Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Стюарт Иэн

Глава 12. Невозможные треугольники

 

 

Евклидова геометрия – единственно верная или нет?

В основу исчисления легли принципы геометрии, но и сама она была сокращена до символических вычислений, которые затем формализовались в анализ. Однако наглядное мышление по-прежнему важно для развития математики, особенно в одном новом и даже поначалу шокирующем направлении. На протяжении более 2000 лет имя Евклида было синонимом геометрии. Последователи успешно развивали его идеи, особенно в области конических сечений, но никто из них так и не внес радикальных изменений в основания дисциплины. Убеждение в том, что в мире существует лишь одна геометрия, евклидова, и строгое математическое описание пространства возможно лишь на его принципах, только укреплялось. Люди с трудом могли даже помыслить о какой-то альтернативе.

Так не могло продолжаться вечно.

 

Сферическая и проективная геометрия

Первое значительное отступление от правил евклидовой геометрии зародилось в недрах самого что ни на есть практического ее применения – навигации. На коротких расстояниях Земля может считаться практически плоской, и ее географические особенности можно точно перенести на плоскость. Но по мере того, как корабли совершали всё более длительные путешествия, учитывать истинную форму нашей планеты стало жизненно необходимо. Некоторые древние цивилизации знали, что Земля круглая. Доказательств было немало: начиная с того, как исчезает на горизонте уплывающий корабль, и кончая тенью планеты, падающей на Луну во время затмений. Это наталкивало древних ученых на мысль, что Земля – идеальный шар.

На самом деле этот шар слегка сплюснут: на экваторе его диаметр равен 12 756 км, а между полюсов 12 714 км. Разница относительно невелика – 300-я доля. В те времена, когда для навигаторов не считалась ошибкой промашка в несколько сотен километров, их вполне устраивала Земля как идеальный шар. Но тогда упор делался скорее на сферическую тригонометрию, а не геометрию – на саму суть навигационных расчетов, а не логический анализ сферы как особого вида пространства. Поскольку сфера относилась к трехмерному евклидову пространству, никто и не предполагал, что сферическая геометрия может чем-то отличаться от евклидовой. Все неточности списывали на кривизну Земли. Сама же геометрия пространства оставалась полностью евклидовой.

Значительным шагом за пределы евклидовой геометрии стала проективная геометрия, открытая в начале XVII в. На нее первыми обратили внимание не ученые, а художники: вспомните теоретические и практические исследования перспективы мастеров итальянского Возрождения. Их целью было сделать свои картины более реалистичными, а привело это к новому образу мышления в геометрии. И снова эти исследования могли быть восприняты как инновации в рамках классической евклидовой геометрии. Ведь речь шла не о самом пространстве, а о том, как мы видим его.

Открытие, что Евклид может быть не единственным авторитетом, что могут существовать логически обоснованные типы геометрии, опровергающие многие из его теорем, пришло с возрождением интереса к логическим основаниям геометрии. Споры захватили ученых в середине XVIII в. и продолжались до середины XIX в. Больше всего вопросов вызвал так называемый пятый постулат Евклида, который весьма туманно утверждал существование параллельных линий. Попытки вывести его из остальных аксиом Евклида привели к открытию, что такой вывод невозможен и есть и другие виды геометрии, помимо евклидовой. Эта неевклидова геометрия давно стала незаменимым инструментом для исследований в математике и математической физике.

 

Геометрия и живопись

В истории Европы геометрия пребывала в подобии спячки примерно с 300 по 1600 г. И только вопрос перспективы в живописи вдохнул в нее жизнь, вернув науке практическую ценность: как реалистично изобразить трехмерный мир на двумерном полотне.

Художники Возрождения не занимались исключительно живописью. Многие были востребованы как талантливые инженеры для военных и мирных проектов. Их отношение к искусству всегда имело и практическую сторону, и геометрия перспективы как раз и стала гранью, важной для архитектуры ничуть не меньше, чем для живописи. Также в то время оживился интерес к оптике и математике света, что привело к изобретению телескопа и микроскопа. Первым мэтром, заинтересовавшимся математикой, был Филиппо Брунеллески. По сути, его искусство стало движущей силой для его математики. Стоит также упомянуть о книге Леона Баттисты Альберти «Живопись», созданной в 1435 г. и напечатанной в 1511 г. Альберти начал с принятия некоторых важных, хотя и относительно безвредных упрощений, проявив рефлекс настоящего математика. Человеческое зрение – очень сложная тема. Например, мы используем два слегка расставленных в пространстве глаза, чтобы генерировать стереоскопические образы, получая ощущение глубины. Альберти упростил реальность, предложив работать с одним глазом с точечным зрачком, действующим как камера с малым отверстием. Он представил, как художник готовится писать картину, устанавливая мольберт и стараясь создать картинку на полотне с помощью единственного глаза. И с полотна, и с реального объекта картинка попадает на сетчатку, расположенную в задней части глаза. Самым простым (умозрительным) способом было бы сделать полотно прозрачным, смотреть через него с неподвижной точки и рисовать на полотне точно то, что видит глаз. Так трехмерная картинка проецируется на полотно. Нацельте глаз на каждую ее деталь так, чтобы он смотрел прямо, и отметьте, где эта линия встречается с плоскостью полотна: здесь и следует рисовать эту деталь.

Эта идея вряд ли принесет пользу, если вы в точности станете следовать ей на практике. Но некоторые художники поступали именно так, используя полупрозрачные материалы или стекло вместо полотна. Они часто применяли этот прием на подготовительном этапе, нанося набросок на полотно перед тем, как писать картину. Более практичным подходом было бы использовать эту концептуальную формулировку для связи геометрии трехмерной сцены с двумерной картинкой на полотне. Привычная нам евклидова геометрия работает со свойствами, остающимися неизменными при их перемещении: длиной и углами. Хотя сам Евклид не формулировал свои принципы именно так, его основной инструмент – конгруэнтные треугольники – производит такой же эффект (имеются в виду треугольники одинаковой формы и размеров, но расположенные в разных местах). Точно так же геометрия перспективы сводится к свойствам, которые остаются неизменными при проекции. Легко заметить, что длины и углы не ведут себя так же. Вы можете прикрыть Луну одним пальцем – получается, длина способна меняться? С углами еще хуже: если вы посмотрите на угол здания и он прямой, то он будет казаться прямым, только если вы посмотрите на него прямо.

Проецирование картинки. Гравюра Альбрехта Дюрера

Какие же свойства геометрических фигур сохраняет проекция? Самые важные кажутся нам такими простыми, что трудно поверить в их значение. Точки остаются точками. Прямые – прямыми. Образ точки, расположенной на прямой, останется на изображении этой линии. Получается, если две линии встречаются в какой-то точке, их изображения тоже встречаются в соответствующей точке. Отношения между точками и прямыми сохраняются в проекции.

Важной чертой, не полностью сохраняемой в проекции, является взаимодействие параллельных прямых. Представьте, что вы стоите посреди бесконечно длинной прямой дороги и смотрите вперед. Две ее стороны, параллельные друг другу в трехмерной реальности (никогда не встречающиеся), уже не выглядят параллельными. Они сходятся в одну точку где-то у горизонта. Они всегда ведут себя так, как будто находятся на идеально бесконечной плоскости, а не слегка скругленной Земле. По сути, они и могут вести себя так только на плоскости. На сфере будет едва заметный разрыв, слишком маленький, чтобы его рассмотреть, там, где линии пересекают горизонт. Получается, все рассуждения о параллельных линиях на шаре весьма запутанны.

Такая особенность параллельных линий очень полезна для изображения перспективы. Это основа привычного рисования прямоугольных объектов в перспективе, когда используются линия горизонта и две исчезающие точки там, где параллельные линии коробки пересекают перпендикулярный им край. «О перспективе в живописи» – труд Пьеро делла Франческа, изданный в 1482–1487 гг., – развил метод Альберти в практические приемы для художников. Сам живописец успешно применял свои идеи в создании драматичных и весьма реалистичных полотен.

Труды художников Возрождения разрешили многие проблемы в геометрии перспективы, но они оставались полуэмпирическими, страдая нехваткой логических обоснований, поддерживавших здание евклидовой геометрии. Эта проблема обоснований была в итоге решена Бруком Тейлором и Иоганном Генрихом Ламбертом в XVIII в. Но к тому времени в геометрии произошли еще более поразительные перемены.

 

Дезарг

Первую нетривиальную теорему в проективной геометрии открыл инженер-архитектор Жерар Дезарг. Ее опубликовал в своей книге в 1648 г. Абрахам Босс. Дезарг доказал следующую важную теорему: «Предположим, треугольники АВС и А´В´С´ находятся в перспективе. Это означает, что три линии, АА´, ВВ´ и СС´, проходят через одну точку. Тогда три точки P, Q и R, в которых пересекаются продолжения трех пар сторон треугольника, лежат на одной прямой». Этот результат теперь нам известен как теорема Дезарга. В ней не упоминаются ни длина, ни углы: она целиком посвящена отношениям между прямыми и точками. А значит, это и есть проективная теорема.

Теорема Дезарга

Есть одна хитрость, делающая теорему очевидной: представьте себе, что рисуете изображение трехмерной фигуры, у которой два треугольника лежат в двух плоскостях. Тогда на линии, по которой пересекаются эти плоскости, и будут расположены три точки Дезарга P, Q и R. Без особого труда так даже можно доказать эту теорему, построив соответствующую трехмерную фигуру, чьи проекции выглядят как два треугольника. Значит, мы можем использовать методы Евклида, чтобы доказывать проективные теоремы.

 

Аксиомы Евклида

Проективная геометрия отличается от евклидовой настолько, насколько близка вам такая точка зрения (каламбур намеренный!), но корнями она по-прежнему уходит в геометрию Евклида. Это исследования новых видов преобразований, т. е. проекций, но изначально модель пространства, подвергающегося преобразованию, принадлежит Евклиду. Тем не менее проективная геометрия в целом заставила математиков стать более восприимчивыми к возможности существования нового образа геометрического мышления. И старый вопрос, пролежавший под спудом целые века, снова стал актуальным.

Практически все аксиомы Евклида настолько очевидны, что ни одному человеку в здравом уме не придет в голову подвергать их сомнению. Например, аксиома о том, что все прямые углы равны. Если она неверна, значит, что-то не так с самим определением прямого угла. Но пятый постулат, касающийся параллельных прямых, имеет совершенно другой оттенок. Он слишком сложен. Вот как его формулировал сам Евклид: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Звучит скорее как теорема, а не как аксиома. Было ли это теоремой? Может ли в таком случае быть у нее доказательство, исходящее из чего-то еще более простого, интуитивного?

Упростил формулировку постулата в 1795 г. Джон Плейфэр. Он выразил ее так: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Эта аксиома логически эквивалентна пятому постулату Евклида: они являются следствием друг друга, при этом учитывают остальные аксиомы.

 

Лежандр

В 1794 г. Адриен-Мари Лежандр открыл еще одну эквивалентную формулировку постулата, в которой говорится о подобных треугольниках – фигурах, имеющих равные углы, но разные длины сторон. Однако он, как и большинство математиков того времени, предпочел бы что-то более интуитивное. Им казалось, что пятый постулат избыточен: это следствие из других аксиом, и что только для него упущено доказательство. И Лежандр перепробовал всё, что мог, чтобы доказать его. Используя только другие аксиомы, он доказал – для своего удовольствия, по крайней мере, – что сумма внутренних углов треугольника не превосходит 180°. (Ему наверняка было известно, что в сферической геометрии сумма больше, но ведь это геометрия сферы, а не плоскости.) Если сумма всегда равна 180°, то отсюда сразу логически вытекает пятый постулат. И он предположил, что сумма может быть меньше 180°, и построил свои рассуждения на этом.

Неожиданным следствием оказалась зависимость между площадью треугольника и суммой его углов. Точнее, то, что площадь пропорциональна разнице между реальной суммой углов и 180°. Это казалось многообещающим: если бы он мог построить треугольник, у которого стороны вдвое больше, чем у исходного, то столкнулся бы c противоречием, потому что площадь большего треугольника не может быть равной площади меньшего. Тем не менее он попытался построить больший треугольник и снова уперся в пятый постулат.

Однако ученый всё же извлек из своего опыта кое-что полезное. Безотносительно пятого постулата он доказал, что некоторые треугольники не могут иметь сумму углов больше 180°, а другие имеют сумму углов меньше 180°. Если один треугольник имеет углы, которые в сумме дают больше, чем 180°, то таким же свойством обладали бы и все треугольники; аналогично было бы при сумме меньше 180°. Значит, есть три возможных варианта:

• сумма углов в любом треугольнике равна 180° (по евклидовой геометрии);

• сумма углов в любом треугольнике меньше 180°;

• сумма углов в любом треугольнике больше 180° (случай, который Лежандр вроде бы исключил; позже выяснилось, что для этого он воспользовался очередным недоказанным утверждением).

 

Саккери

В 1773 г. Джироламо Саккери, иезуитский священник из Павии, опубликовал своей героический труд «Евклид, очищенный от всех пятен» («Euclides ab omni naevo vindicatus»). Он также пришел к трем возможным вариантам, из которых первый соответствовал евклидовой геометрии, но для объяснения различий использовал четырехугольник. Предположим, у нас есть четырехугольник ABCD, где A и B – прямые углы, а AC = BD. Тогда, по утверждению Саккери, в евклидовой геометрии выходит, что C и D – прямые углы. Менее очевидно, если C и D будут прямыми углами в любом подобного вида четырехугольнике и что отсюда будет вытекать пятый постулат.

Не прибегая к пятому постулату, Саккери доказал, что углы C и D равны. Остается два возможных варианта:

• гипотеза для тупых углов: C и D больше прямого угла;

• гипотеза для острых углов: C и D меньше прямого угла.

Идея Саккери состояла в рассмотрении каждой из этих гипотез по отдельности, чтобы возникло логическое противоречие. Тогда евклидова геометрия оставалась единственной логически возможной.

Четырехугольник Саккери: сторона CD нарочно сделана кривой, чтобы избежать евклидовых заключений об углах C и D

Ученый начал с гипотезы для тупых углов и через ряд теорем вывел – как ему казалось, – что углы C и D должны в конце концов оказаться прямыми. Это противоречие, а значит, гипотеза для тупых углов ошибочна. Затем Саккери перешел к острым углам, что потребовало нового ряда теорем, причем все они были верны и любопытны сами по себе. Попутно ученый доказал довольно сложную теорему о семействе линий, проходящих через одну общую точку, в которой говорилось, что две из этих линий будут иметь общий перпендикуляр в бесконечности. На самом деле это не противоречие, хотя Саккери думал именно так и объявил гипотезу для острых углов также опровергнутой.

Оставался единственный вариант – с геометрией Евклида, и Саккери счел свою задачу выполненной. Но другие ученые заметили, что на самом деле никакого противоречия из гипотезы для острого угла не было, появилась лишь очередная удивительная теорема. И к 1759 г. д’Аламбер объявил статус пятого постулата: «скандал с началами геометрии».

ЧТО НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ ДАЛА ИМ

К 1813 г. Гаусс успел окончательно убедиться, что антиевклидова, затем астральная и, наконец, неевклидова геометрия логически возможны. Он задался вопросом, что тогда можно считать истинной геометрией пространства, и измерил углы треугольника, образованного тремя горами в Нижней Саксонии: Броккен, Хохехаген и Инзельберг. Чтобы результаты не искажались кривизной Земли, в измерениях он использовал местную плоскость горизонта. Сумма измеренных им углов оказалась на 15 угловых секунд больше 180°. По всему выходило, что это тупой угол, но возможность ошибки в наблюдениях сводила на нет всю ценность опыта. Гауссу требовался гораздо больший треугольник и более точные инструменты для измерения углов.

 

Ламберт

Немецкий математик Георг Клюгель прочел книгу Саккери и выразил новаторское и даже несколько шокирующее мнение, что убежденность в правоте пятого постулата относится скорее к области опыта, чем логики. Он утверждал, что некая особенность нашего образа мышления и представления о пространстве заставляет нас верить в существование параллельных линий со свойствами, которые описал Евклид.

В 1776 г. Иоганн Ламберт, следуя предположению Клюгеля, занялся исследованиями, похожими на работу Саккери, но он начал с четырехугольника с тремя прямыми углами. Четвертый угол у него мог быть или прямым (евклидова геометрия), или тупым, или острым. Как и Саккери, он предположил, что тупой угол приводит к противоречию. Точнее, он решил, что это приводит к сферической геометрии, где давно известно, что сумма углов четырехугольника больше 360°, поскольку сумма углов треугольника больше 180°. Раз сфера – это не плоскость, вариант с тупым углом исключался.

Однако Ламберт ничего подобного не утверждал для острого угла. Зато он доказал ряд любопытных теорем, однако самой блестящей оказалась выведенная им формула вычисления площади многоугольника с n сторонами. Сложите все углы и вычтите их из суммы 2n – 4 прямых углов: результат окажется пропорциональным площади многоугольника. Эта формула напомнила Ламберту похожую из сферической геометрии: сложите все углы и вычтите 2n – 4 прямых угла: результат снова окажется пропорциональным площади многоугольника. Разница несущественна: вычитание выполняется в обратном порядке. Ученый подошел вплотную к неясному, но пророческому утверждению: геометрия острого угла такая же, как у сферы с мнимым радиусом.

Ламберт тут же написал короткую статью о тригонометрических функциях мнимых углов, выведя несколько изящных и идеально согласующихся формул. Теперь мы признаём эти функции: это так называемые гиперболические функции, которые можно вычислить, не прибегая к мнимым числам, и они удовлетворяют всем формулам Ламберта. Было очевидно, что за его неожиданным, загадочным предположением кроется что-то интересное. Но что?

 

Дилемма Гаусса

К определенному моменту у наиболее информированных геометров сложилось твердое убеждение в том, что пятый постулат Евклида не может быть доказан с помощью остальных аксиом. Случай с острым углом оказался слишком логичным, чтобы привести к противоречию. С другой стороны, сфера с мнимым радиусом тоже не выглядела достаточно солидно, чтобы подкрепить это убеждение.

Одним из таких геометров был Гаусс, с юности веривший в вероятность существования логически последовательной неевклидовой геометрии и позже доказавший в этой области немало теорем. Но, как он откровенно заявил в 1829 г. в письме к Бесселю, у него не было намерения публиковать некоторые из своих работ из опасения стать объектом того, что он называл «криками беотийцев». Люди, лишенные воображения, не смогут его понять и в своем невежестве и приверженности традициям поднимут его на смех. Возможно, в этом опасении ученый укрепился из-за излишнего почтения к философскому авторитету Канта: тот утверждал, что геометрия пространства должна быть евклидовой.

В 1799 г. Гаусс написал венгерскому ученому Фаркашу Бойяи, признавшись, что его исследование «заставит меня сомневаться в истинности геометрии. Да, я добился того, что многие уверенно назвали бы доказательством (пятого постулата с помощью других аксиом), но в моих глазах это всё ничего не стоит».

Прочие математики оказались не столь щепетильными. В 1826 г. Николай Лобачевский уже читал в Казанском университете лекции по неевклидовой геометрии. Он ничего не знал о работах Гаусса, но доказал те же теоремы своими методами. Две статьи на эту тему появились в 1829 и 1835 гг. Никакого шума, как опасался Гаусс, они не подняли, скорее, без следа канули в неизвестность. В 1840 г. Лобачевский опубликовал книгу на ту же тему, где открыто посетовал на отсутствие интереса. В 1855 г. он выпустил новый труд, развивавший достижения первого.

Независимо от них сын Фаркаша Бойяи, Янош, армейский офицер, пришел к тем же идеям в 1825 г. и изложил их в 26-страничном труде, опубликованном в книге его отца по геометрии «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики» как приложение в 1832 г. Он признавался отцу: «Я сделал открытия столь поразительные, что сам растерялся».

Гаусс прочел эту работу, но объяснил Фаркашу, что не считает себя вправе хвалить молодого ученого, потому что «оценить это – всё равно что оценить себя». Возможно, это было не совсем справедливо, но таков уж был этот человек.

 

Неевклидова геометрия

История неевклидовой геометрии слишком сложна, чтобы описывать ее во всех подробностях, но мы можем резюмировать результаты, полученные благодаря усилиям ее первопроходцев. Была установлена глубокая связь между тремя случаями, отмеченными Саккери, Ламбертом, Гауссом, Бойяи и Лобачевским. Их всех объединяет идея кривизны. Неевклидова геометрия – на самом деле естественная геометрия криволинейной поверхности. Если поверхность имеет положительную кривизну, как сфера, мы имеем дело с тупым углом. Это долгое время отвергалось из-за слишком очевидных отличий сферической геометрии от евклидовой – например, потому что здесь любые две линии, т. е. большие круги, чьи центры совпадают с центром Земли, встречаются в двух точках, а не в одной, как мы ожидаем от евклидовых прямых.

Теперь нам ясно, что эти возражения необоснованны. Если мы отождествим в одну точку диаметрально противоположные точки на сфере – т. е. примем, что они идентичны, – то линии (большие круги) всё равно будут иметь смысл: если точка лежит на большом круге, на нем же будет лежать и диаметрально противоположная ей. С таким определением практически все геометрические свойства остаются неизменными, но теперь линии встречаются в одной точке. Топологически в результате мы получаем проективную плоскость, хотя задействованный здесь подход – далеко не общепринятая проективная геометрия. Сейчас мы называем ее эллиптической геометрией, и она так же востребована, как геометрия Евклида.

Если поверхность имеет отрицательную кривизну, как седло, мы переходим к случаю с острым углом. Полученная в результате геометрия называется гиперболической. Она имеет множество занимательных особенностей, отличающих ее от евклидовой.

Модель Пуанкаре гиперболической геометрии делает ее более ясной: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит бесконечно много параллельных (не пересекающих ее) линий

Если кривизна поверхности нулевая, как у евклидовой плоскости, то мы попадаем в область евклидовой геометрии. Все три геометрии удовлетворяют всем аксиомам Евклида, за исключением пятого постулата. Решение Евклида включить его было оправданным.

Эти различные геометрии могут быть выражены самыми разными способами. И здесь особенно многогранна гиперболическая геометрия. В одной модели соответствующее пространство может оказаться верхней комплексной полуплоскостью, без вещественной оси и всего, что ниже ее. Линия является полуокружностью, встречающейся с вещественной осью под прямыми углами. Топологически данное пространство есть не что иное, как плоскость, а его линии тождествены обычным. Изгиб линий отражает отрицательную кривизну гиперболического пространства.

Во второй модели гиперболической геометрии, исследованной Пуанкаре, пространство заключено внутри круга, не включает его границы, а линии являются дугами окружностей и пересекают границу под прямыми углами. И снова данный вид геометрии отражает кривизну пространства. Художник Мауриц Эшер создал много картин, основанных на этой модели гиперболической геометрии, с которой его познакомил канадский ученый Коксетер.

Обе модели затрагивают глубинные связи между гиперболической геометрией и комплексным анализом. Эти связи относятся к основным группам преобразований комплексной плоскости. Согласно «Эрлангенской программе» Феликса Клейна, гиперболическая геометрия является геометрией инвариантов таких преобразований. Другой класс трансформаций, так называемые преобразования Мёбиуса, в свою очередь, вводят в игру эллиптическую геометрию.

 

Геометрия пространства

Что значит геометрия пространства? Теперь мы все согласны с Клюгелем и не согласны с Кантом. Это был вопрос опыта, а не отвлеченных материй, решаемых исключительно силой мысли. Теория относительности Эйнштейна утверждает, что пространство (и время) может искривляться: кривизна – это гравитационный эффект материи. Более того: кривизна может меняться от одной зоны к другой в зависимости от распределения материи. Иными словами, дело тут не в геометрии пространства как таковой. Пространство может иметь разные геометрии на разных участках. Евклидова геометрия безупречно работает в человеческих масштабах, в мире человека: ведь гравитационное искривление столь незначительно, что мы не замечаем его в обыденной жизни. Но в масштабах Вселенной ведущая роль принадлежит неевклидовой геометрии.

Начиная с ученых древности и вплоть до XIX в. математики и реальный мир пребывали в безнадежном самообмане. Господствовало твердое убеждение в том, что математика – отражение основных и неизменных свойств реального мира и что математика – истина в последней инстанции. И нигде это убеждение не удерживало столь прочные позиции, как в классической геометрии. Пространство существует по законам Евклида, для всех и каждого, кто вообще об этом задумался. А разве могло быть иначе?

ЧТО НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ ДАЕТ НАМ

Какова форма Вселенной? Вопрос может показаться простым, но ответить на него нелегко – отчасти из-за огромности Вселенной, но главным образом из-за того, что мы внутри и не имеем возможности кинуть взгляд со стороны. По аналогии, снова восходящей к Гауссу, муравей, живущий на некой поверхности и созерцающий мир только с нее, не сумеет уверенно сказать, является ли она плоскостью, сферой, тором или еще более сложной фигурой.

Теория относительности говорит нам, что вблизи от материального тела, такого как звезда, пространство-время искривляется. Уравнения Эйнштейна, демонстрирующие зависимость кривизны от плотности материи, имеют много разных решений. В самом простом из них Вселенная в целом имеет положительную кривизну и топологию сферы. Но, насколько мы можем судить, общая кривизна реально существующей Вселенной бывает и отрицательной.

Пространства с положительной, отрицательной и нулевой кривизной

Мы даже не уверены, простирается ли Вселенная бесконечно, как евклидово пространство, или имеет конечный размер, как сфера. Некоторые физики настаивают, что Вселенная бесконечна, однако экспериментальная основа этой идеи вызывает много вопросов. И большинство все-таки считает ее размеры конечными.

Удивительно, что конечная Вселенная может существовать, не имея границы. Это справедливо для двумерной поверхности сферы и для тора. Тор может быть описан плоскостной геометрией (планиметрией), ведь он наследник прямоугольника, у которого склеены противоположные стороны. Топологи также открыли, что пространство может быть конечным и в то же время иметь отрицательную кривизну. Один из способов построения такого пространства: берем конечный многогранник в гиперболическом пространстве и отождествляем различные его грани, так что линия, выходящая из одной грани многогранника, тут же входит в другую грань. Эта конструкция напоминает то, как меняются местами верхний и нижний края экрана во многих компьютерных играх.

Чтобы получить додекаэдрическое пространство Пуанкаре, нужно склеить противоположные грани додекаэдра с разворотом, чтобы они совпали

Если пространство конечно, должна быть возможность наблюдать одну и ту же звезду в разных направлениях, хотя в некоторых направлениях она может показаться более далекой, чем в других, и, кроме того, доступный для наблюдений сектор Вселенной может оказаться слишком мал для этого. Если конечное пространство имеет гиперболическую геометрию, это множит местонахождение одних и тех же звезд в разных направлениях, создавая в небесах систему гигантских окружностей, причем геометрия последних будет определять, какое именно гиперболическое пространство мы наблюдаем. Но окружности могут оказаться где угодно среди миллиардов звезд, видимых наблюдателю, т. е. попытки разглядывать их, основанные на статистической корреляции между кажущимися позициями звезд, будут безрезультатными.

В 2003 г. данные, полученные с космического аппарата НАСА Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, позволили команде Жана-Пьера Люмине предположить, что пространство конечно, но имеет положительную кривизну. Они обнаружили, что додекаэдрическое пространство Пуанкаре – полученное путем отождествления противоположных граней искривленного додекаэдра – лучше всего согласуется с наблюдениями. Это предположение дошло до широкой публики как утверждение о том, что Вселенная имеет форму футбольного мяча. Однако это предположение не подтверждено, и мы по-прежнему не знаем, какова истинная форма Вселенной. Но по крайней мере у нас уже есть гораздо более полное представление о том, что нужно сделать, чтобы решить эту загадку.

Вопрос перестал быть риторическим с тех пор, как начали появляться логически обоснованные альтернативы геометрии Евклида. Да, потребовалось немалое время, чтобы убедиться в их логической состоятельности – по крайней мере, не менее логической, чем евклидова геометрия, – и еще большее, чтобы осознать, что наше физическое пространство может оказаться вовсе не евклидовым. Как всегда, отрицательную роль сыграла узость взглядов: мы упорно пытаемся распространить ограниченное понимание нашего крошечного уголка на Вселенную в целом. Привычка пользоваться моделью Евклида делает нас предвзятыми, возможно потому, что в жестких рамках нашего опыта эта модель кажется самой простой и превосходно удовлетворяет наши запросы.

Благодаря отдельным ученым, наделенным богатым воображением и неординарным мышлением, часто подвергавшимся гонениям со стороны менее талантливых собратьев, наконец-то мы пришли к пониманию – по крайней мере, математики и физики, – что существует много альтернатив евклидовой геометрии и что природа физического пространства – предмет наблюдений, а не только мышления. Мы уже четко проводим границу между математическими моделями реальности и реальностью как таковой. Если уж на то пошло, многие математические построения вообще не имеют очевидного отношения к реальности – но это нисколько не умаляет их пользы.