Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Позаментье Альфред

Крулик Стивен

Глава 5

Анализ экстремальных ситуаций

 

 

Иногда, чтобы решить задачу, полезно присвоить одним переменным экстремальные значения, а другие переменные сохранить постоянными. Если на переменные не налагаются какие-либо ограничения, то экстремальный сценарий может дать полезные результаты. Большинство из нас подсознательно использует эту стратегию в реальной жизни. Мы, например, спрашиваем себя: «Что может произойти в самом плохом случае?» Определение «наихудшего сценария» — это образчик использования стратегии поиска экстремальной ситуации, которая иногда помогает очень изящно решить проблему. Допустим, вас просят протестировать новый продукт, скажем, хозяйственное мыло. Вам необходимо испытать его в очень холодной и в очень горячей воде, т. е. рассмотреть две экстремальные ситуации, чтобы получить значимый результат. Если оно хорошо работает при экстремальных температурах, то должно вести себя так же и при промежуточных температурах.

Бывает, что использование экстремумов для решения задачи противоречит здравому смыслу. Например, когда возникает вопрос, что лучше, бежать под дождем, чтобы добраться из точки А в точку В, или двигаться медленно, мы вспоминаем, что при быстрой езде на автомобиле под дождем ветровое стекло заливает водой, а при более медленном движении потоки воды не такие сильные. Так что лучше, бежать во время дождя или нет? Анализ экстремальных ситуаций показывает, что очень медленное движение увеличивает время, которое мы находимся под дождем, а экстремально медленное движение, скажем, с нулевой скоростью, приведет к тому, что вы промокнете до нитки. Таким образом, чем быстрее мы будем двигаться, тем меньше намокнем. Вот так экстремумы помогают решать задачи.

Рассмотрим задачу, где стратегия анализа экстремумов помогает найти решение.

В 40 почтовых ящиков в местном почтовом отделении каждое утро кладут письма. Однажды почтальон разложил по этим ящикам 121 письмо. Закончив работу, он обнаружил, что в одном ящике больше писем, чем в любом другом. Какое наименьшее количество писем может находиться в этом ящике?

Поскольку в задаче требуется найти наименьшее количество писем в ящике, мы можем рассмотреть следующую экстремальную ситуацию. Распределим письма равномерно. Предположим, что во всех ящиках находится одинаковое количество писем. Это экстремальная ситуация, противоположностью которой является ситуация, когда все письма лежат в одном ящике. При равномерном распределении в каждый ящик попадает 3 письма — 120: 40 = 3. Добавление дополнительного письма в один из ящиков доведет количество писем в нем до 4 — это и будет наибольшее число. Таким образом, наименьшее количество писем в почтовом ящике, которое превышает количество писем в любом другом ящике, равно 4.

Чтобы попрактиковаться в применении этого метода, рассмотрим еще одну задачу, на этот раз со статистическим уклоном:

Кларисса написала 5 целых чисел. Как оказалось, их мода равна 12, а медианное значение — 14. Среднее арифметическое (или просто среднее) этих чисел равно 16. Одно из чисел больше медианного значения на 5. Какие именно числа написала Кларисса?

Воспользуемся стратегией анализа экстремальной ситуации. Поскольку мода равна 12, наихудший сценарий (наименьшее значение) — это два раза по 12. Мы знаем также, что медиана, или среднее значение равно 14. Так как одно число больше медианы на 5, оно составляет 14 + 5, или 19. Итак, нам известны следующие числа:

12, 12, 14, 19.

Среднее находится путем сложения всех пяти чисел и деления суммы на 5. Поскольку среднее равно 16, то сумма всех чисел составляет 16 × 5 = 80. Найдем сумму уже известных чисел 12 + 12 + 14 + 19 = 57. Недостающее число должно быть равным 80–57 = 23. Таким образом, Кларисса написала следующие числа: 12, 12, 14, 19, 23. Обратите внимание, насколько важно было начать решение с анализа экстремальной ситуации, который позволил определить, что числовой ряд включает в себя два числа 12.

При применении данной стратегии следует, однако, соблюдать осторожность. Анализируя экстремальную ситуацию, следите за тем, чтобы не изменить переменную, которая влияет на другие переменные, а также не изменить сам характер задачи. Задачи, представленные в этой главе, помогают понять, в каких ситуациях можно использовать рассматриваемую стратегию.

 

Задача 5.1

 

Автомобиль едет по шоссе с постоянной скоростью 55 км/ч. Водитель замечает другой автомобиль на расстоянии позади. Второй автомобиль обгоняет первый 1 минуту спустя. С какой скоростью двигался второй автомобиль, если считать, что она была постоянной?

 

Обычный подход

Традиционное решение заключается в составлении таблицы «скорость × время = расстояние», как рекомендуют многие учебные пособия. Это делается следующим образом:

Второй автомобиль ехал со скоростью 85 км/ч.

 

Образцовое решение

В качестве альтернативы используем стратегию анализа экстремумов. Предположим, что первый автомобиль движется чрезвычайно медленно, т. е. со скоростью 0 км/ч. В этом случае второй автомобиль проедет за одну минуту и догонит первый автомобиль. Таким образом, второй автомобиль должен двигаться со скоростью 30 км/ч. Первый автомобиль движется со скоростью 0 км/ч, а второй автомобиль — на 30 км/ч быстрее, чем первый. Если первый автомобиль будет иметь скорость 55 км/ч, то второй — 85 км/ч.

 

Задача 5.2

 

Даны два параллелограмма ABCD и APQR с точкой P на стороне BC и точкой D на стороне RQ, как показано на рис. 5.1. Если площадь параллелограмма ABCD 18, то чему равна площадь параллелограмма APQR?

 

Обычный подход

Эта задача не такая уж простая. Первая попытка решить ее заключается в поиске признаков конгруэнтности, означающих равенство площадей. Этот метод не дает результата. Более разумно, хотя и не слишком оригинально, провести линию PD, как показано на рис. 5.2.

Теперь можно показать, что площадь треугольника APD составляет половину площади каждого из двух параллелограммов, поскольку в этот треугольник имеет общее основание с обеими параллелограммами и одинаковую высоту. Хотя это разумный подход к решению довольно сложной задачи, существует более изящный способ ее решения.

 

Образцовое решение

В условиях задачи просто говорится, что точка P лежит на стороне BC, но не указывается, где именно. Мы можем проанализировать экстремальную ситуацию. Можно, например, представить, что точка P совпадает с точкой B. Аналогичным образом можно представить, что точка D, лежащая на стороне RQ, совпадает с точкой R. В результате такого изменения, которое определенно соответствует исходным условиям задачи, два параллелограмма оказываются наложенными друг на друга и, следовательно, имеющими одну и ту же площадь. Таким образом, площадь параллелограмма APRQ равна 18.

 

Задача 5.3

 

Суммарное расстояние между съездами 1 и 20 на новой автомагистрали составляет 140 км. Между любыми двумя съездами должно быть не менее 7 км. Чему равно максимальное расстояние между любыми двумя соседними съездами?

 

Обычный подход

Обычно пытаются подобрать различные комбинации чисел в надежде найти максимум. Существует, однако, более интересный подход.

 

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией анализа экстремальных ситуаций. Прежде всего отметим, что между съездами 1 и 20 всего 19 «расстояний». Поскольку минимальное расстояние между любыми двумя съездами равно 7 км, рассмотрим экстремальную ситуацию, в которой все расстояния, кроме одного, равны 7 км. Тогда минимальная сумма 18 «расстояний» составит 18 × 7 = 126 км. Таким образом, максимальное расстояние между любыми двумя съездами равно 140–126 = 14 км, иначе не хватит километров, чтобы выдержать 7-километровую дистанцию между остальными съездами.

 

Задача 5.4

 

У нас есть две однолитровые бутылки. В одной — пол-литра красного вина, в другой — пол-литра белого. Мы берем столовую ложку красного вина, выливаем его в бутылку с белым вином и взбалтываем смесь. Затем мы берем столовую ложку полученной смеси (красного и белого вина) и выливаем ее в бутылку с красным вином.

Чего больше, красного вина в бутылке с белым вином или белого вина в бутылке с красным вином?

 

Обычный подход

Существует несколько общепринятых подходов к решению такой задачи, в которых используют полученную из условий информацию, например о столовой ложке, которая может быть излишней. При определенном везении и сообразительности можно получить правильный ответ, однако это дело нелегкое, да и ответ нередко кажется неубедительным.

 

Образцовое решение

Понятно, что размер ложки не имеет реального значения, и что ложки могут быть как большими, так и маленькими. Допустим, мы используем очень большую столовую ложку, такую, которая вмещает пол-литра жидкости, — это будет экстремальная ситуация. После выливания пол-литра красного вина в бутылку с белым вином смесь будет состоять на 50 % из красного вина и на 50 % из белого. Перемешав смесь, мы берем пол-литровую ложку, наполняем ее и возвращаем смесь обратно в бутылку с красным вином. Смесь теперь одинакова в обеих бутылках. Это и есть наш ответ — красного вина в бутылке с белым вином столько же, сколько белого вина в бутылке с красным вином.

 

Задача 5.5

 

Найдите недостающие цифры в следующем семизначном числе, которое равно произведению трех последовательных чисел. Чему равны эти три числа? 1 2_ _ _ _6.

 

Обычный подход

Можно просто попытаться угадать, подставляя различные цифры в надежде, что среди них окажутся искомые. Это крайне маловероятно, хотя и возможно.

 

Образцовое решение

Вместо догадок воспользуемся стратегией анализа экстремальных ситуаций. Наименьшее возможное число равно 1 200 006, а наибольшее — 1 299 996. Поскольку нам нужен ответ, представляющий собой произведение трех последовательных чисел, проанализируем кубические корни из этих экстремумов, чтобы определить примерную величину этих трех чисел.

Кубический корень из 1 200 006 равен примерно 106, а из 1 299 996 — примерно 109. Это значительно ограничивает простор для выбора. Кроме того, в заданном числе в разряде единиц стоит 6. Значит, три искомые последовательные числа должны оканчиваться либо на 1, 2 и 3, либо на 6, 7 и 8, поскольку их произведения дают 6 в разряде единиц. Имея две такие подсказки, не сложно определить, что искомыми числами будут 106, 107 и 108. Их произведение равно 1 224 936. Задача решена.

 

Задача 5.6

 

На рис. 5.3 представлен прямоугольник ABCD со сторонами длиной 8 см и 12 см. Найдите площадь закрашенной области прямоугольника.

 

Обычный подход

Обычно на задачу смотрят с другой точки зрения и вместо определения площади закрашенной области, найти которую требуется по условиям, определяют площадь незакрашенной области и вычитают ее из площади прямоугольника. Незакрашенный треугольник с основанием AB = 12 см и высотой BC = 8 см, имеет площадь Площадь прямоугольника — это 12 × 8 = 96 см2. Таким образом, площадь закрашенной области равна 96–48 = 48 см2.

 

Образцовое решение

Другой подход с использованием той же стратегии выглядит следующим образом. Поскольку точное положение точки E не определено, рассмотрим экстремальный случай, когда точка E совпадает с точкой C, как показано на рис. 5.4.

AC — диагональ прямоугольника, которая делит его пополам. Таким образом, закрашенная область занимает точно половину площади прямоугольника, и ее площадь равна 48 см2.

Следует заметить, что тот же прием можно использовать и при замене прямоугольника ABCD на параллелограмм. В первый момент такая задача может показаться сложной, однако она решается аналогичным образом.

 

Задача 5.7

 

В офисе директора средней школы им. Джорджа Вашингтона висят 50 почтовых ящиков для учителей. Однажды почтальон принес 151 письмо для учителей. Какое наибольшее число писем может гарантированно получит каждый из учителей?

 

Обычный подход

Нередко человек, столкнувшись с задачей такого рода, действует наугад и не знает с чего начать. Иногда результат приносит метод проб и ошибок, но убедительного решения он точно не дает.

 

Образцовое решение

Для решения задач такого рода рекомендуется применять анализ экстремумов. Понятно, что один учитель может получить все письма, однако это не гарантировано. Более реальную оценку ситуации дает экстремальная ситуация, когда письма распределяются предельно равномерно. В этом случае каждый учитель получит по 3 письма за исключением одного, которому попадет еще 151-е письмо. Таким образом, четыре письма — это наибольшее из того, что один учитель может гарантированно получить.

 

Задача 5.8

 

Точка M лежит на середине стороны AB ΔABC. Точка P может находиться в любом месте на отрезке AM (рис. 5.5). Линия, проведенная через точку M параллельно PC, пересекается с BC в точке D. Какую часть площади ΔABC составляет площадь ΔBDP?

 

Обычный подход

Площадь ΔBMC равна половине площади ΔABC (в силу того, что медиана делит треугольник на две равные части). Площадь ΔBMC = площадь ΔBMD + площадь ΔCMD = площадь ΔBMD + площадь ΔMPD, которая равна площади площади ΔABC. Это следует из того, что треугольники, вершины которых лежат на линии, параллельной общему основанию, имеют равные площади.

 

Образцовое решение

Решение этой задачи значительно упрощается при использовании стратегии анализа экстремальных ситуаций. Поместим точку P в экстремальную позицию так, чтобы она совпадала с точкой M или точкой A. Допустим, точка P совпадает с точкой A. Обратите внимание на то, что по мере смещения точки P вдоль BA в направлении точки A линия MD, которая должна оставаться параллельной PC, смещается так, что D приближается к средней точке линии BC. В конечном положении точки D линия AD становится медианой ΔABC. Поскольку медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями, площадь ΔPBD равна половине площади ΔABC.

Данное решение с помощью стратегии анализа экстремальных ситуаций ясно показывает важность отслеживания всех перемещений по мере смещения точки в предельное положение.

 

Задача 5.9

 

Два конгруэнтных квадрата, длина стороны которых равна 4 см, размещены так, что вершина одного из них находится в центре другого. Чему равно наименьшее значение площади пересекающейся части (рис. 5.6)?

 

Обычный подход

Наиболее очевидный прием — построить два квадрата. Некоторые даже вычерчивают их в масштабе и пытаются измерить искомую площадь. Поскольку фигура получается неправильной, измерение ее площади может оказаться сложным.

Другой подход — провести несколько вспомогательных линий, например линии BM и CM. Несложно доказать, что два треугольника BSM и CTM конгруэнтны (конгруэнтность по двум углам и стороне) (см. рис. 5.7). Четырехугольник SCTM равен по площади треугольнику BCM, поскольку площадь треугольника добавляется к площади двух треугольников, которые, как мы доказали, являются конгруэнтными.

 

Образцовое решение

Поскольку ориентация квадратов не определена в условиях задачи, их можно разместить так, как нам захочется, лишь бы вершина одного находилась в центре другого. Обратимся к нашей стратегии анализа экстремальных ситуаций. Можно разместить квадраты так, как показано на рис. 5.8, где стороны этих фигур взаимно перпендикулярны.

Если этого недостаточно, чтобы удостовериться в равенстве закрашенной области четверти исходного квадрата, то нужно лишь продолжить линии PM и NM до пересечения со сторонами квадрата в точках J и K соответственно, как показано на рис. 5.9.

Очевидно, что закрашенная область равна площади квадрата, или части 16 см2, т. е. 4 см2. Разместив квадраты в определенном положении, мы легко нашли ответ.

 

Задача 5.10

 

Найдите значение x, которое удовлетворяет уравнению:

 

Обычный подход

На первый взгляд задача кажется настолько ошеломляющей, что большинство людей не знают, как к ней подойти. И это не удивительно.

 

Образцовое решение

Посмотрим на это, как на своего рода экстремальную ситуацию. Начнем с того, что количество x в этом ряду бесконечно. Отбрасывание одной неизвестной x не должно никак влиять на результат в силу характера бесконечности. Таким образом, удалив первую неизвестную x, мы обнаружим, что все оставшиеся x так же должны быть равны 2. Это позволяет переписать уравнение, как x2 = 2. Следовательно x = ±√2. Если ограничиться положительными числами, то ответом будет x = √2.

Ниже показано, как с увеличением ряда значение приближается к 2.

Вот мы и нашли удивительно простое решение для очень сложной на первой взгляд задачи.

 

Задача 5.11

 

В одной из старейших телевизионных игр под названием Let's Make a Deal участникам предлагают сделать слепой выбор. Случайно выбранный зритель выходит на сцену и видит перед собой три двери, за одной из которых находится автомобиль, а за двумя другими — ослы. Участник надеется выбрать ту дверь, за которой спрятан автомобиль, а не ту, где стоит осел. Если он угадывает, то получает автомобиль в качестве приза. Однако не все так просто. После того, как участник сделает выбор, ведущий, Монти Холл, который знает, за какой дверью находится автомобиль, показывает одного из ослов (не открывая две оставшиеся двери) и спрашивает участника, хочет ли он оставить первоначальный выбор (что кроется за ним пока неизвестно) или, может быть, передумает и выберет другую неоткрытую дверь. В этот момент, чтобы повысить напряжение, публика начинает скандировать «оставить» или «передумать». Вопрос в том, что делать? Есть ли разница? Если так, то какую стратегию лучше использовать (т. е. что может повысить вероятность выигрыша)?

 

Обычный подход

Кто-то скажет, что лучше всего принимать решение интуитивно. Большинство, однако, придерживаются мнения, что в любом случае разницы никакой нет, поскольку у вас один шанс из двух получить автомобиль. И те и другие неправы, а раз так, то есть серьезный мотив, разобраться что к чему.

 

Образцовое решение

Лучше всего рассмотреть эту задачу шаг за шагом, а потом, для уверенности, рассмотреть экстремальную ситуацию и принять решение.

Разберем задачу шаг за шагом. Результат постепенно станет ясным. За дверями находятся два осла и один автомобиль. Вы должны попытаться получить автомобиль. Вы выбираете дверь 3. Монти Холл открывает одну из дверей, которую вы не выбрали, и показывает осла.

Он спрашивает: «Вы все еще хотите оставить свой первоначальный выбор или передумаете и выберете другую закрытую дверь?» Чтобы помочь принять решение, воспользуемся стратегией анализа экстремальных ситуаций. Допустим, у нас 1000 дверей, а не три.

Вы выбираете дверь 1000. Какова вероятность того, что это правильная дверь?

«Очень маловероятно», поскольку вероятность выбора правильной двери равна

Насколько вероятно, что автомобиль находится за одной из других дверей (1–999)?

«Очень вероятно»:

Это все «очень вероятные» двери!

Теперь мы готовы ответить на вопрос. Какой выбор будет наилучшим?

• Дверь 1000 («очень маловероятная» дверь) или

• Дверь 1 («очень вероятная» дверь)?

Ответ теперь очевиден. Мы должны выбрать «очень вероятную» дверь, т. е. «передумать» — это лучшая стратегия для участника шоу. В экстремальной ситуации намного легче увидеть лучшую стратегию, чем при анализе ситуации с тремя дверями, как в исходных условиях задачи. Принцип одинаков в любой ситуации.

Эта задача вызвала немало споров в научных кругах и даже попала на страницы газеты The New York Times и других популярных изданий. Джон Тирни написал в The New York Times (Sunday, July 21, 1991), что «возможно это только иллюзия, однако похоже спору, в котором участвовали все от математиков до читателей журнала Parade и любителей телеигры Let's Make a Deal, положен конец. Спор начался, когда Мэрилин вос Савант опубликовала головоломку в журнале Parade. Как известно читателям ее колонки „Спросите Мэрилин“, имя г-жи вос Савант включено в списки Галереи славы Книги рекордов Гиннесса за обладание „наивысшего IQ“. Но этот факт производит на публику не такое впечатление, как то, что она сумела ответить на вопрос читателя». Мэрилин дала правильный ответ, и, хотя многие математики продолжают спорить, мы решили эту задачу!