Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Стюарт Иэн

Глава 13. Расцвет симметрии

 

 

Как не решить уравнение

Около 1850 математиков подготовили самые значительные перемены в истории науки, хотя это не всегда было очевидно их современникам. Вплоть до 1800 г. главными объектами математических исследований были понятия вполне конкретные: числа, треугольники, сферы. Алгебра предложила формулы для описания операций с числами, но сами по себе формулы воспринимались как символические описания неких процессов, а не просто объектов. Но к 1900 г. формулы и их преобразования стали восприниматься как объекты, а не процессы, и предметом алгебры стали более абстрактные и обобщенные понятия. Она стала почти всеобъемлющей. Даже такие основные законы, как коммутативный закон умножения ab = ba, заняли важное место во многих областях математики.

 

Теория групп

Эти перемены стали возможны во многом благодаря тому, что математики открыли теорию групп – раздел алгебры, который возник из безуспешных попыток решать алгебраические уравнения, особенно четвертой или пятой степени. Но только через 50 лет после своего открытия теория групп была оценена как верный подход для изучения концепции симметрии. По мере того как новый метод занимал место в общественном сознании, становилось ясно, что симметрия – глубокая и важная идея, со множеством приложений как к физическим, так и к биологическим исследованиям. Сегодня теория групп стала незаменимым инструментом в любой области математики и науки в целом, а ее связь с симметрий подчеркивается в большинстве предисловий научных трудов. Но потребовалось не одно десятилетие, чтобы эта точка зрения восторжествовала. Примерно в 1900 г. Анри Пуанкаре сказал, что теория групп представляет собой всю математику, самую ее суть. Несколько преувеличенное, но верное утверждение.

Поворотным пунктом в теории групп стала работа молодого француза Эвариста Галуа. Ей предшествовала долгая и запутанная предыстория: идеи Галуа появились не на пустом месте. Затем последовала не менее запутанная и даже в чем-то не очень чистая постистория, когда математики принялись экспериментировать с новой концепцией, пытаясь выяснить, что в ней важно, а что нет. Однако именно Галуа четче всех представлял необходимость понятия групп в математике, описал ряд самых фундаментальных их характеристик и продемонстрировал их ценность для основ математики. Не особо удивляет то, что его работа осталась незамеченной при жизни ученого. Возможно, она казалась чересчур оригинальной, но в этом, по правде говоря, отчасти может быть повинна репутация Галуа как ярого революционера. Он был трагической фигурой, жившей во времена множества личных трагедий, и его судьба выглядит одной из самых драматичных и, пожалуй, романтичных по сравнению с прочими выдающимися математиками.

 

Решаем уравнения

История теории групп уходит корнями в древние таблички вавилонян с решениями квадратных уравнений. Методы вавилонян преследуют прежде всего практические цели. Это была вычислительная методика, и, судя по всему, никто из древних особо не задавался глубокими вопросами, когда ею пользовался. Если вы умеете извлекать квадратные корни и владеете основами арифметики, то сумеете решить и квадратные уравнения.

Было найдено несколько свидетельств на глиняных табличках, что вавилоняне также подступались к решению кубических уравнений и даже уравнений четвертой степени. Греки, а вслед за ними и арабы открыли геометрические способы решения кубических уравнений с помощью конических сечений. (Мы сейчас знаем, что традиционные евклидовы линии и окружности не могут точно решить эту проблему. Здесь необходимо нечто более изощренное; так случилось, что эту работу взяли на себя конические сечения.) Одной из самых заметных фигур в этой области был персидский мыслитель Омар Хайям. Он решил все возможные виды кубических уравнений с помощью целой системы геометрических методов. Однако, как мы видели, алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени появилось в эпоху Возрождения в работах дель Ферро, Тартальи, Фиоре, Кардано и его ученика Феррари.

Формулы, которые появились в их работах, были простыми, но зачастую с беспорядочными деталями. Вы можете решить любое кубическое уравнение, используя арифметические операции плюс квадратные корни плюс корни кубические. Вы можете решить любое уравнение четвертой степени, используя арифметические операции, квадратные и кубические корни, корни четвертой степени, – хотя последние могут быть сведены к двум последовательно взятым квадратным корням. Создавалось впечатление, что эту закономерность можно продолжать, так что вы сможете решить любое уравнение пятой степени, используя арифметические операции, квадратные и кубические корни, корни четвертой и пятой степеней. И так далее – для уравнений любой степени. Да, понятно, что все эти формулы чрезвычайно сложны, и их поиск – еще более трудное дело, но практически ни у кого не возникало сомнений, что они существуют.

Шли века, но почему-то ни одна из этих формул не была открыта. И кое-кто из маститых математиков решил присмотреться повнимательнее к данной области, чтобы понять, что действительно происходит за ее кулисами, унифицировать известные методы и упростить их так, чтобы стало понятно, почему они работают. Тогда, как они полагали, это будет просто вопрос применения одних и тех же общих принципов, и уравнение пятой степени раскроет свои тайны.

Самую успешную и систематичную работу в этом направлении проделал Лагранж. Он переосмыслил классические формулы с точки зрения решений, которые собирался найти. Он утверждал, что важнее всего понять, как ведут себя в этих решениях определенные алгебраические выражения, когда вы ищете корни. Они будут перегруппированы, перестроены, примут другой вид. Он знал, что любое полностью симметричное выражение, зависящее от корней, которое остается неизменным, как бы ни менялся порядок корней при решении, может быть выражено через коэффициенты уравнения, становясь таким образом известной величиной. Более интересны были выражения, получавшие несколько разных значений, когда корни решения переставлялись. Казалось, здесь и зарыт ключ к общему принципу решения уравнений.

СИММЕТРИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Возьмем квадратное уравнение, немного упростив его форму:

x 2 + px + q = 0.

Предположим, есть два решения (корня) x = a и x = b :

x 2 + px + q = ( x – a ) ( x – b ).

Нам известно из школьного курса, что

a + b = – p ab = q .

Значит, хотя мы всё еще не знаем корней, нам известны их сумма и произведение.

Почему так вышло? Сумма a + b равна сумме b + a  – она не меняется от перестановки корней. То же верно и для ab = ba . Получается, любая симметричная функция, зависящая от корней, может быть выражена через коэффициенты p и q . Верно и обратное: любое выражение для p и q всегда является симметричной функцией от a и b . Если смотреть шире, связь между корнями уравнения и коэффициентами определяется свойствами симметрии.

Асимметричные функции так себя не ведут. Хороший пример – разница a – b . Если мы меняем местами a и b , получаем b – a , т. е. другое значение. Однако – и это важнейшее наблюдение – оно не совсем другое. Это то, что мы получим из a – b , сменив его знак. Так что квадрат ( a – b ) 2 полностью симметричен. Но любая полностью симметричная функция от корней должна быть неким выражением в коэффициентах. Извлеките квадратный корень, и вы получите выражение для a – b через коэффициенты, где не используется ничего более загадочного, чем квадратный корень. Мы уже знаем: a + b = – p . Также нам известно и a – b ; сумма двух этих чисел равна 2 а , а разница 2 b . Поделив на 2, мы получим формулы для a и b .

Всё это мы проделали, чтобы доказать, что должна существовать формула для корней a и b , не включающая ничего более загадочного, чем квадратный корень, основанная на общих свойствах симметрии алгебраических выражений. Это впечатляет: мы доказали, что у задачи есть решение, не вдаваясь в запутанные детали и объяснения, что есть что. И в каком-то смысле мы отследили, почему древние вавилоняне смогли найти свой метод. Это небольшое исследование наделяет слово «понимать» новым смыслом. Вы можете понять, как метод вавилонян привел к решению, пройдя поочередно все этапы и убедившись в их логике. Но теперь мы знаем, почему здесь непременно должен быть такой метод, – не показав конкретное решение, но рассмотрев общие свойства предполагаемых корней. В данном случае таким ключевым свойством оказалась симметрия.

Не требуя больших усилий для того, чтобы вывести точное выражение для ( a – b ) 2 , этот прием дает нам формулу решения. Она эквивалента и той формуле, которую мы учили в школе, и методу, использованному в Вавилоне.

Чувство математической формы и красоты, очень высоко развитое у Лагранжа, подсказало ему, что здесь и кроется главная идея. Если что-то похожее можно получить для кубических уравнений и уравнений четвертой степени, должна быть возможность найти решения и для пятой степени.

Используя ту же основную идею, мы выясняем, что частично симметричные функции от корней позволяют свести кубическое уравнение к квадратному. Для его решения нужен квадратный корень, а благодаря сведению можно избавиться от необходимости использовать кубический корень. Так же и любое уравнение четвертой степени может быть сведено к кубическому, которое называется кубическая разрешающая (резольвента). Вы можете решить уравнение четвертой степени, используя квадратные и кубические корни, имея дело с кубической разрешающей и четырьмя корнями, и получить в ответ искомое решение. В обоих случаях ответы идентичны классическим формулам, открытым в эпоху Возрождения. Да иначе и быть не могло: это те же самые ответы. Но теперь Лагранж знал, почему это так, и был в курсе, почему эти ответы могут быть найдены. Наверное, на этом этапе исследований он испытал немалый подъем. Переходя к уравнениям пятой степени и используя те же техники, вы ожидаете, что получите разрешающую уравнения четвертой степени, – дело сделано! Но, забегая вперед в истории его разочарования, он так и не нашел разрешающее уравнение четвертой степени. Он получил разрешающее уравнение шестой степени. И вместо того, чтобы упростить решение, его метод превратил уравнение в еще более сложное.

В чем же крылся недостаток его метода? Мог ли какой-то более талантливый математик решить уравнение пятой степени? Судя по всему, Лагранж в это верил. Он выражал надежду, что его новый подход будет полезен любому, кто отважится на поиски решения уравнения пятой степени. Кажется, ему даже не приходило в голову, что здесь не может быть такого метода, что его подход ошибочен, потому что уравнения пятой степени вообще не имеют решений в «радикалах» – выражениях, включающих арифметические операции и корни разной степени, в том числе и пятой. Еще большую путаницу привносит то, что все-таки у некоторых уравнений пятой степени есть такие решения. Например, уравнение x5 – 2 = 0 имеет решение x = . Но это простой случай, и уж точно не типичный.

Кстати, все уравнения пятой степени имеют решения: как правило, это комплексные числа, и их можно численно выразить довольно точно. Проблема кроется в алгебраических формулах для поиска этих решений.

 

Поиск решения

Становилось всё очевиднее, что идеи Лагранжа ошибочны, и в научной среде росла уверенность в том, что, возможно, задача вообще неразрешима: уравнения пятой степени в принципе нельзя решить с помощью радикалов. Судя по всему, к этой точке зрения склонялся и Гаусс, но в узком кругу, хотя на публике заявлял, что не считает эту задачу достойной внимания. Возможно, это был один из немногих случаев, когда ученого подвела интуиция, обычно безошибочно указывавшая ему на самые важные вопросы. Вторым таким случаем стала Великая теорема Ферма, но тут даже Гаусс не располагал необходимыми для решения методами: для их открытия потребовалось еще два века. Однако, по иронии судьбы, именно Гаусс инициировал поиск некоторых алгебраических доказательств отсутствия решений у уравнений пятой степени. Он ввел их в своей работе о построении правильных многоугольников с помощью линейки и циркуля. И он же создал прецедент, доказав (по крайней мере, для собственного удовольствия), что некоторые многоугольники не могут быть построены таким способом. В пример он привел правильный девятиугольник. Гаусс знал об этом, но так и не записал на бумаге доказательство – то самое, которое позже предложил Пьер Ванцель. Итак, Гаусс создал прецедент для предположения, что некоторые задачи не могут быть решены некими конкретными методами.

Первым ученым, попытавшимся доказать невозможность, стал Паоло Руффини, в 1789 г. занявший пост профессора математики в Моденском университете. Изучая идеи Лагранжа о свойствах симметричных функций, Руффини пришел к убеждению, что нет никакой формулы, включающей в себя только корни n-й степени (а не что-то более загадочное), чтобы решить уравнения пятой степени. В своем труде «Общая теория уравнений» в 1799 г. он дал доказательство тому, что «невозможно алгебраическое решение для уравнений степени больше, чем четыре». Но его доказательство оказалось таким длинным – 500 страниц текста, – что никто не отважился его проверить, особенно когда пошли слухи об ошибках. В 1803 г. Руффини опубликовал новое, упрощенное доказательство, но более благожелательных откликов не последовало. Так Руффини и не удалось стяжать лавры человека, доказавшего отсутствие алгебраического решения у уравнений пятой степени.

Самым ценным вкладом Руффини в науку стало понимание, что перестановки можно как-то комбинировать. До тех пор они были переупорядочиванием некоторого набора символов. Например, если мы пронумеруем корни уравнения пятой степени как 1, 2, 3, 4, 5, эти символы можно переставить: 54321, или 42153, или 23154, или как угодно. Есть 120 возможных перестановок. Руффини догадался, что на такие перегруппировки можно посмотреть иначе – как на способ перестановки любого другого набора из пяти символов. Хитрость состояла в сравнении стандартного порядка 12345 с перегруппированным. В качестве простого примера представим, что перегруппированный порядок будет 54321. Тогда правило для получения нового варианта совсем простое: поставьте символы в обратном порядке. Но ведь вы можете поставить в обратном порядке любую последовательность из пяти символов. Если это abcde, обратный порядок – edcba. Если символы первоначально стоят так: 23451, то обратный порядок будет 15432. Этот новый взгляд подразумевает, что вы можете сделать две перестановки по очереди – своего рода умножение перестановок. В алгебре перестановок умножение такого рода и содержит ключ к уравнениям пятой степени.

 

Абель

Теперь мы знаем, что в доказательство Руффини закралась техническая ошибка, хотя в целом его идеи были верны и заполнили основные пробелы. Он, несомненно, добился одного: его книга создала необъяснимое, но широко распространившееся убеждение в невозможности решить уравнение пятой степени с помощью радикалов. Далеко не все считали, что Руффини доказал это, но математики хотя бы засомневались в существовании решения. К сожалению, дело кончилось тем, что ученые вообще отказались заниматься этой проблемой.

Единственным исключением стал Абель, молодой норвежец с огромным талантом в математике. Он был искренне убежден, что еще в школе решил уравнение пятой степени. Правда, он вскоре нашел ошибку, но это не повлияло на его увлеченность вопросом: работа продолжалась в полную силу. В 1823 г. он нашел безупречное доказательство тому, что уравнение пятой степени не имеет решения. Абель прибегал к той же стратегии, что и Руффини, но его тактика оказалась удачнее. На первых порах он ничего не знал о работе Руффини, позже он точно ее читал, но настаивал на ее неполноте. Правда, он так и не указал ни на одну конкретную дыру в доказательстве Руффини. По иронии судьбы, один из этапов в доказательстве Абеля оказался именно тем кирпичиком, которого так не хватало в работе Руффини.

Сейчас у нас есть возможность познакомиться с общей идеей Абеля, не погружаясь в технические тонкости. Он справился с проблемой, выделив два вида алгебраических операций. Предположим, мы начинаем с набора разных величин; это могут быть как конкретные числа, так и алгебраические выражения со многими неизвестными. Из них мы можем построить много других величин путем сложения, вычитания, умножения или деления. Для простого неизвестного x возможно составить такие выражения, как x2, 3x + 4 или (x + 7)/(2x – 3). Алгебраически все эти выражения имеют тот же фундамент, что и сам x.

Другой способ получить новые величины из имеющихся – использовать радикалы. Возьмите для примера любую простую величину и извлеките из нее корень. Назовем такой шаг применением радикала. Если это квадратный корень, скажем, что степень радикала равна 2, если кубический – 3, и т. д.

В этих терминах формула Кардано для кубического уравнения может быть представлена как результат двухшаговой процедуры. Начнем с коэффициентов для кубического уравнения (и любой безобидной комбинации из них). Применим радикал со степенью 2. Затем следующий радикал со степенью 3. И всё. Описание говорит нам, какого вида формула получилась, но не какая именно. Зачастую ключом к решению математической загадки становится не фокусировка на деталях, а более широкий взгляд на ее особенности. Меньшее может оказаться более важным. И когда этот прием срабатывает, остается только удивляться «чуду»; а здесь он срабатывает прекрасно. Он позволил Абелю свести любую гипотетическую формулу для решения уравнения пятого порядка до самых существенных шагов: извлечь некую последовательность радикалов в определенном порядке, с различными степенями. И всегда остается возможность построить выражение так, чтобы степень снизилась до более простой: например, для корня шестой степени это будет кубический корень из квадратного корня.

Назовем такую последовательность башней радикалов. Уравнение считается решаемым с помощью радикалов, если хотя бы одно его решение может быть представлено башней радикалов. Но вместо того, чтобы искать ее, Абель просто предположил, что она существует, и задался вопросом, как тогда должно выглядеть исходное уравнение.

Сам того не понимая, Абель заполнил пробел в доказательстве Руффини. Он показал, что если уравнение может быть решено с помощью радикалов, то должна существовать башня радикалов, приводящая к этому решению, обязательно содержащая только коэффициенты исходного уравнения. Это теорема Абеля о решении алгебраических уравнений; она содержит утверждение, что нельзя решить уравнение за счет включения множества новых величин, не связанных с исходными коэффициентами. Вроде бы очевидно, но Абель понимал, что это решающий момент для всего доказательства.

Ключом к абелеву доказательству невозможности стал искусный предварительный результат. Предположим, мы взяли некоторое выражение от корней x1, x2, x3, x4, x5 уравнения и извлекли его корень p-й степени для некоторого простого числа p. Предположим, что исходное выражение не изменилось, когда мы применили две специальные перестановки:

S: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 → x 2 , x 3 , x 1 , x 4 , x 5

и

Т: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 → x 1 , x 2 , x 4 , x 5 , x 3 .

Затем Абель показал, что p-й корень из этого выражения также не изменяется, когда мы применяем S и T. Этот предварительный результат напрямую подводит нас к доказательству теоремы о невозможности подъема на «башню», ступень за ступенью. Предположим, уравнение пятой степени можно решить в радикалах, т. е. существует башня радикалов, начинающаяся с коэффициентов, по которой можно подняться к некоему решению.

Первый этаж башни – безобидное выражение с коэффициентами – не меняется, когда мы применяем перестановки S и T, потому что они влияют не на коэффициенты, а на корни. Поэтому, по предварительному результату Абеля, второй этаж башни также неизменен после применения S и T, ведь он был достигнут примыканием корня p-й степени к чему-то с первого этажа для некоего простого числа p. По той же причине третий этаж остается неизменным, когда мы применяем S и T. То же касается четвертого этажа, пятого… до самого верха.

Но последний этаж содержит некое решение. Может ли им быть x1? Если да, x1 должен оставаться неизменным, когда мы применили S. Но S, примененное к x1, дает x2, а не x1; это нас не устраивает. По схожим причинам иногда после применения T решение, определяемое башней, не может быть x2, x3, x4 или x5. Все пять корней исключены из любой такой башни – и в итоге она на самом деле не может содержать решения.

Из этой логической ловушки нет выхода. Уравнения пятой степени не имеют решения, потому что любое решение в радикалах должно обладать взаимоисключающими свойствами, а значит, не может существовать.

 

Галуа

Эстафету в разгадке не только тайны решения уравнения пятой степени, но и алгебраических уравнений в целом принял Эварист Галуа, одна из самых трагических фигур в истории математики. Галуа сам перед собой поставил задачу определить, какие уравнения могут быть решены в радикалах, а какие нет. Как и многие его предшественники, он понимал, что ключ к алгебраическому решению кроется в поведении корней в результате перестановок. Проблема заключалась в симметрии.

Руффини и Абель понимали, что выражение корней может быть как симметричным, так и нет. Оно может оказаться частично симметричным: неизменным при одних перестановках и изменяемым при других.

Галуа заметил, что перестановки, фиксирующие некоторые выражения с корнями, не обязательно формируют такие соотношения для любого их старого набора. Они имеют простую и очень характерную особенность. Если вы берете любые две перестановки, фиксирующие выражение, и перемножаете их, результат также фиксирует перестановку. Такую систему перестановок он назвал группой. Как только вы поймете верность этой идеи, доказать ее будет очень просто. Секрет в том, чтобы ее осмыслить и осознать ее важность.

ЭВАРИСТ ГАЛУА 1811–1832

Эварист Галуа был сыном Николя-Габриеля Галуа и Аделаиды-Мари Демант. Он рос в сотрясаемой революцией Франции и проникся левыми политическими взглядами. Его огромный вклад в математику оставался неоцененным еще 14 лет после его смерти.

Французская революция началась со взятия Бастилии в 1789 г. и казни Людовика XVI в 1793 г. К 1804 г. Наполеон Бонапарт провозгласил себя императором, но после серии военных неудач был вынужден отречься от престола. Монархия возродилась только в 1814 г., при Людовике XVIII. В 1824 г. он скончался, и на престол сел Карл Х.

В 1827 г. Галуа продемонстрировал свой несравненный талант – подкрепленный ярым увлечением – к математическим исследованиям. Он попытался поступить в престижную Политехническую школу, но не прошел экзамен. В 1829 г. его отец, в то время мэр города, повесился из-за скандала по ложному обвинению, раздутого его политическими врагами. Вскоре после этого Галуа повторил попытку поступить в Политехническую школу и снова потерпел неудачу. Он обучался в Высшей нормальной школе.

В 1830 г. Галуа предоставил свои исследования по решению алгебраических уравнений на конкурс, объявленный Академией наук. Председатель жюри Фурье скоропостижно скончался, бумаги были утеряны. Награда досталась Абелю (к тому времени он уже умер от туберкулеза) и Карлу Якоби. В том же году Карл Х был низложен и вынужденно сбежал, чтобы спасти свою жизнь. Директор Высшей нормальной школы запер студентов в аудитории, чтобы помешать их участию в беспорядках. Галуа в приступе ярости написал злобное письмо, обвинив директора в малодушии, и был немедленно изгнан из школы.

Компромиссной фигурой в политической борьбе стал король Луи-Филипп. Галуа вступил в республиканское ополчение, артиллерию Национальной гвардии, но новый король ее распустил. Девятнадцать офицеров артиллерийской части были арестованы за подстрекательство к мятежу, но революционно настроенный суд снял все обвинения, и гвардейцы решили отметить освобождение праздничным обедом. Там Галуа произнес ироничный тост за короля, стоя с ножом в руке. Его арестовали, но оправдали, потому что (с его слов) тост звучал как «За Луи-Филиппа, если он не изменник», и не содержал угрозы в его адрес. Однако в День взятия Бастилии Галуа снова заключили под стражу за ношение отныне запрещенной формы Национальной гвардии.

В тюрьме ему стала известна судьба его научного труда. Пуассон даже не рассмотрел его из-за недостаточной ясности изложения. Галуа попытался наложить на себя руки, но его остановили соседи по камере. Его ненависть к любым официальным лицам стала неукротимой, налицо явные признаки паранойи. Однако из-за эпидемии холеры всех заключенных выпустили на свободу.

Отрывок манускрипта, написанного рукой Галуа

В это время Галуа влюбился в некую особу, чье имя долгие годы оставалось тайной. Наконец удалось выяснить, что ее звали Стефани дю Мотель, она была дочерью лечащего врача Галуа. Ничего хорошего из этого не вышло, и Стефани ушла. Один из соратников-революционеров вызвал Галуа на дуэль – вероятно, из-за Стефани. Наиболее приемлемой версией считается история Тони Ротмана: согласно ей, противником Галуа стал Эрнест Дюшатле, сидевший с ним в одной камере. Судя по всему, дуэль оказалась разновидностью русской рулетки, когда участники выбирают из двух пистолетов, из которых заряжен только один, и обмениваются выстрелами у барьера. Галуа выбрал несчастливый пистолет, получил пулю в живот и скончался на следующий день.

Ночью накануне дуэли он написал длинное изложение своих математических идей, в том числе и доказательство невозможности решения в радикалах уравнений пятой степени и выше. В этой работе он развил концепцию группы перестановок и сделал первые важные шаги в исследовании теории групп. Его бумаги едва не затерялись, но всё же попали в руки члена Академии Жозефа Лиувилля. В 1843 г. тот выступил перед членами Академии с сообщением о том, что в бумагах Галуа «я обнаружил решение, точность которого не уступает его глубине, такой замечательной задачи: узнать, существует или не существует решение в радикалах…» [6] . Лиувилль опубликовал бумаги Галуа в 1846 г., сделав их наконец достоянием научного сообщества.

ЧТО ТЕОРИЯ ГРУПП ДАЛА ИМ

Одним из первых серьезных практических приложений теории групп стала классификация всех возможных кристаллических структур. В кристаллах атомы образуют правильную трехмерную решетку, и главной задачей математики стало выявление всех возможных групп симметрии в ней, потому что это эффективное формирование симметрии кристалла.

В 1891 г. Евграф Федоров и Артур Шенфлис доказали, что существует ровно 230 отдельных кристаллографических пространственных групп. Похожий, но незавершенный список составил и Уильям Барлоу.

Современные методики определения структуры биологических молекул, таких как протеины, основаны на прохождении рентгеновских лучей через их кристаллическую решетку и наблюдении полученной дифракционной картинки. Симметрии кристалла очень важны для определения формы исследуемой молекулы. Так же важен анализ Фурье.

Дополнительным преимуществом идей Галуа стало открытие, что уравнение пятой степени не может быть решено в радикалах, поскольку обладает неправильной симметрией. Группа общего уравнения пятого порядка состоит из всех возможных перестановок для всех его пяти корней. Алгебраическая структура этой группы противоречит решению в радикалах.

Галуа работал и во многих других областях математики, добившись не менее впечатляющих открытий. В частности, он обобщил модульную арифметику и получил то, что мы сейчас называем полями Галуа. Это конечные системы, в которых могут быть определены арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) и для которых применимы все обычные законы. Размер поля Галуа – всегда степень простого числа, и существует только одно такое поле для каждой простой степени.

 

ЖордАн

В чистой форме концепция групп впервые появилась в работе Галуа, хотя и раньше намеки на нее мелькали как в эпических трудах Руффини, так и в элегантных построениях Лагранжа. На протяжении того десятилетия, когда благодаря Лиувиллю идеи Галуа получили широкое распространение, в математике появилась хорошо развитая теория групп. Главным архитектором теории считается Камиль Жордан, чей труд на 667 страницах «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» был опубликован в 1870 г. Жордан развил всю тему систематически и всеобъемлюще.

Увлечение Жордана теорией групп началось в 1867 г., когда он продемонстрировал ее связь с геометрией явным образом, классифицировав основные виды движения твердого тела в евклидовом пространстве. А главное, он предпринял очень плодотворную попытку объяснить, как эти виды движения могуть быть объединены в группы. Главным его мотиватором стала работа Огюста Браве по кристаллографии, инициировавшего математическое изучение кристаллической симметрии, особенно лежащей в основе атомной решетки. Работа Жордана обобщила труды Браве. Он объявил о своей классификации в 1867 г. и опубликовал детали в 1868–1869 гг.

Технически Жордан работал только с замкнутыми группами, в которых любая конечная последовательность движений внутри группы также является движением в той же группе. Это относится ко всем конечным группам по очевидным причинам, а также к группам, которые подобны всем поворотам окружности вокруг ее центра. Типичным примером незамкнутой группы, не рассмотренной Жорданом, могут служить все повороты окружности вокруг ее центра на углы, кратные рациональному углу 360°/n. Эта группа существует, но не удовлетворяет свойству конечности (потому что, например, она не может включать в себя повороты на 360 × √2 градуса, поскольку √2 – не рациональное число). Незамкнутые группы движений невероятно разнообразны и практически не подлежат разумной классификации. В отличие от них замкнутые, хотя и с трудом, поддаются описанию.

Основные движения на плоскости – параллельные переносы, вращения, отражения и зеркальные отражения. В трехмерном пространстве мы также отмечаем винтовые движения, как у штопора: объект передвигается вдоль фиксированной оси и одновременно вращается вокруг нее же.

Жордан начал с группы параллельных переносов и перечислил десять видов: все сочетания непрерывных параллельных переносов (на любое расстояние) в некотором направлении и дискретных переносов (с целочисленными кратными) от фиксированного расстояния в прочих направлениях. Также он перечислил главные конечные группы для вращений и отражений: циклическая, диэдральная, тетраэдральная, октаэдральная и икосаэдральная. Он выделил группу O(2) всех вращений и отражений, которая сохраняет фиксированную линию в пространстве – ось, и группу O(3) всех вращений и отражений, которая сохраняет фиксированную точку в пространстве и точку пересечения осей.

Позже стало ясно, что список неполон. Например, в нем нет некоторых трудноуловимых кристаллографических групп в трехмерном пространстве. Однако работа стала значительным шагом к пониманию перемещений фигур, сохраняющих их неизменными в евклидовом пространстве, что крайне важно для механики, а равно и для чистой математики.

Книга Жордана получилась действительно огромной. Она начинается с модульной арифметики и полей Галуа, которые наряду с примерами групп служат логическим фундаментом всех дальнейших идей. Средняя часть посвящена группам перестановок, которые Жордан называл подстановками. Он определяет основные идеи о нормальных подгруппах, которые Галуа использовал для демонстрации, что группа симметрии уравнения пятого порядка несовместима с решением в радикалах, и доказывает, что эти подгруппы можно использовать для деления общей группы на более простые части. Он доказывает, что величина этих частей не зависит от того, как именно поделили группу. В 1889 г. Отто Гёльдер развил этот результат, проинтерпретировав части в самостоятельные группы и доказав, что не только их размер, но и структура не зависят от того, как поделили группу. Сегодня этот результат известен как теорема Жордана – Гёльдера.

Группа считается простой, если не делится таким образом. Теорема Жордана – Гёльдера однозначно утверждает, что простые группы соотносятся с общими точно так же, как атомы с молекулами в химии. Простые группы – атомные составляющие всех групп. Жордан доказал, что знакопеременная группа An, содержащая все перестановки из n символов, в которой символы попарно переставлены четное число раз, будет простой, если n ≥ 5. Это и есть главная причина, по которой теоретики групп уверены, что уравнение пятой степени не решается в радикалах.

Главным достижением стала теория линейных подстановок Жордана. Здесь преобразования, производимые с группой, не являются перестановками конечного множества: это линейные изменения для конечного списка переменных. Например, три переменные x, y, z можно преобразовать в новые переменные X, Y, Z с помощью линейных уравнений:

X = a 1 x + a 2 y + a 3 z ,

Y = b 1 x + b 2 y + b 3 z ,

Z = c 1 x + c 2 у + c 3 z ,

где a, b и с с нижними индексами – константы. Чтобы сделать группу конечной, Жордан обычно брал их так, чтобы они являлись элементами поля целых чисел по модулю некоторого простого числа, или, в общем случае, поля Галуа.

Также в 1869 г. Жордан развил свою версию теории Галуа и включил ее в свой трактат. Он доказал, что уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда разрешима сама эта группа. Это означает, что все ее элементарные компоненты имеют простой порядок. Жордан применил теорию Галуа к геометрическим задачам.

 

Симметрия

Четырехтысячелетний поиск решения прекратился, когда Руффини, Абель и Галуа доказали, что решение в радикалах невозможно. И хотя результат оказался отрицательным, сам факт исследования серьезно повлиял на дальнейшее развитие и математики, и науки в целом. Это стало возможно благодаря тому, что метод, использованный для доказательства невозможности, оказался центральным в математическом понимании симметрии, а та, в свою очередь, стала неотъемлемой частью математики и науки вообще.

ЧТО ТЕОРИЯ ГРУПП ДАЕТ НАМ

В наше время теория групп неразрывно связана с математикой и широко применяется в науке. В частности, она появляется в теории формирования узоров в самых разных отраслях науки. Одним из примеров такого использования может быть реакционно-диффузная модель, предложенная Аланом Тьюрингом в 1952 г. как одно из возможных объяснений появления симметричных пятен на шкурах животных. В уравнениях модели набор химических веществ может создать диффузию в некоторой области пространства, и эти вещества также вступают в реакции, производя новые. Тьюринг предположил, что некоторые из этих процессов могли быть заложены как образец узора в развивающемся зародыше, что позже может выразиться в образовании пигментов и пятен на шкуре взрослой особи.

Для простоты предположим, что эта область является плоскостью. Тогда уравнения будут симметричными для всех обычных движений. Единственное решение уравнений (которое симметрично для всех этих движений) однородно, одинаково везде. Для животного это означает, что у него не будет каких-то особых отметин, везде один цвет. Однако однородность может оказаться нестабильной, и в таком случае конечное видимое решение будет симметричным для некоторых движений, но не для всех остальных. Этот процесс называется деформацией, нарушающей симметрию .

Математическая модель и рыба: и там, и там узоры Тьюринга

Типичный узор, нарушающий симметрию на плоскости, состоит из параллельных полос. Еще один – повторяющиеся наборы пятен. Возможны и более сложные. Любопытно, что полосы и пятна – типичные узоры на шкурах животных. Хотя истинный биологический процесс, включающий генетические эффекты, намного сложнее построений Тьюринга, лежащий в его основе механизм нарушения симметрии должен быть очень близок к математической модели.

Последствия этого трудно переоценить. Теория групп привела к более абстрактному взгляду на алгебру и заодно на математику. Хотя много ученых-практиков поначалу активно противостояли этому, в итоге стало очевидно, что абстрактные методы зачастую более эффективны, чем конкретные, и противодействие исчезло само по себе. Теория групп также научила исследователей ценить отрицательные результаты и понимать, что упорные поиски доказательств иногда приводят к грандиозным открытиям. Представьте себе, что было бы, если бы математики просто приняли на веру, что уравнения пятой степени не решаются, не потрудившись найти доказательства. Тогда не появилась бы на свет теория групп, объясняющая, почему их нельзя решить. Выбери математики этот путь, смирись с невозможностью решений – и сама математика, и наука в целом были бы бледным подобием того, что есть сейчас.

Вот почему математикам всегда так важно доказательство.