Тайны чисел: Математическая одиссея

Сотой Маркус дю

«Умение математиков заглядывать в будущее наделило тех, кто понимает язык чисел, огромным могуществом. От астрономов древних времен, способных предсказать движения планет в ночном небе, до сегодняшних управляющих хедж-фондами, прогнозирующих изменения цен на фондовом рынке, – все они использовали математику, чтобы постичь будущее. Сила математики в том, что она может гарантировать стопроцентную уверенность в свойствах мира». Маркус дю Сотой

Профессор математики Оксфордского университета, заведующий кафедрой Симони, сменивший на этой должности Ричарда Докинза, Маркус дю Сотой приглашает вас в незабываемое путешествие по необычным и удивительным областям науки, лежащей в основе каждого аспекта нашей жизни.

В формате pdf A4 сохранен издательский дизайн.

 

Marcus du Sautoy

THE NUMBER MYSTERIES

A Mathematical Odyssey

Through Everyday Life

Copyright © Marcus du Sautoy, 2011

© Галактионов А. В., перевод на русский язык, 2016

© Издание на русском языке, оформление.

ООО «Издательская Группа «Азбука-Аттикус», 2016

КоЛибри®

* * *

 

 

Введение

Действительно ли происходит изменение климата? Не разлетится ли внезапно Солнечная система? Безопасно ли передавать номер вашей кредитной карты через интернет? Как я могу обыграть казино?

С того времени, как люди научились общаться между собой, они задают вопросы, пытаясь приспособиться к окружающей действительности и предсказать, что сулит будущее. Самый мощный инструмент, созданный нами для навигации по необузданному и сложному миру, в котором мы живем, – это математика.

От предсказания траектории футбольного мяча до оценки популяции леммингов, от взламывания кодов до выигрышной стратегии в игре «Монополия» – всюду математика предоставляет тайный язык для раскрытия секретов природы. Но у математиков нет всех ответов. Есть много глубоких, фундаментальных вопросов, которые еще не поддаются нашим усилиям.

В каждой главе «Тайн 4исел» вам предлагается совершить путешествие по крупному разделу математики, а в конце главы я рассказываю о еще нераскрытой математической тайне. Вы узнаете о нескольких из величайших нерешенных задач всех времен.

Если вы сумеете справиться с одной из этих головоломок, то снискаете не только математическую славу, но и приобретете астрономическое состояние. Американский предприниматель Лэндон Клэй предложил премию в миллион долларов за решение любой из этих математических тайн. Возможно, вам покажется удивительным, что бизнесмен выделил такие огромные средства на премии за решение математических загадок. Но он понимает, что вся наука, технология, экономика и даже будущее нашей планеты зависят от математики.

Каждая из пяти глав книги даст вам представление об одной из этих задач на миллион долларов.

Глава 1 – «Любопытный случай никогда не заканчивающихся простых чисел» – посвящена самому фундаментальному объекту математики – числу. Вы познакомитесь с простыми числами, не только наиболее важными в математике, но также и самыми загадочными. «Математический миллион» ждет того человека, который раскроет их секреты.

В главе 2 – «Рассказ о неуловимой форме» – мы отправимся в ознакомительное путешествие по самым странным и замечательным формам, созданным природой или руками человека: от игральных костей до пузырей, от чайных пакетиков до снежинок. В конечном счете мы возьмемся за самую сложную из этих проблем – форму нашей Вселенной.

Глава 3 – «Секрет победной серии» – покажет вам, что такие разделы математики, как логика и теория вероятностей, могут дать вам преимущество в различных играх. Ставите ли вы на кон ненастоящие игровые деньги, или же рискуете настоящими, математика часто оказывается секретным оружием для достижения успеха. Но некоторые относительно простые игры до сих пор сбивают с толку даже самые выдающиеся умы.

Криптография является предметом главы 4, «Случай кода, не поддающегося взлому». Математика часто играет ключевую роль для расшифровывания секретных посланий. Но я покажу вам, как можно использовать умную математику для создания новых шифров, которые позволяют вам безопасно общаться через интернет, отправлять послания через пространство и даже читать мысли вашего друга.

Глава 5 повествует о том, чему мы так желаем научиться. Это «Поиск предсказания будущего». Я объясню, каким образом математические уравнения оказываются лучшими гадалками. Они предсказывают затмения, объясняют, почему бумеранги возвращаются назад, и говорят в конечном счете, какое будущее ждет нашу планету. Но мы до сих пор не умеем решать некоторые из этих уравнений. В конце главы обсуждается проблема турбулентности, которая влияет на все – от штрафных ударов Дэвида Бекхэма до движения самолетов, и тем не менее остается одной из величайших тайн математики.

Математика, которая представлена в этой книге, будет и простой и сложной. Нерешенные задачи, которые завершают каждую главу, настолько трудны, что никто не знает, как разобраться с ними. Но я верю в пользу приобщения людей к великим идеям математики. Нас вдохновляет литература, когда мы знакомимся с Шекспиром или Стейнбеком. Музыка моментально оживает во всем своем великолепии, когда мы слышим Моцарта или Майлса Дэвиса. Разумеется, самому трудно исполнять Моцарта, Шекспир также требует напряжения даже у искушенного читателя. Но это вовсе не означает, что мы должны доверить работы этих великих творцов только знатокам. То же относится и к математике. Если что-то в ней кажется сложным, наслаждайтесь тем, что сумели понять, и вспомните то чувство, которое возникло у вас при первом чтении Шекспира.

В школе нас учат, что математика лежит в основе нашей деятельности. В этих пяти главах я хочу вдохнуть в математику жизнь и познакомить вас с некоторыми величайшими математическими достижениями. Я также хочу предоставить вам возможность сравнить себя с самыми изощренными умами за всю историю, когда мы будем знакомиться с несколькими из тех задач, которые остаются нерешенными. Надеюсь, в конце вы поймете, что математика на самом деле составляет сердцевину всего, что мы видим, и всего, что мы делаем.

 

Примечания к интернет-ресурсам

У этой книги есть собственный веб-сайт: http://www.4thestate.co.uk/2012/08/numbermysteries . На протяжении книги я буду ссылаться на PDF-файлы, которые вы можете загрузить с этого сайта, чтобы сыграть в некоторые игры или создать формы, упомянутые в книге.

В тексте также имеются ссылки на внешние веб-сайты. Вы можете зайти на них обычным образом, напечатав адрес в вашем веб-браузере, либо воспользоваться смартфоном, чтобы сосканировать QR-код, приведенный рядом с каждым веб-адресом. Вам необходим смартфон, умеющий распознавать эти коды, на который необходимо установить QR-ридер. Чтобы сосканировать код, запустите QR-ридер и направьте фотокамеру смартфона на этот код при хорошем освещении.

Помимо этого имеется приложение для iPhone, которое называется «Marcus du Sautoy’s Number Mysteries». Оно включает интерактивные версии ряда игр, упомянутых в книге.

Также приведу некоторые другие сайты, которые вам может быть интересно посетить:

www.conted.ox.ac.uk Если вы хотите углубиться в некоторые из идей или тем этой книги, обратите внимание на пятинедельный курс, разрабатываемый факультетом непрерывного образования Оксфордского университета.

http://rigb.org/education/games/microsites/microsite-number-mysteries Здесь содержатся мои рождественские лекции, прочитанные в 2006 г. в Королевском институте. На этом сайте имеется немало флеш-игр – задача коммивояжера, шифры, которые требуется взломать, и многое другое.

http://people.maths.ox.ac.uk/dusautoy Моя домашняя страница, там вы можете найти избранные материалы из математических журналов и средств массовой информации.

www.simonyi.ox.ac.uk Официальный сайт занимающего должность профессора Симони в Оксфордском университете, учрежденную для популяризации науки. На этом сайте имеется список событий, в которых я собираюсь принять участие.

http://twitter.com/MarcusduSautoy Присоединяйтесь к моему твиттеру.

www.mangahigh.com Разрабатываемая мной онлайновая математическая школа, содержащая бесплатные онлайн-игры и ресурсы для помощи в захватывающем постижении математики.

www.whatevertrevor.com Разрабатываемая мной бесплатная футбольная игра. Используйте свои математические способности, чтобы попытаться предсказать положение команд в итоговой таблице Премьер-лиги в следующем сезоне, и вы можете выиграть денежный приз!

www.claymath.org Веб-сайт математического Института Клэя, где содержится математическое описание задач на миллион долларов.

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history Замечательный ресурс с биографиями математиков, созданный Сент-Эндрюсским университетом.

http://mathworld.wolfram.com Хороший сайт с более формальными определениями и объяснениями математического материала.

http://www.maths.ox.ac.uk/study-here/undergraduate-study/outreach/marcus-marvellous-mathemagicians Могущественные матемаги Маркуса, или сокращенно М3, – команда оксфордских студентов, способствующих распространению математического знания. М3 проводит семинары, организует лекции по математике для самых разнообразных аудиторий.

Издательство не несет ответственности за содержание какого-либо из упомянутых сторонних сайтов.

 

Глава 1

Любопытный случай никогда не заканчивающихся простых чисел

 

1, 2, 3, 4, 5… Это кажется так просто: прибавьте 1, и вы получите следующее число. Но, несмотря на эту простоту, без чисел мы оказались бы в полном неведении. Кто победил в противостоянии «Арсенал» – «Манчестер Юнайтед»? Мы не знаем. Выступление каждой команды характеризуется множеством чисел. Где-то в середине этой книги говорится о выигрыше в Британской национальной лотерее. А сама лотерея? Участие в ней было бы безнадежным без чисел. Поразительно, насколько существен язык чисел для нашего взаимодействия с миром.

Даже в животном царстве числа фундаментальны. Стаи животных принимают решение сражаться или обращаться в бегство, исходя из того, превосходят ли они численностью соперничающие стаи. Их инстинкт выживания связан с математическими способностями, но за очевидной простотой списка чисел лежит одна из величайших тайн математики.

2, 3, 5, 7, 11, 13… Это неделимые простые числа, кирпичики, из которых строятся все остальные числа, – кислород и водород в мире математики. Эти главные герои нашего рассказа подобны драгоценным камням, рассеянным в бесконечном пространстве чисел.

Однако, несмотря на свою важность, простые числа представляют одну из самых мучительных головоломок, с которыми мы столкнулись в нашем поиске знания. Нахождение простых чисел представляется совершенной тайной – по-видимому, нет волшебной формулы, которая бы позволила перейти от предыдущего к следующему. Они напоминают спрятанный клад – и ни у кого нет карты сокровищ.

В этой главе мы исследуем то, что знаем об этих особых числах. В ходе нашего путешествия мы выясним, как различные культуры пытались регистрировать и исследовать простые числа, как музыканты обыгрывали их синкопированный ритм. Мы узнаем, почему простые числа использовались в попытках связи с внеземными цивилизациями и как они помогают хранить секреты в интернете. В завершение главы я посвящу вас в математическую загадку, касающуюся простых чисел. Ее решение принесет вам миллион долларов. Но, прежде чем мы займемся одной из величайших головоломок математики, давайте начнем с одной из величайших числовых тайн нашеговремени.

 

Почему Бекхэм выбрал номер 23?

Переход Дэвида Бекхэма в 2003 г. в мадридский «Реал» сопровождался множеством предположений, почему он решил играть в футболке с номером 23. Многие находили этот выбор странным, ведь до того он играл под номером 7 и за сборную Англии, и за «Манчестер Юнайтед». Беда была в том, что в «Реале» футболку с этим номером носил Рауль, и испанец не собирался отдавать ее гламурному мальчику из Англии. Было выдвинуто множество теорий, чтобы объяснить выбор Бекхэма. Самой популярной из них была теория Майкла Джордана. Мадридский «Реал» хотел прорваться на американский рынок, чтобы продавать копии футболок огромному американскому населению. Но футбол (или «соккер», как они привыкли называть его) не слишком популярен в США. Американцы любят баскетбол или бейсбол, игры, которые могут завершаться со счетом 100: 98 и в которых всегда есть победитель. Они не видят смысла в состязании, которое длится 90 минут, но может закончиться со счетом 0: 0, когда нет ни голов, ни победителей. Согласно упомянутой теории, мадридский «Реал» провел исследование и выяснил, что со всей определенностью самым популярным баскетбольным игроком в мире был Майкл Джордан. Наиболее результативный игрок «Чикаго Буллз» на протяжении всей своей карьеры красовался с номером 23. Все, что требовалось «Реалу», – нанести номер 23 на спину футболки и скрестить пальцы на счастье, надеясь, что сработает волшебная ассоциация с Джорданом, которая поможет им прорваться на американский рынок.

Другие находили подобные домыслы слишком циничными, но сами предлагали более зловещую теорию. Юлий Цезарь был убит 23 ударами кинжала в спину. Был ли выбор Бекхэма для надписи на спине дурным предзнаменованием? Были и те, кто считал, что предпочтение Бекхэма было обусловлено его любовью к «Звездным войнам» (в первом фильме этой саги принцесса Лея была заключенной в блоке АА23). Или же Бекхэм был тайным членом секты дискордианистов? В этом современном культе почитается хаос, и он каббалистически одержим числом 23.

Но, как только я увидел номер Бекхэма, мне в голову пришло более приемлемое математическое обоснование. 23 – простое число. Число называется простым, если оно делится лишь на себя и на 1. Числа 17 и 23 – простые, ведь они не могут быть записаны в виде произведения меньших чисел, в то время как 15 не является простым: 15 = 3 × 5. Простые числа наиболее важны в математике, потому что все остальные целые числа получаются перемножением простых.

Возьмите, к примеру, число 105. Оно с очевидностью делится на 5, и мы можем записать 105 = 5 × 21. 5 – простое неделимое число, но 21 таковым не является: оно представимо в виде 3 × 7. Итак, мы можем записать 105 = 3 × 5 × 7. Мы дошли до предела, до простых чисел, из которых строится 105. Я могу поступить так с любым числом, ведь оно либо является простым и неделимым, либо оно не является простым и разбивается в произведение простых чисел.

Все числа строятся из простых. Подобно тому как молекулы состоят из атомов, например водорода, кислорода, натрия или хлора, числа строятся из простых чисел. В мире математики числа 2, 3, 5 аналогичны водороду, гелию и литию. Именно это делает их наиболее важными числами в математике. Но, безусловно, они были важны и для мадридского «Реала».

Рис. 1.01

Когда я начал более пристально изучать футбольную команду «Реал», у меня возникло подозрение, что у них на скамейке запасных был математик. Беглый анализ показал, что во время перехода Бекхэма все Galácticos, ключевые игроки мадридцев, играли в футболках с простыми числами: у Карлоса (фундамента обороны) был номер 3, у Зидана (бывшего душой игры в центре поля) – номер 5, у Рауля и Роналдо (на них строилось нападение «Реала») – номера 7 и 11.

Футбольная игра в простые числа

Скачайте PDF-файл для этой игры с веб-сайта «Тайн 4исел». Каждый из игроков вырезает из бумаги трех футболистов и пишет на их спинах три различных простых числа. Используйте для игры один из Платоновых футбольных мячей из главы 2 (с. 63).

Матч начинается с игрока команды 1. Цель игры состоит в том, чтобы пройти трех футболистов соперника. Соперник выбирает первого игрока, чтобы попытаться остановить футболиста команды 1. Затем подкидывается Платонов футбольный мяч, который служит игральной костью. На ней шесть граней: белые с числами 3, 5 и 7, а также черные с числами 3, 5 и 7. Выпавшее число на кости скажет найти остаток от деления номера вашего игрока и игрока соперника на 3, 5 или 7. Если выпало число с белой грани, то вам необходимо, чтобы ваш остаток был равен остатку соперника либо больше его. Если выпала черная грань, то требуется, чтобы остаток был равен остатку соперника либо меньше его.

Чтобы забить гол, необходимо пройти трех игроков соперника, а затем сыграть против случайного простого числа, выбранного вашим оппонентом. Если на каком-то из этапов вы уступаете сопернику, игра переходит к нему. Другая команда использует игрока, остановившего вашу команду, чтобы попытаться дойти до ваших ворот. Если при ударе по воротам (то есть игры против случайного простого числа) команда 1 промахивается, то в игру вступает любой выбранный игрок команды 2. Матч может играться определенное время либо до 3 забитых голов.

И пожалуй, было неизбежным, что Бекхэм получил простое число, к которому он впоследствии сильно привязался. Когда он перешел в «Лос-Анджелес Гэлакси», то настоял, чтобы у него было его простое число, чтобы оно помогло заинтересовать американскую публику этой прекрасной игрой.

Такие слова математика могут звучать совершенно иррационально, ведь предполагается, что его мышление должно быть логическим и аналитическим. Однако я также играю в футболке с простым числом за мою команду Recreativo Hackney. Так я ощущаю связь с человеком под номером 23. Моя команда, выступающая в Воскресной лиге, не такая большая, как «Реал». И у нас нет номера 23, поэтому я выбрал 17 – довольно хорошее простое число, как мы увидим позже. Но свой первый сезон наша команда отыграла не особенно хорошо. Мы играем в дивизионе 2 лондонской Супервоскресной лиги, и в том сезоне мы обосновались на самом дне. К счастью, это самый низкий дивизион в Лондоне, и наш единственно возможный путь – наверх. Но как улучшить наше положение в лиге? Быть может, «Реал» нашел рецепт и игра в футболках с простыми числами дает некоторое психологическое преимущество. Наверное, у слишком многих из нас были неправильные номера, вроде 8, 10 или 15. Я убедил команду поменять экипировку на следующий сезон, и все мы выходили с простыми числами: 2, 3, 5, 7 и так далее, вплоть до 43. Это преобразило нас. Мы перешли в дивизион 1, где быстро поняли, что простые числа могут помогать на протяжении лишь одного сезона. Мы вылетели обратно в дивизион 2. Сейчас мы находимся в поисках другой математической теории, чтобы улучшить наши шансы.

 

Должен ли вратарь мадридского «Реала» играть в футболке с номером 1?

Если ключевые игроки мадридского «Реала» щеголяют с простыми числами, какую футболку должен носить их вратарь? Или, если выразиться математически, является ли число 1 простым? Что же, и да и нет. (Это как раз такой тип математического вопроса, который нравится всем – оба ответа будут верны.) Двести лет назад таблицы простых чисел начинались с 1. В конце концов, оно неделимо, ведь единственное целое число, на которое оно делится, – это оно само. Но сегодня мы говорим, что 1 не является простым числом, ведь самое важное в свойствах простых чисел – то, что на их основе строятся другие числа. Если я умножу какое-либо число на простое число, то получу новое число. Хотя 1 не делится без остатка на другие целые числа, если я умножу число на 1, то получу то же самое число, с которого я стартовал. На этом основании мы исключаем 1 из списка простых чисел и начинаем его с 2.

Очевидно, мадридский «Реал» не первым раскрыл могущество простых чисел. Но у какой из культур был приоритет? У древних греков? Китайцев? Египтян? Как оказалось, в открытии простых чисел математиков опередило странное небольшое насекомое.

 

Почему американскому виду цикады нравится простое число 17?

В лесах Северной Америки живет вид цикады с очень необычным жизненным циклом. На протяжении 17 лет эти цикады прячутся под землей и почти ничем не проявляют себя, разве что присасываются к корням деревьев. Но затем, в мае 17-го года, они появляются на поверхности в огромных количествах и вторгаются в лес: их число на каждом акре (0,4 гектара) доходит до миллиона.

Цикады громко распевают, пытаясь привлечь пару. Все вместе они поднимают такой шум, что местные жители зачастую уезжают во время этого вторжения, повторяющегося раз в 17 лет. Боб Дилан услышал эту какофонию цикад, оккупировавших леса вокруг Принстона, когда получал почетную степень университета в 1970 г. Это вдохновило его на написание песни «День цикад» (Day of the Locusts).

Привлекшие самцов самки после оплодотворения откладывают около 600 яиц на поверхности. По прошествии 6 недель буйства все цикады умирают, и лес снова затихает на 17 лет. Вылупление следующего поколения цикад происходит в середине лета, личинки падают на лесную почву и погружаются в нее, пока не находят подходящий корень для питания. Затем они ждут следующие 17 лет до наступления очередного великого вторжения цикад.

То, что цикады могут отсчитать прошествие 17 лет, – совершенно замечательное достижение биологической инженерии. Случаи, когда какая-либо цикада появляется годом раньше или годом позже, крайне редки. Ежегодный цикл, которого придерживаются большинство животных и растений, обусловлен вариациями температуры и сменой времен года. И по-видимому, ничто в природе не учитывает то обстоятельство, что Земля совершила 17 оборотов вокруг Солнца, чтобы побудить этих цикад к появлению.

Для математика самая любопытная особенность состоит в выборе числа: ведь 17 – простое число. Является ли всего-навсего совпадением то, что цикады проводят под землей простое число лет? По-видимому, нет. Есть вид цикад, который скрывается под землей 13 лет, а также другой вид, с 7-летним циклом. Все это простые числа. Довольно удивительно, что если цикада с 17-летним циклом появляется слишком рано, то сдвиг уже будет не на год, а обычно на 4 года, тем самым происходит переключение на 13-летний цикл. Кажется, в простых числах есть что-то, способствующее всем этим разновидностям цикад. Но что же это?

Хотя ученые и не пришли к окончательным выводам, имеется математическая теория, которая объясняет склонность цикад к простым числам. Сперва несколько фактов. В лесу может быть только один выводок цикад, так что объяснение не касается совместного использования ресурсов несколькими выводками. Почти каждый год где-либо в Соединенных Штатах появляется выводок цикад с циклом, составляющим простое число лет. Но в 2009 и 2010 гг. цикад не было. Напротив, в 2011 г. на юго-востоке США было массивное нашествие цикад с 13-летним циклом. (Кстати, 2011 является простым числом, но все же я не думаю, что цикады настолько умны.)

Лучшая на сегодняшний день теория простых чисел, лежащих в основе цикла цикад, исходит из возможного существования хищника, который также периодически появляется в лесу. Появление хищника приходится на время нашествия цикад, и он пирует, поедая насекомых. Но тут в дело вступает естественный отбор, потому что цикады, которые регулируют свою жизнь, исходя из цикла, составляющего простое число лет, будут значительно реже сталкиваться с хищниками, чем цикады с жизненным циклом, не представляющим простое число.

Предположим, например, что хищники появляются каждые 6 лет. Цикады с 7-летним циклом будут совпадать с хищниками лишь раз в 42 года. В отличие от них цикады с 8-летним циклом будут появляться одновременно с хищниками каждые 24 года; у цикад же с 9-летним циклом совпадение будет еще чаще – каждые 18 лет.

Рис. 1.02. Взаимодействие на протяжении 100 лет между популяциями цикад с 7-летним жизненным циклом и хищников с 6-летним

Рис. 1.03. Взаимодействие на протяжении 100 лет между популяциями цикад с 9-летним жизненным циклом и хищников с 6-летним

В лесах Северной Америки было, по-видимому, настоящее соревнование, чтобы найти наибольшее простое число. Цикады настолько преуспели в этом, что хищники либо вымерли, либо переселились, оставив цикад с их странным жизненным циклом в простое число лет. Но, как мы вскоре увидим, не только цикады научились использовать синкопированный ритм простых чисел.

Цикады против хищников

Скачайте PDF-файл с веб-сайта «Тайн 4исел». Вырежьте хищников и два семейства цикад. Положите хищников на годы, кратные 6. Каждый игрок берет по семейству цикад. Возьмите три обычные игральные кости с шестью гранями. Сумма чисел, выпавших на трех игральных костях, определит, как часто появляется ваше семейство цикад. Так, если у вас выпало 8, поместите цикаду на каждое число, кратное 8. Но, если на данном месте уже есть хищник, вы не можете разместить там цикаду, например, не можете положить цикаду на 24, потому что это число уже занято хищником. Победителем будет игрок с наибольшим числом цикад на поле. Вы можете модифицировать игру, изменив периодичность, с которой появляется хищник, то есть вместо 6 выбрать другое число.

 

Отчего простые числа 17 и 29 являются ключом к концу времени?

Во время Второй мировой войны французский композитор Оливье Мессиан был заключенным в концентрационном лагере VIII-A. Среди его сотоварищей были кларнетист, виолончелист и скрипач. Он решил сочинить музыку для квартета – сам он собирался играть на фортепиано. Результатом было одно из величайших музыкальных произведений XX в.: Quatour pour la fin du temps – «Квартет на конец времени». Впервые оно было исполнено для заключенных и надзирателей в концлагере VIII-A. Мессиан играл на расшатанном пианино, которое нашлось в лагере. В первой части, названной «Литургия кристалла», Мессиан хотел создать ощущение нескончаемого времени. Для этого замысла ключевыми оказались простые числа 17 и 29. В то время как скрипка и кларнет обменивались музыкальными темами, представляющими пение птиц, виолончель и фортепиано придавали ритмическую структуру. Партия фортепиано представляет собой ритмическую последовательность из 17 нот, повторяющуюся снова и снова, а накладывающаяся на нее струнная партия содержит период из 29 нот. Поэтому, когда 17-нотный ритм начинается во второй раз, струнная последовательность приближается к двум третям. Результатом выбора простых чисел 17 и 29 является то, что совместная мелодия фортепиано и виолончели начинает повторяться в произведении лишь спустя 17 × 29 нот.

Именно эта постоянно меняющаяся музыка создает ощущение нескончаемости, к которому стремился Мессиан, – и он использует тот же трюк, что и цикады в их противостоянии с хищниками. Представьте, что цикады – это фортепиано, а хищники – виолончель. Различные простые числа 17 и 29 рассинхронизируют эти два инструмента, и произведение заканчивается до того, как музыка начинает повторяться.

Рис. 1.04. «Литургия кристалла» из «Квартета на конец времени» Мессиана. Первая вертикальная линия показывает окончание ритмической последовательности из 17 нот. Вторая линия обозначает конец 29-нотной гармонической последовательности

Мессиан был не единственным композитором, прибегавшим к простым числам в музыке. Использование простого числа было отличительной особенностью Альбана Берга. Как и Дэвид Бекхэм, Берг щеголял числом 23 – можно сказать, был одержим им. Например, в его «Лирической сюите» 23-тактная последовательность определяет структуру произведения в целом. Но также в нем представлен роман, который был у Берга с богатой замужней женщиной. Образ его любовницы создается 10-тактной последовательностью, которая переплетается с характеризующей Берга 23-тактной. Так комбинация математики и музыки воплощает его любовную связь.

Подобно использованию простых чисел Мессианом в «Квартете на конец времени», математика недавно была применена для создания произведения, которое хотя и не является нескончаемым, но повторится лишь спустя тысячу лет. Джем Файнер, один из основателей группы The Pogues, решил создать в лондонском Ист-Энде музыкальную инсталляцию, которая повторится лишь с началом следующего тысячелетия, в 3000 г.

Это произведение называется подобающим образом: Longplayer («Долгоиграющее»).

Сначала Файнер создал музыкальное произведение, в котором звучат тибетские поющие чаши и гонги разного размера. Длительность исходной музыки 2 минуты 20 секунд. Но, используя различные уловки, подобные мессиановским, Файнер растянул ее до 1000 лет. Шесть копий исходного произведения проигрываются одновременно, но с разной скоростью. Помимо этого, каждая из дорожек смещается через 20 секунд на заданный интервал. Величина этой сдвижки разная для разных дорожек. Математика используется именно для того, чтобы рассчитать такую величину смещения, чтобы музыка начала повторяться спустя 1000 лет.

Вы можете послушать Longplayer, если посетите http://longplayer.org .

Не только музыканты одержимы простыми числами: они, по-видимому, задевают струну, которая объединяет многих творцов в различных областях искусства. Писатель Марк Хэддон использовал только простые числа для нумерации глав в своем бестселлере «Загадочное ночное убийство собаки» (The Curious Incident of the Dog in the Night-Time). Рассказчик в этом романе – подросток Кристофер, страдающий синдромом Аспергера. Кристофер любит математический мир, потому что он подвластен разуму и его логика не таит в себе сюрпризов. В противоположность этому мир человеческих отношений настолько полон неопределенностей и алогичных поворотов, что Кристофер не может с ним справиться. Как он объясняет: «Я люблю простые числа… Я думаю, что простые числа напоминают жизнь. Они крайне логичны, но в их правилах невозможно разобраться, даже если вы проведете всю свою жизнь в размышлениях о них».

Простые числа даже поучаствовали в фильмах. В футуристическом триллере «Куб» семь персонажей заперты в лабиринте комнат, который напоминает сложный кубик Рубика. Форма каждой из комнат соответствует кубу, в котором есть шесть дверей, ведущих к последующим комнатам. Фильм начинается с того, что герои просыпаются и понимают, что оказались в лабиринте. У них нет ни малейшего представления, как они там оказались, но им необходимо выбраться наружу. Беда в том, что в некоторых комнатах их ожидают коварные ловушки. Героям необходимо каким-то образом предсказать до того, как они войдут в комнату, безопасна ли она. Иначе им будет уготована та или иная ужасная смерть: они могут быть сожжены заживо, облиты кислотой, разрезаны на крошечные кубики. Герои фильма выясняют это после того, как один из них был убит.

Среди действующих лиц есть знаток математики – Джоан, которая внезапно понимает, что числа у входа в каждую комнату определяют, находится ли за дверью ловушка. По всей видимости, если среди чисел у входа в комнату есть простое, то в ней таится опасность. «Ты – светлая голова», – говорит Джоан предводитель группы, услышав об этой математической дедукции. Однако выясняется, что оказавшимся в лабиринте нужно также опасаться степеней простых чисел, что превосходит возможности сообразительной Джоан. Вместо нее действующим лицам нужно надеяться на другого товарища по несчастью – аутистичного таланта. В конце только он выходит из лабиринта живым.

Как открыли цикады, знание математики является ключом к выживанию в этом мире. Любому учителю математики, столкнувшемуся с проблемами мотивации своих учеников, можно рекомендовать рассказ о кровавых смертях в «Кубе» в качестве действенной пропаганды, чтобы заставить подопечных учить простые числа.

 

Почему писатели-фантасты любят простые числа?

Когда писатели-фантасты хотят, чтобы инопланетяне вступили в общение с землянами, они сталкиваются с определенными проблемами. Предполагают ли авторы, что инопланетяне настолько умны, что стремительно обучаются местному языку? Или они изобрели искусный автоматический переводчик наподобие Babel Fish? А может, литераторы полагают, что каждый во Вселенной говорит по-английски?

Одно из решений, к которому прибегает ряд авторов, состоит в использовании языка математики – единственного по-настоящему универсального языка. Его первые слова, который должен знать каждый, своего рода строительные кирпичики речи, – простые числа. В романе Карла Сагана «Контакт» Элли Эрроуэй, участвующая в программе ПВЦ (поиск внеземных цивилизаций), обнаруживает сигнал. Она вскоре понимает, что это не фоновый шум, а последовательность импульсов, которые являются двоичным представлением чисел. Когда она переводит их в десятичную систему счисления, то моментально понимает закономерность: 59, 61, 67, 71 – все эти числа простые. Разумеется, в продолжении сигнала также содержатся простые числа, и они доходят до 907. Это не может быть делом случая, заключает она. Кто-то говорит «привет».

Многие математики полагают, что, даже если на другом конце Вселенной имеется другая биология, другая химия или даже другая физика, математика будет одной и той же. Изучающий учебник математики житель планеты, вращающейся вокруг Веги, будет по-прежнему считать числа 59 и 61 простыми. Ведь, как выразился знаменитый кембриджский математик Г. Х. Харди, эти числа являются простыми «не потому, что мы так считаем, и не потому, что наше сознание сформировалось тем или иным образом, а потому, что так устроена математическая действительность».

Знание о простых числах объединяет Вселенную, но все же интересно задаться вопросом, рассказывают ли истории, подобные этой, в других мирах. То, как мы изучали эти числа на протяжении тысячелетий, привело к открытию нами ряда важных истин в отношении простых чисел. На каждом этапе данного пути мы видим отчетливый след той или иной культурной перспективы, замечаем математические лейтмотивы, соответствующие историческому периоду. Может ли статься так, что у других культур во Вселенной имеются другие перспективы, делающие очевидными им теоремы, еще не открытые нами?

Карл Саган не был первым, кто предложил использовать простые числа как средство общения, и не будет последним. Простые числа даже использовались НАСА при попытках установить контакт с внеземными цивилизациями. В 1974 г. с радиотелескопа Аресибо в Пуэрто-Рико было отправлено послание в направлении шарового звездного скопления М13, выбранного по причине огромного числа звезд в нем. Это увеличивает вероятность, что оно будет получено каким-то разумным существом.

Рис. 1.05. Послание, отправленное радиотелескопом Аресибо, в направлении звездного скопления М13

Послание состояло из последовательности 0 и 1, кодирующих черные и белые пиксели рисунка. На реконструированном изображении показано двоичное представление чисел от 1 до 10, схема строения ДНК, описание нашей Солнечной системы и эскиз самого радиотелескопа Аресибо. Принимая во внимание, что во всем послании лишь 1679 пикселей, изображение не слишком-то детально. Но выбор числа 1679 был намеренным, потому что в нем содержится ключ к расположению пикселей. 1679 = 23 × 73, поэтому существует лишь два способа расположения пикселей в виде прямоугольника. Если их разместить в 23 ряда и 73 колонки, то получится хаотичный рисунок, но расположите их другим способом – в 73 ряда и 23 колонки, и получится правильный результат. Звездное скопление М13 находится от нас на расстоянии 25 000 световых лет, поэтому ответ придет не раньше чем через 50 000 лет!

Хотя простые числа универсальны, способ их записи сильно менялся на протяжении истории математики. Он культурно зависим, что сейчас и проиллюстрирует наше стремительное путешествие по планете.

 

Какое это простое число?

Рис. 1.06

Некоторые из первых математических вычислений в нашей истории были сделаны в Древнем Египте. Вот так египтяне записывали число 200 201. Уже около 6000 г. до н. э. люди начали отказываться от кочевой жизни и селиться в долине Нила. С развитием египетского общества у него возникла потребность в числах, чтобы вести учет налогов, измерять земельные участки и строить пирамиды. Как и для своего языка, египтяне использовали иероглифы для записи чисел. У них уже была развита числовая система, основанная на степенях 10, как и в той десятичной системе, которая используется нами. (Этот выбор основан не на каком-то особом математическом значении данного числа, а на том анатомическом факте, что у нас десять пальцев.) Но им еще нужно было изобрести позиционную систему, то есть такой способ записи чисел, когда положение каждой цифры соответствует той степени 10, которую она считает. Например, цифры 2 в числе 222 соответствуют различным величинам в зависимости от их места. Вместо этого египтяне предпочли создать новые символы для каждой степени 10:

Рис. 1.07. Древнеегипетские символы для степеней 10. 10 –это стилизованная пяточная кость, 100 –кольцо веревки, 1000 изображает лотос

200 201 может быть довольно кратко записано таким способом. Но лишь попытайтесь записать простое число 9 999 991 с помощью иероглифов: вам понадобится 55 символов. Хотя египтяне не осознавали важность простых чисел, у них была разработана довольно сложная математика, включающая – что неудивительно – формулу для объема пирамиды и понятие дробей. Но их числовая система была не очень-то изощренной – в отличие от системы, используемой их соседями, вавилонянами.

Рис. 1.08

Так древние вавилоняне записывали число 71. Вавилонская империя, подобно Египетской, была сосредоточена вблизи главной реки – Евфрата. С 1800 г. до н. э. вавилоняне контролировали значительную часть современных Ирака, Ирана и Сирии. Для расширения своей империи и управления ею им пришлось мастерски овладеть обращением с числами. Их записи велись на глиняных табличках, и писцы использовали деревянные палочки, или стилосы, чтобы делать отметки на сырой глине, которая потом высушивалась. Кончик стилоса имел форму клина, и вавилонское письмо теперь известно как клинопись.

Около 2000 г. до н. э. вавилоняне одними из первых пришли к идее использования позиционной системы счисления. Однако они использовали не основание 10, как египтяне, а 60. У них были различные символы для обозначения чисел от 1 до 59, а когда они доходили до 60, то начинали слева новый разряд «шестидесятков», подобно тому как мы ставим слева цифру 1 в разряде десятков, когда число становится больше 9. Итак, простое число, показанное выше, состоит из одного «шестидесятка» и символа, обозначающего 11, что вместе дает 71. У чисел от 1 до 9 имеется скрытая связь с десятичной системой, потому что они представляются горизонтальными линиями, но затем 10 представляется своим символом (рис. 1.09):

Рис. 1.09

Выбор основания 60 для системы счисления значительно более обоснован математически, чем 10. Ведь у числа 60 много делителей, что делает его удобным для проведения вычислений. Например, если у меня 60 бобов, я могу разделить их множеством способов:

60 = 30 × 2 = 20 × 3 = 15 × 4 = 12 × 5 = 10 × 6.