm является совокупность круговых многоугольников, называемых «открытыми плитками». Любую открытую плитку (или ее замыкание) можно трансформировать в любую другую открытую (или замкнутую) плитку посредством последовательности инверсий, принадлежащих группе . Иными словами, клан любой замкнутой плитки есть . Что более важно, клан любой открытой плитки есть дополнение множества . А является, так сказать «раствором», на который укладываются эти плитки. Плоскость самоинверсна. Множество и его дополнение также самоинверсны и образуют «гиперболическое разбиение» или «мозаику» на плоскости . (Английское слово tessellation, «мозаика», происходит от латинского tessera «квадрат», которое, в свою очередь, восходит к греческому τεσσαρες «четыре», однако плитки вовсе не обязательно должны быть четырехугольными – подойдет любое число, большее 2.) А на рисунках Эшера каждая плитка украшена вдобавок причудливой картинкой.

 

ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО ИНВЕРСНОЙ ГРУППЫ

Самым интересным самоинверсным множеством является самое маленькое. Оно называется предельным множеством (и обозначается буквой ), поскольку является также множеством предельных точек преобразований любой исходной точки под действием операций группы . Оно принадлежит клану любой затравки S. Проясним формальное определение: множество состоит из таких предельных точек, которые не могут быть получены конечным числом инверсий. На интуитивном уровне это множество можно представить как область скопления бесконечно малых потомков.

Множество можно свести к точке или окружности, однако в общем случае оно является фрагментированным и/или/ иррегулярным фрактальным множеством.

Множество стоит в мозаике особняком, как «множество бесконечно малых плиток». Оно играет по отношению к конечным элементам мозаики такую же роль, какую играют концы ветвей (см. главу 16) по отношению к самим ветвям. Однако здесь ситуация проще: подобно мозаика представляет собой самоинверсное множество без остатка.

Множество называется аполлониевым, если оно состоит из бесконечного количества окружностей вместе с их предельными точками. В данном случае его фрактальность является исключительно следствием фрагментации. Этот прецедент был изучен и осмыслен (хотя и в несколько многословной манере) на раннем этапе истории предмета.

Сначала мы построим основной пример, а затем покажем его самоинверсность. Аполлоний Пергский – это древнегреческий математик, живший в III в. до нашей эры. Он был представителем александрийской школы и верным последователем Евклида и известен, помимо прочего, тем, что составил алгоритм построения пяти окружностей, касательных к трем заданным окружностям. В том случае, когда заданные окружности взаимно касательны, число аполлониевых кругов равно двум. Как мы вскоре убедимся, вполне можно предположить, не потеряв при этом в общности, что две из заданных окружностей являются внешними по отношению друг к другу, но содержаться внутри третьей.

Эти три окружности определяют два круговых треугольника, углы которых равны 0°. А аполлониевы окружности - это наибольшие окружности, какие можно вписать в эти треугольники.

Законченное аполлониево построение включает в себя пять окружностей, три заданных и две аполлониевых, которые вместе определяют шесть круговых треугольников. Повторяя вышеописанную процедуру, впишем в каждый треугольник наибольшую возможную окружность. Результат бесконечного повторения такой процедуры называется аполлониевой упаковкой. А если добавить к этой бесконечной совокупности окружностей ее предельные точки, то получится множество, которое я назвал аполлониевой сетью. Область сети, заключенную внутри кругового треугольника (как показано на рисунке) будем называть аполлониевой салфеткой.

Если одну из аполлониевых окружностей первого поколения заменить на любую из заданных внутренних окружностей, предельное множество никак не изменится. Если указанной аполлониевой окружностью заменить внешнюю заданную окружность, то построение начинается с трех заданных окружностей, внешних по отношению друг к другу, и одна из аполлониевых окружностей первого этапа окажется наименьшей окружностью, описанной вокруг трех заданных. После такого нетипичного этапа построение продолжается так же, как описано выше, подтверждая то, что наш рисунок и в самом деле соответствует наиболее общему случаю.

Упаковка Лейбница. Аполлониева упаковка похожа на конструкцию, которую я называю круговой упаковкой Лейбница, так как, насколько мне известно, впервые она была описана в письме Лейбница к де Броссу: «Представьте себе окружность, а затем впишите в нее еще три окружности наибольшего возможного радиуса, конгруэнтные друг другу: повторите аналогичную операцию с каждой из этих окружностей и с каждым промежутком между ними. А теперь вообразите, что этот процесс продолжен до бесконечности…»

 

АПОЛЛОНИЕВЫ СЕТИ САМОИНВЕРСНЫ

Вернемся к началу построения аполлониевой сети: трем касательным окружностям. Добавим сюда любую из соответствующих аполлониевых окружностей и назовем получившиеся четыре окружности Γ - окружностями. Все четыре показаны на нижеследующем рисунке жирными линиями.

Существует четыре комбинации из трех Γ - окружностей (мы будем называть их триплетами), и каждой из них соответствует окружность, ортогональная каждой окружности триплета. Возьмем эти новые окружности в качестве генератора и обозначим через C1 , C2 , C3 и C4 (на рисунке ниже они показаны тонкими линиями). А Γ - окружность, ортогональную окружностям Ci , Cj и Ck , обозначим как Γijk .

Разделавшись с нудным развешиванием ярлыков, получаем заслуженную награду. Даже самое поверхностное рассмотрение показывает, что наименьшее (замкнутое) множество, самоинверсное по отношению к четырем порождающим окружностям Cm , представляет собой аполлониеву сеть, построенную на четырех Γ-окружностях. Любопытно, что об этом наблюдении никто явным образом не сообщает, хотя оно должно быть известно довольно широко.

При более тщательном изучении мы увидим, что каждая окружность в сети преобразуется в одну из Γ-окружностей, проходя через уникальную последовательность инверсий относительно окружностей C. Таким образом, принадлежащие аполлониевы сети окружности можно рассортировать на четыре клана, причем клан, нисходящий от окружности Γijk , мы будем обозначать как Γijk .

 

ВЯЗАНИЕ СЕТЕЙ ИЗ ОДНОЙ НИТИ

Аполлониева салфетка и салфетка Серпинского (рис. 205) имеют одно важное общее свойство: дополнение салфетки Серпинского представляет собой объединение треугольников (σ-треугольник), а дополнение аполлониевой сети или салфетки есть объединение дисков (σ- диск).

Однако нам также известно, что салфетка Серпинского допускает альтернативное кохово построение, в котором конечные приближения являются терагонами (ломаными линиями) без самокасаний, а двойные точки появляются только в пределе. Это означает, что салфетку Серпинского можно построить, не отрывая карандаша от бумаги; через некоторые точки линия пройдет дважды, но она никогда не пройдет дважды по одному отрезку прямой.

Выражаясь метафорически, салфетку Серпинского можно связать из одной-единственной нити!

То же верно и для аполлониевой сети.

 

НЕСАМОПОДОБНЫЕ КАСКАДЫ И ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТИ

Круговые треугольники аполлониевой упаковки не подобны друг другу, следовательно, аполлониев каскад не самоподобен, а аполлониева сеть не является масштабно-инвариантным множеством. Сейчас следовало бы обратиться к определению Хаусдорфа – Безиковича для размерности D (как показателя, определяющего меру), которое применимо к любому множеству, однако получение D таким способом оказывается удивительно сложным делом. На данный момент наилучшим результатом (см. работы Бойда [50, 51]) является следующий:

1,300197

хотя его же последние (еще не опубликованные) численные эксперименты дают D~1,3058.

В любом случае, поскольку D есть дробное число, а DT =1, аполлониевы салфетка и сеть являются фрактальными кривыми. В данном контексте величина D представляет собой меру фрагментации. Если, например, «удалить» диски, радиус которых меньше ε, то периметр оставшихся промежутков будет пропорционален ε1−D , а площадь – пропорциональна ε2−D .

 

МНОЖЕСТВО

В НЕФУКСОВЫХ ЦЕПЯХ ПУАНКАРЕ

Самоинверсные фракталы, получаемые при инверсиях относительно не столь особых конфигураций порождающих окружностей Cm , оказываются более сложными, чем любая аполлониева сеть. Чуть позже я познакомлю вас со своей собственной рабочей конструкцией, которая в большинстве случаев вполне удовлетворительно характеризует множество . Она является большим шагом вперед по сравнению с предыдущим, предложенным Пуанкаре и Клейном, методом, который весьма громоздок и очень медленно сходится.

Однако старый метод также сохраняет свою значимость, поэтому я предлагаю рассмотреть его на примере особого случая. Пусть окружности Cm образуют конфигурацию, которую можно назвать цепью Пуанкаре; эта конфигурация представляет собой совокупность M окружностей Cm , расположенных по кругу и соответственно пронумерованных, так что окружность Cm касательна к Cm−1 и Cm+1 (по модулю M) и не пересекает никаких других окружностей цепи. В этом случае множество представляет собой кривую, которая разделяет плоскость на две области – внешнюю и внутреннюю. (Воздавая должное Камилю Жордану, который первым обнаружил неочевидность того, что плоскость можно таким образом разделить одной-единственной петлей, такие петли называются с тех пор кривыми Жордана.)

В случае, когда все окружности Cm ортогональны одной окружности Γ, множество совпадает с Γ. Этот случай, называемый фуксовым, в настоящей главе не рассматривается.

Построение Пуанкаре для множества . Ниже приводится полное описание общепринятого построения множества и моего альтернативного варианта для случая особой цепи с M=4, показанной на следующем рисунке.

Для получения Пуанкаре и Клейн (см. [154]) поэтапно заменяют исходную цепь цепями, составляемыми из все возрастающего числа все уменьшающихся звеньев. На первом этапе каждое звено Ci заменяется инверсиями остальных звеньев Cm относительно Ci ; таким образом, получается, в общей сложности, M(M−1)=12 меньших звеньев. Они показаны на рисунке справа вверху на фоне негативного изображения исходных звеньев. И так далее – на каждом этапе мы берем полученную на предыдущем этапе цепь и инвертируем ее относительно каждого из исходных звеньев Cm . На рисунке черным цветом показано несколько последовательных этапов построения, причем каждый из них наложен на результат предыдущего этапа, показанный белым цветом на сером фоне. В конце концов, цепь истончается в нить, т. е. в .

К сожалению, некоторые звенья и после достаточно большого количества этапов остаются довольно крупными, и даже сильно продвинутые аппроксимации предельной цепи дают довольно слабое представление о множестве . Это неприятное свойство прекрасно иллюстрирует рисунок 255.

 

ПОНЯТИЕ О ФРАКТАЛЬНОЙ ОСКУЛЯЦИИ

Мой способ построения множества основан на новом для нас понятии фрактальной оскуляции, которое расширяет рамки ее очевидного воплощения в аполлониевом случае.

Стандартная оскуляция. Это понятие непосредственно связано с концепцией кривизны. Первым приближением стандартной кривой в окрестности регулярной точки P является касательная прямая. Вторым приближением является окружность, касательная к которой в этой точке совпадает с упомянутой прямой, а кривизна – с кривизной кривой. Такая окружность называется оскулирующей.

Для различения окружностей, касательных к данной кривой в точке P, очень удобно использовать параметр (обозначим его буквой u), который представляет собой инверсию интервала (произвольно ориентированного), соединяющего точку P с центром окружности. Обозначим индекс оскулирующей окружности через u0 . Если uu0 , то – с другой.

Величина u0 есть то, что физики называют критическим значением, а математики – разрезом. Кроме того, значение определяет локальную «кривизну».

Глобальная фрактальная оскуляция. В случае аполлониевой сети попытка определить оскуляцию через кривизну лишена смысла. Однако в любой точке сети, где касательны две принадлежащие упаковке окружности, они, очевидно, «охватывают» остаток множества , заключенный между ними. Возникает искушение назвать их обе окружности оскулирующими.

Для того чтобы распространить это понятие на неаполлониевы множества , выберем точку, в которой имеет касательную, и возьмем в качестве отправной точки определение обыкновенной оскуляции, основанное на понятии критичности (или разреза). Новизна же заключается в том, что при −∞u', которые определим следующим образом: при любом u целиком лежит с одной стороны нашей окружности, при любом u>u'' - с другой, а при u' находятся и с той, и с другой стороны окружности. Что же касается окружностей с индексами, равными u' и u'', я предлагаю их обе считать фрактально оскулирующими.

Любая окружность ограничивает два открытых диска (один из них содержит центр этой окружности, другой – точку в бесконечности). Открытые диски, ограниченные оскулирующими окружностями и не принадлежащие множеству , мы будем называть оскулирующими дисками.

Случается и так, что одна или обе оскулирующие окружности вырождаются в точку.

Локальное и глобальное. Возвращаясь к стандартной оскуляции, заметим, что эта концепция является локальной, так как ее определение никак не зависит от формы кривой на каком-либо удалении от точки P. Иными словами, кривая, касательная к ней и оскулирующая окружность могут иметь сколько угодно точек пересечения кроме P. Напротив, приведенное выше определение фрактальной оскуляции глобально, хотя это различие и не принципиально. Фрактальную оскуляцию можно определить и локально, причем с соответствующим расщеплением «кривизны» на два числа. Как бы то ни было, в нашей теперешней задаче глобальная и локальная оскуляции совпадают.

Оскулирующие треугольники. С аналогом глобальной фрактальной оскуляции мы, если помните, уже встречались. Для того чтобы определить внутреннюю область нашей старой знакомой снежинки Коха (кривой ) как σ- треугольник, достаточно увеличивать треугольники, выкладываемые на каждом следующем этапе построения фигуры, изображенной на рис. 70, настолько, насколько это возможно без пересечения их со снежинкой.

 

Σ

- ДИСКИ, ОСКУЛИРУЮЩИЕ МНОЖЕСТВО

Оскулирующие диски и σ- диски являются ключевыми фигурами в моем новом, свободном от перечисленных на с. 247 недостатков, способе построения множества . Этот способ демонстрируется в полном виде впервые (хотя о нем уже упоминалось в 1980 г. в «Математическом календаре»). Суть его в том, что следует инвертировать не сами окружности Cm , а некоторые из окружностей Γijk , которые (согласно определению на с. 244) ортогональны триплетам Ci , Cj и Ck . Здесь мы опять полагаем, что не все окружности Γijk совпадают с одиночной окружностью Γ.

Ограничение M=4 . Если ограничить число исходных окружностей M четырьмя, то мы сможем быть уверены в том, что для любого триплета i, j, k один из двух открытых дисков, ограниченных окружностью Γijk (т.е. либо внутренний, либо наружный), не содержит ни одной из точек , определенных на с. 247. Обозначим этот свободный от точек γ диск через Δijk .

Основой моего способа построения послужили следующие наблюдения: все свободные от γ диски Δijk оскулируют ; таким же свойством обладают их инверсии и повторные инверсии относительно окружностей Cm , а кланы, построенные с применением дисков Δijk в качестве затравок, заполняют всю плоскость за исключением кривой .

На рис. 253 мы воспользуемся той же цепью Пуанкаре, какую вы уже видели на с. 247, но изобразим ее в более крупном масштабе. Как и в большинстве случаев, первый этап построения обрисовывает кривую довольно точно. Последующие этапы весьма «эффективно» добавляют все более мелкие детали, и после нескольких этапов мы уже вполне можем мысленно интерполировать кривую , не отвлекаясь на ошибки, от которых, к сожалению, не свободен подход Пуанкаре.

 

ОБОБЩЕНИЯ

Цепи из пяти и более звеньев. В случае, когда число исходных звеньев в цепи Пуанкаре превышает четыре, мой новый способ построения множества включает в себя дополнительный шаг: сначала следует разделить окружности Γ на две группы. Дело в том, что некоторые из окружностей Γ в этом случае таковы, что каждый из ограниченных ими открытых дисков содержит, по меньшей мере, одну точку , в результате чего диск Δijk оказывается, не определен. Такие окружности Γ не оскулируют кривую , а пересекают ее. Однако для построения кривой они нам не нужны.

Остальные окружности Γijk определяют оскулирующие диски Δijk , которые в свою очередь, также делятся на два класса. При добавлении к диску Δijk первого класса его кланов мы получим внутреннюю область кривой ; проделав же такую операцию с диском, принадлежащим ко второму классу, получим внешнюю область .

Это верно для многих (но не для всех) случаев, когда окружности Cm не образуют цепь Пуанкаре.

Перекрывающиеся и/или/ разорванные цепи. В случае, когда окружности Cm и Cn имеют две точки пересечения и , эти точки совместно заменяют точку γ. Если же окружности Cm и Cn не имеют ни одной точки пересечения, γ заменяется двумя взаимно инверсными точками и . Критерий идентификации Δijk становится при этом довольно громоздким, однако основная идея остается неизменной.

Разветвленные самоинверсные фракталы. Кривая может соединять в себе характерные особенности как смятой петли (кривой Жордана), так и аполлониевой сети, в результате чего мы получаем фрактально разветвленную кривую, близкую к тем, что мы рассматривали в главе 14, но часто гораздо более причудливого вида (см., например, рис. С7).

Самоинверсные пыли. Множество может также оказаться фрактальной пылью.

 

АПОЛЛОНИЕВА МОДЕЛЬ СМЕКТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

В этом разделе мы ознакомимся с ролью, которую понятия аполлониевой упаковки и фрактальной размерности играют в описании класса веществ, известных под названием «жидкие кристаллы». В процессе этого ознакомления нам предстоит обратиться к одной из наиболее активных областей современной физики – теории критических точек. Примером критической точки может служить «точка» на диаграмме температура-давление, описывающая физические условия, при которых в пределах одной физической системы могут сосуществовать в равновесии твердая, жидкая и газообразная фазы. Аналитические характеристики физической системы в окрестности критической точки масштабно-инвариантны, следовательно, подчиняются степенным законам с некими конкретными критическими показателями (см. главу 36). Многие из этих показателей оказываются фрактальными размерностями, и вот перед вами первый пример.

Поскольку жидкие кристаллы не так хорошо известны широкой публике, как того хотелось бы, я начну с их описания, для чего обращусь к статье Брэгга [52]. Эти прекрасные и таинственные субстанции подвижны, как жидкости, однако с оптической точки зрения ведут себя подобно кристаллам. Их длинные цепеобразные молекулы имеют довольно сложную структуру. Некоторые жидкокристаллические фазы называются смектическими (от греч. σμηγμα, что означает «мыло»), так как моделируют мылообразные органические системы. Молекулы смектического жидкого кристалла расположены в слое вертикально и параллельно друг другу, как колосья на поле, при этом толщина слоя равна длине молекулы. В результате получаются очень гибкие и прочные слои или листы, которые, будучи деформированными, стремятся вернуть себе прежнюю форму. При низких температурах слои располагаются один на другом, точно листы в книге, образуя при этом твердый кристалл. Однако при повышении температуры становится возможным легко сдвигать слои относительно друг друга. Каждый слой представляет собой двумерную жидкость.

Особый интерес представляют фокальные конические структуры. Жидкокристаллический блок разделяется на два набора пирамид, причем основания половины из них располагаются на одной из двух противоположных граней, а вершины - на другой. Жидкокристаллические слои внутри каждой пирамиды оказываются свернутыми и образуют множество и приблизительно перпендикулярны плоскости основания пирамиды. В результате основанием каждого конуса является диск, ограниченный окружностью. Минимальный радиус ε такой окружности равен толщине слоя жидкого кристалла. Когда конусы заключены внутри пространственной области – в данном случае, пирамиды с квадратным основанием, - диски, образующие основания конусов, распределяются по основанию этой области (пирамиды). Для получения равномерного распределения следует начать с размещения на основании диска наибольшего радиуса. Затем поместим диски наибольшего возможного радиуса в каждый из остающихся углов и так далее. Если бы было возможно продолжать такое размещение до бесконечности, мы получили бы в точности аполлониеву упаковку.

Физические свойства такой модели мыла зависят от общих площади и периметра пустых промежутков, которые связаны с фрактальной размерностью D, своего рода фотографического «негатива», т.е. салфетки, сквозь отверстия которой не проходят молекулы мыла. Физические подробности можно найти в работе [32].

Рис. 253. Самоинверсный фрактал (построение Мандельброта)

Верхняя фигура. В цепях Пуанкаре с M=4 по крайней мере один из дисков Δijk (назовем его Δ123 ) всегда не ограничен и пересекается с диском Δ341 . (На данном рисунке диск Δ341 также не ограничен, однако в других случаях это не так.) Объединение дисков Δ123 и Δ341 (показанное на рисунке серым цветом) дает первое приближение области, внешней к кривой . Оно аналогично приближению области, внешней к кривой Коха , с помощью правильного выпуклого шестиугольника (см. рис. 71).

Диски Δ234 и Δ412 также пересекаются, и их объединение (показанное на рисунке черным цветом) дает первое приближение внутренней области . Оно аналогично приближению внутренней области кривой с помощью двух треугольников, образующих правильную шестиконечную звезду (см. рис. 71).

Средняя фигура. Второе приближение области, внешней к кривой , достигается добавлением к дискам Δ123 и Δ341 их инверсий относительно окружностей C4 и C2 , соответственно. Результат (серая область) аналогичен второму приближению области, внешней к кривой , на рис. 71.

Соответствующее второе приближение внутренней области достигается добавлением к дискам Δ234 и Δ412 их инверсий относительно окружностей C1 и C3 , соответственно. Результат (черная область) аналогичен второму приближению внутренней области кривой на рис. 71.

Нижняя фигура. Внешняя область (серый цвет) является объединением кланов Δ123 и Δ341 . Внутренняя же (черный цвет) – объединением кланов Δ234 и Δ412 . Тонкая структура внутренней области показана на рис. 255 внизу (при построении использованы разные цепи Пуанкаре). Черная и серая открытые области вместе покрывают всю плоскость (за вычетом кривой ).

Рис. 254. Самографический фрактал (вблизи предела Пеано)

Группы, основанные на инверсиях, интересуют математиков, прежде всего потому, что они связаны с определенными группами гомографией. Гомография (называемая также гомографией Мебиуса или дробно-линейным преобразованием) отображает z- плоскость по закону z→(az+b)/(cz+d), где ad−bc=1. В наиболее общем виде эта гомография может быть представлена как результат инверсии, симметрии относительно линии (что есть вырожденная инверсия) и вращения. Вот почему при отсутствии вращения исследователь гомографией может почерпнуть много интересного из изучения групп, основанных на инверсиях. Очевидно, однако, что введение вращений открывает новые богатые возможности.

На рисунке изображен пример предельного множества для группы гомографий. Построил его Дэвид Мамфорд (в ходе исследований, стимулом для которых послужили новые результаты, о которых говорится в данной главе), а затем любезно разрешил опубликовать свое построение в этой книге. Фигура эта почти заполняет плоскость и демонстрирует поразительные аналоги (и равно поразительные различия) с почти заполняющей плоскость кривой, изображенной на рис. 270.

Фрактальная природа предельного множества группы гомографий в широком диапазоне условий была доказана Т. Акадзой, А. Ф. Бирдоном, Р. Боуэном, С. Дж. Паттерсоном и Д. Салливеном. См. [545].

Рис. 255. Знаменитый самоинверсный фрактал, исправленный вариант (построение Мандельброта)

Рисунок вверху слева воспроизводит рис. 156 из книги Фрикке и Клейна [154], который призван изображать самоинверсный (в моей терминологии) фрактал, генератор которого состоит из пяти окружностей, ограничивающих центральную область (она показана черным цветом). Этот рисунок весьма часто появляется в математической литературе.

Действительной формой этого фрактала является контур фигуры, изображенной вверху справа; фигура эта построена с помощью моего метода оскулирующих σ- дисков. Расхождение, конечно, ужасное. Фрикке знал, что кривая должна содержать окружности, и велел иллюстратору включить их в рисунок. Обо всем остальном он не знал и, очевидно, даже не подозревал, насколько иррегулярной фигуры ему следует ожидать.

В действительности кривая включает в себя границу фигуры, построенной справа внизу с использованием моего алгоритма. Эта граница представляет собой самоинверсный фрактал, соответствующий четырем из тех порождающих окружностей, что образуют цепь Пуанкаре. Ясно видно, что преобразования при иных инверсиях принадлежит . Этот рисунок подробно рассмотрен в работе [400].

 

В этой главе мы рассмотрим два семейства очень простых нелинейных преобразований (или отображений) и исследуем несколько таких фрактальных множеств, которые при этих преобразованиях остаются инвариантными и для которых они могут служить генераторами.

Во-первых, дробно-линейное преобразование вещественной линии поможет нам лучше понять нашу старую знакомую – канторову пыль. Эти замечания, конечно, можно было вставить в главу 8, однако мне кажется, что они будут лучше восприняты на данном этапе.

Они, в частности, помогают оценить результаты вещественных и комплексных квадратичных преобразований вида x→f* (x)=x2 −μ, где x и μ вещественны, и z→f* (z)=z2 −μ, где z=x+iy и μ - комплексные числа.

Элементарный случай μ=0 довольно скучен с геометрической точки зрения, однако другие значения μ ведут к потрясающим фрактальным красотам, многие из которых были впервые продемонстрированы в статье [398].

Удобнее всего получать упомянутые инвариантные формы с помощью итераций (т. е. многократных применений) одного из вышеуказанных преобразований. Исходные значения мы будем обозначать через x0 или z0 , а результаты k- й итерации функции f* - через xk или zk .

Хронологически изучение итераций можно разделить на три этапа. Первый, связанный с комплексной переменной z, прошел под знаменами Пьера Фату (1878 – 1929) и Гастона Жюлиа (1893 – 1978). Их публикации являются шедеврами классического комплексного анализа, ими восхищаются математики, однако на их фундаменте чрезвычайно сложно что-нибудь построить. В своей работе, о которой данная глава дает лишь весьма сжатое представление, я стараюсь придать бóльшую наглядность их основным открытиям, объединяя анализ с физикой и подробными иллюстрациями, в результате чего обнаруживается великое множество неизвестных ранее фактов.

Последовавшее за этими открытиями возрождение помогло установить тесную связь свойств итераций с теорией фракталов. Из того факта, что находки Фату и Жюлиа оказались недостаточно проработаны для того, чтобы стать основой теории фракталов, мы можем сделать вывод, что даже классический анализ нуждается иногда в наглядности и интуитивной понятности, причем компьютерное моделирование может оказать ему в этом смысле серьезную помощь.

Следующий, промежуточный, этап включает в себя исследования Мирбергом итераций вещественных квадратичных отображений (см., например, [440], а также труды Штейна и Улама [538] и Бролина [55]).

На текущем этапе исследователи, по бóльшей части, игнорируют прошлое и сосредоточивают свои усилия на отображениях интервала [0,1] в себя (за подробностями рекомендую обратиться к обзорам [180], [209], [83], [144] и [219]). В последнем разделе главы рассматривается показатель δ по [179] и [142]: доказывается, что существование δ следует из более явного свойства итераций в комплексной плоскости (т. е. их фрактальности).

 

ВОЗМОЖНОСТЬ ПОЛУЧЕНИЯ КАНТОРОВОЙ ПЫЛИ ПОСРЕДСТВОМ НЕЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Из главы 8 нам известно, что троичная канторова пыль C инвариантна при преобразовании подобия, если коэффициент подобия имеет вид 3−k . Это самоподобие является, безусловно, очень важным свойством, однако его недостаточно для определения C. Напротив, мы можем полностью определить множество C как наибольшее ограниченное множество, инвариантное при следующем нелинейном преобразовании («перевернутое V»):

, где r=1/3.

Точнее, мы многократно повторяем это самоотображение вещественной оси, при этом исходное значение x0 «размазано» по оси x, а окончательные значения сводятся к точке x=−∞ и канторовой пыли C. Неподвижные точки x=0 и x=3/4 принадлежат C.

Набросок доказательства инвариантности множества C . Поскольку f(x)=3x при x<0, итерации всех точек x0 <0 сходятся к −∞ прямо, т.е. всегда справедливо неравенство xn <0. Для точек x0 >1 прямой сходимости предшествует один предварительный этап, так как xk <0 для всех k≥1. Для точек в пустой области z/30, но xk <0 для всех k≥2. Для точек в пустых областях 1/9

 

КОНЕЧНОСТЬ ВНЕШНЕГО ПОРОГА

Для того чтобы распространить эти выводы на обобщенную канторову пыль с N=2 и r в интервале от 0 до 1/2, достаточно вставить желаемое значение r в выражение . Если вы хотите получить какую-либо другую пыль, вам нужно лишь проследить, чтобы график функции f(x) имел соответствующую зигзагообразную форму.

Однако аналогичного метода для экстраполяции канторовой пыли на всю вещественную ось не существует. Это – частное проявление одного очень общего свойства: нелинейная функция f(x), как правило, заключает в себе некоторый конечный внешний предел Ω=∞; при возникновении необходимости в конечном пороге его приходится вводить искусственно.

 

АНАТОМИЯ КАНТОРОВОЙ ПЫЛИ

Из главы 7 нам известно, что множество C является очень «разреженным», и все же поведение итераций f(x) приводит к лучшему пониманию тонких различий между его точками.

Вряд ли кто при первом знакомстве с канторовым множеством смог избежать искушения предположить, что оно в конечном итоге сходится к концевым точкам открытых пустых областей. Тем не менее, такое предположение весьма далеко от истины, поскольку множество C содержит, по определению, все пределы последовательностей концевых точек пустот.

Этот факт не считается интуитивно очевидным. Я (равно как и мои соратники и единомышленники) вполне понял бы, если бы наш многострадальный старый знакомец Ганс Хан внес эти предельные точки в свой список концепций, существование которых может оправдать лишь холодная логика. Однако из настоящего обсуждения мы с вами вынесем интуитивное доказательство того, что упомянутые предельные точки обладают сильными и отличными от других индивидуальностями.

Например, точка x=3/4, которую функция f(x) оставляет неизменной, не принадлежит ни какому-либо из интервалов средней трети, ни границе какого-либо из этих интервалов. Итерация точек вида x=(1/4)/3k сходятся к точке x=3/4. Кроме того, существует бесконечное множество предельных циклов, каждый из которых состоит из конечного числа точек. Множество C содержит также точки, преобразования которых бесконечно перемещаются вокруг него самого.

 

ГЕНЕРАТОР КВАДРАТОВ

Производящая функция f(x) преобразования «перевернутое », используемая в предыдущих разделах, была выбрана из-за того, что она дает знакомый нам результат. Однако полученная с ее помощью канторова пыль выглядит несколько надуманной. Заменим ее функцией

x→f(x)=λx(1−x),

неожиданное богатство свойств которой было впервые замечено Фату [139]. Сдвинув точку начала координат, изменив масштаб оси x и положив μ=λ2 /4−λ/2, можно записать эту функцию в следующем виде:

x→f* (x)=x2 −μ.

Исходя из соображений удобства, мы будем использовать то f(x), то f* (x).

Мне представляется уместным назвать функцию f(x) (или f* (x)) генератором квадратов. Возведение в квадрат является, безусловно, алгебраической операцией, однако здесь оно получает геометрическую интерпретацию, поэтому множества, которые оно оставляет инвариантными, можно называть самоквадратируемыми. Строго говоря, возведение в квадрат заменяет точку абсциссы с координатой x точкой абсциссы с координатой x2 . Таким образом, самоквадратируемых точек на оси всего три: x=∞, x=0 и x=1. Может показаться, что добавление - μ едва ли способно что-либо в этом изменить, однако на самом деле оно открывает множество самых неожиданных возможностей, рассмотрением которых мы и займемся ниже.

 

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ САМОКВАДРАТИРУЕМЫЕ ПЫЛЕВИДНЫЕ МНОЖЕСТВА ФАТУ

Произведя на свет всем хорошо известный конечный продукт (а именно – канторову пыль), - преобразование значительно облегчило нам задачу по изложению сути удивительного, однако никогда не пользовавшегося широкой известностью открытия Пьера Фату. Допустив, что число λ вещественно и удовлетворяет неравенству λ>4, Фату [139] исследует наибольшее из ограниченных множеств на , остающихся инвариантными при преобразовании f(x). Это множество, которое я называю вещественной пылью Фату, можно считать близким родственником канторовой пыли. Дальнейших объяснений оно не требует; что касается портрета, то он представлен на рис. 273.

В комплексной плоскости при вышеуказанных значениях λ наибольшим ограниченным самоквадратируемым множеством остается вещественная пыль Фату.

 

САМОКВАДРАТИРУЕМЫЕ КРИВЫЕ ЖЮЛИА НА ПЛОСКОСТИ [398]

Положив μ=0, получаем простейшую самоквадратируемую кривую – окружность . При преобразовании z→z2 кольцо, однократно опоясывающее окружность, растягивается в кольцо, опоясывающее эту же окружность дважды, причем «пряжка» при z=1 остается неподвижной. Соответствующая наибольшая ограниченная самоквадратируемая область – диск .

Однако введение вещественного μ≠0 (см. рис. 264 и 266) или любого комплексного μ (рис. 271 и 270) открывает настоящий ящик Пандоры, доверху набитый бесконечными возможностями, имя которым фрактальные кривые Жюлиа. Они радуют глаз в той степени, в какой дают пищу для ума.

Сепаратор S . Топология наибольшего ограниченного самоквадратируемого множества зависит от того, где расположена точка μ по отношению к открытой мною разветвленной кривой S, которую я теперь называю сепаратором. Сепаратор – это связная граница черной фигуры на рис. 268 (внизу); иначе говоря, это некая «предельная лемниската», т.е. предел при n→∞ алгебраических кривых, называемых лемнискатами и определяемых выражением , где R есть некоторое большое число. Структура кривой S показана на рис. 269.

Атомы. Открытая область внутри S разбивается на бесконечное множество максимально связных множеств, которые я предлагаю называть «атомами». Границы двух атомов либо совсем не пересекаются, либо имеют одну общую точку (назовем ее «связью»), которая принадлежит S.

Топологическая размерность. Когда точка μ лежит вне области, ограниченной кривой S, наибольшим ограниченным квадратируемым множеством является пыль (пыль Фату). Если же μ находится внутри S или является связью, то таким наибольшим множеством будет область, ограниченная некоторой самоквадратируемой кривой. Из принадлежащих S точек, μ по крайней мере, несколько дают древовидную кривую.

Самоквадратируемые фракталы. Если верить слухам, то фрактальность вышеупомянутых пылей и кривых при μ≠0 была полностью доказана Денисом Салливеном и для некоторых других случаев, и я ничуть не сомневаюсь, что такое доказательство осуществимо для всех случаев без исключения.

Форма самоквадрируемой пыли или кривой изменяется непрерывно вместе с μ; следовательно, размерность D должна быть гладкой функцией от μ.

Ветвление. Когда λ находится внутри одного из открытых пустых дисков, изображенных на рис. 269 (вверху), самоквадратируемая кривая будет простой замкнутой кривой (петлей без ветвления), как на рис. 264 и 266.

Когда λ принадлежит окружностям или или лежит в окружающей их открытой связной области, самоквадратируемая кривая имеет вид разветвленной сети с тремами, ограниченными фрактальными петлями, как драконы на рис. 270.

Когда же λ лежит внутри молекул-островов, которые, как мы вскоре покажем, являются областями не стремления к точке , самоквадратируемая кривая представляет собой либо σ- петлю, либо σ - дракона, как на рис. 271 (внизу). Новой петли σ не вводит.

Рис. 264. Самоквадрируемые фрактальные кривые при вещественном значении λ

Фигуры на рисунках 264 – 273 публикуются впервые (за некоторыми исключениями, использованными мною в [398]).

Слева представлены наибольшие ограниченные самоквадрируемые области при различных значениях λ (а именно, 1,0; 1,5; 2,0; 2,5 и 3,0). Черная фигура в центре охватывает интервал [0,1].

 

λ=1

: ДВУСТВОРЧАТАЯ РАКОВИНА.

λ=3 : дракон Сан-Марко. Своего рода безудержная математическая экстраполяция очертаний венецианской базилики на фоне неба вместе с ее отражением в затопленной пьяцце: я окрестил эту кривую драконом Сан-Марко.

Справа помещена кривая при λ=3,3260680. Это значение λ является ядерным (согласно определению на с. 262) и соответствует периоду . Кривая развернута на 90°, иначе она не входила в отведенные для иллюстрации рамки.

Рис. 266. Обобщение самоквадрируемых фрактальных кривых при вещественных λ

Изображенная на рисунке «драпировка» была построена в памяти компьютера с помощью процесса, который сводится к отсечению от исходного куба всех точек, итерации которых при отображении z→λz(1−z) уходят в бесконечность. Параметр λ - вещественное число, изменяющееся в интервале от 1 до 4. Ось λ расположена вертикально, а координаты x и y образуют комплексное число z=x+iy.

Любое горизонтальное сечение представляет собой наибольшую ограниченную самоквадрируемую область с соответствующими значениями параметра μ.

При особом значении λ=2 границей сечения является окружность; будем считать ее «поясом» нашей задрапированной фигуры.

При всех остальных значениях λ границами сечений являются фрактальные кривые, включая и те, что изображены на рис. 264. Можно различить замечательные «складки», расположение которых изменяется в зависимости от λ; ниже пояса они «вдавлены» внутрь, а выше пояса выступают наружу.

Особый интерес представляют наросты на стене, с которой свисает драпировка. К сожалению, данная иллюстрация не может показать сложную структуру верхней части модели во всей ее красе. А). Для каждого значения λ драпировка включает в себя (в качестве своего рода «опоры») фрактальное дерево, составленное из итерированных прообразов точек x - интервала [0,1]. При всех малых и некоторых больших значениях λ<3 ветви этого дерева обладают по всей своей длине некоторой толщиной. Однако при других больших значениях λ от дерева остается лишь голый остов, полностью лишенный толщины. На рисунке мы можем видеть ветви вдоль прямых x=1/2 или y=0, остальные же при данном графическом процессе неизбежно оказываются потеряны. Б). Некоторые горизонтальные участки стены за драпировкой полностью покрыты крохотными «холмами» или «складками», однако мы можем увидеть лишь немногие, самые выдающиеся из них. Эти холмы и складки относятся к «молекулам – островам» (см. рис. 268 и 269), пересекающим вещественную ось. С учетом замечаний А) и Б) теория Мирберга – Фейгенбаума предстает в более общем виде.

Рис. 268 и 269. Сепараторы отображений z→λz(1−z) и z→z2 −μ

Рис. 268 (внизу). μ - отображение. Значения μ внутри замкнутой черной области, ограниченной фрактальной кривой, таковы, что итерации точки z0 =0 при отображении z→z2 −μ не уходят в бесконечность. Большая точка заострения соответствует точке μ=−1/4, а самая правая точка – точке μ=2.

Рис. 269 (вверху). λ - отображение. Значения λ внутри замкнутой черной области и внутри пустого диска удовлетворяют неравенству Reλ>1 и таковы, что итерации точки z0 =1/2 при отображении z→λz(1−z) не уходят в бесконечность. Полное λ - отображение симметрично относительно прямой Reλ=1.

Диск и диск без точки λ=0 . Значения λ внутри этих областей таковы, что итерации точки z0 =1/2 сходятся к некоторой ограниченной предельной точке.

Корона и отростки. Снаружи пустых дисков λ - отображение образует «корону». Она разбивается на «отростки», «корнями» которых являются «принимающие связи», определяемые как точки вида λ=exp(2πim/n), где m/n - неприводимое рациональное число, меньшее 1.

Рис. 268 (вверху). На рисунке показана часть инверсии λ - отображения относительно точки λ=1. Если внимательно рассмотреть на λ - отображении отростки, корни которых имеют вид λ=exp(2πi/n), может сложиться впечатление, что «соответствующие точки» лежат на окружностях. Рисунок подтверждает истинность этого впечатления. Правильность других кажущихся окружностей подтверждается с помощью других инверсий.

Молекулы – острова. Многие «пятна», возникающие при вышеописанных отображениях, представляют собой истинные «молекулы – острова», о которых впервые сообщается в [398]. Форма такой молекулы идентична форме всего μ - отображения целиком, если не учитывать нелинейного искажения.

Сепаратор, основания и деревья. Граница заполненной черной области при λ и μ - отображениях является связной кривой; так как эту кривую обнаружил я, моим долгом было дать ей имя – я назвал ее сепаратором S. Множество внутри ограниченной этой кривой области разбивается на открытые атомы (см. текст). Обозначив период атома через , определим его основание как кривую, на которой значение вещественно.

Основания, лежащие на вещественной оси, известны в теории самоотображений как интервал [0,1], а их замыкание – как интервал [-2,4].

Словом, я обнаружил, что замыкание других атомных оснований разбивается на совокупность деревьев, каждое из которых укореняется на принимающей связи. В каждой точке такого дерева мы имеем несколько степеней ветвления – степень ветвления для концов ветвей плюс порядки бифуркации, ведущей к корню дерева. Кроме того, когда корень дерева приходится на атом-остров, сюда следует добавить порядки бифуркации, ведущей от дисков и к этому атому.

Рис. 269 (внизу слева). Здесь представлена подробная картина λ - отображения вблизи точки λ=2−exp(−2πi/3). Множество внутри S представляет собой предел областей вида fn (1/2)

Рис. 269 (внизу справа). Здесь представлена подробная картина λ - отображения вблизи точки λ=2−exp(−2πi/100). У этого стократно ветвящегося дерева и у z - отображения на рис. 270 имеется несколько весьма удивительных общих свойств.

Рис. 271 и 270. Самоквадрируемые драконы; приближение к «пределу Пеано»

Каждая самоквадрируемая кривая привлекательна по-своему. Я, например, нахожу самыми привлекательными «драконов», изображенных на этих рисунках и на рис. С5.

Драконья линька. Дракон, возводящий сам себя в квадрат, представляет собой совершенно бесподобное зрелище! Чудовищная «линька» отделяет бесчисленные складки от кожи на брюхе и спине дракона. Затем она растягивает шкуру на брюхе и спине так, что ее длина – которая, разумеется, и без того бесконечна – увеличивается вдвое! Затем шкура вновь складывается вдоль спины и брюха. И наконец, на последнем этапе, все складки аккуратно водворяются на новые места.

Фрактальная геральдика. Не следует путать самоквадрируемых драконов с самоподобным драконом от Хартера и Хейтуэя (рис. 101 и 102). Читателю предоставляется прекрасная возможность развлечься, отыскивая немногие сходные черты и многочисленные различия.

Последовательные бифуркации. Наилучшие самоквадрируемые драконы получаются, когда точка λ располагается в отростке (см. рис. 269), который соответствует значению θ/2π=m/n, где m и n - малые целые числа. При бифуркации заданного порядка n вокруг каждой точки сочленения появляется драконьих голов – или хвостов, если хотите. Вторая бифуркация порядка m'/n' разбивает каждую из этих областей на n' «сосискообразных» связей и еще более утончает их.

Чтобы получить умеренно упитанного дракона – ни чрезмерно тучного, ни слишком костлявого, - следует поместить точку λ внутри отростка на некотором расстоянии от его корня. Красиво перекрученные драконы получаются, когда точка λ лежит около одного из двух суботростков, соответствующих порядку бифуркации от 4 до 10: один из суботростков дает изгиб влево, другой – вправо.

Рис. 271 (вверху справа). «Истощенный дракон». Дракон, испытавший на себе бесконечное число бифуркаций, теряет всю свою плоть и ссыхается в скелетообразную разветвленную кривую.

Если множество не расходится в бесконечность, его топологическая размерность равна 0 (для пылевидных множеств Фату), 1 (для недоедающих драконов) и 2 (для всех остальных драконов).

Рис. 271 (внизу). σ - дракон. Это множество связно, точка λ лежит на большом «прибрежном острове» с рис. 269 (внизу).

Рис. 270. Особый предел λ=1 . Драконы Пеано. Выберем точку λ на острове, расположенном недалеко от связи при θ=2π/n. При n→∞ величина θ→0; следовательно, λ стремится к 1. Форма соответствующего дракона неизбежно должна устремиться к форме двустворчатой раковины (образующей основание задрапированной фигуры на рис. 266). Однако между n=∞ и n очень большим, но конечным, имеется все же качественное различие.

По мере того, как n→∞, растет число конечностей дракона, его шкура сминается, а ее размерность при этом возрастает. Вся конструкция представляется этаким «драконом-отшельником», пытающимся забиться внутрь двустворчатой раковины λ=1 и способным заполнить всю ее внутреннюю область без остатка, т.е. размерность дракона стремится к D=2. Что же получается? Самоквадрируемая кривая Пеано? Безусловно; однако, как нам известно из главы 7, кривые Пеано вовсе не являются кривыми. Так происходит и здесь: по достижении размерности D=2 наш дракон прекращает свое существование в виде кривой и перевоплощается в область плоскости.

Рис. 273. Вещественные самоквадрируемые пылевидные множества Фату на интервале [0,1]

Работа Фату [139] представляет собой истинный шедевр в рамках того странного литературного жанра, который называется «заметки в «Отчетах» Парижской Академии наук». Задача пишущего в этом жанре часто сводится к тому, чтобы раскрыть по возможности меньше, но при этом создать впечатление, что автор учел все, что только можно было учесть.

Среди прочих восхитительных откровений, которые лучше всего понимаешь только после тщательного самостоятельного изучения, Фату отмечает следующее: когда число λ вещественно и либо λ>4, либо λ<−2, наибольшее ограниченное множество, остающееся инвариантным при преобразовании x→f(x)=λx(1−x), представляет собой пыль, заключенную в интервале [0,1]. На рисунке показана форма этой пыли при λ>4. По вертикальной оси откладывается величина −4/λ в интервале от −1 до 5. Концевые точки x1 и x2 средней тремы являются решениями уравнения λx(1−x)=1; на рисунке они образуют параболу. Тремы второго порядка оканчиваются в точках x1,1 , x1,2 , x2,1 и x2,2 - таких, что λxm,n (1−xm,n )=xm , и так далее.

Мне думается, что эта замечательная связь между пылевидными множествами, подобными канторовым, и одной из элементарнейших функций заслуживает самой широкой известности, не ограниченной узким кругом специалистов.

 

μ

- АТОМЫ И

μ

- МОЛЕКУЛЫ

При дальнейшем исследовании параметрического отображения нам будет удобнее пользоваться параметром μ. μ - атом может иметь сердцевидную форму – в этом случае он является «затравкой», с которой связывается бесконечное множество атомов овальной формы (как непосредственно, так и через атомы – посредники). Совокупность взаимно связанных атомов и связей между ними образует «молекулу». Точка заострения затравки связью не бывает никогда.

Каждому атому сопоставлено некоторое целое число , его «период». Когда точка μ лежит внутри атома периода , итерации уходят в бесконечность или образуют устойчивый предельный цикл, состоящий из точек. Внутри атома периода справедливо неравенство , причем равенство описывает точку заострения, или «корневую» точку. Каждый атом содержит точку (назовем ее «ядром»), в которой выполняются равенства и .

О ядрах, расположенных на вещественной оси, впервые сообщил Мирберг в 1962 г. [440]; после этого они сплыли лишь в 1973 г. (см. [430]). Соответствующие отображения часто называют «сверхустойчивыми» (см. [83]).

Если рассматривать равенство как алгебраическое уравнение относительно μ, то его порядок равен . Следовательно, может существовать не более атомов периода ; в действительности их меньше, за исключением случая . При уравнение имеет два корня, однако один из них уже является ядром «предыдущего» атома периода 1. В более общем виде все корни уравнения являются также корнями уравнения , где k - целое число, большее 1. Заметим далее, что каждая рациональная граничная точка, расположенная на границе атома периода и удовлетворяющая условию , где m/n - неприводимое рациональное число, меньшее 1, заключает в себе «принимающую связь», готовую присоединить атом периода . Как следствие, некоторые новые атомы соединяются с существующими принимающими связями. Однако в этот процесс оказываются вовлечены не все новые атомы, и оставшимся не остается ничего иного, как послужить затравкой для новых молекул. Таким образом, число молекул бесконечно.

Когда значение μ непрерывно изменяется внутри молекулы, каждое направленное наружу прохождение связи ведет к бифуркации: умножается на n. Пример: увеличение вещественного μ приводит к мирбергову удвоению периода. Инверсия бифуркации, которая я рассматриваю в [398] и называю слиянием, должна прекратиться по достижении периода затравки молекулы. Молекула-континент является областью слияния в c=1, а каждая молекула-остров является областью слияния с c>1. Форма дракона или субдракона регулируется значениями и .

 

СЕПАРАТОР КАК ФРАКТАЛЬНАЯ КРИВАЯ; ПОКАЗАТЕЛЬ ФЕЙГЕНБАУМА

δ

КАК СЛЕДСТВИЕ

Я предполагаю, исходя из «перенормировочных» соображений, что чем дальше находятся атомы от затравки своей молекулы, тем более идентичными становятся их формы.

Следствие: граница каждой молекулы локально самоподобна. Так как она не является гладкой в малом масштабе, мы можем считать ее фрактальной кривой.

Это локальное самоподобие позволяет обобщить одно свойство бифуркации Мирберга, о котором сообщают Гроссман и Томэ [179], а также Фейгенбаум [142]. Длины отрезков, отсекаемых все уменьшающимися отростками на вещественной оси λ и μ, образуют убывающую геометрическую прогрессию с коэффициентом δ=4,66920... (см. [83]). Первоначально считалось, что существование коэффициента δ обусловлено особенностями аналитического метода. Рассмотренный в новом свете показатель δ оказывается связан с более широким свойством фрактального скейлинга.

Каждая бифуркация из m>2 ветвей вводит дополнительный базисный коэффициент.

 

Эта глава имеет своей целью познакомить читателя с одной теорией, которая развивалась вне всякой связи с фрактальными множествами и все же оказалась буквально пронизана ими. Чаще всего ее называют «теорией странных аттракторов и хаотической (или стохастической) эволюции», однако в тексте главы вы, я надеюсь, найдете причины, побудившие меня дать этой теории новое имя (см. заголовок).

Для того чтобы попасть в настоящее эссе упомянутой теории, достаточно было всего лишь быть так или иначе связанной с фракталами; я же считаю оправданным посвятить ей целую главу. Первое оправдание (практическое): эта теория почти не требует какого бы то ни было особого представления, так как бóльшую часть ее основных положений можно рассматривать просто как новую интерпретацию выводов, полученных нами в главах 18 и 19.

Во-вторых, теория фрактальных аттракторов помогает – путем противопоставления – прояснить некоторые особенности фрактальной геометрии природы. В самом деле, моя работа связана, в основном, с формами, присутствующими в реальном пространстве, с формами, которые можно увидеть, пусть даже и в микроскоп; теория аттракторов же имеет дело исключительно с эволюцией во времени расположения неких точек в невидимом и абстрактном репрезентативном пространстве.

Особенно силен этот контраст оказывается в контексте турбулентности – моя первая большая тема (работу над ней я начал в 1964 г.), где я использовал ранние формы фрактальных методик и (вполне независимо от них) теорию странных аттракторов, которая вполне всерьез сочетается с изучением турбулентности в работе [505]. До сих пор эти два подхода еще не пересеклись, но ждать осталось недолго.

Тем, кто интересуется социологией науки, несомненно, покажется занимательным следующий факт: в то время как мои прецедентные исследования, связывающие математических чудовищ с реальными физическими структурами, встречаются с ощутимым сопротивлением, чудовищные формы абстрактных аттракторов воспринимаются с завидной невозмутимостью.

Третий довод в пользу необходимости разговора о фрактальных аттракторах связан с тем, что соответствующие эволюции выглядят «хаотическими» или «стохастическими». Как станет ясно из глав 21 и 22, многие ученые сомневаются в уместности применения случайного в науке; теперь же появляется надежда на оправдание случайности с помощью фрактальных аттракторов.

И наконец, те читатели, кто несколько глав (или пару эссе) назад согласился с моим утверждением о том, что многие из природных проявлений могут быть описаны только с помощью неких множеств, считавшихся ранее патологическими, возможно, с нетерпением ожидают перехода от «как» к «почему». Думаю, приведенные ранее описания и демонстрации дают представление о том, как легко в некоторых случаях оказывается подсластить упомянутые в предыдущих главах геометрические пилюли, чтобы их легче было проглотить. Я же хочу привить читателю вкус именно к фракталам – независимо от того, насколько горьким кажется этот вкус большинству зрелых ученых. Кроме того, я искренне убежден (и еще вернусь к этому в главе 42), что псевдообъяснение посредством подслащивания просто-напросто неинтересно. Таким образом, важность объяснения, судя по всему, сильно преувеличена, и мы будем прибегать к нему лишь в тех случаях, когда имеющееся объяснение действительно интересно – как, например, в главе 11. Вдобавок ко всему, я подозреваю, что когда фрактальные аттракторы лягут в основу фрактальной геометрии видимых естественных форм, появится много новых более детальных и убедительных объяснений.

Так как преобразования с аттракторами нелинейны, наблюдаемые фракталы, скорее всего, окажутся не самоподобными. Это замечательно: мне кажется, что использование фрактального аналога прямой для описания феноменов, управляемых нелинейными уравнениями, выглядит несколько парадоксально. Масштабно-инвариантные фракталы, хорошо объясняющие естественные феномены, могут выступать лишь как локальные приближения нелинейных фракталов.

 

ПОНЯТИЕ АТТРАКТОРА

Настоящая глава опирается, по большей части, на одно давнее и весьма основательно позабытое наблюдение Анри Пуанкаре: «орбиты» нелинейных динамических систем имеют свойство притягиваться к странным множествам, которые я определяю как нелинейные фракталы.

Рассмотрим для начала простейший аттрактор – точку. «Орбита», определяемая движением маленького шарика после помещения его в воронку, начинает с некоторой спиралевидной траектории, точная форма которой зависит от исходных положения и скорости шарика, однако, в конце концов, сходится к горловине воронки; если диаметр шарика превышает диаметр отверстия воронки, то он там и останется. Для нашего шарика начало горловины воронки является устойчивой точкой равновесия, или устойчивой неподвижной точкой. В рамках достаточно удобной альтернативной описательной терминологии (которую, естественно, не следует интерпретировать с антропоцентрических позиций) горловину воронки можно назвать притягивающей точкой, или аттрактором.

В физической системе устойчивыми и притягивающими могут быть также окружность или эллипс. Например, мы все полагаем (и даже пламенно надеемся – хотя никто из нас не проживет достаточно долго для того, чтобы это имело хот какое-то значение), что солнечная система устойчива, подразумевая, что если орбите Земли и суждено претерпеть какие- либо возмущения, то она, в конце концов «притянется» назад на свою теперешнюю колею.

В более общем виде, динамическую систему принято определять следующим образом: состояние системы в момент времени t представляется точкой σ(t) на прямой, в плоскости, либо в некотором более многомерном евклидовом «фазовом пространстве» , а ее эволюция между моментами tи t+Δt определяется правилами, в которые величина t явным образом не входит. Любую точку в фазовом пространстве можно принять за начальное состояние σ(0) при t=0, а за ней последует орбита, определяемая функцией σ(t) для всех t>0.

Основное различие между такими системами заключается в геометрическом распределении значений σ(t) при больших значениях t. Принято говорить, что динамическая система имеет аттрактор, если существует некое правильное подмножество фазового пространства , обладающее следующим свойством: при почти любой начальной точке σ(0) и достаточно большом t точка σ(t) оказывается в малой окрестности какой-либо точки, принадлежащей .

 

ПОНЯТИЕ РЕПЕЛЛЕРА

Мы можем также поместить наш шарик в положение неустойчивого равновесия – например, на кончике карандаша. Если начальное положение не совпадает в точности с точкой равновесия, то шарик словно отталкивается прочь и достигает состояния устойчивого равновесия где-то в другом месте.

Множество всех положений неустойчивого равновесия (вместе с их предельными точками) называется отталкивающим множеством, или репеллером.

Во многих случаях аттракторы и репеллеры меняются местами при смене знаков в уравнениях. Имея дело с силой тяжести, достаточно изменить направление ее действия. Рассмотрим, например, в основном горизонтальную поверхность с прогибами в обоих направлениях. Предположим, что сила тяжести направлена вниз, поместим шарик на верхней стороне поверхности и обозначим притягивающий прогиб буквой A, а отталкивающий – буквой R. Если теперь поместить шарик на нижней стороне поверхности и предположить, что сила тяжести направлена вверх, то прогибы A и R поменяются местами. В этой главе такие обмены играют центральную роль.

 

ФРАКТАЛЬНЫЕ АТТРАКТОРЫ. «ХАОС»

Бóльшая часть элементарной механики имеет дело с динамическими системами, аттракторами которых являются точки, почти окружности и другие фигуры евклидовой геометрии. Однако в действительности такие фигуры представляют собой редкие исключения, и поведение большинства динамических систем несравнимо более сложно: их аттракторы и репеллеры имеют явную тенденцию к фрактальности. В нескольких следующих разделах описываются примеры систем с дискретным временем, Δt=1.

Аттрактор-пыль. Коэффициент Фейгенбаума α . Простейший пример можно получить с помощью возведения в квадрат (см. главу 19). В качестве вступления рассмотрим еще одно представление канторовой пыли C: N=2, R<1/2, охватываемый интервал [−r/(1−r),r/(1−r)]. Такое множество C является пределом множества Cn , определяемого как множество точек вида ±r±r2 ±...±rn . При n→n+1, каждая точка множества Cn разделяется на две, а множество C представляет собой результат бесконечного количества таких бифуркаций.

Согласно П. Грассбергеру (источник – препринт статьи), аттрактор отображения x→λx(1−x) при вещественных λ аналогичен множеству Cn , но с двумя различными коэффициентами подобия, одним из которых является коэффициент Фейгенбаума 1/α~0,3995 (см. [144]). После бесконечного количества бифуркаций этот аттрактор превращается во фрактальную пыль с размерностью D~0,538.

«Хаос». Ни одна точка множества за конечный промежуток времени не посещается дважды. Многие авторы описывают эволюции на фрактальных аттракторах как «хаотические».

Самоаффинные деревья. Расположив множество в плоскости (x,λ), получим дерево. Поскольку δ=4,6692≠α, это дерево асимптотически самоаффинно с остатком.

Комментарий. В идеале теории следовало бы сосредоточиться на интересных по своей сути и реалистичных (но простых) динамических системах, аттракторами которых являются подробно изученные фрактальные множества. Имеющаяся же литература по странным аттракторам – пусть даже она чрезвычайно значима – весьма далека от этого идеала. Рассматриваемые в ней фракталы, как правило, недостаточно хорошо изучены, очень немногие из них действительно интересны, а большинство никак нельзя считать решениями сколь бы то ни было мотивированных задач.

Поэтому я был вынужден самостоятельно изобретать «динамические системы», которые бы поставили новые вопросы – для того, чтобы получить на них давно известные и удобные ответы. Я придумывал задачи таким образом, чтобы их решениями стали знакомые фракталы. Больше всего меня удивляет то, что эти системы оказались еще и интересными.

 

САМОИНВЕРСНЫЕ АТТРАКТОРЫ

Согласно главе 18, множества в цепях Пуанкаре является как наименьшими самоинверсными, так и предельными множествами. Переформулируем последнее свойство: при произвольно выбранной начальной точке P0 ее преобразования под действием последовательности инверсий подходят произвольно близко к каждой точке множества . Предположим теперь, что эта последовательность инверсий выбирается посредством отдельного процесса, независимого от настоящего и предыдущего положений точки P. При довольно широком разбросе начальных условий всегда можно ожидать (и часто эти ожидания оправдываются), что результирующие последовательности положений P будут притягиваться множеством . Таким образом, огромное количество публикаций по группам, порождаемым инверсиями, можно интерпретировать в терминах динамических систем.

 

ОБРАЩЕНИЕ «ВРЕМЕНИ»

Дальнейшие поиски систем с интересными фрактальными аттракторами привели меня к системам, аттракторы которых геометрически стандартны, а вот репеллеры оказываются весьма занятными. Эти два множества легко можно поменять местами, тем самым пустив время вспять, при условии, что операции динамической системы допускают существование обратных операций (орбиты не сливаются и не пересекаются), так что, зная положение точки σ(t), можно определить все σ(t') при t'

Попытаемся, например, обратить - преобразование f(x), с помощью которого мы получили канторову пыль в главе 19. При x>1,5 определены две различные обратные функции, и можно, пожалуй, условиться преобразовывать все x>1,5 в x=1/2. Аналогичным образом, две различные обратные функции имеет отображение x→λx(1−x). В обоих случаях осмысленная инверсия предполагает выбор между двумя функциями. В других примерах возможных вариантов больше. Напомню: нам нужно, чтобы выбор между ними осуществлялся посредством отдельного процесса. Эти соображения приводят нас к обобщенным динамическим системам, которые и будут описаны в следующем разделе.

 

РАЗЛОЖИМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [398]

Потребуем, чтобы одна из координат состояния σ(t) (назовем ее определяющим индексом и обозначим через σf (t)) эволюционировала независимо от состояния остальных E−1 координат (обозначим это состояние через σ* (t)), при условии, что преобразование из состояния σ* (t) в состояние σ* (t+1) будет определяться как состояние σ* (t), так и индексом σf (t). В тех примерах, которые я изучил наиболее подробно, конкретное преобразование σ* (t)→σ* (t+1) выбирается из конечного набора, включающего в себя G различных возможностей , причем выбирается в соответствие со значением некоторой целочисленной функции . Иными словами, я рассматривал динамику произведения σ* - пространства на некоторое конечное индексное множество.

Вообще говоря, в примерах, стимулировавших это обобщение, последовательность g(t) либо действительно случайна, либо ведет себя так, словно является случайной. К рассмотрению случайности мы с вами приступим только в следующей главе, однако я не думаю, что это обстоятельство может нам помешать. Гораздо серьезнее другое: динамические системы представляет собой воплощенный образчик полностью детерминированного поведения, и поэтому просто не вправе допускать какую бы то ни было случайность! Мы, однако, можем ввести воздействие случайности, не постулируя ее явно – нам нужно лишь присвоить функции g(t) значение какого-нибудь в достаточной степени перемешивающего эргодического процесса. Возьмем, например, иррациональное число β и сопоставим функции g(t) целую часть числа . Здесь стоило бы сделать еще несколько заявлений, принципиально не сложных, но весьма громоздких, так что я, пожалуй, от этого воздержусь.

 

РОЛЬ «СТРАННЫХ» АТТРАКТОРОВ

Сторонники «странных» аттракторов выдвигают в свою защиту следующие два соображения. А). Поскольку динамические системы со стандартными аттракторами не в состоянии объяснить турбулентность, то, может быть, ее удастся объяснить с помощью систем с аттракторами, топологически более «странными». (это напоминает мое собственное рассуждение (см. главу 11) – высказанное, кстати, совершенно независимо от приведенного – о том, что если дифференциальное уравнение не имеет стандартных особенностей, следует попытать счастья с особенностями фрактальными. Б). Аттракторы до смешного простых систем – таких, как z→λz(1−z) при вещественных λ и z в интервале [0,1] - действительно странны и во многих отношениях характерны для более сложных и более реалистичных систем. Таким образом, топологически странные аттракторы, вне всяких сомнений, являются, скорее, правилом, нежели исключением.

 

«ФРАКТАЛЬНЫЕ» ИЛИ «СТРАННЫЕ»?

Все известные «странные» аттракторы представляют собой фрактальные множества. Для многих «странных» аттракторов существуют оценки размерности D. Во всех случаях D>DT . Следовательно, эти аттракторы суть не что иное, как фрактальные множества. Во многих случаях размерность D «странно – аттракторных» фракталов служит мерой не иррегулярности, а того, как накладываются друг на друга гладкие кривые или поверхности – своего рода фрагментации (см. главу 13).

С. Смейл представлял свой знаменитый аттрактор, называемый соленоидом, дважды. Оригинальное определение было чисто топологическим (размерность D при этом оставалась неопределенной), пересмотренный же вариант имеет метрический характер (см. [527], с. 57). Я, в свою очередь, предложил ввести в теорию странных аттракторов понятие размерности D и оценил в [392] значение D для этого пересмотренного варианта. Значение D=2,06 для аттрактора Зальцмана – Лоренца (v=40, σ=16 и b=4) было получено независимо от меня Я. Г. Синаем и М. Г. Веларде (источник – частная беседа). Это значение больше 2, но не намного, т.е. этот аттрактор определенно не является стандартной поверхностью, но близок к таковой. Мори и Фудзисака [437] подтверждают мое значение D для аттрактора Смейла и значение D для аттрактора Зальцмана – Лоренца. Они также нашли размерность D отображения Энона (a=1,4;b=0,3), которая оказалась равной 1,26. Ожидается появление многих других статей в том же духе.

Обратное утверждение. Являются ли все фрактальные аттракторы странными – вопрос семантики. Все больше авторов согласны со мной в том, что аттрактор, как правило, можно считать странным, если он фрактален. Мне такое отношение представляется вполне здравым, если учесть, что слово «странный» выступает как синоним слов «чудовищный», «патологический» и других подобных эпитетов, которыми некогда награждали отдельные фрактальные множества.

Однако прилагательному «странный» иногда придается некий особый терминологический смысл настолько, надо сказать, особый, что аттрактор Зальцмана – Лоренца характеризуется не просто как «странный», но как «странно – странный». В этом свете «странность» аттрактора связывается главным образом с нестандартными топологическими свойствами, в то время как нестандартные фрактальные свойства просто сопутствуют им в качестве «нагрузки». Замкнутая кривая с двойными точками не является в этом смысле «странной», какой бы смятой она ни была: это значит, что большинство из исследованных мною фрактальных аттракторов нельзя считать странными.

При таком определении термина «странный» рассуждения в предыдущем разделе теряют всякую привлекательность. Однако если модифицировать понятие странности с тем, чтобы оно из топологического стало фрактальным, то эту привлекательность можно вернуть. Вот почему я считаю, что победы в споре достойны те, кто определяет «странное» как «фрактальное». А поскольку они и в самом деле побеждают, я не вижу большого смысла в сохранении термина, необходимость в котором исчезла в тот момент, когда я показал, что фракталы не более странны, чем, скажем, горы или береговые линии. Кроме того, не стану скрывать: к термину «странный» я испытываю какую-то личную неприязнь.

Рис. 282 и 283. Притяжение к фракталам

Приведенные здесь фигуры иллюстрируют длинные орбиты последовательных состояний двух разложимых динамических систем. Нагрудник фараона на рис. 283 представляет собой самоинверсное (см. главу 18) множество, основанное на четырех инверсиях, подобранных таким образом, чтобы предельное множество являлось совокупностью окружностей. Дракон Сан-Марко на рис. 282 – самоквадрируемое (см. главу 19) множество и основан на двух инверсиях отображения x→3x(1−x).

Определяющий индекс в этих случаях выбирается из четырех (или, соответственно, двух) возможностей с помощью псевдослучайного алгоритма, примененного 64 000 раз. Несколько первых точек на рисунке опущены.

Области в окрестностях точек заострения и самопересечения заполняются чрезвычайно медленно.