Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Позаментье Альфред

Крулик Стивен

Глава 1

Логическое рассуждение

 

 

Выделение целой главы такой стратегии, как логическое рассуждение, может показаться излишним. В самом деле, без логического мышления, хотя оно и используется для решения задач, немыслимо применение ни одной стратегии. Для многих людей решение задач является практически синонимом логического рассуждения, или логического мышления. Так зачем же тогда нужна эта глава, и зачем вообще выделять эту стратегию?

В повседневной жизни мы прибегаем к логическому рассуждению, когда спорим о чем-нибудь с кем-то. И это понятно — во время спора мы рассчитываем на то, что определенные доводы будут вызывать конкретную реакцию. На работе мы с помощью логической цепочки доводов добиваемся изменения того или иного производственного процесса. Мы логически выстраиваем цепочку утверждений в надежде на получение желаемого вывода. В суде, например, адвокаты используют логическое рассуждение, чтобы представить дело в нужном им свете. Если мы назначаем кому-то встречу через два дня, а сегодня суббота, то логика подсказывает нам, что встреча должна состояться в понедельник.

В математике некоторые задачи решаются без использования каких-либо других стратегий, включая и представленные в этой книге. Они требуют строгих рассуждений и формулирования утверждений, которые логически вытекают одно из другого. Возьмем, например, такую задачу.

Найдите все пары простых чисел, сумма которых равна 741.

Многие наверняка составят перечень всех простых чисел меньше 741 и будут подбирать к ним пару, дающую в сумме 741. Вместе с тем работу можно упростить с помощью логического рассуждения. Если сумма двух чисел является нечетным числом, то одно из слагаемых должно быть нечетным, а другое — четным. Как известно, существует только одно четное простое число — 2. Значит, другим числом должно быть 739 (а 739 — это простое число). Таким образом, мы нашли все пары, которые удовлетворяют условиям задачи.

Рассмотрим еще одну задачу, которая решается путем логического рассуждения.

Палиндромическим называют такое число, которое читается одинаково слева направо и справа налево. Примерами трехзначного и четырехзначного палиндромов являются 373 и 8668. Мария выписала все трехзначные палиндромы на листочки бумаги и положила их в большую коробку. Мигель выписал все четырехзначные палиндромы и положил листочки с числами в ту же коробку. Учитель тщательно перемешал листочки и попросил Лору взять один из них не глядя. Какова вероятность того, что она вытащит четырехзначный палиндром?

Один из способов решения — выписать все трехзначные и четырехзначные палиндромы, пересчитать их и определить искомую вероятность. Такой подход дает надежный результат, хотя и требует времени. Вместе с тем логическое рассуждение позволяет упростить работу. В качестве примера трехзначного палиндрома можно взять 373. Чтобы превратить его в четырехзначный палиндром, нужно всего лишь удвоить среднюю цифру — 3773. Повторяя это действие, мы можем превратить каждый трехзначный палиндром в четырехзначный. Таким образом, количество четырехзначных палиндромов равно количеству трехзначных, и вероятность выбора листочка с четырехзначным палиндромом составляет один из двух, или

Покажем еще на одном примере, насколько просто решаются задачи путем логического рассуждения.

На прилавке цветочного магазина стоят три коробки с декоративными бантиками для украшения подарочной упаковки. Марк решил пометить коробки ярлыками с надписями «Красные», «Белые» и «Разноцветные» (красно-белые). К сожалению, он наклеил эти ярлыки неправильно. Поскольку коробки стоят высоко, Марк не может заглядывать в них. Он знает, что коробки помечены неправильно, и хочет достать бантик из одной из них. Из какой коробки ему нужно достать бантик, чтобы пометить коробки правильно?

Давайте порассуждаем. Для начала заметьте, что все сказанное о коробке с ярлыком «Белые» в равной мере относится и коробке с ярлыком «Красные». Здесь существует своего рода симметрия. Поэтому, пусть Марк возьмет один бантик из коробки с ярлыком «Разноцветные». Если бантик окажется красным, то в этой коробке на самом деле находятся только красные бантики, поскольку они не разноцветные. Пометим ее как «Красные». Коробка с ярлыком «Белые» не может содержать чисто белые бантики, поэтому она должна получить ярлык «Разноцветные». Наконец, на коробку, ошибочно помеченную как «Красные», нужно наклеить ярлык «Белые».

Обратите внимание на то, что для решения каждой из рассмотренных задач необходимы всего лишь логическое рассуждение и размышление. Это ни в коей мере не означает, что логическое мышление не требуется при использовании других стратегий решения задач, однако задачи, представленные в этой главе, решаются почти исключительно путем логического рассуждения.

 

Задача 1.1

 

Макс начинает отсчитывать натуральные числа в порядке увеличения: 1, 2, 3, 4, …, а Сэм ведет отсчет с той же скоростью, но в обратном порядке от числа x: x, x — 1, x — 2, x — 3, x — 4, … Когда Макс доходит до 52, Сэм называет число 74. С какого числа (x) Сэм начал обратный отсчет?

 

Обычный подход

Столкнувшись с такой задачей, большинство людей обычно пытаются воспроизвести описанную ситуацию, т. е. выполнить одновременно процедуры отсчета, чтобы посмотреть, какой получится результат. Сложность здесь, однако, заключается в том, что начальное число для обратного отсчета неизвестно, поэтому, скорее всего, будут использоваться прямой отсчет и метод последовательного приближения. Это не только долго, но и очень трудно.

 

Образцовое решение

Подойдем к решению задачи логически. Макс отсчитал 52 числа, а значит и Сэм отсчитал такое же количество чисел. Можно представить 52-е число Сэма как x — 51. Как известно, это число равно 74. Таким образом, мы получаем уравнение x — 51 = 74, из которого следует, что x = 125.

 

Задача 1.2

 

У нас 100 кг свежих ягод, в которых 99 % массы приходится на воду. Через некоторое время содержание воды в ягодах уменьшается до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?

 

Обычный подход

Чаще всего говорят, что после испарения 1 % воды вес ягод должен уменьшиться до 99 %, а значит ягоды весят 99 кг. Это неправильно!

 

Образцовое решение

Попробуем найти ответ путем логического рассуждения. Исходно в ягодах содержится 99 % воды, т. е. в них 99 кг воды и 1 кг сухого вещества, иначе говоря, масса сухих ягод составляет 1 %. Масса сухого вещества не меняется: в конце процесса сушки она так и останется равной 1 кг. Вместе с тем доля того, что не является водой, удваивается до 2 %.

Для того, чтобы нечто, имеющее фиксированное количество (1 кг сухого вещества в нашем случае), удвоило свою долю (с 1 % до 2 %), суммарное количество смеси должно уменьшиться в два раза. В начале у нас был 1 % сухого вещества, или а в конце — 2 %, или что сокращается до т. е. мы получаем 1 кг сухого вещества в 50 кг суммарной массы. Таким образом, в конце в ягодах остается 49 кг воды.

 

Задача 1.3

 

Во время школьного эксперимента Мигель многократно бросает обычный шестигранный игральный кубик. Он следит за каждой выпавшей цифрой и хочет остановиться, как только одна цифра выпадет три раза. Мигель останавливается после 12-го броска, и сумма выпавших цифр составляет 47. Какая цифра выпала третий раз? (Обычный шестигранный игральный кубик имеет цифры от 1 до 6.)

 

Обычный подход

Одно из решений — это взять игральный кубик и поэкспериментировать с ним. Получить точно 47 очков за 12 бросков довольно трудно, но даже если это и получится, то такое решение нельзя назвать изящным!

 

Образцовое решение

Давайте порассуждаем. За 11 бросков ни одна цифра не выпала три раза, иначе эксперимент закончился бы. Это означает, что пять цифр выпали дважды, а одна — лишь однократно. Обозначим эту цифру символом M. Если M выпадет в 12-м броске, то сумма будет равна 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 42. Таким образом, сумма после 11 бросков составляет 42 — M. Если N — число, выпавшее в третий раз, то 42 — M + N = 47, а N — M = 5. Мы знаем, что N и M могут иметь значения только от 1 до 6. Единственные два числа из данного ряда, которые имеют разность 5, это 6 и 1. С учетом такого ограничения уравнение N — M = 5 имеет единственное решение, где M = 1, а N = 6. Таким образом, в третий раз выпала цифра 6.

 

Задача 1.4

 

Имеется треугольник, периметр которого численно равен его площади. Чему равен радиус вписанной в треугольник окружности?

 

Обычный подход

Обычно при решении этой задачи строят чертеж, как показано на рис. 1.1, и подбирают значения в попытке найти ответ. При таком подходе нужно быть готовым к разочарованиям.

 

Образцовое решение

Для решения этой задачи необходимо немного логики и следование поставленным условиям. Начнем с треугольника ABC, периметр которого равен p = AB + BC + CA. Обозначим символом O центр вписанной окружности с радиусом r. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOB, BOC и COA с основаниями AB, BC и CA, соответственно, и высотой r. Это дает нам следующее уравнение:

Поскольку периметр треугольника численно равен его площади, мы получаем:

 

Задача 1.5

 

В США президентов выбирают каждые четыре года в годы, кратные 4. Некоторые из этих лет являются также квадратами целых чисел. Сколько президентских выборов между 1788 и 2016 годами пришлось на годы, которые являются квадратами простых чисел? В каких годах они проводились?

 

Обычный подход

Один из путей решения этой задачи — перебор всех четырехлетних периодов между 1788 и 2016 г. Поскольку 1788 делится на 4, то это будет первый год президентских выборов в рассматриваемом диапазоне. Таким образом, можно составить перечень этих лет (1788, 1792, 1796, …, 2012, 2016), а затем извлечь квадратный корень из каждого для определения тех лет, которые являются квадратами целых чисел. Калькулятор, конечно, облегчит задачу, но процесс решения все равно будет долгим и нудным!

 

Образцовое решение

Это отличный пример применения стратегии логического рассуждения. Прежде всего, кратным 4 может быть только четный год, поэтому можно отбросить все нечетные годы. Помимо этого, квадратные корни из этих лет должны лежать в интервале от 40 до 50, поскольку:

40 2 = 1600 (до заданного диапазона);

42 2 = 1764 (до заданного диапазона);

44 2 = 1936;

46 2 = 2116 (после заданного диапазона).

В пределах заданного диапазона находится только 1936 г. Таким образом, 1936 — это единственный год президентских выборов, который является квадратом целого числа.

 

Задача 1.6

 

Джимми подбрасывает одновременно две монетки. Он делает это до тех пор, пока хотя бы на одной монетке не выпадет орел (О). На этом игра заканчивается. Какова вероятность того, что в последнем подбрасывании орел выпадет на обеих монетках?

 

Обычный подход

Первая реакция — это взять две монетки и посмотреть, какими будут результаты после большого числа подбрасываний. Вместе с тем, как и в большинстве вероятностных экспериментов, пространство выборок чаще всего оказывается слишком маленьким, чтобы предсказать результат с приемлемой точностью.

 

Образцовое решение

Обратимся к стратегии логического рассуждения. При выполнении этого эксперимента все предыдущие подбрасывания монеток не имеют значения. Значение имеет только одно подбрасывание, в результате которого выпадает орел (О). Поэтому ограничимся анализом только этого последнего подбрасывания. Возможными являются четыре варианта:

В трех из этих четырех вариантов выпадает как минимум один орел. Орел не выпадает только в одном варианте — его можно отбросить. Единственный вариант с двумя орлами — это ОО. Таким образом, вероятность составляет

 

Задача 1.7

 

У одних пород свиней рождаются поросята с двумя завитками на хвостах, у других пород — с тремя завитками. Фермер поручает своим детям подсчитать, сколько свиней находится в свинарнике. Дети, одержимые математикой, сообщают ему, что количества свиней с двумя завитками и с тремя завитками выражаются простыми числами, а общее количество завитков на хвостах равно 40. Сколько свиней в свинарнике фермера?

 

Обычный подход

Если взять за x количество свиней с двумя завитками на хвостах, а за y — количество свиней с тремя завитками, то мы получаем уравнение 2x + 3y = 40. Это одно уравнение с двумя неизвестными. Числа здесь сравнительно невелики, поэтому можно попробовать найти ответ путем подстановки различных значений x и y. Вместе с тем, поскольку известно, что x и y простые числа, выбор ограничивается следующими величинами: 19, 17, 13, 11, 7, 5, 3 и 2. В любом случае процесс решения довольно длителен, скучен и громоздок.

 

Образцовое решение

Если взять за x количество свиней с двумя завитками на хвостах, а за y — количество свиней с тремя завитками, то 2x + 3y = 40, как мы уже говорили. Однако на этот раз пойдем дальше и проанализируем полученное уравнение, опираясь на логику. Поскольку и 40, и 2x — четные числа, четным числом должен быть и y, иначе сумма (40) не будет четной. Поскольку y — простое число, он должен быть равен 2 (это единственное четное простое число), а 3y должно равняться 6. Теперь решим уравнение для x:

2 x + 6 = 40,

2 x = 34,

x = 17.

У фермера в свинарнике 17 + 2, или 19 свиней.

 

Задача 1.8

 

Число называют «специальным», если оно делится на сумму составляющих его цифр. Какое из следующих чисел удовлетворяет этому условию?

11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111.

 

Обычный подход

Обычно мы подсчитываем сумму цифр в каждом числе и делим число на эту сумму. Например, 11 должно делиться на 1 + 1, или на 2. Но оно не делится на 2, поэтому 11 не является специальным числом. Если действовать таким образом, то нам придется решить восемь небольших задачек.

 

Образцовое решение

Хотя описанный выше подход в конечном итоге позволяет решить задачу, воспользуемся логическим рассуждением для поиска более изящного решения. Прежде всего, очевидно, что все приведенные числа являются нечетными, поскольку ни одно из них не оканчивается на 2, 4, 6, 8 и 0. Четное количество единиц даст нам четную сумму. Это позволяет отбросить числа с четной суммой единиц: 11, 1111, 111111 и 11111111. Помимо этого, число 11111 не делится на 5, поскольку оно не оканчивается на 0 или 5.

Если проверить число 1111111, то окажется, что оно не делится на 7. В результате у нас остаются всего два числа. Число 111 делится на 3, т. е. на сумму входящих в него цифр (3 × 37). Аналогичным образом число 111111111 делится на 9 (т. е. 9 × 12 345 679). Таким образом, 111 и 111111111 являются двумя «специальными» числами в приведенном числовом ряду.

 

Задача 1.9

 

Наименьшее число, которое делится на первые девять целых чисел, равно 2520. Какое наименьшее число будет делиться на первые 13 целых чисел?

 

Обычный подход

Проще всего найти все множители для первых 13 целых чисел и перемножить их. Это, правда, потребует много времени и утомительных вычислений. Не забывайте, что множители нельзя повторять (например, множитель 8 недопустим, поскольку 4 и 2 уже использовались). Так или иначе, данный метод позволяет в конечном итоге получить правильный ответ, если, конечно, все сделать тщательно и без ошибок.

 

Образцовое решение

Теперь попробуем порассуждать. Очевидно, что множители от 1 до 9 (первые девять целых чисел) уже использовались для получения произведения, равного 2520. Следовательно, нам нужно рассмотреть только целые числа 10, 11, 12 и 13, поскольку число 2520, задействующее предыдущие целые числа, уже известно. Множители 10 (5 × 2) и 12 (4 × 3) уже использовались. Однако 11 и 13 — это простые числа, которые делятся только сами на себя и на 1. Таким образом, умножив 2520 × 11 × 13, мы определяем, что наименьшее число, которое делится на первые 13 целых чисел, равно 360 360.

 

Задача 1.10

 

Ал, Барбара, Кэрол и Дэн сдают экзамен по математике. В целом они правильно ответили на 67 вопросов, и у каждого из них есть как минимум один правильный ответ. Ал дал больше всего правильных ответов. Барбара и Кэрол дали в сумме 43 правильных ответа. Сколько правильных ответов дал Дэн?

 

Обычный подход

Обычно делают предположение для каждого участника экзамена, проверяют, не нарушаются ли условия задачи, и смотрят, дают ли предположения в сумме 67. Такой подход может дать правильный ответ, однако все очень зависит от удачности предположений.

 

Образцовое решение

Применим нашу стратегию логического рассуждения. Поскольку Барбара и Кэрол вместе дали 43 правильных ответа, у одной из них таких ответов должно быть, как минимум, 22, а у другой — 21. Так как Ал оказался впереди всех, то с учетом предыдущих предположений в отношении Барбары и Кэрол у него должно быть, как минимум, 23 правильных ответа. Если допустить, что у Ала 23 правильных ответа, у Барбары — 22, а у Кэрол — 21, то в сумме у них будет 23 + 22 + 21 = 66 правильных ответов. Это означает, что Дэн правильно ответил только на один вопрос. Поскольку у всех есть как минимум один правильный ответ, результат 1 для Дэна правилен.

 

Задача 1.11

 

Лайза, которая едет на велосипеде по мосту, соединяющему точки A и B, и уже преодолела его длины, слышит, что сзади приближается поезд, движущийся со скоростью 60 км/ч. Она прикидывает расстояния и решает, что впритык сможет избежать столкновения, если поедет в любую сторону (к точке A или точке B) максимально быстро. Какова ее максимальная скорость?

 

Обычный подход

Поскольку длина моста неизвестна, зададим ее произвольно, выбрав какое-нибудь удобное (хотя, может быть, и нереалистичное) число, скажем, 8 км. Если Лайза поедет назад, к началу моста (точка A), со скоростью y км/ч, то она преодолеет 3 км за часа. За это время поезд пройдет x км от точки A. Данный отрезок времени можно представить, как Это дает нам уравнение: или xy = 180.

Если Лайза поедет к точке B, то аналогичным образом мы получим уравнение или xy + 8y = 300.

Объединив эти два уравнения, мы получим 8y = 300–180 = 120, а следовательно, y = 15.

Таким образом, максимальная скорость Лайзы равна 15 км/ч.

 

Образцовое решение

Стратегия логического рассуждения дает более изящное решение. Раз Лайза впритык успевает доехать до любого конца моста, будем считать, что она едет вперед к точке B. К тому моменту, когда поезд подойдет к точке A, она преодолеет еще пути, т. е. всего длины моста (или его длины). Теперь ей нужно проехать оставшуюся моста за то же самое время, которое требуется поезду, чтобы преодолеть полную длину моста. Таким образом, ее скорость равна скорости поезда, т. е. 15 км/ч.

 

Задача 1.12

 

Если S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + … + 98! + 99! то какая цифра в числе S будет находиться в разряде единиц?

Напомним, что символ n! означает 1 × 2 × 3 × 4 × … × (n — 1) × n.

 

Обычный подход

Как правило, при решении такой задачи возникает желание определить значение каждого факториала, а затем сложить полученные значения и получить S. Помимо того, что это скучное занятие, оно еще чревато арифметическими ошибками.

 

Образцовое решение

Если проанализировать числовой ряд, составляющий S, и упростить его, то мы получим следующее:

S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + … + 98! + 99!

S = 1 + 2 + 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 2 × 3 × 4 × 5 + … + 98! + 99!

S = 1 + 2 + 6 + 24 + 10 k , где k — натуральное число.

Мы представили члены числового ряда, начиная с 5! как 10k, поскольку 5! предполагает наличие множителя 10. Любое число, кратное 5! будет кратно 10. Так как 6! кратно 5! а 7! кратно 6! то факториал любого n, превышающего 5, будет кратен 10. Таким образом, в разряде единиц будет находиться 0.