Если бы средневековый игрок в азартные игры понял математические выкладки Кардано в области теории вероятностей, он заработал бы неплохие деньги, играя с менее искушенными напарниками. В наши дни Кардано прославился бы и разбогател на книжках вроде «Игры в кости с новичками: пособие для „чайников"». Но в XVI в. работа Кардано осталась незамеченной, а его «Трактат об азартных играх» вышел в свет через много лет после смерти самого автора. Почему же «Трактат» остался практически без внимания? Мы уже говорили о том, что одним из затруднений было отсутствие разработанной системы алгебраических записей. Во времена Кардано она начала развиваться, но все еще находилась в зачатке. Однако оставался еще один барьер, который только предстояло преодолеть: Кардано жил во времена, когда магическим заклинаниям доверяли больше, нежели математическим формулам. Люди той эпохи не стремились упорядочить природу, описать ее феномены в числах, поэтому теория влияния случайности на эти самые феномены была обречена на непонимание. Как потом оказалось, проживи Кардано еще лет двадцать-тридцать, он бы и труды свои написал иначе, да и приняли бы их совсем по-другому, поскольку через несколько десятилетий после его смерти в мышлении и верованиях европейцев произошли перемены исторического масштаба. Они получили название научной революции.
Революция была своего рода бунтом против того образа мысли, который господствовал в Европе, расстававшейся со Средними веками: в те времена представления о мире не подвергались глубокому исследованию и систематизации. В одном городе торговцы украли одежду у повешенного — они верили, что эго повысит их продажи пива. Прихожане другого города верили, что можно излечиться от заболевания, если нагишом обойти вокруг церковного алтаря, распевая всякие богохульства. Один коммерсант старался не справлять нужду в «не том» туалете, считая, что туалет этот приносит неудачу. Вообще-то, коммерсант был биржевым трейдером, он поделился своей тайной с журналистом из Си-эн-эн в 2003 г. Да, некоторые до сих пор верят в приметы, однако на сегодняшний день для любознательных существуют хотя бы научные объяснения, доказывающие или отрицающие эффективность соблюдения этих примет. Если современник Кардано выигрывал в кости, причем без применения математического анализа, он произносил благодарственную молитву, ну или считал, что ему помогли «счастливые» носки, и впредь не стирал их. Сам Кардано считал, что полосы неудачи случаются по причине «потери благосклонности судьбы» и что один из способов вернуть удачу — удачно сыграть в кости. Если в руке зажата счастливая «семерка», к чему вся эта возня с математикой?
Большинство считает, что началась научная революция в 1583 г, всего через семь лет после смерти Кардано. Легенда гласит, что именно в этом году в Пизанском университете на лекции сидел один студент, который вместо того, чтобы внимать словам службы, смотрел на нечто гораздо более занимательное: на подвесную вращавшуюся лампу. Используя свой пульс в качестве таймера, студент, Галилео Галилей, заметил: время, за которое лампа проходит большую дугу, равно времени, за которое она проходит малую дугу. Из этого наблюдения родился закон: период колебаний маятника не зависит от его амплитуды. Наблюдения Галилео отличались точностью и практичностью, они были простыми, но знаменовали собой новый подход к описанию физических явлений: наука, исследуя законы природы, стала основываться на опыте и эксперименте, а не на интуитивных догадках и отдельных умозаключениях. Однако самое главное в том, что эти опыты и эксперименты стали проводиться с помощью математических вычислений.
Исходя из своих научных знаний, Галилео написал небольшую работу об азартных играх: «Размышления на тему игры в кости». Работа была напечатана по заказу покровителя Галилео, герцога Тосканского. Герцога интересовал вопрос: почему при броске трех костей чаще выпадает 10, чем 9? Вероятность такой ситуации равна всего лишь примерно 8%, ни 10, ни 9 не выпадает слишком часто. Видимо, герцог много играл, раз подметил такую небольшую разницу, и вполне возможно, что на самом деле он нуждался не в уме Галилео, а в пошаговой программе избавления от зависимости. Неизвестно, почему, но Галилео тема не вдохновила. Однако как любой советник, который хочет сохранить за собой место, он оставил свое недовольство при себе и выполнил заказ.
Если бросить один кубик, шансы того, что выпадет любая конкретная цифра, равны 1 из 6. Однако если бросить два кубика, шансы в сумме уже не равны. Например, для суммы кубиков, равной 2, существует 1 шанс из 36, однако шанс увеличивается в два раза, если сумма равна 3. Причина в том, что сумму 2 можно получить только одним способом: подбросив два кубика, которые выпадут единицами, но сумму 3 можно получить уже двумя способами: подбросив два кубика, которые выпадут единицами; подбросив кубики так, чтобы выпали 1 и 2 (или 2 и 1). Таким образом, мы продвигаемся еще дальше в понимании случайных процессов, которые и составляют тему данной главы: развитие систематических методов анализа числа способов тех или иных исходов.
#i_001.jpg
Ошибку герцога можно обнаружить, если подойти к проблеме с позиций талмудиста: чем пытаться объяснить, почему 10 выпадает чаще, чем 9, лучше задаться вопросом: а почему 10 должна выпадать чаще, чем 9? Появляется соблазн — поверить, что два кубика должны выпадать в сумме 10 и 9 с одинаковой частотой: и 10, и 9 можно представить 6 способами, в зависимости от того, как упадут три кубика. Для 9 можно записать такие способы следующим образом: (621), (531), (522), (441), (432) и (333). Для 10 это (631), (622), (541), (532), (442) и (433). Применяя закон Кардано о пространстве элементарных событий, получаем: вероятность благоприятного исхода равна соотношению исходов, которые благоприятны. Сумма 9 и 10 может быть составлена теми же 6 способами. Тогда почему одно вероятнее другого?
А потому, что, как я уже говорил, закон пространства элементарных событий в его первоначальной форме применим только к тем исходам, которые обладают равной вероятностью. Вышеприведенные же комбинации таковыми не являются. К примеру, исход (631), то есть бросок, в результате которого выпадают 6, 3 и 1, обладает шестикратной вероятностью по сравнению с исходом (333), поскольку хотя и существует один способ, в результате которого выпадают три 3, способов, в результате которых получаются 6, 3 и 1, целых шесть: можно получить 6, затем 3 и 1, или же сначала 1, затем 3, а потом уже 6, ну и гак далее. Представим запись исхода, где порядок бросков записывается трехзначными, разделенными запятой комбинациями. Тогда все то, что мы только что сказали, можно выразить короче: исход (631) состоит из возможностей (1,3,6), (1,6,3), (3,1,6), (3,6,1), (6,1,3) и (6,3,1), а исход (333) состоит только лишь из (3,3,3). Как только мы упростили запись таким вот образом, стало понятно: исходы одинаково вероятны, и можно применить закон. Поскольку существует 27 способов получить общую сумму в 10, бросая три кости, но лишь 25 способов получить сумму в 9, Галилей заключил: при броске трех костей вероятность выпадения 10 равна 27/25, то есть около 1,08 раза больше.
Решая поставленный перед ним вопрос, Галилей косвенным образом применил следующий важный принцип: «Вероятность события зависит от числа его исходов». Ничего удивительного в самом утверждении нет. Удивительно том, насколько обширен эффект, и насколько трудно его подсчитать. Предположим, вы даете 25 шестиклассникам список из 10 вопросов, на которые надо ответить быстро, не задумываясь. Подсчитаем возможные результаты одного конкретного ученика: он отвечает на все вопросы правильно; отвечает на 1 вопрос неправильно — тут возможны 10 вариантов, потому как вопросов 10; отвечает на 2 вопроса неправильно — возможны 45 вариантов, потому как вопросы группируются в 45 пар, и так далее. В результате в среднем в группе студентов, пытающихся угадать правильные варианты ответов, на каждого студента, который угадает 100% правильных ответов, приходится около 10 студентов, которые дадут 90% правильных ответов, и 45 студентов, которые дадут 80% правильных ответов. Шансы получить около 50 баллов, конечно, все же выше, но в классе из 25 учеников вероятность того, что хотя бы один ученик получит 80 баллов или выше, если все ученики отвечают наугад, равна 75%. Так что если вы преподаватель со стажем, то наверняка в вашей многолетней практике среди всех учеников, которые являлись на урок неподготовленными и более-менее угадывали ответы на контрольной работе, были и такие, которые умудрялись в итоге получить четверки или даже пятерки.
Несколько лет назад в Канаде проводилась государственная лотерея, и когда устроители решили вернуть накопившиеся призовые деньги, за которыми никто так и не пришел, они на собственном горьком опыте убедились в том, как важен тщательный подсчет. Они приобрели 500 машин в качестве бонусов и запрограммировали компьютер таким образом, чтобы из 2,4 млн подписчиков на лотерейные билеты машина произвольно выбрала 500 счастливчиков. Затем список был опубликован. К смущению устроителей лотереи, один господин заявил (надо заметить, справедливо), что выиграл две машины. Устроителям было чему изумиться: из 2,4 млн номеров компьютер вслепую выбрал один и тот же номер дважды. Как могло такое случиться? Может, ошибка в программе?
Задача с подсчетом номеров билетов, с которой столкнулись устроители лотереи, ничем не отличается от задачи с днями рождения: сколько в группе должно быть людей, чтобы встретились два человека с одинаковым днем рождения (при этом предполагается, что одинаково возможны любые дни)? Большинство скажут, что ответ — количество дней в году, поделенное пополам, то есть что-то около 183. Но ответ этот можно счесть правильным для совсем другого вопроса: сколько людей с разными днями рождения должны присутствовать в группе, чтобы день рождения одного из них совпал с вашим? Если не заложено никаких ограничений относительно того, у каких именно двух человек дни рождения должны совпасть, то факт того, что существует множество возможных пар людей, дни рождения которых могли бы совпасть, коренным образом меняет дело. И число таких людей на удивление мало: всего 23. Если вернуться к канадской лотерее, где выборка производилась из 2,4 млн билетов, окажется, что необходимо гораздо больше, чем 500 номеров, чтобы номер повторился. И тем не менее исключать такую возможность не стоит. Шансы совпадения фактически равны примерно 5%. Цифра небольшая, однако стоило ее принять во внимание и запрограммировать компьютер таким образом, чтобы он тут же вычеркивал из списка каждый выбранный номер. Да, а того счастливчика, который оказался обладателем двух машин, от одной попросили отказаться. Только он не согласился.
А вот еще один загадочный случай, связанный с лотереей и многих удививший; произошел он в Германии 21 июня 1995 г. Проводилась лотерея под названием «Лото 6/49», означавшая, что шесть выигрышных чисел нужно выбрать из чисел от 1 до 49. В день объявления результатов были названы выигрышные числа: 15-25-27-30-42-48. Точно такая же последовательность уже выпадала ранее, 20 декабря 1986 г. Впервые за 3,016 выборок выигрышная последовательность повторилась. Каковы шансы такого повтора? Вовсе не такие уж и плохие, как вам может показаться. Если использовать математический подход, окажется, что шанс повтора равен примерно 28%.
Поскольку в случайном процессе число исходов события и определяет его вероятность, главный вопрос в следующем: как подсчитать число исходов того или иного события? Похоже, Галилей не проникся всей значимостью подобного вопроса. В своем исследовании случайностей дальше задачи о костях он не пошел, а в начале работы упомянул, что пишет об игральных костях только «по обязанности». В 1633 г. в «благодарность» за пропаганду нового научного подхода Галилей был осужден Инквизицией. Однако наука и теология давно уже разошлись, и теперь ученые анализируют вопрос «как?», а богословы, облегчая жизнь ученым, размышляют над вопросом «почему?». Пройдет совсем немного времени, и ученый нового поколения, с юности воспринявший новую научную философию Галилея, проведет анализ вероятности и достигнет новых высот, поднявшись на такой уровень, без которого большая часть современной науки была бы попросту невозможна.
#i_001.jpg
Научная революция разворачивалась, и границы теории случайности ширились от Италии к Франции, где ученые нового типа, подвергавшие сомнению Аристотеля и следовавшие Галилею, совершали еще более глубокие открытия, нежели Кардано или сам Галилей. На этот раз важность нового труда будет признана, он всколыхнет всю Европу. И хотя новые идеи будут проиллюстрированы все теми же азартными играми, первый ученый нового типа окажется математиком, впоследствии ставшим игроком, в противоположность Кардано, игроку, впоследствии ставшему математиком. Звали этого ученого Блез Паскаль.
Паскаль родился в июне 1623 г. в Клермон-Ферране, находившемся в 400 км от Парижа. Отец Блеза разглядел одаренность сына, семья переехала в Париж, и в возрасте тринадцати лег Блез был представлен недавно созданному кружку, который сами его члены называли Академией Мерсенна — по имени францисканского монаха-основателя. В кружок Мерсенна входили прославленный философ-математик Рене Декарт и гениальный математик-любитель Пьер де Ферма. Все они, представлявшие собой диковинную смесь блистательных умов и крайне высокого самомнения, вместе с Мерсенном, помешивавшим это «варево», оказали на юного Блеза большое влияние. Блез подружился с Ферма и Декартом, воспринял новый научный метод. «Пусть все ученики Аристотеля... — писал он, — признают: истинный учитель есть эксперимент, ему надлежит внимать при изучении Физики».
Но каким образом оторванный от жизни, скучный и набожный субъект стал завсегдатаем сборищ городских игроков? Время от времени Паскаль страдал болями в желудке, у него были трудности с глотанием и прохождением пищи по пищеводу, он испытывал изнуряющую слабость и сильную головную боль, внезапно потел, иногда у него даже отнимались ноги. Паскаль стоически следовал предписаниям врачей, назначавших кровопускание, слабительные, питье молока ослицы и другие «отвратительные» микстуры, от которых его едва не выворачивало — «истинные пытки», по словам сестры Жильберты. К тому времени Паскаль уехал из Парижа, однако летом 1647 г. в возрасте двадцати четырех лет он вернулся вместе с сестрой Жаклин и, совсем отчаявшись, пустился на поиски средства, которое все же излечило бы его. Новые врачи дали наисовременнейший совет: «отказаться от напряженного умственного труда и как можно полнее отдаться развлечениям». И вот Паскаль стал учиться отдыхать и расслабляться, начал проводить время в компании других молодых людей, ведущих праздный образ жизни. В 1651 г. умирает отец Блеза, и Паскаль неожиданно становится молодым человеком с наследством. Он нашел деньгам хорошее применение, по крайней мере, если исходить из рекомендаций врачей. Биографы Паскаля называют период с 1651 по 1654 гг. периодом «мирской суеты». Сестра Жильберта писала про «годы, которым он нашел наихудшее применение». Хотя Блез приложил некоторые усилия, чтобы сделать себе рекламу, его научные изыскания ни к чему не привели, зато он мог похвастать отменным здоровьем.
Зачастую в истории исследования случайности подтолкнувшее эти исследования событие само оказывалось случайным. Так вышло и с работой Паскаля: бросив исследования, он занялся изучением шанса. Началось все с того, что один из приятелей Блеза по развлечениям представил его одному снобу сорока пяти лет по имени Антуан Гомбо. Гомбо, этот аристократ с титулом шевалье де Мере, считал себя знатоком по части флирта и, судя по списку своих любовных похождений, таковым и был. Однако де Мере также имел репутацию опытного игрока, предпочитал высокие ставки и так часто выигрывал, что его даже подозревали в мошенничестве. И вот когда этот де Мере столкнулся с неким затруднением, он обратился за помощью к Паскалю. С этого началось исследование, которое положило конец «заклятию» Паскаля, отвратившему его от занятий наукой, обеспечило де Мере место в истории идей и разрешило проблему, которая так и оставалась нерешенной в работе Галилея, заказанной герцогом.
Шел 1654 год. Затруднение, с которым де Мере обратился к Паскалю, заключалось в очках. Предположим, вы с партнером играете, у вас равные шансы, и тот, кто первым наберет определенное количество очков, выигрывает. Игра прерывается; в это самое время один из игроков лидирует. Как справедливее всего разделить сумму? При разрешении этой проблемы, заметил де Мере, нужно учесть шансы каждого игрока на выигрыш исходя из того, у кого их, этих шансов, на момент прерывания игры больше. Но как произвести подсчет?
Паскаль сознавал, что, каким бы ни был ответ, методы для подсчета еще не изобрели, и эти методы, какими бы они ни были, могут иметь серьезные последствия в соревновательной ситуации любого рода. Как это часто случается в теоретических изысканиях, Паскаль испытывал неуверенность, даже замешательство по поводу своего плана действий. Он решил, что нужен посредник, то есть еще один математик, с которым можно было бы обсудить свои догадки. Марен Мерсенн, великий переговорщик, уже несколько лет как умер, однако Паскаль не порвал связей с членами Академии. И в 1654 г. завязалась одна из величайших переписок в истории математики: между Паскалем и Пьером де Ферма.
В 1654 г. Ферма занимал высокий пост — королевский советник парламента — в Тулузе. На заседаниях суда изысканно одетый Ферма занимался тем, что приговаривал согрешивших должностных лиц к сожжению. В свободное же от заседаний время Ферма прилагал свои аналитические способности к более изящным занятиям — занятиям математикой. Возможно, Пьер де Ферма и не был профессионалом, но за ним закрепилась слава величайшего математика.
Ферма получил видную должность отнюдь не благодаря своим честолюбивым устремлениям или неким заслугам. Она досталась ему старым, добрым способом — он постепенно поднимался по служебной лестнице, занимая кресла своих начальников, умиравших от чумы. Когда ему пришло письмо от Паскаля, Ферма и сам только-только начинал оправляться от этой болезни. Болезнь протекала настолько тяжело, что друг Ферма, Бернар Медон, успел объявить Ферма умершим. Когда же Ферма не умер, смущенный, но явно обрадованный Медон отозвал свое объявление, однако нет никаких сомнений в том, что Ферма одной ногой был уже в могиле. В конечном счете Ферма, который был старше Паскаля на двадцать два года, пережил своего новообретенного друга по переписке на несколько лет.
Как мы увидим, задача, связанная с очками, возникает в такой области, в которой оба, и Паскаль, и Ферма, соперничают. В ходе переписки Паскаль и Ферма разрабатывают свои подходы и предлагают несколько вариантов решения. Однако метод Паскаля оказался проще, да и изящнее, к тому же он мог быть применен к большому кругу задач, с которыми приходится сталкиваться в повседневной жизни. Поскольку задача впервые возникла в связи с заключением пари, возьмем пример на тему спорта. В 1996 г. команда «Смельчаки Атланты» победила «Нью-Йоркских Янки» в первых 2 играх бейсбольной Мировой серии (по условиям первая команда, победившая в 4 играх, становится чемпионом). Факт победы «Смельчаков» в первых 2 играх совсем не обязательно означал, что ее игроки сильнее других. И все же он служил знаком того, что они явно лучше. Для выполнения нашей текущей задачи предположим, что и та, и другая команды обладали равными шансами на победу в каждой игре, и что в первых 2 играх лишь по случайности выиграла команда «Смельчаки Атланты».
Основываясь на предположении, зададимся вопросом: в каком случае можно было бы поставить на «Янки», то есть, каковы были шансы «Янки» на лидирующее положение? Чтобы вычислить это, мы подсчитываем все возможности для «Янки» выиграть и сравниваем их с количеством возможностей проиграть. 2 игры из серии уже были сыграны, оставалось сыграть еще 5 игр. Каждая игра содержала в себе 2 возможных исхода: «Янки» выигрывают (Y) или «Смельчаки» выигрывают (В). Получается 2 в 5-й степени, то есть 32 возможных исхода. К примеру, «Янки» могли бы выиграть 3 игры, а следующие 2 проиграть: YYYBB; либо они могли выигрывать и проигрывать через раз: YBYBY. (В последнем случае, поскольку «Смельчаки» выиграли бы 4 игры с 6 игрой, последняя игра вообще не состоялась бы, однако к этому моменту мы еще вернемся). Вероятность того, что «Янки» еще смогут выиграть в Мировой серии, была равна числу исходов с хотя бы 4 выигранными играми, разделенному на общее число исходов — 32; вероятность того, что «Смельчаки» выиграли бы, была равна числу исходов с хотя бы еще 2 выигранными играми, также разделенному на 32.
Такой подсчет выглядит странным, поскольку, как я уже заметил, включает варианты (как, например, YBYBY), при которых команды продолжают играть даже после того, как «Смельчаки» выигрывают необходимые им для победы 4 игры. Раз «Смельчаки» выигрывают 4 игры, 7-ю игру команды, конечно же не играют. Однако математика не зависит от человеческих причуд, и неважно, играют команды или не играют, это никак не отражается на факте существования таких исходов. К примеру, предположим, вы играете в игру и подбрасываете монету; по условиям игры вы побеждаете, как только монета падает орлом вверх. Существует 2 во 2-й степени, то есть 4 возможных варианта исходов с двумя бросками: орел-решка, орел-орел, решка-орел и решка-решка. При первом результате вам даже не придется бросать монету во второй раз, потому как вы уже выиграли. И тем не менее ваши шансы на выигрыш равны 3 из 4, потому что в 3 из 4 вариантов содержится исход «орел».
Таким образом, чтобы подсчитать шансы «Янки» и «Смельчаков» на победу, мы просто-напросто учитываем возможную последовательность из 5 игр, которые еще предстоит сыграть. Во-первых, «Янки» стали бы победителями в том случае, если бы выиграли 4 из 5 возможных оставшихся игр. Это могло произойти в 1 из 5 случаев: BYYYY, YBYYY, YYBYY, YYYBY или YYYYB. И наоборот, «Янки» победили бы, если бы выиграли все 5 оставшихся игр, что могло произойти только в следующем случае: YYYYY. Теперь «Смельчаки»: они стали бы чемпионами, если бы «Янки» выиграли только 3 игры, что могло произойти в 10 случаях (BBYYY, BYBYY и так далее), либо при условии, что «Янки» выиграли бы только 2 игры (что опять же могло произойти в 10 случаях), либо при условии, что «Янки» выиграли бы только 1 игру (что могло произойти в 5 случаях), либо если они не выиграли бы ни одной игры (такое могло произойти только в 1 случае). Суммируя эти возможные исходы, получаем следующее: шансы «Янки» на победу были равны 6 из 32, или около 19%, а «Смельчаков» — 26 из 32, или около 81%. Если состязание в рамках Мировой серии вдруг остановили бы, то, согласно Паскалю и Ферма, именно таким образом следовало бы распределить призовое вознаграждение, и именно такими были бы шансы на победу при условии заключения пари после первых 2 игр. Кстати, «Янки» все же вернули себе преимущество — выиграли следующие 4 игры, — и стали чемпионами.
Точно такой же ход рассуждений вполне применим и в момент начала игр Мировой серии, то есть еще до того, как первая игра сыграна. Если две команды обладают равными шансами на победу в каждой из игр, они обладают равными шансами и на победу в Мировой серии. Однако такой же ход рассуждений верен и в том случае, если их шансы на победу не равны, за исключением того, что приведенные мной несложные расчеты несколько меняются: каждый исход должен быть подкреплен фактором, описывающим его относительную вероятность. Если вы произведете эти расчеты и проанализируете ситуацию в самом начале игр Мировой серии, увидите: при серии в 7 игр велик шанс того, что менее сильная команда в итоге оказывается чемпионом. К примеру, если команда достаточно сильна, чтобы гарантированно обыграть другую в 55% игр, более слабая команда тем не менее выиграет серию из 7 игр с вероятностью, равной примерно 4 из 10. Если же от более сильной команды ожидают победы над соперниками с вероятностью в 2 случаях из 3, соперники все же победят в серии из 7 игр с вероятностью около одного на каждые 5 игр. И спортивным лигам этого никак не изменить. К примеру, в случае вероятности 2/3 придется сыграть как минимум 23 игры, чтобы определить победителя со статистически значимой долей уверенности, то есть команда послабее оказалась бы победителем в 5% или менее случаев (см. главу 5). В случае же соотношения 55 к 45 статистически значимой окажется серия из 269 игр. Вот уж точно утомительное занятие! Так что соревнования в спорте могут быть азартными и зрелищными, однако титул «всемирного чемпиона» не очень-то надежный показатель истинного положения дел.
Как я уже говорил, такой ход рассуждений применим не только к играм, будь они спортивными или азартными. К примеру, соперничают две компании или же два сотрудника одной компании, причем соперничество проходит почти на равных. Одержавший верх и потерпевший поражение могут выявляться раз в квартал или раз в год, однако чтобы получить точный ответ на вопрос, какая компания или какой сотрудник сильнее, путем простого сравнения — кто кого — нужно сравнивать десятилетиями, а то и столетиями. Например, если сотрудник А действительно сильнее и в скором времени продемонстрирует лучшие производственные показатели по сравнению с сотрудником В в 60 случаях из 100, в простых сравнениях из 5 исходов сотрудник послабее тем не менее одержит верх почти в одной трети случаев. Так что крайне ненадежно оценивать способности по краткосрочным результатам.
Во всех этих задачах подсчет достаточно прост и особых усилий не требует. Однако когда речь заходит о действительно больших числах, произвести подсчеты сложнее. К примеру, рассмотрим такую задачу. Вы занимаетесь приготовлениями к свадебному банкету на 100 человек, каждый из столиков рассчитан на 10 гостей. Вы не можете посадить двоюродного брата Рода с вашей подружкой Эми, потому что восемь лет назад они встречались, и Эми дала Роду отставку. С другой стороны, и Эми, и Летиция хотят сидеть рядом с другим вашим двоюродным братом, душкой Бобби, а вот тетю Рут надо от них отсадить, иначе потом все эти заигрывания еще лет пять будут предметом обсуждений на семейных сборищах. Итак, вы тщательно взвешиваете вероятности. Возьмем для начала первый столик. Сколькими способами можно из 100 гостей выбрать 10? Вопрос очень похож на следующие: сколько существует способов, чтобы разместить 10 инвестиционных пакетов между 100 инвестиционными фондами, или же распределить 10 атомов германия в 100 позициях кремниевого кристалла? Задача такого рода периодически всплывает в теории случайности, и не только в приложении к проблеме очков. Однако в случае с большими числами утомительно, а то и попросту невозможно подсчитывать вероятности, составляя из них список. Вот в чем истинное достижение Паскаля: общеприменимый и систематический подход к подсчету, позволяющий получить ответ путем расчетов по формуле или вывести его из табличных значений. Подход основан на любопытном расположении чисел — в форме треугольника.
#i_001.jpg
Вычислительный метод, лежащий в основе работы Паскаля, в действительности был открыт китайским математиком Цзя Сянем около 1050 г., а опубликован другим китайским математиком, Чжу Шицзе, в 1303 г., и только после этого стал частью более великого — теории вероятностей Паскаля, который в конечном счете и стяжал лавры славы. Однако предшествовавшие труды Паскаля не заботили. «Пусть не говорят, будто я ничего нового не сказал, — возражает в автобиографии Паскаль. — Новое в построении. Когда мы играем в теннис, мы оба ударяем по одному и тому же мячу, однако один из нас посылает его лучше другого». Данное ниже графическое изобретение называется «треугольником Паскаля». На рисунке я прервал треугольник — последний ряд у него 10, однако он может продолжаться до бесконечности. В действительности, нет ничего проще, поскольку за исключением 1 в вершине треугольника каждое число является суммой чисел рядом выше слева и справа (прибавьте 0, если в верхнем ряду справа или слева чисел нет).
Треугольник Паскаля пригождается всякий раз, когда нужно выяснить количество способов, посредством которых находится некоторое число предметов из общего числа, равного выбираемому числу или превосходящее его. Вот как использовать треугольник при решении задачи о свадебном банкете. Чтобы найти число размещений гостей по 10 человек при их общем количестве в 100, начнем с того, что спустимся по треугольнику до ряда, обозначенного как 100. У треугольника, приведенного мной, такого ряда нет, он заканчивается рядом 10, однако предположим, что наш треугольник продолжен до ряда 100. Первое число в ряду 100 указывает на количество способов, которыми вы можете выбрать 0 гостей из группы в 100 человек. Способ тут, разумеется, один — вы просто-напросто никого не выбираете. Это верно для какого угодно количества гостей в группе, вот почему первое число в каждом ряду — 1. Второе число в ряду 100 обозначает количество способов, которыми можно выбрать 1 гостя из 100. Способов этих 100: можно выбрать гостя номер 1, либо гостя номер 2, ну и так далее. Подобный ход рассуждений применим к каждому ряду, таким образом, второе число в каждом ряду является просто-напросто числом этого самого ряда. Третье число в каждом ряду обозначает число разных вариантов распределения групп из 2 человек. И так далее. Искомое число — варианты распределения групп по 10 человек — таким образом одиннадцатое по счету в ряду. Даже если бы я продлил треугольник до 100 ряда, число оказалось бы слишком большим, чтобы поместиться на странице. И вообще, когда кто-либо из гостей на свадьбе жалуется, что его не туда посадили, можете объяснить, что вычисление всех возможных вариантов посадки заняло бы у вас слишком много времени: исходя из секунды на каждый вариант, пришлось бы потратить около 10 000 млрд лет. Недовольный гость, конечно же, решит, что вы попросту драматизируете.
Чтобы в самом деле воспользоваться треугольником Паскаля, сократим список гостей до 10 человек. Тогда нужный нам ряд как раз будет нижним, надписанный числом 10. Числа в этом ряду обозначают отдельные столики на 0, 1, 2 и так далее из группы в 10 человек. Эти числа вам уже знакомы из задачи про шестиклассников, которым дали контрольную работу — число вариантов неверных ответов ученика на все десять вопросов работы равно числу способов, посредством которых выбираются гости из группы в 10 человек. Такова одна из сильных сторон треугольника Паскаля: одни и те же математические вычисления применимы к разным ситуациям. В случае задачи, где «Янки» и «Смельчаки» боролись за победу в Мировой серии, мы производили утомительные подсчеты всех возможных ситуаций для 5 оставшихся игр. Теперь же узнать число способов, какими «Янки» могут выиграть 0, 1, 2, 3, 4 или 5 игр, можно прямо из ряда 5 треугольника:
Мы с первого взгляда видим, что шанс «Янки» выиграть 2 игры (10 способов) в два раза больше, чем шанс выиграть 1 игру (5 способов).
Стоит вам только познакомиться с данным методом вычислений, как вы заметите: треугольник Паскаля применим во многих случаях. Одно время моя знакомая работала в недавно созданной компании, занимавшейся компьютерными играми. Она рассказывала: начальник маркетингового отдела хотя и соглашался насчет того, что небольшие фокус-группы подходят «только для заключений относительно качества», тем не менее часто говорил о «поразительном» единодушии (4 против 2 или 5 против 1) между членами фокус-группы так, будто оно имело значение. Однако предположим, что в вашей фокус-группе 6 человек высказывают свое мнение о новинке, которую вы разрабатываете. Предположим, что в действительности новинка приходится по душе половине населения. Насколько точно данное предпочтение будет отражено в вашей фокус-группе? Теперь нужный нам ряд треугольника — ряд 6, представляющий число возможных подгрупп как 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6, членам которых ваша новинка может понравиться или не понравиться:
Мы видим, что мнения членов фокус-группы могут разделиться поровну, точно отражая мнение населения, в общем, 20 разными способами. Однако существуют также и 1+6+15+15+6+1=44 способа, которыми можно вычислить нерепрезентативное единодушие: либо «за», либо «против». Поэтому если вы не будете внимательны, шансы сбиться с пути равны 44 из 64, то есть двум третям. Этот пример вовсе не означает: если между членами группы достигнуто согласие, оно случайно. Но и значительным его считать тоже не стоит.
Анализ, произведенный Паскалем и Ферма, оказался первым серьезным шагом на пути к связной математической теории случайности. Последнее письмо из их знаменитой переписки датируется 27 октября 1654 г. Через несколько недель Паскаль испытал нечто, погрузившись на два часа в транс. Одни считают, что это был мистический опыт. Другие — что Паскаль в конце концов оторвался от планеты под названием Разум. Однако, как бы кто ни объяснял происшедшее, Паскаль после пережитого стал другим человеком. Это его преображение способствовало еще одному значительному вкладу в развитие идеи случайности.
#i_001.jpg
В 1662 г., через несколько дней после смерти Паскаля, его слуга заметил, что один карман куртки господина подозрительно оттопыривается. Слуга распорол подкладку и нашел свернутые листы пергамента и бумаги. Видимо, последние восемь лет жизни Паскаль носил их с собой. На листах его рукой были нацарапаны отдельные слова и фразы, датированные 23 ноября 1654 г. Они представляли собой эмоциональное описание того самого состояния транса: Паскаль рассказывал, как Господь в течение двух часов наставлял его на путь истинный.
В итоге Паскаль перестал общаться почти со всеми своими друзьями, называя их «отвратительными привязанностями». Он продал свой экипаж, лошадей, мебель, библиотеку... все, оставил только Библию. Деньги раздал беднякам, оставив себе до того мало, что зачастую вынужден был просить милостыню или занимать, чтобы не умереть с голоду. Он носил на себе железный, с шипами на внутренней стороне пояс: когда он ловил себя на том, что испытывает счастье, затягивал пояс потуже. Паскаль бросил занятия математикой и наукой вообще. О своем юношеском увлечении геометрией он писал: «Я едва помню о существовании этой самой геометрии. Она видится мне до того бесполезной... вероятнее всего, я никогда больше не вспомню о ней».
Однако все это время Паскаль отнюдь не бездействовал. Испытав состояние транса, он в последующие годы записывал свои мысли о Боге, религии, жизни. Мысли эти позднее были опубликованы в книге под названием «Мысли о религии и других предметах» — труд до сих пор переиздается. И хотя Паскаль отрекся от математики, его взгляд на мирскую жизнь и есть математическое обоснование, во время которого он упражнялся в математической вероятности на примере вопросов о теологии — вклад такой же значительный, как и ранняя работа над задачей на тему очков.
Математическое в «Мыслях» изложено на двух листах манускрипта, исписанных с обеих сторон неровным почерком, с большим количеством исправлений. На этих страницах Паскаль подробно изложил анализ «за» и «против» моральных обязательств человека перед Богом, причем сделал это так, будто математикой поверял мудрость заключившего пари. Новаторство было в методе Паскаля, с помощью которого уравнивались «за» и «против» — в наше время это понятие называется математическим ожиданием.
Аргумент Паскаля был таким. Предположим, вы допускаете, что не знаете наверняка, существует Бог или нет, и таким образом шансы вероятности каждого предположения примерно равны — 50% и 50%. Каким образом вы можете взвесить шансы, чтобы решить, стоит или не стоит вести жизнь добродетельную? Если вы будете жить, соблюдая добродетельность, и если Бог существует, писал Паскаль, то ваш выигрыш — вечная жизнь — бесконечно велик. С другой стороны, если Бог не существует, ваш проигрыш, то есть невозможность возвращения на землю, невелик — можно снизить расходы на обряды, посты и всяческие ограничения. Чтобы сравнить возможные выгоды и потери, Паскаль предложил умножить вероятность каждого возможного исхода на его результат и все их сложить, приходя к среднему или же ожидаемому результату. При умножении пусть даже большой вероятности, что Бога нет, на небольшую ценность приза получается величина возможно и большая, но всегда конечная. При умножении любой конечной, даже очень маленькой, вероятности, что Бог окажет человеку милость за его добродетельное поведение, на бесконечно большую ценность приза получается бесконечно большая величина. Паскаль немало знал о бесконечности, чтобы осознавать: результат этих вычислений бесконечен, так что ожидаемый выигрыш от добродетельного поведения бесконечно положителен. Таким образом, Паскаль заключал: любой разумный человек будет следовать законам божьим. В наше время это утверждение известно как «пари Паскаля».
Ожидание — важное понятие не только в азартных играх, но и во всем, что связано с принятием решений. Зачастую «пари Паскаля» считают основой такого раздела математики как теория игр — количественное исследование стратегий оптимального решения в играх. Должен заметить, подобные размышления вызывают привыкание, поэтому я иногда захожу слишком далеко. «Сколько стоит этот парковочный счетчик?» — спрашиваю я у своего сына. Вывеска гласит: 25 центов. Это так, однако 1 раз в 20 или около того приездов я прихожу поздно и нахожу талон на 40 долларов, так что 25 центов на самом деле жестокая приманка, объясняю я, потому что моя реальная плата равна 2 долларам 25 центам. (Дополнительные 2 доллара выходят благодаря 1 из 20 шансов получить талон, умноженный на его стоимость в 40 долларов.) «А что ты скажешь насчет нашей подъездной аллеи? — спрашиваю я другого своего сына. — Ее можно назвать платной?». Дело в том, что мы прожили в нашем доме лет 5 или же 2400 раза отъезжали от дома по аллее задом, и 3 раза я задевал зеркалом за торчащий столб ограды, что каждый раз обходилось мне в 400 долларов. С таким же успехом можешь установить на столбе аппарат по сбору платы и каждый раз, выезжая задом, бросать 50 центов, отвечает мне сын. Он понимает, что такое ожидание. (А еще советует мне не везти их с братом в школу, пока я не выпью свою чашечку кофе.)
Если смотреть на мир через объектив математического ожидания, можно стать свидетелем удивительного. Например, недавняя лотерея, которую распространяли по почте, сулила выигрыш в 5 млн долларов. Только и нужно было, что сделать ставку по почте. Делать ставки можно сколько угодно, только высылать их нужно каждую отдельно. Видимо, спонсоры ожидали что-то около 200 млн, потому что внизу мелкими буквами указывалось: шансы на выигрыш равны 1 из 200 млн. Стоит ли принимать участие в таких вот «бесплатных лотереях»? Умножая вероятность выигрышных разов на выигрыш, получаем, что каждая ставка равна 1 /40 доллара или 2,5 центам — это гораздо меньше, чем почтовые расходы при отправке. В действительности, больше всех в этой лотерее выигрывает почта, которая, при условии правильности предполагаемых показателей, должна получить почти 80 млн со всех почтовых отправлений.
А вот еще одна сумасшедшая игра. Предположим, администрация Калифорнии объявит населению штата следующее: все те, кто вложит доллар-другой, ничего не приобретут, однако один получит целое состояние, а еще один будет лишен жизни жестоким способом. Кто-нибудь решится сыграть в такую игру? Еще как решится! Называется эта игра «государственная лотерея». И хотя государство рекламирует игру совсем не так, как это только что сделал я, на самом деле именно так все и происходит. В каждой игре один счастливчик получает крупную сумму, а миллионы других участников ездят к продавцам билетов, и при этом некоторые погибают в автокатастрофах. Если обратиться к статистике государственной дорожной инспекции и прикинуть, как далеко приходится ездить за билетом каждому из участников, сколько каждый из участников покупает билетов и сколько людей оказываются жертвами типичных аварий на дорогах, получится, что допустимое число несчастных случаев равно примерно одной смерти на игру.
Администрация штата обычно не принимает в расчет доводы о возможных негативных последствиях лотерей. И это потому, что в большинстве своем они достаточно осведомлены о математическом ожидании, чтобы рассчитать: на каждый купленный билет ожидаемые выигрыши — общая сумма призовых денег, поделенная на число купленных билетов — меньше стоимости одного билета. Обычно получается недурная сумма, которая перекочевывает в государственные закрома. Однако в 1992 г. некоторые инвесторы в австралийском Мельбурне заметили, что в Вирджинской лотерее этот принцип нарушается. По условиям игры необходимо выбрать 6 чисел из группы от 1 до 44. Если бы нам удалось настолько продлить треугольник Паскаля, мы бы увидели, что существует 7 059 052 способов выбрать 6 чисел из группы от 1 до 44. Лотерейный джекпот составлял 27 млн долларов, а если считать вместе со вторым, третьим и четвертым призами, то и все 27 918 561 доллар. Сообразительные инвесторы возразили: если купить один билет с каждой из возможных 7 059 052 числовых комбинаций, стоимость этих билетов будет равна сумме джекпота. Значит, каждый билет будет стоить около 27,9 млн долларов разделенные на 7 059 052, то есть около 3,95 долларов. А по какой цене администрация штата Вирджиния, при всей ее мудрости, продает билеты? Как обычно: по 1 доллару.
Австралийские инвесторы быстро нашли 2.500 мелких инвесторов в Австралии, Новой Зеландии, Европе и США, каждый из которых согласился вложить в среднем по 3 тыс. долларов. Если все рассчитано правильно, примерный доход от этих вложений — 10 800 долларов. Однако план содержал в себе кое-какие риски. Во-первых, так как не они одни покупали билеты, существовала вероятность, что другой, и даже не один, а несколько окажутся с выигрышным билетом, то есть, выигрыш придется делить. Лотерея проводилась уже 170 раз; в 120 случаях победителя не оказывалось, в 40 случаях оказывался один победитель и лишь в 10 случаях — два. Если подобная частотность точно отражала ситуацию с шансами, тогда следовало, что в 120 случаях из 170 инвесторы получили бы весь выигрыш, в 40 случаях из 170 у них оказалась бы только половина, а в 10 случаях из 170 — лишь треть. Подсчитывая ожидаемый выигрыш с помощью принципа математического ожидания Паскаля, они пришли к следующей цифре: (120/170x27,9 млн долларов) + (40/170х13,95 млн долларов) + (10/170x6,975 млн долларов) = 23,4млн долларов. А это 3,31 доллара за билет — неплохой доход с 1 доллара, даже после всех затрат.
Но существовала и другая опасность: кошмар службы логистики в связи с завершением выкупа всех билетов к окончанию срока розыгрыша. Могли потребоваться существенные незапланированные расходы, а значительную призовую сумму можно было так и не получить.
Члены инвестиционной группы тщательно подготовились. Они от руки, как того требуют правила, заполнили 1,4 млн билетов: каждый билет участвовал в пяти розыгрышах. В 125 торговых точках расставили выкупщиков и заручились поддержкой продуктовых магазинов, которые получали доход с каждого проданного билета. Схема была запущена за трое суток до завершения лотереи. Служащие магазинов работали посменно, чтобы успеть продать как можно больше билетов. В одном магазине за последние двое суток продали 75 тыс. билетов. Другой магазин, сетевой, принял банковских чеков на 2,4 млн билетов, распределил работу по печатанию билетов между своими торговыми точками и нанял курьеров, чтобы собрать их. И все-таки под конец группе не хватило времени: они купили всего 5 млн билетов из 7 059 052.
Прошло несколько дней с момента объявления выигрышного билета, но за выигрышем никто не явился. Выиграл консорциум инвесторов, однако им пришлось ждать в течение нескольких дней, чтобы удостовериться в этом. Затем, когда чиновникам от государственной лотереи стало известно, что выиграл консорциум, они стали уклоняться от выплаты призовых денег. Последовал целый месяц пререканий между юристами той и другой сторон, пока чиновники не признали: у них нет веских причин для отказа в выплате. В конце концов, инвесторы свой выигрыш получили.
Изучая понятие случайности, Паскаль обогатил науку своими идеями в отношении расчетов, а также понятием математического ожидания. Интересно, какие еще открытия совершил бы Паскаль, не брось он занятия математикой, не пошатнись его здоровье. Однако ничего больше не произошло. В июле 1662 г. Паскаль тяжело заболел. Врачи предписали традиционные для того времени средства: кровопускания, бесконечные очищения организма, клизмы, рвотные. На некоторое время ему стало лучше, но потом болезнь вернулась, а с ней и сильные головные боли, головокружения, судороги. Паскаль дал обет: если поправится, посвятит свою жизнь помощи бедным. Он попросил перевести его в клинику для неизлечимо больных — в случае своей скорой смерти он хотел быть среди них. Паскаль в самом деле умер — несколько дней спустя, в августе 1662 г. Ему было тридцать девять. Вскрытие показало, что причиной смерти было кровоизлияние в мозг. Кроме того, обнаружились патологические изменения в печени, желудке, кишках, чем и объяснялись болезни, терзавшие Паскаля всю жизнь.