Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Позаментье Альфред

Крулик Стивен

Глава 3

Действие от обратного

 

 

Само название этой стратегии приводит в замешательство большинство людей. Такой подход совершенно неестественен. Когда мы ходили в школу, нас учили решать математические задачи в прямом порядке. Как бы то ни было, многие задачи в реальной жизни решаются именно от обратного. В качестве простого примера предположим, что вам нужно забрать ребенка с тренировки точно в 17:00. Во сколько нужно выйти из дома? Допустим, чтобы добраться до стадиона, нужно 30 минут. По-хорошему, к этому следует добавить запас 5 минут. Значит, выйти нужно за 35 минут, или не позднее 16:25. Даже не задумываясь об этом, мы использовали действие от обратного! Конечно, это сильно упрощенный пример применения данной стратегии.

Чтобы лучше понять такой тип мышления, рассмотрим еще один пример. Допустим, произошла автомобильная авария. Полиции приходится действовать от обратного, чтобы восстановить сцену произошедшего. Кто в кого врезался? Какой автомобиль занесло? Как далеко тянутся следы шин на асфальте? У кого было преимущество в проезде? Это всего лишь один из множества примеров действия от обратного.

В случае применения подхода от обратного мы обычно начинаем с конца задачи, или с «ответа». От этой точки восстанавливаются необходимые действия. Так, если в задаче говорится «увеличилось на 2», мы «уменьшаем на 2», или вычитаем 2. Как-никак, если мы увеличили что-то на 2, то для возврата к предыдущему этапу нужно уменьшить это на 2. Аналогичным образом, если говорится об умножении на 3, то в случае действия от обратного, необходимо разделить результат на 3. Рассмотрим типичную задачу.

Средний результат Марии в 11 тестах равен 80. При определении итогового среднего результата учительница проявляет благосклонность и отбрасывает низший результат. В нашем случае она отбрасывает 30. Какой итоговый средний результат у Марии?

Будем двигаться от среднего результата Марии. Среднее (или среднее арифметическое) обычно определяется путем сложения всех результатов и деления суммы на количество результатов. Если средний результат 11 тестов равен 80, то сумма результатов 11 тестов должна составлять 11 × 80 = 880. (Обратите внимание на то, что мы умножаем на 11, т. е. выполняем обратное действие по отношению к первоначальному делению на 11.) Вычтем результат 30, который учительница отбросила, и уменьшим количество тестов на единицу. Таким образом, суммарный результат 10 тестов равен 850. Итоговый средний результат Марии равен:

850: 10 = 85.

Попробуем решить еще одну задачу с помощью действия от обратного.

Дэвид вернулся после четырех раундов игры в бейсбольные карточки. В его набор теперь входят 45 карточек. Когда я поинтересовался его успехами, он ответил, что потерял половину карточек в первом раунде. Во втором раунде он выиграл в 12 раз больше того, что было у него в тот момент. В третьем раунде выигрыш составил 9 карточек. Четвертый раунд закончился вничью, поэтому количество карточек у игроков не изменилось. Сколько карточек было у Дэвида перед началом игры?

Можно, конечно, составить ряд уравнений и попробовать решить задачу напрямую. Однако давайте посмотрим, сработает ли здесь наш подход от обратного. У нас есть конечный результат (45 карточек), а найти нужно начальное количество. Это своего рода «товарный знак» типичной задачи, эффективно решаемой с помощью вычисления от обратного. Итак, Дэвид закончил игру с 45 карточками. Четвертый раунд закончился вничью, поэтому в конце третьего раунда у него были все те же 45 карточек. В третьем раунде выигрыш составил 9 карточек, значит в конце второго раунда количество карточек было равно 36. Во втором раунде мальчик выиграл в 12 раз больше карточек, чем было, поэтому в конце первого раунда он должен был иметь 3 карточки. В первом раунде Дэвид проиграл половину своих карточек, таким образом, он начал игру с 6 карточками. Подход от обратного позволил легко решить эту задачу.

 

Задача 3.1

 

Сумма двух чисел равна 2. Произведение этих же двух чисел равно 5. Найдите сумму обратных величин этих двух чисел.

 

Обычный подход

Задача очевидно предполагает составление двух уравнений с двумя неизвестными:

x + y = 2;

xy = 5.

Эти два уравнения можно решить одновременно с использованием формулы корней квадратного уравнения: для ax2 + bx + c = 0. Однако этот метод дает значения для x и y в виде комплексных чисел, а именно 1 + 2i и 1–2i. В соответствии с условиями нашей задачи нам нужно найти сумму обратных величин этих двух квадратных корней.

Подчеркнем, что в таком методе нет ничего неправильного, это просто не самый изящный способ решения задачи.

 

Образцовое решение

Прежде чем браться за решение задачи, полезно отступить на шаг назад и посмотреть, что требуется. Заметим, что в данной задаче требуется определить не значения x и y, а сумму обратных величин этих двух чисел. Иначе говоря, нам нужно найти Используя подход от обратного, мы можем задаться вопросом, к чему это ведет. Сложение этих двух дробей может дать ответ. Таким образом, Фактически мы сразу получаем ответ, поскольку знаем, что сумма чисел равна 2, а их произведение — 5. Просто подставим эти значения в последнюю дробь и получим: Задача решена.

 

Задача 3.2

 

В распоряжении Лорен 11-литровый и 5-литровый сосуды. Как ей отмерить точно 7 литров воды?

 

Обычный подход

Большинство людей начинают строить догадки и «переливать воду» туда-сюда в попытке найти правильный ответ. Это своего рода «неинтеллектуальный» метод проб и ошибок.

 

Образцовое решение

Вместе с тем задачу можно решить более рационально при использовании подхода от обратного. В конечном итоге нам нужно получить 7 литров воды в 11-литровом сосуде, оставив свободным пространство объемом 4 литра. Откуда взялись эти 4 литра? (См. рис. 3.1.)

Чтобы получить 4 литра, мы должны оставить 1 литр воды в 5-литровом сосуде. Но как получить 1 литр в таком сосуде? Наполните 11-литровый сосуд водой и дважды отлейте воду в 5-литровый сосуд. В 11-литровом сосуде останется ровно 1 литр воды. Вылейте этот 1 литр в 5-литровый сосуд (рис. 3.2).

Теперь наполните 11-литровый сосуд и отлейте из него 4 литра воды в 5-литровый сосуд до его заполнения. В 11-литровом сосуде останутся требуемые 7 литров воды (рис. 3.3).

Учтите, что задачи подобного типа не всегда имеют решение. Иначе говоря, если вы хотите составить новую задачу такого вида, следует знать, что решение существует только в тех случаях, когда разница величин, кратных емкостям двух сосудов, может быть равной заданному объему. В нашем случае 2 × 11 − 3 × 5 = 7.

 

Задача 3.3

 

По определению, палиндром — это число, которое одинаково читается слева направо и справа налево. Так, числа 66, 595, 2332, 7007 являются палиндромами. Учитель Джека дал классу задание найти сумму первых 15 натуральных чисел. Джек взял калькулятор и сложил все числа от 1 до 15. Результат, к его удивлению, оказался палиндромом. Вместе с тем Джек пропустил одно число. Какое число он забыл включить?

 

Обычный подход

Как правило пытаются составить все возможные комбинации слагаемых, исключая по одному числу каждый раз, до тех пор, пока сумма 14 чисел не даст палиндром. Такой грубый метод вполне работоспособен, особенно когда вы используете калькулятор. Вместе с тем он требует времени, если вы действительно исключаете по одному числу за раз.

 

Образцовое решение

Попробуем подойти к решению задачи иначе и сначала определим, какую сумму должны дать первые 15 натуральных чисел. Хотя можно воспользоваться известной формулой для вычисления суммы членов арифметической прогрессии, а именно намного интереснее пойти путем, который предложил Карл Фридрих Гаусс, когда ему было 10 лет. Вместо того, чтобы складывать числа последовательно: 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15, он к первому числу прибавил последнее, затем ко второму — предпоследнее и т. д. В результате у него получилось семь раз по 16 и 8 в середине, что в сумме составило 7 × 16 + 8 = 120.

Поскольку Джек упустил одно слагаемое и получил палиндром, результатом должно быть число 111. Вы можете возразить, почему именно этот палиндром, а не 101, например? Чтобы получить 101, упустив одно число, вы должны забыть 19, а это число лежит за пределами нашего интервала 1–15. Таким образом, Джек забыл число 9.

 

Задача 3.4

 

Мама испекла печенье на полдник для Берты. В первый день Берта съела половину всего испеченного печенья. На второй день она съела половину от того, что осталось. На третий день — одну четверть остатка, а на четвертый — одну треть. На пятый день она довольствовалась половиной того, что осталось, а на шестой день доела одно последнее печенье. Какое количество печенья испекла мама Берты?

 

Обычный подход

Первая реакция — написать ряд выражений, представляющих количество печенья, съеденного каждый день. Допустим, x — это начальное количество печенья.

Мама Берты испекла 16 печений.

 

Образцовое решение

Более эффективным является использование нашего подхода от обратного. Начнем с конца задачи и пойдем в обратном порядке:

В день 6 Берта съела одно последнее печенье, значит было 1 печенье;

В день 5 она съела 1/2, значит было 2 печенья;

В день 4 она съела 1/3, значит было 3 печенья;

В день 3 она съела 1/4, значит было 4 печенья;

В день 2 она съела 1/2, значит было 8 печений;

В день 1 она съела 1/2, значит было 16 печений.

Таким образом, вначале у Берты было 16 печений. Обратите внимание на то, что при вычислениях от обратного необходимо изменять используемые операции на «обратные». Вместо деления пополам мы должны удваивать, вместо сложения — вычитать и т. д. Это довольно легкий процесс.

 

Задача 3.5

 

Задача, которая ставит в тупик многих любителей математики, выглядит так: Марии 24 года. Она в два раза старше, чем была Анна, когда ей было столько же, сколько Анне сейчас. Сколько лет Анне?

 

Обычный подход

Для решения этой задачи недостаточно просто составить уравнение, которое даст ответ. Требуется нечто большее. Можно начать с создания таблицы, показанной на рис. 3.4.

Мы имеем 24 = 2a, следовательно a = 12. Кроме того, 24 − x = a + x = 12 + x, следовательно x = 6. Анне было 12, когда Марии было столько же (18), сколько Анне сейчас (18).

 

Образцовое решение

Подход от обратного может оказаться полезным для решения этой задачи. А раз так, то начнем со следующих рассуждений.

В представленной ситуации есть два временных периода:

1. Нынешнее время, когда Марии 24 года.

2. Прошлое время n лет назад.

Введем следующие обозначения:

M — возраст Марии (24), A — возраст Анны, n — разница между двумя временными периодами.

В первом временном периоде — Мария в два раза старше, чем была Анна:

2 ( A − n ) = M . (3.1)

Во втором временном периоде — когда Марии было столько же, сколько Анне сейчас:

M − n = A . (3.2)

Подставим уравнение 3.2 в уравнение 3.1:

Значение n = 6 при подстановке в уравнение 3.2 дает:

M − 6 = A → A = 24 − 6 = 18.

Таким образом, возраст Анны составляет 18 лет.

 

Задача 3.6

 

От какой точки в выпуклом четырехугольнике сумма расстояний до каждой из вершин будет минимальной?

 

Обычный подход

Большинство без особых раздумий пытаются методом проб и ошибок найти точку, для которой сумма расстояний до вершин будет наименьшей. Вполне возможно, что кто-то выберет точку на пересечении диагоналей. Это правильный ответ, однако такой подход оставляет вопросы.

 

Образцовое решение

Наша стратегия поиска ответа от обратного оказывается более рациональной в данном случае. Возьмем четырехугольник ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке E, и с точкой P, которая, на наш взгляд, может быть искомой, имеющей минимальную сумму расстояний до вершин. Соединим точку P пунктирными линиями с вершинами, как показано на рис. 3.5.

Рассмотрение треугольника APC показывает, что AP + PC > AC, поскольку сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Аналогичным образом, BP + PD > BD. В результате суммирования мы получаем, что AP + PC + BP + PD > AC + BD. Таким образом, отталкиваясь от предположения, что P может быть искомой точкой, мы находим, что выбор любой другой точки даст такой же результат. Единственной точкой, удовлетворяющей условиям задачи, является точка E на пересечении диагоналей.

 

Задача 3.7

 

Допустим, квадратные корни из уравнения x2 + 3x — 3 = 0 равны r и s. Чему равна сумма r2 + s2 ?

 

Обычный подход

Обычный подход заключается в решении уравнения для значений r и s. Используя формулу для определения корней квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0, мы получаем:

Теперь нам нужно найти квадраты этих корней и их сумму:

 

Образцовое решение

Чтобы получить более изящное решение, нужно вспомнить зависимость из элементарной алгебры, в соответствии с которой сумма корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 составляет а произведение корней Из приведенного в условиях задачи уравнения мы находим, что сумма корней r + s = –3, а произведение rs = –3. При подходе от обратного, т. е. при определении суммы квадратов корней вместо прямых вычислений, как мы делали выше, для определения корней нам нужно искать эту сумму, поскольку (r + s)2 = r2 + s2 + 2rs. Перепишем это уравнение следующим образом r2 + s2 = (r + s)2 — 2rs.

Таким образом, значение r2 + s2 = (–3)2 — 2 (–3) = 9 + 6 = 15.

 

Задача 3.8

 

Макс, Сэм и Джек играют в необычную карточную игру. В этой игре проигравший отдает другим игрокам столько денег, сколько у них есть. Макс проигрывает в первой партии и отдает Сэму и Джеку столько денег, сколько есть у каждого из них. Сэм проигрывает во второй партии и отдает Максу и Джеку столько денег, сколько есть у каждого из них. Джек проигрывает в третьей партии и отдает Максу и Сэму столько денег, сколько есть у каждого из них. На этом они решают закончить игру, и у каждого остается ровно $8,00. Сколько денег у каждого из игроков было перед началом игры?

 

Обычный подход

Задача предполагает составление ряда уравнений, представляющих каждую партию. Обозначим начальную сумму денег у каждого игрока следующим образом: Макс — x, Сэм — y, Джек — z.

В последней партии, как мы знаем, каждое из значений равно 8. Это дает следующие три уравнения с тремя неизвестными:

В результате решения системы из трех уравнений мы получаем:

x = 13, y = 7, z = 4.

 

Образцовое решение

Обратите внимание, что в задаче дается конечная ситуация и спрашивается, какой была начальная ситуация. Это может указывать на эффективность подхода от обратного при решении. Также заметьте, что в соответствии с описанием ситуации в игре постоянно находится одно и то же количество денег (а именно $24). Подход от обратного дает изящное решение.

Макс начинает с $13, Сэм — с $7, а Джек — с $4. Ответ получился таким же, как и при обычном подходе, однако решение было более изящным.

 

Задача 3.9

 

Ал и Стив делят пятнистых саламандр для участия в выставке. Ал отбирает для своей экспозиции саламандр с двумя пятнами, а Стив — с семью пятнами. У Ала на пять саламандр больше, чем у Стива. Всего на их саламандрах 100 пятен. Сколько саламандр на двух экспозициях?

 

Обычный подход

Характер этой задачи создает сложности для использования алгебры. Обычно количество саламандр у Ала обозначают как x, а количество саламандр у Стива — как y. Это позволяет составить следующие уравнения:

x — y = 5;

2 x + 7 y = 100.

Для решения этих двух уравнений умножим первое из них на 2:

2 x — 2 y = 10;

2 x + 7 y = 100.

Вычитание одного уравнения из другого дает следующий результат:

9 y = 90, или y = 10.

Теперь подставим значение y в первое уравнение и получим x = 15. Таким образом, у Ала и Стива вместе 15 + 10 = 25 саламандр. Это решение абсолютно правильное, но не самое изящное.

 

Образцовое решение

Посмотрим, можно ли упростить решение, использовав подход от обратного. Нас не спрашивают, сколько саламандр у каждого мальчика, мы должны определить сумму их саламандр. Поэтому можно начать с тех же двух уравнений. Иначе говоря, нам нужно найти x + y, а не значение каждой неизвестной. Составим те же два уравнения исходя из условий задачи.

x — y = 5;

2 x + 7 y = 100.

В этот раз, однако, будем искать способ определения суммы двух неизвестных.

Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе на 2:

5 x — 5 y = 25;

4 x + 14 y = 200.

Теперь сложим эти два уравнения и получим 9x + 9y = 225 и x + y = 25. Такой метод необычен, но он демонстрирует более тонкий подход к решению задач, в которых требуется найти нечто иное, чем ожидают большинство людей.

 

Задача 3.10

 

Имея два следующих уравнения, найдите сумму x + y:

6 x + 7 y = 2007;

7 x + 6 y = 7002.

 

Обычный подход

Традиционный подход заключается в решении двух уравнений с двумя неизвестными.

6 x + 7 y = 2007;

7 x + 6 y = 7002.

Умножим первое уравнение на 7, а второе на 6 и получим:

42 x + 49 y = 14 049;

42 x + 36 y = 42 012.

Вычтем одно уравнение из другого:

13 y = −27 963.

Таким образом, y = −2151.

Подставив это значение y в первое уравнение, мы получаем:

6 x − 15 057 = 2007;

6 x = 17 064;

x = 2844.

Таким образом, искомая сумма равна x + y = 2844 − 2151 = 693.

 

Образцовое решение

Подойдем к решению этой задачи от обратного. Два уравнения, приведенные в условиях задачи, обладают определенной симметрией. Попробуем выяснить, не поможет ли эта симметрия найти более изящное решение. Глядя на вопрос задачи, можно заметить, что нам нужно найти не индивидуальные значения x и y, как обычно, а только их сумму. Поэтому давайте посмотрим, позволяет ли упомянутая выше симметрия найти сумму сразу без предварительного определения значений x и y. Если сложить два уравнения, мы получим:

Разделив обе части уравнения на 13, мы получаем x + y = 693, а это и есть искомый ответ.