Игра случая. Математика и мифология совпадения

Мазур Джозеф

Что есть случайность? Этим вопросом мы задаемся, сталкиваясь с неожиданными и, казалось бы, невозможными совпадениями. Однако с математической точки зрения шансы многих событий гораздо выше, чем любой из нас мог бы подумать. В книге «Игра случая» математик Джозеф Мазур открывает необыкновенный мир теории вероятности, описывая сложные математические понятия простым, веселым языком. Как объяснить то, что книгу из школьной библиотеки с вашей подписью вы вдруг обнаруживаете на букинистическом развале в другой части света? Могут ли присяжные быть абсолютно уверенными в результатах анализа ДНК, найденного на месте преступления? Почему Аврааму Линкольну снились вещие сны? На многих примерах реальных событий Мазур показывает нам неотвратимость случайных событий. Эта книга понравится всем, кто когда-либо задавался вопросом, каким образом маленькие решения, которые мы принимаем в течение жизни, складываются в невероятное целое. Книга обязательна к прочтению любителям математики, а также всем тем, кто стремится понять истинную природу невероятных историй.

 

Переводчик Максим Исаков

Научный редактор Илья Щуров, канд. физ. – мат. наук

Редактор Антон Никольский

Руководитель проекта И. Серёгина

Корректоры М. Миловидова, М. Савина

Компьютерная верстка А. Фоминов

Дизайнер обложки Ю. Буга

© Joseph Mazur, 2016

Публикуется с разрешения издательства BASIC BOOKS, an imprint of PERSEUS BOOKS LLC. (США) при содействии Агентства Александра Корженевского (Россия)

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2017

Все права защищены. Произведение предназначено исключительно для частного использования. Никакая часть электронного экземпляра данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для публичного или коллективного использования без письменного разрешения владельца авторских прав. За нарушение авторских прав законодательством предусмотрена выплата компенсации правообладателя в размере до 5 млн. рублей (ст. 49 ЗОАП), а также уголовная ответственность в виде лишения свободы на срок до 6 лет (ст. 146 УК РФ).

* * *

 

 

Предисловие

Мой дядя Герман как-то раз уместил годовой курс метафизики в одно короткое предложение: Все что случается, случается потому, что в мире все имеет обыкновение просто случаться. Такие наставления он мне давал, когда я был в довольно нежном возрасте, тогда как другие мои дяди, его младшие братья, учили меня читать программу скачек в надежде пробудить интерес к традиционному семейному времяпрепровождению – азартным играм. Мне тогда было всего 10 лет, и я никак не мог взять в толк, что имел в виду дядя Герман. Много лет эта фраза держалась у меня в голове, проигрывалась снова и снова, и вот, когда я повзрослел, наконец появились ростки понимания. Когда я был ребенком, то всегда задавался вопросом: почему одни вещи случаются, а другие нет? Как большинство детей, ответы я получал в результате постоянного круговорота «если бы»...

Джека, младшего брата Германа, нокаутировали во время боксерского матча в школе, и всю оставшуюся жизнь он страдал от головных болей и некоего душевного расстройства, которое сочли достаточно серьезным для того, чтобы поместить его в психиатрическую больницу. Раз в неделю он посещал сеансы шоковой терапии в Грейстоун-парке – месте, которое когда-то официально называлось Лечебницей для умалишенных штата Нью-Джерси. Шокирует уже само название этого лечения – электроконвульсивная терапия. Полжизни пришлось Джеку выносить жесточайшие страдания, причиняемые мощными разрядами, проходящими через металлические пластины, которые стискивали его голову. Можно только догадываться о том, какой жуткой, ни с чем не сравнимой пыткой были эти сеансы; он говорил, что это было хуже, чем «если бы тебя беспрестанно жалил миллион шершней». Каждый такой разряд длился не дольше наносекунды, но от одного воспоминания о них Джека трясло.

За исключением того, что его рябые щеки покрывала совершенно седая щетина, я в нем ничего странного не замечал. Джек превосходно шутил, его улыбка была теплой и искренней, а истории о невероятных приключениях, которые он рассказывал, выглядели так, будто происходили на самом деле.

Ну и я в свои 10 лет часто размышлял о том, каким образом все так сложилось и, если нокаут в самом деле был причиной болезни Джека, то, если можно было бы повернуть время вспять, смог бы мой любимый дядя жить нормальной жизнью? Что если бы он в тот день заболел и не пошел в школу? Что если бы заболел его противник или… если бы Джек первый отправил того парня в нокаут? В определенный момент совпали два события. Конечно, так всегда бывает. Но нокаут был результатом прямого удара в голову именно в тот момент, когда Джек слишком низко опустил руки и не смог защититься. Слишком низко, слишком медленно.

В детстве я часто мечтал о том, как можно было бы исправить неприятные моменты, но самый острый из них произошел незадолго до моего 13-го дня рождения. Я ехал из школы домой на велосипеде (у меня был красный трехскоростной Raleigh) по ровному бетонному тротуару, как вдруг об спицы переднего колеса ударился камень и рикошетом отскочил в дверь припаркованной рядом машины. Я затормозил и повернулся посмотреть, кто его кинул. И тут мир вдруг стал красным. Я все еще видел. Я был ошеломлен и еще не до конца понял, что именно произошло. Несмотря на хлещущую из разодранного века кровь, я видел, как мальчишка, который стоял на другой стороне дороги, готовится метнуть следующий камень. Он, видимо, не сообразил, что попал мне в глаз. Я завопил и рухнул на тротуар, еще не вполне осознавая, что же произошло. Следующее, что я помню: я приподнимаюсь на больничной кровати, левый глаз у меня перевязан, и мне говорят, что я, возможно, видеть этим глазом больше не буду. Эти «если бы» были такими сильными, что не утихали во мне много лет. Когда я решил поделиться своими переживаниями с матерью, она утешила меня: хорошо, что камень не попал выше, – тогда бы я стал дурачком.

«Я правда мог бы из-за этого стать дурачком?» – спросил я, как будто моя мать разбиралась в неврологии.

«Конечно!» – ответила она. И я принял это как медицинский факт.

Но слова матери все равно не остановили моих бесплодных раздумий. Если бы траектория полета камня отклонилась всего на один градус? Если бы я не остановился? Если бы тот первый камень не попал в спицы? Прошло несколько лет, прежде чем я осознал: злополучные совпадения – это боевые шрамы жизни. Они как морщины на лице старика: это таблица рекордов, свидетельствующих об активной жизни; как старые башмаки, прошедшие сто дорог. Жизнь – это бесконечная череда совпадений и случайностей, иногда удачных, иногда неудачных, иногда неловких, а иногда и приятных. Нам никогда не узнать, какие радости и печали ждали нас на дорогах, по которым мы не прошли. Решения, принимаемые на развилках и перекрестках переплетенных друг с другом случайностей и совпадений, определяют наши судьбы. Из того, что жизнь нам подбрасывает, нам надо получить максимум радостей и минимизировать неудачи.

Из совпадений получаются отличные истории. Мы видим в них удивительные события, изумляемся их диковинности и игнорируем все разумные объяснения, несмотря на то что многие первосортные совпадения математически предсказуемы. Начните рассказывать историю о совпадении во время вечеринки, и вас непременно будут внимательно слушать. Почему? Потому что в этой таинственной галактике такие истории доказывают глубокое значение связей между людьми, повествуют о смысле жизни и подкрепляют наши притязания на неповторимость.

В этой книге собраны поразительные случаи и фантасмагорические истории, которые напоминают нам о том, насколько на самом деле огромен и в то же время мал наш мир. В книге вы найдете математические методы для оценки вероятности каждой из этих историй; в ней также рассматривается природа частотности совпадений с тем, чтобы объяснить, почему у нас возникает обманчивое удивление, когда они случаются. Также представлен обзор развития математических средств для исследования случайности, что, в свою очередь, приводит нас к пониманию совпадения как следствия того, что мы живем в огромном мире с большим числом случайных переменных.

Существует две классические задачи, которые дают нам математически правильные способы измерения совпадений. Одна из них – контринтуитивная загадка: задача о дне рождения, в которой говорится о том, что в любой группе из 23 человек шансы на то, что у двух людей в этой группе совпадут дни рождения, выше чем 1 к 1. Вторая – задача об обезьянах, в которой спрашивается: сможет ли обезьяна (если дать ей сколь угодно долгое время), случайным образом нажимающая на кнопки клавиатуры компьютера, написать первую строку из сонета Шекспира? Две эти задачи, вместе с законом больших чисел, теорией скрытых переменных и законом действительно больших чисел, дают разумное объяснение тому, отчего совпадения происходят намного чаще, чем мы могли бы ожидать. Закон действительно больших чисел – это философская поговорка, а также главная тема этой книги. Вкратце он гласит: если существует сколь угодно малая вероятность наступления некоторого события, то рано или поздно оно обязательно произойдет. Это не теорема, которую можно доказать. Все-таки я использовал выражение «рано или поздно», которое само по себе довольно двусмысленно. Но оно дает нам понимание того, насколько заурядной вещью является совпадение.

В книге четыре раздела. В разделе 1 представлена небольшая группа историй о совпадениях; мы рассмотрим их умозрительно перед тем, как попытаемся осмыслить частотность случайных событий. Каждая история представляет собой целый класс историй, имеющих схожие аналитические свойства. В разделе 2 приведены все математические знания, которые могут потребоваться читателю для того, чтобы понять главную тему книги. В разделе 3 мы вернемся к 10 типичным историям из раздела 1, проанализируем их частотность и выясним, что абсолютная случайность как математическая теория – это не то же самое, что абсолютная случайность в реальном физическом мире. Раздел 4 дает нам увлекательную возможность рассмотреть совпадения, которые не поддаются анализу, как то: странные и трагические истории о применении результатов экспертизы ДНК в судебной практике, случайные научные открытия, сделки неконтролируемых биржевых маклеров, чудеса экстрасенсорного восприятия и сюжеты из художественной литературы или фольклора. Каждая глава в разделе 4 более-менее независима от других.

Добравшись до конца этой книги, вы будете смотреть на мистику совпадений через призму научных представлений о том, как они происходят и как оберегают свои тайны. Книга не только покажет с неожиданной стороны частотность совпадений, чтобы объяснить их природу, но и изменит наш взгляд на них. Большинство обыденных событий и обстоятельств не возникают сами по себе – они связаны со множеством других событий и обстоятельств, которых мы не замечаем. Любое отдельное событие – это результат многих других событий, а также сложных процессов, которые выше нашего понимания. Потому, пусть я и использую математику, чтобы объяснить, как происходят отдельные совпадения, я также принимаю – а иногда и высказываюсь в их пользу – некоторые идеи о провидении, когда рациональные объяснения выглядят неубедительно, и соглашаюсь с тем, что приятно верить в некий высший план, который мы не можем объяснить.

Хотя я разрушаю представления о том, что совпадения редки, я никоим образом не намерен отрицать таинственность и очарование, присущие хорошим историям. Если я вдруг развею ауру чьего-либо опыта, связанного с совпадением, то лишь для того, чтобы оценить это совпадение с точки зрения математика. У меня нет желания ломать ростки отличных историй. Вы вправе со мной не соглашаться в отношении судьбы и случайности, может, даже убедите меня в том, что никто не знает о Вселенной достаточно, чтобы уверенно утверждать: совпадения не предопределены неким таинственным планом с глубоким смыслом. Я мог бы согласиться даже с тем, что случайности по определению не имеют разумного объяснения. Но математика реальна и понятна. Совпадения происходят намного чаще, чем мы думаем, в основном потому, что наш мир больше, чем мы воображаем: 7 млрд человек ежесекундно принимают решения, приводящие к невообразимо громадному числу независимых результатов. Это дает нам причинно-следственный универсум, который невообразимо велик и сложен; место, где маловероятные события происходят просто потому, что существует так много вариантов, и так много нас, чтобы эти варианты узнать. События совпадают по чистой случайности, без очевидной причины, хотя «очевидность» – одно из тех коварных слов, точное значение которых трудно определить.

У каждого из нас есть свои истории про совпадения. Мою историю можно лишь с натяжкой назвать совпадением – просто она для меня очень важна. То, что я познакомился со своей женой в День моратория в 1969 г., в стотысячной толпе на Бостон Коммон, изумительно, потому что это стало судьбоносным моментом в моей жизни. Такие случаи заставляют нас задуматься о том, как же складываются события: что если бы по дороге на Бостон Коммон я остановился завязать шнурки, а в это время две сотни демонстрантов прошли бы дальше; что если бы я вышел на Коммон на 10 м севернее? Но действительно ли это совпадение, а не просто случай, который объясняют задним числом?

На данный момент в этом предисловии я уже употребил слово совпадение 24 раза в качестве приемлемого синонима для «случайного события» или, если точнее, сближение персонажей или предметов во времени и пространстве. До сих пор я полагал его значение самоочевидным, но, чтобы быть точными, давайте дадим более формальное определение.

Совпадение (сущ., ед. ч.) – неожиданное стечение событий или обстоятельств или наличие значения в их отношении друг к другу, когда между ними нет очевидной причинно-следственной связи {1} .

Каким-то образом в разговорном языке использование этого слова смещается в сторону интерпретации, игнорирующей неожиданность как обязательное условие, а также то, что причина должна быть неочевидной. В этой работе мы будем придерживаться утверждения о том, что любое совпадение должно содержать в себе элемент неожиданности, и если вообще существует какая-либо причина, то она не должна быть очевидной.

Неожиданность совпадения тесно связана с неочевидностью его причины. Когда мы говорим причина неочевидна, мы просто имеем в виду, что причина неизвестна широкой публике. У совпадений всегда есть причины. Так что возникает вопрос об относительности: не известна кому? Для наших целей мы предположим, что под широкой публикой следует понимать человека, который переживает опыт, связанный с совпадением, а также любого, кому рассказывают историю о нем.

Случайность, с другой стороны, имеет схожий смысл, но без оговорок о неожиданности или очевидной причине.

Случайность (сущ., ед. ч.) – ненамеренно полученная выгода или результат действия; необычайно крупное везение или неудача {2} .

А серендипность ограничивается положительными событиями:

Серендипность (сущ.) – удачное или выгодное наступление и развитие событий случайным образом.

Почти все истории рассказываются как последовательность событий – встреч персонажей и предметов, – происходящих в определенное время. Эдип убил человека по дороге в Фивы и в результате цепочки событий переспал с собственной матерью. Какова в данном случае очевидная причина? Это цепочка, где у каждого звена есть очевидная причина. Следует отметить, что любое совпадение – это цепочка событий, где каждое звено выражает связь причины и следствия даже в реальном, невымышленном мире.

Нил Форсит, писатель и почетный профессор Лозаннского университета, называет цепочки совпадений «наслаждение неожиданным». Он говорит о вымышленных совпадениях у Диккенса, но это наслаждение неожиданным имеет место также и в реальном, невымышленном мире. Оно исходит из глубокой потребности и искреннего желания разобраться в незнакомом и странном, потребности, которая некогда была жизненно необходима для понимания человеком неизведанного и защиты от него.

Причины большинства наиболее удивительных совпадений могут лежать слишком глубоко для того, чтобы мы когда-либо смогли их выявить. Проще поверить в их неожиданность, чем в то, что необычайное просто случается; нам самим так спокойнее и проще. Так или иначе, они нас забавляют.

Сумма 1³ + 5³ + 3³ оказывается равной 153. Это совпадение? Причина неочевидна. Возможно, что причины вовсе нет. Или рассмотрим совершенно случайную последовательность из 60 цифр:

458391843333834534555555555555

185803245032174022234935499238

У нас может вызвать подозрение длинный ряд пятерок в середине, но математика говорит нам, что удивляться нечему. Она даже предсказывает нам, что такая последовательность одинаковых цифр будет появляться куда чаще, чем мы могли бы вообразить.

Совпадения вездесущи. Все дело в том, замечают ли их. Перед тем как написать это предисловие, я пылесосил и подошел слишком близко к своему 2262-страничному словарю. Как всегда, чтобы защитить его толстый переплет, я держал его открытым где-то чуть подальше середины. Внезапно труба пылесоса всосала целую страницу. Пытаясь себя утешить, я подумал: «Понадобится ли мне когда-нибудь страница 2072? Маловероятно». Прошло меньше часа, и мне понадобилось найти точную формулировку понятия серендипность. Вы можете догадаться, на какой она была странице. Когда пишешь книгу о совпадениях, исключительно обостряется внимательность.

 

Раздел 1

Истории

 

Жизнь наполнена ожиданиями, суетой и маленькими радостями, и только удивительные встречи и фантасмагорические истории позволяют нам с блаженством ощутить, что мы действительно живем. Рассмотрим в общих чертах несколько примеров того, насколько наш мир одновременно и велик, и мал и как мы пришли к тому, чтобы проводить различие между случайностью и совпадением. Мы вернемся к этим историям в разделе 3, когда у нас будут определенные средства к тому, чтобы осветить их скрытые количественные элементы.

 

Глава 1

Исключительные моменты

Помните, как вы, не спеша прогуливаясь по чужому городу, скажем, Парижу или Мумбаи, вдруг столкнулись со старым другом, которого давно уже не видели? Этот старый друг… как он оказался в этом месте одновременно с вами? Или помните тот момент, когда вы загадали желание и оно сбылось именно так, как вы хотели? Или те тяжелые испытания, которые вам как-то пришлось пережить на отдыхе, потому что все так неудачно совпало? Или тот раз, когда вы так удивились, познакомившись с человеком, у которого день рождения в один день с вами? В эти моменты случалось нечто такое, что у вас появлялось чувство синхронии, которое сжимало Вселенную; красноречивая метаморфоза, увеличивавшая вашу роль в Космосе. Вы чувствовали, что весь человеческий мир вращается вокруг небольшой группы людей, может быть, именно вокруг вас.

У вас бывало так: поднимаешь трубку телефона, чтобы позвонить кому-то, с кем уже год не созванивались, и слышишь человека, еще не набрав номер? Со мной такое случилось в 1969 г. Если задуматься, то такое событие скорее вероятно, чем невероятно. В конце концов, оно не случалось целый год – 365 дней. Добавьте к этому число дней в предыдущем году – еще один год, когда оно не случалось. И к полученному добавьте число дней, прошедших с того дня до сегодняшнего. И оно не повторилось. Мы сейчас говорим о значительном отрезке времени, когда совпадения не случалось.

Представьте себе такую историю. Вы сидите в кафе в Айос-Николаос на острове Крит, как вдруг слышите знакомый смех за столиком в соседнем кафе. Вы оборачиваетесь, чтобы посмотреть на этого человека, этого мужчину. И не можете поверить, что это ваш собственный брат. Но это же он – вне всякого сомнения, ваш брат. Он поворачивается к вам и выглядит таким же удивленным. Со мной такое случилось в 1968 г. Он не знал, что я не в Нью-Йорке, я – что он не в Бостоне.

Или представьте следующее. Вы листаете старые книги в магазине далеко от дома и замечаете одну, знакомую с детства. Открываете ее и видите свою подпись. Это «Моби Дик» с вашим именем на форзаце и вашими же отметками на полях. Эта книга была у вас в колледже. Такая история произошла с моим другом, когда он просматривал полки в букинистическом магазине в Дубьюке, в штате Айова, городе, где он никогда раньше не был.

В 1976 г. мы с женой и двумя детьми путешествовали по Шотландии, и в один из снежных дней наш автомобиль Vauxhall сломался посреди небольшого городка Пенникук. Механик в единственном на весь город автосервисе сказал, что проблема в генераторе и ждать замены придется три дня. Мы отправились в ближайший паб в надежде провести там ночь. Трактирщик оказался человеком немногословным, но, когда мы сказали, что прибыли из Америки, он оживился и с гордостью объявил: «На следующей неделе к нам приедет музыкант из Америки. Вы наверняка ее знаете. Имени я не помню, но внизу есть плакат». Он подвел нас к большому плакату, сообщавшему о стоуви-вечеринке и концерте Маргарет Макартур.

«Маргарет Макартур! – одновременно воскликнули мы с женой. – Она наша соседка. Мы отлично ее знаем!»

Трактирщик кивнул и на полном серьезе пробормотал: «Так я и думал».

Америка в самом деле очень маленькая страна.

Бывают моменты, когда мы поражаемся величественности совпадений. Они – центры естественной сети, которая нас связывает, потому что, особенно в наш век цифрового одиночества, мы хотим встроиться в большой и грозный мир, сохранив чувство собственного достоинства, свою индивидуальность, цель существования и ощущение того, что хотя бы часть нашей жизни предрешена судьбой. Подавленным холодной бескрайностью Вселенной, вечно расширяющейся в бесконечных пространстве и времени, нам приятно осознавать, что мы связаны сильнее, чем думаем, или что Вселенная подстраивается под нас.

Каждая история о совпадении порождает вопрос: есть ли во Вселенной нечто, вызвавшее возмущение в пространстве и времени, которое запустило совпадение и скрыло его причину? Некоторые ставят под сомнение метафизические связи. Некоторые говорят, что в этой Вселенной существуют единство; энергия, которую мы не можем познать; сила, которая изменяет модели нашего поведения; что присутствует некий неведомый для нас смысл.

Причинность – это западный способ толковать значение событий. Причинность в западной философии XIX в. рассматривалась с точки зрения строгой классической физики, которая гласит: законы природы управляют движением и взаимодействием всех наблюдаемых объектов. Если переменные, описывающие текущее состояние, точно известны, то будущее совершенно предсказуемо. Другими словами, любое предсказание будущего связано с тем, что нам известно о прошлом и настоящем. Однако в начале XX в., когда появилась квантовая механика, западная философия радикально меняет точку зрения: движением наблюдаемых объектов управляют ненаблюдаемые явления квантового мира, регулируемые простыми чудесными правилами. Одно из таких правил утверждает, что нет непроходимых дорог. Любая частица необязательно следует только по одному пути, но по любому из возможных путей с вероятностью, которую определяет этот путь. Предсказуемость с точки зрения квантовой механики ограничивается вероятностями нахождения объекта в определенной точке каждого из путей и в определенном состоянии. Другими словами, тщательное исследование прошлого даст нам лишь неопределенную вероятность предсказать будущее.

Конечно, всегда есть вопрос: чем вызвано то, что человек выбрал определенный путь? Мы не говорим о механическом движении объекта. Почему вы, дорогой читатель, решили дочитать книгу до этого места? У вас есть свобода воли, которая практически никак не связана с классической физикой, перемещением наблюдаемых объектов или «новой физикой». Совпадения, описанные в этой книге, относятся к принимаемым людьми решениям, выбираемым и не выбираемым ими путям. Человеческие решения – это вопрос свободы воли, где ни теория относительности, ни квантовая механика не работают, хотя всегда существуют сильные внешние воздействия. Мы выбираем путь. Кто-то еще выбирает путь. И тут – бац! Пути пересекаются, и очевидной причины у нас нет. Проблема с очевидностью состоит в том, что для нее необходим наблюдаемый объект, следующий по наблюдаемой траектории. Так что, если только между отдельными индивидуумами нет телепатической связи, свобода воли превыше любых квантовых воздействий.

Существует, однако, еще и восточный подход. У китайцев, например, есть дао, в котором противоположности уравновешивают друг друга и формируют целое, полную картину. Где ничто – также часть целого. Кусок камня может стать скульптурой, в зависимости от того, какая часть камня останется, а какая будет отсечена. На самом деле это другая ментальность. И все же даосизм, безусловно, отличается от любой теологии, которая смотрит на мир так, как если бы все в нем – от клеток организмов до субатомных частиц минералов – предопределено с момента творения и законы причинности могут быть нарушены, если на то будет Божья воля. Даос полагает, что совпадения – часть гармоничного мира, а потому все события находятся в одинаковых отношениях друг с другом, выше какой-либо причинности или схожести. Другими словами, случайностей не бывает. Но тот же самый даос также полагает, что существует скрытая рациональность. Почтенная книга «Дао де цзин», которой уже около 2500 лет, говорит:

Небесная сеть необычайно велика и всеобъемлюща; Редки ее ячейки, но из нее ничто не ускользает {6} .

Как все части целого работают в гармонии, дополняя друг друга, так же и все события в мире находятся в одном смысловом отношении к целому, которое отвечает за центральный «смысловой» контроль.

Уолт Уитмен также говорит о том, что у нас есть некая связь с Единым и что существуют нравственная цель и замысел, которому все мы вынуждены неосознанно подчиняться. Вот что он пишет:

В цели Космоса и всей животворящей атмосферы, минерального, растительного и животного миров – во всем физическом росте и развитии человека, во всей истории политических, религиозных, военных и прочих противостояний – есть нравственная цель, видимый или невидимый замысел, несомненно лежащий в основе всего… Это и есть Единое и идея Единого вместе с сопутствующей ей идеей вечности и, наконец, души – легкой, бессмертной, вечно плывущей в пространстве, посещающей все пределы, как идущие по морю корабли {7} .

 

Глава 2

Девушка с Петровки и другие несложные совпадения

 

Выход из дома сулит вам огромное множество встреч и событий. Вероятность наступления каждого из этих событий может быть мала, но когда мы собираем их вместе и спрашиваем: «Какова возможность того, что по крайней мере одно из них произойдет?» – вероятность увеличивается. Здесь мы представим лишь десять историй из множества подобных, по существу, десять специфических классов. Их анализ будет приведен в разделе 3.

 

История 1. Девушка с Петровки

Класс: потерянный предмет, отыскание которого маловероятно, случайно найден тем, кто его специально ищет.

Одна из знаменитых историй о совпадениях касается актера Энтони Хопкинса. После того как он прошел пробы на роль Кости в киноверсии романа «Девушка с Петровки», Хопкинс некоторое время искал роман в книжных магазинах в районе станции Лестер-сквер в Лондоне. Поиски оказались безуспешными, и он уже собирался возвращаться домой, но тут заметил книгу, лежавшую на лавочке на станции метро. Это был не просто экземпляр «Девушки с Петровки», а именно тот экземпляр, который потерял автор, Джордж Файфер.

Это в самом деле удивительная история. Я вынужден признать, что она настолько чужда любой разумной теории частотности совпадений, что остается только поздравить эту историю с тем, что она счастливо избегает объяснения. Но на самом деле и она не избежит анализа. Джордж Файфер сам рассказал мне подлинную историю. Он использовал американскую версию «Девушки с Петровки», чтобы отметить слова, которые нужно было перевести для публикации его книги в Великобритании. Он отправил свой перевод британскому издателю и проверил оригинал-макет. Как-то раз в Гайд-парке он встретил друга и подарил ему копию с пометками. Будучи под впечатлением от встречи, друг положил книгу на крышу своей машины, а позже, опаздывая на встречу с девушкой, уехал в спешке. Встретив Файфера на съемочной площадке, Хопкинс сказал ему, что книгу он нашел на станции метро. Я написал Хопкинсу, чтобы узнать его версию событий. Как следовало ожидать, он не ответил.

 

История 2. Джек Фрост и другие истории

Класс: неожиданно найденная личная вещь, которую специально никто не искал.

Похожая история произошла с Энн Парриш. Согласно исходной версии (история сильно отличается от множества версий, гуляющих по Сети), находясь в Париже в 1929 г., солнечным воскресным утром после посещения мессы в Нотр-Дам и птичьего рынка Энн вместе с мужем, промышленником Чарльзом Альбертом Корлиссом, отправились пообедать в Les Deux Magots. Оставив Чарльза допивать вино, она прошлась по букинистическим лавкам вдоль Сены. Рыться в развалах книг на длинных столах для нее было обычным делом. В тот день она нашла книгу Хелен Вуд «Джек Фрост и другие истории». Немного поторговавшись с продавцом и уплатив один франк, она поспешила к мужу, который все еще сидел над бокалом вина, и вручила книгу ему со словами, что в детстве очень ее любила. Он медленно полистал страницы. Некоторое время молчал, потом вернул ей книгу, открыв форзац, где «нескладными детскими каракулями было написано: «Энн Парриш, Норд-Вебер стрит, 209 Колорадо Спрингс, Колорадо». Это была именно та книга – из детства.

 

История 3. Кресло-качалка

Класс: ситуация, требующая довольно точного сочетания времени и места, а также случайных встреч предметов.

Совпадение должно быть чем-то бо́льшим, нежели просто историей, которой удалось нас удивить или скрыть свою причину. Вот что произошло со мной несколько лет назад. Моя жена была беременна, и ее тетка сказала, что ей понадобится удобное кресло-качалка, чтобы кормить новорожденного. Она прислала чек на сумму, достаточную для покупки нового кресла. У моего брата имелось отличное кресло-качалка, а мы с женой нашли точно такое же в мебельном магазине в Кембридже. Оно было необычайно широкое, в шекеровском стиле, с тонкими черными рейками в высокой спинке. Но кресла не было в наличии, и мы попросили, когда оно появится, доставить его по адресу моего брата в Кембридже. Мы могли бы забрать его от брата и отвезти домой в Вермонт в следующий приезд. Через несколько недель к брату и его жене пришли гости. Один из гостей сел на их кресло-качалку, и кресло под ним развалилось на кусочки. Смутившись, мой брат учтиво сказал гостю, чтобы тот не беспокоился. И в этот самый момент в дверь позвонили – это доставили наше новое кресло. Можно лишь гадать о том, как удивились гости, когда брат воспользовался прекрасной возможностью успокоить их такими словами: «О, все в порядке, мы как раз заказали новое».

 

История 4. Золотой скарабей

Класс: связанные со сновидением совпадения с довольно широким временны́м и пространственным диапазоном.

Молодая пациентка поведала швейцарскому психиатру Карлу Юнгу свой сон о золотом скарабее. У нас есть версия Юнга: «Когда она рассказывала мне свой сон, я сидел спиной к закрытому окну. Вдруг я услышал позади себя шум вроде легкого постукивания. Я обернулся и увидел, как летающее снаружи насекомое бьется об оконное стекло. Я открыл окно и поймал создание на лету, как только оно залетело в комнату. Оно представляло собой самый близкий аналог скарабея, который только можно найти в наших широтах. То был скарабеидный жук». Юнг пишет далее: «Нам часто снятся люди, от которых мы с ближайшей почтой получаем письмо. В нескольких случаях мне удалось точно установить, что в момент сновидения письмо уже лежало в почтовом отделении адресата».

 

История 5. Франческо и Мануэла

Класс: случайные встречи людей в определенное время и в определенном месте.

Мы с женой ехали в микроавтобусе по горному серпантину на ла-Коста-Смеральда, восточном побережье Сардинии, высоко над изумрудными водами Тирренского моря. У нас захватывало дух, когда водитель-итальянец, активно жестикулируя, указывал на исторические достопримечательности, крутя при этом головой туда-сюда, пытаясь одновременно и следить за опасными поворотами, и смотреть на пассажиров на заднем сиденье. В то время мы брали уроки в Studitalia – школе итальянского языка в Ольбии, живописном портовом городке на северо-восточном побережье Сардинии. Были выходные. И как всегда по выходным, школа предлагала ученикам экскурсию, посвященную культуре и красотам Сардинии. Водителем был Франческо Маррас, директор школы.

Ученик, сидящий на переднем пассажирском сиденье, спросил у него, когда и как была создана школа.

«Ну, – начал он и ненадолго задумался, а наш автобус за пару секунд до следующего поворота качнулся на другую сторону дороги – когда школа открылась три года назад, в 2010 г., у нас был только один ученик». В типичной для итальянцев манере, правой рукой он жестами добавлял истории убедительности, а левой небрежно держал руль.

Так мы узнали, что в день открытия школы Франческо явился в фойе Hotel de Plam, где должен был встретиться с первой ученицей, Мануэлой из Мадрида, чтобы провести для нее обзорную экскурсию, куда входила прогулка на катере до великолепной Исола Таволара – огромной скалы в 5 км от берега. Поскольку Франческо и Мануэла приехали рано, а катер запаздывал, они зашли в кафе. Там они просидели час, болтая по-итальянски. Мануэла рассказывала о своем доме в Испании, о работе, о бойфренде и своих интересах. Франческо говорил о школе. Скоро Франческо стало любопытно, зачем Мануэла хочет изучать итальянский, которым и так уже прекрасно владеет. Когда он наконец решился спросить об уровне, на котором она хотела бы заниматься итальянским, стало ясно, что произошло недоразумение.

«Учить итальянский? Зачем мне учить итальянский?» – спросила она.

Замешательство длилось еще несколько минут, пока Франческо не понял, что это другая Мануэла, которую должен был встретить в фойе отеля некто по имени Франческо.

Они вернулись в отель, где встретили другого Франческо, проводящего с другой Мануэлой собеседование для приема на работу, о которой та не знала, не гадала.

Почему эта история нас удивляет? Потому что это была история с реальными людьми, с конкретными местом и временем, с именами и с колоритным героем, который, похоже, говорит правду. Если рассуждать логически, нас не дурят. Мы знаем, что при большом числе возможных исходов такие встречи случаются не так уж и редко.

 

История 6. Таксист-альбинос

Класс: случайные встречи людей при широком временно́м и пространственном диапазоне.

Такие истории и им подобные встречаются намного чаще, чем мы думаем. Мы нередко их слышим, а многие из нас их пережили. Буквально на днях я познакомился с женщиной, которая рассказала замечательную историю. Как-то раз в Чикаго она села в такси, а за рулем сидел мужчина с альбинизмом. Через три года она села в такси к тому же водителю в Майами. «Ну, и каковы шансы, что такое могло случиться?» – спросила она меня. Да, это прекрасная история, но давайте ее разберем. Такси часто бывают в определенном районе. Эта женщина – руководитель частной инвестиционной компании, а такие люди часто ездят на такси в крупных городах. Таксисты, у которых нет альбинизма, не так приметны, поэтому часто ездящий на такси человек вполне может поймать такси и не обратить внимания на то, что уже встречался с водителем, если, конечно, у водителя нет альбинизма. И все же я соглашусь: есть какое-то очарование в этой истории, поскольку Майами и Чикаго разделяют почти 2000 км.

 

История 7. Сливовый пудинг

Класс: ассоциации со знакомыми предметами.

А вот еще одна история, в которой звонок в дверь возвещает об удивительном и нежданном госте. Эту историю вместе с рядом других я нашел в книге «Неизвестное» астронома Камиля Николя Фламмариона, жившего в начале XX в. Этот случай – одно из так называемых двойных совпадений, когда сначала возникает некоторое удивление, а потом вдруг происходит что-то новое, превращая событие в тройное совпадение.

Фламмарион пишет, что эту историю рассказал Эмиль Дешан, прославленный поэт XIX в. Дешан был мальчиком, обучавшимся в школе-интернате в Орлеане (Франция), когда он познакомился с английским émigré, носившим довольно необычное для англичанина имя – месье де Форжибю. Как-то они обедали за одним столиком, и месье де Форжибю посоветовал молодому человеку попробовать почти не известное во Франции блюдо – сливовый пудинг.

В течение 10 лет Дешан больше не слышал об этом блюде и уже забыл о том, как открыл для себя сливовый пудинг, в котором, как ни странно, слив не было. И вот, когда он проходил мимо ресторана на бульваре Пвасоньер, в меню которого был указан странный пудинг, Дешан вспомнил о месье де Форжибю. Он заказал кусочек, но дамы за прилавком ему сказали, что некий джентльмен заказал весь пудинг. Одна из женщин повернулась к мужчине в форме полковника, который обедал за одним из столиков.

«Месье де Форжибю, – крикнула она, – не будете ли вы столь любезны поделиться своим сливовым пудингом с этим джентльменом?»

Дешан не узнал месье де Форжибю.

«Конечно, – ответил месье де Форжибю. – Для меня будет величайшим удовольствием поделиться частью пудинга с этим джентльменом».

Непохоже было, что он узнал Дешана.

Собственно, это и должно было бы быть совпадением, однако наберитесь терпения. Прошло еще несколько лет. Дешан ни разу не вспоминал про сливовый пудинг. И вот однажды его пригласили на ужин к одной даме, которая сообщила, что будет подано необычное блюдо: настоящий английский сливовый пудинг.

«Я полагаю, месье де Форжибю тоже там будет», – пошутил он.

Наступил вечер. Десяти гостям, сидящим за столом, подавали великолепный сливовый пудинг, а Дешан в это время рассказывал историю о месье де Форжибю и сливовом пудинге. Как только Дешан закончил рассказ, все услышали, что в дверь позвонили и объявили о том, что пришел месье де Форжибю.

Мы с вами подумали бы, что все это было спланировано. Дешан тоже так подумал. Возможно, хозяйка воспользовалась маленькой шуткой Дешана, чтобы соорудить собственную шутку. Но нет! Все куда интереснее. К тому моменту месье де Форжибю был стариком и ходил, опираясь на тросточку. Он медленно шел вокруг стола и, казалось, искал кого-то конкретного. Когда он подошел ближе, Дешан узнал месье де Форжибю. Это точно был он.

«У меня волосы встали дыбом, – рассказывал Дешан позже. – Дон Жуан в моцартовском chef d'oeuvre был, наверное, так же напуган своим каменным гостем».

Но Дешан был не тем, кого искал вновь прибывший; выяснилось, что месье де Форжибю (тот самый) также был приглашен на ужин, но не на этот ужин. Он ошибся адресом и позвонил не в ту дверь. Это было тройное совпадение, которое должно быть настолько редким, что вы могли бы подумать: шансы, что подобное произойдет хоть раз в жизни, необыкновенно близки к нулю. Однако это произошло, если мы можем верить месье Фламмариону.

«Три раза в жизни я ел сливовый пудинг, – размышлял Дешан о пережитых странностях, – и три раза я виделся с месье де Форжибю! В четвертый раз я, наверное, буду способен на что угодно… или ни на что не способен!»

Фламмарион, уважаемый астроном, именем которого названы лунные и марсианские кратеры и астероиды, коллекционировал совпадения. Поскольку об этом его увлечении было всем известно, люди присылали ему свои истории. Он собрал сотни таких историй. Некоторые из них просто поразительные! Многие истории ему присылали анонимно из разных концов света, так что верить в их правдивость очень трудно, хотя он и говорит о том, что в некоторых случаях было много свидетелей, за искренность других он ручается лично, а у каких-то из этих историй есть «все признаки достоверности».

 

История 8. Унесенная ветром рукопись

Класс: совпадения, обусловленные природными причинами.

Самые замечательные совпадения – те, что произошли с самим Фламмарионом. Одна захватывающая история наводит на мысль о том, что существуют некие чудесные силы, которые присматривают за нами, возможно, судьба, или неизвестные силы, действующие независимо от сил природных. Он работал над своим 800-страничным популярным трактатом об атмосфере, который должен был стать его главным трудом. В конце XIX в. он был широко известен как наиболее подробный и доступный. Как раз в тот момент, когда Фламмарион был занят написанием 3-й главы 4-го раздела, главы о силе ветра, произошел необычайный случай. Был облачный день середины лета. Фламмарион сидел у себя в кабинете. Одно окно, выходящее на восток, из которого открывался вид на каштаны на авеню де ль'Обсерватуар, было открыто. Другое окно, с великолепным видом на Парижскую обсерваторию, выходило на юго-восток, а третье – южное – на улицу Кассини. Он только что написал: «Les vents de nos climats, qui nous paraissent si capricieux et si variables, vont nous laisser apercevoir derrière eux les règles auxquelles ils obéissent» («Ветры в наших краях, которые нам кажутся столь своенравными и переменчивыми, позволят увидеть скрытые от нас до поры правила, которым они подчиняются»). Внезапно порыв юго-западного ветра распахнул окно, выходящее на обсерваторию, подхватил листы рукописи – всю главу целиком – со стола Фламмариона и унес их на улицу. Некоторые опустились среди деревьев, другие полетели в сторону обсерватории. Хуже того, хлынул проливной дождь. Это было первым совпадением в тот день.

Фламмарион понял, что идти на поиски пропавших страниц было бесполезно. Он записал: «Спускаться вниз и искать мои страницы было бы напрасной тратой времени, но мне так жаль было их потерять». То, что произошло потом, было поистине удивительно. Прошло несколько дней, и работник из компании Hachette, издательства, с которым работал Фламмарион, находившегося в километре от его дома, принес ему все пропавшие листы.

 

История 9. Сны Эйба Линкольна

Класс: сны, которые сбываются.

Авраам Линкольн пересказал свой пророческий сон жене Мэри Тодд однажды за ужином, незадолго до того, как его убили.

«Около десяти дней назад я отошел ко сну очень поздно. Я ожидал важных донесений с фронта. Я быстро задремал, так как очень утомился. Скоро пришло сновидение». Далее Линкольн рассказывает о том, что во сне он встал с постели и спустился по лестнице. Он на самом деле мог это сделать. Спустился по лестнице – предположительно, в Белом доме – и услышал рыдания плакальщиков. Переходя из одной комнаты в другую, он искал плачущих, но, хотя комнаты были освещены, никого не находил. Однако звуки были повсюду, как если бы плакальщики незримо присутствовали в каждой комнате. Хоть этот сон и был тревожным, он сомневался насчет его значения. Когда он вошел в Восточный зал, то нашел там тело в похоронных одеждах, лежащее на катафалке, и нескольких солдат, стоящих в карауле. Повсюду стояли плакальщики и рыдали. Лицо покойника было прикрыто. «Кто умер в Белом доме?» – спросил он одного из солдат. «Президент, – ответил солдат. – Его убил террорист!»

Тут толпа завыла так громко, что Линкольн пробудился ото сна. Он говорил, что в ту ночь больше не заснул, а сон этот посещал его еще не раз.

– Это ужасно! – сказала Мэри. – Лучше бы ты мне этого не рассказывал. Хорошо, что я не верю снам, иначе не было бы мне покоя с этого момента.

– Это просто сон, Мэри, – сказал Линкольн мрачным тоном и с печалью на лице. – Давай не станем более о нем говорить и постараемся забыть.

У него были и другие сны, предвещающие практически каждое событие на войне. Ему неоднократно являлись знамения победы Союза: одно – в ночь перед победой при Энтитеме, другое – за несколько дней до Геттисберга. Были и другие: перед Самтером, Булл-Раном и Уилмингтоном. Одно знамение случилось 13 апреля 1865 г., в ночь перед тем, как он был убит в театре Форда. Оно было очень ярким. Днем 14 апреля генерал Грант сообщил кабинету, что ожидает капитуляции генерала Джонстона. Линкольн звучным и уверенным голосом произнес: «Скоро мы все узнаем, и новости будут очень важные». Когда Грант спросил, почему он так думает, Линкольн ответил: «Прошлой ночью у меня был сон; и с самого начала этой войны тот же сон я видел каждый раз перед событиями национального значения. Он предвещает, что очень скоро произойдет некое важное событие».

Похоже, все сны, о которых он говорил, были пророческими. Джонстон сдался генералу Шерману 26 апреля. Война наконец закончилась. А человека, который видел эти сны, уже не было среди живых. Через три дня после убийства Линкольна Гидеон Уэллс, министр ВМС, присутствовавший на последнем правительственном заседании Линкольна, записал в своем дневнике такие слова:

Великие события в самом деле произошли, ведь через несколько часов добродетельный и великодушный, а равно и подлинно великий человек, который рассказал о своем сне, навсегда окончил свой земной путь.

Последнее заседание правительства Линкольна было созвано в 11:00 в Страстную пятницу 14 апреля. Фредерик Сьюард, помощник государственного секретаря, присутствовал на том совещании. Он написал о нем в Leslie's Weekly, иллюстрированной газете (иллюстрации выполнялись с помощью ксилографии и дагерротипии):

«Когда в разговоре коснулись темы сна, мистер Линкольн отметил, что необычный сон, который он видел прошлой ночью, приходил к нему уже несколько раз: неясное ощущение того, что он плывет – уплывает через какое-то огромное и неясное пространство к неизвестному берегу. Сам по себе сон не был столь странен, насколько странным было совпадение: каждый раз, когда сон повторялся, происходили важные события или же несчастья, о которых он упомянул».

Комментарии слушателей были заурядными. Один полагал, что это были лишь совпадения. Другой, смеясь, заметил: «Во всяком случае, сейчас это не может быть предсказанием ни победы, ни поражения, ведь война окончена».

Третий предположил: «Быть может, каждый из этих случаев и говорил о возможных великих переменах или бедствиях, но смутное ощущение неопределенности затуманивало сонное видение».

«Возможно, – сказал мистер Линкольн задумчиво. – Возможно, это все объясняет» {22} .

 

История 10. Джоан Гинтер

Класс: удача или невезение в азартных играх.

Что мы можем думать об удачливости женщины, которая четыре раза выигрывает в лотерею?

14 июля 1993 г. Джоан Гинтер зашла в Stop N Shop в Бишопе, штат Техас, купила несколько билетов моментальной Техасской лотереи и выиграла $5,4 млн. Она тут же оказалась в местных новостях.

Та же женщина через несколько лет зашла в мини-маркет, купила несколько билетов моментальной лотереи Holiday Millionaire и выиграла $2 млн. На сей раз – Техасские новости.

Прошло еще два года. Она купила несколько билетов Millions and Millions в супермаркете Times на трассе 77 в Бишопе – и снова выиграла! Еще $3 млн! Теперь уже Национальные новости.

Прошло еще два года. Она зашла в тот же самый супермаркет Times, купила билеты Extreme Payout на сумму $50 и выиграла еще $10 млн. Теперь о ней говорят в международных новостях! «Кто же этот счастливчик, выигравший в лотерею четыре раза?» – спрашивает Джон Уэтенхол, ведущий «Мировых новостей» на ABC.

Шансы того, что подобное могло случиться с конкретным человеком, составляют 1 к 18 септиллионам, т. е. маловероятно, чтобы это произошло с одним человеком раз за квадриллион лет.

Некоторые полагают, что Джоан Гинтер, пенсионерка, бывшая преподавательница математики из Стэнфорда, обладатель ученой степени, перехитрила систему, как-то сжульничала или, возможно, разгадала алгоритм лотереи, который определяет, куда привозят выигрышные билеты. Другим казалось, что она выиграла, воспользовавшись открытыми числами как подсказкой. Но многие жители Бишопа, маленького фермерского городка с 3300 жителей, считают, что это была «милость Божья для Джоан».

Такие многократные выигрыши исключительны, но не для специалистов по статистике, которые знают, что редкие события происходят по чистой случайности. Четыре раза выиграть в лотерею – это редкость, если событие приходится на одного человека, но вполне заурядный случай, если учитывать все население. На самом деле у выигрыша Гинтер и ей подобных весьма неплохие шансы, если учитывать все население США – почти 320 млн человек. Ее выигрыши кажутся изумительными только потому, что мы рассматриваем их как произошедшие с одним конкретным человеком – Джоан Гинтер.

Принимая во внимание, что только в США существует 26 крупных легальных лотерей, продажи билетов составляют около $70 млн в год, а большинство покупателей играют часто, придется признать: выиграть четыре раза подряд – это событие, которое не только должно происходить время от времени, а должно происходить довольно часто.

 

Глава 3

Значимые совпадения

 

Есть связи, которые нельзя объяснить простой концентрацией вероятностей в пространстве и времени. Связь таких «совпадений» настолько значительна, что шансы случайного наступления у всех этих событий исключительно малы.

Мы можем задаться вопросом об их причине, начав искать смысл. Причина и смысл – две разные вещи. Причина события – это главное условие его наступления. Существуют причины, которые невозможно определить – они либо скрыты от нас, либо являются слишком неясными. Причина может иметь несколько слоев понимания. Дерево падает, если в его основании сделать достаточно большой пропил. На одном уровне пропил может служить причиной его падения; на другом причиной может быть неустойчивость дерева после того, как пропил был сделан; и все же причина может быть и в том, что ствол дерева сгнил настолько, что оно все равно упадет, даже если его никто не подпиливал. Смысл, однако, есть нечто иное.

Рассмотрим следующую ситуацию. В то время как вы читаете это предложение, солнце освещает комнату, в которой вы находитесь. Верно? Для некоторых читателей это утверждение будет верным. Разумно будет предположить, что кто-то читает эту книгу солнечным утром, возможно, воскресным утром. Если бы я написал: «В то время как вы читаете это предложение утром в воскресенье, лежа на своем диване в комнате с тремя окнами, которые находятся позади вас и которые надо помыть…» – то я, вероятно, исключил бы большое число читателей. Те из вас, кто читает по пути с работы домой в поезде, скажем, № 2, следующем до Флэтбуш-авеню в Бруклине, Нью-Йорк, в этот момент поймут, что я обращаюсь не к ним, хотя, так уж совпало, именно это я и сделал только что.

Если это действительно воскресное утро и вы действительно лежите на диване в комнате с тремя немытыми окнами, вы увидите потрясающее совпадение. Вероятно, вы подумаете, что вы единственный, кто читает в данный момент эти строки. Но на самом деле я просто предположил, что кто-то будет читать эту книгу в воскресный день и доберется до этих строк.

Я не называл имя читателя. Я мог написать: «Ларри Смит! В то время как вы читаете это предложение, солнце освещает комнату, в которой вы находитесь». Шансы на то, что некий Ларри Смит прочтет эти строки в солнечный день, были бы невелики, но отличны от нуля.

Но это не то, что мы имеем в виду под совпадением. Причина должна будет содержать мое предположение о том, что у книги есть (я могу лишь надеяться на это) достаточное число читателей для того, чтобы такое стечение обстоятельств могло иметь место. Будет ли это совпадением? Нет! Причина очевидна, кроме того, особого смысла нет. Я специально построил предложение так, чтобы увеличить вероятность. В сущности, я намеренно сфабриковал образ возможного читателя в наиболее вероятной обстановке. Я выбрал большой город и место, где читают многие. Причина – я сам.

Конечно, у моего подстроенного совпадения есть некий смысл, как у любого события, но смысл совсем не серьезный, не такой, что берет за душу, меняет химический состав крови и настраивает на рабочий лад, вызывает определенные эмоции, сужающие или, наоборот, расширяющие кровеносные сосуды в мозге. Чтобы совпадение имело значимый смысл, оно должно передавать некое эмоциональное состояние, возможно, относящееся к определенному архетипу, укладывающемуся в наш личный опыт. Коллективные знания и опыт формируют наши ожидания – предвкушения, из которых, в свою очередь, формируется неожиданность, а это важнейший элемент любого совпадения. Предложенное мной стечение обстоятельств, если когда-нибудь и произойдет, не поразит наше сознание несомненным архетипическим сходством. Это вымысел, который относится лишь к нескольким читателям, выхваченным из небольшого ряда надуманных вероятностей. Смысл совпадения не сводится к простой семантике повествования. У любой истории есть лингвистическое значение, а также (у одних больше, у других меньше) скрытый смысл; однако, когда мы говорим, что совпадение что-то означает, мы ожидаем, что связанная с ним история включает подсознательные отсылки к нашим глубинным воспоминаниям.

Я предлагаю следующий пример значимого стечения обстоятельств без очевидной причины. Ну, может и не совсем без очевидной. Решать вам. В ночь на 19 октября 2006 г. у моей жены умерла мать. За неделю до этого, когда моя теща объявила о том, что готова воссоединиться со своим мужем, жена сказала: «Дай мне знак». 20 октября после сильного дождя на небе появилась исключительно четкая, совершенно замечательная двойная радуга, и через несколько мгновений две радуги соединились в одну. Было ли это совпадением? Его бы не произошло, если бы моя жена не выглянула в окно как раз в тот момент, когда можно было заметить это событие. Радуга – явление недолговечное, а четкая радуга – исключительно недолговечное. Была ли ее причина очевидной? Ну да. С научной точки зрения радуга вызывается дифракцией солнечных лучей в крошечных дождевых каплях в атмосфере; однако научное объяснение – это не причина времени ее появления, равно как и не причина того, что ее заметили. Радуга вполне могла бы быть обещанным знаком. Но каким образом совпало время ее появления и то, что ее заметили? Что бы это ни было, оно не очевидно, по крайней мере в том значении неочевидности, которое мы определили в предисловии. Это пример явного смысла без очевидной причины. Момент был, несомненно, трогательный – у нас мурашки по спине побежали. На несколько секунд эта радуга и связанное с ней архетипическое сходство придали смысл определенному стечению обстоятельств.

Если обратиться к 10 типичным совпадениям из главы 2, мы обнаружим, что смысл есть у всех, но лишь два-три из них значительно выделяются. История 7 «Сливовый пудинг» относится к классу, в котором акцент сделан на ассоциациях со знакомыми предметами. Ее смысл раскрывается постепенно, по мере того как зерно восприятия отдельной встречи прорастает и созревает в подсознании. Это история с отсылками и ассоциациями, история о полузабытых встречах и ситуациях, история о дремлющих до поры воспоминаниях и пробуждающемся осознании нового смысла старых событий. История 9 «Сны Эйба Линкольна» представляет класс пророческих сновидений. Сон Линкольна о собственном убийстве был подсознательным зловещим сигналом, соединенным с осознаваемыми предостережениями. Он явился знамением вероятного события, возможности безумного поведения со стороны кого-то, несогласного с решением, принятым в ходе войны. У любого президента наверняка есть страх перед покушением на его жизнь. Хотя страхи Линкольна могли стать причиной сновидения, значение имеет именно то, что он о нем рассказал, поскольку дает широкой публике коллективное понимание того, что у лидеров тоже есть естественные страхи.

Можно утверждать, что история 8 «Унесенная ветром рукопись» также имеет существенный смысл. Примем во внимание ее исходную причину – связь между рукописью об атмосфере и тем, что ее унес ветер. Без этой причины никакой истории бы не было. Но для нас гораздо интереснее то, что рукопись нашлась, а не то, как связана ее тема и причина первоначального исчезновения рукописи.

Книга Артура Кёстлера «История с жабой-повитухой» знакомит нас с еще одним собирателем совпадений – австрийским биологом Паулем Каммерером. Каммерер выдвинул теорию о том, что существуют побочные законы природы, которые действуют параллельно и независимо от известных нам законов физической причинности. Он назвал их законы серийности – неизвестные силы, перемещающиеся в пространстве и времени в виде волн, пики которых заставляют нас замечать совпадения, как значимые, так и бессмысленные. Его история трагична. Незадолго до самоубийства в сентябре 1926 г. прославленного ученого обвинили в том, что он фальсифицировал свои эксперименты. В этой совершенно возмутительной истории хватает зацепок, указывающих на то, что кто-то саботировал его эксперименты или же чей-то жестокий розыгрыш пошел наперекосяк. Имеются доводы в пользу каждой из версий. Но для нас в истории важно упоминание Каммерером серийности. «Серийность, – писал он, – повсеместно встречается в жизни, природе и Космосе. Это пуповина, которая связывает мысль, чувство, науки и искусство с лоном Вселенной, которая дала всем им жизнь… Таким образом, мы приходим к видению мира как мозаики или космического калейдоскопа, которые, несмотря на постоянные перетасовки и перестановки, также следят за тем, чтобы соединять подобное с подобным».

Его книга Das Gesetz der Serie посвящена довольно безумным идеям, но Карл Юнг, Вольфганг Паули и Альберт Эйнштейн находили их интересными – по крайней мере так говорит Кёстлер. Это странная книга, если рассматривать ее с точки зрения современного читателя, который кое-что знает о науке. В ней содержится ровно 100 тривиальных сочетаний событий во времени и пространстве; они используются в качестве примеров теории о том, что совпадения происходят группировками и сериями. Это странная идея, но не такая уж дурацкая, как может показаться на первый взгляд, и вполне заслуживает внимания. Видите ли, совпадения Каммерера разделены на категории: совпадения, связанные с неожиданным появлением предметов в четкой последовательности приблизительно в одно и то же время, в одном и том же месте; числа; пары имен не связанных друг с другом людей; случайные встречи знакомых; сны, связанные с событиями реальной жизни; схожесть последовательно материализующихся слов. Он пытался проследить, как одинаковые или схожие события происходят в одно и то же время без видимых причин, чтобы увидеть математическую закономерность и построить научную теорию. Он собирал эмпирические данные в попытке понять, не действуют ли за ширмой пространства и времени некие неизвестные законы и принципы, которые могли бы объяснить серийность – частотность и скопление – совпадающих событий.

Говорили, что Каммерер сидел на скамейках в нескольких парках Вены, записывая все, что там происходило и могло относиться к совпадениям: скажем, два человека с одинаковыми портфелями, одинаковыми шляпами или же неожиданная встреча. Такие вот тривиальные вещи. Кроме того, он делал записи о количестве людей в парке в разное время дня: сколько из них женщин, у скольких были портфели, у скольких – зонты. Словом, собирал данные. Затем методично втиснул полученные данные в количественные доказательства и сделал вывод, что совпадения окружают нас постоянно, но мы их по большей части игнорируем, так как просто не ожидаем, что они произойдут. Видим мы их, только если обращаем на них внимание. А обращаем внимание тогда, когда о них говорят или когда они для нас что-то значат. Это напоминает мне знаменитый эксперимент Кристофера Шабри и Дэниела Саймонса с невидимой гориллой, который демонстрирует, как не удается воспринять видимый, но неожиданный объект, когда внимание сосредоточено на конкретной задаче. В этом эксперименте участников просили посмотреть минутное видео, в котором люди играли в баскетбол. На игроках одной команды были черные футболки, на игроках другой – белые. Испытуемых просили сосчитать про себя число передач, выполненных игроками в белых футболках, игнорируя передачи, выполненные игроками в черных футболках. В середине видео студентка в ростовом костюме гориллы проходила через площадку, останавливалась прямо перед камерой, била себя в грудь и уходила. После просмотра видеозаписи испытуемых спрашивали, не заметили ли они что-то необычное. Около половины испытуемых не заметили гориллу! Гориллу, которая вышла точно в центр площадки! Гориллы не было в задании; соответственно, возник недостаток внимания, и горилла стала невидимой.

Отчасти об этом и говорит Каммерер. Если мы намеренно ищем совпадения, то находим их повсюду. Не только из-за нашего утверждения о том, что при наличии достаточного времени и большой совокупности событий самые удивительные вещи происходят по чистой случайности.

Я люблю хорошие истории и потому не имею желания нарушать трепет, вызываемый удивительными событиями. Но я также математик, и моя профессиональная обязанность – говорить правду. Скептики останутся скептиками, но интересные и удивительные истории все же будут рассказывать. Есть одна такая история, связанная с романом Нормана Мейлера «Варварский берег» – сюрреалистической политической аллегории о шести людях, живущих в одном доме на съемных квартирах, каждый из которых олицетворяет определенные политические взгляды, существовавшие в то время в Америке. Главный герой – Майкл Лавитт – американский марксист-сталинист. Книга вышла в 1951 г., в начале эпохи маккартизма. Агент ЦРУ прочел ее и арестовал Рудольфа Ивановича Абеля – советского разведчика, жившего этажом выше Мейлера. Мейлер понятия не имел, что над ним проживает один из его персонажей. Такие истории всегда будут, как бы ни развенчивали совпадение, отчасти потому, что у него есть смысл – подсознательное беспокойство горожанина, живущего среди незнакомцев. Том Биссел в своей новой книге «Волшебные часы» рассказывает о том, что «Моби Дик», когда он вышел в 1851 г., считался провалом. Успех и звание великого американского романа пришли только в 1916 г., когда авторитетный критик Карл ван Дорен случайно наткнулся на редкую пыльную книгу в букинистическом магазине и написал хвалебный очерк, в котором назвал «Моби Дик» «одним из величайших морских романов во всей мировой литературе». Более поздняя история касается романа Миши Берлински «Поле». Роман лежал под спудом пяти лет, пока Стивен Кинг не отыскал его в книжном магазине и не написал изумительный обзор в Entertainment Weekly. До этого продажи романа были мизерные, зато теперь он попал в список бестселлеров The New York Times. Это была случайная встреча книги и Стивена Кинга, который невзначай зашел в магазин. Смысл этих историй для нас заключается в архетипе надежды на успех.

 

Синхронистичность

В начале XX в. Карл Юнг выдвинул идею синхронистичности как модели магии и суеверий, окружающих странную согласованность событий. Он видел совпадения не как непредсказуемые яркие явления, которые могли быть как-то связаны. Напротив, он рассматривал их как совокупности событий, которые существенно связаны по смыслу, но не имеют причинно-следственных связей друг с другом. Он написал книгу о синхроничных событиях, в которой утверждал, что жизнь есть сочетание не случайных событий, но направленных проявлений природного порядка психических феноменов, связанных с коллективным бессознательным. Иными словами, его синхронистичность – это сочетание времени, пространства и сознания, где имеет место нечто, отличное от случайности. В качестве примера Юнг говорит, что человек может заметить, что номера билета в театр и автобусного билета, которые он купил в один день, одинаковы. Совпадение заключается в том, что эту одинаковость заметили.

Сперва человек «случайно» обратил внимание на номер, что само по себе уже довольно необычно. Чем вызвано то, что он обратил внимание на номер? Юнг говорит о том, что может существовать некое «предвидение приближающейся серии событий».

Такие события, утверждает он, в любой мыслимой форме, происходят часто, но после первого минутного удивления о них быстро забывают. Юнг сказал бы, что в момент, когда человек замечает критическое событие, имеет место некий архетипический феномен. Необычайные связи еще теснее увязываются с пространством архетипов и вследствие этого усиливают взаимодействие между подсознанием и сознанием. Я согласен с Юнгом в том, что чудо совпадения заключается в связи между предвидением и восприятием.

Есть замечательная переписка между Юнгом и Вольфгангом Паули (по поводу юнговской теории «акаузального порядка»).

Паули был физиком. А для физика у событий обычно имеются причины. Я говорю «обычно», потому что теория относительности и квантовая теория странным образом связаны, хотя, похоже, никаких оснований для этого нет. Это оттого, что частицы уровня атомов ведут себя не так, как более крупные, следующие привычным причинно-следственным законам. Поведение этих сверхмалых частиц (если мы вправе называть это «поведением») известно лишь с точки зрения статистической достоверности и прогнозирования, а не как твердая связь между причиной и следствием. В приведенном Юнгом примере, когда человек покупает билет в театр и номер билета совпадают с номером билета на автобус, который был куплен по пути в театр, мы имеем дело с очевидным сопряжением двух событий, у которого вряд ли есть познаваемая причина. На самом деле в наше время таких сопряжений полно. Просто мы их не замечаем. Время от времени мы становимся более внимательны к ним. Юнг дает пример сопряжения слова и понятия «рыба»:

1 апреля 1949 г. я записал следующее: «Сегодня пятница. На обед у нас рыба». Кто-то упомянул об обычае делать из окружающих «апрельскую рыбу» [апрельского дурака]. В то же самое утро я занес в свой блокнот запись, которая гласила: «Est homo totus medius piscis ab imo» [5] . Днем одна из моих бывших пациенток, которую я не видел уже несколько месяцев, показала мне несколько чрезвычайно впечатляющих картин с изображениями рыб, которые она написала за то время, что мы не виделись. Вечером мне показали кусок гобелена с изображенными на нем рыбоподобными чудищами. Утром 2 апреля другая пациентка, с которой я не виделся уже несколько лет, рассказала мне сон, в котором она стояла на берегу озера и увидела большую рыбу, которая подплыла прямо к ней и выбросилась из воды к ее ногам. В это время я занимался изучением символа рыбы в истории. Только одно из упомянутых мною здесь лиц знало об этом {30} .

Юнг утверждал, что ряд связанных с рыбами событий произвел на него достаточно сильное впечатление, в основном потому, что совершенно невероятным образом все эти происшествия имели место в один день. Это было то, что он имел в виду под смысловым совпадением, определяемым им как акаузальная связь, которая вполне естественна. Конечно, следует помнить, что во времена Юнга для многих людей во всем мире, особенно для католиков, которым не разрешено употреблять в пищу мясо теплокровных животных по пятницам (вероятно, потому, что Иисус умер в пятницу), было вполне обычным делом связывать пятницу с рыбой. Таким образом, одна каузальная связь есть. А 1 апреля, учитывая, что День дурака тогда назывался Днем рыбы, для Юнга было естественно думать о рыбе. Кроме того, Юнг признался, что уже несколько месяцев занимался архетипическим символом рыбы до событий 1 апреля. Что также способствовало тому, чтобы заметить любое упоминание о рыбах, поскольку они в самом деле являются архетипическими символами. Так что эта юнговская «рыбная» связь вполне может быть каузальной. С другой стороны, события могут соотноситься – если пользоваться терминологией Юнга – как смысловые перекрестные связи.

Юнг намеревался построить теорию разума, подобную теории пространства-времени; теорию, которой не требуется каузальная связь; теорию, в которой случай определял бы связь между двумя событиями. Как Эйнштейн сложил время с пространством, чтобы получить глубокое понятие относительности, так же и Юнг предложил дополнить каузальность, добавив непричинную связь. Некоторые паттерны, утверждал он, связаны не механически, образуя «беспричинный порядок»… его паттерны являются смысловыми и повторяются и сознанием, и материей.

Для Юнга это была психическая энергия, как если бы существовало некое энергетическое поле коллективного бессознательного смысловых переживаний в границах разума; не нервная электрохимическая энергия, кружащаяся по разуму, а скорее некий энергетический поток архетипов подсознания, который связывают смысловые переживания. Может ли существовать такая энергия, энергия смысла без причины, энергия синхронистичных психических событий, вызывающая некие архетипические связи?

Позиция Юнга относительно смысловых совпадений убедительна. Он полагал, что смысловые совпадения создают мощные скрытые движения в психике человека и что последующие синхронистичные события сознательного взаимосвязаны с бессознательным. Совпадения связывают нас хитросплетениями жизни, раскрывают чувство собственного «я» и придают смысл нашему существованию. Совпадение, подобное двойной радуге, которую считают посланием умерших, придает смысл представлению о том, что все мы навсегда связаны с близкими нам людьми архетипическим сходством – самой радугой как символом дороги на небеса. В момент, когда мы сталкиваемся с совпадением, мы видим связь с большим миром. Даже простая связь дает нам почувствовать себя частью Галактики, а может быть, даже чем-то более значительным. Большую часть времени мы идем по жизни, не замечая таких связей, как если бы их невидимая сеть вовсе не существовала. Мы едва ли осознаем, что множество таких связей всегда находится буквально в двух шагах от нас. Мы редко видим синхронистичные связи прямо у себя под носом и удивляемся, когда их замечаем, но в том-то и прелесть. Однако реакция на неожиданность в историях из жизни зависит от того, как именно они рассказаны. Отдельные подробности могут сделать историю совпадений более удивительной и значимой, когда ее рассказывают как предсказание будущих событий, а не как нечто, произошедшее только что. Личная история обязана быть более удивительной и значимой для рассказчика, нежели для слушателя. Как мне кажется, история про таксиста-альбиноса была не такой уж удивительной и, конечно, в ней нет того смысла, что есть в моей истории о том, как я столкнулся с братом в кафе в заливе Мирабелло на Крите, услышав его знакомый смех. Истории из предыдущей главы поразительны, однако они неизбежны в долгосрочной перспективе.

За последние несколько лет я слышал много историй о совпадениях, которые в первый момент кажутся совершенно изумительными. Некоторые из них о том, что кто-то обознался. Некоторые о том, как кто-то оказался в определенном месте в подходящее (или неподходящее) время. Сюда входят, в частности, случайные встречи и происшествия с предметами. Другие – о выигрышах (или проигрышах) в играх, которые зависят от случайных событий. А некоторые касаются телепатии и ясновидения. Большинство из них можно объяснить в той или иной мере с помощью простого математического вычисления вероятности, которая, как правило, выше, чем можно было бы ожидать. Истории эти кажутся удивительными, только если рассматривать их вне правильного понимания статистики, недооценивая (или переоценивая) то, насколько велика Земля и ее население. Почему у всех нас найдется так много историй, которые укладываются в одну из категорий в предыдущей главе? Можно без труда дать ответ, если немного разобраться в теории вероятностей и в том, как она работает не с точки зрения здравого смысла, а с точки зрения науки.

 

Раздел 2

Математика

 

Здесь мы предложим читателю некоторые математические инструменты для исследования историй о совпадениях: закон больших чисел, закон действительно больших чисел, задачу о дне рождения, основы теории вероятностей и теории распределения чисел. Этот раздел охватывает математику, которая будет полезна для понимания основной идеи книги, а именно: если есть сколь угодно малая вероятность наступления некоторого события, когда-нибудь оно обязательно произойдет. Эти математические средства будут использованы для того, чтобы проанализировать истории, представленные в разделе 1; мы также вернемся к этим средствам в разделе 3.

 

Глава 4

Каковы шансы?

 

Совершенно невероятные истории о совпадениях неизменно заканчиваются вопросом: «Ну и каковы шансы, что нечто подобное может произойти?» Обычно вопрос является риторическим, поскольку на него в буквальном смысле сложно ответить. И хотя есть фундаментальные статистические методы и проверенные экспериментальные модели для изучения редких совпадений, у математиков все еще нет общей теории для данного предмета. Проблема заключается в самом определении слова. Все-таки «совпадение» предполагает событие без очевидной причины, включая случайности и чудеса. Что бы мы делали без веры в чудеса? Возможно, измерение вероятности совпадения – это оксюморон. Как мы можем узнать вероятность события, не имеющего видимой причины? Кто-то может утверждать, что выпадение двух шестерок на паре игральных костей не имеет видимой причины, за исключением сотни не поддающихся оценке переменных, которые определяют их движение, но тем не менее мы в состоянии оценить шансы против такого исхода как 35 к 1. У нас имеются точные и столь необходимые для страховых компаний данные о шансе дожить до возраста x лет. Так что же мешает нам измерить вероятность чуда или того, что сбудется сон, в котором мы встретили таинственного незнакомца посреди переполненной людьми комнаты? Нам не всегда необходимо знать причину события для того, чтобы разобраться с измерением его вероятности. Мы не знали, почему курение вызывает рак, когда выяснили это с помощью оценки статистической вероятности возникновения болезни. Это произошло после Второй мировой войны, когда женщины, которые до войны не курили, пошли работать на заводы и в учреждения – и начали курить. Тут же подскочила заболеваемость раком, – и бинго! – мы предположили наличие корреляции и сложили два и два. Проблема со многими совпадениями заключается в гигантском числе переменных, которых мы можем не знать или быть не в состоянии вывести из статистической выборки. Совпадения непросто оценить с помощью методов количественного анализа; однако есть качественные основания для предположения о том, что они происходят чаще, чем мы ожидаем. Даже физики избегают количественных прогнозов, предпочитая качественные.

Размышляя о совпадениях, мы имеем в виду правдоподобие. Попробуйте рассказать историю о совпадении, и кто-нибудь непременно спросит: «Ну и каковы шансы того, что такое могло произойти?» Ответ почти всегда сводится к словосочетанию «довольно незначительные». Объяснить нам, что значит «довольно незначительные», или по крайней мере заставить задуматься – задача специалистов по теории вероятностей. Меру правдоподобности события в числовом выражении математики называют вероятностью. Она всегда находится в пределах от 0 до 1, где 0 означает невозможность, а 1 – абсолютную достоверность. Существует несколько способов ее измерения. Один – рассмотреть относительную частотность большой выборки. В принципе, вероятность события – это отношение двух чисел, каждое из которых можно определить, повторяя испытание и вычисляя долю случаев, когда событие произошло. По мере увеличения числа испытаний частота наступления события приближается к вероятности этого события. Второй способ измерения – посчитать логические возможности: брошенная правильная игральная кость может приземлиться только на одну из шести сторон. Нам нет необходимости бросать кости, чтобы узнать, что вероятность выбросить четное число составляет 1/2, или 50 %.

Если два события связаны таким образом, что оба не могут произойти одновременно ввиду некоего логического ограничения (например, невозможность вытянуть одновременно красную даму и даму пик при условии, что тянут только одну карту, из стандартной колоды в 52 карты), тогда вероятность наступления одного либо другого события – это сумма вероятностей каждого из событий. Другими словами, вероятность вытянуть красную даму или даму пик составляет 1/26 + 1/52 = 3/52.

Общий смысл следующий: предположим, что X обозначает исход испытания, а P (X) – вероятность наступления события. Тогда вероятность того, что событие не наступит, будет 1 – P (X). Например, если вы подбрасывали монетку, то P (орел) будет равняться 1/2, как и P (решка). Если бросают пару игральных костей, то P (4) = 1/12, а P (не 4) = 11/12. Если X и Y – возможные взаимоисключающие исходы, то вероятность наступления события X и Y равна 0 и вероятность наступления X или Y равна P (X) + P (Y).

В качестве примера из жизни возьмем следующие события: первое – случайно встретиться с лучшим другом на Бора-Бора утром в следующий вторник; второе – случайно встретить двоюродного брата или сестру после полудня в тот же самый день в Рейкьявике. Первое имеет влияние на второе. Если вы не располагаете личным истребителем F-15, вы не можете случайно встретиться с лучшим другом на Бора-Бора и случайно встретиться с двоюродным братом или сестрой в Рейкьявике. Естественно, допущение обеих возможностей дает лучшие шансы. В случае с картами: можно вытянуть красную даму или (черную) даму пик. Если, с другой стороны, мы имеем ситуацию, где одно событие совершенно не зависит от другого, тогда вероятность того, что наступят оба, – это произведение вероятностей каждого из событий. Вероятность вытянуть красную даму, а затем, вернув ее в колоду, вытянуть даму пик будет 1/26 × 1/52 = 1/1352.

Действительно, требование о том, чтобы наступили два заданных события, дает меньшие шансы. С другой стороны, вероятность вытянуть из колоды обе карты, не возвращая в колоду первую карту, немного осложняет задачу. Нам потребуется найти вероятность того, что одно событие наступит после другого: условная вероятность. Случай со сдачей двух карт из одной колоды поучителен. Если допустить, что сданную карту не возвращают в колоду, то вероятность вытянуть красную даму, а затем – даму пик составит 1/26 × 1/51 = 1/1326. В момент сдачи второй карты в колоде не будет одной красной дамы или попросту одной карты. Таким образом, вероятность вытянуть даму пик на второй сдаче будет вероятностью вытянуть ее из колоды в 51 карту. Не возвращая карту в колоду, мы тем самым увеличиваем вероятность сдачи дамы пик. В данном случае важно то, что мы имеем дело с произведением двух чисел, оба из которых меньше единицы, а это означает, что полученная вероятность будет меньше вероятности каждого из событий. Для ясности отметим: мы условились, что дама пик была вытянута после красной дамы. Если бы условием была сдача любой из карт – дама пик вытянута первой по счету или второй, вероятность была бы больше. Мы рассматривали бы две вероятности: вероятность сдачи дамы пик, а затем красной дамы и вероятность сдачи красной дамы, а затем дамы пик.

 

Разница между шансом и вероятностью

Мы видим различие между понятиями «шанс» и «вероятность». Когда мы говорим, что шанс – это m: n, мы имеем в виду, что ожидаем, что событие не наступает в m случаях из n, когда оно наступает. Стандартная запись выглядит как m: n, что на словах означает «отношение m к n». Если шанс – это m: n, то вероятность будет отношением n/m+n, т. е. шанс 4 к 1, если перевести в вероятность, будет 1/5. Для вычисления шансов наступления события p вычислим отношение (1 – p)/p и сократим его до m/n. Тогда шанс того, что событие наступит, составит m к n. В случае с p = 1/5 отношение превращается в (1 – (1/5))/(1/5) = 4/1, таким образом шанс составляет 4:1.

Понятие шанса взято из азартных игр. С его помощью легче вычислять выигрыш; если выигравшая ставка в $1 оплачивается как m к 1, то выигрыш составит $m, т. е. сумма включает также и величину первоначальной ставки. Равные шансы или равная ставка означают, что шансы 1 из 1. В этой книге мы постараемся ограничиться случаями, где m = 1. Понять, насколько вероятно или невероятно событие, проще, когда мы знаем, что на одно удачное испытание приходится m неудачных. В определенных случаях мы будем использовать выражение «шансы 1 из m», подразумевая, что на m испытаний будет приходиться одно удачное. Так, например, «шансы вытянуть туза пик из колоды в 52 карты составляют 1 из 52», что можно выразить и как «шанс вытянуть туза пик из колоды в 52 карты составляет 51 к 1».

 

Вероятностный мысленный эксперимент

Выберем два любых маловероятных события. Примем в качестве первого – черная кошка перейдет вам путь в следующую среду. В качестве второго – вы когда-нибудь получите заказное письмо от юридической конторы, в котором будет сказано, что ваш двоюродный дедушка, о котором вы никогда не слышали, скончался и оставил вам миллион долларов. Предположим, что первое событие имеет вероятность 0,000001, учитывая численность черных кошек, шатающихся по улицам в вашем районе. Предположим, что вероятность второго – 0,000001, учитывая, что у ваших родителей не слишком много дядьев, о которых вы не знаете. (Эти числа я выбрал исключительно умозрительно.) Вероятность наступления обоих событий необычайно мала – всего 0,000000000001. Эта вероятность меньше, чем вероятность того, что наступит хотя бы одно из событий, и выше, чем вероятность того, что оба события произойдут одновременно. Несомненно, что вероятность наступления одного или другого события выше.

Теперь рассмотрим десять отдельных редких событий:

а) Черная кошка переходит вам путь в среду.

б) Двоюродный дедушка, о котором вы никогда не слышали, умирает и оставляет вам в наследство миллион долларов.

в) Кольцо, которое вы потеряли 20 лет назад, появляется на гаражной распродаже на вашей улице.

г) Сон, в котором мы встретили таинственного незнакомца посреди переполненной людьми комнаты, сбывается.

д) Вы играете в лотерею Texas Lotto и дважды выигрываете.

е) Вы случайно встречаете собственного брата на Бора-Бора.

ж) Находясь за границей, вы находите экземпляр книги Марка Твена «Таинственный незнакомец» с вашей подписью на титульном листе.

з) Вы получаете новый паспорт, номер которого совпадает с номером вашего социального страхования.

и) Вы находите экземпляр книги Марка Твена «Таинственный незнакомец», который был у вас во время учебы в школе, на скамье в парке (да, событие очень похоже на события «ж»).

к) Вы берете такси в Чикаго и узнаете в водителе человека, который подвозил вас в Нью-Йорке в прошлом году.

Я выбрал эти события произвольно. Некоторые из них являются совпадениями, некоторые – просто отдельные события. Они могли бы быть совершенно самостоятельными событиями, если бы не пресловутая бабочка над Тихим океаном, которая, как видно, влияет на все на свете: от погоды в Париже до результатов скачек «Кентукки Дерби», чем постоянно вызывает непредвиденные волнения. Почему кошка появилась в определенный момент? Таинственный незнакомец мог оказаться тем парнем, которому кошка принесла ваше давно потерянное кольцо.

Вероятность некоторых из этих событий и им подобных узнать чрезвычайно сложно даже приблизительно. Для простоты предположим, что вероятность каждого из событий составляет 0,000001, т. е. меньше, чем вероятность получить с раздачи флеш-рояль при игре в покер. Особых причин для того, чтобы брать именно это число, нет, кроме простого факта – такое событие не невозможно, но слишком уж рассчитывать на него не стоит. Может показаться, что вероятность наступления одного из двух событий в списке составит 2 × 0,000001 = 0,000002, потому что вероятности складываются, когда необходимо вычислить вероятность наступления одного из двух событий. Тогда можно наивно предположить, что, рассматривая только два события из предложенных, мы тем самым удваиваем вероятность. Но мы должны быть внимательны. Расчет игнорирует возможность того, что оба события (например, «ж» и «и» из списка) могут произойти одновременно. Нам необходимо вычесть вероятность такого исхода из суммы двух вероятностей. Если события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей, то есть 0,000001 × 0,000001 = 0,00000000001, относительно небольшое число. Тогда действительная вероятность составит 0,00000199999 – немного меньше, чем ожидалось. Это подводит нас к любопытному вопросу. Ответ на него может заставить по-другому посмотреть на мир совпадений. В мире всевозможных необычайно удивительных событий должны быть тысячи – если не миллионы или миллиарды – событий, которые могут произойти с вами в течение одного года. Давайте предположим, что вероятность каждого из миллиона таких событий будет, скажем, 0,000001. Тогда вопрос в следующем: что произойдет, если мы объединим все эти события и попробуем найти вероятность того, что хотя бы одно из них произойдет в течение года? Нет реального способа определить, насколько независимыми друг от друга будут события числом в миллион. Мы не можем предполагать, что ни у одной из возможных пар событий нет прямой связи. Мы не можем не принимать в расчет возможность того, что одно событие может быть причиной другого или влиять на него или что отдельное событие может зависеть от другого. Например, если вы один раз выиграли в лотерею и потратите часть выигрыша на повторные попытки, это окажет влияние на второй выигрыш, он будет зависеть от первого. Также мы не можем просто сложить вероятности, чтобы получить вероятность того, что произойдет одно событие из миллиона. Это привело бы нас к абсурдным расчетам, из которых следует, что вероятность одного события составит 1 000 000 × 0,000001 = 1, т. е. событие будет достоверным! (Мы бы складывали 0,000001 миллион раз.) Чтобы такие расчеты сработали, события должны быть изолированными, т. е. не иметь ничего общего. Если они имеют что-то общее, то любая серьезная оценка вероятностей становилась бы делом непомерно сложным, если не невозможным. К примеру, нам пришлось бы исключить вероятность того, что черная кошка, которая может пересечь вам путь в следующую среду, также найдет ваше давно потерянное кольцо в водосточной трубе и принесет его таинственному незнакомцу, который попытается продать его на гаражной распродаже. Но даже при выполнении всех этих требований нам все же придется учитывать огромное число пересекающихся возможностей, которые могли бы снизить те или иные шансы. С другой стороны, если бы все из миллиона событий были взаимоисключающими, то математика говорила бы нам, что мы можем быть уверены – одно из них произойдет. Конечно! Любой активный человек может встретиться с миллионом возможных событий. Просто выйдя из дома, человек встречает необозримое число возможностей.

Событие «д» – единственное в нашем списке имеет довольно точно определяемую вероятность, но даже оно зависит от личности победителя. Чтобы выиграть дважды, нужно сначала выиграть в первый раз. Это значит, в первый раз выбрать шесть правильных чисел. Вероятность того, что это произойдет один раз, близка к 0,000000038 – в самом деле, достаточно малое число. Иначе говоря, ваши шансы на выигрыш составляли бы 25 827 164 к 1.

Как это рассчитано? Есть 54 варианта выбора числа. Когда выбрано первое число, оно исключается, т. е. остается 53 возможных варианта для второго числа. Подобным образом для третьего есть 52 варианта, для четвертого – 51, для пятого – 50, для шестого – 49. Поэтому существует 54 × 53 × 52 × 51 × 50 = 18 595 558 800 различных способов выбрать шесть чисел, каждое от 1 до 54. Есть 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 различных способов расположения шести чисел. Поскольку порядок, в котором выбраны числа, значения не имеет, мы делим на 720 и получаем 25 827 165 – число различных возможных вариантов, только один из которых верен.

Вероятность выиграть во второй раз остается такой же; числа в лотерее не обладают способностью к запоминанию, равно как и вероятность. Вероятность, однако, зависит от того, как мы о ней думаем. Если вы забываете о том факте, что выиграли в первый раз, то вероятность не меняется. Ваши шансы составляют 25 827 164 к 1, а вероятность – 0,000000038. Вероятность выиграть во второй раз составляет 0,000000038 × 0,000000038 = 0,000000000000001444, что выглядит очень, очень маловероятно. Мы знаем, что ранее выигравшие числа из следующих лотерей не исключаются и никак на последние не влияют. Однако сам факт выигрыша странным образом такое влияние оказывает, а основано оно на личности победителя. Как преступники возвращаются на место преступления, так победители продолжают играть в лотерею. И делают это, имея полные карманы денег, покупая куда больше билетов, чем раньше. Таким образом, наши расчеты не учитывают всех прочих попыток сыграть в лотерею. Человек мог сыграть 100 раз, прежде чем случился второй выигрыш. В главе 7 (а именно в табл. 7.1) мы найдем шансы на выигрыш в лотерею 4 раза за 4 попытки, что является куда более сложным делом.

 

Глава 5

Дар Бернулли

 

Возможен ли математический закон, который откроет нам будущее? После того как пара игральных костей брошена, они «забывают» о том, где и как легли. Если кости «честные» и брошены без жульничества, нельзя заранее сказать, каков будет результат, и все же мы можем быть вполне уверены, что, если бросать кости достаточно долго, 7 будет появляться намного чаще, чем любое другое число. Дело в геометрии игральных костей и простых арифметических правилах: существует больше пар чисел от 1 до 6, в сумме дающих 7, чем любых других пар, которые можно получить в результате броска двух игральных костей.

Математика вероятности – относительно новая область знания. Она зародилась примерно в XVI в. До начала XVI в. математика не занималась неопределенными проблемами. Натурфилософы и математики больше интересовались познанием серьезных вещей, которые для одних могли быть абстрактными понятиями теории чисел и геометрии, для других – более практичными и полезными делами: например, геодезия или другие строительные технологии (в частности, строительство соборов). Само математическое понятие случайного было впервые описано в «Книге об азартных играх» (Liber de Ludo Aleae) Джероламо Кардано – сборнике работ, содержащих основы понимания природы случайности и того, что мы сейчас называем вероятностью; книга была написана около 1563 г. Но «Книга об азартных играх» оставалась неизданной еще сто лет.

Джероламо Кардано был миланским врачом, математиком и игроком. Наибольшую известность ему принесла его книга «Великое искусство» (Ars Magna), опубликованная в 1545 г. В ней изложено все, что было известно на тот момент о теории алгебраических уравнений. «Книга об азартных играх» – это 15 страниц бессвязных математических и философских заметок. Кардано не собирался ее публиковать. Но в книге мы находим полезные инструменты для изучения частотности совпадений. Она считается краеугольным камнем теории вероятности, расчетных величин, средних величин, таблиц распределения, свойств сложения вероятностей и различных способов вычисления k успешных испытаний из N – общего числа испытаний. В ней даже содержалось предположение о существовании математического закона, который позже станет известен как слабый закон больших чисел. В общих чертах закон говорит о том, что разность между наблюдаемой вероятностью (которая совершенно не известна до момента наступления событий) и математически вычисленным средним значением p может оказаться сколь угодно малой при условии, что число испытаний N достаточно велико.

В строгом выражении он выглядит как загадочная скороговорка: вероятность P, что средний коэффициент успешности испытаний отличается от p, сколь угодно близка к нулю, при условии что N может быть сколь угодно большим для выполнения данного условия. В современной записи, где ε представляет любое выбранное малое число, сходится к 1 по мере того, как растет N. Для тех читателей, которые подскочили, увидев этот набор символов, позвольте пояснить. Мы используем запись, разработанную для того, чтобы говорить о вероятности события, описанного в квадратных скобках. Например, P [на следующее 4 июля Центральный парк накроет ураган] обозначает вероятность того, что ураган накроет Центральный парк на следующее 4 июля. Таким образом, обозначает вероятность того, что разность между отношением k/N и p, взятая по модулю, будет меньше, чем любое выбранное малое число ε .

Это принцип, которому следуют средние величины в долгосрочной перспективе. Уместно спросить: как могут случайные события (без какой-либо памяти о каждом отдельном исходе) иметь среднее значение, настолько близкое к математически рассчитанной величине? К сожалению, этот замечательный истинный закон даже сегодня часто путают с тем, что некоторые называют законом средних чисел, который и не закон вовсе, а скорее, нелепое предположение, утверждающее, что если достаточно долго бросать монетку, то половина бросков придется на орла, а половина – на решку. Если только мы не примем «достаточно долго» за «неограниченно долго», то утверждение не так уж истинно.

Да, слабый закон больших чисел – действительно поразительная вещь. Но еще более удивительно то, что его можно доказать математически! Он показывает, что случайные события – события с широким диапазоном возможных исходов и без какой-либо памяти о каждом отдельном исходе – могут иметь эмпирическое среднее значение, близкое к математически рассчитанной величине. Математика может рассказать нам об определенных феноменах реального мира – строении мостов и плотин, которые подчиняются математическим законам. Летящий самолет и разбитое окно также следуют математическим законам. Стекло разбивается при определенных резонансных частотах; аэродинамический профиль крыла поднимает самолет, когда давление над крылом меньше давления под ним. Но, когда речь заходит о случайности, связи кажутся куда более загадочными. Игральные кости? Как можем мы знать, какая комбинация выпадет при следующем броске?

Кардано оставил после себя способ сделать это. До его «Книги об азартных играх» случай – счастливый или нет – был в руках Тихеи, Фортуны или других божеств, которые влияли на исход случайных событий в пользу того или иного исхода. Даже у греков, достигших удивительных высот во многих областях математики, не было математической теории азартных игр. Они просто бросали кости, полагая, что удача, случай или некое божество решали их судьбу. О, конечно же, они знали, что некоторые числа выпадали чаще других. Несомненно, знали, что 7 выпадает чаще любого другого числа. Все, что им нужно было сделать, – это сосчитать число вариантов выбросить 7 и сравнить с числом вариантов других комбинаций. Но, насколько мы можем судить, у них не было понятия о прогнозной вероятности.

Небольшая рукопись Кардано содержала первые крупицы знаний и ключи к науке о случайном. Мы узнали, что наблюдаемые факты помогают определить, что может случиться. Согласно Анри Пуанкаре, именно тогда мир узнал, что удача одного человека равна удаче любого другого и даже удаче богов.

Мы должны помнить о том, что во времена Кардано еще не существовало простого научного понятия случайности. Например, математики не задумывались о том, почему одни числа выпадают чаще других. Галилей разрешил эту загадку через полвека после смерти Кардано, когда написал небольшой трактат об игре в кости, хотя маловероятно, что Галилей знал о «Книге об азартных играх» Кардано. Он перечислил все комбинации и обнаружил, что для трех игральных костей существует 27 различных способов получить в сумме 10 или 11, но только 25 способов получить 9 или 12.

Конечно, опытным игрокам это и так известно. У них есть фундаментальное понимание игры, основанное на народной мудрости, накопленной веками практики и наблюдений. У них также есть интуитивное знание шансов выпадения комбинаций; так, для 3 игральных костей, как они хорошо знают, 10 и 11 встречаются гораздо чаще, чем любое другое число. Но существует разница между интуицией и математическим объяснением. С уверенностью, которую дает математика, можно практически рассчитывать на успех. Для тех, кто знает, как вычислить математический шанс, решения уже не выглядят столь рискованными. В конечном итоге это уже практически достоверность, несмотря на отдельные уколы неопределенности, вызываемые случайностями и совпадениями.

 

Две шестерки и рождение вероятности

Центральные понятия математической вероятности можно отследить уже в 1654 г. Зима в Париже была необыкновенно холодной. Даже Сена замерзла. Сообщалось, что парижане катались по реке на коньках, а на перекрестках горели костры, рядом с которыми священники раздавали беднякам хлеб. Экономика была задушена 30 годами религиозных войн в Европе, опустошившими французскую казну. Государство было вынуждено повысить налоги на рабочий класс, но бесчестные сборщики налогов мало что доносили до казны. На троне восседал Людовик XIV, а знать, освобожденная от налогообложения, накапливала ужасающе непомерные богатства. Не случайно праздные богачи открыто предавались азарту в игровых залах по всему Парижу. Как не случайно и то, что нарождающаяся математическая теория вероятностей появилась именно тогда, в ту самую зиму 1654 г.

Несмотря на то что азартные игры известны с начала времен или по крайней мере с тех пор, когда троглодиты стали катать кости по полу своих пещер, к середине XVII в. они стали основным видом развлечений во Франции. Серьезной математической теории случайного не существовало, кроме грубых попыток, которые мы находим в ошибочных математических работах и книге Фра Лука Пачоли «Сумма» (Summa), опубликованной в 1494 г., – учебнике, в основном посвященном алгебре. К 1654 г. рукопись Кардано «Книга об азартных играх» вышла в свет с некоторыми подсказками по поводу того, сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы иметь шансы на комбинацию из двух шестерок выше, чем один к одному.

Философ-математик Блез Паскаль прочел экземпляр «Книги об азартных играх» в поисках этого числа, но не поверил в приведенное решение. Он заболел и пролежал в постели весну и лето, ведя переписку со своим другом, юристом и математиком Пьером Ферма. Вместе они пришли к выводу, что шансы выбросить две шестерки немного меньше, чем 1 к 1, при 24 попытках и немного больше при 25.

Паскаль знал, что «глаза змеи» (две единицы) и «товарные вагоны» (две шестерки) появляются очень редко, поскольку шанс их выбросить – 1 к 36, тогда как шанс выбросить семерку – 1 к 6 (рис. 5.1). Он понял, что проще будет вычислить шанс не выбросить две шестерки, т. е. 1 – 1/36 или 35/36. Он также понял, что каждый бросок не зависит от предыдущего и что вероятность двух независимых событий – это произведение вероятностей каждого из событий, а тогда вероятность не выбросить две шестерки за n бросков – (35/36)n . Он вычислил, что (35/36)24 равняется 0,509, а (35/36)25 равняется 0,494, и пришел к выводу, что шанс получить две шестерки за 24 броска немного ниже, чем 1 к 1, и немного выше, чем 1 к 1, за 25 бросков.

Основы учения о вероятности пришли из задачи об игральных костях и ей подобных. Внешний слой вероятностного или стохастического мира можно проиллюстрировать одной картинкой. Давайте поразмыслим о мире следующим образом: если на событие влияет некая причина, то шансы, что эта причина придаст направление возможному будущему событию, выше, чем один к одному. Если на событие не влияет никакая причина, то возможное будущее развитие события может пойти в том или ином направлении без предрасположенности к какому-либо конкретному исходу. Есть ли причина, нет ли ее – шансы выше, чем один к одному, оставляют открытой дверь для случайности или совпадения. На рис. 5.2 мы показываем это с помощью так называемой доски Гальтона в качестве модели.

Доска Гальтона моделирует события, определяемые объективной случайностью. На набор стержней бросают шарик таким образом, что шарик ударяется точно о середину верхней части стержня, при этом шансы, что шарик отскочит влево или вправо – точно 1 к 1. Если шарик отскакивает вправо, то он опускается на стержень, находящийся ниже, и либо снова ударяется точно о середину верхней его части, либо отклоняется в одну или другую сторону. В теории шарик может удариться точно о середину верхней части стержня. На практике, однако, этого никогда не происходит. Почему? Сначала мы должны задуматься: что значит «верхняя часть стержня»? Значит ли это верхнюю молекулу стали (если предположить, что стержни сделаны из стали)? Но ее не существует. Тогда на практике есть причины того, что шарик отклоняется в одну или другую сторону. Возможно, это малейший поток воздуха, через который должен пройти шарик, или малейшие колебания, проходящие через опоры стержней, или мельчайшая частичка пыли, оказавшаяся в месте соударения шарика и стержня. На практике есть сотни переменных, определяющих, в какую сторону отскочит шарик после столкновения со стержнем. Кроме того, следует учитывать микроскопические вмятины и упругость соударения.

Сэр Фрэнсис Гальтон, английский генетик, живший в XIX в., построил такую доску со штырями, расположенными в шахматном порядке – как точки на грани игральных костей с числом 5. Гальтон хотел показать, что физические явления движутся с попутным ветром случайности. В идеальной доске Гальтона, т. е. в такой, где шарик всегда попадает ровно в центр верхней части стержней, шарик отклоняется вправо или влево так, как если бы для выбора направления кто-то подбрасывал монетку. В реальности же бабочка, взмахнувшая крыльями над Тихим океаном, или корова, пукнувшая на кукурузном поле в Айдахо, могут определять этот выбор. Перед каждым соударением результат предыдущего – это забытое прошлое; шарик уже не помнит предыдущего исхода, а потому ведет себя так, как если бы ударился о первый стержень. И все же совокупный результат, похоже, учитывает историю всех предыдущих.

Давайте рассмотрим это с точки зрения математики. Предположим, что шарик ударяется о четыре ряда стержней на пути вниз. Шанс того, что шарик пойдет после каждого удара вправо или влево, – 1 к 1, в результате чего шарики формируют под стержнями кривую в форме колокола. Подсчет числа вариантов падения шариков это доказывает. Предположим, что ход снижения брошенного шарика записывается буквами L и R, означающими отскок влево и вправо соответственно. Тогда у нас будут следующие возможные исходы:

Вариантов с разными буквами больше, чем только с одной буквой, и, поскольку шансы того, что шарик пойдет влево или вправо, равны, есть тенденция к тому, что шарики будут чаще падать в сторону центра под верхним стержнем. Причина в том, что в результате серий, скажем 12 выборов L и R (как показано на рис. 5.3), существует больше серий с шестью L и шестью R, чем любого другого числа L и R.

В результате каждого столкновения со стержнями считаем падение шарика влево как –1, а вправо – как +1. После столкновения с 12 рядами стержней шарик оказывается в одной из 12 ячеек в нижней части доски.

Так, например, шарик в крайней левой ячейке на рис. 5.3 получает совокупное значение –12. Конечное положение каждого шарика представляет отдельное совокупное значение. Шарики демонстрируют тенденцию к тому, чтобы отклоняться в центр. Однако, хотя достаточно много шариков падают в два центральных слота, большее их число оказывается в остальных слотах.

На рис. 5.3 набор шариков представляет конечное совокупное значение 140 испытаний: 31 шарик упал в пять слотов слева, 55 – в пять слотов справа и 54 – в два средних слота. Верно, что конечное положение каждого отдельного шарика ничего не говорит об истории его путешествия. Почти 60 % шариков упали вне двух центральных слотов. В общем, шарик, упавший на несколько рядов вниз и находящийся слева, может закончить свой путь справа, но так же верно и то, что, чем дальше он отклоняется влево, тем меньше у него шансов вернуться вправо.

Сегодня теория вероятностей развивается в двух направлениях: эмпирическом и абстрактном. Например, эмпирическим подходом будет использовать большие выборки, чтобы оценить вероятность, тогда как абстрактным подходом – задействовать научный принцип, чтобы зафиксировать вероятность через известные факты, такие как аргумент симметрии или физическая теория. Нам известна вероятность того, что идеальные игральные кости выпадут на 1 в силу кубической геометрии самих костей. Но вероятность выпадения 1 на обычных игральных костях может быть найдена посредством большого числа испытаний и записи числа испытаний, когда выпадает 1; эта вероятность может оказаться немного больше или меньше 1/6 – все-таки это реальные несовершенные кости.

Многое зависит от самой кости. Кости, которые входят в наборы для настольных игр, выполнены довольно грубо. Ятзи – игра в кости, появившаяся в 1950-е гг. В игре используется 5 кубиков. Если при броске все 5 костей дают одно и то же число, такая комбинация называется ятзи. Шансы выбросить ятзи – 1295 к 1. Вы могли бы решить: чтобы выбросить такую комбинацию, потребуется 1296 попыток. Но если достаточно большое число людей по всему миру уделят игре хотя бы немного времени, то такая комбинация может запросто выпасть с первой попытки. Именно так думал Брэди Харан, когда попросил сотни подписчиков своего сайта попробовать выбросить ятзи и записать бросок на видео. Как вы могли догадаться, некоторые выбросили ятзи после нескольких первых попыток, а многим это удалось после нескольких сотен бросков.

В XVIII в., чтобы найти вероятность события, вы бы просто посчитали отдельные случаи: вы взяли бы отношение числа желаемых исходов к числу всех возможных случаев. «Честные» кости могут выпасть одной из возможных сторон, поэтому вероятность p того, что кость выпадает конкретной стороной, – 1/6. Но Бернулли задал вопрос иначе. Он хотел его расширить, чтобы включить проблемы, касающиеся болезней и погоды, с надеждой охватить другие научные вопросы.

 

Теорема Бернулли

Математиков часто приводит в восхищение величие и красота абстрактного принципа. Их увлекает красота, возникающая, когда теорию можно изящно применить к природному миру. Швейцарский математик Якоб Бернулли торжествовал, когда ему удалось доказать слабый закон больших чисел после знакомства с «Книгой об азартных играх» Кардано. Этот закон поистине удивителен, ведь он говорит нам, что, пусть природа и непредсказуема и содержит неизмеримое число компонентов и переменных, у нас все же имеются поразительно искусные способы измерить ее тайны. Он дает нам удивительную возможность разобраться с неопределенностью.

Когда Якоб Бернулли умер в 1705 г., он оставил кипы неоконченных и неопубликованных рукописей своему племяннику Николаю Бернулли. В течение следующих восьми лет Николай разбирался в бумагах своего дяди и наконец опубликовал «Искусство предположений» (Ars Conjectandi) – революционную работу, за которой и сейчас признается новаторство в области описания важнейших понятий теории относительности. В посмертно опубликованной книге в 1713 г. применен уникальный подход, реализованный в виде примера, где говорится об урне, наполненной черными и белыми жетонами, а нам необходимо найти соотношение черных и белых, даже если мы не знаем, что в урне содержится 3000 белых жетонов и 2000 черных. Надо понимать, что существует математическая вероятность, представленная в виде отношения числа белых жетонов к числу черных жетонов. Но числа эти нам неизвестны. Как в таком случае узнать математическую вероятность? Вот план Бернулли: вы вслепую выбираете один жетон, записываете его цвет, кладете его обратно и трясете урну. Если вы повторите это действие, вслепую выбирая жетоны один за другим достаточно долгое время, то по мере увеличения числа попыток становитесь все ближе в этой таинственной математической вероятности. Предположим, например, что после 200 слепых выборок вы записали: 120 белых и 80 черных. Тогда отношение числа белых к черным составит 3 к 2. Далее, вы можете предположить, что вероятность выбрать белый – 120/200, или 3/5.

«Искусство предположений» Бернулли дает нам слабый закон больших чисел. Если подбросить правильную монету N раз в надежде, что орел выпадет k раз, теорема говорит о вероятности того, насколько близко будет отношение k/N к 1/2, математической вероятности того, что орел выпадет за одну попытку. Некоторые игроки, выдавая желаемое за действительное, полагают, будто это означает, что для больших значений N исходы событий приблизятся к вероятностям этих исходов. Таким образом, если опять использовать бросание монеты в качестве примера, заблуждающийся игрок полагает, что, поскольку p = 1/2, общее число исходов орел сойдется к общему числу исходов решка в долгосрочной перспективе. Теорема говорит только о том, что существует возможность сходимости общего результата к достоверности в долгосрочной перспективе. Нет никаких гарантий того, что это произойдет в любом из отдельных случаев. В качестве примера давайте предположим, что у нас есть игра, состоящая из N повторяющихся событий, таких как бросание монеты N раз, и мы считаем число раз, когда выпадает орел. Математическая вероятность того, что правильная монета выпадает орлом, – 1/2. Что мы увидим, подбрасывая монету в реальной жизни? Будет ли коэффициент успешности испытаний близок к 1/2, скажем, настолько близок, что будет в пределах 1/10 000? На самом деле ответа мы дать не можем, но мы можем выразиться иначе и спросить: будет ли вероятность того, что разность k/N и 1/2 меньше, чем 1/10 000, когда-нибудь больше, чем, скажем, 0,999. Теорема Бернулли говорит, что да, такое случится, если N продолжит увеличиваться со временем. Но она не исключает полностью случаев, когда разность между k/N и 1/2 больше, чем 1/10 000, даже для больших значений N. На деле, даже если коэффициент успешности испытаний k/N приближается к 1/2, нет гарантии, что он продолжит это делать. Кроме того, оказывается, что немного усиленная версия теоремы Бернулли говорит нам: хотя коэффициент успешности испытаний k/N, очевидно, сходится к 1/2, реальные значения успешности демонстрируют склонность ко все более своенравному поведению. Рассмотрим следующее удивительное утверждение: вероятность расхождения реального числа успешных испытаний с ожидаемым числом k/2 успешных испытаний (т. е. выпадения орлов) становится все больше и больше по мере увеличения числа испытаний. Хотя это утверждение и противоречит нашей интуиции, но оно верно. Однако оно также говорит, что в долгосрочной перспективе разность между действительным средним, которое мы получаем эмпирически после испытаний (и совершенно нам не известное до момента завершения этих испытаний), и математически вычисленным средним может быть сколь угодно малой при условии, что число испытаний N достаточно велико. Это означает, что случайные эмпирические события (не имеющие совершенно никакой памяти о каждом из исходов) имеют среднее, близкое к математически вычисленному числу!

Бернулли был так доволен своей теоремой, что предполагал ее применение к наиболее важным событиям всего сущего. В своем «Искусстве предположений» он написал:

Этот замечательный результат показывает нам, что, если бы наблюдение всех событий продолжилось вечно (и вероятность обратилась бы в совершенную достоверность), тогда мы бы наблюдали, как все явления случаются с постоянными коэффициентами и неизменной цикличностью. Таким образом, даже за наиболее случайными и удачными нам надо будет признать определенную квазинеобходимость и, так сказать, фатальность. Я не знаю, захотел бы Платон включить этот результат в догмат о всеобщем возвращении вещей в их предыдущие положения [ апокастасис ], в котором он предсказывал, что по прошествии бесчисленного множества веков все вернется в свое исходное положение {49} .

В теории теорема Бернулли должна была стать интеллектуальной бомбой, чудом математической оценки неопределенности. Она сулила предсказание будущего. Здесь мы впервые встречаем математический закон, который дал нам замечательный и простой способ понять, как ведет себя случайность в реальном мире; теорему, которую Бернулли с гордостью называл строгой, оригинальной и такой блистательной, что она придала значимость всем разделам его работы. Но Бернулли был разочарован некоторыми из своих экспериментов, которые относились к задачам, связанным с болезнями и погодой. Он честолюбиво задал для себя предельно высокий критерий достоверности даже по сегодняшним стандартам.

Бернулли дал нам огромные возможности для оценки неопределенного поведения природы, а также азартных игр – метод расчета математического ожидания без какой-либо априорной информации. «В самом деле, если заменить урну, к примеру, на воздух или человеческое тело, содержащие в себе возбудителя [fomitem] различных изменений в погоде или болезней, как урна содержит жетоны, мы сможем ровно таким же образом определить посредством наблюдения, насколько проще может произойти то или иное событие в этих объектах».

Когда Эйнштейн остроумно заметил: «Бог не играет в кости с Вселенной», – он говорил о возникшей тогда квантовой механике, которая не могла достоверно предсказывать исходы рассматриваемых ею явлений. Фортуна никогда не согласится с тем, что результат броска игральных костей на самом деле неслучаен, как лотерейная комиссия никогда не признает, что шарики для пинг-понга с выигрышными номерами выпадают неслучайно. Никто еще не предложил машину, дающую совершенно случайные числа. «Брошенные кости, – пишет физик Роберт Оэртер, – по сути своей не случайны; исход только кажется случайным из-за нашего невежества относительно маленьких деталей, скрытых переменных (например, угла пуска или трения), которые определяют исход броска». У большинства феноменов в нашей Вселенной (в особенности тех, которыми движут атомные силы) слишком много этих скрытых переменных, чтобы математика могла предсказывать исходы. Мы, как правило, не осведомлены о подробностях таких чудес. И все же у нас есть этот удивительный дар, который был тайной вплоть до XVII в., – дар, дающий ключ к пониманию случайности, а также средства к предсказанию будущего: знание о том, что большинство явлений неквантового механического мира подчиняются слабому закону больших чисел, пусть каждое явление в отдельности и не обладает памятью о собственном прошлом. Играет Бог в кости или нет – долгосрочные тенденции ожиданий предсказуемы и почти всегда достоверны.

Доказательство Бернулли опирается на число возможных комбинаций предметов, и их расчет не имеет ничего общего со случайными поворотами фортуны. Эдит Дадли Силла, известная переводчица «Искусства предположений», говорит, что Бернулли объяснял связь посредством теологии. Она писала: «Он уверяет, что в сознании или воле Бога есть четкие и определенные ситуации, известные Богу вечно, и со временем проявляющие себя в опыте или наблюдении». Говоря о «вечности», она имеет в виду то, что Бернулли игнорировал фактор времени в расчетах коэффициентов успешности случайных событий. Силла указывает на следующий довод Бернулли: «Нет существенной разницы между тем, чтобы выбросить желаемым образом одну игральную кость в течение некоторого времени, и тем, чтобы бросить сразу такое число игральных костей, которое равнялось бы числу сделанных бросков одной кости».

 

Математическое ожидание

Ожидание, измеряемое математическим ожиданием (мы дадим определение ниже), – это упряжь, которой взнузданы тайны неопределенности. Вместе со стандартным отклонением, которое измеряет объем того, что выпадает из ожидания, оно дает нам возможность рассмотреть стохастический (случайный) мир. Две эти величины – математическое ожидание и стандартное отклонение – колеса и винтики статистики частотного распределения, показывающей насколько приближаются данные к некоему центральному значению. Чудесным образом с помощью этих величин и простой алгебры у нас есть если не прямое управление, то по крайней мере теоретическое измерение феноменологической вероятности посредством слабого закона больших чисел. В физическом мире каждый бросок игральных костей и каждое падение шарика для пинг-понга определяется большим количеством изменчивых сил и обстоятельств, которые едва ли возможно измерить (скорость, траектория, воздушные потоки, гироскопический эффект, момент инерции, столкновения и т. д.), все же определимые в идеальном мире математики.

В 1657 г. голландский математик и астроном Христиан Гюйгенс опубликовал работу «О расчетах в азартных играх» (De Ratiociniis in Aleae Ludo), которая еще полвека оставалась главным учебником по теории вероятностей. Это первая из напечатанных работ, указывающая на отличие между числом успешных исходов и возможным числом успешных исходов:

Хотя исходы игр, которые определяются исключительно жребием, неопределенны, меру того, насколько человек ближе к выигрышу, чем к проигрышу, всегда можно установить. Таким образом, если человек ручается выбросить шестерку с первой попытки, нам на самом деле неизвестно, сможет ли он это сделать, но то, насколько более вероятен для него проигрыш, чем выигрыш, – вещь, вполне определенная и поддающаяся вычислению {58} .

Гюйгенс дает пример азартной игры, где для участия необходимо платить. Человек прячет три монеты в одной руке, семь – в другой; вы выбираете руку и забираете спрятанные в ней монеты. Чтобы продолжать игру, вы должны платить. Но вот в чем вопрос: сколько вам следует платить за игру? Первое утверждение Гюйгенса дает нам ответ: «Если я могу ожидать либо события a, либо b и любое может выпасть мне с одинаковой легкостью, то можно сказать, что мое ожидание будет равняться (a + b)/2». Ответ – 5, иначе говоря, ожидаемая выгода (сумма, которую вы ожидаете получить взамен), или среднее 3 и 7. Совсем не очевидно, что Гюйгенс понимал, какую поразительную силу будет иметь эта идея для будущего анализа рисков, азартных игр и собственно науки. Но он точно понимал, что ядро теории вероятностей – это просто математическое ожидание. Для математика середины XVII в. было бы совершенно преждевременно узнать истину: что все случайные процессы в природе, включая аннуитет, страхование, метеорологию и медицину, а также азартные игры, можно в той или иной мере предсказывать с помощью вычисления математического ожидания. Вообще математическое ожидание можно вычислить, умножив вероятность на размер выплаты. В большинстве случаев это средневзвешенное значение всех возможных величин, которые могут возникать; в качестве весов берутся вероятности. Это сумма всех возможных значений, после того как каждое значение умножено на вероятность его возникновения. В этом есть смысл; в конце концов вы ожидали бы получить 50 центов с доллара, если бы бросали монетку и ставили бы каждый раз по доллару на орла.

Например, возьмем лотерею Texas Lotto. В табл. 5.1 показаны результаты совпадения 3, 4, 5 и 6 чисел. Чтобы получить математическое ожидание от игры, перемножим вероятность и размер выплаты по каждому возможному совпадению и сложим все возможные совпадения.

Если мы предположим, что джекпот равняется, скажем, $2 млн, тогда математическое ожидание составляет 0,000000038 ($2 000 000) + 0,00001115 ($2000) + 0,000654878 ($50) + 0,013157894 ($3) = $0,171517582. Другими словами, реальная стоимость каждого играющего билета – всего 17 центов.

На том раннем этапе истории теории вероятностей люди использовали математическое ожидание как меру риска, не зная, что оно окажется самым естественным показателем центра распределения – склонности данных группироваться вокруг некоего центрального значения, как показано на рис. 5.3.

 

Глава 6

Длинная серия орлов

Согласно данным Всемирной организации здравоохранения, доля рождения мальчиков к общей рождаемости по всему миру составляет 0,515. Если рассмотреть данные по конкретным регионам или странам, то шансы далеки от равных. В Мексике доля новорожденных мальчиков очень низкая, тогда как в США и Канаде их доля выше 0,5. Однако для всего населения Земли – а оно уже больше 7 млрд – шансы рождения мальчиков по отношению к девочкам почти равны. Причина проста: у человеческого сперматозоида равное число X и Y хромосом, и у каждой из них равные шансы в момент зачатия. Это бросок правильной монеты.

После того как мы подбросили правильную монету 7 млрд раз, мы можем ожидать, что в половине из бросков выпадет орел. Но можем ли мы ожидать серию из миллиона орлов последовательно? Машина для бросания монеты показывает нам, что, несмотря на случайность траектории движения монеты, ее можно заставить выпадать орлом в 100 % случаев.

Вероятность падения правильной монеты орлом вверх – 1/2. Благодаря математике мы знаем, что по мере увеличения числа бросков монеты отношение орлов к решкам постепенно приближается к 1. Эвристическая оценка нарушает смысл последнего предложения, превращая его в утверждение того, что длинная серия решек неким образом окажется сбалансирована серией орлов. Легко стать жертвой ошибочного впечатления, что если одна из сторон очень долго не выпадала, то шансы ее появления увеличиваются с каждым ходом, хотя мы знаем, что теоретически каждый раз, когда брошена монета, шансы за и против каждого из исходов совершенно одинаковы – монета может с равным успехом выпасть «орлом» или решкой. Дело в том, что люди путают исходы событий и частотность.

Длинные серии орлов могут иметь место. Я наблюдал очень длинные серии орлов. На интуитивном уровне нам может казаться странным, что происходит нечто подобное. Предположим, что вы бросаете монету 10 раз и орел выпадает 7 раз. Пропорция орлов к решкам тогда составит 7 к 3. Бытовые представления подсказывают нам, что в ходе следующих десяти бросков решка должна выпасть больше шести раз, чтобы сбалансировать превысившее ожидания число ранее выпавших орлов. Но у монеты нет памяти о том, что с ней произошло ранее, есть только история результатов, записанная наблюдателем. Ничто не мешает монетке выпасть орлом в ходе следующих 500 бросков, однако, если это произойдет, мы сильно удивимся.

На рис. 6.1 представлен сгенерированный компьютером совокупный результат 500 бросков монеты (+1 для каждого орла, – 1 для каждой решки). Горизонтальная линия обозначает 0. Орел и решка перехватывают лидерство друг у друга. Это как гонка двух лошадей с равными шансами. Этого вполне можно ожидать. Суждение, основанное на бытовых представлениях, говорит в пользу того, что график должен был бы прыгать около нулевой линии. Однако чаще всего такие графики подолгу остаются с одной стороны от нуля.

Абсолютная случайность как теория и та же абсолютная случайность в реальном, физическом мире – не одно и то же. Пронумерованные шарики для пинг-понга, которые кружатся в акриловой сфере, а потом вылетают по специальной трубке, движутся вовсе не случайным образом, но для стороннего наблюдателя они определенно выдают случайные числа. Бросок монеты, который определяет, кто начинает матч в американском футболе, весьма далек от того, чтобы быть случайным. На самом деле результат броска монеты – вопрос элементарной физики. Уже созданы машины, которые могут бросать монету сколь угодно долго – тысячу раз, миллион – и всегда выпадает орел.

Недавние эксперименты показывают, что монеты, даже правильные монеты, склонны выпадать той же стороной, с которой начинается бросок, а исход броска зависит от угла между нормалью к плоскости монеты и вектора углового момента. Другими словами, полет монеты определяется начальными условиями. Диаконис, Холмс и Монтгомери построили машину, которая подбрасывает монеты посредством пружинно-храпового механизма. С этой машиной любая монета, движение которой начинается из положения «орел», всегда (в 100 % случаев) выпадает орлом вверх. Так что результат броска монеты определяется физикой, а не случайностью. Рука того, кто бросает, и множество переменных внешней среды вызывают разнообразные исходы, которые кажутся случайными.

Но мы можем обмануться иллюзией того, что монета крутится, в то время как на самом деле она просто прецессирует в воздухе, как медленно вращающийся гироскоп. Ориентация монеты в полете определяется вектором ее углового момента, который может быть всегда направлен вверх. Итак, монета, которая начинает движение из положения «орел», может всегда выпадать орлом, поскольку следует определенной траектории, хотя кажется, что орел и решка крутятся.

Когда речь идет о бросании монеты в реальных условиях, а исходы событий определяются малейшим воздействием от землетрясений, происходящих в тысяче километров от нас, или надоедливой бабочкой-смутьянкой над Тихим океаном, все иначе. Но иначе не значит объяснимо или постижимо. Падение монеты очень даже может быть случайным, но наше человеческое представление о случайности часто не в ладах с нашим же предчувствием относительно случайных исходов. Поскольку у монеты нет памяти о предыдущих исходах, нам не следовало бы удивляться, если она выпадет решкой 100 раз подряд, но мы все же удивляемся.

На рис. 6.2 мы увидим странную историю. Исходы вполне следуют ожиданиям вплоть до 45-го броска, когда решка вдруг перехватывает инициативу примерно на 105 следующих бросков! Затем идет достаточно долгий период, когда лидирует орел, и совокупное значение опять приближается к 0. Но около 286 броска решка опять надолго вырывается вперед. Не то чтобы события не согласовывались с нашими интуитивными ожиданиями. Действительное отношение орлов к решкам наверняка приблизится к 1 в ходе значительно более долгого времени, но в краткосрочной перспективе этого не происходит. За 500 бросков решка выпала только на 12 раз больше, чем орел. Это достаточно мало, но последовательности орлов и решек могут расходиться значительно сильнее в совокупных результатах. Например, рассмотрим следующее испытание, показанное на рис. 6.3.

Орел полностью контролирует ситуацию. Совокупный исход показывает, что орел ведет настолько уверенно на протяжении всей серии бросков, что кажется, будто решка никогда уже не вырвется вперед.

Результаты компьютерной модели 1 млн бросков разобраны в табл. 6.1. Отношение k/N, где k – число успешных исходов, а N – число испытаний, называют эмпирической частотой успешности испытаний. В правой колонке в табл. 6.1 приведены абсолютные значения разности между эмпирической частотой успешности испытаний и 1/2 – математически предсказанной частотой успешности испытаний.

Слабый закон больших чисел не исключает, что какие-то маловероятные события будут происходить часто на раннем этапе игры или на более поздних. На самом деле, даже если коэффициент успешности приближается к математически предсказанному, нет гарантии, что он таким и останется. Чуть более сильный математический результат говорит нам, что, хотя коэффициент успешности может сходиться к теоретически вычисленному, действительные значения коэффициента склонны к довольно странному поведению по мере увеличения числа испытаний. Контринтуитивно, но это так.

Слабый закон больших чисел, примененный к любому событию, вероятность которого равна p, говорит нам, что вероятность приближается к 1 по мере увеличения N. Возьмем ԑ = 0,0001 (выбрано произвольно) с p = 1/2 для ситуации с бросанием монеты и спросим, насколько возможно, что  Обратите внимание (табл. 6.1), что имеет резкие перепады при низких значениях N. Но они, очевидно, есть также и при высоких значениях. От 100 000 до 200 000 оно увеличивается. Даже с 800 000 до 900 000 оно увеличивается, пока не падает на миллионе. Создается обманчивое впечатление, что разность между орлом и решкой приближается к нулю. Но ничего не говорится о волатильности этого приближения при увеличении числа испытаний. Как мы видим, волатильность увеличивается по мере увеличения числа бросков монеты.

Итак, что же здесь происходит? Похоже, что у более высокого N есть некоторая свобода от закона больших чисел, поскольку в масштабах больших чисел больше места для незаметных ошибок.

Для 5000 бросков были 2561 орел и 2439 решек с разностью 122. Это дает ошибку в 2,4 %, что не так уж плохо. Но, если не знать распределение этих орлов, может случиться так, что 122 орла были выброшены последовательно. Придерживаясь этой точки зрения, представьте, что 758 решек выброшены последовательно за 67 500 бросков или 694 орла выброшены последовательно за 82 500 бросков. Другими словами, нет математического закона, который исключает возможность последовательного выпадения огромного числа орлов при большом N.