В погоне за красотой

Смилга Вольдемар Петрович

Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида. Эта задача мучила математиков более двух тысяч лет; была решена Лобачевским и Бояи, а затем совершенно неожиданно развитие их идей Риманом и Эйнштейном привело к решающему изменению наших представлений о вселенной.

В этой книге рассказывается о людях, работавших над этой проблемой, людях, разделенных веками, никогда не знавших друг друга, различных почти во всем, но поразительно схожих и близких в главном.

И о самой задаче.

Примерно две трети книги можно читать, вообще не зная и не любя математику; остальная часть рассчитана на тех, кто окончил 7–8 классов, хотя, формально говоря, чтобы понять почти все, можно не знать почти ничего.

 

(2-е издание)

#i_001.png #i_002.png

 

Глава 1

До Евклида — доисторические времена

Истинное начало этой истории теряется во мгле времен апокрифических.

Где, как и когда начиналась геометрия… Где, как и когда обрела она законченную форму и заслужила право называться наукой… Кто был тот неведомый, первый, предложивший аксиоматическое ее построение, мы не знаем и, вероятно, не узнаем.

Принято думать, что это сделали греки. Но, быть может, прославленные египетские жрецы, а может быть, и не менее прославленные халдейские маги и есть истинные отцы науки.

Как бы то ни было, геометрия в VII веке до н. э. приходит в Грецию.

И здесь греки, поклонники холодной логики и филигранного изящества чистого интеллекта, любовно оттачивают (или создают) одно из самых красивых и долговечных творений человеческой мысли — геометрию.

Насчет филигранного изящества — сказано красиво, но, по сути, конечно, все было хитрей и сложней. Бесспорно, в первую очередь развитие геометрии диктовалось нуждами практики.

Какое-то влияние на развитие логики (а следовательно, и геометрии) оказало и увлечение греков юриспруденцией и ораторским искусством. Но в Египте, например, практикам также геометрия была весьма и весьма необходима, а уж что касается бесконечных тяжб и судебных процессов — тут греки вообще не могут конкурировать со страной фараонов.

Короче, серьезный анализ всего вопроса — дело тяжелое, и мы удовлетворимся фактом.

А чтобы не нарушать более торжественность начала, вернемся к высокому стилю.

Геометрия возникает. И тогда-то начинается азартная и драматическая игра в чистую логику, продолжающаяся два с половиной тысячелетия.

И таким же примерно сроком датируется история пятого постулата, история драматическая, поучительная, детективная и с неожиданным, но счастливым концом.

После анонса можно вернуться к истокам — ко мгле времен.

Геометрию, полагаем мы, начинала Ионийская школа. Точнее, сам ее основатель — Фалес Милетский, проживший что-то около сотни лет (то ли 640–540 до н. э., то ли 640–546 до н. э.).

Толком мы мало что знаем о нем.

Знаем точно, что имел он «титул» одного из семи мудрецов Греции, знаем, что по официозному счету идет он как первый философ, первый математик, первый астроном и вообще первый по всем наукам в Греции. Короче: он был то же для греков, что Ломоносов для России.

В молодости, вероятно, по торговым делам (а карьеру начинал он как купец) попал он в Египет, где фараон Псамметих только-только ликвидировал «железный занавес» и стал оформлять въездные визы для иностранцев.

В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Потом он вернулся домой и основал философскую школу, выступая, очевидно, не столько как самостоятельный мыслитель, сколько как популяризатор египетской мудрости.

Считается, что геометрию и астрономию привез он.

Во всяком случае, одному у него могут поучиться все философы — краткости. Полное собрание его сочинений (естественно, не дошедшее до нас), по преданию, составляло всего 200 стихов.

Что именно сделал он в геометрии, мы можем только гадать, хотя греческие авторы приписывали ему довольно много.

Например, Прокл Диадох (с этим именем мы еще встретимся) утверждает, что именно Фалес доказал теоремы:

а) вертикальные углы равны;

б) углы при основании равнобедренного треугольника равны;

в) диаметр делит круг пополам… И еще ряд других.

Допустив даже, что все историки писали сущую истину, мы уж совсем не знаем: самостоятельно пришел Фалес к этим теоремам либо же просто пересказывал идеи египтян?

Предсказание солнечного затмения 585 года до н. э., по-видимому, единственный бесспорный факт из научной деятельности Фалеса Милетского.

Но легенд о нем ходило множество. А само это уже свидетельствует, что ученый он был крупный.

Один из апокрифов столь приятно ласкает самолюбие людей науки, что его невозможно не процитировать. Рассказывает Аристотель:

«Когда Фалеса попрекали его бедностью, так как-де занятия философией никакого барыша не приносят, то говорят, что Фалес, предвидя на основании астрономических данных богатый урожай олив, еще до истечения зимы роздал накопленную им небольшую сумму денег в задаток владельцам всех маслобоен в Милете и на Хиосе. Маслобойни он законтрактовал дешево, так как никто с ним не конкурировал. Когда наступило время сбора олив, начался внезапный спрос одновременно со стороны многих лиц на маслобойни. Фалес стал тогда отдавать на откуп маслобойни за ту цену, за какую желал.

Набрав таким образом много денег, Фалес доказал тем самым, что и философам разбогатеть нетрудно, только не это дело составляет предмет их интересов».

Что Фалес сделал с деньгами, полученными в результате столь удачного практического применения астрономии, истории неизвестно. Будем надеяться, что истратил их он как истинный философ.

Ученики его и последователи, по-видимому, уделяли геометрии существенное внимание в своих философских занятиях. Однако центральная математическая школа в VI–V веках до н. э. была пифагорейская.

Достоверные биографические сведения о Пифагоре в основном сводятся к нескольким анекдотам. В этом он очень походит на Фалеса Милетского. Неясности начинаются уже с вопроса о его происхождении.

Бертран Рассел, суммируя имеющиеся данные, заключает: «Некоторые говорят, что он был сыном состоятельного гражданина по имени Мнесарх, другие же считают, что он был сыном бога Аполлона. Я предоставляю читателю выбирать между двумя этими противоположными версиями».

Далее полагают, что жил Пифагор столь же основательно, как и Фалес, — примерно сто лет (предположительно 569–470 до н. э.).

Опять же, как Фалес, он лет двадцать набирался мудрости в Египте, но потом (и здесь он превзошел Фалеса) еще лет десять жил в Вавилоне, где еще набирался мудрости.

Утверждают также, что он путешествовал по Индии, но никто этому не верит.

Наконец, в каждой второй брошюре о боксе можно прочитать, что Пифагор был олимпийским чемпионом по кулачному бою, хотя первоисточник столь любопытных данных никогда не указывается, и мне он по меньшей мере неизвестен. Впрочем, как и в случае с Фалесом, привлекательна неожиданность сочетания: философ и математик одновременно оказался боксером экстра-класса.

Во всяком случае, если и не в бокс, то в политику Пифагор вмешивался весьма активно, хотя не очень удачно.

Граждане сицилийского города Кротона, где он основал по возвращении из дальних стран свою школу и попутно втравил весь город в тяжелую войну, в итоге попросили его убраться вместе со школой. Он это и сделал. И довольно поспешно, что было разумно и своевременно.

Математик и ученый он, очевидно, был очень сильный, тем не менее особых восторгов он не вызывает.

Его Пифагорейский орден философов и математиков слишком уж напоминает казарму, а сам Пифагор подозрительно смахивает на какого-то фюрера, хотя и несравненно более культурного, чем те, что имели успех в двадцатом столетии.

Именно сам Пифагор — очевидно, для пущего авторитета — распространял, популяризировал, холил и лелеял идею, что его любимый папа — светоносный и лучезарный Аполлон. Он же оказался истинным отцом популярного и ныне обычая — присваивать себе научные результаты своих учеников. Причем дело было поставлено вполне официально. Существовал некий декрет, по которому авторство всех математических работ школы приписывалось Пифагору.

Хотя можно повторить, что подобные вещи не такая уж редкость и в наши дни, все же 25 столетий несколько смягчили и цивилизовали нравы. Суть осталась неизменной, но форма значительно облагородилась.

Впрочем, наш Пифагор вообще вне конкуренции на этой стезе, ибо он исхитрился устроить так, что верные ученики объявляли его автором работ, выполненных намного позже его кончины. Понятно, что при подобных нравах в пифагорейской школе наиболее безусловным и безоговорочным научным доводом считались ссылки на «самого».

Так и говорили на хорошем греческом языке — «сам сказал». После чего дискуссия была неуместна и несколько опасна.

«Он» же со своими милыми последователями засекречивал методы решения математических задач, а также составил для членов ордена подробный список табу, слегка напоминающий творчество сумасшедшего руководителя детского сада.

Опасаясь предстать голословным, я процитирую часть правил хорошего тона для джентльменов из Пифагорейского клуба.

«1. Воздерживайся от употребления в пищу бобов.

2. Не поднимай то, что упало.

3. Не прикасайся к белому петуху.

4. Не откусывай от целой булки.

5. Не ходи по большой дороге.

6. Вынимая горшок из огня, не оставляй следа его на золе, но помешай золу».

И далее… в том же духе.

И это-то сборище время от времени захватывало власть то в одном, то в другом греческом городе, устанавливая там культ Пифагора и соответственно требуя выполнения своего устава. Впрочем, как меланхолично замечает Бертран Рассел, «те, которые не были возрождены новой верой, жаждали бобов и рано или поздно восставали».

И наконец, говорят, он читал проповеди скотам, поскольку мало различал их и людей.

Но как геометрию, так и вообще математику пифагорейская школа весьма и весьма продвинула вперед. Все это вместе взятое — неплохая иллюстрация опасности идеализации представителей точных наук и интеллекта.

Впрочем, это нам Пифагор представляется в основном математиком.

Он же сам, как и его современники, полагал, что истинная его профессия — пророк.

Им, пожалуй, было видней, а, как известно, каждый пророк обязан отчасти быть фокусником, отчасти демагогом, отчасти шарлатаном.

Всем этим Пифагор, видимо, владел в полном ассортименте. А ученики старались по мере сил. Рассказывали, что у него было золотое бедро; рассказывали, что достойные доверия люди видели его одновременно в двух разных местах; рассказывали также, что когда он однажды переходил вброд реку, последняя от восторга вышла из берегов, с радостью восклицая: «Да здравствует Пифагор!»

На мой взгляд, речной бог выбрал не лучший способ прославления, ибо в первую очередь Пифагор должен был изрядно вымокнуть, но так рассказывали ученики.

Правда, среди греков было достаточное количество разумных людей.

Много бродивший по свету, довольно реалистичный, свободомыслящий и порядком ехидный философ и писатель Ксенофан писал о Пифагоре в несколько другом стиле. Одна из его эпиграмм такова.

Однажды, когда Пифагор увидел, как бьют собаку, он закричал: «Перестань, я по ее голосу узнал душу моего друга!»

Учение о переселении душ — один из основных элементов всей концепции Пифагора, и Ксенофан, как видите, не без яда прошелся по этому поводу.

Гераклит же определил Пифагора совсем сурово — «многознание без разума».

Расстанемся с Пифагором, процитировав на прощание забавнейшее место из его жизнеописания, составленного почтительным поклонником.

Вот, оказывается, какими извилистыми путями распространяется иногда наука.

Естественно, геометрия, как и остальные науки, тщательно скрывалась пифагорейцами от прочего народа. И кто знает, может быть, до наших дней геометрия осталась бы неизвестной всему человечеству (кроме пифагорейцев), если бы… Обратимся к легенде.

Вот как пифагорейцы объясняют, почему геометрия стала открыто распространяться. Это произошло по вине одного из них, который потерял деньги общины. После этого несчастья община позволила зарабатывать ему деньги, преподавая геометрию, и геометрия получила название «предание Пифагора».

Любопытно то, что, судя по всему, существовал учебник геометрии с таким названием.

Что же касается самой истории, то, если в ней есть зерно истины, я, хотя и не считаю себя злорадным человеком, был бы счастлив узнать, что растяпа пифагореец отнюдь не потерял деньги, а успешно прокутил их в ближайшем портовом кабачке, потягивая вино, наслаждаясь похлебкой из белого петуха с бобовой приправой, с удовольствием кусая от целой булки и распевая затем негармоничные песни на большой дороге.

Великие заслуги перед геометрией имеет еще один малоприятный на мой вкус человек.

Это Платон (428–348 годы до н. э.).

Надо сказать, что и по своим взглядам, и по методам организации школы, и по любви к саморекламе Платон очень напоминает Пифагора. Но прежде чем объяснить свою нелюбовь к нему, я хочу сказать, в чем действительно заключался его существеннейший вклад в геометрию.

Он считается, и, возможно, справедливо, — я не специалист — одним из величайших философов Греции. Он действительно очень много сделал для развития математики и весьма ценил ее. На входе в его академию был даже высечен весьма категорический лозунг: «Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии!» Дело в том, что Платон полагал: «Изучение математики приближает к бессмертным богам», — и воспитывал в этом духе своих учеников, приплетая математику к месту и не к месту. Некоторые из них выросли в блестящих геометров. Учеников у Платона было множество, и они, естественно, распространили множество рассказов, восхвалявших учителя.

По-видимому, Платон первым четко потребовал: математика вообще, и геометрия в частности, должна быть построена дедуктивным образом. Иначе говоря, все утверждения (теоремы) должны строго логически выводиться из небольшого числа основных положений — аксиом.

Такая постановка — крупнейший шаг вперед.

Ко времени Платона геометрия уже была очень развита.

Было решено много весьма и весьма сложных задач, доказаны сложнейшие теоремы. Но ясной позиции в смысле общей схемы построения как будто не было. Как это очень часто бывает в науке, развитие геометрии очень стимулировалось тремя задачами, решение которых никак не удавалось отыскать.

Поскольку мы уж несколько углубились в историю, я приведу эти задачи.

Требовалось: при помощи циркуля и линейки, не привлекая никаких других геометрических инструментов…

1. Разделить данный угол на три равные части (трисекция угла).

2. Построить квадрат с площадью, равной площади данного круга (квадратура круга).

3. Построить куб с объемом, в два раза большим объема данного куба («Дельфийская задача»).

Только на исходе XIX века было доказано, что в такой постановке ни одна из задач не может быть решена, хотя все три задачи легко решаются, если использовать другие геометрические инструменты. Или, иначе, использовать при построении геометрические места точек, отличные от прямой, либо дуги окружности.

Однако правила игры у греков не позволяли при решении пользоваться чем-либо еще, кроме циркуля и линейки.

Платон даже обосновал это требование некоей ссылкой на авторитет богов.

Потому ни одна из проблем решена не была, но попутно, по ходу дела геометрия была весьма разработана. Я с великим сожалением опускаю все анекдоты, связанные с этими задачами. Историй много, и они прелестны, но нельзя слишком отвлекаться.

Вспомним лишь одно из преданий, чтобы продемонстрировать объективность в отношении Платона. В одном из вариантов этой истории он выступает довольно разумным человеком.

Однажды, рассказывает Эратосфен, на острове Делос вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова, естественно, обратились к Дельфийскому оракулу, который повелел удвоить объем золотого кубического жертвенника Аполлону, не изменяя его формы. За советом обратились тогда к Платону.

Платон задачи не решил, но зато истолковал оракула в том смысле, что боги гневаются на греков за нескончаемые междоусобные войны и желают, чтобы они, греки, вместо кровавых побоищ занимались бы науками и особенно геометрией.

Тогда чума исчезнет.

Но предания преданиями, а как философ и человек Платон крайне несимпатичен. Дело даже не в том, что он был защитник самого отчаянного идеализма и по всякому поводу апеллировал к богам.

Но он еще создал некую теорию государства, взяв за образец имевшуюся под боком вполне фашистскую страну — Спарту. И основные положения его утопии вполне удовлетворяют требованиям нацистов.

Всю свою жизнь он яростно боролся против демократии в политической жизни и против материализма в духовной.

Философов-материалистов он не только абстрактно поносил в своих философских сочинениях, но, демонстрируя неплохую практическую хватку, нередко успешно использовал в научных спорах проверенный веками жанр политического доноса.

Кроме того, он, как рассказывают, скупал сочинения своего самого ярого врага Демокрита, с тем чтобы уничтожить их.

О Демокрите необходимо сказать особо.

Если считать, что истоки нашей современной физики надо искать у греков (а вероятно, так оно и есть), то годов набирается довольно основательно — без малого два тысячелетия. От Аристотеля до Ньютона. Четыре первичные стихии Аристотеля: воздух, вода, земля и огонь — одна из первых попыток определить понятие «элементарные частицы» в физике.

Правда, у греков физика еще не физика в четком смысле слова.

В основе не эксперимент, а умозрительные рассуждения, но сейчас это не очень существенно для нас.

И пожалуй, почти полное отсутствие эксперимента оттеняет совершенно поразительную догадку лукавого философа Демокрита из Абдеры.

Примерно за полстолетия до Аристотеля он предположил, что все вещества состоят из мельчайших неделимых частиц — атомов и различные их свойства определяются различным качеством этих самых атомов.

В данном же веществе все атомы тождественны и лишены индивидуальности.

Эти воззрения по духу своему столь близки к современным, что один из основателей квантовой механики, Эрвин Шредингер, в своих лекциях с удовольствием поражал слушателей изящным парадоксом: «Первым квантовым физиком был не Макс Планк, а Демокрит из Абдеры».

Сам Демокрит, вероятно, был бы изумлен более всех, услышав столь лестную характеристику, но, впрочем, надо согласиться, что и Шредингер имеет некоторые права рассуждать о квантовой теории.

Судьба воззрений Демокрита замечательна еще по меньшей мере двумя фактами. Во-первых, ни одной его работы не дошло до нас. То ли действительно преуспел Платон со своими милыми методами научной дискуссии, то ли просто растерялись его книги в веках, но, к сожалению, об идеях одного из первых материалистов мира мы можем судить лишь по отрывкам и по позднейшим пересказам.

Во-вторых (а популяризаторы науки, безусловно, не могут забыть об этом), первый известный нам научно-популярный трактат посвящен пропаганде его идей.

Мало того, в этой книге установлен непревзойденный до сих пор мировой рекорд, ибо это длиннейшая поэма. Я разумею, конечно, поэму «О природе вещей» Тита Лукреция Кара, написанную лет через триста с лишним после смерти Демокрита, две тысячи лет тому назад.

Впрочем, Демокриту еще сравнительно повезло, ибо следы многих других ученых (особенно материалистов) вообще напрочь затеряны. Например, до сих пор есть некоторые сомнения: существовал ли учитель Демокрита Левкипп? А уж в какой мере Левкипп соавтор (или автор) идей атомизма — совершенная загадка.

А по некоей версии оказывается, что свое учение Демокрит заимствовал у неких халдейских магов, подаренных с барского плеча его отцу персидским царем Ксерксом.

И если позволены философские моралите, стоит заметить, что в науке всегда идеи несравненно долговечней, чем память об их авторах. Впрочем, подавляющее большинство ученых любого профиля в состоянии усвоить все, что угодно, кроме этой не слишком уж неожиданной мысли.

Однако кто бы ни был основателем атомистического течения — следует ли истоки квантовой механики искать у Демокрита или же у халдеев, — взгляды этой школы были примерно таковы.

Мир состоит из атомов и пустоты. Атомы едины и неделимы. Они просты и качественно неизменны. Атомы не поддаются никаким воздействиям, не возникают и не уничтожаются. Между атомами существуют первоначальные отличия, которые и определяют различные свойства всех вещей.

То, что мы сегодня понимаем под элементарными частицами, — объекты, мало похожие по своим свойствам на атомы Демокрита.

Они возникают и гибнут, они превращаются одна в другую, на них легко воздействовать — короче, надо признать, что в понятии элементарной частицы греки были несравненно логичней, чем физики XX века.

Есть авторитетное свидетельство самого Архимеда, позволяющее думать, что Демокрит был великолепным геометром. Как будто именно он вычислил объем конуса и пирамиды. Это блестящий результат, но подробности, увы, почти неизвестны. Тем не менее среди предтеч интегрального исчисления первым, видимо, надо считать Демокрита.

Дело еще в том, что едва ли не основной наш источник — книга Прокла Диадоха. А поскольку Прокл был последователь Платона, всех его научных противников он либо вообще не упоминает, либо очень скупо цедит отрывочные сведения.

Естественно, Демокрит, как враг № 1, был изгнан из истории в первую очередь.

Точно так же мы почти ничего не узнали о геометрических работах замечательного философа, одного из первых материалистов, Анаксагора. Известно лишь, что в темнице, где ему пришлось-таки сидеть за свои взгляды, он исследовал проблему квадратуры круга. А философские идеи его стоит помянуть добрым словом.

Впрочем, лучше всех это сделает Платон. В одном из его сочинений в диалоге жителя Афин (рупор самого Платона) и спартанца так расправляется он с Анаксагором.

Афинянин: «Когда мы, стремясь получить доказательства существования богов, ссылаемся на Солнце, Луну, звезды и Землю как на божественные существа, то ученики этих новых мудрецов возражают нам, что все это ведь только земля и камни и они (то есть камни) совершенно не в состоянии заботиться о людских делах».

Как видите, Анаксагор и его ученики просто порождение мрачного Тартара.

Спартанец молниеносно распознает ересь и возмущенно восклицает: «Какой же вред для семьи и государства проистекает от таких настроений у молодежи!»

Вот так и дискутировал Платон.

Я бы очень хотел, чтобы открылось, что его заслуги в развитии геометрии сильно раздуты.

Но на сей день надо признать: школа его дала ряд блестящих математиков, а первое упоминание об аксиоматическом методе мы находим у него.

В общем уже в IV–III веках до н. э. геометрия — вполне оформившаяся наука.

Есть традиции, есть детально разработанные методы решения задач, есть крупные достижения, есть уже несколько учебников, есть научные школы.

Рассказать здесь обо всех геометрах доевклидового периода и об их работах, естественно, невозможно.

Для солидности я приведу список крупнейших математиков доевклидовых времен с единственной целью — продемонстрировать, сколь внушителен этот реестр.

Фалес Милетский, Анаксимандр, Америст, Мандриат, Эонипид, Анаксимед, Демокрит, Анаксагор, Пифагор, Гиппий, Архит, Гиппократ Хиосский (не путать с врачом), Антифон, Платон, Теэтет, Евдокс Книдский (оба последних — крупнейшие фигуры. Особенно Евдокс (400–337 г. до н. э.) — по совместительству еще астроном, врач, оратор, философ, географ).

Менехм, Леодат, Дейнострат, Аристай, Евдем, Теофраст, Леон, Тевдий… и еще десятка два имен.

А также Аристотель.

Аристотель, бесспорно, один из величайших ученых в истории человечества.

Правда, в итоге вред, принесенный его трудами, чуть ли не перевешивает пользу. Сам Аристотель тут не очень при чем, но в средние века, выхолощенные, очищенные от всего, что могло пробуждать научную мысль, работы его были, пожалуй, основным оружием реакции.

Но оценка его трудов — история особая. Единственно, что нужно здесь сказать, — геометрией он интересовался очень. Причем особое внимание уделял теории параллельных.

Более того, в этой области ему принадлежат два весьма важных утверждения. Правда, в его работах, дошедших до нас, их нет, но зато все позднейшие математики в один голос приписывают эти утверждения Аристотелю.

Забегая вперед, заметим, что самые остроумные доказательства пятого постулата Евклида основаны как раз на «принципе» Аристотеля. Что именно говорил Аристотель о свойствах параллельных, мы скажем позже.

А сейчас…

 

Глава 2

Евклид

Забудем о предтечах и начнем счет с Евклида.

Жил и работал он во время весьма любопытное.

В 323 году до н. э. то ли вследствие острой лихорадки, в результате ли неумеренного пьянства или просто от доброй порции яда отправился на свидание к отцу своему Зевсу царь царей земных, изрядно уже потрепанный, хотя сравнительно молодой, тридцатитрехлетний мужчина — Александр Македонский.

Полубога не успели даже подобающим образом проводить, как перешли к очередным делам.

Надо было делить империю. А она была невероятна. Всего лишь за десять лет были завоеваны страны, в сотни раз превосходящие маленькую полунищую Македонию.

Как и почему могло все случиться, нас сейчас не очень волнует. Причин на то было много. Одна из них, как известно, та, что Александр Македонский был герой.

Так или иначе, но мир за десять лет стал другим. Видимые границы его расширились в четыре раза, а теперь предстояло переварить то, что было проглочено. Было ясно, что для одного — наследство непомерно. И отдавать все малолетнему сыну Александра, появившемуся на свет через несколько месяцев после смерти папы, или же второму наследнику — слабоумному сводному брату Александра, — было просто смешно. Посему империю согласно растащили те любимые полководцы, которых Александр не успел казнить.

Они заключили вечный мир, поклялись в столь же вечной дружбе, порядком выпили на радостях, обменялись суровыми мужскими пожатиями на прощание, после чего, естественно, началась резня и междоусобица.

Время было веселое. Цари возникали как грибы после дождя и столь же быстро ликвидировались. Ни в чем (кроме происхождения) не повинных законных наследников придушили либо прирезали уже к началу второго десятилетия. А изводить людей в династических войнах продолжали с удвоенной энергией еще несколько десятков лет.

Так и начиналась интереснейшая эпоха эллинизма.

Во всей этой сваре более других повезло осмотрительному Птолемею, который при дележке отхватил себе Египет.

Он довольно успешно вмешивался в склоки диадохов (наследников), более или менее разумно попридерживал в родном уделе — Египте — своих отчаянных македонцев, мечами которых и держался. Не возражал против столь дорогого для местной интеллигенции поклонения черным котам и крокодилам и сам стал богом в соответствии со служебным положением (как-никак фараон). Страну грабил, конечно, и грабил основательно. Но тут уж египтян удивить было трудно. Поощрял торговлю, немножко казнил недовольных, всячески холил бюрократический аппарат… и прижился-таки на берегах Нила, в городе, оригинально названном Александром, — Александрия.

Наследники его постепенно ассимилировались, а династия оказалась не только самой прочной и долговечной, но и прославилась еще тем, что, подарив миру Клеопатру, обеспечила сюжетом литературу на две тысячи лет.

И самый первый Птолемей I Сотер и все последующие Птолемеи славны тем, что были они покровители наук. Трудно сейчас сообразить, каковы были их мотивы, почему это вдруг науки так привлекли Птолемеев.

Может быть, это было некое интеллектуальное кокетство; возможно, пригревая математиков и философов, Птолемей I подражал Александру — как-никак Александр был ученик Аристотеля и ученых ценил (правда, в весьма своеобразных формах). Можно, наконец, допустить, что имелись в виду некие практические использования мудрецов. Впрочем, эта версия довольно сомнительна.

Оставив все психологические изыскания в стороне, отметим факты.

Александрия в III–II веке до н. э. превратилась в основной научный центр эллинистического мира. И наиглавнейшим научным институтом был знаменитый Александрийский музей со знаменитейшей Александрийской библиотекой. К несчастью, ее разоряли много раз, и в итоге все 70 тысяч свитков были сожжены в VII веке неким свирепым арабским халифом.

Впрочем, халифу, кажется, зря «шьют» это дело. Первым приложил руку великий Цезарь. Кай Юлий Цезарь — по совместительству неплохой прозаик, но главным образом полководец, политический демагог и отчаянный честолюбец.

Далее имеются весьма веские данные, позволяющие думать, что в основном тут потрудилась ранняя (и уж тогда весьма веротерпимая) христианская церковь, опередившая простоватого халифа лет на двести с лишним. Халифу же осталось лишь подчищать остатки. Так или иначе, но самое благое дело Птолемеев ждала неудачная судьба.

Все-таки если уж и вспоминать Птолемеев добрым словом, то за их покровительство науке.

На счету истории человечества много царств. И еще больше царей. Возможно, историки проследят связь деяний того или иного сатрапа с последующей историей. Но непосредственно в живой памяти людей остается ничтожный процент из всего этого венценосного полчища. И то надо сказать, что редко память бывает хорошей.

В смысле приметливости больше всего удача улыбается головорезам и авантюристам типа Тамерлана либо Наполеона.

Однако прямая их роль в нашей сегодняшней жизни практически близка к нулю.

И поскольку я уж несколько завяз в лирических вариациях на древние-древние мотивы о бренности земных царств и всей славы их, я попытаюсь достойно закончить их довольно поучительной притчей.

За несколько десятков лет до вторжения испанцев в Мексику некий ацтекский вождь с абсолютно неудобопроизносимым для русского языка именем (обозначим его «X») объединил все племена в царство и в какой-то степени ликвидировал феодальную раздробленность. Естественно, предполагалось, что царство его и династия его будут благоденствовать долгие века. И сам «X» правил долго и счастливо.

Вскоре по Мексике прошли гангстеры Кортеса, и от ацтекской империи остались сейчас лишь затопленные джунглями развалины блестящих некогда городов. Но это лишь половина истории.

У царя (точнее, касика — сохраним колорит) «X», понятное дело, имелся гарем — «X» любил (и весьма) женщин.

Человек он был действительно незаурядный. Был он блестящий лирический поэт и, естественно, помимо своей непосредственной деятельности, писал стихи для своих многочисленных жен. И песни его можно услышать в деревнях Мексики и в наши дни. И можно еще раз порадоваться, что истинные произведения искусства всегда оказываются долговечнее империй.

Стоило бы, пожалуй, все же вспомнить имя поэта. Но, увы, я помню лишь, что оно очень сложно.

Итак, Птолемей I Сотер пригласил в Александрию Евклида. И там написал Евклид «Начала» — книгу для истории человечества, бесспорно, уникальную.

Снова должен я начать с традиционного уже признания. О самом Евклиде практически ничего не известно. Впрочем, пара апокрифов, конечно, имеется.

Рассказывают, что Птолемей поначалу сам захотел одолеть премудрости геометрии. Но довольно скоро обнаружил, что изучение математики — слишком тяжкое бремя для него, фараона. Тогда он призвал Евклида и попросил его, полагаю, как джентльмен джентльмена: «Нельзя ли постигнуть все тайны науки как-нибудь попроще?» На что Евклид гордо и невежливо ответил: «В геометрии нет царского пути». Остается неведомым, продолжал ли Птолемей занятия геометрией. Вероятней всего, он утешился в занятиях, более приличествующих царям (приемы, охота, пьянки и гарем).

Вторая история такова.

На этот раз изучать геометрию к Евклиду явился какой-то молодой прагматист. И первое, что спросил он: «Какова будет практическая польза от штудирования «Начал»?» Тогда Евклид, весьма и весьма задетый, призвал раба и сказал: «Дай ему грош, он ищет выгоды, а не знаний».

Надо, впрочем, сознаться, что обе истории столь традиционно характерны, учитывая представления греков о мудрецах и о математике, что особо доверять им не приходится.

Если первая новелла чрезвычайно симпатична и для людей нашего века, то вторая по меньшей мере стимулирует активные возражения. Но приходится учитывать, что греки мыслили… впрочем, я не берусь сказать, как именно мыслили греки. Боюсь, одни считали так, а другие этак. Мы знаем (точнее, думаем, что знаем), что они презирали всякое практическое применение математики, и вроде бы действительно в трудах философов тех веков (особенно у последователей Платона) находим этому подтверждения. И неоднократные. Все это так. Все это верно. Но самый гениальный математик древности — Архимед — был физик, причем экспериментатор, а не теоретик. Мало того. Он был еще и первокласснейший военный инженер, потративший много лет и массу труда на создание из своего родного города — Сиракуз — практически неприступной крепости.

Конечно, Плутарх, как бы считая необходимым оправдать Архимеда, стыдливо объясняет, что все это были, дескать, забавы — интеллектуальные игрушки для философа. Но не надо особой проницательности, чтобы сообразить: забавляясь, не спланируешь укрепленный район, снабженный притом оружием твоего же изобретения, — район, повторяю, абсолютно неприступный по тем временам. Кстати, позволю себе отвлечься, чтобы заметить: пример Архимеда прелестно показывает, что и в те далекие наивные времена физика и иные науки играли в войне едва ли меньшую роль, чем сейчас.

Ну, а каково же было истинное отношение в эллинистическом мире к практическому использованию математики, не слишком ясно.

Вообще иногда возникает невольное раздражение, когда встречаешь излишне категоричные суждения о той далекой эпохе. Слишком мало мы знаем, слишком обрывочны и случайны данные, чтобы уверенно судить о психике, нравах и обычаях людей тех времен. Впрочем, здесь я вступаю на очень скользкую дорожку и начинаю рассуждать о вещах, не очень мне знакомых. Но прежде чем мы вернемся к геометрии и Евклиду, я позволю себе лишь одно замечание, ибо самое соблазнительное — дилетантские разглагольствования.

При оценке древних очень часто конкурируют две крайние тенденции. Либо греки (эллинистический мир, в частности) предельно идеализируются, и сторонники этой версии горько сожалеют об упадке нравов за истекший период в 2500 лет и о невозвратно ушедших временах детства человечества, когда люди были чисты, наивны и бесхитростны. Эта линия почему-то весьма популярна у утонченной интеллигенции гуманитарного склада.

Сторонники другого творческого направления, грубо говоря, полагают, что достаточно научиться включать пылесос и телевизор, чтобы осознать свое полное моральное превосходство над представителями любой ранней цивилизации.

Так иногда рассуждают инженеры, военные и другие представители «точных» профессий (я надеюсь, мне простится, что физиков я не в силах был включить в список).

Как это и бывает обычно, защитники противоположных позиций, по существу, едины в полном нежелании сколько-нибудь серьезно разобраться в сути и целиком доверяют своим случайным субъективным впечатлениям.

Далее имеются сторонники «скептической школы», полагающие, что всегда, во все века люди были одинаковы и интеллект и моральные качества не успели измениться за какие-то жалкие 2,5 тысячи лет.

В общем-то для автора эта позиция наиболее приемлема, хотя по всему, что он — автор — читал, можно все же полагать, что за эти самые 2,5 тысячи лет человечество медленно, но неизменно совершенствуется. Хотелось бы, конечно, чтобы движение это было несколько более активно, но это уже другой вопрос.

И вероятно, давно уже пора объяснить утомленным читателям, почему в книге о геометрии автор с переменным успехом рассуждает о чем угодно, кроме самой геометрии.

Я это и сделаю, а потом мы все же вернемся к Евклиду.

Итак, нечто аналогичное предисловию.

Действительно, далее будет говориться и о неевклидовой геометрии и об общей теории относительности, возникновение которой без особой натяжки можно рассматривать как логическое завершение всей истории с пятым постулатом.

Но мне кажется, самое интересное во всем этом не геометрия и не теория относительности.

В конце концов весь роман о пятом постулате столько же свидетельствует о силе человеческой мысли, сколько и об удивительной, почти анекдотической ограниченности математиков. Недаром, кстати, Макс Планк позволил себе, может быть, излишне категоричное, но верное в общем высказывание, что «по сравнению с теорией относительности создание неевклидовой геометрии — не более чем детская игра». Не будем, однако, раздавать медали. Главное — другое.

Самое важное, поучительное и, если хотите, трогательное, что та история, за которой мы попытаемся проследить, символична, как иллюстрация одного из лучших качеств, отличающих людей от прочих приматов и объединяющих все расы в единый вид. Как догадывается проницательный читатель, автор воспевает бескорыстное стремление разобраться: в каком мире, собственно, мы живем, как устроена наша вселенная? И объединяющий людей такого сорта интернационализм, интернационализм эпох, стран и национальностей, вечно противостоит столь же вечному братству мещанства, братству сатрапов, карьеристов, завоевателей, честолюбцев, стяжателей и худшей части футбольных болельщиков.

Если представить себе некую фантастическую картину, усадив в одной комнате за застольной беседой Евклида, Хайама, Гаусса, Лобачевского и Эйнштейна, то маловероятно, что в какой-то момент Николай Иванович Лобачевский испытал бы необходимость искать общих знакомых или провозглашать за отсутствием тем разговора: «Ну, а теперь — анекдотики».

А с другой стороны, нужно с неохотой признать, что анекдоты времен Евклида (с легким изменением колорита, конечно) почти полностью исчерпывают духовный арсенал многих и многих наших современников.

Впрочем, идеализацией как науки, так и ее жрецов тоже не стоит излишне увлекаться. Можно найти сотни и сотни примеров блестящих ученых — совершенно аморальных людей.

И может быть, самое привлекательное во всей нашей истории то, что как неевклидова геометрия логически завершается общей теорией относительности, так галерея математиков — как правило, не только замечательных по таланту, но и по-человечески интересных людей — замыкается Эйнштейном.

Но вернемся же к Евклиду!

Для начала следует добавить несколько крепких выражений в адрес всех скотов, истреблявших Александрийскую библиотеку. Останься она цела, мы знали бы о греческом и римском мире в десятки раз больше, чем сейчас.

Вероятно, мы бы знали и об Евклиде. Но, к сожалению, на сей день едва ли не самый основательный источник по Евклиду — Прокл Диадох Константинопольский — геометр, написавший детальнейший «Комментарий на первую книгу «Начал». И раз уж мы все время ссылаемся на источники, необходимо маленькое замечание.

Когда мы обращаемся к истории древнего мира, то невольно возникает тот же эффект, что при наблюдении горной цепи с самолета. Все сглаживается, расстояния кажутся малыми, детали исчезают полностью. Видна лишь общая картина.

И невольно все греческие математики представляются почти современниками. Поэтому нелишне, вероятно, вспомнить, что Прокл (412–485 г. н. э.) жил на семьсот лет позже Евклида. Временной интервал куда больше, чем разделяющий нас, скажем, с Иваном Васильевичем Грозным. Посему не так уж странно, что сведения о жизни Евклида у Прокла отрывочны и случайны.

Есть еще один автор, живший несколькими десятилетиями раньше Прокла, — александрийский математик Паппус. Он пишет о Евклиде как о мягком, скромном и вместе с тем независимом человеке. История с Птолемеем приводится как одним, так и другим. «Точные» же биографические данные практически основываются на заметках неизвестного арабского математика XII века: «Евклид, сын Наукрата, сына Зенарха, известный под именем Геометра, ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира…»

Все.

Человек бесследно растворился в веках. Осталась его работа.

«Начала» — повторимся — книга уникальная. Более двух тысяч лет она была главным и практически единственным руководством по геометрии для ученых как западного, так и восточного мира. Еще в конце XIX столетия во многих английских школах геометрию изучали по адаптированному изданию «Начал», и вряд ли можно найти более выразительное свидетельство популярности. В этом смысле конкурировать с «Началами геометрии» могут разве что библия и евангелие. Но в отличие от последних основа «Начал» — строгая и жесткая логика. Точнее — Евклид все время стремится к таковой.

Можно полагать, что Евклид был последователь Платона и Аристотеля. А Платон, как помните, требовал строго дедуктивного построения математики.

В фундаменте — аксиомы: основные положения, принимаемые без доказательства, а далее все должно быть безупречно логично выведено из этих аксиом.

Этот идеал и пытается осуществить Евклид. Пытается, потому что с современных позиций буквально вся его аксиоматика неудовлетворительна.

Но это легко заявлять сейчас, после 25-столетних исследований. А в свое время логика Евклида оставляла совершенно подавляющее впечатление.

Попытки рассказать геометрию на базе аксиоматического метода были до Евклида. И не плохие. Но уверенно можно заключить, что работа Евклида была наиболее удачной. Свидетельство — необычная популярность его книги уже в древнем мире; популярность, благодаря которой она дошла и до нас.

Можно говорить всякие обидные (и справедливые) слова в адрес аксиоматики Евклида. Но то, что сама схема стала с тех пор канонической для построения любого раздела математики, забывать не стоит. И конечно, необходимо помнить, что «Начала» блестяще написаны, написаны мастером своего дела, тонким ученым и великолепным педагогом. Поэтому поголовное поклонение математиков Евклиду и его «Началам» и понятно и оправданно. Добавим еще, что эта книга обратила в «математическую веру» несколько десятков молодых людей, ставших впоследствии крупнейшими математиками мира.

Влияние Евклида было поразительно во все века, во всех краях света. Вот, например, в каких супер-восхищенных тонах говорил об Евклиде один из виднейших математиков эпохи Возрождения, Кардан. Сам-то Кардан, кстати, был отчаянный авантюрист, чтобы не сказать проходимец, но математического таланта и культуры у него не отнимешь. Он пишет о «Началах»:

«Неоспоримая крепость их догматов и их совершенство настолько абсолютны, что никакое другое сочинение, по справедливости, нельзя с ними сравнить. Вследствие этого в них отражается такой свет истины, что, по-видимому, только тот способен отличать в сложных вопросах геометрии истинное от ложного, кто усвоил Евклида».

А вот слова одного крупного английского геометра. Это уже середина XIX века.

«Никогда не было системы геометрии, которая в существенных чертах отличалась бы от плана Евклида; и до тех пор, пока я не увижу этого собственными глазами, я не поверю, что такая система может существовать».

Надо, правда, сказать, что в середине XIX столетия автор мог бы мыслить более прогрессивно, и слова эти, помимо преклонения перед Евклидом, демонстрируют его собственную изрядную консервативность.

Можно приводить сколько угодно подобных цитат, но мы ограничимся эффектной концовкой. Может быть, самое яркое свидетельство влияния «Начал» буквально на все области мышления то, что один из известных в истории западного мира философов, Бенедикт Спиноза, весь план своего основного сочинения «Этика» целиком заимствовал у Евклида.

Возможно, авторитет Спинозы не слишком убеждает читателей, и поэтому для истинного финала своего воспевания «Начал» я приберег Исаака Ньютона.

Его основополагающая работа «Начала натуральной философии» копирует Евклида не только по заглавию, но и по схеме. В основе — аксиомы, из которых следует все. Сходство и в том, что аксиоматика Ньютона оказалась столь же эфемерна, как и Евклида.

И последняя справка. К 1880 году насчитывалось 460 изданий «Начал».

Вероятно, прежде чем идти дальше, необходимо несколько слов сказать о самом аксиоматическом методе.

Совершенно ясное и строгое понимание дедуктивных схем пришло лишь в начале XX столетия. В основном это заслуга великого немецкого математика Гильберта.

В несколько огрубленной и упрощенной форме дело обстоит примерно так. Мы ограничимся дальше конкретным случаем геометрии, чтобы не слишком увлекаться абстракциями.

Этап № 1. Перечисление Основных Понятий.

Фундамент — Основные Понятия (либо Основные Элементы). Они — результат длительного экспериментального изучения природы, сложного, путаного, туманного и т. д. и т. д. пути.

В итоге, как некое абстрактное отражение реальности, возникают Основные Понятия. О них в аксиоматике не говорится ничего. Они как бы даны свыше.

Это естественно. Определять Основные Понятия можно лишь при помощи других новых понятий, те, в свою очередь, при помощи… и так далее до бесконечности. Надо же с чего-то начинать. Как говорят французы: «Чтобы сварить рагу из кролика, необходимо поймать хотя бы кошку».

Итак, Основные Понятия. Математики говорят прелестно: это элементарные объекты, которые не определяются, а лишь называются. Впрочем, маленькое добавление есть. В современной аксиоматике геометрии Основные Понятия делятся на две группы:

а) Основные Образы;

б) Основные Соотношения.

Вообще говоря, сейчас есть по меньшей мере две существенно различные аксиоматические схемы. Дальше мы будем пользоваться той, в которой Основные Образы таковы:

1) точка; 2) прямая; 3) плоскость.

Теперь посмотрим, что представляют собой Основные Соотношения. Они формулируются так:

1) принадлежать; 2) лежать между; 3) движение.

Основные Понятия установлены. Теперь можно перейти ко второму этапу.

Этап № 2. Основные Аксиомы.

Для наших Основных Понятий мы высказываем целый набор утверждений, которые принимаем без каких-либо доказательств. Это аксиомы. Формально говоря, только аксиомы наполняют наши Основные Понятия живым содержанием. Только они дают им жизнь. Без аксиом Основные Понятия вообще лишены какого-либо содержания. Они — пустой звук. Аморфные призраки. Аксиомы определяют правила игры для этих «призраков». Устанавливают четкий логический порядок. И лишь одно может сказать математик о своих Основных Понятиях — они подчиняются таким-то и таким-то аксиомам. И все. Все!

Потому что математик, собственно, не знает, о чем он говорит. Единственное, что он требует: выполнения своих аксиом.

Единственное!

Когда аксиоматический метод доведен до совершенства, геометрия, говоря формально, превращается в абстрактную логическую игру.

«Точка», «прямая», «плоскость», «движение» — под этим может скрываться все что угодно. Любые объекты.

Мы построим для них геометрию. И мы будем называть нашу геометрию геометрией Евклида, если будут выполняться аксиомы, установленные для «настоящей» геометрии Евклида.

Например: через две различные точки проходит одна, и только одна, прямая. Это аксиома, сформулированная на обычном языке.

Если строго придерживаться терминологии, введенной чуть ранее, надо было бы сказать так:

двум различным точкам может принадлежать одна, и только одна, прямая.

И далее в том же духе. Как хорошее упражнение рекомендую на основе этой аксиомы доказать теорему: «Две прямые имеют лишь одну общую точку».

Всего в евклидовой геометрии сейчас различают пять групп аксиом. Это:

1) аксиомы соединения;

2) аксиомы порядка;

3) аксиомы движения;

4) аксиома непрерывности;

5) аксиома о параллельных.

Вряд ли стоит сейчас перечислять все эти аксиомы, мы поместим их в приложении, памятуя слова Геродота, что ничто не придает книге такой вес и солидность, как приложения.

К аксиомам мы еще не раз вернемся, а пока укажем…

Этап № 3. Перечисление Основных Определений.

При помощи Основных Понятий мы строим более сложные. Например: угол — это фигура, образованная двумя полупрямыми (лучами), исходящими из одной точки.

Если внимательно прочитать эту фразу, станет ясно, что в определении угла использовано одно сложное понятие, а именно: «луч» — полупрямая.

Очевидно, мы должны были раньше дать определение этого понятия при помощи Основных. Это довольно легко можно сделать. Читатели могут проверить, насколько они прониклись духом дедукции, и, вооружившись списком аксиом, попытаться решить эту задачу.

Если бы оказалось, что, используя Основные Понятия, невозможно определить, что такое луч, тогда пришлось бы это понятие отнести к Основным.

В общем все остальные понятия и определения вводятся при помощи Основных, а также (внимание!) тех аксиом, которые установлены нами для Основных Понятий.

Нам остался последний…

Этап № 4. Формулировка теорем. Доказательство теорем.

Для наших понятий (Основных и неосновных) мы высказываем утверждения-теоремы, которые и доказываем.

Это, собственно, и есть предмет геометрии.

Я сейчас еще раз хотел бы повторить, что в такой постановке геометрия превращается в совершенно абстрактную игру наподобие шашек либо, еще лучше, шахмат.

Там также есть Основные Понятия — фигуры. Есть аксиомы — совокупность правил игры. И наконец, есть теоремы. Собственно, одна теорема: как поставить противнику мат.

Для решения этой «теоремы» игрок в ходе партии доказывает десятки лемм (вспомогательных теорем), выбирая всякий раз лучший, по его мнению, ход в данной позиции.

Впрочем, отличие игр от геометрии есть. Оно состоит в том, что очень часто партнерами принимаются неправильные «доказательства». В шахматах, скажем, не сформулированы (неизвестны) строгие логические критерии оценки каждого хода или позиции. В геометрии они есть. В ней всегда можно установить, что вновь сформулированная теорема противоречит предыдущим теоремам, а значит, противоречит и более ранним, а значит… Разматывая клубок до конца, мы приходим к двум возможностям. Или мы допустили ошибку в нашем рассуждении, или теорема, которую мы вновь сформулировали, ошибочна.

Первая возможность малоинтересна для науки; она показывает лишь то, что мы плохо владеем математикой.

Зато во второй содержится определенный и часто очень важный результат. Если мы убедились, что наша гипотеза (теорема) неверна, следовательно, верны другие теоремы, именно те, что противоречат нашей. Если таких противоречащих теорем лишь одна, то нашим рассуждением мы ее доказали.

Последним абзацем, возможно в излишне туманной и абстрактной форме, мы разобрали схему очень распространенного в геометрии (как и вообще в математике) метода «доказательства от противного». Или по-другому — метода «приведения к абсурду» (reductio ad absurdum).

Чтобы не слишком воспарять, проследим на конкретном примере одно такое доказательство.

Пусть к прямой восстановлены два перпендикуляра. Будем пользоваться радианной мерой измерения углов и вместо 90 градусов писать π/2.

Возможны два, и только два, варианта: они пересекаются в какой-то точке С; они не пересекаются вообще.

Докажем, что справедлива вторая теорема. Доказываем от противного.

Предположим, выполняется первое предположение: перпендикуляры пересеклись. Тогда образовался треугольник АВС[1]Дальше в тексте вместо слова «треугольник» мы будем часто использовать символ Δ. А вместо слова «угол» — <.
. Он замечателен тем, что внешний <В равен внутреннему <А. И конечно, внешний <А равен внутреннему <В.

Но существует теорема (ее истинность не будем сейчас подвергать сомнениям): «Внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним».

Наш треугольник теореме не удовлетворяет. Следовательно, такого треугольника быть не может. Следовательно, мы где-то ошиблись.

Проверяем рассуждение. Все правильно. Значит, ошибку мы сделали в самом начале, когда допустили, что перпендикуляры пересекаются.

Итак, перпендикуляры не пересекаются. Мы это доказали строго. Непересекающиеся прямые Евклид называл параллельными. И до поры до времени мы также будем придерживаться этой терминологии.

Подведем итог. Мы получили, что две прямые, перпендикулярные к общей прямой, параллельны. Вообще говоря, нам надо было бы еще доказать, что эти прямые не пересекутся и в нижней полуплоскости. Но это дословное повторение предыдущего доказательства, и время на него тратить не будем.

При доказательстве мы апеллировали к теореме о внешнем угле треугольника. Поскольку проницательный читатель, конечно, понял, что весь пример очень существен для дальнейшего, то без лишних разговоров докажем и эту теорему. Она предельно важна для нас. И вся история с пятым постулатом…

Прошу вас оценить детективный стиль рассказа — сам постулат еще никак не сформулирован.

Так вот, вся история с пятым постулатом завязалась именно с этой теоремы.

Пусть есть Δ ABC. Поглядите! Внешний <С вн выделен на нем дужкой. Докажем, что он больше любого внутреннего угла, не смежного с ним, то есть больше <А и больше <В. Сейчас мы проведем доказательство для <В.

Разделим сторону ВС точкой D пополам и проведем через А и D прямую.

На этой прямой отложим отрезок DE, равный AD, и соединим прямой точку E с точкой C.

Треугольники ABD и DEC равны. Действительно, отрезки AD = DE и BD = DC по построению. Углы CDE и ADB равны как вертикальные.

Значит, треугольники равны по известному признаку.

Но тогда <В (или угол АВС) равен углу BCE! И о радость! Ведь

Итак, весь <С вн больше (конечно, больше; целое всегда больше своей части) <В.

Остался под сомнением <А. Сразу чувствуется, что наше построение не очень поможет с ним расправиться, так как на чертеже <А рассечен на две части. Хорошо бы его поставить в положение <В. Может быть, провести прямую из вершины В и повторить и наше построение и доказательство? Но тогда <С вн окажется расположенным по-другому.

Полная аналогия с предыдущим была бы, если бы еще продолжить сторону ВС и рассматривать новый угол N.

Угол N, конечно, больше <А. Мы это уже только что доказали.

И здесь озарение!

Все.

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего, не смежного с ним. Мы доказали это, и теперь оговорку в скобке в конце страницы можно зачеркнуть.

Если внимательно и дотошно проанализировать весь путь… Если проверить, какие аксиомы мы использовали для доказательства теоремы о внешнем угле… А для этого надо, конечно, проверить и те аксиомы, что были использованы при доказательствах теорем о равенстве треугольников и равенстве вертикальных углов.

Если все это проделать, то окажется, что практически мы использовали почти все аксиомы.

Но нигде, нигде по пути мы не использовали ни самого понятия о непересекающихся (параллельных) прямых, ни (тем более!) теорем или аксиом о таких прямых.

В этом каждый может без труда убедиться, вооружившись списком аксиом и проанализировав все Понятия, необходимые для теоремы о внешнем угле и всех вспомогательных теорем.

Наш экскурс уже затянулся; пора вернуться к аксиомам.

Во-первых, установим, каким логическим требованиям они должны удовлетворять.

Требований всего два:

1) полнота;

2) независимость.

Первое означает, что аксиом должно быть достаточно, чтобы доказать или опровергнуть любое возможное утверждение о наших первичных Основных Понятиях или о более Сложных Понятиях, образованных из первичных.

Второе — что мы не переусердствовали с выбором аксиом. Их у нас ровно столько, сколько надо. И ни одна из этих наших аксиом не может быть доказана либо опровергнута с помощью других.

Оба эти требования можно сформулировать в одной фразе. Аксиом должно быть необходимо и достаточно.

Необходимость — это требование полноты.

Достаточность — требование независимости.

Совсем-совсем грубо говоря, требования необходимости и достаточности означают, что аксиом должно быть ровно столько, сколько нужно. Не больше и не меньше.

Теперь можно сделать очень важное уточнение.

Из независимости аксиом сразу следует их непротиворечивость. Действительно, если, развивая геометрию, на каком-то этапе мы получим теорему, противоречащую остальным, то это будет неприятным сигналом, что в фундаменте что-то неладно. Именно: одна (или несколько) аксиом противоречат остальным.

Но если противоречат — значит не независимы.

Все эти логические рассуждения, в сущности, предельно просты. Но с первого чтения они могут показаться затруднительными. Лучшее, что можно порекомендовать в этом случае, — прочесть еще раз.

А пока же еще раз подчеркнем, что требование независимости аксиом сильнее, жестче, чем требование непротиворечивости.

Аксиомы могут быть непротиворечивы, но из непротиворечивости еще не ясно, не есть ли какая-нибудь из них следствие остальных, не теорема ли она. И естественно, предлагая любую систему геометрических аксиом, математик обязан доказать их независимость! Здесь мы временно оборвем все наши рассуждения. И время и случай вернуться к ним у нас будут. И могу поручиться, мы не упустим случая и не потеряем время.

Хотя все, что написано чуть раньше, довольно просто, и, смею надеяться, читатели разделяют это мнение, Евклид всего этого не знал. Вообще-то интуитивно он чувствовал все это, но оформить в четкую логическую схему не мог.

А строгая постановка проблемы независимости аксиом, или строгое введение Основных Понятий, вообще была недоступна не только грекам, но и математикам всех эпох и народов вплоть до XIX столетия.

И аксиоматика и доказательства Евклида на деле — довольно пестрая смесь интуиции и логических пробелов, если… оценить с нынешних позиций.

Но, с другой стороны, Евклид так резко и значительно продвинулся на пути к строгой логике, что все остальные учебники, все прочие «начала», имевшие хождение в древности, бесповоротно и окончательно померкли перед «Началами».

И если, вспоминая Гомера, греки полагали лишним называть его имя, а говорили просто — «поэт», то Евклида называли «творец «Начал».

Все предшественники его на дедуктивном пути построения геометрии были забыты.

Были «Начала», и был их творец — Евклид.

И хотя тринадцать книг, написанных Евклидом, содержали, как полагают, в основном чужие результаты, и потому иногда дебатируют — можно ли причислять его к величайшим математикам, — величайшим педагогом он был бесспорно. Добавим еще, что, как видно, был он исключительно увлекающимся своим делом и разносторонним ученым, ибо, помимо «Начал», он написал: «Начала музыки», «Оптику», «Клатоптрику», «Данные», «Феномены» (это работа по астрономии), «Гармонические правила»; затем работы, дошедшие до нас и исчезнувшие: «Поризмы» (в трех книгах), «Конические сечения» (в четырех книгах), «Перспектива» (в двух книгах), «Места на поверхности», «О делении» и «О ложных представлениях».

Список весьма достойный.

Большинство книг, правда, неоригинальны по содержанию, но работа проделана колоссальная. Кстати, книгу «Данные» исключительно ценил сам Ньютон, а это довольно солидная рекомендация. Сам он, по-видимому, существенно продвинул сложнейший, интереснейший раздел греческой геометрии — учение о конических сечениях. Но не включил эти результаты в «Начала», поскольку существовало мнение, что эта область недостойна «чистой математики, цель которой — приблизить человека к божеству».

Почему именно теория конических сечений не приближала к божеству, установил все тот же Платон. Дело в том, что использование в геометрии каких-либо инструментов, кроме циркуля и линейки, или — что эквивалентно — использование геометрических мест точек, помимо окружности и прямой (а такие геометрические места требовались при изучении конических сечений), он полагал ересью. И со всей страстью он предавал анафеме великолепного геометра Менехма (своего друга, между прочим), который показал, что решение пресловутой задачи об удвоении куба, так же как трисекции угла, довольно просто найти, если использовать новые геометрические инструменты.

Платон утверждал, что все это «губит и разрушает благо геометрии, так как при этом она уходит от бестелесных и умопостигаемых вещей к чувственным и пользуется телами, нуждающимися в применении орудий пошлого ремесла».

Очевидно, такая отповедь устрашила беднягу Евклида, а его работа «О конических сечениях» бесследно исчезла для нас.

В «Началах» ему как будто принадлежит нечто в учении о правильных многогранниках. В XIII книге доказывается, что существует всего пять различных типов таких тел. Это блестящий, неожиданный, знаменитый… короче — классический результат.

Вообще-то в «Началах» рассказывается не только о геометрии. В них есть и элементы теории чисел и геометрическая теория иррациональных величин. Три последние книги посвящены стереометрии. И каждому разделу предшествуют аксиомы и постулаты.

Собственно, планиметрии отведено шесть первых книг. И самая первая начинается с аксиом и постулатов.

Историки математики до сих пор не могут окончательно договориться, как именно Евклид различал аксиомы и постулаты.

В общем у Евклида аксиомы (он сам называет их «общие достояния нашего ума») — истины, относящиеся к любым (а не только к геометрическим) объектам. Например, если А равно С и В равно C, то А равно В. Здесь А и В могут быть числа, отрезки, веса тел, треугольники…

Постулаты же — чисто геометрические аксиомы. Например, первый постулат Евклида: «От каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую линию».

Есть у Евклида и Основные Понятия.

Приводить всю его систему аксиом вряд ли стоит, потому что — мы уже раз десять говорили это — она совершенно неудовлетворительна. Собственно, аксиом планиметрии у Евклида шесть, и мы их опустим. Но постулаты процитируем. Вот первые четыре.

«Нужно потребовать:

I. Чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

II. Чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неограниченно.

III. Чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

IV. Чтобы все прямые углы были равны между собой».

Не будем пока подчеркивать плохое в этих постулатах. Простим на время Евклиду и «Началам» все «первобытные недостатки» их, как выразился однажды Николай Иванович Лобачевский. Сейчас нам важно, что все четыре постулата очень элементарны по содержанию. Евклид постулирует здесь абсолютно естественные, понятные, неотъемлемые от нашего сознания, нашей интуиции истины. Все хорошо. И…

Следует пятый постулат.

 

Глава 3

Пятый постулат

Вот он, постулат V.

Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d (180°), то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d.

Чего стоит одна формулировка! Во-первых, масса слов. Во-вторых, сколько геометрических понятий! Человек, незнакомый с основами геометрии, вообще ничего не поймет. Постулат совершенно не похож на предыдущие. Он звучит как теорема. И не слишком простая. Он явно выглядит странно. И прежде чем мы пойдем дальше, позвольте преклониться перед Евклидом.

Хотя у меня, естественно, нет доказательств, я убежден: пятый постулат сознательно сформулирован в столь нехорошей форме. И в этом таится великая мудрость «творца «Начал».

Из всех возможных формулировок пятого постулата Евклид выбрал наисложнейшую, наинеуклюжейшую. Почему? Чтобы ответить, посмотрим, как он строит геометрию.

После аксиом и постулатов Евклид, естественно, доказывает теоремы. И 28 первых теорем он доказывает, игнорируя пятый постулат. Для этих теорем он не нужен. Они — эти «28» — безразличны к пятому постулату. Они, как говорят, относятся к абсолютной геометрии.

Среди «28» есть и теорема о внешнем угле треугольника. У Евклида она идет за № 16. Заключают список, как, вероятно, догадались проницательные читатели, теоремы № 27 и № 28. Эти теоремы содержат так называемую «прямую теорию» параллельных линий. Докажем их, объединив в одну.

Пусть две прямые пересекаются третьей в точках Р и Р1.

Утверждается: если <А = 

Доказываем от противного. Допустим сначала, что прямые пересеклись в точке C. Тогда возник Δ РР1С, у которого внешний

Есть вторая возможность. Прямые пересеклись в точке C1. Тогда возникает Δ РР1С1. Для него —

Но

Однако

И по существу, все закончено.

Для гипотетического треугольника РР1С1 <В внешний, а

Теорема доказана полностью.

Конечно, читателям ясно, что В и В1 были введены, чтобы для гипотетического Δ РР1С1 полностью скопировать ситуацию, которая сразу возникла для Δ РР1С (для первого треугольника).

Теперь, чтобы полностью повторить Евклида, введем в наш рисунок еще четыре угла. Какие — видно на чертеже.

Из равенства

1.

2. <А = 

3.

<А + <С1 = π;

<С + <А1 = π;

Здесь выступают внутренние и внешние односторонние углы.

Подчиняясь общепринятому порядку, я привел все эти двенадцать равенств и несколько сожалею об этом. Обилие равенств может затуманить ясный вопрос. А вообще достаточно любого соотношения. Любого — на выбор. Одиннадцать остальных сразу получаются, если справедливо хоть одно. Мы «танцевали» от равенства

Мы доказали, что, если выполняется любое из наших двенадцати равенств, прямые параллельны. Это и есть две теоремы Евклида: № 27 и № 28.

Кстати, теперь уместно вспомнить, что теорема о параллельности двух перпендикуляров к общей прямой — первая теорема, доказанная в этой книге, — есть частный случай нашей теоремы о параллельных.

Доказав теорему, геометр всегда исследует обратную теорему. В обратной теореме данным считается то, что доказывалось в прямой, а доказывается, естественно, то, что в прямой считалось данным.

С прямыми и обратными теоремами связана одна из самых распространенных логических ошибок начинающих. Часто невольно полагают, что из прямой теоремы автоматически следует обратная.

Как опровергающий пример я могу привести известное рассуждение капитана Врунгеля, которое бережно берег в памяти много лет на этот случай.

Прямая теорема

Всякая селедка — рыба.

Обратная теорема

(Теорема капитана Врунгеля)

Всякая рыба — селедка.

В некоторых традициях популярной литературы следовало бы еще добавить, что этот пример имеет шутливый характер. Но от этого я все же воздержусь.

Примеры из геометрии (евклидовой):

Прямая теорема

I. Если в треугольниках АВС и A 1 B 1 C 1 стороны АВ  =  А 1 В 1 ; АС  =  А 1 С 1 и < А  = < А 1 , то Δ  АВС  = Δ  А 1 В 1 С 1 .

Обратная теорема

I. Если Δ  АВС  = Δ  А 1 В 1 С 1 , то стороны АВ  =  А 1 В 1 , АС  =  А 1 С 1 и < А  = < А 1 .

Прямая теорема

II. Два перпендикуляра к общей прямой параллельны.

Обратная теорема

II. Если две параллельные прямые пересекаются третьей, то они перпендикулярны к ней.

Прямая теорема

III. Если Δ  АВС подобен Δ  А 1 В 1 С 1 , то АВ / А 1 В 1  =  АС / А 1 С 1 .

Обратная теорема

III. Если для треугольников ABC и А 1 В 1 С 1 справедлива пропорция АВ / А 1 В 1  =  АС / А 1 С 1 то треугольники подобны.

В примере IV мы в честь номера объединим сразу четыре теоремы.

Прямая теорема

IV. Если Δ  АВС равнобедренный ( АВ  =  ВС ),

то 1) < А  = < С ;

2) высоты,

или медианы,

или биссектрисы углов А и С равны.

Обратная теорема

IV. Если в Δ  АВС

1) < А  = < С ;

2) высоты,

или медианы,

или биссектрисы углов А и С равны, то треугольник АВС равнобедренный ( АВ  =  ВС ).

В этих примерах все прямые теоремы правильны. В каких случаях справедливы и обратные теоремы, читателям предоставляется возможность установить самостоятельно.

Любопытно, между прочим, что зачастую хотя обратная теорема совершенно правильна, но найти ее доказательство несравненно сложней, чем для прямой. Понятно, такой случай есть и в наших примерах.

Теорема 2 из примера IV — равенство биссектрис в равнобедренном треугольнике — доказывается очень несложно. Обратная же (раскроем секрет — абсолютно верная теорема) — довольно хитрая геометрическая задача.

После доказанной нами теоремы о параллельных, естественно, проверить обратную теорему. Сформулируем ее.

Прямая теорема о параллельных прямых

Если при пересечении двух прямых третьей оказалось, что <А + <C 1  = π (или выполняется любое из 12 равенств, приведенных раньше), прямые параллельны.

Обратная теорема о параллельных прямых

Если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей окажется, что <А + <C 1  = π (или выполняется любое из 12 равенств, приведенных раньше).

Обратная теорема о параллельных взята Евклидом как постулат V. Если же придерживаться цитатной точности, то у Евклида пятый постулат записан в чуть отличном виде.

Напомним определение, открывающее эту главу. Оно стоит этого.

Постулат V. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов (то есть сумма <А + 

И нарочито неуклюжий способ, которым Евклид ввел пятый постулат, и многозначительные 28 теорем, предшествующих ему, теорем, доказанных совершенно независимо от него, свидетельствуют о поразительной интуиции Евклида либо того неизвестного (если он существовал), у кого он заимствовал эту идею. Сейчас я попытаюсь обосновать свое утверждение. Это тем более приятное занятие, что опровергнуть меня невозможно. Фактов нет совершенно, и соответственно есть простор для историко-психологических экскурсов.

Посмотрим на исходные данные.

Ко времени написания «Начал» геометрия уже вполне сложившаяся, детально разработанная наука.

У нее есть и минимум трехсотлетняя история, и десятки решенных сложнейших проблем, и несколько «проклятых» задач типа дельфийской задачи об удвоении куба. Благодаря Платону и Аристотелю установлена, признана и царствует дедуктивная схема.

Историк геометрии может уже прославлять примерно четыре десятка талантливейших математиков. Называя это число, я говорю о тех, чьи имена дошли до нас. На каждого такого ученого, несомненно, причитается по меньшей мере десяток менее крупных и неизвестных нам геометров.

Что геометрию следует развивать на основе аксиом, согласны практически все. И очевидно, большинство согласно с Аристотелем в том, что аксиомы и основные понятия должны удовлетворять требованию очевидности. Формулировка же самих аксиом — утверждает Аристотель — дело слишком ответственное, чтобы доверять его математикам. Это задача высшая.

И естественно, допущены к ней могут быть лишь достойнейшие.

То есть философы.

Верят геометры Аристотелю или не верят, но принято с ним соглашаться.

Вне всяких сомнений, обратную теорему о параллельных прямых пробовали доказать до Евклида, и пробовали не раз. И думаю, ко времени Евклида было ясно — есть два решения:

1. Доказать обратную теорему о параллельных на основе остальных постулатов геометрии. При этом по условиям игры никаких новых добавочных постулатов вводить не разрешается.

Сторонники этой школы должны были полагать, что «обратная теорема о параллельных» не более чем сложная теорема и непременно следует из остальных постулатов.

2. Можно к нашим четырем постулатам добавить еще какой-нибудь такой, что обратная теорема о параллельных сразу будет получена с его помощью. Причем этот добавочный постулат можно формулировать так, что он будет выглядеть предельно естественным и очевидным.

Трудно поверить, что предшественники и современники Евклида — блестящие геометры эпохи расцвета науки — не могли додуматься до целого семейства эквивалентных и «очевидных» формулировок пятого постулата. Поверить в это трудно прежде всего потому, что некоторые из них напрашиваются сами.

На первом пути, естественно, успехов не было достигнуто ни тогда, ни еще две тысячи лет после Евклида. Сейчас-то благодаря Лобачевскому мы знаем: успеха и не могло быть. Но… это мы знаем сейчас.

Тем привлекательней должна была выглядеть вторая возможность: предложить эквивалентный, но простой и естественный постулат — смазать, затушевать неприятное пятно и успокоиться.

Масса комментаторов Евклида, возившихся с пятым постулатом, явно либо неявно действовала именно так.

Невозможно предположить, чтобы столь крупный математик, как Евклид, серьезно занимавшийся проблемой пятого постулата (а то, что он уделял ей особое внимание, доказывает весь строй первой книги «Начал»), невозможно предположить — настаиваю я, — что он не набрел по пути на несколько эквивалентных и довольно естественных формулировок пятого постулата. Например, если объединить прямую теорему о параллельных и пятый постулат в Евклидовой форме, то немедленно следует:

Новая формулировка пятого постулата. Через точку С, лежащую вне прямой АВ в плоскости АВС, можно провести только одну прямую, не встречающую прямую АВ.

Обычно эту формулировку приписывают английскому математику XVIII столетия Плейферу, но, естественно, ее предлагали многие и многие комментаторы Евклида за много столетий до Плейфера.

Не правда ли, «аксиома Плейфера» выглядит куда естественней и привлекательней, чем постулат Евклида?

Еще одна формулировка. Ее обычно приписывают Лежандру, хотя и ее использовали много раньше и европейские и восточные геометры.

Постулат Лежандра. Перпендикуляр и наклонная к общей секущей АВ, расположенные в одной плоскости, непременно пересекаются. (Естественно, с той стороны секущей АВ, где наклонная образует с секущей острый угол.)

Тоже весьма наглядное утверждение. Вместо постулата Евклида тут постулируется один его частный случай. Легко увидеть, что этого вполне достаточно, чтобы доказать пятый постулат в евклидовой форме (обратную теорему о параллельных). Впрочем, для тех, кто только знакомится с геометрией, это достойная и довольно сложная задача, вполне заслуживающая внимания. Я приведу здесь некоторые указания, предоставляя желающим довести дело до конца.

Те, у кого это предложение не вызывает энтузиазма, могут спокойно пропустить всю математику. А мы примем постулат Лежандра — перпендикуляр и наклонная к общей секущей пересекаются — и будем доказывать постулат V в форме Евклида — обратную теорему о параллельных прямых.

Докажем сначала вспомогательную теорему — лемму.

Пусть при пересечении двух прямых I и II третьей оказалось, что <А < π/2, а сумма <А + <С1 = π. Тогда согласно «прямой теореме» мы знаем, что эти прямые не пересекаются — они параллельны.

Просмотрите снова доказательство «прямой теоремы».

Из точки С опустим перпендикуляр на прямую I.

Это всегда можно сделать. Соответствующая теорема была доказана без всякого участия понятий о параллельных.

Докажите, что при принятом условии (<А < π/2) перпендикуляр СВ будет расположен так, как показано на чертеже.

Доказывайте от противного и используйте теорему о внешнем угле треугольника.

Далее имеем:

Затем имеем:

(Вспомните условие!)

Рассмотрите теперь Δ АВС.

Для суммы его углов есть три возможности.

< π;

Обратите внимание! Нельзя пользоваться теоремой: сумма углов треугольника равна π. Эта теорема — следствие постулата о параллельных.

Рассмотрите сначала гипотезу:  π.

Сравните это неравенство с равенством

Использовав теперь постулат Лежандра, вы получите, что прямые I и II пересекаются справа от точки В. А это противоречит условию. Следовательно, гипотеза ошибочна.

Рассмотрите теперь гипотезу

Совершенно аналогично покажите, что в этом случае прямые I и II пересекутся слева от точки В; отбросьте и эту гипотезу.

Вы доказали сразу две важные теоремы:

1. Сумма углов Δ АВС равна π;

2. Угол N равен 90°.

Теперь докажите «обратную теорему о параллельных», использовав следующее вспомогательное построение.

Дано: пусть при пересечении I и II третьей оказалось, что

1. Опустите из точки В перпендикуляр на прямую I.

2. Проведите через точку В заведомо параллельную прямую II, то есть прямую, удовлетворяющую «прямой теореме о параллельных». Докажите, что она пройдет так, как показало на чертеже.

Минуту подумайте теперь и снова, использовав постулат Лежандра, докажите, что прямая II пересечет прямую I.

Тем самым вы «доказали» постулат Евклида. Но не забудьте, что воспользовались эквивалентным постулатом.

Если вы были несколько смущены условием <А < π/2, убедитесь, что оно не ограничивает общности рассуждения.

Проверьте теперь, нет ли в рассуждении ошибок.

Приведенное доказательство имеет по меньшей мере две примечательные особенности.

Во-первых, мы попутно доказали, что стоит принять постулат Лежандра — эквивалент постулата Евклида, как нашелся треугольник, сумма углов которого равна π.

Во-вторых, я нигде не читал этого доказательства, а придумал его за несколько минут. Пишу это отнюдь не из честолюбивой надежды, что читатель будет восхищен моим математическим талантом.

Эквивалентность постулатов Лежандра и Евклида можно доказать и проще и изящней, буквально в две строчки. Нужно только взять пятый постулат в форме аксиомы Плейфера («Через данную точку к данной прямой можно провести лишь одну параллельную»).

Так что, вообще говоря, теорема наша и неуклюжа и ненужна. Ее появление оправдано лишь тем, что она подсказывает другую и уже действительно важную теорему: если сумма углов треугольника равна π, справедлив пятый постулат. Кроме того, она полезна и для «разминки». А самое основное, мне кажется, подобные «исследования» показывают, как самые первые, самые наивные шаги сразу приводят к все новым и новым эквивалентам пятого постулата. И конечно, нет сомнений, что наша нехитрая ниточка рассуждений была протянута не одним и не двумя комментаторами Евклида.

Но, убедившись, как несложно упрощать формулировки пятого постулата, мы невольно должны задуматься: почему же не сделал этого сам Евклид?

Автор не может удержаться. Обстановка требует риторических вопросов. Вот и они.

Неужели Евклид не пытался доказывать свою теорему?

Неужели ученый такого масштаба, такой тонкий аналитик не смог получить несколько элементарных следствий и выбрать за постулат наиболее естественное и очевидное?

Неужели он — последователь Аристотеля и Платона — мог упустить такую возможность?

Неужели он мог погубить всю гармонию геометрии, вызвав тем самым гнев бессмертных олимпийских богов?

Неужели любой из великого скопища комментаторов глубже и лучше разбирался в проблеме, чем он?

Читатели, конечно, отлично понимают, что все эти лицемерные восклицания автор позволяет себе с единственной целью — подчеркнуть абсурдность подобных предположений. Говоря же серьезно, наиболее правдоподобная версия такова.

Евклид, как и его предшественники, безусловно, пытался свести пятый постулат в ранг теоремы — доказать его, не привлекая дополнительных предположений.

Учитывая исключительное положение пятого постулата в «Началах», а также пресловутые 28 теорем, предшествующие ему, можно уверенно заключить, что эта проблема волновала Евклида, что уделял он ей особое внимание.

Вспомнив, что все методы элементарной геометрии были полностью разработаны уже в те времена, вспомнив, что, например, исследования по теории конических сечений неизмеримо сложнее большинства рассуждений, связанных с пятым постулатом…

Вспомнив (еще раз), что пятый постулат в той форме, как приводит его Евклид, — это граничащий с издевкой вызов всем требованиям Платона и Аристотеля…

Вспомнив, что Евклид был, судя по всему, их верным последователем…

Вспомнив, наконец, что Евклид был блестящий геометр…

Мы приходим к единственному выводу.

В процессе тщетных попыток доказать пятый постулат Евклид, по-видимому, нашел несколько эквивалентных формулировок. Простых. И очевидных. Но Евклид оказался на высоте.

С одной стороны, он ясно понимал, что, не используя какого-либо эквивалентного предположения, доказать постулат не удается. А с другой — ни одна из эквивалентных форм пятого постулата не удовлетворяла, на его вкус, требованию очевидности. Поэтому он пришел к выводу, что положение очень печально и задача не решена. И, как честный геометр, он решил особо подчеркнуть: пятый постулат — отверженный, презренный уродец в дружном семействе аксиом. А если так, то выбор самой сложной формы и целесообразен и полностью оправдан.

Евклид как бы нарочито подталкивает своих коллег. Не обольщайтесь, не ищите утешения в более приятных эквивалентах моего постулата, не пытайтесь скрыть изъян. Все равно вы не добьетесь той желанной самоочевидности, которая требуется от аксиом. Этот постулат не что иное, как «обратная теорема о параллельных». Его надо доказать при помощи остальных постулатов. Или будет разрушена красота и гармония геометрии. Я не смог разжаловать этот постулат в ранг теоремы. Попробуйте вы.

Короче говоря, я полагаю, что Евклид разобрался в сути лучше и глубже, чем подавляющее большинство его комментаторов. Они либо попадали под гипноз собственных анализов и убеждали себя, что постулат доказан, либо пытались сформулировать какой-либо эквивалентный, «более естественный» постулат. Евклид же, очевидно, ясно понимал, что первой задачи ему решить не удалось, а искать «очевидные» формулировки — означает загонять болезнь вглубь.

Во всей этой довольно стройной версии есть, конечно, слабое место. Если были какие-то исследования, то непонятно, почему Евклид их не опубликовал. Это неясно и автору. Возможно, он считал неудобным публиковать теоремы, не приводящие к каким-то результатам. Может быть, он, как и многие крупные ученые, не любил публиковать незавершенных работ. Не напечатал же Гаусс свои исследования по неевклидовой геометрии! А быть может, какая-то рукопись и существовала.

Как видите, у меня есть очень удобная отговорка. Действительно, сведения наши очень скудны.

Практически наиболее солидный древний источник по истории пятого постулата — это комментарий Прокла к Евклиду. А это, как должен помнить читатель, уже V век нашей эры.

Здесь мы прощаемся с Евклидом. И, расставаясь, скажем ему несколько теплых слов.

Он был хороший, более того — блестящий математик. И великий педагог. Невольно хочется верить, что он был столь же хороший человек, что прожил он долгую и счастливую жизнь в своей солнечной Александрии, распивая с друзьями в минуты отдыха сладкое хиосское либо терпкое кипрское — разбавленное, разумеется: пьянство — порок скифов, но не эллинов, — посмеиваясь над Птолемеем, поучая учеников, читая Гомера и непрестанно работая до конца дней. И будем верить, что каждодневно он возносил хвалу олимпийским богам за то, что они сделали его геометром.

Приятно думать так. И раз уж никто, за отсутствием данных, не сможет нас опровергнуть, так и будем считать.

На этом… Евклиду, сыну Наукрата, прощальный привет.

Задача поставлена.

Посмотрим, что происходило дальше.

Обещанное приложение.

Список аксиом планиметрии

Рассматривается шесть Основных Понятий. А именно. Три Основных Образа (объекта): точка, прямая, плоскость. Три Основных Соотношения: принадлежности (инцидентности), «лежать между» (для точек), движения или совмещения.

I. Аксиомы соединения (сочетания).

1. Через две точки проходит одна, и только одна, прямая.

2. Всякая прямая содержит по крайней мере две точки.

3. Существуют по крайней мере три точки, не расположенные на одной прямой.

II. Аксиомы порядка.

1. Из трех точек, лежащих на одной прямой, одна, и только одна, лежит между двумя другими.

2. Если А и В — различные точки прямой, то существует по крайней мере одна точка С, лежащая между А и В.

3. Если прямая пересекает одну сторону треугольника (то есть содержит точку, расположенную между двумя вершинами), то она либо проходит через вершину противоположного угла, либо пересекает еще одну сторону треугольника.

Используя аксиомы порядка, можно определить очень важные для дальнейшего понятия. А именно: понятия: «отрезок» «полупрямая» (луч), «угол».

III. Аксиомы движения.

Движение у математиков — понятие основное (первичное). Свойства этого математического движения и определяются аксиомами.

1. При заданном преобразовании движения, обозначим его Д, любая точка А преобразуемой плоскости переходит в одну определенную точку А′.

2. При заданном преобразовании движения Д — в любую точку А′ нашей плоскости переходит некоторая ее точка А.

3. При заданном преобразовании движения Д — различные точки А и В переходят в различные точки А′ и В′.

Эти три аксиомы и показывают, что движение — взаимно однозначное преобразование плоскости в самое себя.

4. Последовательное выполнение двух любых преобразований движения Д 1 и Д 2 также есть преобразование движения. Мы будем обозначать его Д 2  · Д 1 .

5. Всякое движение Д имеет обратное себе движение Д –1 , такое, что произведение Д –1  · Д есть движение, оставляющее все точки плоскости на месте, то есть так называемое тождественное преобразование.

Ввиду аксиомы 4 очевидно, что тождественное преобразование (покой) следует рассматривать как частный случай преобразования движения.

Далее идут аксиомы, показывающие, что при движении не происходит «деформации» плоскости.

6. Если движение преобразует концы отрезка АВ в концы отрезка А′В′ то всякая внутренняя точка отрезка АВ переходит при этом во внутреннюю точку отрезка А′В′.

Теперь следует важнейшая аксиома. Без нее невозможно установить понятие равенства фигур.

7. Если А, В и С — три точки некоторой фигуры, не лежащие на одной прямой, то эту фигуру можно переместить так, что:

а) точка А совместится с любой, заранее заданной точкой А′ плоскости;

б) луч АВ совместится с любым, заранее заданным лучом А′В′, исходящим из точки А′;

в) точка С совместится с некоторой точкой С′ в любой, заранее указанной полуплоскости, опирающейся на луч А′В′ (таких полуплоскостей, естественно, две). После этого дальнейшее движение фигуры невозможно.

И наконец, аксиома, показывающая, что зеркальные отражения — частный случай преобразования движения.

8. Существуют движения, переводящие отрезок АВ в ВА, а угол АОВ в угол ВОА.

Эти восемь аксиом определяют все свойства движения, и теперь можно строго ввести понятие равенства, или — учено — конгруентности фигур.

«Фигура S называется равной фигуре S′, если ее можно совместить с фигурой S′ при помощи движения».

Теперь легко можно доказать такие теоремы:

1. Фигура S равна самой себе.

2. Если S равна S′, то и S′ равна S.

3. Если S равна S′, a S′ равна S″, то S равна S″.

Аксиомы планиметрии почти исчерпаны.

Остались:

IV. Аксиома непрерывности (аксиома Дедекинда).

Если все точки прямой разбить на два класса — I и II так, что любая точка класса II лежит правее любой точки класса I, то либо в классе I есть самая правая точка, и тогда в классе II нет самой левой, либо, наоборот, в классе II есть самая левая точка, и тогда в классе I нет самой правой.

Грубо говоря, эта аксиома означает, что в прямой нет разрывов — «пустых мест».

Ее необходимо ввести, чтобы было возможно построить строгую теорию измерения отрезков.

И наконец:

V. Аксиома параллельности.

Ко всякой прямой А через всякую точку, не лежащую на этой прямой, можно провести одну, и только одну, прямую, не пересекающую прямую А.

Забегая вперед, можно сообщить, что аксиоматика геометрии Лобачевского отличается от евклидовой лишь последней аксиомой. Все остальные аксиомы обеих геометрий совпадают.

 

Глава 4

Эпоха доказательств. Начало

Начнем с краткого списка имен. Проблему параллельных пробовали разрешить Аристотель, Посидоний, Птолемей, Прокл, Симплиций, Аганис — в античном мире; ал-Хазин, ат-Гуси аш-Шанни, ан-Найризи, Омар Хаййам, Ибн ал-Хайсан, Насир эд-Дин — на Востоке.

Клавий, Валлис, Лейбниц, Декарт, Плейфер, Лагранж, Саккери, Лежандр, Ламберт, Бертран, Фурье, Ампер, Даламбер, Швейкарт, Тауринус, Якоби — в Европе.

И еще несколько десятков известных и несколько тысяч безвестных математиков.

За счет проблемы пятого постулата можно было бы заполнить солидную психиатрическую клинику.

Это отнюдь не преувеличение. Многие люди тщетно тратили на попытки доказательства всю свою жизнь, приходя к мистическому ужасу либо к психическому заболеванию.

Одно из самых неожиданных свидетельств исключительной популярности этой проблемы — некое замечание Фомы Аквинского.

Фома был одним из крупнейших теологов христианского мира. В одном своем исследовании ему понадобилось почему-то решить сложнейшую проблему: «Что недоступно богу?»

Он указывает ряд вещей этого класса.

Бог не может, по Фоме Аквинскому, грубо нарушать основные законы природы. Пример: он не может превратить человека в осла. (Надо заметить, что многие каждодневно и самостоятельно решают эту проблему без помощи божественного промысла.)

Далее: бог не может уставать, гневаться, печалиться, лишить человека души и тому подобное.

В этом списке есть и такой пункт. Бог не может сделать сумму углов треугольника меньше двух прямых.

Я почти убежден, что пример этот не случаен. Фома Аквинский мог выбрать любую другую и значительно более очевидную теорему. Очень вероятно, что именно эту он взял потому, что были ему известны и тщетные попытки доказать пятый постулат и то, что утверждение: сумма углов треугольника равна двум прямым — эквивалентно пятому постулату.

Обычно полагают, что эта теорема стала известна в Европе в XVIII столетии. Фома Аквинский жил в XIII.

Но надо сказать, что арабские математики основательно исследовали задачу о параллельных и, в частности, получили и этот результат.

В раннем средневековье могли быть известны многие работы, бесследно затерянные позже.

В наше время трудно понять, сколь безнадежно запутанной представлялась вся теория параллельных до Лобачевского.

Сейчас любой хороший студент-математик максимум за две-три недели спокойной, нормальной работы докажет теорему: если сумма углов треугольника равна π, то справедлив пятый постулат.

Докажет, даже если практически совершенно незнаком с неевклидовой геометрией и, следовательно, формально находится в том же положении, что геометры прошлого.

Еще в XVIII веке эта теорема считалась, и действительно была, крупнейшим достижением науки. Я вовсе не хочу защищать бесспорно приятный тезис: «Люди стали умней, талантливей». Дело не в этом. Просто в научной работе уверенность в конечном результате, твердое знание, что ты на правильном пути, оказывается фактором почти решающим.

Кто-то из американских физиков в свое время заметил, что как только была взорвана атомная бомба, секрет ее производства перестал быть секретом. И если это замечание, возможно, несколько преувеличено, в принципе оно справедливо.

Впрочем, полагаю, любой читатель не раз замечал, насколько проще решать задачу либо доказывать теорему, если ее ответ известен заранее.

А во всей проблеме параллельных нужна лишь одна руководящая идея: «Пятый постулат Евклида независим от остальных». Стоит знать, что это так, и любой математик наших дней легко повторит большинство результатов Лобачевского за сравнительно небольшой срок. Но останется рядовым математиком. Просто он знает: «копать надо здесь». И это решает почти все.

В подтверждение я приведу один пример, убедительный, вероятно, для любого умеющего играть в шахматы. В журналах очень часто печатают позиции из партий гроссмейстеров с предложением найти за белых выигрывающий ход. Обычно в такой позиции надо найти красивую комбинацию. Любой перворазрядник, напряженно продумав полчаса-час, решит не менее девяноста процентов задач этого сорта. Вместе с тем в девяноста случаях из ста он не заметил бы этой комбинации, случись она у него в практической партии.

Этими замечаниями я хотел бы предупредить возможность появления нелепого чувства превосходства перед математиками прошлых эпох. Действительно, подавляющее большинство теорем, связанных с доказательствами пятого постулата, совершенно элементарно по своей логике. Они доступны для учеников 8–9-го классов.

И логические ошибки авторов, полагавших, что они доказали пятый постулат, также часто очень элементарны. Но эта элементарность видна сейчас. Точно так же уже через двадцать лет некоторые из проблем, над которыми бьются ученые в наши дни, покажутся до смешного простыми и наивными. Особенно часто так бывает с физиками.

После изрядной дозы общих рассуждений пора вернуться к пятому постулату.

Я уже не раз говорил (и прошу прощения у читателей — еще не раз буду повторять), что все попытки доказательств стимулировались, по существу, единственной причиной: он не «смотрелся», как говорят художники.

Он возмущал эстетические чувства ученых своей сложностью. И в древней Греции, и в Персии, и в Европе реакция была единодушна.

Поглядите, как прелестно негодует один из величайших математиков арабского мира, Омар Хаййам.

«…Евклид считал, что причиной пересечения прямых является то, что два угла (внутренние односторонние углы. — В. С.) меньше двух прямых.

Считая так, он был прав, но это может быть доказано только при помощи дополнительных рассуждений. (Хаййам думал, что он доказал пятый постулат. — В. С.) …Евклид же принимал эту предпосылку и основывался на ней без доказательства. Клянусь жизнью… здесь необходима помощь разума, и это его (то есть разума, а не Евклида. — В. С.) право…

Как Евклид позволил себе поместить это утверждение во введении (имеется в виду — выбрать как аксиому. — B. C.) в то время, как он доказывал гораздо более простые факты…»

Посмотрим же, как велась борьба с пятым постулатом. Было три канонических пути.

1. Открыто и явно предлагался какой-либо постулат, эквивалентный Евклидову. Эти авторы образуют «скромное», или «пессимистическое» направление.

2. Доказательство от противного (reductio ad absurdum) — один из самых изящных и мощных логических методов решения математических задач. Здесь новых постулатов не вводили.

Формулировалась теорема, противоположная по своему смыслу пятому постулату либо какому-нибудь его эквиваленту, а далее начинали развивать разнообразные следствия в надежде, что рано или поздно придут к какому-нибудь противоречию. Если оно будет получено, то тем самым доказывается, что пятый постулат вытекает из остальных аксиом, — и задача решена.

Это направление «самонадеянное» или «оптимистическое».

3. Наконец, группа «эклектиков».

Они доказывали какую-либо теорему, эквивалентную пятому постулату. Доказывали, используя неявно и незаметно для себя какой-либо другой эквивалент постулата Евклида.

Тяжелее всех было «на направлении № 2» — «оптимистам». Они все дальше и дальше тянули цепочку своих теорем, все больше и больше запутывались в следствиях, так и не находя противоречия.

С сегодняшних наших позиций мы понимаем, что эта группа математиков, по существу, доказывала начальные теоремы неевклидовой геометрии, что они были на наиболее обнадеживающем пути, потому что только так можно было прийти к идее независимости Евклидова постулата от остальных. Но им-то от этого не было легче.

Как правило, в итоге они либо отчаивались, либо перекочевывали в лагерь «эклектиков».

Надо заметить, что многие из доказательств «эклектической группы» великолепны по своему остроумию.

Если чуть огрубить реальную историю, то можно сказать, что в основном пробовали доказывать две главные разновидности пятого постулата:

1. Перпендикуляр и наклонная пересекаются.

2. Сумма углов треугольника равна π.

На этих путях было найдено несколько очень наглядных эквивалентов пятого постулата. Иногда авторы понимали, что нашли эквивалент; иногда они, заблуждаясь, думали, что доказали пятый.

Вот несколько «эрзацев»[2]Формулируя эквиваленты пятого постулата, я всегда буду подразумевать, что все происходит в одной плоскости, и не буду это специально оговаривать.
.

1. «Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть прямая».

2. Расстояние между двумя непересекающимися прямыми остается ограниченным[3]Это менее жестокое требование, чем в № 1.
.

3. Существуют подобные фигуры.

4. Если расстояние между двумя прямыми сначала убывает при движении вдоль этих прямых в каком-то направлении, то оно не может начать увеличиваться до тех пор, пока прямые не пересекутся.

И так далее.

Всего насчитывают более 30 формулировок.

Для развлечения читателей я приведу несколько «доказательств» пятого постулата без каких-либо критических комментариев. Читатели могут (при желании, конечно) установить самостоятельно, какой постулат использовал тот или иной автор вместо пятого.

1. Доказательство Прокла. Одно из самых первых, одно из самых простых и самых остроумных.

Прокл берет за основу утверждение Аристотеля: При продолжении двух прямых от точки пересечения расстояние между ними неограниченно возрастает.

Он считает, что это аксиома.

На самом деле это теорема, причем теорема, совершенно независимая от пятого постулата. Так что этой теореме можно полностью доверять. Она принадлежит к «абсолютной геометрии» и, следовательно, как мы понимаем сегодня, справедлива и в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского. А постулат — эквивалент Прокла — другой.

Вот и доказательство. Точнее, его эскиз. (Ни здесь, ни в следующем доказательстве я не буду придерживаться строгой, формальной схемы.)

Проведем две заведомо параллельные прямые. То есть такие, что

Проведем третью прямую. Как? Видно на чертеже, она показана пунктиром.

Расстояние между пунктирной прямой и верхней (при движении влево) неограниченно возрастает.

Следовательно, оно когда-нибудь превысит расстояние между параллельными.

Ну, а тогда ясно, что пунктирная прямая пересечет нижнюю.

Предлагается сформулировать все вполне строго и указать, какой постулат неявно использовал Прокл.

2. Доказательство Валлиса.

Докажем, что перпендикуляр и наклонная к общей секущей пересекаются.

Опустим из точки В перпендикуляр на секущую. Получим Δ ABC. Возьмем подобный ему треугольник, такой, чтобы его сторона, соответствующая стороне АС, была равна отрезку AD.

Ввиду его значения выделим ему отдельный чертеж. Это Δ A1D1F1.

Наложим теперь этот пунктирный треугольник на наш Δ ABC так, чтобы сторона A1D1 легла на АС.

Тогда сторона A1F1 уляжется на нашу наклонную, а сторона D1F1 на наш перпендикуляр.

По существу, мы уже все доказали; осталось несколько формальностей. Я предоставляю их читателям.

Не будем особенно увлекаться примерами. Интереснее, пожалуй, вот что.

Десятки математиков, люди самых разных культур, люди, разделенные столетиями, часто, совершенно не зная друг о друге, мыслили почти идентично, почти дословно повторяли путь предшественников.

До XVIII столетия, доказывая пятый постулат от противного, не слишком далеко тянули цепь следствий, не слишком углублялись в анализ. В какой-то момент решали: ага, вот оно — противоречие. А на самом деле это противоречие, конечно, оказывалось эквивалентом пятого постулата.

Но поскольку шли не очень далеко, охотников оказывалось больше, чем зайцев. Математиков, работавших над пятым постулатом, было больше, чем различных путей для доказательства. Пятым постулатом занимались почти все виднейшие математики мира. Об одном из них я хочу рассказать особо. Не потому, что его исследования по теории параллельных как-то резко выделяются по своему классу. Нет. Наиболее интересные его результаты относятся к алгебре. В теории параллельных он не ушел существенно дальше других. В этом смысле мы подарим ему неоправданно большое внимание. Более того, мы, по существу, ничего не будем говорить о его доказательстве пятого постулата. Правда, доказательство его весьма остроумно. Правда, в дальнейших работах восточных математиков явно чувствуется его влияние. Наконец, технический прием, использованный им, очень удачен и опережает западных математиков лет на шестьсот. (Об этом чуть-чуть подробней будет сказано дальше.) Но в конце концов сам пятый постулат нас не так уж волнует в этой книге.

Интересен же этот человек тем, что на его примере хорошо видишь, сколь ничтожно малы различия между людьми всех наций и всех веков.

Итак, я хотел бы поговорить о математике, известном у нас под именем поэта Омара Хаййама.

 

Глава 5

Гийас ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хаййам ан-Найсабури

Гийас ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хаййам ан-Найсабури.

Или — более привычное для слуха европейца — Омар Хаййам.

Восток, как всем известно, есть Восток. В отличие от Запада, который есть Запад.

Восток в сознании многих — это стандартный набор: гаремы, султаны, ислам, шальвары, халифы, кальяны, муэдзины, эмиры, гурии, минареты, шахи, палящее солнце, фонтаны, баядерки, Чингисхан и тень чинар. И лень, безмятежная, сонная лень в этой тени.

Во всяком случае, таков Восток в прошлом. Таким его представляют.

Действительно, все было на Востоке: и султаны, и шахи, и халифы, и эмиры, и прочее. Более того, в значительной части Востока сохранилось и сейчас.

Тем не менее Востока не было никогда.

Было и есть несколько десятков стран и более миллиарда людей. Более миллиарда. И я смею предполагать, что это довольно разные люди.

Можно думать также, что их внутренний мир тот же, что и у «жителей Запада».

Кстати, сам Киплинг — автор знаменитой формулы о Востоке и Западе — думал именно так. Эта мысль и защищается в его знаменитой балладе, из которой обычно (увы, это удел даже блестящих поэтов) помнят лишь первую строку.

Раз уж в этой главе мы непрестанно будем находиться в «атмосфере поэзии», стоит процитировать и Киплинга. Тем более стихи прекрасны.

О, Запад есть Запад, Восток есть Восток, и с мест они не сойдут, Пока не предстанет Небо с Землей на Страшный господень суд. Но нет Востока и Запада нет, что — племя, родина, род, Если сильный с сильным лицом к лицу у края земли встает.

Дальше можно не цитировать, ибо все последующее до обидного плохо. Стихи великолепны по-прежнему, но сам сюжет и его решение пародийно напоминают рядовой голливудский «вестерн».

Редьярд Киплинг ограничился гимном в честь духовного единства воинов. Героев, сильных телом и духом. Воины эти, если судить непредвзято, — некоторый прообраз облагороженных голливудских бандитов. Но если отвлечься от выбора героев, с Киплингом можно согласиться безоговорочно. Гангстеры всего мира довольно легко находят общий язык, ничуть не хуже ученых-гуманистов.

К сожалению, Киплинг воспел первых. И отдал на это весь свой поразительный талант поэта.

Все эти рассуждения, может быть, не совсем излишни, если вспомнить, что сейчас наш герой — Гийас ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хаййам ан-Найсабури.

Гийас ад-Дин означает: «помощь веры», и есть традиционный титул всех ученых, поскольку в те времена иерархическая лестница научных званий была, видимо, разработана слабовато. Абу-л-Фатх — отец Фатха.

Ан-Найсабури — показывает, что Хаййам был родом из Нишапура, одного из главных городов славного Хорасана.

Хаййам — то, что мы приняли за фамилию, — означает «палаточный мастер». Вероятно, отец его либо дед промышляли этим достойным занятием.

Ибн Ибрахим — сын Ибрахима. В русифицированном варианте: Ибрахимович.

Наконец, Омар — имя, данное ему при рождении.

Итак, коротко — Омар Хаййам.

Он завоевал Запад в XIX веке, и завоевал его как поэт.

Впервые он был переведен на английский и переиздан в прошлом веке 25 раз. В Англии и Америке повальное увлечение Хаййамом приняло характер эпидемии, его цитировали, восхваляли и создавали клубы его имени. Волей-неволей нам придется заниматься литературоведением, и поэтому я хотел бы сразу сообщить, что хотя стихи Хаййама прекрасны, но столь исключительная его популярность связана, возможно, с некоторым «удивительным откровением». Оказалось, что тысячу лет назад где-то в Турции, не то в Индии человеку были доступны те же мысли и сомнения, что волнуют людей и в наш просвещенный век (то есть XIX). Мало того, он сформулировал эти сомнения в великолепных стихах, а это было уже совершенно поразительно.

В родных краях, впрочем, как поэта Хаййама почти не знали.

Так возникло два Хаййама.

На Западе — поэт.

На Востоке — математик, астроном, философ. О, Запад есть Запад, и Восток есть Восток.

Позволим себе риторический вопрос и воскликнем в недоумении: кто же он был?

Поскольку автор больше симпатизирует «восточной версии», начнем спокойный и медлительный рассказ, оживляя его по мере скромных наших сил традиционным колоритом о досточтимом мудреце и имаме Гийас ад-Дине Омаре ал-Хаййаме ан-Найсабури, да освятит аллах его драгоценную душу.

«Во имя аллаха милостивого, милосердного. Хвала аллаху, господину миров, и благословение всем его пророкам».

Так, скованный суровой и жестокой традиционной формой, начинает Хаййам свой замечательный труд: «Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы» — работу, в которой математика Запада была опережена примерно лет на пятьсот.

Этот труд «величайшего геометра Востока», как писал позднее о нем замечательнейший энциклопедист восточного мира араб Ибн-Халдун, содержит первую систематическую теорию алгебраических уравнений третьей степени. Он был широко известен среди арабских математиков и, несомненно, оказал огромное влияние на развитие математики Востока. А в Европе первое и очень смутное упоминание о нем относится к 1742 году.

Историк, собственно, указывает только: вроде бы по заглавию рукописи, хранящейся в Лейденском музее, можно подозревать, что там есть нечто об уравнениях третьей степени, но… «Весьма жаль, что никто из знающих арабский не имеет вкуса к математике и никто из владеющих математикой не имеет вкуса к арабской литературе».

Когда трактат Хаййама, наконец, прочли, оказалось, что его результаты повторил (и превзошел его во многом) не кто иной, как Декарт. Впрочем, возможно, в еще одном окончательно уже исчезнувшем трактате и сам Хаййам пошел значительно дальше. Кто знает…

Но нам интересен здесь другой трактат Хаййама, а именно: «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида». Это сочинение славнейшего шейха, имама, Доказательства истины, Абу-л-Фатха Омара ибн Ибрахима ал-Хаййама в трех книгах.

Этот трактат начинается также не слишком оригинально: «Во имя аллаха милостивого, милосердного. Хвала аллаху, господину милости и милосердия, мир избранным его рабам и в особенности государю пророков Мухаммеду и всему его чистому роду».

Но непосредственно строчкой дальше сразу и неожиданно прорывается: «Изучение наук и постижение их с помощью истинных доказательств необходимо для того, кто добивается спасения и вечного счастья».

Стоп! Тот, кто должен был понять, понял. Сказано уже слишком много. И дальше плывет распевный душеспасительный речитатив.

«В особенности (ну, конечно, конечно!) это относится к общим понятиям и законам, к которым прибегают для изучения загробной жизни, доказательства существования души и ее вечности, постижения качеств, необходимых для существования всевышнего и его величия (Хаййама просто безумно волнует величие аллаха), ангелов, порядка творения и доказательства пророчеств государя, пророка (то есть Мухаммеда), повелениям и запрещениям которого повинуются все творения (кстати, в свое время в уделе его — Медине — Мухаммед навел-таки весьма жесткий порядок, и лучшие из творений аллаха ходили у него по струнке) в соответствии с соизволением всевышнего аллаха и силой человека».

Придраться невозможно, кажется.

Увы, нет!

Весь этот абзац — ересь, и ересь довольно опасная для правоверных исповедователей ислама.

И пусть этот поклонник Аристотеля прикрывается лицемерно-благочестивыми фразами, его поймут не только единомышленники.

Счастье еще Хаййама, что в среднем ислам более веротерпимая религия, чем христианство. В среднем. На костер, пожалуй, не отправят. Но профессионально точный удар кинжала заработать можно. Очень можно. Даже за не слишком явную ересь. Впрочем, можно и избежать.

Далее идет сам трактат (о нем мы еще вспомним, конечно), ну, а по дороге усердно возносится хвала всевышнему аллаху, его лучшему творению — Мухаммеду, всему чистому роду Мухаммеда, прекрасной помощи аллаха и еще чему-то.

Хвала аллаху!

Сколь легко и весело было жить его творениям. Я разумею — мыслящим творениям. Повторим, однако, что милосердные служители милосердного Христа заведомо оттеснили милосердного аллаха с пьедестала почета, и снова начнем «во имя аллаха милостивого и милосердного».

Биография Омара Хаййама известна нам очень и очень… короче, почти неизвестна. Сведения о нем скудны и отрывочны. Путем довольно сложных «астрономических» выкладок на основе косвенных данных даты его жизни предположительно фиксируются 1048–1131. Либо 1040–1122. Либо 1048–1122.

Родился он в Нишапуре. Город этот тогда входил в Хорасанский эмират, теперь Нишапур на территории Ирана. Стихи Хаййам писал на литературном персидском языке, а работы — по-арабски. Поскольку, как объясняют языковеды, и современный персидский и таджикский развились из средневекового персидского, сейчас можно свободно объявлять Хаййама и персидским и таджикским поэтом.

За несколько лет до рождения Хаййама его район «сонного и спокойного» Востока был ареной ожесточеннейших сражений, и предводители кочевого племени сельджуков (туркмен), разгромив предыдущих султанов, быстро организовали колоссальную империю и свеженькую династию сельджукских султанов.

Далее все развивалось по стандартной схеме. Борьба за престол между претендентами. Борьба султанов с феодалами и отчаянное стремление феодалов поцарствовать хоть в малом краю, но самостоятельно. Лет через сто двадцать империя распалась окончательно, но этот срок, ничтожный для истории, вполне достаточен для жизни одного человека.

Хаййам жил в империи сельджуков и долгое время жил спокойно, ибо у него был покровитель. Сильный покровитель.

Великий визирь Низам ал-Мулк.

Низам ал-Мулк был покорен идеей сильного государства. И он создавал его всячески. Очевидно, он полагал, что культура и науки будут способствовать укреплению империи, и так же, как милые наши Птолемеи, всячески покровительствовал ученым.

Он и сам не чуждался литературы и написал весьма неглупый, основательный и очень интересный для историков труд «Книгу о правлении» — некое настольное руководство для султанов, которых ох как надо было образовывать. К этой популяризаторской работе он привлекал и своих ученых, в частности Хаййама.

Но прежде чем Хаййам попал под крылышко к Низам ал-Мулку, ему пришлось изрядно помыкаться. Когда султаны организуют империю, жителям страны бывает не слишком сладко.

Сведения о годах юности Хаййама совсем уж скудны. Вероятно, он учился в Нишапуре.

Пишут, что «в семнадцать лет он достиг глубоких знаний во всех областях философии».

Пишут, что был он «глубокий знаток языковедения, мусульманского права и истории» и был последователь Авиценны (Абу-Али Ибн-Сина).

Рассказывают, что память его была необыкновенна и однажды он выучил книгу наизусть, прочитав ее семь раз.

Говорят также, что был он «мудрец, сведущий во всех областях философии, особенно в математике».

Короче — все источники (так же как и творчество Хаййама) показывают, что был он энциклопедически образованным человеком исключительного дарования и ясного ума.

Но все это не столько помогало ему поначалу, сколько портило жизнь. Из Хорасана пришлось уехать, и мы встречаем Хаййама в Самарканде.

Естественно, покровитель необходим. Хаййам находит его. Мы не знаем как. Это «славный и несравненный господин судья судей имам господин Абу-Тахир, да продолжит аллах его возвышение и повергнет тех, кто питает против него зависть и вражду».

Попросту говоря, это главный судья Самарканда. Чиновник значительный. Но один аллах ведает, обладал ли он хоть крупицей тех достоинств, которые так старательно и сладкоречиво описывает Хаййам в своем алгебраическом трактате. А чуть раньше, во введении к тому же трактату, Хаййам пишет глухо и горько:

«…Я был лишен возможности систематически заниматься этим делом (алгеброй. — В. С.) и даже не мог сосредоточиться на размышлениях о нем из-за мешавших мне превратностей судьбы.

Мы были свидетелями гибели ученых, от которых осталась малочисленная, но многострадальная кучка людей. Суровости судьбы в эти времена препятствуют им всецело отдаться совершенствованию и углублению своей науки.

Большая часть из тех, кто в наше время имеет вид ученых, одевает истину ложью, не выходя в науке за пределы подделки и притворяясь знающими.

Тот запас знаний, которым они обладают, они используют для низменных плотских целей. И если они встречают человека, отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его предметом своего презрения и насмешек».

Когда читаешь этот отрывок, как-то пропадает охота рассказывать историю Хаййама в спокойном, чуть ироничном тоне объективного наблюдателя. Тут уже не рассуждения о великом и милосердном аллахе. Здесь жизнь, невеселая и жестокая жизнь, и пишет эти горькие слова совсем еще молодой человек, почти юноша. Ему в это время никак не более двадцати пяти лет. Эта охота пропадает тем более, что через четыре века почти то же самое напишет Галилей, а еще через пять столетий — Эйнштейн.

И не знаю, что хотел сказать сам Хаййам, но следующая фраза: «Аллах помогает нам во всех случаях, он наше прибежище» и потом длинный-предлинный абзац восхвалений почтенного самаркандского судьи воспринимаются как жестокая, злая и тонкая издевка.

Но не будем увлекаться.

Все же Хаййаму повезло. Покровитель отыскался. Причем такой, что «…его присутствие расширило мою грудь, его общество возвысило мою славу, мое дело выросло от его света и моя спина укрепилась от его благодеяний».

Видите, как все благополучно. Но это лишь начало. Аллах не скупится на щедроты.

Далее Хаййам удостоен (слава аллаху!) дружбы самого Бухарского хакана. Что точно значит этот титул, я не очень знаю, да и не старался узнать. Во всяком случае, это был какой-то царек. И историк (современник Хаййама) с понятным оттенком зависти сообщает, что «…хакан Шаме ал-Мулк крайне возвеличивал его и сажал имама Омара на свой трон».

Но поистине благодеяния аллаха неисчерпаемы. И в 1074 году сам Малик-шах (а хакан всего лишь его вассал) зовет Хаййама к своему двору в Исфахань и — радуйтесь же, правоверные! — делает его своим надимом.

Вы хотите узнать, что такое надим?

Это несколько странная должность.

Султану нужны собеседники, наперсники по совместительству, телохранители. Это и есть обязанности надима. Надим участвует в трапезе правителя, беседует с ним, развлекает его. Выдумывает, как бы убить время. И конечно, восхищается. Восхищается повелителем. Его мудростью. Его отвагой. Его красотой. Его поэтическим даром. Его конями. И соколами. И наложницами. Не знаю, правда, показывали ли надимам цветы гарема. И…

Впрочем, к чему дилетантские рассуждения. Дадим слово сиятельному покровителю Хаййама Низам ал-Мулку.

Цитируем «Книгу о правлении» — «Сиасет-Наме».

«От надима несколько польз: одна та, что он бывает близким другом государя, другая та, что, находясь с государем день и ночь, он бывает вместо телохранителя, и в случае необходимости еще та польза — удали ее аллах, — если предстоит какая-нибудь опасность, он жертвует своим телом, заменяет своим телом щит против той опасности, четвертая та, что тысячу родов слов можно сказать с надимом, чем с теми, кто является исполняющими должность амилей и чиновников государя, пятая та, что они сообщают ему о делах царей, как и лазутчики, шестая та, что они ведут всякого рода разговоры без принуждения о добром и плохом, в пьяном и трезвом виде, в чем много полезного и целесообразного».

Как видите, целых шесть различных польз. Но далеко не всякий может быть на этом почетном посту. Безусловно, не всякий.

«Надо, чтобы надим был от природы даровит, добродетелен, пригож, чист верой, хранитель тайн, благонравен, он должен быть рассказчиком, чтецом веселого и серьезного, помнить много преданий, всегда быть добрословом, сообщителем приятных новостей, игроком в нарды и шахматы, если он может играть на каком-либо музыкальном инструменте и владеть оружием, еще лучше. Надим должен быть согласен с государем. На все, что произойдет или скажет государь, он должен отвечать: «Отлично, прекрасно», он не должен поучать государя: «Сделай это, не делай того; почему поступил так?»; он не должен так говорить, а то государю станет тягостно и произойдет отвращение. Надимам приличествует устраивать все, что имеет отношение к вину, развлечениям, зрелищам, дружеским собраниям, охоте, игре в чоуган и тому подобному, так как они для того и нужны».

Все.

Так поучает Низам ал-Мулк, по представительству которого Хаййам и попал в надимы к Малик-шаху.

Должность, бесспорно, поразительно приятная.

Историки несколько утешают нас. Одна группа считает вообще маловероятным, что Хаййам был удостоен столь высокой чести, и полагают, что биограф преувеличил. Быть может, он хотел максимально возвеличить собрата ученого в глазах читателей и малость прихвастнул. Другие же полагают, что надимом Хаййам, бесспорно, был, но, так сказать, несколько другого сорта.

Ведь пишет же далее Низам ал-Мулк: «Многие государи делали своими надимами врачей и астрологов, чтобы знать, каково мнение каждого из них, что следует им, что следует государю, что надо делать, чтобы беречь природу и здоровье государя… Астрологи же наблюдают за временем и часом; для всякого дела, которое будет принято, они дают уведомление и выбирают благоприятный час».

В общем есть слабая надежда, что устраивать пьянки для Малик-шаха и подбирать ему невольниц Хаййаму не приходилось. Но кто знает? Можно быть уверенным в одном: он должен был делать все, что бы ни пришло в голову повелителю.

Во всяком случае, астрологией-то он занимался бесспорно, хотя считал, столь же бесспорно, что это вздор.

Как астролог Хаййам пользовался непререкаемым авторитетом, но как он добился этого, осталось его тайной.

А как профессионально умело нужно было гнуть спину при восточных дворах!

И перед сколькими!

В общем вся эта жизнь, весьма приятная, впрочем, для многих, Хаййаму не то что не могла доставить удовольствия, но была, вероятно, невыносимо отвратительна.

Кое-что, однако, он имел взамен.

Во-первых, придворный мудрец Малик-шаха, его доверенное лицо, чуть ли не приятель, недосягаем для всех служителей корана. А они были бы очень не прочь призвать Хаййама к порядку.

Во-вторых, обеспеченное существование. Семьи у Хаййама, правда, не было, но положение ученого в те времена столь непрочно, что без покровителей прожить просто невозможно. Так лучше уж шах, чем мелкая сошка.

В-третьих, и, можно думать, главное — возможность работать. Хаййам получил в свое распоряжение первоклассную по тем временам Исфаханскую обсерваторию. И вероятно, шах резонно полагал, что мудрецу надо давать некоторое время на размышления. Во всяком случае, за годы пребывания при дворе Хаййам сделал много. И уже через три года после прибытия ко двору он закончил свою работу «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида», где он, помимо прочих поправок, доказал, как он думал, пятый постулат.

В обсерватории он работал много и добился первоклассных результатов. По существу, он и был создателем обсерватории, выпрашивая постоянно у Малик-шаха деньги на строительство.

И снова ситуация стандартна.

Его астрономические работы практически никого не волновали. Он составил великолепный по своей точности календарь, но календарь принят не был. А действительно и безусловно ценными полагались его астрологические работы.

Через несколько веков Кеплер, который так же ценил астрологию, как Хаййам, повторит его путь. Лишь занятия астрологией дали ему общественное положение, средства к жизни и возможность заниматься научной работой.

В астрологию Хаййам не верил. Какова была его вера — историки не решили до сих пор. Ясен по крайней мере один и, пожалуй, главный символ его веры: человек должен заниматься наукой, постигать, как устроен мир. Но и тут все несколько усложняется. И сейчас полезно вернуться к стихам. Вообще говоря, будь точно известно, какие именно стихи написал действительно Хаййам, они были бы весьма серьезным документом.

Поэтом он себя не считал. Писал, вероятно, в основном для себя и таился, естественно, меньше, чем в своих философских трактатах. Там-то ему приходилось все время быть предельно внимательным, и малейшие отклонения от ортодоксальных идей протаскивать очень, очень, очень осторожно. Но по поводу подлинности тех или иных стихов продолжаются отчаянные битвы литературоведов.

Каноническим считается текст, в котором 252 четверостишия (рубаи). Но и тут идут споры. Всего же Хаййаму приписывают около 1000 рубаи.

Поверим, что стихи подлинны! Тем не менее точно определить философское мировоззрение Хаййама по-прежнему довольно трудно. Даже специалисты не могут прийти к единому мнению, что, впрочем, довольно обычное дело.

Некоторые из стихов великолепны даже в переводах, говорят, в подлиннике они еще лучше. Тематика Хаййама, правда, довольно ограниченна, и если говорить откровенно — два-три десятка стихов полностью исчерпывают все, что хотел сказать Хаййам.

Чтобы читатели могли несколько отдохнуть на хорошей прозе, а затем на хороших стихах, я приведу сначала один не очень распространенный анализ творчества Хаййама, а потом несколько рубаи.

О’Генри, вероятно крайне раздраженный истерической модой на Хаййама, расправился с ним на первый взгляд весьма жестоко.

Главный герой его рассказа «Справочник Гименея» бравый ковбой Сандерсон Пратт был заперт снежной бурей на зиму в тесной хижине вместе с не менее бравым ковбоем Айдахо. Очевидно, это был случай психологической несовместимости, и дело чуть-чуть не дошло до трагедии, но, на счастье, они отыскали две книги.

Одна — статистический справочник, другая — Омар Хаййам.

Книги разыграли в карты, Айдахо выбрал Хаййама, герой получил универсальный справочник. Бедняги мирно штудировали книги — каждый свою — долгие недели заточения.

После освобождения оба стали отчаянно ухаживать за некоей пленительной и состоятельной вдовой, блистая вновь обретенной культурой и призывая на подмогу своих кумиров. Естественно, поэтический руководитель Айдахо — Омар Хаййам — был разбит, уничтожен и истреблен справочником, и счастливый брак Сандерсона Пратта был достойной наградой знаменосцу здравого смысла.

А теперь дадим слово Сандерсону Пратту.

«Я сидел и читал эту книгу четыре часа. В ней были спрессованы все чудеса просвещения. Я забыл про снег и про наш разлад с Айдахо. Он тихо сидел на табуретке, и какое-то нежное и загадочное выражение просвечивало сквозь его рыже-бурую бороду.

— Айдахо, — говорю я, — тебе какая книга досталась?

Айдахо, видно, тоже забыл про старые счеты, потому что ответил умеренным тоном, без всякой брани и злости.

— Мне-то? — говорит он. — По всей видимости, это Омар Ха-Эм.

— Омар X. М., а дальше? — спросил я.

— Ничего дальше, Омар Ха-Эм, и все, — говорит он.

— Врешь, — говорю я, немного задетый тем, что Айдахо хочет втереть мне очки. — Какой дурак станет подписывать книжку инициалами. Если это Омар X. М. Спупендайк, или Омар X. М. Мак-Суини, или Омар X. М. Джонс, так и скажи по-человечески, а не жуй конец фразы, как теленок подол рубахи, вывешенной на просушку.

— Я сказал тебе все как есть, Санди, — говорит Айдахо спокойно. — Это стихотворная книга, автор Омар Ха-Эм. Сначала я не мог понять, в чем тут соль, но покопался и вижу, что жила есть. Я не променял бы эту книгу на пару красных одеял».

Далее новообращенный Айдахо анализирует творчество Омара Ха-Эм.

«— Он, похоже, что-то вроде агента по продаже вин. Его дежурный тост: «Все трын-трава». По-видимому, он страдает избытком желчи, но в таких дозах разбавляет ее спиртом, что самая беспардонная его брань звучит как приглашение раздавить бутылочку. Да, это поэзия, и я презираю твою кредитную лавочку, где мудрость меряют на футы и дюймы.

А если понадобится объяснить философическую первопричину тайн естества, то старикашка Ха-Эм забьет твоего парня по всем статьям — вплоть до объема груди и средней годовой нормы дождевых осадков».

Но не таков был Сандерсон Пратт, чтобы дать сбить себя с толку.

«Этот Омар X. М., судя по тому, что просачивалось из его книжонки через посредство Айдахо, представлялся мне чем-то вроде собаки, которая смотрит на жизнь, как на консервную банку, привязанную к ее хвосту. Набегается до полусмерти, усядется, высунет язык, посмотрит на банку и скажет: «Ну, раз мы не можем от нее избавиться, пойдем в кабачок на углу и наполним ее за мой счет».

К тому же, кажется, он был персом. А я ни разу не слышал, чтобы Персия производила что-нибудь достойное упоминания, кроме турецких ковров и мальтийских кошек».

К великому возмущению всех любителей Хаййама, надо признать, что основную тему оба ковбоя уловили довольно точно.

Но у О’Генри никогда точно не знаешь, что именно он хотел сказать.

Не исключено, что, как истый поклонник Хаййама, он просто-напросто иллюстрировал древний и скорбный мотив: хочешь добиться успеха у очаровательной женщины, забудь о поэзии. Забудь — или оставь надежды.

Особенно если эта дама владелица двухэтажного домика в захолустном добропорядочном городишке.

Посмотрим теперь стихи Хаййама. Все их, грубо говоря, можно рассортировать на три группы: 1) винно-любовный цикл; 2) философский цикл; 3) гражданская лирика — четверостишия, где Хаййам более или менее прямо высказывает свое отношение к окружающим.

Поскольку автор этой книги непрерывно балансирует на скользкой дорожке решения психологических ребусов, то попробуем и на этот раз разобраться, в какой степени стихи передают истинный образ Хаййама.

Пожалуй, в этом смысле наиболее содержательны стихи третьего цикла: раздраженные, желчные, откровенно злые.

Из всех 252 рубаи не найдешь ни одного, где было бы сказано что-либо приличное о мыслящих творениях аллаха. Достается всем. Но особую «любовь» Хаййам испытывает к духовенству.

Рабы застывших формул осмыслить жизнь хотят. Их споры мертвечиной и плесенью разят. Ты пей вино: оставь им незрелый виноград, Оскомину суждений, сухой изюм цитат. С той горсточкой невежд, что нашим миром правят И выше всех людей себя по званью ставят, Не ссорься. Ведь того, кто не осел, тотчас Они крамольником, еретиком ославят.

От духовенства совершенно естествен переход к милосердному аллаху. В стихах Хаййам как-то хуже ладит с господом, чем в трактатах.

У мертвых и живых один владыка — ты; Кто небо завертел над нами дико? Ты. Я тварь греховная, а ты создатель мира; Из нас виновен кто? Сам рассуди-ка ты! Жизнь сотворивши, смерть ты создал вслед за тем, Назначил гибель ты своим созданьям всем, Ты плохо их слепил? Но кто ж тому виною? А если хорошо, ломаешь их зачем?

Впрочем, сильных мира сего он тоже не оставляет своим вниманием.

Чтоб угодить судьбе, глушить полезно ропот. Чтоб людям угодить, полезен льстивый шепот, Пытался часто я лукавить и хитрить, Но всякий раз судьба мой посрамляла опыт.

И наконец, обобщающие высказывания по поводу человеческой глупости. Тут он пишет со вкусом, даже с некоторым удовольствием.

Один Телец висит высоко в небесах, Другой своим хребтом поддерживает прах. А меж обоими тельцами — поглядите, — Какое множество ослов пасет аллах! Общаясь с дураком, не оберешься срама. Поэтому совет ты выслушай Хаййама: Яд, мудрецом тебе предложенный, прими, Из рук же дурака не принимай бальзама.

Весь этот цикл весьма логично можно завершить четверостишиями, в которых Хаййам объясняет, в какой обстановке он осужден жить и работать.

То не моя вина, что наложить печать Я должен на свою заветную тетрадь: Мне чернь ученая достаточно знакома, Чтоб тайн своей души пред ней не разглашать.

Естественно, автор столь «жизнерадостных» стихов — человек не слишком оптимистического склада ума. Полное духовное одиночество, и никаких просветов. И в рубаи «философского цикла» Хаййам вроде бы обобщает свой жизненный опыт.

Что миру до тебя? Ты перед ним ничто: Существование твое лишь дым, ничто. Две бездны с двух сторон небытием зияют, И между ними ты, подобно им, — ничто. Ученью не один мы посвятили год, Потом других учить пришел и нам черед. Какие ж выводы из этой всей науки? Из праха мы пришли, нас ветер унесет. Меня философом враги мои зовут, Однако, видит бог, ошибочен их суд. Ничтожней много я: ведь мне ничто не ясно, Не ясно даже то, зачем и кто я тут.

Снова ни одного проблеска, ни единого хоть отчасти обнадеживающего намека. Некие рецепты, как следует наладить жизнь, вроде бы есть в первом цикле. Герои О’Генри (могу повторить еще раз) довольно точно уловили суть. Кстати, в первом английском переводе Фицджеральда особое и исключительное внимание было отдано именно этому направлению.

Мы в этот мир пришли вкусить короткий сон: Кто мудр, из кабака тот не выходит вон. Потоками вина туши огонь страданий, Пока ты ветром в прах навеки не снесен. Умом ощупал я все мирозданья звенья, Постиг высокие людской души паренья И, несмотря на то, уверенно скажу: Нет состояния блаженней опьяненья. Хочу упиться так, чтоб из моей могилы, Когда в нее сойду, шел винный запах милый, Чтоб вас он опьянял и замертво валил, Мимо идущие товарищи — кутилы.

Особо жизнерадостными эти стихи также не назовешь. Какая уж тут жизнерадостность!

Поверим за неимением других гипотез, что автор всех цитированных рубаи действительно Хаййам.

Ну хотя бы половины. Достаточно и этого.

Образ человека, написавшего эти стихи, как будто достаточно ясен. Умный, исключительно одаренный, скептик и мизантроп. При бесспорной культуре — полное отсутствие каких-либо интеллектуальных интересов. Дни и ночи он проводит с наложницами за чашей вина, в компании пьяных гуляк, а в редкие трезвые минуты отводит душу, создавая чудесные, но глубоко пессимистические стихи. Он не ценит ничто в этом мире, кроме возможности хорошенько гульнуть, и, естественно, выполняет свою программу по мере сил и финансов.

В общем некая неудобоваримая смесь байронического героя, римского патриция самого низкого пошиба, гётевского Мефистофеля, русского купчика второй гильдии и французских аристократов эпохи упадка.

Идеи Хаййама не так уж новы.

Скептиков и пессимистов хватало во все эпохи, и восторгаться его мировоззрением особо не приходится.

Вроде бы иногда он близок к стихийному материализму. Во всяком случае, аллаха он честит изрядно. Но, во-первых, здесь многое неясно — есть достаточно рубаи явно полумистического характера, а во-вторых, чем тут особенно восхищаться?

Во все века и во все эпохи материалистические идеи увлекали многих и многих.

Не надо только, говоря о Хаййаме, делать какие-либо скидки на интеллектуальную наивность его эпохи по сравнению с нашей. Не стоит свысока похлопывать по плечу прошедшие столетия.

Но если говорить «на равных» и судить по одним стихам, образ Хаййама-мыслителя заметно тускнеет. Остается великолепный поэт, но не слишком глубокий и симпатичный человек. Его можно понять, оправдать, но согласиться с ним нельзя.

Литературоведы не пишут столь откровенно, быть может, потому, что поэзия Хаййама навечно занесена в золотые фонды мировой культуры и соответственно сам Хаййам фигура иконописная.

Тем не менее знай я Хаййама только как поэта, после понятного периода увлечения его пессимизмом, который неотразимо привлекателен в возрасте 15–25 лет, — знай я его после этого периода, я бы в общем солидаризовался с О’Генри, отдавая, конечно, должное великолепному мастерству поэта.

Но вся прелесть в том, что гипотетический наш образ не более чем карикатура. И довольно односторонняя.

Во-первых, Хаййам не поэт-профессионал. Он ученый. Его дело — наука. Стихи? Не более чем разрядка. Отдых от работы.

Гурии и вино? Если бы Хаййам выпил сотую долю того вина, что разлито в его стихах…

Если бы его гарем вместил в себя десятую долю воспетых им красавиц… То ему просто физически не хватило бы сил на что-либо еще.

А все современники — и благожелательные и неблагожелательные — единодушны: Ходжа имам Омар был одним из величайших научных гениев Востока.

Посмотрим же, кто он.

Он…

Математик. Возможно, крупнейший во всей истории Востока. По крайней мере так полагают многие историки математики. Алгебраические работы Хаййама — можно повториться — блестящи. И он детально изучил математическое наследие греков. А это труд немалый. Работа не одного года.

Астроном. Как помните, многие годы он создавал Исфаханскую обсерваторию, сам вел длительные и непрерывные астрономические наблюдения, провел реформу календаря и разработал новое летосчисление.

Отчасти физик. У него имеется очень любопытный трактат, посвященный знаменитой задаче Архимеда о короне Гиерона. Той самой задаче, в результате которой появился не только закон Архимеда, но и «фирменная марка» научно-популярных книг издательства «Молодая гвардия».

Но это далеко не все. Из его работ видно, что он блестяще знает не только арабскую, но и греческую философию, особенно философию Аристотеля. Аристотелем Хаййам восхищался даже слишком откровенно. Может быть, лучше всего об этом говорит стиль ссылок: Хаййам пишет коротко и сухо. Вместо его имени он всегда ставит — философ.

Философ — и никаких восточных комплиментов. А Хаййам умел их говорить как надо. Но не здесь. Он не хочет, чтобы пышные слова, инфляцию которых он чувствует лучше всех окружающих, чтобы эти проституированные сладкие фразы прилипали к тем именам, которые действительно дороги ему.

Философ — этого довольно.

Вообще, как только Хаййам начинает обсуждать существо дела, то поэтический, придворный, восточно-пышный стиль исчезает бесследно. Между традиционными реверансами аллаху, Мухаммеду и очередному покровителю в начале и конце заключен сухой, сдержанный текст.

Ссылки, рассуждения, чертежи, формулы. Евклид — просто Евклид, а не царь математиков или светоч знаний. Аполлоний — просто Аполлоний. Птолемей — Птолемей. Чуть-чуть отредактируйте текст, и перед вами стиль XX века. А Аристотель — философ.

Но мы несколько отвлеклись. Сейчас интересно несколько другое. Вспомним, «философ» писал столь путано и тяжело, что стиль его вошел в пословицу. Детальное изучение его работ сама по себе исключительно трудоемкая задача. Полагаю, что в наши дни среди специалистов по истории философии найдется очень немного скрупулезно проштудировавших все наследие Аристотеля в оригинале. Разве что несколько узких специалистов — «аристотелеведов». Хаййам же, бесспорно, изучил все работы философа. Но Аристотель — лишь малая часть того философского наследия Запада и Востока, что проработал Хаййам. Ссылки на десятки самых разнообразных капитальных трудов великолепно свидетельствуют это.

Если мерять по объему переработанной литературы, Хаййаму может позавидовать любой доктор философских наук.

Философия далеко не исчерпывает Хаййама. Помимо этого, он знаток корана и мусульманской юриспруденции.

Но и это не все.

Он еще и астролог. Мы уже говорили, что Хаййам прекрасно знает цену астрологии, но чтобы постичь ее правила, необходимо все же поглотить достаточно изрядную информацию.

Кстати, один из рассказов об астрологических подвигах Хаййама заставляет предположить, что он был знаком и с основами метеорологии.

Вспоминает ан-Низами ас-Самарканди:

«…султан послал в Мерв к великому ходже (далее следует длиннейшее имя ходжи), чтобы он попросил имама Омара предсказать: если они поедут на охоту, не будет ли в эти дни снега и дождя».

Хаййам думал два дня, указал время, «отправился и усадил султана верхом».

Дальше действие у ан-Низами развивается как у хорошего драматурга. Конечно, только-только султан выехал… «над землей распространились тучи, поднялся ветер, пошел снег, и все покрылось туманом. Все засмеялись. Султан хотел вернуться. Но ходжа имам (то есть Хаййам) сказал, чтобы султан не беспокоился, так как пять дней не будет влаги. Султан отправился на охоту, и тучи рассеялись, и пять дней не было влаги, и никто не видел туч».

А под конец рассказчик добавляет, что Хаййам, насколько ему известно, астрологии совершенно не доверял. Но предсказывать погоду должен был неплохо — это одно из стандартных требований султанов к своим мудрецам. Следовательно, в какой-то степени он владел метеорологией. (И здесь автор с великим трудом удерживается от дурного тона сопоставления восточных мудрецов с современным бюро прогнозов.)

Итак, приплюсуем метеорологию.

Наконец, он был врачом. Об этом не раз упоминают биографы.

И помимо этого, Хаййам еще занимался теорией музыки.

И помимо этого, переводил с арабского на персидский.

И последнее. Вспомним, что ему приходилось выполнять различные каждодневные мелкие поручения шаха — типа предсказания погоды или толкования снов.

Да! Мы забыли еще, с чего начался весь разговор. Он еще и поэт. И поэт блестящий.

Спрашивается: когда же он ухитрялся пьянствовать с красавицами?

Впрочем, не знаю, как в красавицах, но в вине Хаййам, бесспорно, знал толк.

Об этом свидетельствует весьма профессиональный анализ свойств различных вин, анализ, который он проводит в трактате «Науруз-Наме».

Но если вспомнить все его обязанности, волей-неволей приходится предположить, что поклонением Бахусу он особо не злоупотреблял. Грешил, конечно. Тут, вероятно, сомнений нет. Грешил. Но вряд ли излишествовал.

И уж во всяком случае, интересы его неизмеримо шире, чем можно было бы думать, ориентируясь только на рубаи.

Но поразительно, что о науке в стихах Хаййама нет ни слова. Человек пишет свою лирическую автобиографию. Так сказать, исповедь. И начисто умалчивает об истинно главном в своей жизни.

Можно думать, что такая тематика не в традициях восточной поэзии. Но, во-первых, мудрость и мудрецов как раз очень охотно воспевали, а во-вторых, в стихах Хаййам не слишком считался с традициями, раз так нехорошо обходился с великим и милосердным аллахом. Единственное, что можно отнести к научной теме в его стихах, — скептические замечания по поводу попыток познать смысл бытия. Мировоззрение Хаййама отнюдь не столь беспросветно-мрачно.

Увязать все можно, только предположив, что отчасти Хаййам кокетничал перед собой, отвергая все и вся и не найдя ни одного доброго слова хотя бы о математике. Такое кокетство встречается куда чаще, чем обычно думают. И особенно у поэтов. И к его скепсису слишком доверчиво относиться не стоит.

А наиболее доверять можно, пожалуй, третьему циклу — «гражданской лирике». Кажется, Хаййам действительно был человек с довольно раздражительным характером. И весьма невысоко ценил окружающих. Но попробуйте не быть раздражительным, если вас окружают мерзавцы, шарлатаны, стяжатели… Если каждый божий день вы должны дрожать за свое будущее. Если только ваше положение во дворце удерживает свору тупых схоластов, готовых сожрать вас в любую минуту. Если само это положение может исчезнуть в любой момент от одной случайной вашей обмолвки, от одной неуместной улыбки.

Попробуйте сохранить радостное настроение, уважение к людям, если вы не знаете каждое утро, чем кончится день, если вы не можете уподобиться всем тем, кто вас окружает, если вы должны лгать каждую минуту, каждую секунду и видеть, как остальные делают то же самое с увлечением и почти с наслаждением. Попробуйте все это и учтите еще, что вы не можете ни с кем поделиться своими горестями, потому что доверять подобные мысли — почти равносильно добровольному изгнанию — в самом наилучшем варианте. Попробуйте! И если у вас есть талант поэта, посмотрим, как будут звучать ваши стихи.

Но если, ясно сознавая все, вы сможете продолжать напряженную работу, останетесь пессимистом, циником и пьяницей лишь в стихах, а в реальной жизни будете расходовать время, силы и нервы, чтобы создавать обсерваторию, исследовать уравнения третьей степени, комментировать Евклида, трудиться над Аристотелем и работать с учениками… Если вы способны на все это, то я с наслаждением прочитаю ваши стихи. Особенно если они будут написаны на старости лет и если после вас останутся влюбленные в вас ученики.

В жизни Омара Хаййама с 1092 года начался неудачный, тяжелый период.

Низам ал-Мулк — его основной покровитель — был убит в этом году.

Вероятно, это устроили феодалы. Убийца был членом одной из самых мрачных, фанатичных и странных сект в истории человечества: исмаилит. Я вспоминаю об этом потому, что существует очень любопытная, но, очевидно, недостоверная легенда, что Хаййам, Низам ал-Мулк и основатель секты исмаилитов Хасан Сабах учились в одной школе и были друзьями детства.

В этом же году умер и Малик-шах, с которым Хаййам вроде бы сжился.

При наследниках сначала было совсем плохо, потом как-то удалось устроиться. Деньги на обсерваторию требовались немалые, а субсидии прекратились. Их надо было выпрашивать и так и этак.

Пришлось даже написать историко-дидактический трактат — «Науруз-Наме», где среди многих анекдотов, рассуждений о соколах, красивых лицах, конях и вине настойчивым рефреном явно и неявно звучит один мотив: «А Малик-шах давал деньги на обсерваторию. И покровительствовал ученым».

Потом, повторяем, как-то все утряслось. Визирями были сначала сын, потом племянник Низам ал-Мулка. Видимо, по старой памяти они поддерживали Хаййама.

Но духовенство непрестанно держит Хаййама на прицеле. То, что он далек, очень и очень далек от правоверного ислама, давно уже ясно. Иногда глухая вражда затихает на время, но неизменно разгорается снова. Приходится отписываться полублагонамеренными трактатами, но помогает это не слишком.

Иногда он нетерпим. Когда надо бы промолчать — ввязывается в дискуссии и не стесняется в лицо высказать шейхам и имамам, что именно он о них думает. Характер у него к старости портится, он порядком резок, и все же, несмотря на свою славу и высоких покровителей, он вынужден совершить паломничество в Мекку — хадж. «И вернулся он из хаджа своего в свой город, посещая утром и вечером место поклонения и скрывая тайны свои, которые неизбежно откроются. Не было равного ему в астрономии и философии, в этих областях приводили его в пословицу. О, если бы дарована была ему способность избегать неповиновения богу».

Так сожалеюще сообщает благонамеренный мусульманин Джамал ад-Дин ибн ал-Кифти в своей «Истории Мудрецов».

Говорят также, что под старость перестал он брать учеников и был «скуп на написание книг».

Последние десять-пятнадцать лет он не живет уже при дворе. Он не угодил чем-то новому султану, и ему то ли дали сравнительно почетную отставку, то ли попросту выгнали. А может, он удалился сам, не дожидаясь, пока его попросят. Семьи у него нет. Старик одинок. Большая часть самых мрачных его стихов, по-видимому, написана именно в это время.

Ученики были бы по-прежнему рады его видеть, но как будто он не очень охотно допускает их к себе.

Ко всему надо добавить, что, вероятно, Хаййам всегда был изрядно самолюбив, самолюбие с годами перешло в самомнение, а для людей такого сорта старость, особенно неудачную, всегда переносить тяжело.

То, что был он о себе весьма высокого мнения, говорят и биографы. Можно это прочитать и в его трактатах. Даже по восточным нормам он, пожалуй, перебирает в восхвалении собственной персоны.

Вот, например, начало одного из его трактатов. «Это — лучи, исходящие от престола царя философов, и всезатопляющий чистый свет мудрости просвещенного, искусного, выдающегося, высокого, мудрого, великого, небесного, славного, достойного господина Доказательство истины и убеждения, победителя философии и веры, философа обоих миров, господина мудреца обоих востоков Абу-л-Фатха Омара ибн Ибрахима ал-Хаййами…»

В этом абзаце четырнадцать эпитетов. И после этого начало другого трактата выглядит как образец скромности, граничащей с самоуничижением.

«…досточтимый господин, Доказательство истины, философ, ученый, оплот веры, царь философов Востока и Запада…»

Неплохо он характеризует себя и в начале трактата «Науруз-Наме», написанного, как помните, для преемников Малик-шаха.

«…ученый ходжа, философ века, глава исследователей, царь ученых…»

Впрочем, любопытное обстоятельство: все «специальные» — математические и физические — трактаты Хаййам начинает сухо и сдержанно.

Славословие появляется в трактатах общего характера. Так что, возможно, дело отчасти и в том, что, сознавая: «без паблисити нет просперити», — он создавал себе рекламу в тех случаях, когда трактат могли прочесть сильные мира сего. Естественно, подобные ухищрения добавляют еще одно унижение к длинному списку тех, что пришлось испытать Хаййаму. И тем неприятней ему должна была быть самореклама. И последняя неудача. Под конец он испытывает существенные материальные затруднения.

Сомнительно, что он в буквальном смысле страдал от бедности, как иногда пишут современные биографы. Как-никак много лет он занимал очень высокое положение, и, вероятно, какие-то средства остались. Да и до конца дней он при всех нападках духовенства оставался признанным «царем ученых». К тому же многочисленные его ученики могли бы поддержать его в случае острой необходимости.

Так что, думаю, с голоду Хаййам не умирал и вообще жил, вероятно, не хуже, чем какой-нибудь мелкий торговец. Но сократить расходы пришлось, видимо, резко. Во всяком случае, в нескольких рубаи он сетует и на бедность и вообще на жизнь:

Мне, боже, надоела жизнь моя. Сыт нищетой и горьким горем я, Из бытия небытие творишь ты, Тогда избавь меня от бытия.

Старик доживает свой век, и, видно, мало что радует его.

Единственное, что осталось, — книги. Сообщают, что и умер он с книгой любимого своего Абу Али Ибн-Сины в руках.

Не надо, конечно, полагать, что все время он тосковал и вздыхал; но человек сломлен. Последние лет двадцать он, видимо, уже не работает. То ли нет сил. То ли охоты. Жизнь закончена.

Он умер в 1128 году, и даже эту дату мы узнали случайно, только благодаря рассказу его ученика ан-Низами ас-Самарканди. Я приведу его полностью, потому что для понимания Хаййама-человека рассказ этот важнее всех домыслов современников.

Ан-Низами ас-Самарканди рассказывает:

«В 506 г. (1112/13 г. н. э.) Ходжа имам Хаййам и Ходжа Музаффар Исфазари были во дворце Эмира Абу-Са’да в квартале работорговцев в Балхе. Я был с ними в веселом собрании. Там я слышал, как Доказательства истины Омар сказал: «Моя могила будет в таком месте, где два раза в году северный ветер будет осыпать надо мною цветы».

Мне эти слова показались невозможными, но я знал, что такой человек не будет говорить пустых слов.

Когда в 530 г. (1135/36 г. н. э.) я прибыл в Нишапур, уже прошло несколько лет, как тот великий муж прикрыл лицо завесой из праха и мир лишился его. Он был моим учителем. В пятницу я отправился на его могилу и взял человека, чтобы он показал мне ее. Он привел меня на кладбище Хайра. Я повернул налево и у подножья садовой стены увидел могилу. Абрикосовые и грушевые деревья из сада протянули ветви через стену и осыпали свои цветы на могилу так щедро, что земля была совершенно скрыта под ними. Тогда я вспомнил те слова, что слышал от него в Балхе, и заплакал, ибо нигде во всем мире, от края до края, я не видел равного ему».

Можно почти гарантировать, что писал ан-Низами абсолютно искренне. Вряд ли, так вспоминая Хаййама, он повышал свою репутацию перед служителями ислама. Но когда о человеке так вспоминают его ученики, то веришь, что это был хороший человек. Это, видимо, было главное. И верить надо ан-Низами. Потому что из всех рассказов о Хаййаме этот — свидетельство друга. И только отсюда можем мы судить, как относились к нему близкие по духу люди.

Вообще по характеру, темпераменту, взглядам, по многим жизненным обстоятельствам Хаййам поразительно напоминает Галилея.

Как будто двое близких родственников жили на разных краях мира с интервалом в 500 лет.

Я не буду особо обосновывать эту параллель. Каждый может сам решать, так ли это. Но, по-моему, они близки, близки во всем. И, следуя Киплингу, кончим той фразой, с которой мы начали.

Восток, как известно, есть Восток.

В отличие от Запада, который есть Запад…

 

Глава 6

Эпоха доказательств. Продолжение

Их было много. Очень много. Не меньше тысячи.

Так или иначе, раньше или позже судьба сталкивала их с пятым постулатом, и они погружались в манящий лабиринт теорем.

Выхода не находил никто.

Иные запутывались в самом начале, иные проходили дальше, но итог был неизменно постоянен.

Некоторые отдавали этой безнадежной задаче всю жизнь, другие вовремя отступали.

Иные доходили до нервного потрясения, мистицизма и отчаяния, иные же философски спокойно бросали в корзину листки своих выкладок. Но итог был неизменен.

Некоторым улыбался мираж, и они пребывали в счастливой уверенности, что выбрались наружу. Но итог оставался неизменен.

Они повторяли пути предшественников, не зная, что идут уже проверенным и отброшенным путем, часто им светила надежда, и казалось, что нужно лишь одно решительное усилие. Но итог всегда бывал один.

Дилетанты, профессионалы, наивные посредственности и талантливейшие математики; греки, арабы, персы, европейцы — те, кто запутывался на первых шагах, и те, кто сражался долго, упорно и изобретательно — более двух тысяч лет, — всех их ждал один конец.

Пятый постулат был неприступен. Он относился, казалось, к тем задачам, что никогда не будут решены при помощи человеческого ума.

Но раз уж мы пленились возвышенным стилем, то можно сказать, что математики точно следовали девизу, высеченному на могиле капитана Скотта:

«Бороться и искать, Найти и не сдаваться».

И подобно бескрайним снегам, пятый постулат поглощал одного за другим.

Большинство не оставили после себя каких-либо следов. Они исчезли бесследно. Но некоторые гибли достойно, оставив по себе добрую память.

На кладбище жертв «пятого» одно из самых почетных мест по праву принадлежит Анри Лежандру.

Лежандр был, возможно, наиболее крупным математиком среди тех, кто попал под гипноз пятого постулата. Он занимался им долгие годы, подступал к чудовищу то с одной, то с другой стороны. Находил и опровергал, предлагал одно доказательство за другим, переходил от уверенности в успехе к полному разочарованию, снова надеялся на удачу, но под конец все же сам заключил, что точного решения не найдено. Признание содержится уже в самом названии резюмирующей работы, опубликованной им в последние годы жизни (1833 г.), «Размышления о различных способах доказательства теории параллельных линий или теоремы о сумме углов треугольника».

Как часто бывает в науке, это осторожное, обширное и в итоге пессимистическое исследование появилось тогда, когда уже было найдено решение и в «Вестнике Казанского университета» была напечатана первая работа Лобачевского.

Впрочем, тут удивляться не приходится. Но вот то, что ровно через двадцать лет наш русский академик В. Я. Буняковский, который, уж во всяком случае, обязан был знать работы Лобачевского, опубликовал аналогичное исследование, — это грустный факт. Еще раз обращаю ваше внимание на поразительный, почти анекдотический характер этого события. Впрочем, разговор о нем еще впереди.

В своих многолетних попытках доказать пятый постулат Лежандр проявил и настойчивость и замечательную изобретательность.

Во-первых, он очень изящно доказал несколько теорем «абсолютной геометрии». Во-вторых, доказывая «пятый» от противного, он, по существу, нашел ряд теорем геометрии Лобачевского. Доказывал он не непосредственно «пятый», а его эквивалент — «сумма углов треугольника равна π».

Прежде всего он доказывает эквивалентность.

Уже по нашей доморощенной теореме, когда на эквивалентность с «пятым» исследовался постулат: «перпендикуляр и наклонная пересекаются», можно было почувствовать, как тесно связан «пятый» с теоремой о сумме углов треугольника.

Но, конечно, доказательства эквивалентности этой теоремы и пятого постулата мы не дали.

Полное доказательство эквивалентности любых двух утверждений содержит две части.

1. Доказывается: «Если принять утверждение A, то из него следует утверждение B».

2. Доказывается обратная теорема: «Если принять утверждение B, то из него вытекает утверждение A».

В нашем случае надо доказать:

Если справедлив «пятый» — сумма углов треугольника равна π.

Эта первая часть доказательства — известная теорема и приводится во всех школьных учебниках геометрии. Вторую половину задачи решает Лежандр, и решает безукоризненно. Посмотрим, как он действовал. Во-первых, он доказывает:

1. Сумма углов треугольника не может быть больше π.

Доказывает безукоризненно строго. Конечно, не используя пятого постулата. И даже дает два варианта доказательства. Оба правильные. Метод доказательства — испытанное оружие «reductio ad absurdum». Предполагается, что существует треугольник, сумма углов которого равна (π + α), и показывается, что в этом случае мы непременно придем к противоречию. Доказательства довольно просты.

Я не повторяю их потому, что для любителей геометрии весьма привлекательно получить этот результат самостоятельно.

Далее идут несколько вспомогательных теорем, и он доказывает очень важное утверждение:

2. Если сумма углов в каком-либо одном треугольнике равна π, то она равна и во всяком другом треугольнике.

Все доказывается без привлечения пятого постулата. Средствами абсолютной геометрии.

Теперь все подготовлено для последней теоремы этого цикла — доказательства эквивалентности:

3. Если сумма углов треугольника равна π, справедлив постулат Евклида. Вообще говоря, если принять первые два утверждения, то эквивалентность сразу можно доказать с помощью «нашей» теоремы. Предоставляю читателям самостоятельно проверить это утверждение. Кстати, можно признаться, что примерно так и доказывал Лежандр. Остается получить только одно:

4. Сумма углов треугольника не может быть меньше π.

Только это! И пятый постулат доказан.

И Лежандр решает эту задачу.

Доказательство Лежандра великолепно.

Оно изящно. Просто. Неожиданно.

В нем есть все, что восхищает нас в математике. Кроме одного.

Оно неверно.

Но внимания оно заслуживает.

Метод — снова доказательство от противного. Перед нами Δ ABC. С него мы начинаем. Он главный. И сумма его углов по предположению равна (π – α).

Стороны угла A мы продолжим до бесконечности. Это понадобится в дальнейшем.

Теперь — вспомогательное построение.

На стороне BC строим еще один точно такой же треугольник. Он виден на чертеже — это Δ BCD.