Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Стюарт Иэн

Глава 9. Примеры в природе

 

 

Формулирование физических законов

Самым важным посланием в «Началах» Ньютона являются не собственно открытые и использованные им законы, но общая идея, что таковые существуют, а также очевидность того, что их можно моделировать математически с помощью дифференциальных уравнений. И в то время как английские математики увязали в бесплодных инсинуациях вокруг предполагаемого (и надуманного) похищения Лейбницем идей Ньютона по поводу исчисления, их коллеги на континенте плодотворно продвигали эти идеи в жизнь, делая важные открытия в изучении механики небесных тел, сопротивления материалов, гидродинамики, а также природы тепла, света и звука – самой основы математической физики. Многие уравнения, полученные в те годы, применяются до сих пор, несмотря на несомненные достижения физики как науки, – а может, как раз благодаря им.

 

Дифференциальные уравнения

Прежде всего математики сосредоточились на поиске четких формул для решения частных типов самых простых дифференциальных уравнений. И в некотором смысле это было неудачным шагом: как правило, формул для таких типов уравнений просто не существует. В итоге внимание оставалось прикованным скорее к уравнениям, которые можно решить с помощью формул, нежели к тем, которые точно описывают законы природы. Хороший пример – дифференциальное уравнение движения маятника, принимающее форму:

с соответствующей константой k, где t – время, а θ – угол отклонения маятника (при θ = 0 он принимает вертикальное положение). Для этого уравнения не существует решения в виде классических функций (многочленных, экспоненциальных, тригонометрических, логарифмических и т. д.). Но есть решение с использованием эллиптической функции, найденное век спустя. Однако если предположить, что угол сколько угодно мал, и мы видим, что маятник совершает совсем небольшие колебания, sin θ становится практически равен θ, и чем меньше угол θ, тем точнее приближение. А значит, дифференциальное уравнение можно заменить таким:

в итоге получим формулу для решения:

θ = A sin kt + B cos kt

для констант A и B, определяющих начальное положение и угловую скорость маятника.

Этот подход имеет ряд преимуществ: например, мы можем легко определить, что период колебаний маятника – время, необходимое на его полное движение, – равен 2π/k. Главный недостаток с точки зрения математики в том, что решение делается неверным, когда θ становится достаточно большим (и здесь большим окажется даже угол в 20°, если мы хотим получить точный ответ). Тут уже возникает вопрос строгости: имеем ли мы тут случай, когда точное решение для приблизительного уравнения не противоречит приблизительному решению для точного? Ответ положительный, однако это удалось доказать только в 1900 г.

Второе уравнение можно решить точно, потому что оно линейное – содержит только первую степень неизвестной θ и ее производную, а коэффициенты – константы. Функция, которая является прототипом решения для всех линейных уравнений, – экспонента y = ex. Она удовлетворяет уравнению:

Таким образом, ex – собственная производная. Это свойство – одна из причин того, что логарифмы именно по основанию е принимаются как натуральные. Соответственно производная натурального логарифма ln x равна 1/x, а интеграл от 1/x равен ln x. Любое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами может быть решено с использованием экспоненциальных и тригонометрических функций (последние, как мы уже видели, на самом деле являются экспоненциальными, только замаскированы).

 

Типы дифференциальных уравнений

Различают два типа дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) имеют дело с неизвестной функцией y от одной переменной х, а также с различными производными от y, такими как dy/dx или d2y/d2x. До сих пор приведенные здесь примеры дифференциальных уравнений относились к обыкновенным. Гораздо более сложной, но и более важной для математической физики является идея дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП). Это уравнения, содержащие неизвестные функции от двух и более переменных, таких как f(x, y, t), где x и y – координаты на плоскости, а t – время. ДУЧП содержат эту функцию в выражении с частными производными относительно каждой переменной. Новое выражение используется для описания производных от одних переменных с учетом других, а все остальные остаются неизменными. Таким образом, ∂x/∂t показывает скорость изменения x во времени, а y остается константой. Это называется частной производной, отсюда и термин «дифференциальные уравнения в частных производных».

Эйлер представил ДУЧП на суд ученых в 1734 г., а д’Аламбер опубликовал ряд работ по ним в 1743 г., но большинство ранних исследований проходило за закрытыми дверями. Первый большой прорыв случился в 1746 г., когда д’Аламбер вернулся к старой проблеме – колебаниям струны. Иоганн Бернулли обсуждал численный метод конечных элементов в 1727 г., учитывая колебания конечного числа точечных масс, расположенных равноудаленно друг от друга вдоль невесомой струны. Д’Аламбер рассматривает непрерывную струну с однородной плотностью, применяя вычисления Бернулли для n масс и предполагая, что число n стремится к бесконечности. Таким образом, непрерывная струна рассматривалась как бесконечное множество бесконечно малых сегментов, соединенных вместе.

Исходя из результатов Бернулли, основанных на открытом Ньютоном законе движения, и сделав некоторые упрощения (например, что размер колебаний небольшой), д’Аламбер пришел к формуле ДУЧП:

где y = y (x, t) описывает форму струны в момент времени t как функцию горизонтальной координаты x. Здесь a – константа, определяемая по натяжению и плотности струны. В продолжение научного спора д’Аламбер доказал, что общее решение для ДУЧП имеет вид:

y ( x, t ) = f ( x + at ) + f ( x – at ),

где f периодична, причем период вдвое длиннее струны, и f – нечетная функция, т. е. f(–z) = –f(z). Эта формула удовлетворяет естественному граничному условию, что концы струны неподвижны.

 

Уравнение волны

Сегодня мы называем ДУЧП д’Аламбера волновым уравнением и интерпретируем его решение как суперпозицию симметрично расположенных волн, из которых одна движется со скоростью а, а вторая со скоростью – а (они перемещаются в противоположных направлениях). Это стало одним из самых важных уравнений в математической физике, потому что в природе волны встречаются повсюду, причем самые разные.

Эйлер ознакомился с работой д’Аламбера и тут же постарался улучшить ее. В 1753 г. он показал, что без граничных условий общее решение будет выглядеть так:

y ( x, t ) = f ( x + at ) + g ( x – at ),

где f и g периодичны, но не удовлетворяют никаким другим условиям. В частности, эти функции могут иметь различные формулы для разных областей x – особенность, которую Эйлер считал свойством функций, имеющих разрывы, хотя в современной терминологии они непрерывны, но имеют разрывную первую производную.

В более ранних работах, опубликованных в 1749 г., он указывал, что (для простоты мы принимаем, что длина струны равна единице) простейшие нечетные периодические функции являются тригонометрическими:

f ( x ) = sin x , sin 2 x , sin 3 x , sin 4 x …

и т. д. Эти функции представляют простые синусоидальные колебания с частотой 1, 2, 3, 4 и т. д. Эйлер утверждал, что общим решением здесь является наложение (суперпозиция) таких кривых. Базовая синусоида sin x является основной модой колебаний, а остальные будут более высокими модами, – в итоге получается то, что мы теперь называем гармониками.

Сравнение решений волнового уравнения, предложенных Эйлером и д’Аламбером, привело к фундаментальному кризису.

Д’Аламбер не признал возможности существования разрывных функций в интерпретации Эйлера. Более того, рассуждения Эйлера грешили одной нестыковкой, поскольку тригонометрические функции всегда непрерывны, и, следовательно, конечны наложения (суперпозиции) из них. Эйлер предпочел не углубляться в это противоречие между конечными и бесконечными суперпозициями. Впрочем, в те дни никто не был очень строгим в подобного рода вопросах и никто из ученых еще не ступил на этот сложный путь важности обоснования новых методов. Однако в итоге такое упущение привело к серьезным проблемам. На время разногласия утихли, пока новая работа Фурье не подлила масла в огонь.

Последовательность изображений волны, движущейся слева направо

Режимы колебаний струны

 

Музыка, свет, звук и электромагнетизм

Древним грекам было известно, что колебание струны может давать много разных музыкальных нот в зависимости от расположения узлов, или неподвижных точек. Для основной частоты неподвижными остаются только точки крепления. Если у струны есть узел посередине, получается нота на октаву выше, и чем больше таких узлов, тем выше частота ноты. Более высокие колебания называют обертонами.

Колебания скрипичной струны представляют собой стоячие волны: форма струны в любой момент времени остается неизменной, за исключением того, что она либо растягивается, либо сжимается под прямым углом к своей длине. Наибольшее растяжение – это амплитуда волны, которая физически определяет тон ноты. Форма волны наглядно изображается в виде синусоиды, а их амплитуды соответствуют изменению синусоиды во времени.

В 1759 г. Эйлер развил эти идеи, перейдя от струн к барабанам. И снова он вывел уравнение волны, описывающее продольные колебания барабанной мембраны во времени. Физической интерпретацией этого явления была закономерность, по которой ускорение отдельно взятой точки барабанной поверхности пропорционально среднему натяжению, полученному в результате совместного воздействия на этот участок соседних точек. Барабан отличается от струны не только количеством измерений (его поверхность – двумерная плоская мембрана), но и гораздо более интересными границами. Собственно, они здесь вообще играют решающую роль. Границей поверхности барабана может быть любая замкнутая кривая, и ключевым условием является ее фиксированность. Вся остальная поверхность барабана может двигаться, однако его обод надежно закреплен.

Математики XVIII в. были способны решить уравнения для колебаний мембраны барабанов разной формы. И снова они обнаружили, что любое колебание может быть составлено из более простых, и это дает нам уникальный набор разных частот. Самым простым случаем считается прямоугольный барабан, простейшие колебания которого являются комбинацией синусоидальных волн в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Более сложный случай – круговой барабан, который приводит к новым функциям – так называемым функциям Бесселя. Амплитуды этих волн всё еще представляют собой синусоиды, меняющиеся во времени, но их пространственная структура намного сложнее.

Уравнение волны очень важно для науки. Волны возникают не только в музыкальных инструментах, но и в физике света и звука. Эйлер открыл трехмерный вариант уравнения, который приложил к звуковым волнам. Примерно веком позже Джеймс Клерк Максвелл получил такое же математическое выражение из своих уравнений, описывающих электромагнитные волны, и предсказал существование радиоволн.

Колебания поверхности круглого барабана, а также настоящей гитары

 

Земное притяжение

Еще одна область приложения ДУЧП – притяжение, или теория потенциала. Главной движущей силой развития теории стало изучение силы тяжести – Земли и любой другой планеты. Ньютон представлял планеты как идеальные сферы, хотя их истинная форма ближе к эллипсоиду. И хотя сила притяжения к сфере одинакова с притяжением к точечной частице (для расстояний, выходящих за границы сферы), это нельзя сказать об эллипсоидах.

Колин Маклорен совершил важный рывок в этой области в удостоенном награды труде от 1740 г. «Трактат о флюксиях», изданном в 1742 г. Его первым шагом был поиск доказательства того, что если жидкость однородной плотности вращается с постоянной скоростью под влиянием своей силы тяжести, то наиболее равновесной формой обязательно будет сфероид – эллипсоид вращения. Затем он изучил силы притяжения, создаваемые таким сфероидом, но не очень успешно. Главным результатом было то, что если у двух эллипсоидов одинаковые фокусы и частица находится либо на экваториальной плоскости, либо на оси вращения, то сила притяжения любого сфероида будет пропорциональна их массе.

Эллипсоид

В 1743 г. Клеро продолжил работу над этой проблемой, опубликовав свой труд «Теория фигуры Земли, извлеченная из принципов гидростатики». Но настоящий прорыв совершил Адриен-Мари Лежандр. Он доказал основное свойство, характерное не только для сфероида, но для любого тела вращения. Если вам известна сила тяготения по всей длине оси вращения, вы можете вычислить ее в любой другой точке. Метод Лежандра позволял представить силы тяжести как интеграл в сферических полярных координатах. Умело обращаясь с этим интегралом, он выразил его величину как композицию сферических гармоник, которые определяются специальными функциями, получившими название многочленов Лежандра. В 1784 г. он продолжил работу в этой области, доказав много основных свойств открытых им многочленов. Фундаментальным ДУЧП в теории потенциала является уравнение Лапласа. Его можно найти в пятитомнике «Небесной механики», которую он начал издавать в 1799 г. Схожие идеи уже возникали у его предшественников, но именно Лаплас придал им четкость и завершенность. Уравнение имеет вид:

где V(x, y, z) – потенциал точки (x, y, z) в пространстве. Интуитивно он пришел к выводу, что величина потенциала в любой заданной точке составляет среднюю величину от размеров крошечной сферы вокруг нее. Уравнение действительно и вне границ тела: внутри него необходима модификация. Это выражение ныне известно как уравнение Пуассона.

 

Тепло и температура

Успехи в изучении звука и силы тяготения побудили математиков обратить взор и на другие физические явления. Одним из самых притягательных было тепло. В XIX в. наука о теплопередаче приобрела практичную основу, главным образом из-за нужд развивающейся металлообрабатывающей промышленности и благодаря возросшему интересу к внутренней структуре Земли, в частности температуре внутри планеты. Измерить напрямую температуру в областях, расположенных в тысячах километров под земной корой, тогдашними методами, конечно, было невозможно. Оставалось найти косвенные пути, основанные на знании того, как тепло распространяется в телах разной консистенции.

В 1807 г. Жозеф Фурье представил свой доклад о путях распространения тепла Французской академии наук, но его не утвердили из-за серьезных недоработок. Чтобы подтолкнуть ученого к дальнейшим исследованиям, Академия даже учредила к 1812 г. Большую премию за изучение теплопроводности. Поскольку о награде стало известно заранее, Фурье уже в 1811 г. успел оформить свои идеи в виде доклада на соискание премии и выиграл ее. Но его труд всё равно жестоко критиковали за недостаток логической строгости, и Академия не разрешила его публиковать в виде научной статьи. Фурье, в ярости из-за такого отношения, написал труд «Аналитическая теория тепла», изданный в 1822 г. Туда почти полностью и без изменений вошел доклад 1811 г., но было и много новых материалов. Наконец в 1824 г. ученого оценили по заслугам: он был избран секретарем Академии и уже без помех опубликовал в виде научной статьи свой доклад от 1811 г.

Первым шагом Фурье был вывод ДУЧП для описания теплопроводности. Там имелось множество упрощений и допущений: тело должно быть однородным (с одинаковыми свойствами по всему объему) и изотропным (его свойства не зависят от направления) и т. д. В итоге он получил выражение, которое теперь известно как уравнение теплопроводности. Оно описывает распределение температуры в любой точке трехмерного тела и в зависимости от времени. Уравнение теплопроводности очень похоже с виду на уравнение Лапласа и на волновое уравнение, но с частной производной по времени в первой степени, а не во второй. Это небольшое отличие очень важно для математики ДУЧП в целом.

Были выведены такие же уравнения для одномерных и двумерных тел (стержень и плоскость), полученные удалением переменной z (для двумерного тела) и y (для одномерного). Фурье решил уравнение теплопроводности для стержня (чью длину мы принимаем равной π), на концах которого сохраняется неизменная температура, с условием, что в момент времени t = 0 (начальное состояние) температура в точке x стержня принимает вид:

b 1 sin x + b 2 sin 2 x + b 3 sin 3 x + …

(выражение, полученное с помощью предварительных вычислений), и сделал вывод, что температуру должно описывать схожее, но более сложное выражение, где каждый член умножается на соответствующую экспоненциальную функцию. Аналогия с гармониками в волновом уравнении поразительна. Но там каждая мода задана обычной синусоидой, колеблется бесконечно с одинаковой амплитудой, а здесь каждая синусоидальная мода распределения температуры убывает экспоненциально по времени, и более высокие моды убывают быстрее.

КАК РАБОТАЮТ РЯДЫ ФУРЬЕ

Типичный пример разрывной функции – прямоугольная волна S ( x ), которая принимает значение 1, когда −π < x ≤ 0, и равна −1, когда 0 < x ≤ π, и имеет период 2π. Применив формулу Фурье к прямоугольной волне, мы получаем ряд S ( x ) = sin x + 1 / 3 sin 3 x + 1 / 5 sin 5 x + …

Синусоиды складываются, как мы видим на схеме ниже.

Представление с помощью ряда Фурье прямоугольной волны: вверху ее компоненты, синусоиды, внизу – их сумма

Хотя волна прямоугольной формы разрывная, каждое ее приближение будет непрерывно. Но по мере добавления всё б о льших членов ряда колебания растут, делая график рядов Фурье всё более крутым около точек разрыва. Здесь мы видим, как бесконечный ряд непрерывных функций может превратиться в разрывную функцию.

Причина такого различия в том, что в волновом уравнении энергия сохраняется, и поэтому колебание не затухает. А в уравнении теплопроводности тепло распространяется по всему стержню и теряется на его концах, потому что они охлаждаются.

Результатом работы Фурье стало то, что мы можем разложить начальное распределение температуры в ряд Фурье – сумму синусов и косинусов, похожую на приведенную выше формулу, а значит, способны немедленно описать, как тепло распространяется по телу со временем. Фурье считал очевидным, что такое выражение можно составить для любого начального распределения температуры, – и здесь-то начинались его неприятности. Мало кому из современников ученого было интересно, какое отношение теплопроводность имеет к волнам. Ее изучение казалось гораздо более сложным занятием.

Доводы Фурье в пользу возможности разложить функцию на синусы и косинусы были слишком сложными, запутанными и недостаточно строгими. Ему пришлось воспользоваться всеми разделами математики, чтобы в конце концов получить простые выражения для коэффициентов b1, b2, b3 и т. д. Обозначив начальное распределение температуры как f(x), он получил:

В 1777 г. Эйлер уже вывел эту формулу во время работы над волновым уравнением для звука и доказал ее с помощью мудрого наблюдения, заметив, что разные моды, sin mπx и sin nπx, являются ортогональными, т. е.

равен 0, если m и n – разные целые числа, не равные 0, т. е. на самом деле равен π/2, если m = n. Если предположить, что f(x) можно разложить в ряд Фурье, то, умножив обе стороны выражения на sin nx и проинтегрировав, мы избавимся от всех слагаемых, кроме одного, и в остатке получим формулу Фурье для bn.

 

Гидродинамика

Ни одно обсуждение ДУЧП в математической физике не будет полным без упоминания гидродинамики. И правда, эта область очень важна для практического применения, поскольку уравнения описывают, как вода обтекает подводные лодки или воздух – воздушные суда, и даже показывают сопротивление воздуха во время гонок «Формулы-1».

Эйлер сделал первые шаги в этой области в 1757 г., выведя ДУЧП для движения жидкости с нулевой вязкостью («липкостью»). Это уравнение остается в силе для некоторых жидкостей, но из-за излишней упрощенности не очень практично. Уравнения для вязких жидкостей вывел в 1821 г. Клод Навье, а потом их получил в 1829 г. Пуассон. Уравнения включают различные частные производные скорости движения жидкости. В 1845 г. Джордж Стокс вывел те же уравнения исходя из базовых физических принципов, и в итоге они получили название уравнения Навье – Стокса.

ЧТО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДАЛИ ИМ

Предложенная Кеплером модель эллиптических орбит была не так точна. Она была бы надежной в случае двух тел в Солнечной системе, но уже появление третьего начинает менять (нарушать) эллиптическую орбиту. Огромные расстояния между планетами несколько смягчают это воздействие, отчего большинство орбит всё же остаются близкими к эллипсам. Но Юпитер и Сатурн ведут себя очень странно: то замедляются и не попадают вовремя в ожидаемую точку, то, наоборот, делают рывок вперед, опережая график. Этот эффект возникает из-за их взаимного притяжения, а также из-за притяжения к Солнцу.

Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, не ограничивает число тел в системе, но вычисления по его формуле очень сложны, если тел три или больше. В 1748, 1750 и 1752 гг. Французская академия наук учреждала премии за точный расчет орбит движения Юпитера и Сатурна. В 1748 г. Эйлер с помощью дифференциальных уравнений описал, как притяжение Юпитера воздействует на орбиту Сатурна, и получил премию. Он повторил попытку в 1752 г., но на сей раз в его работу вкралось несколько серьезных ошибок. Однако идеи, заложенные им в основу метода в целом, оказались весьма полезны.

Юпитер и Сатурн, изображенные вместе

СОФЬЯ ВАСИЛЬЕВНА КОВАЛЕВСКАЯ 1850–1891

Софья Ковалевская была дочерью генерала артиллерии и могла гордиться благородным происхождением. Но случилось так, что стены ее детской были обклеены страницами лекции по математическому анализу. В 11 лет ее впервые заинтересовали странные обои, и девочка сама научилась основам исчисления. Она всерьез заинтересовалась математикой, предпочтя ее всем прочим наукам. Отец пытался воспрепятствовать такому странному увлечению, но ничего не смог поделать: девочка читала книги по алгебре, когда родители спали. Чтобы получить свободу передвижения и продолжить образование, ей пришлось выйти замуж, однако брак не был удачным. В 1869 г. она начала изучать математику в Гейдельберге, но, поскольку в этот университет не принимали женщин, Софья ценой немалых усилий получила разрешение слушать курсы лекций неофициально. Продемонстрировав недюжинный математический талант, в 1871 г. она перебралась в Берлин, где ее наставником стал выдающийся аналитик Карл Вейерштрасс. И снова ей не удалось стать полноправной студенткой, но Вейерштрасс давал ей частные уроки.

Она занималась собственными исследованиями, и к 1874 г. Вейерштрасс решил, что ее работа достойна докторской степени. Софья написала три статьи: о ДУЧП, эллиптических функциях и кольцах Сатурна. В тот же год ученая была удостоена докторской степени от Университета Гёттингена. Статья о ДУЧП опубликована в 1875 г.

В 1878 г. у Софьи родилась дочь, но уже в 1880 г. она вернулась в математику и стала изучать рефракцию света. В 1883 г. ее муж, с которым они давно жили раздельно, покончил с собой, а Софья всё глубже погружалась в математику в надежде заглушить чувство вины. Она получила место преподавателя в Стокгольмском университете в 1884 г. и читала там лекции. В 1889 г. она стала третьей женщиной, которой предложили стать профессором в европейском университете, после Марии Аньези (так и не решившейся занять этот пост) и физика Лауры Басси. Здесь Софья провела исследование о вращении твердого тела, выдвинула свою работу на конкурс, объявленный Академией наук в 1886 г., и выиграла. Жюри так восхитилось ее блестящей работой, что даже увеличило денежный приз. Следующая работа в той же области получила премию Шведской академии наук, а также стала поводом для избрания ее членом Императорской Санкт-Петербургской академии наук.

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Мы посвятим этот раздел двум самым важным вкладам в применение ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнений) в механике. В 1788 г. Лагранж опубликовал свою «Аналитическую механику», с гордостью отметив во вступлении:

В этой работе нет чертежей. Излагаемые мною методы не требуют построений, геометрических или механических рассуждений, а только алгебраических действий, подчиненных регулярному и единообразному ходу.

К тому времени стали очевидны ловушки и недостатки наглядных доказательств, и Лагранж задался целью не прибегать к ним. Теперь схемы и рисунки снова были в деле, подкрепленные неопровержимой логикой и доказательствами, но упорство Лагранжа, решившего описать законы механики только формулами, дало бесценный толчок развитию новой области знаний. Любая система может быть описана с помощью самых разных переменных. Например, для маятника обычная координата – угол его отклонения, но расстояние по горизонтали от него до вертикали ничем не хуже.

Скорость глобального ветра и колебания температуры, вычисленные по расширенной версии уравнений Навье – Стокса

Уравнения движения могут выглядеть совершенно по-разному в различных системах координат, и Лагранжу это казалось неэлегантным. Он нашел способ так переписать их, что они становились схожими для любой системы координат. Первым его изобретением стали парные координаты. Для каждой координаты q (такой, например, как угол отклонения маятника) существовала соответствующая ей координата скорости (угловая скорость движения маятника). Если имеется k координат положения, то будет и k координат скорости. Вместо дифференциальных уравнений второго порядка Лагранж вывел уравнения первого порядка по положению и скорости. Он сформулировал это в терминах величины, сейчас называемой лагранжианом.

Уильям Гамильтон развил идеи Лагранжа, сделав их еще более элегантными. Физически он использовал импульс вместо скорости, чтобы определить дополнительные координаты. Математически он вычислил величину, известную сейчас как гамильтониан, или функция Гамильтона, которую можно интерпретировать – для многих систем – как энергию. В теоретических работах по механике, как правило, используется формализм Гамильтона, оказавшийся актуальным и для квантовой механики.

ЧТО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДАЮТ НАМ

Между волновым уравнением и современными радио и телевидением есть самая прямая связь.

Примерно в 1830 г. Майкл Фарадей занялся экспериментами по электричеству и магнетизму, исследуя возникновение магнитного поля под воздействием электрического тока и появление электрического поля при движении магнита. Современные генераторы и электромоторы – прямые потомки сконструированных им аппаратов. В 1864 г. Джеймс Клерк Максвелл преобразовал выкладки Фарадея в математические уравнения, описывающие электромагнетизм, – уравнения Максвелла . Это были ДУЧП, относившиеся к явлениям электричества и магнетизма.

Простой вывод из уравнений Максвелла приводит нас к волновому уравнению. Этот расчет показывает, что электрическое и магнитное поля могут передвигаться вместе, подобно волне, со скоростью света. А что движется с такой скоростью? Свет! А значит, свет – электромагнитная волна. Уравнение не ставит пределов для частоты волны, световые волны демонстрируют сравнительно небольшой диапазон частот. Из этого физики заключили, что должны существовать и другие электромагнитные волны с иными частотами. Генрих Герц продемонстрировал физическое существование таких волн, а Гульельмо Маркони обратил их к практической пользе, создав радио. Дальше число новых технологий стало расти как снежный ком. Телевизор и радар также работают на электромагнитных волнах, как и спутниковая навигационная система GPS, сотовые телефоны и беспроводные компьютерные сети.

Радиоволны

 

Физика становится математической

Невозможно переоценить значение для науки «Начал» Ньютона, заложивших математическую основу в описание самых сложных природных явлений. Но последующие события оказались не менее важными. Математики взялись за исследование всего, что прежде считалось предметом изучения физики: звука, тепла, света, гидродинамики, притяжения, электричества, магнетизма. И для всех этих явлений они вывели дифференциальные уравнения, поразительно точно описывавшие законы физики.

Еще более поразительными стали дальнейшие шаги науки. Множество самых выдающихся технических достижений, таких как изобретение радио и телевидения и обеспечение воздушных перевозок, зависело от математики дифференциальных уравнений. И эта область остается одной из наиболее активно развивающихся в науке, где практически каждый день совершаются новые открытия. Не будет преувеличением сказать, что изобретение Ньютоном дифференциальных уравнений, получивших практическое приложение благодаря его последователям в XVIII−XIX вв., во многом определило облик современного мира. Это очевидно, если вы дадите себе труд заглянуть за кулисы сегодняшней жизни.