Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Позаментье Альфред

Крулик Стивен

Глава 2

Распознавание закономерности

 

 

Одной из чудесных сторон математики является возможность выявления закономерностей в решаемых задачах. Известный математик Уолтер Сойер как-то заметил, что математику вполне можно представить, как процесс поиска закономерностей. Одно из самых распространенных применений математики — предсказание того, что происходит регулярным образом. Например, сколько пшеничных лепешек потребуется для трех человек? А для четырех? Для 10 человек? Для n человек?

Умение распознавать закономерности очень важно для решения задач. Выявив закономерность в результате анализа ряда конкретных примеров, вы можете обобщить ее и превратить в более широкое решение. Например, когда просят назвать следующие два числа в ряду 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, __, __, мы должны проанализировать ряд, чтобы понять, есть ли в числах какая-либо закономерность. В конце концов, если первые три члена это 1, 2, 3, то разве не 4 должно идти за ними? А вот и нет! Мы замечаем, что каждый член после третьего представляет собой сумму трех предшествующих чисел. (Это последовательность типа Фибоначчи.) Иначе говоря, 1 + 2 + 3 = 6, 2 + 3 + 6 = 11, 3 + 6 + 11 = 20 и т. д. Если продолжить ряд таким образом, то следующими двумя числами будут 11 + 20 + 37 = 68 и 20 + 37 + 68 = 125.

Даже маленькие дети пользуются закономерностями. Когда малыши начинают ходить в школу, они учатся считать. Закономерности помогают им вести счет единицами, потом двойками, пятерками и т. д. Если задать второкласснику вопрос, какое число будет следующим в ряду 3, 6, 9, 12, …, он спросит себя: «Сколько мне нужно прибавить к каждому числу, чтобы получить следующее?» Это практически естественное использование стратегии поиска закономерности.

Большинство из нас широко пользуются закономерностями в повседневной жизни. Некоторые из этих «закономерностей» требуют мнемонического подхода. Слово «мнемонический» происходит от древнегреческого слова mnemonikos, означавшего запоминающее устройство. Многие из нас знакомы с мнемоническим правилом запоминания порядка цветов в спектре «Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидит Фазан» (красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый). Мы используем закономерности для запоминания кода замка шкафчика в раздевалке спортивного зала, телефонного номера и номерного знака автомобиля. В поисках дома с определенным номером мы почти интуитивно ожидаем увидеть нечетные номера на одной стороне улицы, а четные на другой — простая, но очень ценная закономерность.

Закономерности широко используются полицией. Если происходит серия преступлений, то следователь ищет стиль поведения преступников (modus operandi).

Врач обычно смотрит на характер поведения человека, чтобы определить его заболевание. Имея за плечами опыт лечения болезней, он распознает закономерные проявления недуга.

Эффективность стратегии распознавания закономерностей видна яснее всего на конкретных примерах, особенно когда не очевидно, что эту стратегию можно использовать для решения данной задачи. Допустим, вас просят найти цифру в разряде единиц у числа, представленного как 1323. Наиболее очевидный подход — взять калькулятор и возвести 13 в 23-ю степень. Однако это сложная задача, даже если есть калькулятор, способный воспроизвести количество разрядов такого огромного числа. Вместо этого можно проанализировать результаты возведения числа 13 в степень в порядке возрастания показателя и посмотреть, не образуют ли последние цифры какую-либо закономерность, помогающую дать ответ.

Похоже, при возведении числа 13 в степень последняя цифра образует ряд:

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, …

Изменения происходят с периодом 4. Таким образом, число 1323 будет иметь ту же цифру в разряде единиц, что и 133, т. е. 7.

Фактически эта задача высвечивает интересный вопрос в отношении закономерностей. Можно ли утверждать, что при возведении всех чисел в степень цифра в разряде единиц изменяется циклически? Некоторые числа можно назвать сразу. Например, 5 в любой степени будет иметь в конце 5 (5, 25, 125, 625, …). Такое свойство чисел очень интересно и ценно для решения задач путем распознавания закономерности. Попробуйте определить закономерность изменения цифры в разряде единиц при возведении в степень других чисел.

Следует, однако, предостеречь читателей. Иногда случается, что закономерность вроде бы есть, но не вполне стабильная. Например, кажется, что любое нечетное число, начиная с 3, можно представить, как сумму 2 в той или иной степени и нечетного числа. При попытке проверить это практически оказывается, что данное «правило» выполняется вплоть до числа 125. Как ни странно, но оно не действительно для следующего нечетного числа 127. Таким образом, применять стратегию распознавания закономерности для решения задач следует с осторожностью. Впрочем, это всего лишь исключение, которое не должно удерживать вас от использования данного метода.

3 = 2 0 + 2

5 = 2 1 + 3

7 = 2 2 + 3

9 = 2 2 + 5

11 = 2 3 + 3

13 = 2 3 + 5

15 = 2 3 + 7

17 = 2 2 + 13

19 = 2 4 + 3

и так далее

51 = 2 5 + 19

и так далее

125 = 2 6 + 61

127 =?

129 = 2 5 + 97

131 = 2 7 + 3.

Перейдем теперь к задачам, которые наиболее эффективно решаются путем распознавания закономерности, особенно когда такая закономерность не очевидна.

 

Задача 2.1

 

Какая цифра находится в разряде единиц у числа, где — это показатели степени?

 

Обычный подход

К сожалению, находятся люди, которые полагают, что для определения значения этого числа нужно последовательно возвести основание в степень вплоть до последнего показателя. Такой подход не может быть успешным!

 

Образцовое решение

Попробуем выяснить, существует ли какая-то закономерность в числах по мере повышения показателя степени в соответствии с условиями задачи. По мере повышения показателя основания 2 цифры в разряде единиц изменяются в последовательности 2, 4, 8, 6.

2 1 = 2

2 2 = 4

2 3 = 8

2 4 = 16

2 5 = 32

2 6 = 64

2 7 = 128

2 8 = 256.

Результат на третьей ступени наших вычислений ниже кратен 4, а любой результат возведения 2 в степень, кратный 4, дает число, у которого в разряде единиц стоит 6.

Таким образом, у нашего числа в разряде единиц находится цифра 6.

 

Задача 2.2

 

В каждой приведенной ниже прямоугольной решетке содержится определенное количество точек. Сколько точек будет на рис. 49?

 

Обычный подход

Очевидный подход — это последовательное построение решеток вплоть до рис. 49, в котором можно подсчитать точки. Это займет много времени и потребует огромного терпения, не говоря уже о количестве бумаги. Вместе с тем наверняка должен существовать более практичный подход к решению этой задачи.

 

Образцовое решение

Попробуем организовать данные и поискать закономерность. Перенесем в таблицу то, что нам уже известно.

Ну вот и закономерность. Высота на 2 больше номера рисунка, а ширина на 1 больше номера рисунка. Для рис. n мы получаем:

Таким образом, на рис. 49 будет 51 × 50 = 2550 точек.

 

Задача 2.3

 

Круг можно разделить на семь частей с помощью трех прямых линий. Какое максимальное количество частей можно получить при делении круга с помощью семи прямых линий?

 

Обычный подход

Обычно при решении этой задачи берут круг и проводят через него семь линий так, чтобы любые три из них не пересекались, т. е. не имели общей точки. Если проделать такую операцию аккуратно, то она должна привести к правильному ответу. Вместе с тем определение максимально возможного количества частей может быть сложным.

 

Образцовое решение

При решении этой задачи интересно посмотреть, не проявится ли какая закономерность при увеличении количества линий, делящих круг на части, при условии, что никакие три из них не должны иметь общей точки. Понятно, что одна линия делит круг всего на две части. Две линии позволяют разделить круг на четыре части. В таблице ниже показано количество частей, на которые можно разделить круг с помощью заданного количества линий, ни одна тройка которых не имеет общей точки.

Закономерность, похоже, наблюдается в разнице, которая увеличивается каждый раз на единицу. Таким образом, протестировав следующий вариант, в котором пять линий предположительно дают 16 частей, мы можем, по всей видимости, составить на основе выявленной закономерности следующую таблицу.

Итак, с помощью семи линий можно разделить круг на 29 частей.

 

Задача 2.4

 

Нам дают карту с направлениями движения вдоль улиц, как показано на рис. 2.1.

Сколько существует маршрутов из точки A в точку L?

 

Обычный подход

Самый очевидный подход — просто подсчитать возможные маршруты. Иными словами, определять маршруты по одному за раз и суммировать результаты. Например, один маршрут — это A-B-C — D-E-F-G-H-I-J-K-L, другой — A-C-D-E-G-K-L и т. д. Вместе с тем, как вы видите, такой путь довольно громоздок, и к тому же при его использовании трудно избежать дублирования маршрутов. А вариантов здесь порядочно!

 

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией поиска закономерности. Допустим, мы хотим попасть из точки A в точку B. Здесь имеется только один маршрут (A-B). В точку C можно добраться из точки A уже двумя путями (A-B-C и A-C). Из точки A в точку D существуют три маршрута, а именно (A-B-D, A-C-D, A-B-C-D). Если продолжить подсчет таким образом, то мы получим следующее количество маршрутов в каждую точку вплоть до точки F.

Они показаны на рис. 2.2.

Числовой ряд 1, 2, 3, 5, 8, 13 — это последовательность Фибоначчи, которую в западном мире впервые представил Леонардо Пизанский (известный так же, как Фибоначчи) в 1202 г. В начале такой последовательности стоят 1 и 1, а последующие числа получаются как сумма предыдущих двух. Если продолжить эту последовательность до точки L, то мы получим следующее:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Таким образом, используя эту закономерность, мы находим, что из точки A до точки L можно добраться 144 маршрутами.

 

Задача 2.5

 

Джонни берет лист бумаги из записной книжки и разрывает его пополам, а затем кладет получившиеся части одну на другую и еще раз разрывает их пополам. Обрывки он опять складывает и рвет пополам. Если Джонни сможет повторить эту процедуру 20 раз, то какой толщины будет стопка обрывков? (Будем считать, что толщина листа бумаги 0,0254 мм.)

 

Обычный подход

Можно нарисовать таблицу и подсчитать результаты для каждого действия.

И так далее. В конечном итоге можно заполнить таблицу для всех 20 делений и найти ответ.

 

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией поиска закономерности для решения этой задачи. После 1-го деления в стопке будет 2 слоя бумаги, после 2-го деления — 4 слоя, после 3 деления — 8 слоев. В экспоненциальной форме количество слоев можно представить, как 21, 22, 23, …, или 2n в общем виде. После 20 делений толщина стопки составит 0,0254 × 220, или около 26 645 мм, что составляет примерно 26,6 м. Вот почему в задаче говорится: «Если Джонни сможет повторить эту процедуру 20 раз».

 

Задача 2.6

 

Сколько квадратов всех размеров на стандартной шахматной доске размером 8 × 8 клеток?

 

Обычный подход

Первой реакцией будет ответ 8 × 8 = 64 квадрата, однако слова «всех размеров» говорят о том, что могут существовать и другие ответы. Математический подход предполагает подсчет количества квадратных областей всех размеров на шахматной доске с 64 клетками, т. е. 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 и т. д. Это неудобно и довольно трудно, поскольку перекрывается множество клеток. К тому же в процессе подсчета легко сбиться, так что такой метод скучен и проблематичен.

 

Образцовое решение

Попробуем применить стратегию поиска закономерности в сочетании с таблицей для организации данных. Если начать с доски размером 1 клетка на 1 клетку, то, очевидно, на ней будет только один квадрат, т. е. квадрат 1 × 1. На доске размером 2 клетки на 2 клетки мы увидим четыре квадрата 1 × 1 и один квадрат 2 × 2, т. е. всего 5 квадратов. Представим данные в таблице по мере увеличения размера нашей доски от 1 × 1 до 2 × 2, 3 × 3 и т. д.

В таблице явно просматривается закономерность заполнения клеток в каждой строке, поэтому мы быстро определяем, что на шахматной доске размером 8 × 8 клеток находятся 204 квадрата всех размеров.

В представленной выше таблице можно заметить не только одну закономерность. В ней, например, встречается множество квадратов целых чисел. А если взглянуть на колонку «Всего» и определить разность между следующими друг за другом членами, то мы получим интересную последовательность:

5–1 = 4

14–5 = 9

30–14 = 16

55–30 = 25

91–55 = 36

140–91 = 49

204–140 = 64.

Опять мы получаем квадраты целых чисел. Если теперь найти разность второго порядка, т. е. разность между квадратами, то мы получим последовательность нечетных чисел, начиная с 5:

9–4 = 5

16–9 = 7

25–16 = 9

36–25 = 11

49–36 = 13

64–49 = 15.

Закономерности не только очень полезны для решения задач, как мы видели выше, они также придают прелесть математике.

 

Задача 2.7

 

Таблица, представленная ниже, продолжается бесконечно. Какая буква будет находиться в середине 30-го ряда?

 

Обычный подход

Можно продолжить выписывать буквы в каждом ряду, пока не дойдем до 30-го ряда. Теперь можно определить, какая буква находится в середине. Такой метод громоздок, но он дает правильный ответ.

 

Образцовое решение

Это классический пример того, насколько эффективно поиск закономерности позволяет решать задачи. Для выявления закономерности построим еще четыре ряда букв.

Поскольку в последовательности 6 букв, ряды будут повторяться после каждых 6 букв. Более того, поскольку 30 кратно 6, буква в середине 30-го ряда будет той же самой, что и в середине 6 ряда, т. е. A. Стратегия распознавания закономерности делает решение задачи очень легким.

 

Задача 2.8

 

Найдите цифру в разряде единиц у каждого из следующих чисел:

a) 8 19 ;

b) 7 197 .

(Понятно, что это нужно сделать, не прибегая к помощи калькулятора или компьютера.)

 

Обычный подход

Некоторые пытаются решить эту задачу путем возведения 8 в степень с помощью калькулятора и очень быстро выясняют, что большинство калькуляторов не позволяет воспроизвести ответ такой величины. Количество разрядов на дисплее заканчивается раньше, чем на него будет выведено целевое значение.

 

Образцовое решение

Нам необходимо найти другой подход к решению этой задачи. Попробуем возводить 8 в последовательно увеличивающуюся степень и посмотрим, нет ли какой полезной закономерности в появлении последних цифр.

Обратите внимание на проявившуюся закономерность — цифра в разряде единиц повторяется при увеличении степени с шагом, равным четырем. По всей видимости, мы можем использовать эту закономерность при решении нашей задачи. Интересующая нас степень равна 19. При делении на 4 она дает остаток 3. Таким образом, последняя цифра числа 819 должна быть такой же, как и у 815, 811, 87 и 83, т. е. 2.

Для скептиков приведем фактическое значение 819 = 144 115 188 075 855 872.

Аналогичным образом проанализируем значения, получаемые при возведении 7 в последовательно увеличивающуюся степень, и попробуем отыскать закономерность.

В соответствии с этой закономерностью при делении показателя 197 на 4 мы получаем остаток, равный 1. Это означает, что последняя цифра числа 7197 должна быть такой же, как и у 71, т. е. 7. При наличии времени вы можете возвести 7 в степень 197 и проверить этот ответ. У вас должно получиться:

 

Задача 2.9

 

Чтобы составить квадрат 1 × 1, требуется 4 зубочистки, как показано на рис. 2.3.

Чтобы составить квадрат 2 × 2, требуется 12 зубочисток (рис. 2.4).

Сколько потребуется зубочисток, чтобы составить квадрат 7 × 7?

 

Обычный подход

Вы можете нарисовать квадрат 7 × 7 и просто подсчитать необходимое количество зубочисток. Такой подход вполне работоспособен, однако он громоздок и требует аккуратного построения чертежа.

 

Образцовое решение

Для начала попробуем построить несколько небольших квадратов и посмотрим, удастся ли нам выявить какую-либо закономерность. Нарисуем квадраты 3 × 3 и 4 × 4 (рис. 2.5 и 2.6).

Посмотрим теперь, что у нас получается.

Ну вот! При увеличении размера квадрата на 1 число необходимых зубочисток возрастает на 4. Продолжим таблицу:

Таблица показывает, что числа в третьей колонке последовательно возрастают на 4. Количество зубочисток можно определить в обратном порядке, зная результат из третьей колонки. Для создания квадрата 7 × 7 необходимо 112 зубочисток.