Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Стюарт Иэн

Глава 14. Взросление алгебры

 

 

Числа прокладывают путь структурам

К 1860 г. теория групп перестановок была уже хорошо развита. Теория инвариантов – алгебраических выражений, которые не меняются, когда происходят некие изменения с переменными, – привлекла внимание к различным бесконечным множествам преобразований, таким как проективная группа всех проекций пространства. В 1868 г. Камиль Жордан изучал группы движений в трехмерном пространстве, и в ходе его исследований два направления слились в одно.

 

Изощренные концепции

Начала появляться новая алгебра, для которой объектами изучения стали не неизвестные числа, а более изощренные концепции: перестановки, преобразования, матрицы. Прошлогодние процессы с наступлением нового года уходили «в архив». Правила алгебры, долгое время остававшиеся незыблемыми, всё чаще нуждались в изменении, чтобы удовлетворить нужды новых структур. Наряду с группами математики взялись за изучение структур так называемых колец и полей, не говоря уже о разных новых видах алгебр.

Стимулы для этого изменения взгляда на алгебры пришли из уравнений в частных производных, механики и геометрии. Это обусловило развитие групп Ли и алгебры Ли. Другим источником вдохновения была теория чисел: здесь алгебраические числа можно было использовать для решения диофантовых уравнений, понимания законов взаимности и даже атак на Великую теорему Ферма. И кульминацией всего происходящего стало доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом в 1995 г.

 

Ли и Клейн

В 1869 г. норвежский математик Софус Ли подружился с немецким математиком Клейном. Они оба интересовались линейной геометрией – ответвлением проективной геометрии, открытым Юлиусом Плюккером. Ли высказал очень оригинальную идею: мол, теория Галуа для алгебраических уравнений должна иметь аналог для дифференциальных уравнений. Алгебраическое уравнение может быть решено в радикалах, только если обладает необходимыми свойствами симметрии, – это так называемая разрешимая группа Галуа. Ли предположил, что и дифференциальное уравнение может быть решено классическими способами, только если оно остается неизменным в непрерывном семействе преобразований. Ли и Клейн работали над вариантами этой идеи в 1869–1870 гг. Кульминацией стало описание геометрии через инварианты групп, данное Клейном в 1872 г. в его «Эрлангенской программе».

Она стала результатом нового подхода к евклидовой геометрии – с точки зрения симметрии. Жордан уже указал, что симметрии евклидовой плоскости представлены разного рода движениями без деформации тела: переносом, когда плоскость скользит в каком-то направлении; вращениями, которые поворачивают ее вокруг некой фиксированной точки; отражениями, которые переворачивают ее вокруг неподвижной линии, и, что менее очевидно, зеркальными отражениями, которые отражают и затем переносят ее в направлении, перпендикулярном линии зеркала. Эти преобразования образуют евклидову группу, и они жесткие – в том смысле, что они не меняют расстояния между точками. Соответственно, они не меняют и углы. Теперь длины и углы являются основными понятиями евклидовой геометрии. И Клейн понял, что это и есть инварианты для евклидовой группы: величины, которые не меняются, когда группа подвергается преобразованию.

ФЕЛИКС КЛЕЙН 1849–1925

Клейн родился в Дюссельдорфе в элитарной семье: его отец был секретарем главы прусского правительства. Он собирался стать физиком и отправился учиться в Университет Бонна, но устроился подрабатывать в лаборатории Юлиуса Плюккера. Тот вроде бы должен был заниматься прикладной математикой и экспериментальной физикой, но его интересы сосредоточились на геометрии, и Клейн попал под его влияние. Диссертация Клейна, датированная 1868 г., была посвящена линейной геометрии, ее приложениям к механике.

В 1870 г. Клейн работал вместе с Ли над теорией групп и дифференциальной геометрией. В 1871 г. он совершил открытие, что неевклидова геометрия – это геометрия проективной поверхности с определенным коническим сечением. Этот факт весьма откровенно и бескомпромиссно доказал, что неевклидова геометрия логически обоснована, точно так же как и евклидова. Этот довод практически положил конец дискуссии о статусе неевклидовой геометрии.

В 1872 г. Клейн стал профессором университета в Эрлангене, и в своей «Эрлангенской программе» 1872 г. он унифицировал практически все известные в то время виды геометрии и четко описал связи между ними, рассматривая геометрию через инварианты группы преобразований. Так геометрия стала ответвлением теории групп. Клейн написал статью по этой теме для своей торжественной речи (при утверждении его профессором), но так и не смог обнародовать ее в тот день. Сочтя Эрланген недостаточно продвинутым местом, ученый в 1875 г. перебрался в Мюнхен. Он женился на Анне Гегель, внучке великого философа. Через пять лет он переехал в Лейпциг, где расцвел его талант математика.

Клейн был уверен, что лучшая его работа была по теории функций комплексного переменного, где он провел глубокое исследование инварианта функций для различных групп преобразований комплексной плоскости. Особенно подробно в этом контексте он развил теорию простой группы порядка 168. В решении проблемы униформизации комплексных функций он вступил в соперничество с Пуанкаре, но резко подорвал здоровье – возможно, из-за слишком напряженной борьбы.

В 1886 г. Клейн занял должность профессора в Университете Гёттингена и сосредоточился на административной деятельности – учреждении самой внушительной в мире математической школы. Он возглавлял ее вплоть до ухода на пенсию в 1913 г.

Если вам известны евклидовы группы, вы сможете вычислить их инварианты и также из них получить евклидову геометрию. То же относится и к другим видам геометрии. Эллиптическая подразумевает изучение инварианта группы движений в пространстве с положительной кривизной, гиперболическая – инварианта группы движений в пространстве с отрицательной кривизной, проективная – изучение инварианта групп проекций и т. д. Точно так же, как координаты отражают связь алгебры с геометрией, инварианты выражают связь теории групп с геометрией. Каждый вид геометрии определяет группу всех преобразований, которые сохраняют соответствующие геометрические концепции. Верно и обратное: каждая группа преобразований определяет соответствующую геометрию, со своими инвариантами.

Клейн использовал эти взаимосвязи, чтобы доказать, что одни виды геометрии практически не отличаются от других, поскольку их группы идентичны, за исключением интерпретации. Более глубокий смысл этой идеи в том, что всякий вид геометрии определяется его симметрией. Есть лишь одно исключение – риманова геометрия поверхностей, чья кривизна может меняться от одной точки к другой. Она не совсем вписывалась в программу Клейна.

 

Группы Ли

Общие усилия Ли и Клейна привели Ли к открытию одной из самых важных идей в современной математике – идеи группы непрерывных преобразований, известной сейчас как группа Ли. Это концепция, совершившая революцию не только в математике, но и в физике, ведь группы Ли включают большинство самых важных видов симметрий физической Вселенной, для которой именно симметрия остается важнейшим организационным принципом – как для основополагающих философских взглядов на описание окружающего мира с помощью математических законов, так и для чисто технических расчетов.

Софус Ли создал теорию групп Ли на всплеске научной активности осенью 1873 г. Концепция групп значительно развилась со времени его ранних работ. В современных терминах группа Ли – структура, обладающая как алгебраическими, так и топологическими свойствами, тесно связанными между собой. Точнее говоря, это группа (некое множество) с операцией композиции, удовлетворяющей различным алгебраическим тождествам, особенно ассоциативному закону и топологическому многообразию (пространство, локально сходное с евклидовым, с несколькими фиксированными измерениями, которое может быть искривлено или еще как-то деформировано на глобальном уровне), с непрерывным законом композиции (малые изменения в элементах в итоге дадут малое изменение в результате). Концепция Ли была более конкретна: группа непрерывных преобразований со многими переменными. Он пришел к изучению таких групп преобразований в поисках теории разрешимости или неразрешимости дифференциальных уравнений, аналогично тому, как вышло у Галуа с алгебраическими уравнениями. Но его открытие обусловило великое множество математических приложений, причем изначально Ли нацеливался вовсе не на это.

Пожалуй, самым простым примером групп Ли является множество поворотов окружности. Любой из них однозначно определен углом от 0 до 360°. Это множество относится к группам, потому что композиция из двух поворотов также является поворотом – как сумма соответствующих углов. Это будет одномерное многообразие, потому что углы один к одному соответствуют точкам окружности, а небольшие дуги окружности – не более чем слегка искривленные отрезки той самой прямой, которая и является одномерным евклидовым пространством. Наконец, композиционный закон непрерывен, потому что малые изменения в углах в результате сложения дадут небольшое изменение их суммы.

Более любопытным примером будет группа всех поворотов в трехмерном пространстве с фиксированным началом координат. Каждый поворот здесь определяется осью – прямой, проведенной через начало координат в произвольном направлении, – и углом поворота вокруг этой оси. Для определения оси необходимы две переменные (скажем, долгота и широта точки, в которой ось встречается с соответствующей сферой с центром в начале координат) и третья переменная для определения угла поворота. Так, эта группа имеет размерность 3. В отличие от группы поворотов окружности, она некоммутативна: здесь результат объединения двух преобразований зависит от порядка их выполнения.

В 1873 г. после углубленной работы с ДУЧП Ли вернулся к теории групп преобразований, исследуя свойства бесконечно малых (инфинитезимальных) преобразований. Он показал, что такие преобразования непрерывной группы не являются замкнутыми относительно композиции, но обязательно замкнуты относительно новой операции, названной скобкой Ли и обозначаемой как [x,y]. В матричной записи это выражение называется коммутатором xy − yx для x и y. Полученная в результате алгебраическая структура известна нам как алгебра Ли. Вплоть до 1930-х гг. термины «группа Ли» и «алгебра Ли» не использовались: вместо этого говорилось о непрерывной и инфинитезимальной группах соответственно.

Существуют сильные взаимосвязи между структурами группы Ли и алгебры Ли, которую сам ученый описал в трехтомном труде «Теория групп преобразований», созданном совместно с Фридрихом Энгелем. Соавторы подробно обсудили четыре классических семейства групп, два из которых – группы поворотов в n-мерном пространстве для четного или нечетного n. Эти два случая были выбраны из-за своих выраженных особенностей. Например, при нечетном числе измерений поворот требует фиксированной оси, а в пространстве с четным числом измерений она не обязательна.

 

Киллинг

Очередной значительный шаг в развитии теории групп сделал Вильгельм Киллинг. В 1888 году он заложил основу теории структуры для алгебр Ли, в частности создал классификацию всех простых алгебр Ли – основных строительных блоков, из которых собираются все остальные алгебры Ли. Киллинг начал с известной структуры для самой понятной простой алгебры Ли – специальной линейной алгебры sl(n) для n ≥ 2. Начнем со всех матриц размера n × n с комплексными числами при условии, что скобка Ли для двух матриц A и B равна AB − BA. Эта алгебра Ли не только простая, но и подалгебра sl(n). Для всех матриц, чьи диагональные значения в сумме дают 0, она действительно простая. Она имеет размерность n2 − 1.

Ли знал структуру этой алгебры, и он показал, что любая простая алгебра Ли имеет схожую структуру. Замечательно, что он смог это доказать, исходя лишь из знания того, что алгебра Ли простая. Его метод состоял в привязке любой простой алгебры к геометрической структуре под названием «система корней». Он использовал методы линейной алгебры для изучения и классификации системы корней, а затем выводил структуру соответствующей алгебры Ли от этой системы. Значит, классификация возможной геометрии системы корней равнозначна классификации простых алгебр Ли.

Результат работы Киллинга трудно переоценить. Он доказал, что простые алгебры Ли укладываются в четыре бесконечных семейства, ныне известных как An, Bn, Cn и Dn. Вдобавок есть пять исключений: G2, F4, E6, E7 и E8. На самом деле Киллинг считал, что исключений шесть, но два оказались равнозначными алгебрами, описанными в разных выражениях. Размерности в исключительных алгебрах Ли равны 14, 56, 78, 133 и 248. Они по-прежнему несколько загадочны для ученых, хотя мы четко понимаем, почему они существуют.

 

Простые группы Ли

Из-за столь тесной связи между группами Ли и соответствующими им алгебрами классификация простых алгебр Ли ведет к классификации простых групп Ли. В частности, четыре семейства An, Bn, Cn и Dn являются алгебрами Ли для четырех классических семейств групп преобразований. Ими же являются, соответственно, группы всех линейных преобразований в (n + 1) – мерном пространстве, группы поворотов в (2n + 1) – мерном пространстве, симплектическая группа в пространстве с 2n измерениями, что особенно важно в классической и квантовой механике и оптике, и группа поворотов в 2n-мерном пространстве. Несколько заключительных штрихов к этой истории были добавлены позже, в частности введение Гарольдом Скоттом Макдональдом Коксетером и Евгением Дынкиным графического подхода к комбинаторному анализу системы корней, известного сейчас как диаграммы Коксетера – Дынкина.

Группы Ли важны для современной математики по многим причинам. Например, в механике многие системы обладают симметрией, и это позволяет найти решения для динамических уравнений. В основном именно симметрии образуют группы Ли. В математической физике изучение элементарных частиц во многом опирается на математический аппарат групп Ли, опять-таки благодаря определенным принципам симметрии. Исключительная группа Киллинга Е8 играет важную роль в теории суперструн – основополагающем направлении в поисках связей между квантовой механикой и общей теорией относительности. Сделанное Саймоном Дональдсоном в 1983 г. эпохальное открытие о том, что четырехмерное евклидово пространство обладает нестандартными дифференцируемыми структурами, открывает новый взгляд на группы всех поворотов Ли в четырехмерном пространстве. Теория групп Ли по-прежнему жизненно важна для всех отраслей математики.

 

Абстрактные группы

В «Эрлангенской программе» Клейна особый упор делается на то, что исследуемые группы состоят из преобразований, т. е. элементы группы действуют в некотором пространстве. И большая часть ранних работ по теории групп предполагает такую структуру. Но более поздние исследования потребовали нового уровня абстрагирования: сохранить свойства группы, но отказаться от понятия пространства. Группа состоит из математических объектов, которые могут быть объединены для получения аналогичных объектов, но они не обязательно должны быть преобразованиями.

Это могут быть числа. Два числа (целые, рациональные, действительные, комплексные) могут быть сложены, и результатом также станет число такого же вида. Числа образуют группу с помощью операции сложения. Но число – не преобразование. Несмотря даже на роль групп как преобразований, объединивших геометрии, от понятия связанного с ними пространства лучше отказаться, чтобы объединить теорию групп.

Одним из первых математиков, решившихся предложить такой шаг, стал Артур Кейли в трех своих статьях от 1849 и 1854 гг. Он говорил, что группа содержит набор операторов 1, a, b, c и т. д. Объединение ab двух любых операторов должно быть другим оператором; особый оператор 1 удовлетворяет условию 1a = a и a1 = a для всех операторов a; ассоциативный закон (ab)c = a(bc) должен сохраняться. Но его операторы по-прежнему опирались на что-то еще (множество переменных). Кроме того, он пропустил решающее условие: для любого a должно быть обратное a´, такое, что a´a = aa´ = 1. Так Кейли хотя и подобрался к призу, но промахнулся на волосок.

В 1858 г. Рихард Дедекинд позволил членам группы быть произвольными сущностями, а не только преобразованиями или операторами, однако включил в свое определение коммуникационный закон ab = ba. Эта идея отлично послужила для его цели – теории чисел, но оставляла в стороне самые любопытные группы в теории Галуа, не говоря о более широком математическом мире. Современная концепция абстрактной группы была предложена Вальтером фон Диком в 1882–1883 гг. Он допускал обратимость, но отрицал необходимость закона коммутативности. Полноценный аксиоматичный подход к группам появился позже, в 1902 г., благодаря Эдуарду Хантингтону, Элиакиму Муру (1902) и Леонарду Диксону (1905).

С абстрактной структурой группы отделились от конкретной интерпретации, и их теория стала стремительно развиваться. Ранние исследования по большей части касались частных случаев: ученые, заинтересовавшиеся примерами отдельных групп или каких-то особых их типов, старались выявить их общие черты. Необходимые в этой области основные понятия и методы появились на удивление быстро, и теперь эта тема процветает.

 

Теория чисел

Еще одним источником новейших алгебраических идей стала теория чисел. Начало ей положил Гаусс, представив ученым то, что сейчас называется гауссовыми целыми числами. Это были комплексные числа a + bi, где a и b целые числа. Сумма и произведение этих чисел имеют такой же вид. Гаусс открыл, что понятие простых чисел обобщается на гауссовы целые числа. Они простые, если не могут быть выражены как произведение других гауссовых целых чисел, за исключением тривиальных случаев. Разложение гауссовых целых чисел на простые множители уникально. Некоторые из простых чисел, например 3 и 7, остаются простыми, даже если выражены через гауссовы простые числа, другие – нет: например, 5 = (2 + i)(2 – i). Этот факт тесно связан с теоремой Ферма о простых числах и их представлении как суммы двух квадратов, причем гауссовы простые числа иллюстрируют эту теорему и родственные ей.

Если мы разделим одно гауссово целое число на другое, полученный результат окажется не обязательно гауссовым целым числом, но, по крайней мере, близким к нему: он будет иметь вид a + bi, где a и b – рациональные числа. Это и есть гауссовы числа. Используя более общий подход, ученые, занимающиеся теорией чисел, открыли, что происходит нечто одинаковое, если мы возьмем любой многочлен p(x) с целыми коэффициентами и затем рассмотрим все линейные комбинации a1x1 + … + anxn от его корней x1, …, xn. Положим, что a1, …, an – рациональные числа, тогда мы получаем систему комплексных чисел, которая замкнута относительно сложения, вычитания, умножения и деления; это значит, что, когда эти действия применяются к такому числу, в результате получается число подобного же рода. Такая система представляет собой поле алгебраических чисел. Если же вместо этого мы потребуем, чтобы a1, …, an были целыми, то система станет замкнутой относительно сложения, вычитания и умножения, но не деления: тогда мы получим кольцо алгебраических чисел.

Самым знаменитым приложением этих новых числовых систем стала Великая теорема Ферма – утверждение о том, что уравнение Ферма, xn + yn = zn, не имеет целочисленного решения, если n равно или больше 3. Никому не удавалось восстановить якобы найденное Ферма «чудесное доказательство», и чем дальше, тем больше было сомнений в том, что он в принципе его создал. Но был достигнут и некоторый прогресс. Ферма нашел доказательство для третьей и четвертой степеней, Петер Лежён Дирихле в 1828 г. преодолел пятую степень, Анри Лебег нашел доказательство для седьмой степени в 1840 г.

В 1847 г. Габриель Ламе заявил, что нашел доказательство для любой степени, но Эрнст Эдуард Куммер указал на допущенную им ошибку. Ламе без доказательств принял утверждение, что единственность разложения числа на простые множители справедлива для алгебраических чисел, но это неверно для некоторых (скорее, для большинства) полей алгебраических чисел. Куммер показал, что единственность не соблюдается для поля, полученного в исследовании Великой теоремы Ферма для 23-й степени. Однако это не обескуражило Куммера, и он нашел способ обойти возражение, изобретя новый математический аппарат – теорию идеальных чисел. В 1847 г. он доказал теорему Ферма для всех подряд степеней вплоть до 100, за исключением 37, 59 и 67. Развивая свое изобретение, ученый сумел справиться и с этими случаями в 1857 г. К 1980-м гг. эти методы позволили найти доказательства для всех случаев до 150 000-й степени, но их возможности к этому моменту оказались практически исчерпаны.

 

Кольца, поля и алгебры

Определение Куммера для идеального числа было громоздким, и Дедекинд заново сформулировал его в терминах идеалов – специальных подсистем целых алгебраических чисел. Благодаря школе Давида Гильберта в Гёттингене, в частности Эмми Нётер, эта отрасль науки получила солидный фундамент в виде аксиом. В их списке, кроме групп, были определены три другие алгебраические системы: кольца, поля и алгебры.

В кольце определены такие действия, как сложение, вычитание и умножение, причем они удовлетворяют всем обычным законам алгебры, за исключением коммутативного для умножения. Если же в системе выполняется и он, значит, мы имеем дело с коммутативным кольцом.

ЭММИ АМАЛИЯ НЁТЕР 1882–1935

Эмми Нётер появилась на свет в еврейской семье математика Макса Нётера и Иды Кауфманн. В 1900 г. она получила право преподавать языки, но решила связать свое будущее с математикой. К тому времени в немецких университетах уже позволяли женщинам обучаться на неофициальной основе с позволения их профессора, чем Нётер и пользовалась с 1900 по 1902 г. в Университете Эрлангена. Затем она перебралась в Гёттинген, чтобы прослушать курсы лекций Гильберта, Клейна, Минковского в 1903 и 1904 гг.

Она написала докторскую диссертацию под руководством Пауля Гордана в 1907 г. Диссертация была посвящена вычислениям очень сложной системы инвариантов. Для мужчины следующим шагом стало бы получение степени хабилитированного доктора, но это было невозможно для женщины. Она оставалась дома в Эрлангене, ухаживая за больным отцом, однако продолжала свои исследования и быстро заслужила репутацию серьезного ученого.

В 1915 г. ее снова пригласили в Гёттинген Клейн и Гильберт, приложившие все силы, чтобы получить для нее разрешение работать на факультете. Им удалось добиться своего в 1919 г. Вскоре после своего прибытия она доказала фундаментальную теорему, известную как теорема Нётер, о связывающей симметрии физической системы с законом сохранения. Ряд ее работ Эйнштейн использовал для формулировки некоторых частей своей общей теории относительности. В 1921 г. она написала статью по теории колец и идеалов, изложив ее с точки зрения абстрактной аксиоматики. Ее работа заметно повлияла на классический труд Бартеля Леендерта ван дер Вардена «Современная алгебра». Когда Германия оказалась под властью нацистов, Нётер уволили из-за еврейского происхождения, и она эмигрировала в США. Ван дер Варден говорил, что для нее взаимоотношения между числами, функциями и преобразованиями абсолютно прозрачны и легко поддаются обобщению и обработке, подчиняясь общей концепции.

Для поля определены такие действия, как сложение, вычитание, умножение и деление, и они удовлетворяют всем обычным законам алгебры, в том числе и коммутативному для умножения. Если последний не работает, мы имеем дело с алгебраическим телом.

Любая алгебра подобна кольцу, но число ее элементов можно также умножить на различные константы, действительные, комплексные числа или – в самом общем случае – на поле. Законы сложения самые обычные, а умножение должно удовлетворять набору разных аксиом. Если при этом выполняется ассоциативность, мы имеем дело с ассоциативной алгеброй. Если они удовлетворяют законам, связанным с коммутатором xy – yx, то это будет алгебра Ли.

Существуют десятки, если не сотни, различных типов алгебраических структур, каждая со своим списком аксиом. Некоторые были созданы только для изучения последствий отдельных интересных аксиом, но большинство обязаны своим появлением необходимости решить какую-то определенную проблему.

 

Простые конечные группы

Высшим достижением исследований XX в., посвященных конечным группам, стала успешная классификация самых простых из них. Это открытие Киллинг совершил, работая с группами и алгебрами Ли. Это буквально привело к полному описанию всех возможных базовых элементарных кирпичиков для конечных групп, а именно простых групп. Если под группой подразумеваются молекулы какого-то вещества, простыми группами будут образующие их атомы.

ЭНДРЮ УАЙЛС род. 1953

Эндрю Уайлс родился в Кембридже в 1953 г. В возрасте десяти лет он прочел о Великой теореме Ферма. Тогда он решил стать математиком и доказать ее. К тому времени, как ученый получил докторскую степень, он практически отказался от этой идеи, поскольку теорема казалась неразрешимой. Уайлс предпочел заняться теорией чисел эллиптических кривых – вроде бы совершенно другой областью математики. Он переехал в США и стал профессором в Принстоне.

К 1980-м гг. уже стало ясно, что между Великой теоремой Ферма и глубокими и трудными вопросами по эллиптическим кривым есть неожиданная связь. Герхард Фрай сделал ее явной с помощью так называемой гипотезы Таниямы – Симуры. Когда Уайлс узнал об идее Фрая, он прекратил все другие исследования, чтобы полностью сосредоточиться на Великой теореме Ферма. После семи лет исследований он убедил себя, что нашел доказательство, основанное на особом случае гипотезы Таниямы – Симуры. Как выяснилось, в этом доказательстве была серьезная дыра, но Уайлсу с Ричардом Тейлором удалось ее закрыть: полное доказательство было опубликовано в 1995 г.

Другие математики вскоре расширили доказательство гипотезы Таниямы – Симуры, продолжая развивать новый метод. За свою работу Уайлс удостоился больших почестей, в том числе премии Вольфа. В 1998 г., уже не подходя по возрасту для конкурса на Филдсовскую премию и медаль, по традиции присуждаемые ученым до 40 лет, он был награжден специальной серебряной тарелкой от Международного математического союза. В 2000 г. он был посвящен в рыцари-командоры ордена Британской империи.

Классификация Киллинга для простых групп Ли доказала, что они могут относиться к одному из четырех бесконечных семейств An, Bn, Cn и Dn с пятью исключениями: G2, F4, E6, E7 и E8. Возможными классификациями всех простых конечных групп занимались слишком многие математики, чтобы перечислить их поименно, но общее направление в решении этой проблемы было задано Даниэлем Горенштейном. Его ответ, опубликованный в 1988–1990 гг., до странности знаком: список бесконечных семейств и список исключений. Но в нем уже гораздо больше семейств, а число исключений увеличилось до 26.

Семейства включают знакопеременные группы (известные еще Галуа) и ряд групп типа Ли, похожих на простые, но заданных над разными конечными полями, а не над комплексными числами. В этой области есть несколько любопытных вариаций. Исключениями оказываются 26 отдельных групп с некоторыми намеками на общие свойства, но без унифицированной структуры. Первое доказательство того, что классификация полная, пришло из совокупности трудов сотен математиков общим объемом около 10 тыс. страниц. Ряд самых важных частей доказательства так и не был опубликован. Последние работы тех, кто продолжает исследовать эту область, посвящены построению более простой и прозрачной классификации, – подход, ставший возможным благодаря тому, что ответ уже известен. Результаты выходят в свет в виде сборников статей, объем которых в сумме уже составляет около 2000 страниц.

Самой загадочной из входящих в число исключительных простых групп и самой большой из них остается так называемый монстр. Его порядок таков:

2 46 × 3 20 × 5 9 × 7 6 × 11 2 × 13 3 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 41 × 47 × 59 × 71,

что равно

808017424794512875886459904961710757005754368000000000,

это приблизительно 8 × 1053. Существование монстра предположили в 1973 г. Бернд Фишер и Роберт Грисс. В 1980 г. Грисс доказал, что он существует, и построил его алгебраическую конструкцию как группу симметрии алгебры с 196 884 измерениями. Этот монстр, судя по всему, имеет неожиданные связи с теорией чисел и комплексным анализом, сформулированные Джоном Конвеем как «гипотеза чудовищного вздора». Гипотеза была доказана в 1992 г. Ричардом Борчердсом, за что он получил Филдсовскую медаль – самую престижную награду для математика.

 

Великая теорема Ферма

Применение алгебраических числовых полей к теории чисел стремительно развивалось во второй половине ХХ в., причем возникало всё больше связей с прочими областями математики, включая теорию Галуа и алгебраическую топологию. Кульминацией этой работы стало доказательство Великой теоремы Ферма почти через 350 лет после ее первого упоминания.

Идея, обеспечившая возможность решения этой задачи, пришла из прекрасной области, заключенной в самом сердце современных трудов по диофантовым уравнениям, – теории эллиптических кривых. Это те кривые, у которых полный квадрат равен кубическому многочлену, и они представляют ту область уравнений Диофанта, которая понятна математикам. Однако сам предмет не лишен своих нерешенных проблем. Самой значительной остается гипотеза Таниямы – Вейля, названная в честь Ютаки Таниямы и Андре Вейля. Она гласит, что любую эллиптическую кривую можно описать в терминах модулярных функций – обобщений тригонометрических функций, в частности изучавшихся Клейном.

ЧТО АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА ДАЛА ИМ

В своем труде «Исследование законов мышления», опубликованном в 1854 г., Джордж Буль показал, что алгебра применима к логике, и в результате открыл то, что сейчас называется булевой алгеброй.

Я могу дать лишь набросок высказанных Булем идей. Самыми важными логическими операциями являются не, и, или . Если утверждение S истинно, то утверждение « не S» ложно, и наоборот. Утверждение «S и T» будет истинно тогда и только тогда, когда оба утверждения, S и T, истинны. Утверждение «S или T» истинно, когда истинны либо S, либо T, либо они оба одновременно. Буль обратил внимание на то, что если вместо Т мы поставим 1, а вместо S – 0, алгебра этих логических операций будет очень напоминать обычную, если мы примем, что 0 и 1 – целые числа по модулю 2; тогда 1 + 1 = 0 и – S по абсолютной величине равно S. Тогда «не S» есть 1 + S, «S и Т» есть ST и «S или T» есть S + T + ST. Сумма S + T соответствует исключающему или ( xor на языке компьютерщиков). «S xor T» истинно при условии, что истинно либо T, либо S, но не оба одновременно. Буль открыл, что его курьезная алгебра логики полностью самосогласована, если вы запомните ее немного странные правила и будете использовать их систематически. Это был один из первых шагов в сторону формальной теории математической логики.

В начале 1980-х гг. Герхард Фрай открыл связь между Великой теоремой Ферма и эллиптическими кривыми. Предположим, что решение для уравнения Ферма существует; тогда вы можете построить эллиптическую кривую с очень необычными свойствами, такими, что даже само существование такой кривой покажется невероятным. В 1986 г. Кеннет Рибет развил эту идею, доказав, что если гипотеза Таниямы – Вейля верна, то кривая Фрая существовать не может. Получается, предположенное ранее решение теоремы Ферма тоже не может существовать, что доказывает Великую теорему Ферма. Этот подход основан на гипотезе Таниямы – Вейля и к тому же показывает, что Великая теорема Ферма – не просто исторический курьез. Напротив, она лежит в основе современной теории чисел.

Эндрю Уайлс с детства мечтал найти доказательство Великой теоремы Ферма, но, став профессионалом, решил, что это не более чем отдельная проблема – пусть нерешенная, но не такая уж и важная. Работа Рибета заставила его изменить мнение. В 1993 г. он заявил о доказательстве гипотезы Таниямы – Вейля для отдельного класса эллиптических кривых, достаточно общем, чтобы найти доказательство Великой теоремы Ферма. Но когда статья уже была готова к публикации, в ней обнаружился серьезный пробел. Уайлс был готов сдаться, когда «внезапно, неожиданно на меня снизошло это невероятное откровение… это было столь неописуемо прекрасно, столь элегантно и просто, и я оцепенел, не в силах поверить». При участии Ричарда Тейлора он пересмотрел свое доказательство и сумел исправить пробел. Его статья вышла в 1995 г.

В одном мы можем быть уверены: что бы ни подразумевал сам Ферма, заявляя, что у него есть доказательство его Великой теоремы, его подход был совершенно иным по сравнению с методами Уайлса. Нашел ли Ферма на самом деле простое и изящное доказательство, или он обманывал сам себя? Эту загадку, в отличие от самой теоремы, мы не разгадаем никогда.

 

Абстрактная математика

Развитие всё более абстрактного подхода в математике представляется естественным следствием роста разнообразия ее областей. Когда математика по большей части имела дело с числами, алгебраические символы служили не более чем простой заменой им. Но по мере развития математики росли и символы сами по себе, всё больше обретая самостоятельную жизнь. Смысл их становился всё менее важным по сравнению с правилами, по которым с ними можно было манипулировать. Но даже эти правила не были под запретом: традиционные законы арифметики, например коммутативный, далеко не всегда справлялись с новым контекстом.

И не только алгебра стала абстрактной. И анализу, и геометрии тоже пришлось сфокусироваться на более отвлеченных понятиях, причем по тем же причинам. Поворотным временем в изменении общего подхода стал период с середины XIX до середины XX в. Потом начался период консолидации, когда математики старались сбалансировать противоречия между требованиями абстрактного формализма и прикладной науки. Абстракция и обобщения шли рука об руку, но абстракция также способна и затенять значение математики. По крайней мере, больше не возникало споров о необходимости абстракции как таковой: подобные методы доказали свою важность в решении множества давних задач, таких как Великая теорема Ферма. И то, что еще вчера казалось не более чем отвлеченными играми разума, завтра могло запросто стать жизненно важной областью науки или источником хорошего дохода.

ЧТО АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА ДАЕТ НАМ

Поля Галуа создали надежный фундамент для системы кодирования, которая широко используется в различных коммерческих предложениях, особенно для CD и DVD. Всякий раз, слушая музыку или смотря видео, вы используете абстрактную алгебру.

Эти методы получили название кодов Рида – Соломона, в честь Ирвинга Рида и Густава Соломона, открывших их в 1960 г. Эти коды с исправлением ошибок, основанные на многочленах, с коэффициентами в конечных полях, применяются при кодировании данных, таких как музыка или видеосигналы. Известно, что многочлен степени n однозначно определяется своими значениями в различных точках. Идея состоит в вычислении многочлена в более чем n точках. Если здесь нет ошибок, любое подмножество из n точек восстановит тот же самый многочлен. Если это не так, то, исходя из предположения, что количество ошибок не слишком велико, мы всё еще сможем вывести нужный многочлен.

На практике данные представлены в виде кодированных блоков с 2 m  – 1 m -байтных символов в каждом, где байт – двоичный символ: 0 или 1. Чаще всего выбирается значение m = 8, потому что многие старые компьютеры работают в байтах – последовательностях из восьми битов. Тогда число символов в блоке равно 255. Один обычный код Рида – Соломона содержит 223 байта закодированных данных в каждом 223-байтном блоке, и оставшиеся 32 байта отводятся на символы четности, в которых указано, должны ли определенные комбинации цифр в данных быть нечетными или четными. Такой код может исправлять до 16 ошибок в одном блоке.