Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Позаментье Альфред

Крулик Стивен

Глава 9

Учет всех возможностей

 

 

Мы знаем, что организация данных иногда очень облегчает поиск решения. Если нужно выявить, например, закономерность, то аккуратное представление данных в виде списка или таблицы может помочь в этом. Особенно интересны здесь исчерпывающие списки, т. е. списки, в которых систематизированно перечисляются все существующие возможности. В таких списках часто обнаруживается то, что мы ищем. Составление исчерпывающего списка позволяет тщательно проанализировать все возможности.

В качестве примера предположим, что у вас не работает лампа. Попробуем перечислить все возможности. (Конечно, это можно сделать мысленно, но в результате вы все равно получите список.) Проблема может крыться в перегоревшей лампочке, оборванном проводе, неработающей розетке, сработавшем предохранителе или неисправном выключателе. Проверяя возможности одну за другой, мы в конечном итоге дойдем до той, которая является причиной неисправности. Математический пример может выглядеть так:

Имеется двузначный квадрат целого числа. Если вставить одну цифру между существующими двумя, то получится трехзначный квадрат целого числа. Какие трехзначные квадраты чисел мы получаем?

Проанализируем все возможности. Прежде всего, составим исчерпывающий список двузначных квадратов целых чисел, их шесть:

16, 25, 36, 49, 64, 81.

Теперь составим исчерпывающий список трехзначных квадратов целых чисел:

100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961.

Выберем из второго списка те числа, которые можно составить, вставив какую-либо цифру между первой и второй цифрами двузначных квадратов целых чисел. Такому условию удовлетворяют только 196 (вставлена 9 между цифрами числа 16), 225 (вставлена 2 между цифрами числа 25) и 841 (вставлена 4 между цифрами числа 81). Два исчерпывающих списка сделали очевидными все возможности. Обратите внимание на то, что исчерпывающий список не только содержит ответ задачи, но ограничивает количество исследуемых возможностей.

Вот еще один пример использования этой полезной стратегии.

На скамейке в парке сидят два человека. Один из них — женщина. Какова вероятность того, что и второй тоже окажется женщиной?

Составим список всех возможностей (М = мужчина, Ж = женщина):

М — М М — Ж Ж — М Ж — Ж.

В список пошли четыре возможности, однако в нашей задаче первую, М — М, не нужно учитывать, поскольку известно, что как минимум один человек — женщина. У нас остаются три варианта, и лишь в одном из них могут быть две женщины. Таким образом, ответом на поставленный вопрос будет вероятность, равная.

Чтобы еще лучше увидеть ценность такого подхода к решению задач, рассмотрим еще один пример:

В двух залах местного кинотеатра показывают по утрам разные мультфильмы. Утренние сеансы в обоих залах должны заканчиваться к 13:00, когда начинается демонстрация художественных фильмов. В зале A первый сеанс мультфильмов начинается в 9:00, второй в 9:28, а потом через каждые 28 минут. В зале B первый сеанс тоже начинается в 9:00, но потом сеансы повторяются через 35 минут. Джоанн хочет попасть на просмотр мультфильмов в обоих залах. Во сколько два последующих сеанса начинаются одновременно?

Составим исчерпывающий список времени начала сеансов в обоих залах.

Любой последующий сеанс должен был бы начаться уже после 13:00. Мы перечислили все возможности! Где-то в этом списке всех должен находиться ответ. Список показывает лишь одно время, когда начало сеансов в обоих залах совпадает — 11:20.

Такая стратегия очень эффективна, но вы должны убедиться в том, что перечислили все без исключения возможности! Только тщательная организация данных может дать вам полную уверенность. Как и в случае с другими стратегиями, необходимо обдуманно подходить к выбору той, которая подходит в данном случае. Стратегия учета всех возможностей может сделать решение более очевидным.

 

Задача 9.1

 

Учитель математики замечает, что его нынешний возраст представляет собой простое число. Он обнаруживает, что в следующий раз его возраст станет простым числом через столько же лет, сколько прошло с той поры, когда возраст был простым числом в прошлый раз. Сколько лет учителю математики?

 

Обычный подход

У этой задачи не так много альтернативных способов решения. Обычно начинают перебирать числа в надежде «наткнуться на подходящее».

 

Образцовое решение

Здесь наверняка нам пригодится стратегия учета всех возможностей. Рассмотрим следующий список:

В списке простых чисел от 1 до 100 (хотя в ситуации учителя математики можно было бы ограничиться числами в диапазоне от 20 до 80) только в двух случаях три последовательных простых числа имеют одинаковую разность. Первый случай — 3, 5 и 7 — нам не подходит, поскольку пятилетних учителей математики не бывает. Второй случай — 47, 53 и 59 — укладывается в подходящий возрастной диапазон. Таким образом, учителю математики должно быть 53 года.

 

Задача 9.2

 

Найдите количество сочетаний, при которых 20 монет достоинством 5 центов, 10 центов и 25 центов могут составить в сумме $3,10.

 

Обычный подход

Большинство людей сразу начинают составлять алгебраические уравнения, отражающие информацию из условий задачи. В результате они получают: n + d + q = 20, где n, d и q — количество 5-, 10- и 25-центовых монет соответственно. Это можно записать, как n = 20 — q — d. Кроме того, 25q + 10d + 5n = 310, что при объединении с предыдущими двумя уравнениями дает: 25q + 10d + 5 (20 — q — d) = 310. Отсюда 4q + d = 42, или После этого остается лишь подставлять разные значения, чтобы выявить наилучший результат.

 

Образцовое решение

У нас, однако, есть более рациональный метод, а именно учет всех возможных значений d. Прежде всего, мы замечаем, что q должно быть целым числом, а значит необходимо выделить дробную часть q, т. е. или d = 2–4k. Подставив это в приведенное выше уравнение, мы получаем q = 10 + k, а n = 20 — q — d = 20 — (10 + k) — (2–4k), или n = 8 + 3k.

Поскольку d = 2–4k, значение k может быть либо нулевым, либо отрицательным.

В таблице ниже приведены возможные значения k и вытекающие из него значения d, q и n.

При k = 0, –1, –2 мы получаем реальные варианты. Когда же k = –3, d = 2–4(–3) = 14, а n = 8 + 3(–3) = –1, что не имеет смысла в этой задаче. Таким образом, количество сочетаний, при которых сумма составляет $3,10, равно трем.

 

Задача 9.3

 

Для доставки консервов из тунца компания может использовать небольшие коробки, в которые входит восемь банок, и коробки побольше, вмещающие 10 банок. С целью экономии компания старается чаще использовать большие коробки. Если заказ составляет 96 банок, то как лучше упаковать его для отправки?

 

Обычный подход

Эта задача имеет любопытное математическое решение. Если обозначить как x количество небольших коробок, а как y количество больших коробок, то мы получим уравнение:

8 x + 10 y = 96.

В этом уравнении, однако, две неизвестные, что обычно означает наличие множества решений. Такое уравнение, где значения x и y могут быть только целыми, называют диофантовым по имени древнегреческого математика Диофанта (примерно 208–292 гг. н. э.). Попробуем решить его. Выразим x через y:

Значение члена должно быть целым, чтобы получить целое значение x. Пусть y = 4. Тогда а x = 12 − 4–1 = 7. Таким образом, мы получаем семь маленьких коробок и четыре больших. Могут ли существовать другие ответы? Попробуем поискать их. Аналогичным образом можно принять y = 0 и получить 12 и 0. Наконец при y = 8 мы получаем x = 2.

 

Образцовое решение

Для решения этой задачи лучше всего подходит стратегия учета всех возможностей и представление данных в табличной форме.

Похоже, мы сразу получили один правильный ответ! Он удовлетворяет численным условиям задачи — необходимо отправить 96 банок. Вместе с тем единственная ли это возможность? В конце концов, такой ответ означает, что компания не использует ни одной большой коробки. А из условий нам известно, что она стремится использовать максимальное количество больших коробок. Поэтому продолжим таблицу и попробуем найти все возможные варианты.

Существуют три варианта упаковки: 2 маленьких коробки и 8 больших; 7 маленьких коробок и 4 больших; 12 маленьких коробок и 0 больших. Вместе с тем, поскольку компания стремится использовать максимальное количество больших коробок, ответ для нашей задачи — 2 маленькие коробки и 8 больших. Обратите внимание на то, что с математической точки зрения все три ответа удовлетворяют условию, в соответствии с которым необходимо отправить 96 банок. Контекст задачи, однако, заставляет отбросить два варианта ответа из тех трех, что позволила выявить таблица.

 

Задача 9.4

 

На стандартном игральном кубике точки на противоположных гранях составляют в сумме 7. Сколько разных сумм дают точки на трех соседних гранях стандартного кубика?

 

Обычный подход

Одни обычно пытаются нарисовать кубик и последовательно подсчитать точки на соседних гранях. Другие начинают выписывать возможные сочетания точек на трех гранях, независимо от того, находятся они рядом или нет.

 

Образцовое решение

Организуем данные таким образом, чтобы можно было учесть все возможности. Поскольку сумма точек на противоположных гранях равна 7, варианты сочетания могут быть лишь такими:

1 и 6;

2 и 5;

3 и 4.

Известно, что у трех соседних граней должна быть общая вершина. Всего вершин у кубика восемь, поэтому наборов из трех соседних граней тоже должно быть восемь. Посмотрим, разные у них суммы точек или нет. Для этого перечислим все возможные сочетания по три, выбирая одно число на описанных выше трех парах противоположных граней, а потом определим их суммы. Чтобы не пропустить ни одной возможности, выбор будем проводить упорядоченно:

Существует восемь разных сумм, как и следовало ожидать при восьми вершинах.

 

Задача 9.5

 

Во время последней переписи населения респондент сказал переписчику, что у него трое детей. Когда его спросили об их возрасте, он ответил, что не может сказать этого, но произведение их возрастов равно 72, а сумма такая же, как номер нашего дома. Переписчик выбежал на улицу, посмотрел номер дома и сказал, что все равно не понимает. Тогда респондент добавил: «Ах да, я забыл сказать, что мой старшенький любит блинчики с черникой». После этого переписчик быстро заполнил графу возраста. Сколько лет детям респондента? (Рассматривайте только целые числа.)

 

Обычный подход

Самый распространенный подход — попытаться составить ряд уравнений. Если обозначить возраст трех детей, как x, y и z, то мы получаем:

Здесь мы заходим в тупик: у нас система из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Такую задачу, похоже, невозможно решить. Можно, конечно, попробовать угадать, но на это потребуется уйма времени.

 

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией учета всех возможностей. Поскольку произведение возрастов равно 72, начнем с перечисления всех троек чисел, которые при перемножении дают 72. Не будем забывать также об аккуратной организации данных, чтобы не упустить какую-нибудь возможность.

Это полный список триад чисел, произведение которых равно 72. Где-то в нем прячется ответ. Мы также знаем, что сумма возрастов равна номеру дома:

Переписчик видел номер дома, однако все равно не мог определить возраст детей. Почему? Если, например, номер дома равен, скажем, 18, то возраст становится очевидным — 1, 8 и 9. Однако невозможность определить правильную тройку чисел предположительно связана с тем, что есть две тройки чисел, дающие в сумме 14. Иначе говоря, у дома должен быть номер 14. Вместе с тем, как только респондент произнес слова «мой старшенький любит блинчики с черникой», переписчик понял, что один ребенок должен быть старшим. В этом случае возраст детей равен 3, 3 и 8, поскольку в тройке 2, 6 и 6 нет единственного старшего.

Обратите внимание на то, что блинчики с черникой на деле всего лишь отвлекающие слова. Ключом к решению задачи является слово «старшенький».

 

Задача 9.6

 

Сколько общих для двух окружностей касательных можно провести на рис. 9.1?

 

Обычный подход

Можно попробовать построить общие касательные и сосчитать их, однако нет никакой гарантии, что это будут все касательные, поскольку рисунок довольно обманчив.

 

Образцовое решение

Чтобы организованно подойти к решению этой задачи, нужно брать по две окружности за раз и учитывать все возможности.

Окружности A и B: 2 внешних касательных + 1 внутренняя;

Окружности A и C: 2 внешних касательных + 2 внутренних;

Окружности B и C: 2 внешних касательных.

Таким образом, суммарное количество общих касательных равно девяти. Задача легко решается путем учета всех возможностей.

 

Задача 9.7

 

Мария помогает отцу укладывать плитку на пол прямоугольной комнаты для игр. Всего у них ушло ровно 2005 квадратных плиток двух цветов — черного и белого. Периметр в одну плитку шириной был полностью черным. Остальная плитка имела белый цвет. Сколько белых плиток потребовалось, чтобы покрыть пол?

 

Обычный подход

Если сделать рисунок, то мы получим два прямоугольника, как показано на рис. 9.2. Если размеры внутреннего прямоугольника x и y, то ширина внешнего равна x + 2, а длина — y + 2.

Естественная реакция — представить полученную информацию алгебраически в форме уравнения:

( x + 2) ( y + 2) = 2005.

Выполнив умножение и упростив это уравнение, мы получим:

xy + 2 y + 2 x + 4 = 2005;

xy + 2 y + 2 x = 2001.

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными, и нам нужно найти xy. Это тупик, а не решение.

 

Образцовое решение

Подойдем к имеющейся информации с другой стороны и рассмотрим все возможности. Количество плиток, 2005, можно разложить на множители только двумя путями: либо 1 × 2005, либо 5 × 401. Это дает два возможных размера искомого прямоугольника. Первую ситуацию можно отбросить, поскольку при ширине в одну плитку для белых плиток места нет. Следовательно, в игровой комнате должно быть 5 × 401 плиток. Поскольку снаружи выполнена «рамка» шириной в одну плитку, размеры внутреннего прямоугольника из белых плиток на две плитки меньше в каждом направлении. Если уменьшить каждое направление на две плитки, то количество белых плиток для внутреннего прямоугольника составит 3 × 399, или 1197. Таким образом, для покрытия пола было использовано 1197 белых плиток.

 

Задача 9.8

 

Даны целые числа от –100 до +100. Сколько таких чисел при возведении в квадрат имеют цифру 1 в разряде единиц?

 

Обычный подход

Естественная реакция — начать с выписывания всех целых чисел от 1 до 100. Затем их по очереди возводят в квадрат и подсчитывают те, у которых в конце стоит 1. Результат после этого удваивают, чтобы учесть числа от –1 до –100.

 

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией учета всех возможностей. Единственными числами, квадраты которых могут иметь цифру 1 в разряде единиц, являются те, что оканчиваются на 1 или 9. Таким образом, существует всего 20 возможностей, а именно 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 и 99. Удвоив это количество, чтобы учесть все возможности в отрицательном диапазоне, мы получаем ответ — 40 целых чисел.

 

Задача 9.9

 

На рис. 9.3 показаны три грани куба. Если продолжить нумерацию на остальных гранях куба, то чему будет равна сумма номеров всех шести граней?

 

Обычный подход

Большинство людей замечают, что числа на гранях куба начинаются с 48 и 49. Чаще всего они просто продолжают числовой ряд и получают следующие номера на гранях: 48, 49, 50, 51, 52, 53. Поскольку номер третьей грани, а именно 52, присутствует в этой последовательности, некоторые останавливаются и дают в качестве ответа сумму перечисленных номеров — 303.

 

Образцовое решение

Вместе с тем в приведенном выше решении учтены не все возможности. Мы видим три грани из шести. Поскольку нам видны номера 48, 49 и 52, значит обязательно должны быть 50 и 51. Шестой номер, однако, может находиться на любом конце последовательности. Таким образом, существуют два варианта шестого номера — 47 или 53. Это дает две возможные суммы — 297 и 303.