Глава 13. Революция искривленного пространства

Евклид стремился создать непротиворечивую математическую систему, основанную на геометрии пространства. Следовательно, свойства пространства, проистекающие из евклидовой геометрии, таковы, какими они представлялись древним грекам. Но действительно ли пространство устроено так, как описывал Евклид и количественно определял Декарт? Или возможны и другие варианты?

Неизвестно, вскинул бы Евклид бровь-другую, узнай он, что его «Начала» еще 2000 лет останутся непреложны, но программисты сказали бы, что 2000 лет до выхода версии 2.0 — довольно долго. За это время многое изменилось: мы открыли устройство Солнечной системы, получили возможность рассекать по морям, изобрели карту и глобус, а также прекратили пить разбавленное вино за завтраком. И, кроме того, у математиков развилась поголовная непереносимость к пятому постулату Евклида — о параллельности. Увы, не содержание этого утверждения находили они отвратительным, а то, что место этому допущению было среди теорем.

Те математики, кто на протяжении веков пытался доказать постулат параллельности как теорему, подходили совсем близко к открытию странных и поразительных новых разновидностей пространства, но всяк претыкался на простой убежденности: этот постулат есть истинное и неотъемлемое свойство пространства.

Всяк за исключением одного: пятнадцатилетнего подростка по имени Карл Фридрих Гаусс, которому, так уж вышло, суждено было стать одним из любимцев Наполеона. Озарение, посетившее юного гения в 1792 году, заронило семена новой революции. В отличие от предыдущих, эта принесет не революционное развитие идей Евклида, а совершенно новую операционную систему. Вскоре будут открыты и описаны неведомые изумительные пространства, остававшиеся незамеченными столько веков.

С открытием искривленных пространств возник естественный вопрос: евклидово ли наше пространство — или, может, оно иное? Именно этот вопрос произвел переворот в физике. Но и математику он поверг в недоумение. Если евклидова структура не есть простая абстракция, описывающая истинное устройство пространства, то что же она такое? Если можно усомниться в постулате параллельности, как же тогда быть с остальными евклидовыми построениями? Вскоре после открытия искривленного пространства вся евклидова геометрия рухнула, а за нею — вот те на! — и вся остальная математика. Когда же пыль осела, в новой эпохе очутились не только теория пространства, но и вся физика с математикой.

Чтобы понять, насколько трудно оказалось противоречить Евклиду, стоит задуматься о том, сколь глубоко укоренилось его описание пространства. «Начала» и в его-то времена были классикой. Евклид не только определил природу математики, но его книга играла ключевую роль в образовании и натурфилософии как образец логического мышления. Эта работа имела решающее значение для интеллектуального возрождения в Средние века. Этот труд после изобретения печатного станка в 1454 году издали одним из первых, а с 1533 года и до XVIII века она оставалась единственной греческой работой, напечатанной на языке оригинала. До XIX века любой труд по архитектуре, устройство любого рисунка и картины, любая теория или уравнение, примененные в науке, были евклидовыми по умолчанию. И «Начала», конечно, заслуживали своего великого положения. Евклид превратил наше интуитивное чувство пространства в абстрактную логическую теорию, из которой мы научились выводить все остальное. Быть может, нам стоит благодарить Евклида в первую очередь за то, что он осмелился без стыда оголить свои допущения и никогда не претендовал на то, что доказанные им теоремы есть не более чем логические следствия немногих не доказанных им постулатов. Мы, правда, уже сообщили в части I, что один из его постулатов — постулат параллельности — вызвал неудовольствие практически у всех исследователей, изучавших труды Евклида, поскольку лишен был простоты и интуитивной ясности, свойственной остальным евклидовым допущениям. Вспомним формулировку:

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Евклид, доказывая первые свои двадцать восемь теорем, постулат параллельности никак не использовал. К тому времени он уже доказал утверждение, обратное этому постулату, а также и другие, куда более пригодные для звания аксиом, — вроде фундаментального факта, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей. Так зачем же ему, зашедшему так далеко, понадобился этот затейливый и вполне технический постулат? Сроки сдачи книги поджимали, что ли?

За 2000 лет, за 100 поколений родившихся и умерших, пока менялись границы, пока возникали и угасали политические системы, а Земля проскочила 1000 миллиардов миль вокруг нашего Солнца, мыслители планеты по-прежнему оставались привержены Евклиду, не ставя под сомнение слов бога своего, кроме одного малюсенького «но»: можно ли как-нибудь все-таки доказать этот дурацкий постулат?

 

Глава 14. Незадача с Птолемеем

Первую известную нам попытку доказать постулат параллельности произвел Птолемей — во втором веке н. э.. Аргументацию он применил довольно изощренную, но в сути метод оказался прост: он допустил видоизмененную форму постулата и из нее вывел исходный. И что прикажете думать о Птолемее? Он, что ли, жил на территориях, свободных от здравого смысла? Или нам представить, как он несся к друзьям с воплями: «Эврика! Я открыл новый вид доказательства — замкнутого на само себя!»? Математики наступать на эти грабли не стали дважды — они наступали на них снова и снова: как выяснилось, некоторые самые безобидные допущения и кое-какие очевидные настолько, что их оставили недоказанными, оказались замаскированным постулатом параллельности. Связь этого постулата со всей остальной евклидовой теорией столь же тонка, сколь и глубока. Через пару сотен лет после Птолемея Прокл Диадох сделал вторую знаменательную попытку доказать постулат раз и навсегда. Прокл в V веке учился в Александрии, после чего перебрался в Афины, где возглавил Платоновскую академию. Он часами корпел над трудами Евклида. У него был доступ к книгам, давным-давно исчезнувшим с лица Земли, — например, к «Истории геометрии» Евдема, современника Евклида. Прокл написал комментарии к первой книге «Начал», и они стали источником большой части нашего знания о древнегреческой геометрии.

Чтобы разобраться в доказательстве Прокла, полезно сделать три вещи: во-первых, рассматривать альтернативную формулировку постулата, приведенного выше, — аксиому Плейфэра; во-вторых, сделать доказательство Прокла чуточку менее техническим; в-третьих, перевести его с греческого. Аксиома Плейфэра звучит так:

В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Большинству из нас в современном мире куда понятнее карты и планы улиц, нежели прямые, обозначенные загадочными символами а или X. Поэтому давайте-ка рассмотрим доказательство Прокла в более привычных обстоятельствах — скажем, на примере Пятой авеню в Нью-Йорке. Представим еще одну авеню, параллельную Пятой, и назовем ее Шестой. Не забываем, что под параллельностью, по Евклиду, мы подразумеваем их «непересекаемость», т. е. Пятая авеню не пересекает Шестую.

Высоко над кофейнями и лотками с хот-догами возносится почтенное здание, в котором размещается уважаемое издательство самых качественных на свете книг — «Фри Пресс» (по совпадению — первый издатель этой). Никоим образом не принижая заслуг «Фри Пресс», назначим его на роль «точки, не лежащей на данной прямой».

Затем, в точном соответствии с математической традицией, запомним, что нашими допущениями об этих улицах будут только факты, которые мы упомянули выше. Хотя в целях предметного иллюстрирования доказательства мы имеем в виду именно эти две авеню, как математики мы не можем включать в наше доказательство те свойства этих авеню, которые заранее не оговорили. Если вам известен другой издатель (неудачник — в отношении этой книги, по крайней мере) под названием «Рэндом Хаус», размещающийся дальше по улице, а также что Пятая и Шестая авеню отстоят друг от друга на некоторое расстояние, и что на некоем перекрестке там обитает слюнявый псих, выбросьте это все из головы. Математическое доказательство — упражнение в применении лишь исчерпывающе предложенных фактов, а в евклидовых «Началах» никакие особые свойства Нью-Йорка не значатся. Подобное неоправданное допущение вы, может, сделали бы, не задумываясь, и оно превратило бы все последующие доводы Прокла в ложные.

Итак, мы готовы сформулировать аксиому Плейфэра в предложенных нами терминах:

В плоскости Нью-Йорка через издательство «Фри Пресс», не размещающееся на Пятой Авеню, проходит одна и только одна авеню, параллельная Пятой, т. е. Шестая.

Это утверждение не в точности повторяет аксиому Плейфэра, поскольку мы, как и Прокл, допускаем, что существует хотя бы одна прямая — или улица (Шестая авеню) — параллельная данной (Пятой авеню). Это, вообще-то, еще требуется доказать, но Прокл интерпретировал одну из евклидовых теорем как гарантию этого факта. Примем это допущение и мы, и поглядим, можно ли, следуя логике Прокла, доказать аксиому в предложенной формулировке.

Чтобы доказать этот постулат, т. е. превратить его в теорему, необходимо продемонстрировать, что любая улица, проходящая через «Фри Пресс» и при этом не Шестая Авеню, непременно пересекает Пятую. Вроде бы это очевидно и следует из нашего повседневного опыта — именно поэтому такая улица и называется поперечной. Нам всего-то и надо, следовательно, доказать это без применения постулата параллельности. Начнем с того, что представим некую третью улицу, у которой лишь одно свойство: она прямая и проходит через «Фри Пресс». Назовем ее Бродвеем.

В своем доказательстве Прокл начал бы с того, что двинулся бы от «Фри Пресс» вдоль Бродвея к центру города. Вообразим улицу, идущую от того места Шестой авеню, где остановился Прокл, и перпендикулярную этой самой Шестой авеню. Назовем ее Николай-стрит, см. рисунок на следующей странице.

Николай-стрит, Бродвей и Шестая авеню образуют прямоугольный треугольник. По мере продвижения Прокла в центр города этот треугольник становится все больше.

Доказательство Прокла

Стороны этого треугольника, включая Николай-стрит, могут стать сколь угодно длинными. Отдельно отметим, что протяженность Николай-стрит постепенно сделается больше расстояния между Пятой и Шестой авеню. Следовательно, сказал бы Прокл, Бродвей пересечет Пятую авеню — что и требовалось доказать.

Доказательство это простое, но ложное. Для начала в нем есть малозаметное ошибочное использование концепции «все больше». Николай-стрит может, конечно, удлиняться дальше, но так и не стать длиннее одного квартала, как ряд чисел 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6…, который все отрастает, но так и не переваливает за единицу. Этот недостаток можно исправить. Как и Птолемей, Прокл сделал необоснованное допущение. Он применил свойство параллельных дорог, которое интуитивно зримо, но никак им не доказано. Каково же это допущение?

Ошибка Прокла — в том, что он применил формулировку «Пятая и Шестая авеню отстоят друг от друга». Вспомните наше предупреждение: «…если вам известно… что Пятая и Шестая авеню отстоят друг от друга на некоторое расстояние… выбросьте это все из головы». И хотя Прокл не уточняет, на каком именно расстоянии находятся эти две улицы, он утверждает, что это расстояние постоянно. Таков наш жизненный опыт в отношении параллельных прямых — и Пятой и Шестой авеню, но его никак нельзя математически доказать, не ссылаясь на постулат параллельности, ибо это он и есть.

В сходном тупике оказался и великий багдадский ученый IX века Сабит (Табит) ибн Курра. Его логику можно постичь, вообразив, как Сабит прогуливается по прямой вдоль Пятой авеню, держа мерный шест длиной в один нью-йоркский квартал перпендикулярно той же Пятой авеню. Идет Сабит вдоль Пятой авеню, а конец его мерного шеста какую описывает траекторию? Сабит утверждал, что эта траектория — прямая линия, допустим, Шестая авеню. Из этого допущения Сабит и «доказывал» постулат параллельности. Линия, описываемая дальним концом мерного шеста, — определенно некоторая кривая, но на каком основании можем мы утверждать, что она есть прямая линия? Выясняется, что единственным основанием для этого утверждения является — совершенно верно! — постулат параллельности. Лишь в евклидовом пространстве набор точек, равноудаленных от некоторой прямой, есть прямая. Сабит, таким образом, повторил ошибку Птолемея.

Рассуждения Сабита касаются глубоких аспектов самого понятия пространства. Евклидова система геометрии зависит от возможности двигать фигуры и накладывать их одну на другую. Именно так проверяется конгруэнтность, или эквивалентность, геометрических фигур. Вообразите, что перемещаете треугольник. Естественный способ произвести такое перемещение — взять каждую из трех его сторон, являющихся сегментом прямой линии, и сдвинуть на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Но если набор точек, равноудаленных от данной прямой, не есть прямая, стороны смещенного треугольника перестанут быть прямыми. В процессе движения фигура исказится. А может ли пространство действительно иметь такое свойство? К сожалению, вместо того, чтобы довести это рассуждение до чудесных мест, в которые оно вело, Сабит интерпретировал угрозу искажения как «доказательство», что его допущение о равноудаленности прямых обоснованно.

Вскоре после Сабита исламская поддержка наук иссякла. Один провинциальный ученый жаловался даже, что там, где он жил, узаконили убийство математиков. (Скорее всего, это произошло не от общего презрения к умникам, а оттого, что математики имели привычку изучать астрологию, а ее, так уж исторически сложилось, частенько связывали с черной магией и считали опасной, а не милой безделицей, как сейчас.)

Порядковый номер года по христианскому календарю почти удвоился, когда геометрические труды Сабита и его последователей, наконец, воскресли. Это случилось в 1663 году, когда английский математик Джон Валлис прочитал лекцию, в которой цитировал одного из преемников Сабита — Насира ад-Дина ат-Туси.

Валлис родился в Эшфорде, графство Кент, в 1616 году. Когда ему было пятнадцать, он застал брата за чтением книги по арифметике и сам сильно увлекся этим предметом. И математику не предал, хотя изучал богословие в кембриджском Эммануэл-Колледже, а в 1640 году был рукоположен в священники. На дворе стояли времена, обычно называемые Английской гражданской войной: между королем Карлом I и Парламентом происходили распри с религиозным подтекстом. Валлис преуспел в криптографии — разделе математики, связанном с расшифровкой сообщений; он помогал парламентариям. Говорят, за эти заслуги он и получил в 1649 году в Оксфорде Савилианскую кафедру геометрии, после того как его предшественника Питера Тёрнера сместили за роялистские взгляды. Как бы то ни было, Оксфорду такая замена пошла только на пользу.

Тёрнер всегда был просто-напросто дружком архиепископа кентерберийского и вечно описывал квадратуры в правильных политических кругах, но за всю жизнь не опубликовал ни одной математической работы. Валлис же стал ведущим английским математиком доньютоновской эпохи и повлиял на самого Ньютона. Ныне даже не-математики — особенно те, что разъезжают на известной марке дорогого автомобиля, — знакомы с хотя бы одним аспектом его трудов: Валлис ввел символ ∞, обозначающий бесконечность.

Валлис предложил преобразовать евклидову геометрию заменой ужасного постулата параллельности другой формулировкой, интуитивно понятной. Примерно такой:

Треугольник с любыми длинами любых сторон можно увеличивать и уменьшать как угодно, изменяя длины сторон, но углы при этом останутся неизменны.

Допустим, у нас есть треугольник, у которого все углы равны 60°, а стороны — единичной длины; можно предположить, что существует другой треугольник, у которого углы тоже равны 60°, но стороны при этом какие угодно: 10, 10, 10 или 1/10, 1/10, 1/10 или 10 000, 10 000, 10 000. Такие треугольники — с пропорционально меньшими или большими сторонами, но с равными соответствующими углами — называются подобными. Если принять аксиому Валлиса, тогда, за вычетом пары преодолимых технических затруднений, постулат параллельности легко доказуем с применением логики, похожей на Проклову. «Доказательство» Валлиса математиками так и не было принято, потому что оно есть, по сути, подмена одного постулата другим. Однако, если мы проследуем логике Валлиса в обратную сторону — придем к изумительному результату: если существует пространство, в котором постулат параллельности недействителен, то подобных треугольников не существует.

Ну и кому какое дело? А вот и нет: треугольники-то повсюду. Рассеките треугольник по диагонали — получите два треугольника. Уприте руку в бок — форма, образуемая при этом вашей рукой и боком, есть треугольник. В самом деле: хоть каждое тело и обладает уникальной формой, любое можно смоделировать при помощи сетки треугольников — с достаточной точностью; именно так устроена трехмерная компьютерная графика. А если подобных треугольников не существует, многие наши повседневные допущения не соответствуют действительности. Взгляните на симпатичный дамский костюм в каталоге одежды: вы ожидаете, что к вам прибудет экземпляр, подобный приведенному в каталоге, пусть даже и в десятки раз больше. Летите любимыми авиалиниями: вы предполагаете, что форма крыла, вполне пригодная для полета авиамоделей, имеет те же дивные свойства и у здоровенного самолета. Наймите архитектора, чтобы тот пристроил к вашему дому парочку дополнительных комнат: вы рассчитываете, что достраиваемые помещения соответствуют архитектурным чертежам. В неевклидовом пространстве этим ожиданиям никак не оправдаться. Ваши одежда, самолет и новая спальня претерпят искажения.

Быть может, такие странные пространства математически и существуют, но могут ли быть такие свойства у реального пространства? Мы бы ведь заметили, правда? Может, и нет. Отклонение в 10 % в форме вашей улыбки ваша мама, вероятно, заметит, а вот в 0,0000000001 % — скорее всего, нет. Неевклидовы пространства — почти евклидовы для маленьких фигур, а мы с вами живем в довольно маленьком углу Вселенной. Как и в квантовой теории, где законы физики принимают странные новые формы, лишь в мирах куда меньших, чем те, с которыми мы имеем дело ежедневно, может существовать искривленное пространство, но оно столь похоже на евклидово, что в масштабах обычной земной жизни мы не заметим разницу. И все-таки — как и в квантовой теории — последствия кривизны для физических теорий могут быть колоссальными.

К концу XVIII века, если бы математики взглянули на свои открытия по-другому, они бы заключили, что неевклидовы пространства существовать могут, а если так, у них могут быть кое-какие странные свойства. Однако вместо этого математики продолжили огорчаться из-за невозможности доказать, что эти странные свойства приводят к противоречиям, а значит, пространство — все-таки евклидово.

Следующие пятьдесят лет революция происходила тайно. Постепенно, за несколько столетий, были открыты новые виды пространств, но о них математическое сообщество либо умалчивало, либо их не замечало. До тех самых пор, пока ученые в середине XIX века не взялись разбираться с бумагами незадолго до этого почившего в бозе старика из немецкого Гёттингена, — тогда-то и открылись секреты неевклидова пространства. К тому времени большинство тех, кто открыл эти пространства, включая старика-немца, поумирало.

 

Глава 15. Наполеоновский герой

23 февраля 1855 года, Геттинген. Человек, возглавлявший атаку на Евклида, лежал в своей холодной постели, он был стар и каждый вздох давался ему с трудом. Его ослабевшее сердце едва толкало кровь по венам, а легкие переполнялись жидкостью. Карманные часы — тик-так, тик-так — отсчитывали время, что осталось ему на Земле. Но вот они остановились. Почти в тот же миг замерло и его сердце. Подобные символические детали обычно применяют лишь писатели.

Несколько дней спустя старика похоронили рядом с безымянной могилой его матери. После его смерти по всему дому обнаружилось немалое состояние, запрятанное по углам — в ящиках комода, в шкафчиках, в столе. Дом его был скромен, крошечный кабинет меблирован лишь столом, бюро и диваном, с одной лампой. Маленькая спальня не отапливалась.

Он провел большую часть жизни несчастным человеком, друзей у него было мало, а взглядов на жизнь он придерживался глубоко пессимистических. Десятки лет преподавал в университете, однако считал эту работу «обременительной и неблагодарной». Он чувствовал, что «мир, лишенный бессмертия, — бессмыслен», однако сделаться верующим так и не смог. Он удостоился множества почестей, но писал, что «горести превосходят радость стократ». Он оказался в сердце восстания против Евклида, однако не желал, чтобы об этом узнали. Для ученых-математиков — и тогда, и ныне — этот человек, вместе с Архимедом и Ньютоном, — один из величайших математиков мира.

Карл Фридрих Гаусс родился в немецком Брауншвейге 30 апреля 1777 года, через пятьдесят лет после смерти Ньютона. Семья его обитала в бедном квартале убогого селения через 150 лет после пика его благоденствия. Родители Гаусса принадлежали к той категории населения, которая с немецкой точностью именовалась «полугражданами». Мать — Доротеа — не владела грамотой, работала служанкой. Отец — Гебхард — брался за всякий плохо оплачиваемый рабский труд: копал канавы, клал кирпич, вел бухгалтерию местного похоронного общества.

Внимание: иногда, если о человеке говорят «честный, работящий», дело пахнет керосином. Возникает, знаете ли, такое ощущение, что добром эта характеристика не кончится. Он был человеком честным, работящим. Вот только сынка своего четырнадцать лет держал в чулане — связанным и с кляпом во рту… Предупредив вас, можем сказать вот что: Гебхард Гаусс был человеком честным, работящим.

О детстве Карла Гаусса сохранилось множество историй. Арифметикой он овладел едва ли не раньше, чем научился говорить. Воображение рисует малыша, тыкающего пальчиком в уличного торговца снедью и умоляющего мать: «Есть хочу! Дай!» — а когда желаемое приобретено, он безутешно плачет, потому что не знает, как сказать: «Тебя обсчитали на тридцать пять пфеннигов». Судя по всему, такая картинка недалека от реальности. Самая известная байка о даровании маленького Гаусса, описывает одну субботу — ребенку тогда было года три. Его отец подсчитывал оплату бригады работников. Вычисления заняли некоторое время, и Гебхард не заметил, что за ним наблюдает сын. Представим, что у Гебхарда был нормальный двух-трехлетний сын, которого звали, допустим, Николай. Вероятнее всего, Николай бы, к примеру, опрокинул стакан молока на отцовы расчеты и завопил бы: «Прости меня!» и «Хочу еще молока!» — более-менее на одном дыхании. Карл же сказал примерно следующее: «Тут ошибка в сложении. Правильно будет так…»

Ни Гебхард, ни Доротеа сына никак не натаскивали дополнительно, какое там — Карла вообще никто не учил арифметике. Представим, что Николай сидит в два часа пополуночи на постели и говорит вслух на древнеацтекском, будто он одержим — если не бесами, так уж точно ребенком старше десяти лет. Столь же «естественным» нам показалось бы и поведение Карла. Но его родители привыкли. Приблизительно тогда же Карл сам научился читать.

К сожалению, Гебхард не рвался пестовать талант отпрыска, наняв ему частного преподавателя из школы Монтессори. Оно и понятно: семья была бедная, а Мария Монтессори родится лишь через сто лет. И все-таки Гебхард мог бы найти способ дать сыну образование. Но вместо этого он приставлял малыша к проверке своих расчетов зарплат, а время от времени показывал его друзьям на потеху — устраивал эдакий цирк одного актера. У маленького Карла было плохо со зрением, и он иногда не мог прочитать столбик чисел, которые отец подсовывал ему для сложения. Карлу мешала застенчивость, он ничего не говорил и смирялся с поражением. Вскоре Гебхард стал отправлять Карла работать после обеда — сучить пряжу, чтобы сын поддерживал семейный бюджет.

В зрелые годы Гаусс к отцу с нескрываемым презрением, называя его «высокомерным, неотесанным грубияном». К счастью, у Карла было еще два родственника, и вот они-то ценили его дарование: мать и дядя Йоханн, брат Доротеи. Гебхард пренебрегал талантом сына и считал формальное образование бессмысленным, а Доротеа и Йоханн верили в дар Карла и противостояли Гебхарду во всем. Для Доротеи сын был радостью и гордостью с самого рождения. Много лет спустя Карл привел в свой скромный дом приятеля по колледжу — Вольфганга Бойяи, совсем не богатого, однако, так уж вышло, венгерского аристократа. Доротеа отвела Бойяи в сторонку и спросила его — что само по себе прогрессивно даже в наши дни, — действительно ли Карл настолько умен, как все о нем говорят, а если да, то куда это может его завести. Бойяи ответил, что Карлу суждено стать величайшим математиком Европы. Доротеа расплакалась.

Карл поступил в свою первую школу в семь лет. Школа эта совсем не смахивала на иезуитскую Ла-Флеш, в которую пришел восьмилетний Декарт и которая позднее прославилась. Напротив, по описаниям эта школа была «убогой тюрьмой» или даже «чертовой дырой». Убогой тюрьмой/чертовой дырой управлял тюремщик/черт/директор по фамилии Бюттнер, что в переводе с немецкого, видимо, означает «А ну делай, как я сказал, не то выпорю». В третьем классе Карлу наконец позволили изучать арифметику, которой он владел с двух лет.

На арифметических занятиях Бюттнер пробуждал интерес юнцов к математике, предлагая им складывать длинные столбцы чисел — до ста штук за раз. Бюттнер, судя по всему, считал, что сам он столь веселых потех не достоин, и поэтому давал ученикам такие числа, кои сам мог сложить без труда, применяя определенные формулы, но он был слишком любезен, чтобы делиться ими с классом.

Однажды Бюттнер поставил детям задачу сложить числа от 1 до 100. Не успел Бюттнер сформулировать задание, как его самый маленький ученик, Карл, сдал свою доску. За час до всех остальных. Когда подошло время проверять сделанное, Бюттнер обнаружил, что Карл единственный из полусотни учеников произвел вычисления безошибочно, и при этом на его доске не значились никакие промежуточные расчеты. Похоже, мальчик постиг формулу суммирования и вычислил ответ в уме.

Говорят, Гаусс открыл эту формулу, заметив, что происходит, если складывать не одно, а два множества чисел от 1 до 100. Далее можно устроить сложение так: складываем 100 и 1, 99 и 2, 98 и 3 и т. д. В итоге получается 100 выражений, каждое равно 101, а значит, сумма всех чисел от 1 до 100 должна быть равной половине результата умножения 100 на 101, или 5050. Это частный случай формулы, известной еще пифагорейцам. Они даже использовали ее в своем тайном обществе как пароль: сумма чисел от единицы до любого другого числа равна половине произведения этого любого (крайнего) числа на него же, увеличенного на единицу.

Бюттнер изумился. На расправу над разгильдяями он был скор, однако и дарование умел оценить по достоинству. Гаусс, начав со временем преподавать математику в колледже, никогда студентов не лупил, но отношение Бюттнера к гению и его презрение к недостатку оного, похоже, унаследовал. Годы спустя Карл напишет с отвращением о трех своих студентах-одногодках: «Один подготовлен очень средне, другой менее чем средне, а третьему не достает ни подготовки, ни способностей…» Этот его комментарий показывает отношение Гаусса к учительству вообще. Студенты же со своей стороны платили ему за презрение взаимностью.

Бюттнер на свои деньги выписал из Гамбурга самый передовой по тем временам учебник арифметики. Возможно, Гаусс наконец обрел наставника, в котором столь остро нуждался. Карл стремительно освоил книгу. К сожалению, она не вызвала у него никаких затруднений. Тогда-то Бюттнер, столь же искусный оратор, сколь и математик, заявил: «Я более ничему не могу его научить», — и сдался; наверное, чтобы вновь сосредоточиться на порке своих менее одаренных учеников, которые успели как-то заскучать. Девятилетний Карл приблизился еще на один шаг к карьере мозолистого трудяги и поедателя сосисок.

И все-таки Бюттнер не оставил гений Гаусса без внимания. Он приставил к мальчику своего одаренного семнадцатилетнего помощника — Йоханна Бартельса. У Йоханна была потрясающая работа: он изготавливал писчие перья и наставлял учеников Бюттнера, как ими пользоваться. Бюттнер знал, что за Бартельсом водится страсть к математике. Вскоре девяти— и семнадцатилетний уже учились вместе — совершенствовали доказательства, приведенные в учебниках, и помогали друг другу овладевать новыми понятиями. Прошло несколько лет. Гаусс стал подростком. Любой, у кого есть ребенок-подросток, кто знаком с подростками или кто им хоть раз был сам, знает: это означает проблемы. В случае Гаусса вопрос стоит так: чьи это проблемы?

Ныне подростковая протестность — это болтаться всю ночь невесть где с подружкой, у которой в языке штифт с бриллиантом. При жизни Гаусса пирсинг себе можно было справить исключительно на поле боя, но протестности против общественных нравов хватало будь здоров. Мощное интеллектуальное движение в Германии в те времена называлось «Sturm und Drang» — «Буря и натиск».

Какое бы немецкое общественное движение ни полюбило слово «буря», стоит держать ухо востро, но это конкретное возглавили Гете и Шиллер, а не Гитлер и Гиммлер. «Буря и натиск» боготворила гений личности и протест против установленных правил. Гаусса не принято считать адептом этого движения, но гением он был и действовал в этой связи своим уникальным способом: он не воевал ни с родителями, ни с политической системой. Он воевал с Евклидом.

В двенадцать лет Гаусс взялся критиковать евклидовы «Начала». Он сосредоточился, как и прочие до него, на постулате параллельности. Но критика Гаусса оказалась свежее и еретичнее. В отличие от своих предшественников, Гаусс не пытался ни нащупать более удобоваримую формулировку постулата, ни признать его необязательность путем доказательства через другие постулаты. Возможно ли, думал Гаусс, что пространство на самом деле искривлено?

К пятнадцати годам Гаусс стал первым математиком в истории, принявшим идею, что может существовать логически непротиворечивая геометрия, в которой постулат параллельности недействителен. Понятное дело, это еще требовалось доказать, и до создания такой новой геометрии путь предстоял неблизкий. Невзирая на дарование, Гауссу-подростку по-прежнему грозило стать очередным землекопом. К счастью для Гаусса и науки в целом, его друг Бартельс знал одного парня, который знал другого парня, который знал парня по имени Фердинанд, герцог Брауншвейгский.

Через Бартельса до Фердинанда дошли слухи о многообещающем молодом человеке с математическим даром. Герцог предложил оплатить ему обучение в колледже. И тут камнем преткновения стал отец Карла. Гебхард Гаусс, видимо, считал, что единственный путь в жизни человека — это копать канавы. Но Доротеа, неспособная прочесть ни одну из книг, которые хотело изучать ее чадо, встала за сына горой. Карлу позволили принять щедрое предложение. В пятнадцать лет он поступил в местную гимназию — приблизительный эквивалент нашей старшей школы. В 1795 году, в восемнадцать, его взяли в Гёттингенский университет.

Герцог и Гаусс сдружились. Герцог продолжал поддерживать Гаусса и после колледжа. Гаусс, наверное, догадывался, что вечно так продолжаться не может. Ходили слухи, что щедрость истощала казну герцога быстрее, чем хотелось бы, да и немолод он был — шестьдесят с лишним, а наследник его мог оказаться куда менее великодушным. Но так или иначе — последующие десять лет были для Гаусса интеллектуально самыми плодотворными.

В 1804 году он влюбился в добрую и приветливую барышню по имени Йоханна Остхофф. Под ее чарами Гаусс, который так часто производил впечатление высокомерного и абсолютно самовлюбленного человека, вдруг стал смиренен и самоуничижителен.

О Йоханне своему другу Бойяи он писал:

Уже три дня этот ангел, едва ль не слишком возвышенный для этой земли, — моя невеста. Я чрезвычайно счастлив… Главная черта ее — тихая преданная душа без единой капли горечи или кислоты. О, насколько же она лучше меня… Я никогда не смел и надеяться на такое блаженство. Я не красив, не галантен, мне ей нечего предложить, кроме честного сердца, исполненного преданной любви. Я уж отчаялся когда-нибудь обрести любовь [151] .

Карл и Йоханна поженились в 1805 году. На следующий год у них родился сын Йозеф, а в 1808 году — дочь Минна. Век их счастья оказался недолог.

Осенью 1806 года не болезнь, а рана от мушкета, полученная в сражении с Наполеоном, унесла жизнь герцога. Гаусс стоял у окна в своем доме в Гёттингене и смотрел, как едет на повозке его смертельно раненый друг и покровитель. По иронии судьбы, Наполеон не стал уничтожать родной город Гаусса — из-за того, что «здесь живет величайший математик всех времен».

Смерть герцога, естественно, принесла семье Гаусса финансовые затруднения. Но, как выяснилось, это было меньшее из зол. В последующие несколько лет умерли отец Карла и его заботливый дядюшка Йоханн. А потом, в 1809-м, Йоханна родила их третьего ребенка — Луиса. Роды Минны были трудны, а с рождением Луиса и мать, и младенец тяжко заболели. Через месяц после родов Йоханна скончалась. Вскоре после ее смерти почил и новорожденный. За краткое время жизнь Гаусса потрясала одна трагедия за другой. Но и это еще не все: Минне тоже суждено было умереть молодой.

Гаусс вскоре женился повторно и родил в новом браке еще троих детей. Но для него после смерти Йоханны, похоже, не осталось поводов для радости. Он писал Бойяи: «Это правда — в моей жизни много было того, что чтимо в этом мире. Но поверьте мне, дорогой друг мой, трагедия прошивает мою жизнь красною лентой…» Незадолго до своей смерти в 1927 году один из внуков Карла обнаружил среди писем деда одно, залитое слезами. Поверх этих клякс дед писал:

Одинокий, сную я меж счастливых людей, окружающих меня. И если хоть на мгновенья заставляют они меня забыть о моей печали, она возвращается с удвоенной силой… Даже ясное небо усугубляет мою грусть…

 

Глава 16. Падение пятого постулата

Гаусса не стали бы считать светилом математики, не повлияй он так глубоко на многие ее области. И тем не менее иногда Гаусса воспринимают как фигуру переходную — скорее как ученого, завершившего разработки, начатые Ньютоном, а не основоположника работ грядущих поколений. В части геометрии пространства это совсем не так: его усилия обеспечили математикам и физикам поле для работы на сто лет вперед. И лишь одно мешало революции произойти: Гаусс хранил свою работу в тайне.

Когда Гаусс в 1795 году стал гёттингенским студентом, он живо заинтересовался вопросом постулата параллельности. Один из преподавателей Гаусса — Абрахам Кёстнер — увлекался на досуге коллекционированием литературы по истории постулата. У Кёстнера даже был студент Георг Клюгель, написавший диссертацию — анализ двадцати восьми неудачных попыток доказать постулат. И все же ни Кёстнер, ни кто другой не готовы были к тому, что подозревал Гаусс: что пятый постулат может быть недействителен. Кёстнер даже говаривал, что лишь сумасшедший стал бы сомневаться в состоятельности постулата. Гаусс держал свое мнение при себе, хотя, как выяснилось, записывал соображения в свой научный журнал, который обнаружили через сорок три года после смерти ученого. Позднее Гаусс пренебрежительно отозвался о Кёстнере, баловавшемся писательством: «Ведущий математик среди поэтов, ведущий поэт среди математиков».

Между 1813 и 1816 годами, уже преподавая математическую астрономию в Гёттингене, Гаусс наконец произвел решительный прорыв, которого ждали со времен Евклида: он составил уравнения, описывающие части треугольника в новом, неевклидовом, пространстве, чью структуру мы теперь называем гиперболической геометрией. К 1824 году Гаусс, похоже, разработал всю теорию целиком. 6 ноября того же года Гаусс написал Ф. А. Тауринусу — юристу немалого ума, развлекавшемуся математикой: «Допущение, что сумма трех углов меньше 180°, приводит к особой геометрии, довольно отличной от нашей, что совершенно последовательно, и я развил ее вполне удовлетворительно…» Гаусс эту геометрию никогда не обнародовал и настаивал, чтобы ни Тауринус, ни кто иной не предавали его открытия огласке. Почему? Церкви Гаусс не боялся, он опасался ее пережитков — светских философов.

Во дни Гаусса пути науки и философии еще не окончательно разошлись. Физику знали не как «физику», а как «натурфилософию». Научное мышление уже не карали смертью, но соображения на основе интуиции или веры все равно частенько считали в равной мере осмысленными. Одно модное поветрие особенно веселило Гаусса — «столоверчение»: группа во всем остальном разумных людей усаживалась вокруг стола, все клали на него руки. Примерно через полчаса стол, видимо, заскучав, начинал двигаться или вращаться. Это движение означало, по всей видимости, что-то вроде спиритического послания мертвых. Какие такие послания призраки отправляли живым, не вполне понятно, зато вывод очевиден: мертвые люди предпочитают ставить столы к дальней стене. Представляется, как компания бородатых, облаченных в черные костюмы судейских, семенит вместе со столом, изо всех сил пытаясь удержать руки на заданных местах и увязать перемещение с оккультным анимическим магнетизмом, нежели с приложением собственных сил. В современном Гауссу мире такие явления могли казаться разумными, а вот мысль о том, что Евклид ошибался, — нет.

* * *

Гаусс повидал слишком много ученых, втянутых в изнурительные распри с недоучками, чтобы влезать в нечто подобное самому. Валлис, к примеру, чьи работы Гаусс ценил, оказался вовлечен в ожесточенную дискуссию с английским философом Томасом Гоббсом о том, как лучше всего считать площадь круга. Гоббс и Валлис более двадцати лет публично обменивались оскорблениями, потратив уйму бесценного времени на сочинение памфлетов под названиями «Приметы абсурдной геометрии, деревенского наречия и др. у доктора Валлиса».

Философ, чьих последователей Гаусс боялся более всего, был Иммануил Кант, скончавшийся в 1804 году. Физически Кант был Тулуз-Лотреком философов: сутулый, едва ли пяти футов ростом, с сильно деформированной грудной клеткой. В 1740 году он поступил в университет Кёнингсберга на теологию, но обнаружил в себе влечение к математике и физике. Окончив университет, он принялся публиковать работы по философии и стал частным преподавателем и признанным лектором. Около 1770 года он взялся за работу, впоследствии ставшую его самой знаменитой книгой, — за «Критику чистого разума», изданную в 1781-м. Кант отмечал, что геометры его дней обращались в своих «доказательствах» к здравому смыслу и графическим изображениям, и считал, что от претензий на строгость следует отказаться, а вместо этого полагаться на интуицию. Гаусс придерживался противоположного мнения: строгость необходима, а большинство математиков — некомпетентны.

В «Критике чистого разума» Кант называл евклидово пространство «неизбежной необходимостью мысли». Гаусс не отметал идеи Канта прямо с порога. Он с ними сначала ознакомился, а потом их отмел. Более того, говорят, Гаусс, в попытке постичь Канта, прочел «Критику чистого разума» пять раз, а это, знаете ли, немалый труд для человека, освоившего русский и греческий с меньшим усилием, чем большинству из нас требуется для отыскания Χωριάτικη Σαλάτα в афинском меню. Внутренняя борьба Гаусса становится понятнее, если представить, с какой ясностью Кант формулировал мысли о различии между аналитическим и синтетическим суждениями:

Во всех суждениях, в которых мыслится отношение субъекта к предикату (я имею в виду только утвердительные суждения, так как вслед за ними применить сказанное к отрицательным суждениям нетрудно), это отношение может быть двояким. Или предикат В принадлежит субъекту А как нечто содержащееся (в скрытом виде) в этом понятии А, или же В целиком находится вне понятия А, хотя и связано с ним. В первом случае я называю суждение аналитическим, а во втором — синтетическим [164] .

В наши дни математики и физики нимало не беспокоятся, что об их теориях скажут философы. Знаменитый американский физик Ричард Фейнман на вопрос, что он думает о философии, дал емкий ответ, состоящий из трех букв: первая — «х», две остальные — характерное окончание «-ня». Но Гаусс воспринял работу Канта всерьез. Он писал, что различие между аналитической и синтетической мыслью, приведенное выше, «таково, что либо вязнет в тривиальности, либо ложно». Но мыслями этими — так же, как и своими теориями о неевклидовом пространстве, — он делился лишь с теми, кому доверял. Причуда истории, из-за которой вскинуто было немало бровей: Гаусс-то своих революционных работ 1815–1824 годов не публиковал — в отличие от двух других его современников.

* * *

23 ноября 1823 года Йоханн (Янош) Бойяи, сын старинного друга Карла Гаусса, Вольфганга Бойяи, написал отцу, что «создал новый, иной мир из ничего», имея в виду свое открытие неевклидова пространства. В тот же год в российском городе Казань Николай Иванович Лобачевский в своем неизданном учебнике геометрии осмыслил последствия нарушения пятого постулата. Лобачевский учился у Йоханна Бартельса, в те времена служившего профессором в Казани. И Вольфганг Бойяи, и Бартельс давно интересовались неевклидовым пространством и много обсуждали с Гауссом его соображения на этот счет.

Совпадение? Гений Гаусс открывает великую теорию и рад обсудить ее с друзьями, но отказывается ее публиковать. Вскоре после этого друзья и родственники этих друзей вдруг, откуда ни возьмись, выходят и заявляют, что они сделали точно такое же великое открытие. Это стечение обстоятельств породило как минимум одну песенку о Лобачевском — с обвинительным текстом: «Ворец идей, ты не своди очей с чужих затей…» Однако большинство историков в наши дни считает, что передался скорее дух, нежели конкретика трудов Гаусса, а Бойяи и Лобачевский не ведали о работе друг друга — во всяком случае, в свое время.

К сожалению, не ведал никто. Ключевых для науки высоколобых математиков никто не слушал. Лобачевский свою работу опубликовал, а толку? Она вышла в никому не известном русском журнале «Казанский вестник». А Бойяи похоронил свой труд в приложении к одной из отцовых книг под названием «Tentamen» («Опыт»). Четырнадцать с чем-то лет спустя Гаусс наткнулся на статью Лобачевского, а Вольфганг написал ему о работе сына, но Гаусс по-прежнему не собирался издавать свои труды — он не желал оказаться в эпицентре скандала. Написал Бойяи вежливое поздравительное письмо (отметив, что сам уже достиг сходных результатов) и великодушно выдвинул Лобачевского в члены-корреспонденты Королевского научного общества Гёттингена (и в 1842 году того немедленно избрали).

Янош Бойяи не обнародовал более ни единой математической работы. Лобачевский же стал успешным функционером, а впоследствии — и ректором Казанского университета. Бойяи и Лобачевский, быть может, так бы и растаяли вдали, если бы не связь с Гауссом. Как ни парадоксально, однако именно смерть Гаусса в итоге привела к неевклидовой революции.

Гаусс крайне педантично относился к хронике событий, связанных с его персоной. Он увлеченно собирал некоторые странные данные — например, продолжительности жизни умерших друзей в днях, или число шагов от обсерватории, в которой он трудился, до различных мест, которые ему нравилось навещать. Он и работу свою датировал пофазно. После его смерти ученики набросились на его записи и корреспонденцию. Там они обнаружили его труды, посвященные неевклидову пространству, а также статьи Бойяи и Лобачевского. В 1867 году их включили во второе издание влиятельного сборника Рихарда Бальцера «Elemente der Mathematik». Совсем скоро они стали стандартными опорными ссылками для тех, кто работал над новой геометрией.

В 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами упокоил раз и навсегда тему доказательства постулата параллельности: он доказал, что евклидова геометрия образует непротиворечивую математическую структуру, и так же ведут себя новооткрытые неевклидовы пространства. Непротиворечива ли евклидова геометрия? Мы еще увидим, что это пока ни доказано, ни опровергнуто.

 

Глава 17. Блуждания в гиперболическом пространстве

Что же за птица это неевклидово пространство? Гиперболическое пространство, открытое Гауссом, Бойяи и Лобачевским получается, если заменить постулат параллельности допущением, что для любой данной прямой есть не одна, а несколько параллельных прямых, проведенных через ту или иную точку, не лежащую на данной прямой. Одним из следствий этого, писал Гаусс Тауринусу, является то, что сумма всех углов в треугольнике всегда меньше 180° на величину, которую Гаусс назвал угловым дефектом. На другое следствие наткнулся Валлис: подобных треугольников в таком пространстве не существует. Эти два следствия связаны между собой, поскольку угловой дефект зависит от размеров треугольника. Чем больше треугольник, тем больше угловой дефект, а маленькие треугольники — более евклидовы. В гиперболическом пространстве к евклидовым формам можно приблизиться, но достигнуть их нельзя — в точности как вы не достигнете скорости света или своего идеального веса.

Вроде бы малое изменение простой аксиомы — постулата параллельности, однако его хватило, чтобы породить волну, прокатившуюся по всему корпусу евклидовых теорем и поменявшую каждую, что описывала форму пространства. Словно Гаусс вынул стекло из евклидова окна и заменил его на искажающую линзу.

Ни Гауссу, ни Лобачевскому, ни Бойяи не удалось выработать простой способ наглядно иллюстрировать этот новый вид пространства. Это получилось у Эудженио Бельтрами и — попроще — у Анри Пуанкаре, математика, физика, философа и двоюродного брата будущего президента Франции Раймона. И тогда, и ныне Анри — менее известный Пуанкаре, но, как и его кузен, умел ввернуть словцо. «Математиками рождаются, а не становятся», — писал Пуанкаре. Так родилось это клише, и Анри прочно закрепил за собой место в народном сознании. А вот труд Анри 1880 года куда менее известен вне академических кругов — в этой работе он определил четкую модель гиперболического пространства.

Создавая свою модель, Пуанкаре заменил базовые элементы типа прямой и плоскости вещественными объектами, после чего перевел аксиомы гиперболической геометрии в эти новые термины. Допустимо переводить неопределенные термины пространства как кривые или поверхности — или даже как разновидности еды, если при этом смысл, который им сообщается применимыми к ним постулатами, хорошенько определен и непротиворечив. Можно смоделировать неевклидову плоскость как поверхность зебры, считать волосяные луковицы на ее шкуре точками, а полосы — линиями, если нам так хочется, покуда такой перевод не противоречит аксиомам. Например, вспомним первый постулат Евклида применительно к пространству зебры:

1. От всякой волосяной луковицы до всякой волосяной луковицы можно провести кусок полосы.

Этот постулат в пространстве зебры недействителен: у полос зебры есть ширина, и полосы эти размещаются на животном в строго определенном направлении. Между двумя волосяными луковицами, расположенными вдоль какой-нибудь полосы, но смещенными от нее в стороны, не получится провести кусок полосы. Зебр в модели Пуанкаре не было. Зато она была похожа на блин.

Вот как устроена Вселенная Пуанкаре: вместо бесконечной плоскости — конечный диск, вроде блина, но бесконечно тонкий и с идеальной круговой кромкой. «Точки» — такие штуки, которые считались точками со времен Декарта: местоположения, вроде кристалликов мелкого белого сахара. Линии Пуанкаре — вроде изогнутых бурых следов от сковородки. Если же говорить технически, эти линии — «любые дуги окружностей, пересекающие границу диска под прямыми углами». Чтобы не путать их с линиями, которые нам подсказывает интуиция, станем называть их линиями Пуанкаре.

Собрав эту физическую картинку, Пуанкаре должен был придать смысл применимым к ней геометрическим понятиям. Одним из важнейших оказалась конгруэнтность — то самое докучливое свойство фигур, которое Евклид предписал нам проверять путем наложения. В своем четвертом «общем замечании» Евклид писал:

4. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

Как мы уже говорили, возможность перемещать фигуры в пространстве, не искажая их, нам гарантирована лишь при условии принятия евклидовой формы постулата параллельности. Поэтому применение общего замечания № 4 в рецепте конгруэнтности — ни-ни в неевклидовом пространстве. Решение Пуанкаре — интерпретировать конгруэнтность путем определения системы измерения длин и углов. Две фигуры в таком случае окажутся конгруэнтными, если длины их сторон и углы между ними совпадут. Вроде очевидно, да? Но все не так-то просто.

Определение способа измерения углов оказалось вполне лобовым. Пуанкаре определил угол между двумя линиями Пуанкаре как угол между их касательными в точке пересечения этих линий. А вот чтобы ввести определение длин — или расстояний, — Пуанкаре пришлось попотеть. С постижением этого понятия могут возникнуть трудности, поскольку Пуанкаре запихнул бесконечную плоскость в конечную область. Например, вспомним второй постулат:

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

Очевидно, применение обычного определения расстояний к блину делает постулат недействительным. Но Пуанкаре переопределил расстояние: новое пространство сжимается по мере приближения к его краям, и именно так конечная область превращается в бесконечную. На первый взгляд все просто, но Пуанкаре не мог просто взять и определить расстояние по своему произволу — чтобы стать приемлемым, его определение должно было удовлетворять многим требованиям. Например, расстояние между двумя точками должно быть всегда больше нуля. Кроме того, в точном математическом выражении, выбранном Пуанкаре, линия Пуанкаре должна была соединять любые две точки по кратчайшей траектории, возможной между ними (такие линии называются геодезическими ): в точности как обычные линии есть кратчайший путь между двумя точками в евклидовом пространстве.

Если вдуматься во все фундаментальные геометрические понятия, необходимые для определения гиперболического пространства, выяснится, что модель Пуанкаре приводит к непротиворечивому определению каждого. Мы можем проверить остальные, но интереснее всего рассмотреть именно постулат параллельности. Гиперболическая версия его, данная в модели Пуанкаре в форме аксиомы Плейфэра, выглядит так:

В плоскости через точку, не лежащую на данной линии Пуанкаре, можно провести множество других линий Пуанкаре, не пересекающих данную.

Рисунок на странице 179 иллюстрирует, как это выглядит.

Модель Пуанкаре для гиперболического пространства — лаборатория, где легко разобраться с кое-какими необычными теоремами и свойствами, которые математики с таким трудом пытались обнаружить. Предположим, например, что надо изобразить прямоугольник, не существующий в неевклидовом пространстве. Начертим для начала линию Пуанкаре в качестве базовой. Затем — еще два отрезка линий Пуанкаре, по одну и ту же сторону от базовой и перпендикулярные ей. Наконец соединим два отрезка третьим так, чтобы он, как и базовая линия, был перпендикулярен этим двум отрезкам. Это невозможно. В мире Пуанкаре не бывает прямоугольников.

Чего же Пуанкаре добился всем этим? Воображение рисует нескольких очкастых математиков Парижского университета: они по окончании семинара о модели Пуанкаре из вежливости аплодируют умнику Анри. Быть может, они даже приглашают Пуанкаре после его лекции на абсент или блинчик, на котором потом рисуют вареньем прямоугольники. Но зачем кому бы то ни было через сто с лишним лет писать книгу обо всем этом? Или вам — умному и очень занятому читателю — разбираться в ней?

Соль шутки вот в чем: модель Пуанкаре — не просто модель гиперболического пространства. Это и есть гиперболическое пространство (в двух измерениях). На языке математики это означает, что ученые доказали: все мыслимые математические описания гиперболической плоскости — изоморфны, или, говоря нашим с вами языком, одинаковы. Если наше пространство гиперболическое, оно поведет себя в точности как модель Пуанкаре (но только в трех измерениях). Перефразируя диснеевскую песенку, он вообще-то мал, этот блин.

Параллельные линии в гиперболическом и евклидовом пространствах

* * *

Через пару десятилетий после открытия гиперболического была открыта еще одна разновидность неевклидова пространства — эллиптическое. Оно получается при другом нарушении постулата параллельности: не существует никаких параллельных линий (т. е. все линии на плоскости должны пересекаться). В двух измерениях этот тип пространства был известен и в другом контексте изучен еще греками, а потом и Гауссом — но ни те, ни другой так и не прониклись важностью этого примера эллиптического пространства. Оно и понятно: в пределах евклидовой системы было доказано, что даже с допущениями альтернативных формулировок постулата параллельности эллиптических пространств не существует. В конце концов загвоздка заключалась не в самих эллиптических пространствах, а в аксиоматической структуре Евклида.

 

Глава 18. Букашки, звать их «род людской»

[175]

Десять лет, начиная с 1816 года, Гаусс провел по большей части вдали от дома — руководил огромной работой по изучению местностей в Германии; ныне мы называем такие работы геодезической съемкой. Перед исследователями стояла задача измерения расстояний между городами и другими точками на местности и создания соответствующих карт. Это упражнение не так просто, как может показаться, — по нескольким причинам.

Первая трудность, которую пришлось преодолевать Гауссу, заключалась в ограниченных возможностях геодезических инструментов. Прямые линии приходилось строить из коротких отрезков, всякий раз — с определенной погрешностью измерения. И погрешности эти очень быстро накапливались. Гаусс с этой неувязкой взялся справляться не как любой нормальный исследователь, вроде автора этой книги, т. е. не стал ожесточенно рвать на себе волосы и время от времени орать на собственных детей, а тем временем по чуть-чуть приращивать точность измерения и затем публиковать результат в таких формулировках, чтобы звучало как можно солиднее. Нет, Гаусс разработал ключевую для современной теории вероятности и статистики идею — теорему, согласно которой случайные погрешности распределяются относительно среднего значения в виде колоколообразной кривой.

Разобравшись с задачей погрешностей, Гаусс взялся за следующую: как собрать двухмерную карту из данных о трехмерном пространстве, в котором поверхности имеют разную высоту и кривизну. Основная трудность заключается в том, что поверхность Земли имеет не ту же геометрию, что евклидова плоскость, — такова математическая версия бытового затруднения, какое испытывает любой родитель, когда-либо пытавшийся завернуть мяч в подарочную бумагу. Если вы как родитель эту проблему преодолеваете, нарезав бумагу маленькими квадратами и обклеив ими мяч, значит, вы применяете Гауссов подход — с поправкой на технические нюансы. Эти самые нюансы Гаусс опубликовал в статье 1827 года. С тех пор вокруг этой статьи образовалось целое отдельное направление математики — дифференциальная геометрия.

Дифференциальная геометрия — теория искривленных поверхности, в которой поверхность описывают методом координат, изобретенных Декартом, после чего анализируют при помощи дифференциального счисления. Вроде вполне частная теория, применимая, допустим, к кофейным чашкам, крыльям самолетов или к вашему носу — но не к устройству нашей Вселенной. У Гаусса было иное мнение. В статье он отразил два своих главных озарения. Перво-наперво заявил, что саму по себе поверхность можно считать пространством. Можно, иными словами, считать пространством поверхность Земли, чем она в бытовом смысле и являлась — до эпохи воздухоплавания, во всяком случае. Вероятно, Блейк не имел всего этого в виду, когда сочинил строку «Увидеть мир в одной песчинке», но в итоге поэзия сомкнулась с математикой.

Еще одно революционное открытие Гаусса: кривизну заданного пространства можно изучить исключительно в его пределах, без оглядки на большее пространство, которое может содержать, а может и не содержать заданного. Технически говоря, геометрия искривленного пространства может быть изучена без учета евклидова пространства большей размерности. Мысль о том, что пространство может «искривляться» само по себе, а не во что-то еще, позднее оказалась необходимой для общей теории относительности Эйнштейна. В конечном счете, коль скоро мы не можем выбраться за пределы нашей Вселенной и взглянуть на ограниченное трехмерное пространство, в котором обитаем, со стороны, лишь такая теорема оставляет нам надежду на определение кривизны нашего мира.

Чтобы понять, как нам определить кривизну вне зависимости от пространства снаружи, представим Алексея и Николая двухмерными существами в цивилизации, жестко привязанной к поверхности Земли. Насколько их опыт отличается от нашего — за вычетом воздушных перелетов, покорений Эвереста и того факта, что рекорд по прыжкам в высоту у этой цивилизации — ноль?

Вот, к примеру, эти самые прыжки в высоту. Дело не в том, что Алексей никак не может оторваться от земли, — для него не существует самого понятия такого отрыва. И нам, «трехмерникам», нечего тут задаваться. В эту самую минуту на какой-нибудь гулянке у четырехмерных существ одна-другая умиленная душа, быть может, потягивает «маргариту» и постигает нашу с вами ограниченность. Раса ползучих букашек, мы и помыслить не можем о прыжках «в высоту» в их четырехмерном пространстве.

Также требует пояснений и неспособность Алексея и Николая влезть на Эверест. Ясное дело, добраться до вершины они могут — это же все равно часть земной поверхности. Но у них не будет представления о перемене высоты. Алексей выходит из лагеря у подножия и движется к вершине, а то, что нам известно как земное тяготение, будет для него загадочной силой, которая тянет его назад к стоянке, словно горный пик наделен странным свойством отталкивания.

Помимо этой загадочной силы, Алексей и Николай переживают искривление геометрии пространства. К примеру, любой треугольник, в котором содержится гора, включает в себя до странности большое пространство. Оно и понятно: поверхности горы больше площади ее основания, но Алексей и Николай воспримут это как искажение пространства.

Алексею и Николаю невдомек, что существуют палочки, воткнутые в песок; они не могут наблюдать никакого Солнца, отбрасывающего тени от этих палочек. Лодка, исчезающая за горизонтом, для них — плоская, у нее ни корпуса, ни мачт. Все подсказки о том, что наша планета круглая, подмеченные древними, исчезнут, а Николаю и Алексею будет известны лишь расстояния и отношения между точками в их пространстве. Без намеков из третьего измерения Евклид и сам заключил бы, что это пространство — неевклидово.

Треугольники на глобусе

Представим древнего ученого по имени Неевклида. Сидит она себе в своем кабинете в академии и приходит к тем же выводам, что и наш старик Евклид. Но прежде чем обнародовать свои «Начала», она желает проверить, приложимы ли ее теории к пространству за пределами стен академии, т. е. к широкомасштабной геометрии пространства. Ее ученик Алексей приносит ей карту из библиотеки — см. рисунок на стр. 185. На карте видно, что габонский Либревиль располагается на нулевой широте, 9° ВД в вершине прямоугольного треугольника, две другие вершины которого приблизительно приходятся на нигерийский Кано (24°) и угандийскую Кампалу. Одна из основных теорем евклидовой геометрии — теорема Пифагора. Неевклида просит Алексея произвести расчеты и проверить ее. Алексей докладывает:

Сумма квадратов катетов: 3 444 500

Квадрат гипотенузы: 3 404 025

Неевклида, взглянув на результаты, выговаривает Алексею: нерадивый ты счетовод. Однако, проделав повторный расчет собственноручно, Неевклида обнаруживает, что Алексей прав. Тогда Неевклида применяет другой оборонительный прием теоретика: она списывает расхождения в расчетах на экспериментальную ошибку. Отправляет в библиотеку другого своего ученика, Николая, чтобы он собрал больше данных. Николай возвращается с координатами вершин треугольника пообширнее: Либервиль, итальянский Кальяри (39° CШ) и колумбийская Лерида (71° ЗД). Этот треугольник тоже отображен на карте. Николай вычисляет:

Сумма квадратов катетов: 38 264 845

Квадрат гипотенузы: 32 455 809

Неевклиде все это не нравится. Расхождение стало еще больше. Как мог ее коллега Непифагор так сильно ошибаться? Как так вышло, что Неевклида, померив уйму треугольников, ни разу не заметила этой нестыковки? «Те треугольники, — вмешивается Алексей, — были крошечными, а эти — громадные». Николай замечает, что чем больше треугольник, тем больше расхождение. Он выдвигает предположение, что все треугольники, которые им приходилось изучать, они измеряли в их крошечной лаборатории или в городе, и расхождения оказывались столь малы, что остались незамеченными.

Неевклида решает потратить кое-какие грантовые деньги и отправить Алексея и Николая в экспедицию в Нью-Йорк. Там по ее поручению, на 40°45’ СШ и 74°00’ ЗД, Николаю предстоит пройти расстояние в десять минут долготы на запад и оказаться примерно в центре Ньюарка. Николаю же поручено пройти десять минут широты на север — он окажется таким образом в Нью-Милфорде, штат Нью-Джерси. С хорошей точностью эти три точки образуют прямоугольный треугольник со следующими длинами сторон: Нью-Йорк — Нью-арк 8,73 мили; Нью-Йорк — Нью-Милфорд 11,53 мили; Нью-Милфорд — Ньюарк, 14,46 мили.

Неевклида проверяет выполнение теоремы Пифагора:

Сумма квадратов катетов: 209

Квадрат гипотенузы: 209

Для достаточно маленьких треугольников все получается. У Неевклиды в голове уже созревают зачатки неевклидовой геометрии, и она отправляет своих учеников в еще одну, последнюю экспедицию.

На сей раз Алексею и Николаю предстоит пройти по морю от Нью-Йорка до Мадрида (40° CШ, 04° ВД), т. е. практически строго на восток. Этот путь им нужно проделать не единократно, всякий раз слегка меняя маршрут и измеряя точную протяженность пути. Их задача, как некогда у Колумба, — выявить кратчайшее расстояние между этими заданными точками, или обнаружить геодезическую прямую. Работа эта — на несколько лет, но статья, которую потом можно опубликовать, обещает настоящий фурор.

Если плыть по прямой от Нью-Йорка до Мадрида, т. е. строго вдоль линии широты, выйдет ли маршрут кратчайшим? Нет. Оказывается, нужно плыть вдоль странной кривой, обозначенной на карте, сначала направляясь на северо-восток, а потом постепенно сворачивая на юг, покуда курс не выровняется на юго-восток. Той же траекторией катится шар для боулинга, если ничто ему не мешает, и мигрируют некоторые гениальные птицы, например, американские ржанки или таитийские кроншнепы. Так же натягивали от точки к точке веревку и двухмерные египетские умельцы-строители.

Все это легко понять, если представить, как выглядит Земля из космоса. «Строго на восток» в странствиях по глобусу не реализуется, поскольку направления «север» и «восток» — не фиксированные. При перемещении из Нью-Йорка в Мадрид направления, называемые «на восток» или «на север», вращаются в трехмерном пространстве. Кратчайшая траектория между Нью-Йорком и Мадридом — или между любыми другими двумя точками на земном шаре — кривая, называемая большим кругом (это круг на земном шаре, центр которого совпадает с центром Земли; это самые большие окружности, какие можно изобразить на земной поверхности, отсюда и название). Большие круги — аналоги линий Пуанкаре во вселенной Пуанкаре, линии, которые мы по привычке называем прямыми, и они выполняют роль прямых в евклидовых аксиомах. Линии широт — большие круги, равно как и экватор, но лишь он — кривая с постоянной широтой (центры всех остальных кругов с постоянной широтой располагаются выше или ниже по оси Земли).

Нью-Йорк — Мадрид

Вид из космоса местным вроде Неевклиды не ведом. Для нее «центра Земли» не существует, а также не существует «космоса», и Гаусс доказал, что такое возможно. Неевклида, воодушевленная результатами Алексея и Николая, заключила бы, что пространство, в котором она живет, — неевклидово: не гиперболическое, а похожее на поверхность шара, т. е. эллиптическое.

В неевклидовом пространстве все большие круги пересекаются. Суммы углов в треугольнике всегда больше 180° (в гиперболическом пространстве — меньше). В треугольнике, образованном экватором и двумя линиями долгот, соединяющих экватор с Северным полюсом, к примеру, сумма углов составляет 270°. Как и в случае гиперболического, это пространство на малых расстояниях тоже смахивает на евклидово, оттого отклонения так долго и не замечали. Например, превышение суммы углов в треугольнике привычных 180° уменьшается по мере уменьшения самих треугольников.

Геометрия эллиптического пространства, называемая сферической, хорошо известна еще с античных времен. Большие круги еще тогда знали как геодезические. Геометрические формулы, описывающие части сферических треугольников, — уже обнаружены и применялись в картографии. Но эллиптические пространства не вписывались в евклидову парадигму, и открытие эллиптичности пространства земного шара досталось одному из учеников Гаусса — Георгу Фридриху Бернхарду Риману. Он совершил это открытие, когда жизнь Гаусса клонилось к закату, но именно оно, как никакое иное, в конце концов привело к революции искривленного пространства.

 

Глава 19. Повесть о двух инопланетянах

Георг Риман родился в 1826 году в маленькой деревне Брезеленц, неподалеку от мест, где появился на свет Гаусс. В семье Риманов было шестеро детей. Двум его сестрам, да и ему самому, выпала судьба умереть молодыми. Его мать скончалась, когда он был еще мал. До десяти лет его обучал дома отец, лютеранский пастор. Риман больше всего любил историю, особенно — польского национального движения. Серьезный юный Георг явно не производил впечатления души компании — он ею и не был. Напротив — выказывал патологическую застенчивость и скромность. И гениальность. Приверженцы конспирологических теорий предположили бы, имея в виду Гаусса и Римана, что в начале XIX века под немецким Гамбургом некая высшая инопланетная раса основала колонию и подбросила двум нищим местным семьям гениальных младенцев. И хотя никаких анекдотов о гениальном детстве Римана, в отличие от детства Гаусса, не сохранилось, похоже, Риман уже тогда был чуточку умнее, чем положено всем нам.

Когда Риману исполнилось девятнадцать, директор его гимназии, человек по имени Шмальфус, дал ему кое-что занимательное — книгу Адриена Мари Лежандра «Théorie des nombres» («Теория чисел»), что математически эквивалентно выдаче юному Риману штанги для установления мирового рекорда по жиму от груди стоя. Штанга эта весила 859 страниц — обширных, плотных, набитых от края до края абстрактной теорией. Грыжа гарантирована: лишь чемпион мог бы справиться с таким весом — при этом обильно потея и кряхтя. Для Римана же эта книга оказалась суперлегким весом, судя по всему, — захватывающим чтением, не требующим никакой сосредоточенности. Он вернул том через шесть дней с комментарием вроде: «Приятно было почитать». Через несколько месяцев Риман сдал экзамен по содержанию книги — с отличным результатом. Позднее Георг внесет свой фундаментальный вклад в теорию чисел.

В 1846 году все еще девятнадцатилетний Риман поступил в Университет Гёттингена, где преподавал Гаусс. Риман начал студентом-теологом — вероятно, рассчитывая молиться за угнетенных поляков. Однако вскоре переключился на предмет своей первой любви — математику. Недолго побыв в Берлине, в 1849 году Риман вернулся в Гёттинген, чтобы завершить работу над диссертацией. В 1851 году он сдал свой труд на суд в том числе и Гаусса, который к тому времени уже стал легендой и был столь же легендарно строг со своими студентами.

Реакция Гаусса на работу Римана оказалась такой, какую он демонстрировал в редких случаях, когда его впечатляли чьи-то математические успехи. Гаусс писал, что Риман выказал «творческий, деятельный, поистине математический ум и… великолепно плодотворное воображение», а также добавил, что он, Гаусс, произвел сходную работу, но не опубликовал. (Посмертное исследование трудов Гаусса показало, что все подобные его заявления ложью не были.) Риман пришел в восторг. В 1853 году ему исполнилось двадцать семь и он двигался к финишу на длинном пути к преподаванию в Гёттингене. В Германии тех времен подобная академическая позиция приносила не скромные деньги, какие платят за нее ныне. Она не приносила никаких денег. Многим из нас такое положение дел видится несколько ущербным. Риман же алкал этого звания — ступеньки к профессорству. А студенты, бывало, не скупились на чаевые.

Оставалось преодолеть последнее препятствие — прочитать пробную лекцию. Риман представил факультету на выбор три темы. Такова была традиция — выбирать тему лекции нового преподавателя. На всякий случай Риман хорошенько подготовился к первой и второй. Гаусс, баловник эдакий, выбрал третью.

Третьим вариантом Риман предложил тему, которая, очевидно, его интересовала, но он в ней разбирался неважно. Большинство академических ученых, проходя собеседование на работу и специализируясь на политике Люксембурга, не станут предлагать тему пробного выступления «О шриланкийских рептилиях», даже если она стоит третьей в их списке интересов. Когда Гаусс, к тому времени уже тяжело больной и уведомленный врачом о близкой смерти, выбрал третью тему Римана, тот, возможно, спросил себя: «О чем я вообще думал?» Эта самая третья тема звучала так: «Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu grunde liegen» («О гипотезе, лежащей в основе геометрии»). Формулируя эту тему, он знал, как дорога она была Гауссу практически всю его жизнь.

Дальнейшее состояние Римана понятно: несколько недель он переживал что-то вроде нервного срыва — пялился в стену, парализованный свалившимся бременем. Наконец, с приходом весны, он как-то собрался и за семь недель склепал лекцию. Прочитал он ее 10 июня 1854 года. Это был тот редкий случай в истории, когда точная дата и подробности профессионального собеседования сохранились для потомков.

Риман представил свою лекцию в контексте дифференциальной геометрии, сосредоточившись на свойствах бесконечно малых областей поверхности, нежели на ее общих геометрических свойствах. По сути, Риман неевклидову геометрию как таковую ни разу и не помянул. Но последствия его работы были очевидны: Риман объяснил, каким образом сферу можно интерпретировать как двухмерное эллиптическое пространство.

Подобно Пуанкаре, Риман дал свою интерпретацию понятий «точка», «прямая» и «плоскость». В качестве плоскости он выбрал поверхность сферы. Его точки, как и у Пуанкаре, были местоположениями — в том же смысле, в каком Декарт имел в виду пары чисел, они же координаты (по сути — широта и долгота той или иной точки). Линиями Римана оказались большие круги — геодезические линии сферы.

Как и для модели Пуанкаре, необходимо было подтвердить, что модель Римана допускает непротиворечивые интерпретации постулатов. Сейчас самое время вспомнить, что уже доказана невозможность существования эллиптического пространства. Разумеется, обнаружилось, что в модели Римана имеются кое-какие нестыковки. Мало создать пространство на основе новой версии постулата параллельности — риманово пространство противоречило существующим версиям и других постулатов. Например, возьмем второй. Евклид писал:

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

Применим ли этот постулат к отрезкам больших кругов сферы? До Римана второй постулат интерпретировали в том значении, что должен существовать отрезок сколь угодно большой длины. Но у большого круга есть предел — длина окружности, в 2π раз больше радиуса этой самой сферы.

Даже в математике иногда полезно нарушать законы. Риман стал Розой Паркс, отказавшейся пересесть в хвост автобуса: он поставил под вопрос не неправедное, но неоправданное. Он постановил, что второй постулат описывает не существование сколь угодно длинных отрезков, а лишь гарантирует, что у прямых нет конца, а это верно для больших кругов. Математический Верховный суд — сообщество математиков, — услышав это, почесал в затылках. Каковы последствия новой интерпретации закона юным Риманом? Не противоречит ли это другим законам? Можно ли сделать его не противоречащим?

Вторым постулатом нестыковки не исчерпались. Риманово понятие прямой привело к другим затруднениям, которым Риман не имел объяснений. Например, большие круги нарушают допущение, что две прямые могут пересекаться лишь в одной точке. Как и линии долгот, пересекающиеся на обоих полюсах, все большие круги пересекаются в двух точках на противоположных сторонах сферы.

Понятие промежуточности тоже оказалось непросто интерпретировать. Евклид основывал это понятие на первом постулате:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

Чтобы найти точку между двумя другими, Евклид рисовал отрезок, соединяющий эти две точки. Любая точка (отличная от концевых) на этом отрезке находится «между» двумя концевыми. Каверза модели Римана заключается в том, что любые две точки можно соединить по окружности двумя способами. Индонезия — она между экваториальной Африкой и экваториальной Южной Америкой? Чтобы ответить на этот вопрос, можно провести линию вдоль экватора, соединяющую два континента, и проверить, проходит ли она через Индонезию. Но в рамках римановой модели можно попасть из Южной Америки в Африку, отправившись хоть на запад, хоть на восток. Один маршрут проходит через Индонезию, а другой — нет.

Из-за этой неопределенности все евклидовы доказательства применительно к земному шару, связанные с построением отрезков между точками, грешат негодными формулировками. А это приводит к причудливым последствиям. Например, представьте сферическую вселенную Римана с радиусом в 40, а не 4000 миль, как у Земли. В один погожий день глянете вы вперед — и увидите собственный зад. А этот самый зад — он перед вами или позади вас? Или возьмем обруч. Его радиус — 1 метр. Вот крутите вы обруч на талии и спрашиваете: внутри вы обруча или нет? Вроде бы очевидно, что да. Теперь мысленно увеличьте обруч — до размеров гоночной трассы, миля в ширину. Для обруча великоват, но по сравнению с радиусом планеты в 4000 миль — мизер. Стоя в центре, вы все еще можете с уверенностью утверждать, что вы — внутри. А теперь увеличьте обруч до радиуса в 4000 миль. Обруч опоясал планету, как экватор, и тут-то вдруг ваше положение по отношению к обручу становится спорным: вы внутри или снаружи? А если еще больше увеличить радиус обруча, чтобы его окружность раздалась от вас во все стороны, — и тут он вдруг на самом деле схлопывается. В конце концов он окажется тем же, каким мы впервые его представили, — в метр радиусом, но его центр теперь находится в точке на другой стороне мира от вас. И вроде бы вы получаетесь снаружи его. Как можно переместиться изнутри наружу, всего лишь увеличивая размеры обруча? С низложением понятия «между» понятия «сзади» и «спереди», «внутри» и «снаружи» более не просты. Таковы противоречия наивного эллиптического пространства.

Избавиться от этих затруднений можно лишь путем аккуратного переопределения многих понятий. Как обычно, Гаусс предвидел и это. В 1832 году он писал Вольфгангу Бойяи: «В полном своем развитии смысл слов вроде “между” должен основываться на ясных понятиях, которые можно добыть, но я их пока не обрел». В этом Риман ему тоже не помог. Но, сосредоточившись в основном на малых областях поверхности, Риман глобальными противоречиями вроде тех, что мы только что обсудили, похоже, не интересовался и не боялся их. И, невзирая на эти открытые вопросы, лекция Римана считается одним из шедевров математики. Но все же из-за этих неувязок она не озарила вселенную математики подобно фотонной торпеде. Гаусс вскоре после этой лекции умер. Риман продолжил разбираться в вопросах местной структуры, нежели широкомасштабной геометрии пространства, и его работа не имела серьезного прижизненного научного влияния.

В 1857 году в тридцать один год Риман в конце концов стал ассистентом профессора — с унылым жалованьем, приблизительно эквивалентным тремстам долларов в год. На это ученый жил сам и поддерживал трех своих сестер, однако самая младшая, Мари, вскоре умерла. В 1859 году умер Дирихле, заменивший Гаусса на его посту, и Риман сам занял место Гаусса. Три года спустя, в тридцать шесть, он женился. На следующий год у него родилась дочка. Теперь уже с приличным достатком и молодой семьей жизнь Римана вроде бы начала налаживаться. Но, увы, ненадолго. Он подхватил плеврит, переросший в туберкулез, который и добил его — как и его сестер в юные годы — всего в тридцать девять.

Работа Римана в дифференциальной геометрии стала краеугольным камнем общей теории относительности Эйнштейна. Не прояви Риман неосмотрительность, включив в свой список тем геометрию, и не будь Гаусс таким настырным, выбрав эту тему, математический аппарат Эйнштейна, потребный для его революции в физике, не существовал бы. Но еще до начала переворота труды Римана по эллиптическим пространствам произвели не менее мощное действие на мир математики. Необходимость видоизменять не только постулат параллельности, но и прочие, оказалась равносильна перетиранию прядей в веревке — и веревка вскоре лопнула. И лишь тогда математики осознали, что на этой веревке висела не только геометрия, но и вся математика.

 

Глава 20. Лицевая подтяжка на 2000-м году

Лекция Римана 1854 года дождалась публикации лишь в 1868-м — через два года после его смерти и через год после книги Бальцера, пролившей свет на работы Бойяи и Лобачевского. Последствия наработок Римана мало-помалу показали, что Евклид совершил ошибки нескольких разновидностей: он сделал множество негласных допущений, другие толком не доформулировал, а кроме того, попытался определить больше, чем было возможно.

Ныне мы видим огрехи евклидовой аргументации. Проще всего критиковать Евклида за искусственное разграничение между постулатами и «общими понятиями». Глубже лежит наша современная попытка аксиоматизировать любые допущения и ничто не принимать за истину всего лишь на основании «очевидности» или «здравого смысла». Это на самом деле вполне новомодный подход — победа Гаусса над Кантом, — и критиковать Евклида за то, что он не произвел этот рывок, затруднительно.

Еще одна структурная проблема евклидовой системы — непризнание необходимости в неопределимых понятиях. Представим словарное определение пространства как «безграничной емкости или места, распространяющегося во всех направлениях». Осмысленно ли это определение, или оно лишь подменяет расплывчатым термином «место» искомый термин «пространство»? Если у нас нет уверенности, что мы отчетливо понимаем значение «места», можем поглядеть в словаре и его определение. Словарь утверждает, что «место» есть «часть пространства, занятая тем или иным объектом». Эти два слова — «место» и «пространство» — частенько определяются друг через друга.

Хоть и придется повозиться, но поскольку любое слово в словаре определяется другими, обнаружится, что такая подмена происходит с любым определением. Единственный способ избежать логического круга — допустить существование в конечном языке неких словарно неопределимых понятий. Ныне мы понимаем, что и математические системы обязаны включать подобные неопределимые понятия, и стараться включать минимальное их число, необходимое для того, чтобы система оставалась осмысленной.

С неопределимыми понятиями следует обращаться бережно, поскольку легко впасть в заблуждение, вложив смысл в понятие, сначала не доказав этого, даже если этот смысл кажется очевидным из физической реальности. Сабит совершил эту ошибку, приняв за «очевидное» замечание о том, что линия, равноудаленная от прямой, есть прямая. Как мы уже убедились, ничто в системе Евклида, кроме самого постулата параллельности, нам этого не гарантирует. Применяя неопределимые понятия, мы должны отбросить любые коннотации, навязываемые нам словоупотреблением. Перефразируя великого гёттингенского математика Давида Гильберта, заметим, что непременно должна быть возможность заменить «точки», «прямые» и «окружности» на «мужчин», «женщин» и «пивные кружки». Тогда, математически говоря, эти понятия должны насытиться смыслом из самих утверждений — например, первых трех постулатов Евклида:

1. От всякого мужчины до всякого мужчины можно провести женщину.

2. Ограниченную женщину можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого мужчины всякой пивной кружкой может быть описан круг.

Евклид делал и другие ошибки — сугубо логические, и они привели его к доказательствам теорем, в которых некоторые стадии оказались необоснованными. Например, в самом первом предложении он заявляет, что равносторонний треугольник может быть построен на любом отрезке прямой. В доказательстве он строит два круга, центры каждого из которых находятся на концах отрезка, и у каждого радиус равен длине этого отрезка. Далее он берет точку, в которой эти окружности пересекаются. Хотя рисование окружностей нам эту точку ясно покажет, Евклид не дает никаких формальных гарантий существования этой точки. По сути, его системе не достает постулата, обещающего непрерывность линий или окружностей, т. е. что в них нет разрывов. Кроме того, он не сумел распознать и другие допущения, применяемые им в доказательствах, например, что точки и прямые существуют, что не все точки лежат на одной прямой и что на любой прямой есть как минимум две точки.

В другом доказательстве он неявно допустил, что, если три точки лежат на одной прямой, мы можем определять одну из них как лежащую между двумя другими. Ничто в его постулатах или определениях не дает нам доказать это. На деле это допущение — своего рода требование прямизны: оно не допускает кривых, поскольку такие линии могут образовывать замкнутую петлю — к примеру, круг, — и тогда ни одну точку на ней нельзя считать лежащей между двумя другими.

Некоторые возражения доказательствам Евклида смотрятся как придирки, однако невинные очевидные допущения без всяких видимых последствий могут иногда равняться серьезным теоретическим утверждениям. К примеру, допущение существования всего одного треугольника, чья сумма углов равна 180°, позволяет доказать, что у всех треугольников сумма углов составляет 180°, а также позволяет доказать постулат параллельности.

В 1871 году прусский математик Феликс Клейн показал, как устранить очевидное противоречие в сферической модели эллиптического пространства Римана, усовершенствовав попутно и Евклида. Вскоре после этого математики вроде Бельтрами и Пуанкаре предложили свои новые модели и подходы к геометрии. В 1894 году итальянский логик Джузеппе Пеано выдвинул новый набор аксиом для определения евклидовой геометрии. В 1899 году Гильберт, не знакомый с работами Пеано, выдал свою версию формулировки геометрии — в наиболее распространенном ныне виде.

Гильберт полностью посвятил себя прояснению фундаментальных основ геометрии (а впоследствии помог развить общую теорию относительности Эйнштейна). Он многократно пересматривал свои формулировки — до самой смерти в 1943 году. Первый шаг его метода — превращение неявных допущений Евклида в развернутые утверждения. В свою систему Гильберт — по крайней мере в седьмом издании своего труда в 1930 году, — включил восемь не определенных понятий и увеличил число аксиом Евклида с десяти (включая общие утверждения) до двадцати. Аксиомы Гильберта разделили на четыре группы. Они включают в себя не опознанные Евклидом допущения вроде тех, что мы уже рассмотрели:

Аксиома I-3: Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

Аксиома II-3: Среди любых трех точек, лежащих на одной прямой, существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

Гильберт и другие ученые доказали, что все свойства евклидова пространства можно вывести из этих аксиом.

* * *

Революция искривленного пространства глубоко повлияла на все области математики. Примерно со времен Евклида и до работ Гаусса и Римана, обнаруженных посмертно, математика была по большей части дисциплиной прагматической. Евклидова структура воспринималась как описание физического пространства. Математика в некотором смысле была разновидностью физики. Вопросы непротиворечивости математических теорий казались порожними — доказательства следовало искать в физическом мире. Но к 1900 году математики осознали, что аксиомы — спорные утверждения, они суть всего лишь основа системы, следствия которой необходимо изучать в некоем подобии умозрительной игры. Внезапно математические пространства превратились в абстрактные логические конструкты. Природа физического пространства стала самостоятельным предметом, вопросом физики, а не математики.

Перед математиками встал вопрос совсем нового свойства: доказательство логической непротиворечивости их построений. Понятие доказательства, переместившееся за последние века развития расчетных методик на заднее сиденье, вновь стало главенствующим. Состоятельна ли геометрия Евклида? Самый лобовой способ доказать непротиворечивость логической системы — доказать все мыслимые теоремы и продемонстрировать, что ни одна не противоречит другой. Поскольку существует бесконечное количество возможных теорем, такой подход годится лишь тем, кто планирует жить вечно. Гильберт опробовал иную тактику. Как и Декарт с Риманом, Гильберт определили точки в пространстве через числа. В случае с двухмерным пространством, например, каждая точка соответствует паре действительных чисел. Превратив точки в числа, Гильберт смог перевести все фундаментальные геометрические понятия и аксиомы в арифметические. Так доказательство любой геометрической теоремы переводится на язык арифметических или алгебраических действий с координатами. А поскольку любое геометрическое доказательство следует логически из аксиом, арифметическая интерпретация должна вытекать из аксиом, облеченных в арифметическую форму. Если в геометрии возникает противоречие, оно проявится и при переводе на язык арифметики, а если арифметика непротиворечива, стало быть, стройны и гильбертовы формулировки евклидовой геометрии (для неевклидовых геометрий эти действия тоже были позднее проделаны). Яснее некуда? Хотя в итоге Гильберту и не удалось доказать абсолютную непротиворечивость геометрии, доказать относительную непротиворечивость он все-таки смог.

Из-за бесконечности числа возможных теорем абсолютная непротиворечивость геометрии, арифметики и, если уж на то пошло, всей математики — дело куда более трудоемкое. Чтобы разобраться и с этим, математики изобрели абстрактную теорию объектов, имеющую с ними дело на самом общем уровне, независимо от всяких особенностей того, чем они на самом деле являются. Эта теория, которую ныне преподают в большинстве общеобразовательных школ, называется теорией множеств.

И все-таки даже самая простая теория множеств сталкивается с путаными парадоксами: один такой был опубликован в 1908 году в малоизвестном журнале «Abhandlung der Friesschen Schule» Куртом Греллингом и Леонардом Нелсоном. Греллинг и Нелсон рассматривают множество слов. Возьмем, во-первых, множество всех прилагательных, описывающих сами слова. Например, слово «двадцатиоднобуквенный» само, да, состоит из двадцати одной буквы, а прилагательное «многосложный» — многосложно. В пику этому множеству есть множество всех прилагательных, которые себя не описывают. На ум почему-то приходят слова типа «хорошо написанный», «поразительный» и «другу рекомендуемый» (если в этой книге и есть хоть одно предложение, которое стоит вызубрить, — вот оно). Последнее множество называется гетерологическим — вероятно, оттого, что «гетерологический» само по себе многосложно.

Красота? Но есть, однако, закавыка: а «гетерологический» — гетерологическое слово? Если да, значит, оно себя описывает, следовательно, оно таковым не является. Раз оно таковым не является, значит, оно себя не описывает, а следовательно — является. Вот что математики называют парадоксом; для не-математика это всего лишь знакомая безвыигрышная ситуация (понятие, придуманное математиками, дай им бог здоровья).

* * *

В 1903 году Бетран Расселл, без пяти минут лорд Расселл, попытался навести порядок, предположив в своей скромной книге под названием «Принципы математики», что вся математика должна выводиться из логики. Совместно со своим коллегой по Оксфорду Алфредом Нортом Уайтхедом он попытался добиться такой выводимости — или хотя бы показать, как это сделать, — в трехтомном магнум-опусе, изданном между 1910 и 1913 годами. Вероятно, потому, что этот труд был серьезнее публикации 1903 года, он получил латинское название «Principia Mathematica». В «Principia» Расселл и Уайтхед заявили, что свели всю математику к единой системе основных аксиом, из которых можно доказать все теоремы математики, подобно евклидовой системе применительно к геометрии. В их системе даже такие фундаментальные понятия как числа рассматривались как эмпирические конструкты, которые необходимо обосновывать более глубокими аксиоматическими структурами.

Гильберт отнесся к этим заявлениям скептически. Он подначил математиков строго доказать успешность программы Расселла и Уайтхеда. Этот вопрос отложили насовсем в 1931 году шокирующей теоремой Курта Гёделя: он доказал, что в системе достаточной сложности — в теории чисел, к примеру, — должно существовать утверждение, чью истинность или ложность невозможно доказать. Это уничтожает утверждение Расселла и Уайтхеда: они не только не показали, как именно все математические теоремы можно вывести из логики, но и в принципе не могли бы этого сделать!

Математики продолжают работать над фундаментом своей науки, но со времен Гёделя никому еще не удалось заметно изменить общую картину. По-прежнему не существует общепринятого подхода к тому, что начал Евклид: к аксиомам математики.

Между тем сила математики — не в одних лишь умозрительных играх, и это ни в чем не очевидно так, как в применении Эйнштейном свежеоткрытых типов математических пространств к тому, в котором мы живем. Хоть и серьезно перемоделированная, геометрия продолжила быть окном видения нашей Вселенной.