Игра случая. Математика и мифология совпадения

Мазур Джозеф

Раздел 3

Расчеты

 

 

Здесь будет проведен анализ историй из раздела 1, которые представляют собой достаточно определенные устойчивые категории:

История 1: история Энтони Хопкинса (класс: неожиданно найденная искомая вещь)

История 2: история Энн Парриш (класс: забытые предметы из прошлого, нечаянно найденные в отдаленных местах)

История 3: история о кресле-качалке (класс: идеальная синхронизация и случайные встречи предметов)

История 4: золотой скарабей (класс: совпадения, связанные со сновидениями, при довольно широком временнóм и пространственном лаге)

История 5: история Франческо и Мануэлы (класс: маловероятные встречи людей в точно определенный момент)

История 6: история о таксисте (класс: случайные встречи людей при широком временнóм и пространственном лаге)

История 7: история о сливовом пудинге (класс: повторяющиеся встречи и ассоциации с редкими предметами)

История 8: унесенная ветром рукопись (класс: совпадения, обусловленные природными причинами)

История 9: сон Эйба Линкольна (класс: вещие сны)

История 10: Джоан Гинтер и ее выигрыши в лотерею (класс: исключительное везение или невезение в азартных играх)

 

Глава 9

Громадный мир

 

Мы знаем, что наш мир велик, но не осознаем, насколько он в действительности громаден. Когда моей дочери Кэтрин было 8 лет, мы иногда играли в одну игру, целью которой было дать ей представление о том, насколько велика Земля, и о порядке цифр. Однажды она чихнула, и я предложил ей угадать, сколько человек во всем мире тоже чихнули в этот момент. Она предположила: всего 200, что не так плохо для восьмилетки. К ее изумлению, я назвал число в несколько десятков тысяч – сильно заниженная оценка, вероятно, на несколько порядков, учитывая, что численность населения планеты превышает 7 млрд. В наше время значительно более трудным будет вопрос о считывании штрихкодов – те самые звуки «бип-бип», которые всегда слышны на кассах супермаркетов. Попробуйте назвать приблизительное число этих сигналов, прозвучавших за то время, пока вы читали данное предложение. Полагаю, вы его сильно недооценили. Число считываний штрихкодов по всему миру превышает 5 млрд в день. Это означает, что за время, пока вы читаете это предложение, было куплено около 100 000 товаров, и сюда не входят онлайн-покупки. В общем, это может нам помочь хотя бы в общих чертах представить размеры нашего мира. Но даже число считываемых каждую секунду штрихкодов мало в сравнении с явлениями молекулярного уровня.

В реальном мире атомов и молекул нет абсолютной уверенности. Таким образом, нам нужен способ определения недостоверных, но вероятных событий. Конечно, мы можем без тени сомнения принять утверждение о том, что Земля совершит очередной оборот и завтра взойдет солнце, но большинство ожидаемых феноменов принимаются нами в силу коллективного человеческого опыта. Теоретическая модель идеальной пары игральных костей может предсказывать поведение реальных костей, которые бросает человек. Кости – это несовершенные белые кубы с округлыми краями, разумеется, изготовленные таким образом, чтобы расположенные на гранях черные точки не влияли на осевую симметрию. Производители должны учитывать, что шесть небольших выемок – черных точек – могут влиять на движение куба, склоняя его к одной из граней. Кости, предназначенные для казино, изготавливаются при очень строгих допусках. Их ожидаемое среднее значение значительно ближе к 3,5, чем у обычных костей для настольных игр.

Закон больших чисел – важнейшая зацепка, связывающая математическую теорию с физическими феноменами. Он в ответе за многие чудеса нашей замечательной Вселенной, а также за то, как природа создает материальный и энергетический хаос в инертном и однородном. Он даже наводит нас на мысль о том, что масштабные события во Вселенной являются результатами неимоверно долгой игры в кости или в орлянку.

Легко поверить, что события сходятся в пространстве и времени не по воле слепого случая, но в силу некоего предназначения. Так ли это? Возьмем ситуацию с чернилами, растворяющимися в воде. Одна-единственная капля чернил на бутылку воды равномерно изменит цвет всей воды в бутылке. Чернила равномерно расходятся по всей бутылке из-за предназначения или цвет равномерно изменяется только из-за случайности? Предположим, что цвет – синий. Сначала вы увидите, как капля синих чернил соскальзывает с пипетки. Если капля не вызовет всплеска при контакте с водой, вы увидите синюю сферу, красиво меняющую формы по мере того, как она опускается на дно бутылки. Потом она превратится в тороид. Этот тороид растянется и станет квадратным тороидом со сферами на краях. Сферы разделятся и образуют четыре тороида. Эти четыре тороида повторят процесс и образуют 16 тороидов. Морфоз и деление будут продолжаться, пока сферы не ударятся либо о стенки бутылки, либо о ее дно. Физика прекрасно предсказывает все это, учитывая все силы, действующие на сферы и тороиды. Иными словами, у цветных чернил предсказуемая судьба, движимая и направляемая физикой процесса (а именно поверхностным натяжением краски, отношением давления/выталкивающей силы между двумя средами, векторами выталкивающей силы, направленными вверх, и скоростью молекул) и математикой фигур. Но, когда эти фигуры встречаются со стенками, в игру вступает нечто новое. Поверхностное натяжение нарушено, молекулярные связи разорваны, симметрия сломана, и внесен элемент случайности. В этот момент между двумя жидкостями появляется вихревое движение, которое делает вероятность возвращения к какой-либо симметрии бесконечно малой. Рассеивание молекул жидкости идет, по-видимому, в случайных направлениях.

Что происходит, если капля создает небольшой всплеск? В этом случае вы увидите, как сфера медленно опускается вниз и рассеивается на великолепные фигуры, похожие на перистые облака при легком ветре. Через несколько минут в зависимости от глубины вода станет равномерно синей – чернила растворятся вообще без какой-либо формы. Хотя существует до смешного малый шанс, что капля вернется к своей исходной форме, он настолько близок к нулю, что этой вероятностью мы можем легко пренебречь. Никто никогда не сообщал о том, что наблюдал подобное. Вероятность такого невероятного события измеряется числом столь малым, что количество нулей после запятой будет больше, чем число песчинок на Земле. Но это не значит, что такое не может произойти. Это явление позволяет указать направление течения времени. В прошлом была капля, а в настоящем – равномерно синяя вода.

Что в действительности произошло в бутылке, чтобы вода из прозрачной стала синей? Если мы рассмотрим вопрос на молекулярном уровне, то поймем, что каждая молекула чернил не просто бесцельно блуждает среди молекул воды. Есть связи, удерживающие молекулы вместе, но, в каком бы направлении ни двинулись молекулы, их движение упорядоченно и только кажется случайным.

Что произойдет, если молекулярные связи слабее? Чтобы дать ответ, мы изменим ход эксперимента. Вместо чернил используем кофе очень тонкого помола. С левого края прямоугольного блюда с холодной водой насыплем кофе очень тонкого помола. Рисунок 9.1 – это схема того, что произойдет на уровне, близком к микроскопическому. Точками показаны скопления частиц кофе, уменьшающиеся слева направо. Подождите несколько секунд и посмотрите, что произойдет. Концентрация постепенно изменяется слева направо, от большей к меньшей, пока не становится равномерной по всему блюду.

Можно подумать, что некая сила движет частицы в направлении от более насыщенной области к менее насыщенной. Но такой силы не существует. Частицам все равно куда двигаться. Каждая из частиц в этой системе независима от остальных. Каждая из частиц колеблется от столкновения с молекулами воды, в результате чего отскакивает в совершенно непредсказуемом направлении. Путь каждой частицы определяется случайным образом, по крайней мере не менее случайным, чем любое событие в реальной жизни. Чтобы понять, что же происходит, поместим воображаемую линию поперек емкости, разделив стороны с высокой и низкой плотностью частиц, и спросим: насколько вероятно, что частица на воображаемой линии двинется вправо? Ответ таков: она с равной вероятностью может двинуться и вправо, и влево. Больше частиц двинутся слева направо, чем справа налево, просто потому, что с левой стороны воображаемой стенки их больше, чем с правой. Иными словами, рассеивание до состояния равномерности происходит лишь оттого, что вероятности движения молекул в любом из направлений равны. То же самое происходит на доске Гальтона (см. рис. 5.3).

Второй закон термодинамики говорит о том, что в ту же самую игру можно сыграть с газами. Возьмем две емкости, в одной – газ под некоторым давлением, вторая будет пустой. Соединим две емкости трубкой, по которой газ может свободно перемещаться. Газ начнет быстро распространяться, пока давление в обеих емкостях не уравняется. Уравнивание давления – это один из примеров всеобщей тенденции частиц распространяться по как можно большему числу направлений. Вот что удивительно: молекулы газа будут случайным образом соударяться, как пузырьки в кипящем чайнике, таким образом, что каждая из них на некоторое время возвратится в емкость, в которой находилась изначально. Анри Пуанкаре продемонстрировал это в общей теореме о динамических системах.

Представьте, что произойдет, если вы поместите большое число блох на середину шахматной доски? Блохи очень быстро начнут прыгать во всех направлениях, пока не заполнят всю доску. Как и тонко молотый кофе в блюде с холодной водой, блохи просто прыгают туда-сюда без какого-либо заранее заданного направления. Ни одна блоха не пытается занять как можно больше пространства, поскольку, даже если у нее будет много пространства, она снова прыгает в случайном направлении. Блохи распространяются по доске в результате случайных прыжков. Вернутся ли они когда-нибудь на те клетки, с которых стартовали, если будут продолжать прыгать? Вероятно, нет. Однако рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Представьте две емкости. В одной, обозначенной литерой A, находится сотня мячей, на каждом из которых нанесены числа от 1 до 100. В другой, обозначенной литерой B, нет ничего. Также представьте ведро с фишками, пронумерованными от 1 до 100. Выберем наудачу фишку и прочтем ее номер – N. Возьмем мяч с номером N из емкости A и поместим его в емкость B. Вернем фишку на место и повторим процесс. Каждый раз, когда выбрана фишка с номером N, мы перемещаем мяч с номером N из той емкости, в которой он в этот момент находится, в другую. Можете предположить, что произойдет? Да, число мячей в емкости A будет экспоненциально уменьшаться до тех пор, пока в обеих емкостях не окажется примерно равное число мячей. Но по мере того как число мячей в емкости A уменьшается, так же уменьшается и вероятность выбора фишки с номером мяча из емкости A. На самом деле скорость такого уменьшения пропорциональна числу мячей в емкости A. Теперь я повторю вопрос: можете предположить, что произойдет в долгосрочной перспективе? Может показаться контринтуитивным, даже удивительным, но все мячи с абсолютной достоверностью со временем вернутся в емкость A, хотя это и займет неимоверно много времени. Общая теорема динамических систем Пуанкаре это предсказывает. Она свидетельствует – на что указывали и Платон, и Бернулли – о существовании апокатастасиса: «…что по прошествии бесчисленного множества веков все вернется к своему изначальному состоянию». Ныне покойный сэр Джеймс Джинс, прославленный физик, получивший рыцарский титул за вклад в астрономию и популяризацию физики, любил заметить, что любой, кто еще дышит сегодня, вдыхает молекулы, которые составили последние вздохи умирающего Юлия Цезаря.

Такие примеры уместны, поскольку мы имеем дело с большим числом объектов. Когда числа чрезвычайно велики, как число молекул в капле чернил или число людей, населяющих огромные просторы этой планеты, мы имеем более высокие шансы усреднить случайный элемент и выяснить, что может произойти с отдельным индивидом в толпе.

Очень многие сложные природные явления легко объясняются с помощью вероятностных моделей вроде подкидывания монетки или многократного выбора случайных чисел. И из этого огромного набора произвольных чисел случайность создает постоянно развивающийся динамический мир, мир, в котором цветные чернила растворяются в воде без какой-либо конечной цели, где газ отдает часть давления вакууму, чтобы следовать законам термодинамики, где блохи бесцельно прыгают по доске, но все же заполняют всю ее поверхность, и где ДНК неверно воспроизводит саму себя без какого-либо плана, создавая таким образом уникальных людей.

 

Скрытые переменные

Скрытые переменные внушают нам ложную мысль о том, что причины либо нет, либо ее слишком сложно найти. Громадные размеры мира также играют определенную роль, как и все невидимые струны, соединяющие его части. Мы мыслим в локальных терминах, не рассматривая множество взаимодействий между составными частями нашего мира – от субатомных частиц до галактик.

Иногда кажется, что у двух абсолютно независимых переменных появляется статистическая связь через третью переменную. Когда такое происходит, мы обнаруживаем иллюзорную корреляцию, вызванную тем, как мы видим данные или как эти данные организованы. Если бы мы простодушно собрали данные об оценках и о длине волос учеников в математическом классе, возможно, мы обнаружили бы корреляцию между длиной волос и оценками. У длинноволосых, скорее всего, будут хорошие оценки. Если мы не посмотрим на третью переменную, то можем заключить из этой корреляции, что ученикам, чтобы получать хорошие оценки, следует отрастить волосы. Мы не настолько наивны, чтобы не замечать третью переменную – скажем, возраст или пол. Длина волос как показатель может искажаться среди более старших учеников или среди женщин, у которых волосы были длиннее, чем у мужчин. Другим примером будет корреляция между доходами во взрослой жизни и отметками в колледже. Мы можем сделать ошибочный вывод, что доход во взрослой жизни зависит от оценок, которые человек получал в школе, тогда как в действительности скрытой переменной был объем работы, который ученик был готов усердно выполнять.

Скрытые переменные встречаются в корреляциях, статистических данных повсеместно. Если не замечать эти скрытые переменные, то придется верить во всевозможный вздор: например, в то, что для хорошей успеваемости в колледже ученику следует начать курить, потому что «у курильщиков оценки в колледже лучше, чем у некурящих». Или возьмем более серьезный пример. До последнего времени на Новых Гебридах – группе островов на юге Тихого океана – было распространено убеждение, что вши полезны для здоровья. В течение веков старейшины случайно замечали, что у здоровых местных жителей были вши, а у больных их не было. Они пришли к выводу, что вши положительно влияли на здоровье. В условиях более тщательного и контролируемого исследования было замечено, что вши были почти у всех туземцев большую часть времени. Вши также могли вызывать лихорадку, что, в свою очередь, вызывало гибель вшей. Путаница возникала из-за того, что у нездоровых людей случалась лихорадка и поэтому у них не было вшей. «Вот где причина и следствие искажены до неузнаваемости, перевернуты и перемешаны», – написал Даррелл Хафф в своей книге «Как лгать при помощи статистики», которой сейчас уже больше 60 лет, но она все еще остается бестселлером. В СМИ полно всевозможных странных сюжетов, пытающихся нас в чем-то убедить, основанных только на данных опросов: использование пестицидов в сельском хозяйстве вызывает аутизм; линии электропередач вызывают опухоли мозга; чай из корня васаби – миорелаксант; 9 из 10 докторов считают, что употребление каши на завтрак способствует оздоровлению; дети с длинными руками лучше строят логические рассуждения, чем их сверстники с более короткими руками; и прогулки в сосновом лесу раз в неделю снижают уровень гормона стресса кортизола, артериальное давление и частоту сердечных сокращений. Женщинам следует принимать эстроген, чтобы уменьшить шанс сердечного приступа. Эстрогенная терапия увеличивает шанс сердечного приступа у женщин, уже переживших сердечный приступ. Эстрогенная терапия может защитить женщин от остеопороза и, возможно, рака толстого кишечника, но также может увеличить шанс сердечных заболеваний, инсульта, тромбоза, рака груди и слабоумия.

Известен классический случай ошибки сэра Рональда Элмера Фишера. Для многих биологов и статистиков Фишер – отец современной статистики и теории планирования экспериментов. Он родился в 1890 г. в пригороде Лондона, а умер в 1962 г. в Аделаиде, Австралия, от рака прямой кишки. Ричард Докинз назвал Фишера величайшим биологом со времен Дарвина.

Фишер был человеком огромного обаяния и доброты, пытливым мыслителем с широким кругом интересов, человеком, страстно приверженным научным исследованиям, первоклассным собеседником, но он также время от времени демонстрировал суровый нрав в отношении любого, кого уличал в совершении ошибок, создании условий для их возникновения или же распространении ошибочных сведений. Его работы были сложны для понимания, равно как и его лекции: «Фишер был слишком сложен для среднего студента; его классы быстро разваливались, оставались только два-три студента, которые могли выдерживать его темп, и становились преданными адептами».

В начале своей карьеры статистика Фишер работал на экспериментальной сельскохозяйственной станции, ставшей впоследствии всемирно известной благодаря разработке теории планирования экспериментов. Он разработал то, что сегодня называется дисперсионным анализом, установил принцип рандомизации и развил идею о важности воспроизводимости. Он разработал эксперименты для проверки совпадений с помощью количественных методов, куда входили, например, сопоставление карт из обычной колоды в 52 карты, системное исследование экстрасенсорного восприятия. Это практический метод, предполагающий использование системы оценки, основанной на перестановках в колоде, следующих нормальному распределению.

Сложно поверить, что такой гений биологии, как Фишер, мог поощрять работы в области евгеники, ошибочные суждения, популярные до 1930-х гг., согласно которым, если правительства не будут поддерживать рост рождаемости в семьях с «благоприятными» генетическими чертами и препятствовать такому росту в семьях с «неблагоприятными» чертами, полученный генетический фонд приведет к упадку цивилизации.

В августе 1958 г. Фишер написал в журнале Nature: «Любопытная связь между привычкой к курению и раком легких в умах некоторых из нас не вызывает простого умозаключения о том, что продукты горения, достигающие поверхности бронхов, вызывают, пусть и через определенный продолжительный период времени, развитие рака. Если, например, можно было бы предположить, что курение сигарет – причина этого заболевания, то можно было бы также предположить, причем ровно на тех же основаниях, что вдыхание сигаретного дыма является действием, обладающим значительным профилактическим эффектом против возникновения болезни, поскольку практика вдыхания среди пациентов с раком легких встречается реже, чем у пациентов с другими видами рака». Фишер рассматривал доводы, связывающие рак легких с курением, как неподтвержденные предположения:

Вопрос довольно сложный, и я упоминал, что на ранней стадии логическое разграничение проходило между: A вызывает B, B вызывает A, что-то еще вызывает оба из них. Тогда возможно, что рак легких – точнее, предраковое состояние, которое должно существовать, и, собственно, известно, что оно существует в течение нескольких лет у тех лиц, у кого позже будет диагностирован явный рак легких – является одной из причин курения? Не думаю, что это можно исключить. Не думаю, что мы знаем достаточно, чтобы сказать, что это и есть причина {109} .

Работа Фишера ошибочна. Учитывая его крутой нрав в отношении любого, кто, по его мнению, допустил ошибку в анализе данных или их оценке, можно только догадываться, в какую ярость его мог привести кто-то, допустивший ту же ошибку, что и он, преждевременно сделав выводы, не изучив предварительно все доступные данные. Он не осознавал собственный конфликт личного и профессионального: он был курильщиком на службе у табачной компании.

К сожалению, результаты многих медицинских исследований, которые слишком быстро оказываются в СМИ, рождают спекуляции по поводу причин и профилактики тех или иных недугов. Нам рекомендуют есть больше рыбы и меньше ненасыщенных жиров, а также не жить рядом с электромагнитными полями. Такие медицинские рекомендации могут приводить к иным опасностям. Когда-то нам говорили, что для снижения вероятности сердечных заболеваний надо принимать витамины C и E, а также бета-каротин в качестве антиоксидантов. Для предотвращения рака прямой кишки надо есть больше клетчатки. Когда-то нам говорили, что надо употреблять меньше грубой пищи, а потом, несколько десятилетий спустя, что нужно употреблять больше грубой пищи. Масштабные исследования по данным наблюдений не смогли подтвердить эти теории. Нельзя сказать, что одно событие является причиной другого просто потому, что клиническое исследование с десятками сотен испытуемых в общей и контрольной группах подтверждает гипотезу. Все, что оно может, так это сказать, что гипотеза, возможно, верна. В лучшем случае дать косвенное свидетельство того, что одно событие вызывает другое. Не будучи совершенно уверенными в причине, мы очень мало знаем о том, как давать конкретные рекомендации. На самом деле, если причина неверна, то рекомендации могут принести больше вреда, чем пользы.

Не то чтобы клинические исследования вообще ничего нам не дают. Они говорят многое. Например, мы точно знаем, что курение сигарет имеет некую связь с раком легких и сердечно-сосудистыми заболеваниями, хотя нам и неизвестны точные причины. Курение – это одна из сопутствующих причин. Мы знаем это потому, что, когда после Второй мировой войны американки массово пошли работать на заводы и предприятия и начали курить, был отмечен случайный скачок заболеваемости раком. У нас есть свидетельства того, что американская диета и образ жизни как-то связаны с раком груди, основанные на данных наблюдения над японками и американками, а потом – над двумя поколениями американок японского происхождения, у которых уровень заболеваемости раком груди оказался таким же, как у коренных американок. Проблема причины и следствия не так проста. Часто существуют обстоятельства, искажающие наше восприятие и заставляющие думать, что одно является причиной другого: когда A вызывает B опосредованно, так как A на самом деле вызывает C, что, в свою очередь, вызывает B.

Проблема с клиническими испытаниями в том, что выбор испытуемых не настолько случаен, насколько должен бы быть. Меня никто никогда не просил стать испытуемым в клиническом испытании. Итак, мы должны спросить: кто эти испытуемые? Это люди, у которых есть мотивация для того, чтобы быть добровольцами. Многим платят, а платят из источников, которые могут быть связаны с интересами тех, кто эти источники финансирует. Следовательно, испытуемые приходят из особой, а не из случайной группы. Люди, участвующие в клинических испытаниях, скорее, будут придерживаться выгодных для себя рекомендаций. Они, скорее всего, довольно стройные и имеют меньше опасных для здоровья факторов. Мы можем статистически урегулировать эффект социально-экономического статуса, но это не всегда работает должным образом. Кроме того, результаты таких исследований временные – пройдет 10 или 20 лет, прежде чем будет проведено новое исследование, которое поставит под сомнение предыдущее. Другими словами, избежать искажений при проведении клинических исследований очень сложно.

С другой стороны, если общественность прислушивается к медицинским рекомендациям – результатам клинических исследований, мы кое-что узнаем. Если бы мы ошибались, называя курение причиной рака легких и сердечно-сосудистых заболеваний, мы не должны были бы увидеть резкого уменьшения уровней заболеваемости раком легких и сердечно-сосудистыми заболеваниями, которые увидели за последние пять десятилетий, в ходе которых доля курящего населения в США сократилась на 57 %.

История говорит нам: то, во что мы верим сейчас, может оказаться неправдоподобным век спустя. В мире есть нечто большее, чем то, что мы видим, что можем измерить, что, как мы думаем, нам известно. Наши научные представления – сиюминутная достоверность. Сэмюэль Арбесман в своей книге «Полураспад фактов» пишет: «Мы собираем научное знание, как часовой механизм, в результате чего в ходе наших поисков лучшего понимания мира постоянно ниспровергаются факты». Убеждения, какими бы сильными они ни были сегодня, – не истина в последней инстанции. Они являются просто рабочими гипотезами. В оригинальном рецепте Вселенной есть щепотка случайности, а доступные нам средства наблюдения ограничены; потому мы не можем знать всего.

Да, мы ограничены. Явления природы зависят от такого числа переменных, что точное измерение, как правило, невозможно; а это означает пренебрежение принципом неопределенности. Если простое явление, например бросок монеты, зависит от бессчетных необнаруживаемых событий в умеренно хаотическом мире случайно сталкивающихся электронов, то только попробуйте представить мириады событий, отвечающих за такой сложный феномен, как рак. Но открыть причину рака – это не то же самое, что выдвинуть довольно удачное предположение о возможных «подозреваемых». Некоторые ученые относили рост заболеваемости раком легких после Второй мировой войны на счет производственных факторов и новых промышленных товаров. Среди «подозреваемых» был асфальт ввиду быстрого роста дорожного строительства в Америке и Европе. Однако к концу 1950 г. так много исследований связывали курение с раком легких, что стало ясно: курение – значительный фактор. Задача статистики – не найти причины, а скорее, определить «круг подозреваемых». Многие естественные отношения нельзя объяснить законами или измерить в ходе наблюдений, но можно связать со статистическими показателями.

Еще в V в. до н. э. Гиппократ писал о порошке, сделанном из экстракта хинного дерева, облегчавшем головные боли и жар. Это был аспирин. Немецкая фармацевтическая компания Bayer производит его в форме таблеток с XIX в. Но никто не знал, почему он действует, до 1971 г., когда британский фармаколог Джон Роберт Вейн продемонстрировал, что аспирин подавляет выработку определенных молекулярных соединений, регулирующих сокращение и релаксацию мышечных тканей. Морфин использовался в качестве обезболивающего с XVI в., но до 2003 г. никто не знал, что он естественным образом вырабатывается в организме человека. Стоит подумать о некоторых традициях, которым мы следуем, даже не зная почему. Задолго до того, как стало известно о существовании бактерий, люди мыли руки перед едой. Сегодня мы, возможно, моемся слишком часто, даже используем антибактериальное мыло, которое убивает и полезные бактерии. Но откуда нам знать, какие бактерии для нас полезны?

Наука любит прямые связи между причинами и следствиями, но не обязывает нас знать о существовании таких связей. Ученые могут допускать корреляцию между двумя сложными феноменами. Настоящая проблема в том, что люди склонны видеть связь там, где ее нет, а также игнорировать имеющиеся связи, которые слишком сложны для того, чтобы можно было их прогнозировать. Мы видим в совпадениях события, таинственным образом предусмотренные неким глубокомысленным замыслом. Может, и так, а может, и нет. В этом сложном мире взаимосвязанных феноменов некоторые связи сцеплены столь искусными и длинными цепочками опосредованных взаимоотношений, что мы даже представить не можем влияние одного на другое.

 

Глава 10

К вопросу об историях из главы 2

 

Совпадения – это выдающиеся события, которые возбуждают у нас интерес к вероятности. Никто не сомневается, что они чрезвычайно редки, но насколько редкой должно быть событие, чтобы сжать мир во времени и пространстве? Следующие истории в самом деле редкие, однако вполне могут происходить.

 

История 1. История Энтони Хопкинса

История Хопкинса может быть обычным примером синхронии. Просто подумайте, во скольких местах побывала «Девушка с Петровки»? Подумайте, сколько людей могли подобрать эту книгу до того, как Хопкинс ее увидел? Подумайте, почему Хопкинс нашел книгу именно с таким названием, именно этот экземпляр, принадлежавший Джорджу Файферу? А теперь рассмотрите возможность того, что Хопкинс сидел рядом с книгой, но не заметил ее (схожая версия истории – возможно, лучшая версия): произошло бы ровно то же самое, но Хопкинс бы об этом ничего не узнал, как и мы с вами. Одна из причин того, что история настолько захватывающая, заключается в том, что она касается определенного человека, более того, знаменитой личности. История по любым меркам эффектна, в основном потому, что мы знаем человека, с которым она произошла. Но на самом ли деле история Хопкинса – настолько выдающееся совпадение? У нас есть такое ощущение, но откуда оно берется? Событие, может быть, и выдающееся, но есть ли у нас информация, которой можно подкрепить такое утверждение? Нет никаких конкретных цифр, чтобы оценить вероятность.

Да, история может быть синхронией. Но, чтобы пояснить разницу между синхронией и математическим правдоподобием, давайте рассмотрим кое-какие цифры: число книг, которые забывают на железнодорожных вокзалах, число книжных магазинов в центре Лондона и число людей, ежедневно приезжающих в центр в поисках определенной книги. История произошла в 1976 г. Это важно, поскольку тогда не было ни Интернета, ни Amazon, которые теперь так облегчают поиск книг. Раньше самым простым вариантом было позвонить в каждый из магазинов, сэкономив таким образом кучу времени на том, чтобы посещать их.

Чтобы проанализировать историю Хопкинса, надо принять во внимание, насколько огромен Лондон. В момент написания этой книги, в эру интернета, в Лондоне насчитывается 111 отдельных маленьких книжных магазинов. Чтобы удержаться на плаву, каждый из этих магазинов должен привлечь не менее 10 покупателей в день. По самым скромным подсчетам, все эти магазины вместе продают по меньшей мере 1000 книг в день. Более реалистичная оценка – около 3000. Одни приходят посмотреть, другие разыскивают конкретную книгу, которую намерены купить, а некоторые просто хотят спрятаться от дождя или убить время. Предположим, что каждый день только 100 покупателей заходят, чтобы купить конкретную книгу X.

Маловероятно, что кто-то из этих 100 человек найдет нужную книгу, сидя на скамейке в метро. Но давайте воспользуемся случаем и подумаем, сколько людей случайно оставляют книги в общественных местах, сколько просто бросают уже прочитанные книги в поездах и на станциях.

Если книга X обладает достаточной популярностью в момент своего первого релиза, за первый месяц будет продано не менее 1000 экземпляров. Какова дальнейшая судьба этих экземпляров? Одни окажутся непрочитанными и останутся у кого-то дома на книжной полке. Другие будут проданы в букинистические магазины, а некоторые окажутся забытыми в общественных местах.

Я предполагаю, что продажи «Девушки с Петровки» составили более 10 000 экземпляров. Это дает возможность с помощью закона больших чисел показать, что у события Хопкинса был шанс от небольшого до вполне разумного, по крайней мере если исходить из того, что событие должно было произойти с любым человеком. Как так? Пусть 10 книг были оставлены в общественных местах в Лондоне: на скамейках в парке, в кафе, в залах ожидания, в вестибюлях гостиниц и т. д. – вполне разумное предположение. Пусть N – число людей, приезжающих в Лондон в поисках одной из этих книг. Эти N человек, скорее всего, обратят внимание на книги, оставленные кем-то в общественных местах. Тогда вопрос будет звучать так: какова вероятность p того, что такой человек увидит книгу, которую ищет? Как получить p? К сожалению, в отличие от игральных костей или колоды карт, этот сценарий не очень хорошо подходит для вычисления p. Узнать точное значение p практически невозможно.

Однако существует одна возможность. Мы могли бы создать компьютерную модель, которая симулирует передвижения людей относительно предмета их поисков. Задача будет непростой из-за множества скрытых переменных, которые связывают мысли реальных людей и происходящие с ними события. Но такая модель дала бы нам численную аппроксимацию математической вероятности p – числа, которое пока что скрыто от нашего понимания. Способ попроще – создать умозрительную картину, которая основывается на нашем интуитивном понимании того, как ведут себя люди, когда блуждают по городским улицам в поисках чего-либо. Да, такой вариант способствует субъективному искажению картины, но также заставляет нас глубже рассмотреть проблему.

Оставим саму историю, касающуюся Энтони Хопкинса и Джорджа Файфера, и попробуем разобраться, насколько вероятно, что некто, приехав в центр Лондона в поисках определенной книги, находит ее в каком-либо публичном месте. Эта задача намного проще. Если мы находим эту вероятность и она оказывается очень малой, то мы знаем, что реальная история, касающаяся Хопкинса и Файфера, еще менее вероятна. Тогда мы сделаем то, что часто делают математики: найдем «оценку сверху» для интересующих нас чисел – в данном случае вероятность того, что ищущий книгу благополучно ее найдет. Мы сделаем еще кое-что, часто проделываемое математиками: упростим задачу, чтобы уточнить ее суть, и выясним, что действительная задача, которой предстоит заняться позже, значительно более сложна.

Лондон – большой город с 60 000 улиц, более чем 3000 маленьких парков и скверов, 8 большими королевскими парками, 111 книжными магазинами и 276 станциями метрополитена, разбросанными по всему городу. Однако если мы на несколько мгновений вернемся к истории Хопкинса, то сможем ограничить область до вполне реалистичных цифр. Хопкинс сказал, что нашел книгу на станции метро недалеко от Гайд-парка. Файфер подтвердил, что отдал книгу другу, который потерял ее в районе Гайд-парка. Ближайшая к Гайд-парку станция метро – «Марбл Арч», от которой полчаса пешком практически по прямой через Вигмор-стрит до окрестностей Британского музея, а в этом районе Лондона в то время было больше всего книжных магазинов. Имеет смысл ограничить зону поиска, скажем, радиусом 3 км от Британского музея. В этом районе приблизительно тысяча улиц. Но многие из них очень короткие, книжных магазинов на них немного, к тому же мало кто пойдет искать книгу вдали от главных улиц. Кроме того, брошенные книги можно с большей вероятностью найти в более проходных местах, таких как станции метро, и местах досуга, например в парках.

Суть истории не в Энтони Хопкинсе, а в «Девушке с Петровки» – кто-то находит определенную книгу в определенный день в чрезвычайно неожиданном месте.

Потому представим, что N человек ходят от одного книжного магазина к другому в безнадежных поисках книг, за которыми они приехали. Ограничим зону их скитаний радиусом 3 км от Британского музея. Затем предположим, что 10 книг были оставлены в общественных местах в этом районе. Найдет ли случайно кто-либо из этих N человек именно ту книгу, за которой приехал, среди 10 брошенных книг? Скорее всего, нет, если N – малое число. Это очень грубый мысленный эксперимент, но не настолько грубый, как вы могли подумать, поскольку люди, ищущие книги в Лондоне, не выбирают совершенно случайные маршруты. Они, скорее, заметят брошенную книгу в необычном месте. Далее пусть N будет большим числом. Мы ожидаем, что за день k ≤ 10 брошенных книг будут замечены, а следовательно, мы можем аппроксимировать коэффициент успешности k/N. Другими словами, у нас будет k успешных испытаний на N попыток. Далее слабый закон больших чисел говорит, что коэффициент успешности испытаний – это вполне годная аппроксимация p при условии, что N достаточно велико. Тогда вопрос будет звучать так: какое N достаточно велико? Определенно, N = 10 000 даст нам достаточно хороший шанс, что k будет больше нуля. Никто не ждет, что в определенный день 10 000 человек станут бродить по улицам Лондона в поисках книг, даже при том, что население Большого Лондона составляет 8,6 млн человек. Однако если мы расширим временно́е ограничение до одного года и допустим, что по 100 человек ведут поиски каждый день, многие из них – не по одному разу, тогда N = 36 500. За два года N = 73 000. Если принять такое, более либеральное значение N, то шансы, что кто-то из этих 73 000 найдет книгу, которую ищет, будут недалеки от шансов один к одному. Но конечно, почему только 2 года? Почему не 10? И почему только Лондон? Мы можем взять все Соединенные Штаты с 22 500 книжными магазинами или даже весь мир. Замечательный закон больших чисел учит нас, что не стоит недооценивать размеры мира.

Это творческая модель, она всей истории не расскажет. Скрытые переменные повсюду. Люди, ищущие определенные книги, могут запросто находиться поблизости от предмета своих поисков, но так и не заметить этого. Кроме того, мы видим, что N должно быть громадным, куда больше, чем 73 000, чтобы кто-то из этих N человек подобрал именно ту книгу, которую искал. Так что вероятность такого события куда меньше, чем любое отношение k/N, какое мы можем вообразить.

Но слабый закон больших чисел говорит нам, что разница между p и k/N будет сколь угодно мала при условии, что N достаточно велико. Мы можем интуитивно догадаться, что при N = 73 000 (2 года поисков) k составит по меньшей мере 1, а затем мы смело предположим, что N достаточно велико, чтобы допустить, что P [|k/N – p| < 0,001] > 0,5. А это значит: существует шанс выше, чем 1 к 1, что вероятность того, что один человек найдет именно ту книгу, которую ищет, будет близка к 0,000014, а это дает нам шансы 71 427 к 1, т. е. очень близко к шансам получить стрит-флеш при игре в покер!

Все это означает, что верхний предел реальной вероятности не так уж безумно низок. Вероятность реальной истории, а именно того, что она произойдет с конкретным человеком, куда меньше. Иными словами, пусть у нас и нет определенной числовой вероятности того, что исходная история необычайно редка, есть, однако, понимание того, что подобные истории не столь исключительны.

Большой вопрос не в том, что Хопкинс нашел экземпляр «Девушки с Петровки», а в том, что это был экземпляр Файфера! Вот это действительно совпадение с непостижимо малым значением p. Только вот… Только вот Файфер сказал, что потерял свой экземпляр недалеко от того места, где он был впоследствии найден.

 

История 2. История Энн Парриш

История Энн Парриш иная. Парриш просто смотрела, она не искала какую-то конкретную книгу, не говоря уж о ее собственной. Проанализировав историю Хопкинса, мы видим, что история Парриш менее редкая.

Если ничего не знать о жизни Энн Парриш, ее история кажется поразительной. Великолепная история без очевидной причины. Александр Вулкотт, литературный критик, работавший в то время в New Yorker, описал эту историю еще при жизни г-жи Парриш. Вот что он пишет:

Когда мы застаем жизнь в самый момент сложения стиха, наша необузданная радость является, по-видимому, мерой того, насколько мы в действительности боимся тайн ее неизведанных морей. Во всяком случае, я знаю, что когда впервые услышал эту историю, то носил ее с собой как талисман и склонен верить: когда не кто иной, как Энн Парриш, перешла улицу и направилась к книжным рядам, где-то в бескрайнем космосе усмехнулась звезда – усмехнулась и подпрыгнула на своей орбите {113} .

Но давайте соберем мозаику. Ее мать, имя которой также Энн, но называли ее Ани, изучала живопись в Пенсильванской академии изящных искусств в 1860 г.; тогда же там обучалась Мэри Кэссэт. Во время учебы в Пенсильванской академии Ани и Мэри стали близкими подругами. Мэри стала известной импрессионисткой и переехала в Париж, где училась и работала, а также подружилась с Эдгаром Дега и Камилем Писсарро. Тогда возможно ли, что Ани передала книгу своей хорошей подруге Мэри, а та забрала ее с собой в Париж? Мэри умерла в 1926 г. Ее имущество, вероятно, было распродано, как и библиотека, и американская книга Энн Парриш, «вероятно», оказалась на прилавке одного из парижских книжных киосков где-то между 1926 и 1929 гг., до того как Энн Парриш ее нашла.

Давайте еще об этом поразмыслим. На месте американца, приехавшего в Париж в 1929 г., вы, вполне вероятно, в какой-то момент посетили бы оба магазина «Шекспир и компания», а также книжные киоски на Сене. Это были известные места, где покупали и продавали бывшие в употреблении нераритетные книги на английском. Если вы в основном пишете для детей, то, вполне вероятно, будете рассматривать полки с детскими книгами особенно тщательно. На самом деле большинство моих знакомых писателей любят при любой возможности порыться на книжных полках, в особенности на тех, где стоят книги в их жанре. Тогда вот вполне вероятная цепочка событий, соединяющих «Джек Фрост и другие истории» в книжном киоске у Сены и молодую девушку, любимой книгой которой был «Джек Фрост и другие истории».

Но постойте. Тут важную роль играет синхронизация, как и со всеми хорошими совпадениями. Энн надо было оказаться в Париже в то время, когда книга появилась в киоске у Сены. Если бы она приехала раньше или если бы кто-то другой купил книгу, она бы упустила такую возможность. Может быть, книгу купил бы другой американец, привез бы ее в Америку, предоставив тем самым Энн еще один шанс. Но это было бы совсем другое, менее удивительное совпадение, а история о путешествии книги в Париж и обратно осталась бы безвестной. Здесь у синхронизации были широкие границы, что увеличило вероятность.

Присвоить шансам численное выражение будет сложно. Но давайте выдвинем некоторые разумные предположения. Сначала предположим, насколько вероятна была поездка Энн в Париж летом 1929 г. Я бы дал этой вероятности умеренное значение, близкое к 0,1. Энн была замужем за богатым промышленником. Париж в 1929 г. был одним из самых популярных европейских туристических направлений среди богатых американцев наряду с морскими путешествиями по греческим островам. Какова вероятность того, что она посетила бы книжные киоски, пока была в Париже? Я бы сказал, что вероятность этого 0,3. Сложнее всего установить вероятность того, что книга была бы в нужном месте. А вот здесь поможет сопутствующая история – связь между матерью Энн и Мэри Кэссэт, смерть Мэри и несколько мест в Париже, имеющих дело с бывшими в употреблении книгами. Я предположу, что вероятность будет примерно 0,01. Тогда вероятность подобной истории составит p = 0,1 × 0,3 × 0,01 = 0,0003, т. е. шансы в пользу события – 3331 к 1. Маловероятно, но все же лучше, чем шансы приехать в город с целью найти определенную книгу и подобрать ее на скамье в общественном месте. Да, есть много неучтенных скрытых переменных, усложняющих наши расчеты, но они не изменили бы значение вероятности больше чем на 1/10 000, а следовательно, шансы Энн Парриш все же немного выше, чем получить каре при игре в покер.

 

История 3. История о кресле-качалке

У истории Энн Парриш было преимущество синхронизации с широкими границами. «Джек Фрост и другие истории» могла пролежать в киоске среди других книг на английском несколько месяцев до приезда Энн, и кто знает, сколько еще пролежала бы, реши Энн приехать в Париж позже.

История о кресле-качалке – это такой тип историй, которые могут происходить только при точной синхронизации. Подробности истории, уже описанные в главе 2, следующие. У моего брата, проживающего в Кембридже, Массачусетс, в гостиной стояло кресло-качалка. Моя жена заказала такое же кресло в магазине в Кембридже. Кресла не было в наличии, поэтому его должны были доставить брату домой позже, через несколько недель. В доме у брата были гости, и кто-то из них уселся в кресло. Через несколько секунд после того, как кресло развалилось на кусочки прямо под гостем, в дверь позвонили. Это доставили новое кресло.

Как со многими из таких историй, трудно дать шансам численную оценку. Но мы можем по крайней мере разобраться с порядком цифр.

История вполне могла быть случаем синхронии. Но рассмотрим переменные: заказанное кресло было точной копией того, что принадлежало моему брату. Этот факт вносит вклад в историю, но не в совпадение. Моя жена видела кресло в гостиной у брата и захотела купить точно такое же. Ей наверняка сказали, где его можно купить. Первой важной переменной было то, что кресла в наличии не оказалось. Если бы оно было, то не было бы этой замечательной истории.

Второй переменной стал приход гостей. То, что один из гостей был в этот момент у брата в гостиной, – вполне правдоподобно. Это был друг, который часто заходил в гости, так что мы можем оценить шансы его пребывания в конкретном месте выше чем 9 к 1, а следовательно, и вероятность p1, где 0,1 < p1 ≤ 1. Есть, конечно, еще шанс того, что он сел бы именно в кресло-качалку.

Это легко подсчитать. Насколько я помню, в комнате было 2 дивана, на которых могли разместиться 6 человек, и 6 кресел, одно из которых – черное кресло-качалка. Если выбор места был случайным и если никто еще не успел сесть, то шансы гостя выбрать кресло-качалку будут p2, где 0,1 < p2 ≤ 0,01.

Но люди не выбирают случайным образом, куда им сесть, особенно если один из вариантов – кресло-качалка. Иными словами, не зная ничего о человеке, оценить шансы сложно. Чисто теоретически, однако, давайте договоримся, что 0,1 < p2 ≤ 0,01.

Сложно установить точный момент, когда развалилось кресло – иначе говоря, вероятность того, что кресло сломалось бы ровно в тот момент, когда в него сел гость. Мы можем только предположить, что кресло вот-вот должно было сломаться. Мы позволяем себе такую вольность, понимая, что все же должны дать нашей оценке некоторую свободу маневра.

Время доставки установить проще. Если кресла в наличии не было, а доставка ожидалась в течение следующих 2 недель, нам следовало бы ожидать ее в течение второй недели в рабочее время. В неделе 3360 минут рабочего времени. Мы можем разложить события до той секунды, когда, как рассказывается в истории, в дверь позвонили, но, чтобы избежать лишних деталей, давайте остановимся на минутах. Комизм ситуации от этого ничуть не пострадает. Итак, вероятность p3 того, что в дверь позвонили бы в тот самый момент, когда гость сел в кресло и оно сломалось, составляет 1/3360, или примерно 0,0003. Следовательно, мы можем заключить, что вероятность p = p1 × p2 × p3 того, что история произойдет с конкретной группой людей, будет между 0,0000003 и 0,0003. Как ни удивительно, но эта история потрясающе маловероятна. Шансы между 3 333 332 к 1 и 3332 к 1. На нижнем пределе шансы хуже, чем шанс выиграть в лотерею хотя бы по одному из четырех билетов. На верхнем пределе шансы лучше, чем шанс получить каре при игре в покер.

 

История 4. Золотой скарабей

Скарабеи (или пластинчатоусые) – это название одного из семейств жуков. Их отличают крупное тельце, металлический окрас и булавовидные усики. Июньский хрущ и японский хрущик – одни из самых распространенных в США видов. У Карла Юнга была пациентка, которой приснился сон о золотом скарабее. Юнг сидел спиной к закрытому окну, слушал рассказ пациентки о ее сне и вдруг уловил, как что-то легонько постукивает по стеклу. Он повернулся и увидел насекомое, бьющееся снаружи о стекло, как будто пытаясь привлечь его внимание. Он открыл окно и поймал насекомое на лету. Это, несомненно, был скарабей. Юнг использовал это совпадение как эталонный пример того, что он называл синхронией, т. е. одновременностью двух событий, происходящих в одно время и в одном месте таким образом, что это нельзя объяснить простой случайностью.

Если сон о золотом скарабее – пример синхронии, то мы не можем знать вероятность такого события. Он входит в иную категорию, нежели история о кресле-качалке, но, как и она, решающим образом зависит от синхронности событий. Если бы скарабей стукнулся в окно получасом позже, история была бы иной. Синхрония вполне может существовать во Вселенной, но в этой истории наверняка замешана случайность. Исходя из этого, нам следует иметь в виду, что сон молодой женщины привносит в задачу скрытую переменную – коллективное бессознательное, что нельзя игнорировать.

Июньский хрущ часто встречается в июне. Возможно, он стучался в окно молодой женщины, когда она спала. Если она услышала это во время сна, то звук мог повлиять на ее сновидение. Часто наши мечты – соединение бессознательных и сознательных переживаний, на которые иногда влияют реальные звуки или свет. Человек может спать во время реальной грозы и одновременно видеть сон о том, как сам попал в грозу. Тогда вопрос для нас будет в следующем: каковы шансы того, что скарабей стучался в ее окно, когда она спала? И каковы шансы того, что скарабей мог стучаться в окно Юнга в тот самый момент, когда женщина рассказывала о своем сне?

Юнг не упоминает о том, в какое время года произошла эта встреча. Может быть, в июне. Судя по моим встречам со скарабеями, я бы сказал, что ответ на первый вопрос – примерно 29 к 1. В мое окно июньский хрущ стучится не менее одного раза в год и почти всегда – в июне. Ответ на второй вопрос дать сложнее. Шансы того, что скарабей мог постучаться в окно Юнга, также 29 к 1, но тут мы не принимаем в расчет точную синхронность двух других событий: периодичность, с которой женщина видит этот сон, и встреча Юнга со скарабеем у его собственного окна. И это загадка, для которой следует сделать определенные предположения. Привлекаемые светом, июньские хрущи обычно стучатся в окна по ночам. Тот факт, что сон был достаточно важен, чтобы рассказать о нем во время сеанса у Юнга, свидетельствует о том, что это был редкий сон, возможно, прерванный стучащимся в окно скарабеем. Если мы займем умеренную позицию и скажем, что женщина могла видеть этот конкретный сон в любую из июньских ночей, то вероятность того, что это произошло в ту же ночь, что и «визит» скарабея, составит 1/30 × 1/30 ≈ 0,001, или шансы 998 к 1.

Предположим, что пациентка ходила на прием к Юнгу раз в неделю и проводила у него по одному часу. Также предположим, что у Юнга было в среднем по 6 пациентов в день, исключая выходные. Это 132 часовых приема в июне. Сон о скарабее обсуждался только на одном из этих сеансов в течение, допустим, десятиминутного интервала. Таких интервалов в июне 792. Это означает, что в течение июня шанс появления скарабея у окна в момент, когда пациентка рассказывала о своем сне, составляет 791 к 1, или вероятность 1/792. Следовательно, вероятность самой истории составит 1/30 × 1/30 × 1/792 ≈ 0,0000014, т. е. меньше, чем флеш-рояль!

 

История 5. История Франческо и Мануэлы

Совпадение, связанное с Франческо и Мануэлой, – это не сама история, а скорее, тот факт, что автор данной книги оказался там, где произошла история, и услышал ее от одного из непосредственных участников. Будем считать, что конкретные имена, Франческо и Мануэла, значения не имеют. История могла произойти с любыми людьми: скажем, Биллом и Джоан или Фредом и Фредерикой. История могла произойти в любой точке мира. Необязательно даже, чтобы участниками ее были двое мужчин и две женщины. Если смоделировать историю, то окажется, что, абстрактно выражаясь, она о двух парах людей с двумя парами имен, которые встречаются впервые в одной определенной точке мира. Тогда история превращается в подсчет пар имен. Сколько в этом мире имен и сколько из их пар в какой-то момент встретятся в течение, скажем, года? Нам трудно даже предположить. В одной только Ольбии 58 000 жителей, а в момент написания этой книги среди них было 2834 человека по имени Франческо и 276 – с именем Мануэла. Одно известно наверняка: число пар людей с совпадающими именами во всем мире не просто велико, оно огромно! Подобные истории о том, как кто-то обознался, не так уж необычны. Интересно то, что две пары людей проводят друг с другом достаточно много времени, не подозревая, что встретились не с тем человеком. Согласен, такая рассеянность значительно уменьшает числа в наших расчетах. Наложенные нами ограничения снижают числа по крайней мере до сотен.

Есть кое-какие нежесткие методы, которые могут привести нас к достаточно правдоподобным предположениям по поводу шансов. Если в Ольбии проживают 2834 Франческо, то мы должны задаться вопросом: сколько женщин по имени Мануэла приезжают в Ольбию из Мадрида в каждый отдельно взятый день? Сколько из них останавливаются в Hotel de Plam, где начинается наша история? Сколько выходят в вестибюль Hotel de Plam, чтобы встретиться с кем-то, кого раньше никогда не видели? Мы можем измерить вероятность того, что завтра утром два человека по имени Мануэла будут ждать в вестибюле того самого отеля, где произойдет встреча с двумя людьми по имени Франческо, которых ни одна из них раньше не видела. Мы могли бы это сделать, проводя в вестибюле каждое утро, спрашивая у людей, как их зовут, и собирая сведения о том, не планируют ли они встретиться с кем-либо, кого раньше никогда не видели. Тогда за 10 дней мы могли бы взять среднесуточное число людей по имени Мануэла, которые сидят в вестибюле, и разделить его на общее среднесуточное число людей, просто сидящих в вестибюле. Это число может равняться нулю. Но если мы изменим число дней на 365, число людей с большей вероятностью окажется больше нуля. Конечно, это трудоемкий и дорогой способ измерения вероятности.

Есть и другой способ. Начнем со среднего числа приезжающих в Ольбию каждый день. Сардиния – остров, поэтому туда можно добраться либо по морю, либо по воздуху. Возьмем воздушный путь. До сентября 2013 г. туда был один беспосадочный перелет на Iberia Airlines. Но сразу после того, как мы с женой уехали, на Ольбию налетел шторм, который оставил половину города в руинах. Прямой перелет отменили и так никогда и не возобновили. Найдя число прямых рейсов из Мадрида (10) и среднее число пассажиров Airbus 320-й и 340-й серий, которыми осуществлялись эти рейсы (200), мы узнаем, что в среднем 2000 человек приезжают в Ольбию из Мадрида. А поскольку Ольбия, как правило, конечный пункт назначения, почти все прибывающие не садятся в этот день на другой самолет. Конечно, есть некоторые сезонные флуктуации. Согласно выборке из мадридского телефонного справочника, 1,3 % населения Мадрида составляют люди по имени Мануэла. Тогда мы допустим поспешное, но осторожное предположение о том, что только четверть пассажиров, прибывающих этими десятью самолетами, летящими из Мадрида (500), были жителями Мадрида и пригородов. Из этого следует, что Ольбия ежедневно принимает 6,5 приезжих по имени Мануэла. Возможно, некоторые из них затем садятся на поезд или автобус и едут в другой город. Итак, давайте сделаем скромное предположение, что у нас остается 3 приезжих. Далее можно выдвинуть множество аргументов по поводу того, где приезжие могли бы остановиться и какие люди выбрали бы тот или иной отель. В моих расчетах я ограничиваю среднее число людей по имени Мануэла, останавливающихся в Hotel de Plam, значением 0,17. Поскольку мы говорим о средних значениях, мы также могли бы предположить, что выбор того или иного отеля подвержен группировке – некоторые отели делают специальные предложения в определенные дни и в определенное время года. Одна Мануэла могла прибыть в Ольбию накануне вечером. Другая, возможно, только что приехала. Учитывая эти группировки и время прибытия, шансы того, что две Мануэлы выбрали именно тот отель, который порекомендовал соответствующий Франческо, составят 35 к 1, а это равняется шансам выбросить «товарные вагоны» (две шестерки) на паре игральных костей. Стоит ли удивляться, обнаружив двух женщин по имени Мануэла в Hotel de Plam? Предоставляю вам возможность ответить на этот вопрос. Реальная проблема этого совпадения – каким образом случилось так, что связи между парами Франческо – Мануэла оставались перепутанными столь долгое время, пока один из четырех участников не начал что-то подозревать? На это мне ответить нечего, разве что сказать, что у незнакомых людей обычно бывают неловкие вступительные разговоры, которые в первый момент не сосредоточены на действительной причине их встречи.

Было ли это выдающимся совпадением? Такие события происходят гораздо чаще, чем нам кажется, потому что стоящие за ними числа больше, чем мы можем представить. Наше исследование учитывало только два имени: Франческо и Мануэла. История удивляет нас не из-за этих конкретных имен, а скорее потому, что я услышал ее от самого Франческо.

Схема истории такова: некто по имени X встречается с кем-то по имени Y в вестибюле отеля H. Другой человек по имени X должен встретиться с другим человеком по имени Y в вестибюле отеля H. Пока что это просто вариация на тему знаменитой задачи о дне рождения, с которой мы уже сталкивались в главе 8. Однако здесь она развивается дальше. Каждого из людей принимают за другого в течение часа. Теперь возникает куда больше вариантов. Просто проверим, что происходит, если X и Y обозначают 4 других имени, скажем, X = Марко, Андреа, Франческо или Люка (4 наиболее распространенных мужских имени в Италии). Аналогично пусть Y = Мария, Лаура, Марта или Паула (4 наиболее распространенных женских имени в Испании). И конечно, поскольку встреча была деловая, ни X, ни Y не будут непременно именами, соответствующими определенному полу. Теперь мы видим, что их шансы на подобную встречу значительно возросли. Таким образом у нас появляется 16 вариантов: Марко могли встретиться с Мариями, или с Лаурами, или с Мартами, или с Паулами. То же самое – с Андреа, Франческо и Люкой. В конечном итоге у нас вероятность в 16 раз больше, что кто-то обознается в вестибюле отеля H. Почему бы не взять 100 наиболее популярных имен в Италии и 100 наиболее популярных имен в Испании? Если принять число пар имен за n, мы можем предположить, что результат увеличивается, как квадрат n. Это означало бы, что с сотней пар имен шансы умножаются на 1000. Однако по мере уменьшения популярности имен в списке уменьшается и число людей, их носящих. Если мы ограничим наш анализ до, скажем, n ≤ 25, то можем смело утверждать, что результат растет примерно, как квадрат n. Это степень 625. Но не все так просто. В Италии 51 733 отелей от трех звезд и выше. И если мы включим в расчеты вестибюли всех отелей во всем мире, то наше число станет настолько большим, что с двумя парами людей будут происходить точно такие же события в вестибюле некоего отеля примерно каждый час!

«Минуточку! – скажете вы, как часто делает моя жена. – Франческо рассказал историю тебе. Есть разница между вероятностью события, связанного с тем, что кого-то приняли за другого человека, подобного тому, что произошло с Франческо и Мануэлой, и условной встречей двух неидентифицируемых людей где-то в любой точке мира. Совпадение не только в том, что событие произошло, но и в том, что тебе о нем рассказали». Да, согласен. Однако учитывая приведенный выше анализ, оно должно происходить в некой точке мира несколько раз в день. Не удивительно ли то, что я услышал эту историю только один раз за всю свою жизнь? Почему я вообще должен ей удивляться, раз она такая неизбежная?

Каждую из приведенных в этой книге историй о совпадениях можно проанализировать, взглянув на цифры. Сложность заключается в том, чтобы отыскать множество скрытых переменных. Числа могут поначалу не казаться большими, как было в случае со встречей Франческо и Мануэлы, однако путем тщательного изучения всех возможных взаимодействующих комбинаций событий эти малые на первый взгляд числа вырастают до относительно больших – достаточно больших, чтобы нечто, кажущееся невозможным, превратилось в нечто неизбежное.

 

История 6. История о таксисте

Женщина тормозит такси в Чикаго. Через три года она останавливает такси в Майами и обнаруживает, что водитель тот же самый, что ранее подвозил ее в Чикаго. Чтобы объяснить этот случай, нам нужно сначала рассмотреть, как часто она пользуется такси. Эта женщина – руководитель частной инвестиционной компании, а такие люди нередко ездят на такси в разных крупных городах. Таксисты, у которых нет альбинизма, не так приметны; поэтому часто ездящий на такси человек вполне может и не обратить внимания на то, что уже встречался с водителем, если, конечно, у водителя нет альбинизма. Тогда возможно, что она дважды ездила с другим водителем в двух других городах, но не знала об этом.

Рассмотрим вероятность того, что она останавливает такси в Чикаго и Майами с разницей в три года и водитель тот же – назовем его A – безотносительно того, есть ли у этого человека альбинизм. Вероятность остановить A в Чикаго – 1, поскольку такси пока что не беспилотные. Сначала рассмотрим вероятность того, что водитель такси переезжает из Чикаго в Майами. Сегодня в Чикаго 15 327 водителей такси, около 5000 – в Майами. Статистика численности переезжающих из Чикаго в Майами недоступна, так что все, что мы можем, – это воспользоваться данными об убывающих. У нас есть данные, согласно которым 95 000 из всего населения Чикаго в 2 722 389 человек переехали в другие штаты в 2014 г. – это 1 из 29 за год. Если эта пропорция верна для 15 327 водителей такси в Чикаго, то мы смело можем допустить, что 529 водителей переехали в другие штаты в течение трех лет. Чикаго – третий по величине город в стране, а Майами – 44-й. Сложно предположить, куда они направились, однако в рейтинге компании U-Haul Майами занимает лишь 40-е место среди наиболее популярных городов США для переезда. Иными словами, мы можем предположить, что очень немногие чикагские таксисты переехали в Майами: вероятно, больше 20, но меньше 40. Это делает шансы нашей женщины остановить A больше, чем 20/15 327 = 0,013, и меньше, чем 40/15 327 = 0,026. Шансы в пределах от 75 к 1 и 36 к 1. Неплохо!

Теперь вернемся к водителю с альбинизмом. Поскольку мы не принимаем в расчет тот момент, заметит ли женщина конкретного водителя в двух случаях, отстоящих друг от друга на три года, шансы будут те же. Как с прочими совпадениями, фокус в том, чтобы мы обратили на него внимание.

 

История 7: История о сливовом пудинге

Историю о сливовом пудинге в том виде, в котором она была рассказана французским поэтом XIX в. Эмилем Дешаном, нельзя привести к каким-либо обоснованным числам. Она находится в ряду наиболее выдающихся из известных историй о совпадениях отчасти из-за большого временного промежутка между связанными с ним событиями. С одной стороны, такой промежуток времени увеличивает шансы, с другой – украшает саму историю. Ключевое обстоятельство следующее: молодой Дешан впервые встретил месье де Форжибю, когда попробовал сливовый пудинг – блюдо, о котором во Франции в то время практически никто не знал.

Десятью годами позже, уже забыв о сливовом пудинге, Дешан проходит мимо ресторана, в меню которого значится этот десерт. Он заходит в ресторан, чтобы заказать себе порцию, но узнает от официантки за стойкой, что это невозможно, так как мужчина в форме полковника заказал для себя весь пудинг. Она указывает на месье де Форжибю. Снова проходит несколько лет, в ходе которых Дешан не видит пудинга и даже не вспоминает о нем. Однажды его пригласили на ужин. Подают сливовый пудинг, и Дешан рассказывает хозяйке и ее гостям историю о месье де Форжибю и сливовом пудинге, называя ее чудесным совпадением. Как только он заканчивает рассказ, раздается звонок в дверь и сообщают, что пришел месье де Форжибю. Тот самый месье де Форжибю был приглашен на ужин в дом по соседству, но ошибся адресом и позвонил не в ту дверь.

Эта история относится к категории, близкой к случайным встречам, но тут мы говорим о 4 переменных, сходящихся в пространстве и времени таким образом, что происходит такое их смешение, что разобраться в них было бы практически невозможно, не прибегая к диким предположениям. Годы, разделяющие события, делают задачу почти нерешаемой. Почти, однако давайте попробуем разложить историю на числа. Вероятность встретить месье де Форжибю сидящим над тарелкой с чем-то вроде сливового пудинга в первый раз равна 1. Конкретный человек и сливовый пудинг реальной значимости не имеют. В центре истории мог быть другой человек и что-то другое. Найти шансы второй встречи, произошедшей 10 годами позже, сложнее. Дешан мог пройти мимо ресторана, не заметив, что в меню был сливовый пудинг. Но это было маловероятно, поскольку именно сливовый пудинг являлся для него особенной вещью, а не какой-нибудь mousse au chocolat. Иными словами, очень, очень вероятно, что он бы заметил, и чуть менее вероятно, что зашел бы взять себе порцию. Совпадение – то, что месье де Форжибю там оказался.

Рассмотрим это следующим образом. Во времена Дешана, в середине XIX в., Париж был небольшим городом: не по населению, а скорее, по местам основного скопления людей. В отдельных кварталах отдельные люди бывали чаще, чем в других. Если бы месье де Форжибю проходил мимо ресторана, то он тоже заметил бы вывеску и, весьма вероятно, зашел бы внутрь и заказал порцию сливового пудинга. Такое действие очень схоже с тем, чтобы обратить внимание на водителя с альбинизмом. Вы чаще что-то замечаете, когда оно необычно и когда пробуждает воспоминания о прошлом. Еще один момент, который следует иметь в виду: вполне возможно, что месье де Форжибю обедал в том ресторане каждый день, как возможно и то, что Дешан зашел туда впервые. Иными словами, если рассматривать это первое совпадение, то это была случайная встреча двух людей, объединенных общим интересом в пределах сравнительно небольшой географической области. Вот следующее совпадение ставит нас перед чем-то чрезвычайно необычным и крайне сложным для исследования: месье де Форжибю по ошибке позвонил в дверь квартиры, где ужинал Дешан и был подан сливовый пудинг.

Однако это совпадение произошло через много лет после встречи в ресторане. Нам следует учитывать все те годы, когда месье де Форжибю не звонил по ошибке в дверь к кому-то, у кого были гости, в том числе Дешан, безотносительно того, подавали ли в этот раз сливовый пудинг или нет.

 

История 8. Унесенная ветром рукопись

Эту историю рассказал французский астроном Николя Камиль Фламмарион, живший в конце XIX в. Он работал над популярным трактатом об атмосфере в 800 страниц. Когда он писал главу о силе ветра, внезапный сильный порыв распахнул окно, поднял со стола всю главу и унес листы на улицу, прямо под хлещущий ливень. Вторичное совпадение произошло несколькими днями позже, когда портье, служивший у его издателя и работавший в километре от квартиры Фламмариона, случайно нашел пропавшие страницы и принес их ему.

Может показаться удивительным, что ветер мог унести все бумаги так далеко от дома номер 32 по авеню де ль'Обсерватуар до Librairie Hachette – офиса издателя Фламмариона на бульваре Сен-Жермен, 79. Но в истории есть еще кое-что, дающее нам некоторый каузальный фон. Не столь заметная часть истории: утром того дня, когда случился инцидент с ветром, тот самый портье заходил к Фламмариону и принес корректуру в гранках. Этот человек жил недалеко от Фламмариона и пошел позавтракать сразу после доставки корректурных оттисков. По пути обратно в офис издателя он заметил валявшиеся на земле вымокшие листы и – обратив внимание на то, что они были исписаны почерком Фламмариона – подумал, что случайно их обронил. Он вернулся в свой офис и несколько дней никому ничего не рассказывал, вероятно, потому, что листам нужно было высохнуть. В данном случае причина в том, что человек, нашедший страницы, уже был близко связан с человеком, который их потерял.

Буря, налетевшая в тот момент, когда Фламмарион писал о силе ветра, не так уж удивительна. Написать главу книги – дело не нескольких минут. Он, возможно, писал ее несколько дней или недель. Открытые окна в летние дни имеют обыкновение позволять любому пролетающему мимо ветерку стащить чьи-то бумаги. Иными словами, главное событие – это совпавшие друг с другом потерянные страницы и портье. Портье жил в том же районе, ему был знаком почерк Фламмариона, он работал в издательстве (а следовательно, поинтересовался бы, что представляли собой бумаги) и время от времени посещал квартиру Фламмариона. Все это говорит о том, что существовали довольно неплохие шансы, что бумаги будут найдены и возвращены. Но эти шансы слегка умерены более высокой вероятностью того, что кто-то другой нашел бы бумаги – кто-то, не знавший почерка Фламмариона, или дворник, который положил бы их в контейнер вместе с остальным мусором.

 

История 9. Сон Эйба Линкольна

Линкольн рассказал о своем сне, в котором услышал плакальщиков и вышел из своей спальни, чтобы выяснить, откуда раздавались их рыдания. Скорбящие были невидимы, а звуки были повсюду. Когда он вошел в Восточный зал, то увидел труп на катафалке, окруженном почетным караулом и группой скорбящих. Ему сказали, что президент убит.

У Линкольна было много пророческих сновидений. Когда началась война, он видел тот же самый сон перед каждым важным для страны событием. Были ли они совпадениями или просто понятными переживаниями, связанными с неопределенностью, всплывающими через бессознательное, особенно в состоянии сна?

Сон Линкольна о собственном убийстве мог быть просто осознанием неопределенности его положения. До этого ни одного из президентов США не убивали, но это не значит, что он не думал о такой опасности, особенно во время войны. Как большинство снов, вещие также встроены в механизм сновидения; мы все равно «думаем», пока спим, или «думаем», что спим.

 

История 10. Джоан Гинтер и ее выигрыши в лотерею

Джоан Гинтер 4 раза выиграла в лотерею. Она выиграла $5,4 млн в первый раз, $2 млн – во второй, $3 млн – в третий раз и $10 млн – в четвертый. Ее выигрыши растянулись на период в 18 лет начиная с 1993 г. Я признаю, что шансы подобного сочетания событий ничтожны, но не равны нулю. Технически ее история – не совпадение. У совпадений нет очевидных причин. У истории Гинтер есть очевидная причина: она выбрала выигрышные номера, покупая билеты оптом. Мы могли бы подумать, что ее 4 выигрыша в лотерею были колоссальной удачей. Что ж, мы были бы правы. Такие многократные выигрыши в самом деле редки. Но имеются скрытые факторы.

Во-первых, первый выигрыш принес ей легкие деньги, которые она использовала, чтобы играть снова и снова, каждый раз используя убытки от игры для покрытия части долга по налогам. Умно, но то же самое делают 80 % тех, кто взял джекпот: играют снова и снова, надеясь на следующую волну. В психологии теории игр такую волну называют подкреплением благоприятной истории. А когда вы выиграли джекпот, вы ведь не покупаете один-два билета; вы покупаете их сотнями, даже тысячами. Но как выбирают выигрышные числа?

Мне сообщали, что шансы выбрать 4 выигрышных числа составляют 18 септиллионов к 1, а это настолько маловероятно, что может произойти с одним человеком только раз в квадриллион лет. (Смотри описание хода вычислений в главе 7.) Может быть, и так, но, не зная, сколько раз Гинтер проиграла (а у нас нет возможности это узнать), нельзя выяснить действительные шансы. Некоторые части истории отсутствуют. У нее действительно есть докторская степень по математике, полученная в Стэнфорде, так что, возможно, для определения выигрышных номеров при покупке билетов оптом она использовала некий алгоритм.

Давайте рассмотрим лотерею Texas Lotto. Игроки покупают один билет за $1 и отмечают 6 чисел от 1 до 54. Лотерея публикует шансы на выигрыш в таком виде, как показано в табл. 10.1. Предположим, что Гинтер купила один билет за $1 и выбрала 6 выигрышных чисел. При джекпоте $2 млн ожидаемый выигрыш составляет всего 9 центов с доллара. Можно выиграть три других приза, не составляющих джекпот, так что мы должны прибавить ожидаемое значение 7 центов (полный выигрыш, исключая джекпот) к ожидаемому значению джекпота, изменив таким образом ожидаемое значение выигрыша любого из призов на 16 центов. На каждый сыгранный доллар игрок выбрасывает 84 цента.

Кроме того, существуют налоги и вероятность разделить выигрыш с кем-то из игроков, поэтому ожидаемое значение сокращается примерно до 12 центов. Пул игроков увеличивается с размером джекпота, поэтому вероятность, что джекпот придется разделить между несколькими игроками, также растет.

Да, выиграть в лотерею 4 раза – колоссальная удача. Вероятность даже одного выигрыша поразительно мала. Четыре выигрыша Гинтер – событие с настолько малой вероятностью, что после запятой понадобится поставить 32 нуля, прежде чем начнут появляться числа, от нуля отличные. Но только потому, что мы называем конкретного человека в качестве четырехкратного победителя – Джоан Гинтер. Конечно, у нее столько же шансов выиграть любое число раз, пусть даже один раз, сколько имеется их у любого другого при условии, что она покупает только один билет за раз. Но шансы того, что кто-то выиграет джекпот, достаточно высоки, учитывая, что в год продается до 1 млрд билетов Texas Lotto. Все-таки кто-то выигрывает, хотя может пройти несколько розыгрышей, прежде чем появится победитель. В 2014 г. около 31 818 182 человек в США потратили $70 млрд на покупку лотерейных билетов. Если каждый год покупается 70 млрд билетов и если числа выбраны случайно (они не абсолютно случайные, как мы отметили в главе 6), тогда в течение года кто-то точно должен выиграть, и есть неплохие шансы того, что кто-то выиграет в течение месяца.

Нам понятно, как может выиграть один человек, но как насчет того, что один и тот же человек выигрывает 4 раза? У выигрыша Гинтер и ему подобных весьма неплохие шансы, если учитывать все население США: почти 320 млн человек. Ее выигрыши кажутся изумительными только потому, что мы их рассматриваем как произошедшие с одним конкретным человеком – Джоан Гинтер.

Давайте вычислим вероятность того, что человек, любой человек, не обязательно Гинтер, выиграет в лотерею дважды в течение пяти лет. Вы можете найти результаты довольно удивительными. В Северной Америке 26 отдельных больших легальных лотерей со 104 розыгрышами в год и общим числом в 13 250 розыгрышей за период в пять лет. В среднем 1/6 от общего числа розыгрышей заканчиваются розыгрышем джекпота, поэтому число выигрышей – 2253.

Теперь выдвинем безумное предположение о том, что эти события не зависят друг от друга. Оно безумное, поскольку мы предполагаем, что каждый победитель каждого выигрышного тиража продолжает играть на большие суммы и использует ту же стратегию, что и раньше, чтобы повлиять на следующий выигрыш. Мы также предполагаем – только для того, чтобы можно было провести исследование, – что каждый игрок использует ту же стратегию, что и любой другой. Иными словами, мы усредняем стратегии по всем выигравшим джекпот. Иначе задача становится слишком сложной для анализа.

Пусть x – вероятность того, что некий человек постоянно играет в лотерею в течение пяти лет и дважды выигрывает. Примем за p вероятность выиграть джекпот в одном тираже лотереи из таблицы 10.1. Сначала вычислим (1 – x) вероятность того, что выигравшие в первый раз не выиграют во второй раз в течение пяти лет. Пусть y = 1 – x. Среднее число выигрывающих джекпот на один разыгранный джекпот составляет 1,7, поэтому с каждым выигрышным тиражом число новых игроков, выигравших джекпот, увеличивается на 1,7. Это означает, что на первый из 2253 выигрышей придется 1,7 победителя. На второй из 2253 выигрышей будет 1,7 × 2 победителя… и на последний из 2253 выигрышей будет 1,7 × 2253 победителя. Иными словами, вероятность того, что первый победитель не выиграет во второй раз в ходе 2, 3,… и последнего из 2253 выигрышей, составляет (1 – p)1,7, (1 – p)1,7×2, (1 – p)1,7×3, … (1 – p)1,7×2253 соответственно. Поскольку мы предполагаем, что каждый выигрыш не зависит от других, y – вероятность того, что ни один из выигравших один раз не выиграет во второй раз – это произведение (1 – p)1,7 (1 – p)1,7×2 (1 – p)1,7×3… (1 – p)(1,7×(2253 – 1)).

Следовательно, y = (1 – p)1,7(1 + 2 + 3+… + 2253) = (1 – p)4312693 ≈ 0,85. Иными словами, x – то есть вероятность того, что кто-то выиграет джекпот дважды за пять лет, – примерно равен 0,15. Для периода в десять лет эта вероятность равна 0,48, и для 13 лет (время между первым и вторым выигрышем Джоан Гинтер) она составит 0,67.

Мы можем провести схожие вычисления для всего мира и периода в 1 год. В мире 166 лотерей. У многих лотерей вне США только 1 розыгрыш в неделю. Таким образом, общее число тиражей, составленное из еженедельных розыгрышей по всему миру, а также розыгрышей в США 2 раза в неделю за 2 года составит 9984. Число выигравших джекпот за 1 год (учитывая шкалу, согласно которой в США число розыгрышей на джекпот составляет в среднем 5 к 1 и отношение розыгрышей к джекпотам в остальном мире в 3 к 1) в силу вышесказанного – 2496. Используя тот же метод, мы вычисляем y = (1 – p)1,7×(1+2+…+2495) = (1 – p)5 293 392 ≈ 0,82. Следовательно, x = 0,18.

За 2 года вероятность того, что 1 человек выиграет дважды, составит 0,55, а за четыре года – 0,96 – число настолько близкое к 1, что шанс того, что кто-то выиграет джекпот дважды в течение четырех лет, – это практически достоверность.

Выигрыши Джоан Гинтер растянулись на период в 18 лет. При таком временно́м диапазоне вероятность того, что один человек выиграет джекпот 4 раза где-либо в мире, предельно близка к 1.