Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Стюарт Иэн

Глава 16. Четвертое измерение

 

 

Геометрия за пределами нашего мира

В своей научно-фантастической книге «Машина времени» Герберт Уэллс описывал скрытую природу пространства и времени в стиле, уже нам знакомом, но наверняка вызвавшем бы недоумение у современников из викторианской эпохи: «И всё же существуют четыре измерения, из которых три мы называем пространственными, а четвертое – временным». В поддержку своего мнения он добавляет: «Правда, существует тенденция противопоставить три первых измерения последнему, но только потому, что наше сознание от начала нашей жизни и до ее конца движется рывками лишь в одном направлении этого последнего измерения… Однако некоторый философские умы задавали себе вопрос: почему же могут существовать только три измерения? Почему не может существовать еще одно направление под прямым углом к трем остальным? Они пытались даже создать Геометрию Четырех Измерений». Его главный герой идет еще дальше: преодолевает традиционную ограниченность человеческого сознания и путешествует в четвертом измерении, времени, как если бы это было одно из «нормальных» измерений пространства.

 

Четвертое измерение

Искусство автора научной фантастики состоит в умении подать читателям самые невероятные вещи, и Уэллс сообщает читателям, что всего около месяца тому назад профессор Саймон Ньюком излагал эту проблему перед Нью-Йоркским математическим обществом. Здесь Уэллс мог даже ссылаться на реальное событие. Нам известно, что Ньюком был маститым астрономом и даже читал лекцию о четырехмерном пространстве примерно в то же время. Он выражал свежие веяния в математической и научной мысли, освободившейся от традиционного представления о том, что пространство имеет только три измерения. Само по себе это не делает возможным путешествие во времени, но позволяет Уэллсу сформулировать некие наблюдения о человеческой натуре современников, отправив путешественника во времени в беспокойное будущее.

«Машина времени», увидевшая свет в 1895 г., отражала одержимость четвертым измерением, свойственную викторианской эпохе. Это непостижимое, невидимое человеку пространство традиционно считалось местом обитания всяческих призраков, духов или даже самого Всевышнего. Четвертое измерение понравилось не только шарлатанам и писателям: о нем принялись рассуждать ученые, и понятие такого пространства формализовали математики. Прошло лишь несколько десятилетий, и мы видим, что математики привычно оперируют не только четырьмя, но и пятью, и шестью, и десятью, и миллионом, и даже бесконечным числом измерений. Приемы и образ мышления, сложившиеся в многомерной геометрии, стали применяться практически во всех отраслях науки – вплоть до биологии и экономики.

Многомерные пространства пока остаются практически неизвестными вне научного сообщества, однако трудно представить себе современное мышление без использования этих методов, какими бы отстраненными они ни казались с точки зрения обыденной жизни. Ученые в попытке объединить две основные теории о законах существования физической вселенной, теорию относительности и квантовую механику, склоняются к предположению, что актуальное для нас пространство скорее имеет девять или десять измерений, а не три, как нам обычно кажется. В свете нового всплеска дискуссий о неевклидовой геометрии трехмерное пространство всё чаще рассматривается как всего лишь одно из многих, а не единственное возможное.

Эти изменения стали реальны благодаря тому, что такие понятия, как пространство и измерение, стали интерпретироваться более обобщенно, не противореча привычному пониманию этих слов в быту или СМИ, однако оставляя лазейку и для других возможностей. Для математиков пространство обозначает набор неких объектов с определенным расстоянием между каждыми двумя из них. Воспользовавшись приемом Декарта, предложившего идею координат, мы можем определить число измерений пространства по количеству чисел, необходимых для описания некоего объекта. Принимая за объекты точки и используя обычное понятие расстояния на плоскости или в пространстве, мы находим, что плоскость имеет два измерения, а пространство – три. Но возможны и другие наборы объектов с четырьмя измерениями или более.

Предположим, что объекты – сферы в трехмерном пространстве. Нам потребуется четыре числа (x, y, z, r), чтобы описать сферу: три координаты для ее центра (x, y, z) плюс радиус r. Иными словами, пространство всех сфер имеет четыре измерения. Примеры вроде этого показывают, что даже самый естественный математический вопрос легко приводит нас к многомерным пространствам.

Конечно, современные математики давно ушли дальше. Абстрактно четырехмерное пространство определяется как множество всех числовых четверок (x1, x2, x3, x4). Пространство с n измерениями – для любого целого n – определяется как множество всех наборов (x1, x2, …, xn) из n чисел. В каком-то смысле это уже знакомая история: интригующее и загадочное понятие многомерности рассыпается до тривиальности – очередной длинной цепочки чисел.

Сейчас нам понятна такая точка зрения, но ей потребовалось немало времени, чтобы укрепиться в сознании ученых. Математики отчаянно спорили, едва ли не с пеной у рта, о значении и реальности существования многомерных пространств. Понадобилось почти 100 лет, чтобы эти идеи распространились достаточно широко. Однако использование этих пространств и связанного с ними геометрического воображения оказалось столь эффективным, что возражения иссякли сами собой.

 

Трех- или четырехмерное пространство

Ирония в том, что современная концепция многомерных пространств была порождена алгеброй, а не геометрией – как следствие неудачной попытки развить трехмерную числовую систему, аналогичную двумерной системе комплексных чисел. Разделение между двумя и тремя измерениями восходит к «Началам» Евклида. Первая часть его книги посвящена геометрии плоскости – двумерному пространству. Вторая же связана с геометрией тел – это геометрия трехмерного пространства. Вплоть до XIX в. само слово «измерение» воспринималось исключительно в этом знакомом контексте.

Греческая геометрия была не более чем формализацией наших визуальных и тактильных ощущений, позволяющих мозгу выстроить мысленную модель отношений расстояний во внешнем мире. Она изначально ограничена возможностями наших органов чувств и восприятия мира, в котором обитаем. Греки верили, что геометрия описывает реальное пространство, где мы живем, и делали вывод, что физическое пространство должно быть евклидовым. Отвлеченный математический вопрос «Может ли четырехмерное пространство существовать в некоем концептуальном плане?» перекликался с физическим «Может ли существовать реальное пространство с четырьмя измерениями?». А этот вопрос перекликался с «Могут ли существовать четыре измерения где-то внутри нашего знакомого пространства?». Иными словами, существовало убеждение, что четырехмерное пространство невозможно.

УИЛЬЯМ РОУЭН ГАМИЛЬТОН 1805–1865

Математический гений Гамильтона проявился так рано, что он был назначен профессором астрономии в Тринити-колледже в Дублине, еще будучи студентом, в возрасте 21 года. Этот пост принес ему титул королевского астронома Ирландии.

Он совершил немало прорывов в математике, но самым значимым всегда считал открытие кватернионов. Он утверждал: «Кватернионы ‹…› полностью сформировались и зажили своей жизнью 16 октября 1843 г., когда я пешком шел с леди Гамильтон по Дублину и оказался на мосту Брум. Там я в буквальном смысле тут же ощутил замкнутую гальваническую цепь мысли, и искры, выпавшие из нее, были фундаментальными уравнениями для i, j и k – в точности в том виде , в каком я использовал их с тех пор. Я тут же выхватил из кармана записную книжку, которая до сих пор хранится у меня, и сделал наброски. И в тот же миг мне стало ясно, что ради этого результата я трудился не покладая рук последние десять, а то и пятнадцать лет. В тот момент я почувствовал, что проблема решена , и мой ум испытал желанное облегчение от того груза, что не давал мне покоя целых пятнадцать лет».

Гамильтон немедленно вырезал свое уравнение на камнях моста:

i 2 = j 2 = k 2 = ijk  – 1.

Геометрия начала избавляться от оков этого ограниченного мировоззрения, когда алгебраисты итальянского Ренессанса невольно натолкнулись на возможность более глубокого расширения концепции чисел, признав существование квадратного корня из –1. Валлис, Вессель, Арган и Гаусс разработали принципы интерпретации получаемых в результате комплексных чисел в виде точек на плоскости, избавив тем самым числа от оков одномерности вещественной прямой. В 1837 г. ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон упростил эту тему до алгебраического выражения, определив комплексное число x + iy как пару действительных чисел (x, y). Он далее определил сложение и умножение таких пар правилами:

( x, y ) + ( u, v ) = ( x + u, y + v )

( x, y )( u, v ) = ( xu – yv, xv + yu ).

При таком подходе пара вида (x, 0) ведет себя как действительное число x, а особая пара (0, 1) – как i. Идея проста, но для ее принятия потребовалось изобрести изощренную концепцию математического мировосприятия.

Следом Гамильтон обратил свое внимание на нечто более амбициозное. Было хорошо известно, что комплексные числа дают возможность разрешить множество проблем математической физики, связанных с задачами на плоскости, используя простые и изящные методы. Такому же приему для трехмерного пространства не было бы цены. И ученый попытался изобрести трехмерную числовую систему в надежде, что соответствующие вычисления решат важные проблемы математической физики в трехмерном пространстве. Он по умолчанию предположил, что эта система будет удовлетворять всем обычным законам алгебры. Но, несмотря на героические усилия, он так и не нашел такую систему.

А потом он понял почему. Это было невозможно.

Среди общепринятых законов алгебры имеется коммутативный закон умножения, согласно которому ab = ba. Гамильтон потратил годы на то, чтобы создать эффективную алгебру для трех измерений. И он все-таки нашел ее – числовую систему под названием кватернионы. Однако это была алгебра для четырех измерений, а не для трех, и здесь умножение не было коммутативно.

Кватернионы похожи на комплексные числа, но вместо одного нового числа i здесь их три: i, j, k. Кватернион является комбинацией этих чисел, например 7 + 8i – 2j + 4k. Точно так же, как комплексные числа двумерны, поскольку составлены из двух независимых величин 1 и i, кватернионы четырехмерны, так как составлены из независимых величин 1, i, j и k. Они могут быть формально определены алгебраически как четверки действительных чисел со своими правилами сложения и умножения.

 

Многомерное пространство

Когда Гамильтон совершил прорыв, математики уже принимали многомерные пространства как нечто вполне естественное и даже открыли ряд физических толкований того, почему основными элементами пространства может быть что-то кроме точек. В 1846 г. Юлиус Плюккер указывал, что для описания линии в пространстве необходимы четыре числа. Два определяют, где линия пересекает некую фиксированную плоскость, а еще два – направление относительно этой плоскости. Значит, если наше знакомое пространство считать набором линий, оно имеет не три, а четыре измерения. Но оставалось ощущение, что такое построение чересчур умозрительно и что пространство, образованное четырьмя измерениями, неестественно. Кватернионы Гамильтона можно естественным образом проинтерпретировать как вращения, и их алгебра безупречна. Они так же естественны, как комплексные числа, – а значит, и четырехмерное пространство так же естественно, как плоскость.

Идея быстро вышла за рамки четырех измерений. Гамильтон продвигал свои возлюбленные кватернионы, а преподаватель математики Герман Гюнтер Грассман в это время занимался открытием расширения числовой системы для пространства с любым количеством измерений. Он опубликовал свою идею в 1844 г. в своем «Учении о линейной протяженности». Его выкладки оказались слишком загадочными и абстрактными, поэтому не привлекли особого внимания. В 1862 г., не желая с этим мириться, ученый выпустил переработанную версию своего труда, «Учение о протяженности», уверенный, что на этот раз материал изложен более доступно. Увы, это было не так.

Несмотря на холодный прием, работа Грассмана была фундаментально важной. Он открыл, что можно заменить четыре единицы 1, i, j и k кватернионов любым количеством единиц. Комбинации последних он назвал гиперчислами. Он отдавал себе отчет в том, что его подход имеет ограничения, ему стоит быть осторожным и не возлагать лишних надежд на арифметику гиперчисел: рабское подчинение законам традиционной алгебры никуда его не приведет.

Тем временем физики развивали свое видение многомерных пространств, опираясь не на геометрию, а на уравнения Максвелла для электромагнетизма. Здесь и магнитное, и электрическое поля были векторами – обладали направлением в трехмерном пространстве наряду со скалярной величиной (численным значением). Векторы при желании изображаются стрелками, выстроенными в линии магнитного или электрического поля. Длина стрелки показывает силу поля, а острие – направление, куда оно обращено.

Со временем уравнений Максвелла набралось всего восемь, причем туда входило две группы по три уравнения: по одному для каждого компонента электрического или магнитного поля с учетом всех трех измерений пространства. Жизнь была бы намного легче, если бы удалось собрать каждую из этих троек в единое векторное уравнение. Максвеллу удалось достичь этого благодаря кватернионам, но его подход оказался грубоватым. Независимо друг от друга физик Джозайя Уиллард Гиббс и инженер Оливер Хевисайд нашли более простой путь для алгебраического представления векторов. Гиббс в 1881 г. тайно напечатал свою статью «Элементы векторного анализа» в помощь своим студентам. Он пояснил, что его идеи необходимы скорее для практического использования, чем для математической изысканности. Над его заметками поработал также Эдвин Уилсон, и в 1901 г. они опубликовали совместный труд «Векторный анализ». Хевисайд высказал те же самые общие идеи в первом томе своей «Электромагнитной теории» в 1893 г. (следующие два тома вышли в 1899 и 1912 гг. соответственно).

Изначально различные системы: кватернионы Гамильтона, гиперкомплексные числа Грассмана и векторы Гиббса – очень быстро сошлись к одному и тому же математическому описанию вектора. Это тройка чисел (x, y, z). Так спустя 250 лет и математики, и физики из разных частей света нашли свой путь обратно к Декарту – только теперь его идея координат оказалась лишь частью истории. Тройки представляли не просто точки, а направленные величины. Здесь заключалась огромная разница – и это не был формализм; это стало новой интерпретацией, физическим толкованием.

Математики гадали, какими свойствами порадуют их системы гиперкомплексных чисел. Для них вопрос звучал не «Есть ли от них польза?», а «Интересны ли они ученым?». Так математики сосредоточились на алгебраических свойствах систем n-х гиперкомплексных чисел для любого n. Фактически здесь уже шла речь о n-мерных пространствах плюс алгебраических действиях, но на первых порах все предпочитали мыслить алгебраически, оставляя геометрические аспекты проблемы под спудом.

 

Дифференциальная геометрия

Геометры ответили на вторжение на их территорию алгебраистов, подвергнув гиперкомплексные числа геометрической интерпретации. Ключевой фигурой в этом действе стал Риман. Он работал над своей хабилитацией в надежде получить право брать плату с обучавшихся у него студентов. Кандидату на степень хабилитированного доктора полагалось прочесть публичную лекцию на тему его собственного исследования. Следуя привычной процедуре, Гаусс попросил Римана представить ему список тем, из которых он мог бы что-то окончательно выбрать. Одна из тем называлась «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», и Гаусс, также интересовавшийся этими вопросами, выбрал именно ее.

Риман был в ужасе: мало того, что он вообще терпеть не мог выступать на публике, так и тема была им почти не проработана. Но сама идея оказалась блестящей: геометрия для n измерений, под которой он подразумевал систему с n координатами (x1, x2, …, xn), в которую введено понятие расстояния между близлежащими точками. Он назвал такое пространство многообразием. Предложение было весьма радикальным, но оно привело к еще более радикальному выводу: многообразия могут искривляться. Гаусс занимался изучением кривизны поверхностей и вывел изящную формулу, естественно описывающую кривизну по существу – исключительно в терминах поверхности, а не пространства, где та помещается.

Риман намеревался вывести похожую формулу для кривизны многообразия, обобщив формулу Гаусса для n измерений. Она тоже должна была стать неотъемлемой для многообразия – для нее не надо будет использовать какое-либо пространство. Попытки Римана развить понятие кривизны в пространстве с n измерениями привели его на грань нервного срыва. Положение усугубилось еще и тем, что он активно помогал коллеге Гаусса Веберу, занимавшемуся исследованием электричества. Риман не сдавался, и наблюдения за взаимодействием электрических и магнитных сил привели его к новой концепции силы, основанной на геометрии. На него снизошло такое же озарение, благодаря какому десятилетия спустя Эйнштейн открыл общую теорию относительности: силу может заменить искривление пространства.

В традиционной механике тела движутся по прямой, пока не подвергнутся воздействию силы. В криволинейных геометриях существование прямых вовсе не обязательно, а пути изогнуты. Если пространство искривлено, то, вынужденно отклоняясь от прямой линии, тело испытает не что иное, как силу. Теперь благодаря этому озарению Риман почувствовал себя вполне готовым к публичной лекции. Он прочел ее в 1854 г. Это был великий триумф. Идеи Римана быстро распространились, и восхищение его открытием только возрастало. Вскоре ученые принялись читать популярные лекции о новой геометрии. Среди них был и Герман фон Гельмгольц, первым заговоривший о существах, обитающих на сфере или иной криволинейной поверхности.

Технические аспекты римановой геометрии многообразий, в настоящее время известной как дифференциальная геометрия, получили дальнейшее развитие в трудах Эудженио Бельтрами, Эльвина Бруно Кристоффеля и ученых итальянской школы под руководством Грегорио Риччи и Туллио Леви-Чивита. Позже оказалось, что именно их разработок не хватало Эйнштейну для открытия его теории.

 

Матричная алгебра

Алгебраисты тоже не сидели сложа руки, а развивали всё новые приемы вычисления для n-вариабельной алгебры – формальный символизм n-мерного пространства. Одним из таких методов стала матричная алгебра – прямоугольные массивы чисел, предложенные в 1855 г. Артуром Кейли. Такая абстракция естественным образом родилась из идеи об изменении координат. Это стало рутинным приемом – упрощать алгебраическое выражение, заменив переменные, например x и y, линейными комбинациями, например:

u = ax + by ,

v = cx + dy

для констант a, b, c и d. Кейли представил пару (x, y) как вектор-столбец, а коэффициенты – таблицей размера 2 × 2, или матрицей. С соответствующим определением для умножения мы можем переписать изменение координат так:

Метод легко распространяется на таблицы с любым числом строк и столбцов, представляющие линейные изменения для любого числа координат.

ЧТО ГЕОМЕТРИЯ МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ ДАЛА ИМ

Примерно в 1907 г. немецкий математик Герман Минковский сформулировал теорию относительности Эйнштейна для четырехмерного пространства-времени , скомбинировав одномерное время и трехмерное пространство в единый математический объект. Он известен нам как пространство-время Минковского .

Требования теории относительности говорят, что естественная метрика пространства-времени Минковского не определяется теоремой Пифагора, в которой квадрат расстояния от точки ( x, t ) до начала координат равен x 2 + t 2 . Это выражение следует заменить интервалом x 2  – c 2 t 2 , где с  – скорость света. Принципиальным изменением здесь является знак минус, который говорит о том, что события в пространстве-времени связаны с двумя конусами. Один (на нашей схеме это треугольник, поскольку пространство сократили на одно измерение) представляет будущее от нашего события, а другой – прошлое. Это геометрическое представление стало практически универсальным для современной физики.

Матричная алгебра позволяет делать расчеты для n-мерного пространства. По мере распространения новых идей складывался и новый геометрический язык для этого пространства, основанный на абстрактной алгебраической системе вычислений. Кейли считал свою идею не более чем удобным обозначением и предсказывал, что она никогда не получит иного применения. Сегодня эта методика распространилась во всех областях науки, особенно в такой, как статистика. Медики – одни из самых активных потребителей матриц, занимающиеся поисками статистически значимых связей между причиной и следствием.

Геометрические образы упрощают доказательство теорем. Критики утверждают, что эти новомодные геометрии относятся к пространствам, которые никогда не существовали. Алгебраисты возражают, что алгебра для n переменных существует практически наверняка, и в любом случае всякий прием, позволяющий сделать новые открытия в столь многих областях математики, заслуживает серьезного и пристального интереса. Джордж Сальмон писал: «Я уже полностью обсудил эту проблему (решения некоторой системы уравнений), когда даны три уравнения с тремя переменными. Теперь перед нами стоит вопрос о схожей задаче в пространстве с p измерениями, и мы склонны считать это чисто алгебраическим вопросом, независимым от каких-либо геометрических соображений. Но нам придется местами прибегнуть к геометрическому языку… потому что так легче понять, как применить к системе p уравнений процесс, аналогичный тому, который применили к системе из трех уравнений».

 

Реальное пространство

Существуют ли многомерные пространства? Конечно, ответ зависит от того, что мы подразумеваем под словом «существуют», но большинство людей не склонны вникать в такие тонкости, особенно если им что-то не нравится. Проблема стала очевидной в 1869 г. В знаменитом обращении к Британской ассоциации содействия развитию наук, позже напечатанном под заголовком «Мольба к математикам», Джеймс Джозеф Сильвестр указал, что важнейшим условием развития математики является обобщение. Ученый утверждал, что здесь главное – допустимость, а не прямое подтверждение физического опыта. Он говорил далее, что при наличии определенного навыка можно легко представить себе четыре измерения, а значит, пространство с четырьмя измерениями допустимо.

Это так разъярило ученого-шекспироведа Клемента Инглби, что он вдохновил великого философа Иммануила Канта доказать, будто трехмерность – неотъемлемая и бесспорная характеристика пространства, абсолютно отвергая доводы Сильвестра. Природа реального пространства не является предметом математического спора. В то время подавляющее большинство английских математиков соглашалось с Инглби. Но ряд ученых с континента не были с ним согласны. Грассман утверждал: «Теоремы “Учения о протяженности” не просто служат переводом геометрических результатов на язык абстракции; они обладают гораздо более важным обобщающим значением, ибо в то время, когда обычная геометрия остается узницей трех [физических] измерений, абстрактная наука не имеет никаких пределов».

Сильвестр обозначил свою позицию: «Немало ученых предпочли бы считать обобщенное понятие пространства всего лишь замаскированной формой алгебраической абстракции, но то же можно сказать о нашем представлении бесконечности, или о невозможных линиях, или о линиях, образующих угол, равный 0, в геометрии – понятиях, в пользе и необходимости которых уже никто не сомневается. Доктор Сальмон в своем расширенном изложении теории Мишеля Шаля о характеристиках поверхностей, мистер Клиффорд в вопросах о вероятности и я сам в теории о разбиении числа, а также в моей статье о барицентрической проекции ощущали и получали доказательства практической пользы четырехмерного пространства, как если бы оно было допустимо».

 

Многомерное пространство

В итоге в споре победил Сильвестр. Современные математики допускают существование явления, если оно логически непротиворечиво. Это может противоречить физическому опыту, что не имеет отношения к математической сущности. Тогда многомерные пространства ничуть не менее реальны, чем привычное нам пространство с тремя измерениями, поскольку мы можем без труда дать ему формальное определение.

Теперь математика многомерных пространств стала чисто алгебраической дисциплиной и основана на явных обобщениях, начинающихся с маломерных пространств. Например, любая точка на плоскости (в двумерном пространстве) может быть описана двумя координатами, а любая точка в трехмерном пространстве – тремя координатами. Отсюда остается сделать короткий шаг к описанию точки в четырехмерном пространстве как набору четырех координат и в более общем плане к определению точки в n-мерном пространстве как списку из n координат. Тогда само по себе n-мерное пространство (n-пространство) будет всего лишь набором таких точек.

Аналогичные алгебраические операции позволят вычислить расстояние между двумя любыми точками в n-пространстве, угол между двумя любыми линиями и т. д. Отныне и впредь главную роль играет воображение: самые обычные геометрические формы в двух или трех измерениях имеют прямые аналоги в n измерениях, и чтобы их найти, нужно описать знакомые формы с использованием алгебры координат, а затем расширить это описание до n координат.

Например, окружность на плоскости или сфера в трехмерном пространстве состоят из всех точек, что лежат на фиксированном расстоянии (радиус) от выбранной точки (центр). Явным аналогом для n-пространства будет всё множество точек, расположенных на фиксированном удалении от выбранной. Используя формулу для расстояний, мы превращаем это в чисто алгебраическое условие, и полученный в результате объект известен как (n − 1) – мерная гиперсфера, или (n − 1) – сфера. Число измерений уменьшается с n до n − 1, потому что, например, окружность в двумерном пространстве становится кривой, т. е. одномерным объектом. А сфера в пространстве является двумерной поверхностью. Сплошная гиперсфера в n измерениях называется n-шар. Таким образом, Земля – это 3-шар, а ее поверхность – 2-сфера.

В наше время такая точка зрения называется линейной алгеброй. Она используется не только в математике, но и в других областях науки, особенно в инженерии и статистике. Также она является стандартной техникой вычислений в экономике. Кейли утверждал, что его матрицы вряд ли получат какое-то практическое применение. Конечно, он ошибался.

К 1900-м гг. предсказание Сильвестра воплотилось в жизнь, особенно с освоением тех областей математики и физики, где концепция многомерного пространства стала серьезным подспорьем. Одной из таких областей стала теория относительности Эйнштейна – своего рода гениальный прорыв в четырехмерной геометрии пространства-времени. В 1908 г. Герман Минковский осознал, что три координаты обычного пространства, объединенные с еще одной, временной, как раз и образуют четырехмерное пространство-время. Всякая точка в нем называется событием: это некая частица, которая появилась на мгновенье, а потом исчезла. Теория относительности действительно имеет дело с физическими свойствами событий. В традиционной механике точечная частица, движущаяся в пространстве, имеет координаты (x(t), y(t), z(t)) в любой момент времени t, и это положение меняется со временем. С точки зрения пространства-времени Минковского собрание таких точек является кривой в пространстве-времени, мировой линией этой частицы, и это самостоятельный объект со своими свойствами, существующий всё время. В теории относительности четвертое измерение имеет единственную и неизменную интерпретацию – время.

Четырехмерный гиперкуб, проекция на плоскость

Последующее включение силы притяжения в теории относительности потребовало широкого применения революционных римановских геометрий, хотя и модифицированных так, чтобы удовлетворять описанию Минковского для геометрии плоского пространства-времени. То, что происходит с пространством и временем в отсутствие массы, которая вызывает гравитационные искажения, Эйнштейн смоделировал как кривизну.

Математики предпочитали более гибкое понятие размерности и пространства, причем на рубеже XIX–XX вв. сама математика, судя по всему, всё больше требовала принятия многомерной геометрии. Теория функций двух комплексных переменных как естественное продолжение комплексного анализа нуждалась в представлении о пространстве с двумя комплексными измерениями. Но каждое такое измерение сводится к двум действительным измерениям, а значит, нравится вам это или нет, вы рассматриваете четырехмерное пространство. Римановское многообразие и алгебра многих переменных обеспечили дальнейшую мотивацию для исследований в этом направлении.

 

Обобщенные координаты

Однако еще одним мощным стимулом к принятию многомерной геометрии стало толкование механики в терминах обобщенных координат, сделанное Гамильтоном в 1835 г. Это исследование было инициировано Лагранжем в его «Аналитической механике» в 1788 г. Механическая система имеет столько же координат, сколько у нее степеней свободы – иными словами, возможностей изменять свое состояние. По сути, число степеней свободы – не что иное, как замаскированное измерение.

Например, необходимо шесть обобщенных координат, чтобы описать конфигурацию элементарного велосипеда: одна для угла, под которым руль крепится к раме, две для угловой позиции каждого из колес, еще одна для педальной оси и еще две для точек вращения педалей. Конечно, велосипед – трехмерный объект, но пространство для его возможных конфигураций получается шестимерным; и это одна из причин того, почему порой так трудно научиться ездить на велосипеде, пока вы не обретете сноровку. Вашему мозгу необходимо сконструировать внутреннее представление о взаимодействии этих шести переменных – научиться прокладывать курс в шестимерной геометрии велосипед-пространства. Когда велосипед на ходу, приходится следить, соответственно, за шестью скоростями: динамика, по существу, получится 12-мерной.

К 1920 г. это соперничество физиков, математиков и механиков благополучно разрешилось, и использование геометрического языка для задач со многими переменными – многомерной геометрии – уже не вызывало такого возмущения, разве что у некоторых философов. А к 1950 г. наука продвинулась вперед настолько, что для математиков стало совершенно естественным формулировать всё подряд в n измерениях с самого начала. Ограниченные теории о двух или трех измерениях оказались в списке устаревших и даже нелепых.

Язык многомерных пространств стремительно распространился во все области науки, захватив даже такие отрасли, как экономика и генетика. Сегодняшние вирусологи, например, воспринимают вирусы как точки в пространстве последовательности ДНК, у которых запросто может оказаться несколько сотен измерений. Под этим они подразумевают, что геном этих вирусов состоит из нескольких сотен оснований ДНК, и тогда геометрический образ вируса оказывается не просто отвлеченной метафорой: он становится эффективным способом решения проблемы.

Ничто из этого, однако, не означает, что существует мир духов, что наконец-то у привидений есть свой дом или что в один прекрасный день нас может (как описал в своей «Флатландии» Эдвин Эбботт) навестить Гиперсфера – существо из Четвертого измерения, принявшее для нас облик сферы с загадочно переменчивыми размерами, способное сжиматься до точки и исчезать из нашей Вселенной. Однако физики, ведущие исследования в теории суперструн, в последнее время склоняются к тому, что на самом деле наша Вселенная может иметь десять измерений, а не четыре. По их мнению, мы никогда не замечали еще шесть дополнительных измерений, поскольку те скручены так плотно, что их невозможно обнаружить.

Многомерная геометрия стала одной из самых впечатляющих областей, где, похоже, математики утрачивают всякую связь с реальностью. Коль скоро физическое пространство трехмерно, как может существовать пространство с четырьмя и более измерениями? И даже если их можно описать математически, какой от этого прок?

Главной ошибкой здесь является восприятие математики как очевидного, буквального толкования реальности, наблюдаемой непосредственно. Но фактически мы окружены объектами, которые лучше всего будут описаны с помощью большого количества переменных, «степеней свободы» этих объектов. Например, для описания положения скелета человека требуется 100 переменных. Математически естественное описание таких объектов происходит в терминах многомерных пространств, с одним измерением для каждой переменной.

Математикам потребовалось много времени, чтобы формализовать такие описания, и еще больше на то, чтобы убедить остальных, что от этого есть польза. Сегодня всё это так глубоко вошло во все области науки, что используется практически на рефлекторном уровне. Подходы стандартны для экономики, биологии, физики, инженерии, астрономии… список можно продолжать бесконечно.

Главное преимущество многомерной геометрии в том, что человечество получило возможность визуализировать такие сверхсложные задачи, которые в принципе увидеть нельзя. А поскольку эволюционно наш мозг приспосабливался именно к визуальному мышлению, такой прием чаще приводит к неожиданным прозрениям, гораздо труднее достигаемым другими методами. Математические концепции, изначально не имеющие прямого отношения к реальному миру, часто обладают гораздо более глубокими, хотя и незримыми, связями. И эти скрытые связи делают математику такой полезной.

ЧТО МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДАЕТ НАМ

Прекрасный пример использования многомерных пространств – ваш мобильный телефон. То же относится к выходу в интернет, кабельному или спутниковому телевидению и практически к любой современной технологии, обеспечивающей обмен информацией. Все современные коммуникации – цифровые. Информация – даже разговоры по телефону – переводится в сочетания нулей и единиц – двоичные числа.

От коммуникаций не будет большого толку, если они ненадежны: отправленное послание должно точно соответствовать полученному. Электрические послания по проводам не могут обеспечить такую надежность из-за помех, возникающих вследствие интерференции или даже космического луча, который может вызвать ошибки. И инженерам-электронщикам пришлось прибегнуть к математическим методам для такой кодировки сигналов, где ошибки будут не только распознаваться, но и исправляться. А основой таких кодов стала математика многомерных пространств.

Такие пространства были открыты, потому что строку, скажем, из десяти двоичных чисел, или бит, такую как 1001011100, выгоднее рассмотреть как точку в десятимерном пространстве с координатами, упрощенными до 0 или 1. Многие важные вопросы о кодах, обнаруживающих и исправляющих ошибки, лучше всего решать в рамках геометрии такого пространства.

Геометрия для пары двоичных чисел

Например, мы можем обнаружить (но не исправить) одну ошибку, если закодируем каждое послание, заменяя каждый 0 на 00 и каждую 1 на 11. Тогда такое послание, как 110100, превратится в 111100110000. Если его получат в виде 11 10 00110000, с ошибкой в четвертом бите, мы поймем: что-то не так, ведь выделенная жирным пара 10 не должна там присутствовать. Но нам неизвестно, должно ли это быть 00 или 11. Это можно точно проиллюстрировать на двумерной фигуре (где 2 – длина, которая соответствует кодовым словам 00 и 11). Рассматривая биты в кодовых словах как координаты, относящиеся к двум осям (соответственно для первой и второй цифр в кодовом слове), мы можем начертить схему, где настоящие кодовые слова 00 и 11 окажутся в диагонально противоположных углах квадрата.

Код, исправляющий ошибки, использует строки длиной 3

Любая ошибка переведет их в кодовые слова на двух других углах – не являющиеся действительными (их мы изначально не включили в код) кодовыми словами. Но поскольку эти углы смежны с обоими настоящими кодовыми словами, разные ошибки могут привести к одному результату. Чтобы получить код, исправляющий ошибки, мы можем использовать кодовые слова длиной 3 и закодировать 0 как 000, а 1 как 111. Теперь кодовые слова находятся по углам куба в трехмерном пространстве. Любая единичная ошибка приведет в результате к соседнему кодовому слову; более того, каждое недействительное кодовое слово соседствует только с одним действительным: 000 или 111.

Такой подход к кодированию цифровых посланий первым предложил Ричард Хэмминг в 1947 г. Геометрическая интерпретация идеи появилась очень скоро, и это стало решающим толчком к развитию еще более эффективных кодов.